Resumo de triângulos e suas propriedades

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CÁLCULO
matemática básica
TRIÂNGULOS E SUAS PROPRIEDADES
INTRODUÇÃO AOS TRIÂNGULOS
o triângulo é um polígono de três lados e
três ângulos.
● propriedades
○ os triângulos são compostos por
três vértices, três lados e três
ângulos.
○ a soma dos ângulos internos dos
triângulos resulta em 180°.
○ a soma dos ângulos externos dos
triângulos resulta em 360°.
os ângulos determinam qual será o tipo de
triângulo, ou seja, depende da disposição dos seus
ângulos, o triângulo pode pertencer a classes
diferentes.
● tipos de triângulos
○ triangulos equilatero
todos os lados têm a mesma medida, por
isso, todos os seus ângulos também.
○ triângulo isósceles
o triângulo isósceles tem dois lados iguais,
logo, dois desses ângulos são equivalentes.
○ triângulo obtuso
um de seus ângulos é maior que 90°.
nota: o triângulo obtuso, também pode ser
considerado isósceles caso tenha dois ângulos iguais.
○ triângulo escaleno
nenhum dos seus lados são iguais
○ triângulo retângulo
um de seus ângulos é de 90°.
nota: o triângulo retângulo, também pode ser
considerado isósceles caso tenha dois ângulos iguais.
● mediana e baricentro
o baricentro de um triângulo também é
conhecido como seu centro de gravidade, centro
de massa ou ponto de equilíbrio.
a mediana é o ponto médio de um lado
que se liga com o vértice oposto ao lado.
os pontos , e são pontos médios dos𝑀 𝑃 𝑄
lados.
quando ligamos os pontos das medianas
com os vértices opostos observamos que as três
medianas se cruzam em um único ponto, esse
ponto (ponto ) será o baricentro do triângulo.𝐺
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
há semelhança de triângulos quando essas
figuras geométricas possuem ângulos
congruentes e por consequência, seus lados
também são congruentes.
possuir ângulos congruentes é ter o valor
de seus ângulos equivalentes um a um.
● casos de semelhança
○ AA: ângulo, ângulo.
dois triângulos serão semelhantes se dois
ângulos de um forem iguais a dois ângulos do
outro.
○ LLL: lado, lado, lado.
dois triângulos serão semelhantes se seus
lados forem proporcionais entre si.
para verificar se realmente são
semelhantes pode encontrar a razão dividindo o
lado de um dos triângulos pelo seu
correspondente no outro triângulo. caso a razão
de todos os lados sejam iguais, podemos dizer que
são proporcionais.
○ LAL: lado, ângulo, lado.
dois triângulos são semelhantes se
possuírem um ângulo congruente entre dois lados
proporcionais.
como os ângulos são iguais, basta ver a
proporção entre os lados, caso sejam a mesma, os
triângulos são semelhantes.
● teorema da semelhança
@raysantori 1
CÁLCULO
quando adicionamos uma reta paralela a
um dos lados do triângulo de modo que esta
intercepte os dois outros lados em pontos
diferentes, forma-se um novo triângulo semelhante
ao primeiro.
○ α𝐶 = α𝐷 α𝐵 = α𝐸
○ os lados e , e , e𝐶𝐴 𝐷𝐴 𝐵𝐴 𝐸𝐴 𝐶𝐵 𝐷𝐸
são equivalentes.
○ o triângulo é proporcional ao𝐴𝐵𝐶
triângulo .𝐴𝐷𝐸
TEOREMA DE PITÁGORAS
para que possamos aplicar o teorema é
preciso que seja um triângulo retângulo.
em um triângulo retângulo os catetos são
os lado encostados no ângulo reto e a
hipotenusa é a oposta ao ângulo reto.
em um triângulo retângulo temos que a
soma dos quadrados dos catetos é igual ao
quadrado da hipotenusa, ou seja, .𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
● relações importantes
quando não tem um triângulo retângulo,
fazemos uma reta que liga um dos vértices até o
lado oposto, ao fazermos isso teremos dois
triângulos retângulos e podemos aplicar pitágoras
em cada um deles.
