8-slide-FunAoes-2018-1

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Funções trigonométricas
Monica Moulin Ribeiro Merkle
Instituto de Matemática, UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil
monica@im.ufrj.br
8 de junho de 2018
Monica Merkle - IM/UFRJ 1 / 15
Trigonometria - definição de seno, cosseno e tangente de
um ângulo agudo
DEF. Em um triângulo ABC , retângulo em A, com AB̂C = θ,
sen θ =
cateto oposto a θ
hipotenusa
,
cos θ =
cateto adjacente a θ
hipotenusa
,
tg θ =
cateto oposto a θ
cateto adjacente
.
OBS. As noções de seno, cosseno e tangente estão bem definidas, já
que não dependem da escolha do triângulo retângulo.
OBS. As relações garantem a definição do seno, cosseno e tangente,
para qualquer ângulo agudo θ > 0.
OBS. O cosseno de um ângulo agudo é igual ao seno do seu
complemento.
OBS. O cosseno e o seno de um ângulo agudo são números
compreendidos entre 0 e 1.
Monica Merkle - IM/UFRJ 2 / 15
Trigonometria - definição de seno, cosseno e tangente de
um ângulo agudo
DEF. Em um triângulo ABC , retângulo em A, com AB̂C = θ,
sen θ =
cateto oposto a θ
hipotenusa
,
cos θ =
cateto adjacente a θ
hipotenusa
,
tg θ =
cateto oposto a θ
cateto adjacente
.
OBS. As noções de seno, cosseno e tangente estão bem definidas, já
que não dependem da escolha do triângulo retângulo.
OBS. As relações garantem a definição do seno, cosseno e tangente,
para qualquer ângulo agudo θ > 0.
OBS. O cosseno de um ângulo agudo é igual ao seno do seu
complemento.
OBS. O cosseno e o seno de um ângulo agudo são números
compreendidos entre 0 e 1.
Monica Merkle - IM/UFRJ 2 / 15
Trigonometria - definição de seno, cosseno e tangente de
um ângulo agudo
DEF. Em um triângulo ABC , retângulo em A, com AB̂C = θ,
sen θ =
cateto oposto a θ
hipotenusa
,
cos θ =
cateto adjacente a θ
hipotenusa
,
tg θ =
cateto oposto a θ
cateto adjacente
.
OBS. As noções de seno, cosseno e tangente estão bem definidas, já
que não dependem da escolha do triângulo retângulo.
OBS. As relações garantem a definição do seno, cosseno e tangente,
para qualquer ângulo agudo θ > 0.
OBS. O cosseno de um ângulo agudo é igual ao seno do seu
complemento.
OBS. O cosseno e o seno de um ângulo agudo são números
compreendidos entre 0 e 1.
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Trigonometria - definição de seno, cosseno e tangente de
um ângulo agudo
DEF. Em um triângulo ABC , retângulo em A, com AB̂C = θ,
sen θ =
cateto oposto a θ
hipotenusa
,
cos θ =
cateto adjacente a θ
hipotenusa
,
tg θ =
cateto oposto a θ
cateto adjacente
.
OBS. As noções de seno, cosseno e tangente estão bem definidas, já
que não dependem da escolha do triângulo retângulo.
OBS. As relações garantem a definição do seno, cosseno e tangente,
para qualquer ângulo agudo θ > 0.
OBS. O cosseno de um ângulo agudo é igual ao seno do seu
complemento.
OBS. O cosseno e o seno de um ângulo agudo são números
compreendidos entre 0 e 1.
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Trigonometria - definição de seno, cosseno e tangente de
um ângulo agudo
DEF. Em um triângulo ABC , retângulo em A, com AB̂C = θ,
sen θ =
cateto oposto a θ
hipotenusa
,
cos θ =
cateto adjacente a θ
hipotenusa
,
tg θ =
cateto oposto a θ
cateto adjacente
.
OBS. As noções de seno, cosseno e tangente estão bem definidas, já
que não dependem da escolha do triângulo retângulo.
OBS. As relações garantem a definição do seno, cosseno e tangente,
para qualquer ângulo agudo θ > 0.
OBS. O cosseno de um ângulo agudo é igual ao seno do seu
complemento.
OBS. O cosseno e o seno de um ângulo agudo são números
compreendidos entre 0 e 1.
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Trigonometria - definição de seno, cosseno e tangente de
um ângulo agudo
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.
sen 2θ + cos2 θ = 1, para todo θ ângulo agudo.
EXERĆICIO. Calcule o seno, cosseno e tangente de 60◦ e 45◦.
Aplicação 1. Conhecidos a hipotenusa e um ângulo agudo de um
triângulo retângulo, conseguimos calcular os catetos.
Aplicação 2. Em um triângulo ABC qualquer, a altura h baixada do
vértice C sobre o lado AB pode ser calculado por h = BC · sen B̂.
Aplicação 3. Se A1B1 é a projeção ortogonal de um segmento AB
sobre uma reta então os comprimentos satisfazem A1B1 = AB · cos θ,
onde θ é o ângulo que o segmento AB faz com uma paralela à reta.
Aplicação 4. Como calcular a altura de uma montanha?
PERGUNTA. Como definir seno, cosseno para qualquer ângulo e,
como consequência introduzir funções trigonométricas seno e cosseno
de um número real t?
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Trigonometria - definição de seno, cosseno e tangente de
um ângulo agudo
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.
sen 2θ + cos2 θ = 1, para todo θ ângulo agudo.
EXERĆICIO. Calcule o seno, cosseno e tangente de 60◦ e 45◦.
Aplicação 1. Conhecidos a hipotenusa e um ângulo agudo de um
triângulo retângulo, conseguimos calcular os catetos.
Aplicação 2. Em um triângulo ABC qualquer, a altura h baixada do
vértice C sobre o lado AB pode ser calculado por h = BC · sen B̂.
Aplicação 3. Se A1B1 é a projeção ortogonal de um segmento AB
sobre uma reta então os comprimentos satisfazem A1B1 = AB · cos θ,
onde θ é o ângulo que o segmento AB faz com uma paralela à reta.
Aplicação 4. Como calcular a altura de uma montanha?
PERGUNTA. Como definir seno, cosseno para qualquer ângulo e,
como consequência introduzir funções trigonométricas seno e cosseno
de um número real t?
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Trigonometria - definição de seno, cosseno e tangente de
um ângulo agudo
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.
sen 2θ + cos2 θ = 1, para todo θ ângulo agudo.
EXERĆICIO. Calcule o seno, cosseno e tangente de 60◦ e 45◦.
Aplicação 1. Conhecidos a hipotenusa e um ângulo agudo de um
triângulo retângulo, conseguimos calcular os catetos.
Aplicação 2. Em um triângulo ABC qualquer, a altura h baixada do
vértice C sobre o lado AB pode ser calculado por h = BC · sen B̂.
Aplicação 3. Se A1B1 é a projeção ortogonal de um segmento AB
sobre uma reta então os comprimentos satisfazem A1B1 = AB · cos θ,
onde θ é o ângulo que o segmento AB faz com uma paralela à reta.
Aplicação 4. Como calcular a altura de uma montanha?
PERGUNTA. Como definir seno, cosseno para qualquer ângulo e,
como consequência introduzir funções trigonométricas seno e cosseno
de um número real t?
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Trigonometria - definição de seno, cosseno e tangente de
um ângulo agudo
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.
sen 2θ + cos2 θ = 1, para todo θ ângulo agudo.
EXERĆICIO. Calcule o seno, cosseno e tangente de 60◦ e 45◦.
Aplicação 1. Conhecidos a hipotenusa e um ângulo agudo de um
triângulo retângulo, conseguimos calcular os catetos.
Aplicação 2. Em um triângulo ABC qualquer, a altura h baixada do
vértice C sobre o lado AB pode ser calculado por h = BC · sen B̂.
Aplicação 3. Se A1B1 é a projeção ortogonal de um segmento AB
sobre uma reta então os comprimentos satisfazem A1B1 = AB · cos θ,
onde θ é o ângulo que o segmento AB faz com uma paralela à reta.
Aplicação 4. Como calcular a altura de uma montanha?
PERGUNTA. Como definir seno, cosseno para qualquer ângulo e,
como consequência introduzir funções trigonométricas seno e cosseno
de um número real t?
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Trigonometria - definição de seno, cosseno e tangente de
um ângulo agudo
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.
sen 2θ + cos2 θ = 1, para todo θ ângulo agudo.
EXERĆICIO. Calcule o seno, cosseno e tangente de 60◦ e 45◦.
Aplicação 1. Conhecidos a hipotenusa e um ângulo agudo de um
triângulo retângulo, conseguimos calcular os catetos.
Aplicação 2. Em um triângulo ABC qualquer, a altura h baixada do
vértice C sobre o lado AB pode ser calculado por h = BC · sen B̂.
Aplicação 3. Se A1B1 é a projeção ortogonal de um segmento AB
sobre uma reta então os comprimentos satisfazem A1B1 = AB · cos θ,
onde θ é o ângulo que o segmentoAB faz com uma paralela à reta.
Aplicação 4. Como calcular a altura de uma montanha?
PERGUNTA. Como definir seno, cosseno para qualquer ângulo e,
como consequência introduzir funções trigonométricas seno e cosseno
de um número real t?
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Trigonometria - definição de seno, cosseno e tangente de
um ângulo agudo
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.
sen 2θ + cos2 θ = 1, para todo θ ângulo agudo.
EXERĆICIO. Calcule o seno, cosseno e tangente de 60◦ e 45◦.
Aplicação 1. Conhecidos a hipotenusa e um ângulo agudo de um
triângulo retângulo, conseguimos calcular os catetos.
Aplicação 2. Em um triângulo ABC qualquer, a altura h baixada do
vértice C sobre o lado AB pode ser calculado por h = BC · sen B̂.
Aplicação 3. Se A1B1 é a projeção ortogonal de um segmento AB
sobre uma reta então os comprimentos satisfazem A1B1 = AB · cos θ,
onde θ é o ângulo que o segmento AB faz com uma paralela à reta.
Aplicação 4. Como calcular a altura de uma montanha?
PERGUNTA. Como definir seno, cosseno para qualquer ângulo e,
como consequência introduzir funções trigonométricas seno e cosseno
de um número real t?
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Trigonometria - definição de seno, cosseno e tangente de
um ângulo agudo
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.
sen 2θ + cos2 θ = 1, para todo θ ângulo agudo.
EXERĆICIO. Calcule o seno, cosseno e tangente de 60◦ e 45◦.