INTRODUÇÃO À TRIGONOMETRIA
a trigonometria é o estudo das relações de
um triângulo retângulo.
● relações trigonométricas
○ 𝑠𝑒𝑛(θ) = 𝑐𝑜ℎ → 𝑐𝑜 = ℎ * 𝑠𝑒𝑛(θ)
○ 𝑐𝑜𝑠(θ) = 𝑐𝑎ℎ → 𝑐𝑎 = ℎ * 𝑐𝑜𝑠(θ)
○ 𝑡𝑔(θ) = 𝑐𝑜𝑐𝑎 → 𝑡𝑔(θ) =
𝑠𝑒𝑛(θ)
𝑐𝑜𝑠(θ)
○ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(θ) = 1𝑠𝑒𝑛(θ) =
ℎ
𝑐𝑜
○ 𝑠𝑒𝑐(θ) = 1𝑐𝑜𝑠(θ) =
ℎ
𝑐𝑎
○ 𝑐𝑜𝑡𝑔(θ) = 1𝑡𝑔(θ) =
𝑐𝑎
𝑐𝑜 → 𝑐𝑜𝑡𝑔(θ) =
𝑐𝑜𝑠(θ)
𝑠𝑒𝑛(θ)
● relação fundamental da trigonometria
ℎ2 = 𝑐𝑜2 + 𝑐𝑎2
ℎ2 = [ℎ * 𝑠𝑒𝑛(θ)]2 + [ℎ * 𝑐𝑜𝑠(θ)]2
ℎ2 = ℎ2[𝑠𝑒𝑛2(θ) + 𝑐𝑜𝑠2(θ)]
ℎ2
ℎ2
= ℎ
2[𝑠𝑒𝑛2(θ)+𝑐𝑜𝑠2(θ)]
ℎ2
𝑠𝑒𝑛2(θ) + 𝑐𝑜𝑠2(θ) = 1
𝑡𝑔2(θ) + 1 = 𝑠𝑒𝑐2(θ)
𝑐𝑜𝑡𝑔2(θ) + 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(θ)
● senos, cossenos e tangentes notáveis
o seno, o cosseno e a tangent não
possuem uma relação linear, ou seja,
.𝑠𝑒𝑛(60°) = 𝑠𝑒𝑛(2 * 30°) ≠ 2𝑠𝑒𝑛(30°)
LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS
● lei dos senos
@raysantori 2
CÁLCULO
a razão entre um lado oposto e seu ângulo
é sempre igual para todo o triângulo.
𝑎
𝑠𝑒𝑛(𝐴)
= 𝑏
𝑠𝑒𝑛(𝐵)
= 𝑐
𝑠𝑒𝑛(𝐶)
para encontrar a razão imagine um
triângulo circunscrito, ou seja um triângulo dentro
de uma circunferência e todos seus vértices
toquem nessa circunferência.
a razão entre o lado oposto e seu ângulo
será sempre no triângulo é igual ao diâmetro, ou
duas vezes o raio de uma circunferência em que é
possível inscrever o triângulo.
se um triângulo tem ângulos , e com𝐴 𝐵 𝐶
respectivos lados opostos , e e pode ser𝑎 𝑏 𝑐
inscrito em uma circunferência de raio , então:𝑅
𝑎
𝑠𝑒𝑛(𝐴)
= 𝑏
𝑠𝑒𝑛(𝐵)
= 𝑐
𝑠𝑒𝑛(𝐶)
= 2𝑅
● lei dos cossenos
se quisermos calcular conhecendo os𝑐
lado e e o ângulo oposto , usamos a lei dos𝑎 𝑏 𝐶
cossenos: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠(𝐶).
ainda podemos aplicar essa lei em um
triângulo retângulo, que vai resultar no teorema de
pitágoras.
@raysantori 3