Aplicação 1. Conhecidos a hipotenusa e um ângulo agudo de um
triângulo retângulo, conseguimos calcular os catetos.
Aplicação 2. Em um triângulo ABC qualquer, a altura h baixada do
vértice C sobre o lado AB pode ser calculado por h = BC · sen B̂.
Aplicação 3. Se A1B1 é a projeção ortogonal de um segmento AB
sobre uma reta então os comprimentos satisfazem A1B1 = AB · cos θ,
onde θ é o ângulo que o segmento AB faz com uma paralela à reta.
Aplicação 4. Como calcular a altura de uma montanha?
PERGUNTA. Como definir seno, cosseno para qualquer ângulo e,
como consequência introduzir funções trigonométricas seno e cosseno
de um número real t?
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Arcos trigonométricos - Função de Euler
OBS 1. A relação fundamental sen 2θ + cos2 θ = 1 nos passa a ideia
de que no plano os números cos θ e sen θ são as coordenadas de um
ponto da circunferência de centro na origem e raio 1.
OBS 2. A fim de definir funções cosseno e seno, devemos associar a
cada real t um ângulo e considerar o cosseno e seno deste ângulo. O
numero t está ligado à medida do ângulo.
DEF. O ćırculo trigonométrico C é um ćırculo centrado na origem
O = (0, 0) com raio 1 e comprimento 2π.
DEF. A função de Euler E : R→ C é a função que a cada t faz
corresponder o ponto E (t) = (x , y) que satisfaz:
I E (0) = (1, 0).
I Dado o ponto A = (1, 0) se percorremos t > 0 radianos no sentido
anti-horário (sentido trigonométrico) sobre o ćırculo trigonométrico,
o arco ÂB percorrido tem ponto final B = (x , y) = E (t).
I Para t < 0, dado o ponto A = (1, 0) percorremos |t| radianos no
sentido horário (sentido negativo) sobre o ćırculo trigonométrico e o
arco ÂB percorrido tem ponto final B = (x , y) = E (t).
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Arcos trigonométricos - Função de Euler
OBS 1. A relação fundamental sen 2θ + cos2 θ = 1 nos passa a ideia
de que no plano os números cos θ e sen θ são as coordenadas de um
ponto da circunferência de centro na origem e raio 1.
OBS 2. A fim de definir funções cosseno e seno, devemos associar a
cada real t um ângulo e considerar o cosseno e seno deste ângulo. O
numero t está ligado à medida do ângulo.
DEF. O ćırculo trigonométrico C é um ćırculo centrado na origem
O = (0, 0) com raio 1 e comprimento 2π.
DEF. A função de Euler E : R→ C é a função que a cada t faz
corresponder o ponto E (t) = (x , y) que satisfaz:
I E (0) = (1, 0).
I Dado o ponto A = (1, 0) se percorremos t > 0 radianos no sentido
anti-horário (sentido trigonométrico) sobre o ćırculo trigonométrico,
o arco ÂB percorrido tem ponto final B = (x , y) = E (t).
I Para t < 0, dado o ponto A = (1, 0) percorremos |t| radianos no
sentido horário (sentido negativo) sobre o ćırculo trigonométrico e o
arco ÂB percorrido tem ponto final B = (x , y) = E (t).
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Arcos trigonométricos - Função de Euler
OBS 1. A relação fundamental sen 2θ + cos2 θ = 1 nos passa a ideia
de que no plano os números cos θ e sen θ são as coordenadas de um
ponto da circunferência de centro na origem e raio 1.
OBS 2. A fim de definir funções cosseno e seno, devemos associar a
cada real t um ângulo e considerar o cosseno e seno deste ângulo. O
numero t está ligado à medida do ângulo.
DEF. O ćırculo trigonométrico C é um ćırculo centrado na origem
O = (0, 0) com raio 1 e comprimento 2π.
DEF. A função de Euler E : R→ C é a função que a cada t faz
corresponder o ponto E (t) = (x , y) que satisfaz:
I E (0) = (1, 0).
I Dado o ponto A = (1, 0) se percorremos t > 0 radianos no sentido
anti-horário (sentido trigonométrico) sobre o ćırculo trigonométrico,
o arco ÂB percorrido tem ponto final B = (x , y) = E (t).
I Para t < 0, dado o ponto A = (1, 0) percorremos |t| radianos no
sentido horário (sentido negativo) sobre o ćırculo trigonométrico e o
arco ÂB percorrido tem ponto final B = (x , y) = E (t).
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Arcos trigonométricos - Função de Euler
OBS 1. A relação fundamental sen 2θ + cos2 θ = 1 nos passa a ideia
de que no plano os números cos θ e sen θ são as coordenadas de um
ponto da circunferência de centro na origem e raio 1.
OBS 2. A fim de definir funções cosseno e seno, devemos associar a
cada real t um ângulo e considerar o cosseno e seno deste ângulo. O
numero t está ligado à medida do ângulo.
DEF. O ćırculo trigonométrico C é um ćırculo centrado na origem
O = (0, 0) com raio 1 e comprimento 2π.
DEF. A função de Euler E : R→ C é a função que a cada t faz
corresponder o ponto E (t) = (x , y) que satisfaz:
I E (0) = (1, 0).
I Dado o ponto A = (1, 0) se percorremos t > 0 radianos no sentido
anti-horário (sentido trigonométrico) sobre o ćırculo trigonométrico,
o arco ÂB percorrido tem ponto final B = (x , y) = E (t).
I Para t < 0, dado o ponto A = (1, 0) percorremos |t| radianos no
sentido horário (sentido negativo) sobre o ćırculo trigonométrico e o
arco ÂB percorrido tem ponto final B = (x , y) = E (t).
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Arcos trigonométricos - Função de Euler
OBS 1. A relação fundamental sen 2θ + cos2 θ = 1 nos passa a ideia
de que no plano os números cos θ e sen θ são as coordenadas de um
ponto da circunferência de centro na origem e raio 1.
OBS 2. A fim de definir funções cosseno e seno, devemos associar a
cada real t um ângulo e considerar o cosseno e seno deste ângulo. O
numero t está ligado à medida do ângulo.
DEF. O ćırculo trigonométrico C é um ćırculo centrado na origem
O = (0, 0) com raio 1 e comprimento 2π.
DEF. A função de Euler E : R→ C é a função que a cada t faz
corresponder o ponto E (t) = (x , y) que satisfaz:
I E (0) = (1, 0).
I Dado o ponto A = (1, 0) se percorremos t > 0 radianos no sentido
anti-horário (sentido trigonométrico) sobre o ćırculo trigonométrico,
o arco ÂB percorrido tem ponto final B = (x , y) = E (t).
I Para t < 0, dado o ponto A = (1, 0) percorremos |t| radianos no
sentido horário (sentido negativo) sobre o ćırculo trigonométrico e o
arco ÂB percorrido tem ponto final B = (x , y) = E (t).
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Arcos trigonométricos - Função de Euler
OBS 1. A relação fundamental sen 2θ + cos2 θ = 1 nos passa a ideia
de que no plano os números cos θ e sen θ são as coordenadas de um
ponto da circunferência de centro na origem e raio 1.
OBS 2. A fim de definir funções cosseno e seno, devemos associar a
cada real t um ângulo e considerar o cosseno e seno deste ângulo. O
numero t está ligado àmedida do ângulo.
DEF. O ćırculo trigonométrico C é um ćırculo centrado na origem
O = (0, 0) com raio 1 e comprimento 2π.
DEF. A função de Euler E : R→ C é a função que a cada t faz
corresponder o ponto E (t) = (x , y) que satisfaz:
I E (0) = (1, 0).
I Dado o ponto A = (1, 0) se percorremos t > 0 radianos no sentido
anti-horário (sentido trigonométrico) sobre o ćırculo trigonométrico,
o arco ÂB percorrido tem ponto final B = (x , y) = E (t).
I Para t < 0, dado o ponto A = (1, 0) percorremos |t| radianos no
sentido horário (sentido negativo) sobre o ćırculo trigonométrico e o
arco ÂB percorrido tem ponto final B = (x , y) = E (t).
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Arcos trigonométricos - Função de Euler
OBS 1. A relação fundamental sen 2θ + cos2 θ = 1 nos passa a ideia
de que no plano os números cos θ e sen θ são as coordenadas de um
ponto da circunferência de centro na origem e raio 1.
OBS 2. A fim de definir funções cosseno e seno, devemos associar a
cada real t um ângulo e considerar o cosseno e seno deste ângulo. O
numero t está ligado à medida do ângulo.
DEF. O ćırculo trigonométrico C é um ćırculo centrado na origem
O = (0, 0) com raio 1 e comprimento 2π.
DEF. A função de Euler E : R→ C é a função que a cada t faz
corresponder o ponto E (t) = (x , y) que satisfaz:
I E (0) = (1, 0).
I Dado o ponto A = (1, 0) se percorremos t > 0 radianos no sentido
anti-horário (sentido trigonométrico) sobre o ćırculo trigonométrico,
o arco ÂB percorrido tem ponto final B = (x , y) = E (t).
I Para t < 0, dado o ponto A = (1, 0) percorremos |t| radianos no
sentido horário (sentido negativo) sobre o ćırculo trigonométrico e o
arco ÂB percorrido tem ponto final B = (x , y) = E (t).
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Arcos trigonométricos - Função de Euler
EXERĆICIO. Marque sobre o ciclo trigonométrico as extremidades
finais dos arcos de 2π/3, −2π/3, π/4 e π radianos. Lembre que 2π
radianos correspondem a 360◦ medidos no sentido trigonométrico.
Calcule em radianos os arcos dados em graus: 30◦, 60◦, 90◦, 135◦,
150◦, 240◦, 270◦, 300◦. Calcule em graus os seguintes arcos, dados
em radianos: π/9, 7π2, 18π, 11π/5.
DEF. Segundo a notação anterior, dado o arco ÂB = t, o seno de t,
sen t, é a medida da ordenada de B = E (t) e o cosseno de t, cos t,
é a medida da abscissa de B = E (t).
Vale a RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.
sen 2t + cos2 t = 1, para todo t real.
OBS. O cosseno e o seno de t assume valores entre −1 e 1.
EXERĆICIO. Verifique o sinal do seno e cosseno nos quadrantes.
Verifique para que valores de t temos o seno e cosseno valendo 0, 1 e
−1.
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Arcos trigonométricos - Função de Euler
EXERĆICIO. Marque sobre o ciclo trigonométrico as extremidades
finais dos arcos de 2π/3, −2π/3, π/4 e π radianos. Lembre que 2π
radianos correspondem a 360◦ medidos no sentido trigonométrico.
Calcule em radianos os arcos dados em graus: 30◦, 60◦, 90◦, 135◦,
150◦, 240◦, 270◦, 300◦. Calcule em graus os seguintes arcos, dados
em radianos: π/9, 7π2, 18π, 11π/5.
DEF. Segundo a notação anterior, dado o arco ÂB = t, o seno de t,
sen t, é a medida da ordenada de B = E (t) e o cosseno de t, cos t,
é a medida da abscissa de B = E (t).
Vale a RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.
sen 2t + cos2 t = 1, para todo t real.
OBS. O cosseno e o seno de t assume valores entre −1 e 1.
EXERĆICIO. Verifique o sinal do seno e cosseno nos quadrantes.
Verifique para que valores de t temos o seno e cosseno valendo 0, 1 e
−1.
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Arcos trigonométricos - Função de Euler
EXERĆICIO. Marque sobre o ciclo trigonométrico as extremidades
finais dos arcos de 2π/3, −2π/3, π/4 e π radianos. Lembre que 2π
radianos correspondem a 360◦ medidos no sentido trigonométrico.
Calcule em radianos os arcos dados em graus: 30◦, 60◦, 90◦, 135◦,
150◦, 240◦, 270◦, 300◦. Calcule em graus os seguintes arcos, dados
em radianos: π/9, 7π2, 18π, 11π/5.
DEF. Segundo a notação anterior, dado o arco ÂB = t, o seno de t,
sen t, é a medida da ordenada de B = E (t) e o cosseno de t, cos t,
é a medida da abscissa de B = E (t).
Vale a RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.
sen 2t + cos2 t = 1, para todo t real.
OBS. O cosseno e o seno de t assume valores entre −1 e 1.
EXERĆICIO. Verifique o sinal do seno e cosseno nos quadrantes.
Verifique para que valores de t temos o seno e cosseno valendo 0, 1 e
−1.
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Arcos trigonométricos - Função de Euler
EXERĆICIO. Marque sobre o ciclo trigonométrico as extremidades
finais dos arcos de 2π/3, −2π/3, π/4 e π radianos. Lembre que 2π
radianos correspondem a 360◦ medidos no sentido trigonométrico.
Calcule em radianos os arcos dados em graus: 30◦, 60◦, 90◦, 135◦,
150◦, 240◦, 270◦, 300◦. Calcule em graus os seguintes arcos, dados
em radianos: π/9, 7π2, 18π, 11π/5.
DEF. Segundo a notação anterior, dado o arco ÂB = t, o seno de t,
sen t, é a medida da ordenada de B = E (t) e o cosseno de t, cos t,
é a medida da abscissa de B = E (t).
Vale a RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.
sen 2t + cos2 t = 1, para todo t real.
OBS. O cosseno e o seno de t assume valores entre −1 e 1.
EXERĆICIO. Verifique o sinal do seno e cosseno nos quadrantes.
Verifique para que valores de t temos o seno e cosseno valendo 0, 1 e
−1.
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Arcos trigonométricos - Função de Euler
EXERĆICIO. Marque sobre o ciclo trigonométrico as extremidades
finais dos arcos de 2π/3, −2π/3, π/4 e π radianos. Lembre que 2π
radianos correspondem a 360◦ medidos no sentido trigonométrico.
Calcule em radianos os arcos dados em graus: 30◦, 60◦, 90◦, 135◦,
150◦, 240◦, 270◦, 300◦. Calcule em graus os seguintes arcos, dados
em radianos: π/9, 7π2, 18π, 11π/5.
DEF. Segundo a notação anterior, dado o arco ÂB = t, o seno de t,
sen t, é a medida da ordenada de B = E (t) e o cosseno de t, cos t,
é a medida da abscissa de B = E (t).
Vale a RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.
sen 2t + cos2 t = 1, para todo t real.
OBS. O cosseno e o seno de t assume valores entre −1 e 1.
EXERĆICIO. Verifique o sinal do seno e cosseno nos quadrantes.
Verifique para que valores de t temos o seno e cosseno valendo 0, 1 e
−1.
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Funções periódicas
DEF. Uma função f : R→ R é dita periódica quando existe um
número T 6= 0 tal que f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R.
Se f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R, então f (t + kT ) = f (t), para
todo t ∈ R e todo k inteiro.
DEF. O menor T > 0 tal que f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R é
chamado de peŕıodo da função f .
OBS. Temos E (t ′) = E (t) se e somente se t ′ = t + 2kπ para algum
k inteiro. Logo sen (t ′) = sen t e cos(t ′) = cos t se e somente se
t ′ = t + 2kπ para algum k inteiro.
As funções seno e cosseno são periódicas de peŕıodo 2π. Principal
caracteŕıstica destas funções.
EXERĆICIO. Dê exemplos de outras funções periódicas.
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Funções periódicas
DEF. Uma função f : R→ R é dita periódica quando existe um
número T 6= 0 tal que f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R.
Se f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R, então f (t + kT ) = f (t), para
todo t ∈ R e todo k inteiro.
DEF. O menor T > 0 tal que f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R é
chamado de peŕıodo da função f .
OBS. Temos E (t ′) = E (t) se e somente se t ′ = t + 2kπ para algum
k inteiro. Logo sen (t ′) = sen t e cos(t ′) = cos t se e somente se
t ′ = t + 2kπ para algum k inteiro.
As funções seno e cosseno são periódicas de peŕıodo 2π. Principal
caracteŕıstica destas funções.
EXERĆICIO. Dê exemplos de outras funções periódicas.
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Funções periódicas
DEF. Uma função f : R→ R é dita periódica quando existe um
número T 6= 0 tal que f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R.
Se f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R, então f (t + kT ) = f (t), para
todo t ∈ R e todo k inteiro.
DEF. O menor T > 0 tal que f (t + T ) =f (t), para todo t ∈ R é
chamado de peŕıodo da função f .
OBS. Temos E (t ′) = E (t) se e somente se t ′ = t + 2kπ para algum
k inteiro. Logo sen (t ′) = sen t e cos(t ′) = cos t se e somente se
t ′ = t + 2kπ para algum k inteiro.
As funções seno e cosseno são periódicas de peŕıodo 2π. Principal
caracteŕıstica destas funções.
EXERĆICIO. Dê exemplos de outras funções periódicas.
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Funções periódicas
DEF. Uma função f : R→ R é dita periódica quando existe um
número T 6= 0 tal que f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R.
Se f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R, então f (t + kT ) = f (t), para
todo t ∈ R e todo k inteiro.
DEF. O menor T > 0 tal que f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R é
chamado de peŕıodo da função f .
OBS. Temos E (t ′) = E (t) se e somente se t ′ = t + 2kπ para algum
k inteiro. Logo sen (t ′) = sen t e cos(t ′) = cos t se e somente se
t ′ = t + 2kπ para algum k inteiro.
As funções seno e cosseno são periódicas de peŕıodo 2π. Principal
caracteŕıstica destas funções.
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Funções periódicas
DEF. Uma função f : R→ R é dita periódica quando existe um
número T 6= 0 tal que f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R.
Se f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R, então f (t + kT ) = f (t), para
todo t ∈ R e todo k inteiro.
DEF. O menor T > 0 tal que f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R é
chamado de peŕıodo da função f .
OBS. Temos E (t ′) = E (t) se e somente se t ′ = t + 2kπ para algum
k inteiro. Logo sen (t ′) = sen t e cos(t ′) = cos t se e somente se
t ′ = t + 2kπ para algum k inteiro.
As funções seno e cosseno são periódicas de peŕıodo 2π. Principal
caracteŕıstica destas funções.
EXERĆICIO. Dê exemplos de outras funções periódicas.
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Funções periódicas
DEF. Uma função f : R→ R é dita periódica quando existe um
número T 6= 0 tal que f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R.
Se f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R, então f (t + kT ) = f (t), para
todo t ∈ R e todo k inteiro.
DEF. O menor T > 0 tal que f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R é
chamado de peŕıodo da função f .
OBS. Temos E (t ′) = E (t) se e somente se t ′ = t + 2kπ para algum
k inteiro. Logo sen (t ′) = sen t e cos(t ′) = cos t se e somente se
t ′ = t + 2kπ para algum k inteiro.
As funções seno e cosseno são periódicas de peŕıodo 2π. Principal
caracteŕıstica destas funções.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 ) = cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 ) = cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 ) = cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 ) = cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 ) = cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 ) = cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 ) = cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 ) = cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 ) = cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 )= cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 ) = cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 ) = cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 ) = cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 ) = cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 ) = cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 ) = cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Simetrias da função de Euler e consequências
Se E (t) = (x , y) então:
I E (t + π) =?
I E (t + π) = (−x ,−y);
I E (t + π2 ) =?
I E (t + π2 ) = (−y , x);
I E (−t) =?
I E (−t) = (x ,−y);
I E (π2 − t) =?
I E (π2 − t) = (y , x);
I E (π − t) =?
I E (π − t) = (−x , y).
Algumas relações:
I cos(t + π) = − cos t e sen (t + π) = − sen t;
I cos(t + π2 ) = − sen t e sen (t +
π
2 ) = cos t;
I cos(−t) = cos t e sen (−t) = − sen t;
I cos(π2 − t) = sen t e sen (
π
2 − t) = cos t;
I cos(π − t) = − cos t e sen (π − t) = sen t.
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Funções pares e ı́mpares
DEF. Dizemos que uma função f : R→ R é par quando
f (−t) = f (t) para todo t ∈ R.
DEF. Dizemos que uma função f : R→ R é ı́mpar quando
f (−t) = −f (t) para todo t ∈ R.
A função seno é ı́mpar e a função cosseno é par.
EXERĆICIO. Qual a caracteŕıstica principar do gráfico de uma função
par e ı́mpar?
EXERĆICIO. Dê exemplos de funções pares e ı́mpares.
EXERĆICIO. Toda função periódica tem que ser par ou ı́mpar?
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de seno e cosseno.
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Funções pares e ı́mpares
DEF. Dizemos que uma função f : R→ R é par quando
f (−t) = f (t) para todo t ∈ R.
DEF. Dizemos que uma função f : R→ R é ı́mpar quando
f (−t) = −f (t) para todo t ∈ R.
A função seno é ı́mpar e a função cosseno é par.
EXERĆICIO. Qual a caracteŕıstica principar do gráfico de uma função
par e ı́mpar?
EXERĆICIO. Dê exemplos de funções pares e ı́mpares.
EXERĆICIO. Toda função periódica tem que ser par ou ı́mpar?
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de seno e cosseno.
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Funções pares e ı́mpares
DEF. Dizemos que uma função f : R→ R é par quando
f (−t) = f (t) para todo t ∈ R.
DEF. Dizemos que uma função f : R→ R é ı́mpar quando
f (−t) = −f (t) para todo t ∈ R.
A função seno é ı́mpar e a função cosseno é par.
EXERĆICIO. Qual a caracteŕıstica principar do gráfico de uma função
par e ı́mpar?
EXERĆICIO. Dê exemplos de funções pares e ı́mpares.
EXERĆICIO. Toda função periódica tem que ser par ou ı́mpar?
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de seno e cosseno.
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Funções pares e ı́mpares
DEF. Dizemos que uma função f : R→ R é par quando
f (−t) = f (t) para todo t ∈ R.
DEF. Dizemos que uma função f : R→ R é ı́mpar quando
f (−t) = −f (t) para todo t ∈ R.
A função seno é ı́mpar e a função cosseno é par.
EXERĆICIO. Qual a caracteŕıstica principar do gráfico de uma função
par e ı́mpar?
EXERĆICIO. Dê exemplos de funções pares e ı́mpares.
EXERĆICIO. Toda função periódica tem que ser par ou ı́mpar?
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de seno e cosseno.
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Funções pares e ı́mpares
DEF. Dizemos que uma função f : R→ R é par quando
f (−t) = f (t) para todo t ∈ R.
DEF. Dizemos que uma função f : R→ R é ı́mpar quando
f (−t) = −f (t) para todo t ∈ R.
A função seno é ı́mpar e a função cosseno é par.
EXERĆICIO. Qual a caracteŕıstica principar do gráfico de uma função
par e ı́mpar?
EXERĆICIO. Dê exemplos de funções pares e ı́mpares.
EXERĆICIO. Toda função periódica tem que ser par ou ı́mpar?
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de seno e cosseno.
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Funções pares e ı́mpares
DEF. Dizemos que uma função f : R→ R é par quando
f (−t) = f (t) para todo t ∈ R.
DEF. Dizemos que uma função f : R→ R é ı́mpar quando
f (−t) = −f (t) para todo t ∈ R.
A função seno é ı́mpar e a função cosseno é par.
EXERĆICIO. Qual a caracteŕıstica principar do gráfico de uma função
par e ı́mpar?
EXERĆICIO. Dê exemplos de funções pares e ı́mpares.
EXERĆICIO. Toda função periódica tem que ser par ou ı́mpar?
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de seno e cosseno.
Monica Merkle - IM/UFRJ 8 / 15
Funções pares e ı́mpares
DEF. Dizemos que uma função f : R→ R é par quando
f (−t) = f (t) para todo t ∈ R.
DEF. Dizemos que uma função f : R→ R é ı́mpar quando
f (−t) = −f (t) para todo t ∈ R.
A função seno é ı́mpar e a função cosseno é par.
EXERĆICIO. Qual a caracteŕıstica principar do gráfico de uma função
par e ı́mpar?
EXERĆICIO. Dê exemplos de funções pares e ı́mpares.
EXERĆICIO. Toda função periódica tem que ser par ou ı́mpar?
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de seno e cosseno.
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Função tangente,etc
DEF. Se cos t 6= 0, definimos a tangente de t como tg t = sen tcos t .
A tangente está definida quando t 6= (π/2) + kπ para todo k inteiro.
EXERĆICIO. Qual a interpretação geométrica da tangente de t
radianos?
A função tangente no intervalo (−π/2, π/2) é uma função crescente
e uma correspondência biuńıvoca com R.
OBS. tg(t + π) = tg t, quando a tangente estiver definida em t.
A função tangente é uma função periódica de peŕıodo π (apesar de
não estar definida em R).
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de tg t.
DEF. Analogamente, podemos definir:
I a cotangente de t como cotg t = cos tsen t ,
I a secante de t como sec t = 1cos t e
I a cossecante de t como cossec t = 1sen t .
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Função tangente, etc
DEF. Se cos t 6= 0, definimos a tangente de t como tg t = sen tcos t .
A tangente está definida quando t 6= (π/2) + kπ para todo k inteiro.
EXERĆICIO. Qual a interpretação geométrica da tangente de t
radianos?
A função tangente no intervalo (−π/2, π/2) é uma função crescente
e uma correspondência biuńıvoca com R.
OBS. tg(t + π) = tg t, quando a tangente estiver definida em t.
A função tangente é uma função periódica de peŕıodo π (apesar de
não estar definida em R).
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de tg t.
DEF. Analogamente, podemos definir:
I a cotangente de t como cotg t = cos tsen t ,
I a secante de t como sec t = 1cos t e
I a cossecante de t como cossec t = 1sen t .
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Função tangente, etc
DEF. Se cos t 6= 0, definimos a tangente de t como tg t = sen tcos t .
A tangente está definida quando t 6= (π/2) + kπ para todo k inteiro.
EXERĆICIO. Qual a interpretação geométrica da tangente de t
radianos?
A função tangente no intervalo (−π/2, π/2) é uma função crescente
e uma correspondência biuńıvoca com R.
OBS. tg(t + π) = tg t, quando a tangente estiver definida em t.
A função tangente é uma função periódica de peŕıodo π (apesar de
não estar definida em R).
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de tg t.
DEF. Analogamente, podemos definir:
I a cotangente de t como cotg t = cos tsen t ,
I a secante de t como sec t = 1cos t e
I a cossecante de t como cossec t = 1sen t .
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Função tangente, etc
DEF. Se cos t 6= 0, definimos a tangente de t como tg t = sen tcos t .
A tangente está definida quando t 6= (π/2) + kπ para todo k inteiro.
EXERĆICIO. Qual a interpretação geométrica da tangente de t
radianos?
A função tangente no intervalo (−π/2, π/2) é uma função crescente
e uma correspondência biuńıvoca com R.
OBS. tg(t + π) = tg t, quando a tangente estiver definida em t.
A função tangente é uma função periódica de peŕıodo π (apesar de
não estar definida em R).
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de tg t.
DEF. Analogamente, podemos definir:
I a cotangente de t como cotg t = cos tsen t ,
I a secante de t como sec t = 1cos t e
I a cossecante de t como cossec t = 1sen t .
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Função tangente, etc
DEF. Se cos t 6= 0, definimos a tangente de t como tg t = sen tcos t .
A tangente está definida quando t 6= (π/2) + kπ para todo k inteiro.
EXERĆICIO. Qual a interpretação geométrica da tangente de t
radianos?
A função tangente no intervalo (−π/2, π/2) é uma função crescente
e uma correspondência biuńıvoca com R.
OBS. tg(t + π) = tg t, quando a tangente estiver definida em t.
A função tangente é uma função periódica de peŕıodo π (apesar de
não estar definida em R).
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de tg t.
DEF. Analogamente, podemos definir:
I a cotangente de t como cotg t = cos tsen t ,
I a secante de t como sec t = 1cos t e
I a cossecante de t como cossec t = 1sen t .
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Função tangente, etc
DEF. Se cos t 6= 0, definimos a tangente de t como tg t = sen tcos t .
A tangente está definida quando t 6= (π/2) + kπ para todo k inteiro.
EXERĆICIO. Qual a interpretação geométrica da tangente de t
radianos?
A função tangente no intervalo (−π/2, π/2) é uma função crescente
e uma correspondência biuńıvoca com R.
OBS. tg(t + π) = tg t, quando a tangente estiver definida em t.
A função tangente é uma função periódica de peŕıodo π (apesar de
não estar definida em R).
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de tg t.
DEF. Analogamente, podemos definir:
I a cotangente de t como cotg t = cos tsen t ,
I a secante de t como sec t = 1cos t e
I a cossecante de t como cossec t = 1sen t .
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Função tangente, etc
DEF. Se cos t 6= 0, definimos a tangente de t como tg t = sen tcos t .
A tangente está definida quando t 6= (π/2) + kπ para todo k inteiro.
EXERĆICIO. Qual a interpretação geométrica da tangente de t
radianos?
A função tangente no intervalo (−π/2, π/2) é uma função crescente
e uma correspondência biuńıvoca com R.
OBS. tg(t + π) = tg t, quando a tangente estiver definida em t.
A função tangente é uma função periódica de peŕıodo π (apesar de
não estar definida em R).
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de tg t.
DEF. Analogamente, podemos definir:
I a cotangente de t como cotg t = cos tsen t ,
I a secante de t como sec t = 1cos t e
I a cossecante de t como cossec t = 1sen t .
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Função tangente, etc
DEF. Se cos t 6= 0, definimos a tangente de t como tg t = sen tcos t .
A tangente está definida quando t 6= (π/2) + kπ para todo k inteiro.
EXERĆICIO. Qual a interpretação geométrica da tangente de t
radianos?
A função tangente no intervalo (−π/2, π/2) é uma função crescente
e uma correspondência biuńıvoca com R.
OBS. tg(t + π) = tg t, quando a tangente estiver definida em t.
A função tangente é uma função periódica de peŕıodo π (apesar de
não estar definida em R).
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de tg t.
DEF. Analogamente, podemos definir:
I a cotangente de t como cotg t = cos tsen t ,
I a secante de t como sec t = 1cos t e
I a cossecante de t como cossec t = 1sen t .
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Função tangente, etc
DEF. Se cos t 6= 0, definimos a tangente de t como tg t = sen tcos t .
A tangente está definida quando t 6= (π/2) + kπ para todo k inteiro.
EXERĆICIO. Qual a interpretação geométrica da tangente de t
radianos?
A função tangente no intervalo (−π/2, π/2) é uma função crescente
e uma correspondência biuńıvoca com R.
OBS. tg(t + π) = tg t, quando a tangente estiver definida em t.
A função tangente é uma função periódica de peŕıodo π (apesar de
não estar definida em R).
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de tg t.
DEF. Analogamente, podemos definir:
I a cotangente de t como cotg t = cos tsen t ,
I a secante de t como sec t = 1cos t e
I a cossecante de t como cossec t = 1sen t .
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Função tangente, etc
DEF. Se cos t 6= 0, definimos a tangente de t como tg t = sen tcos t .
A tangente está definida quando t 6= (π/2) + kπ para todo k inteiro.
EXERĆICIO. Qual a interpretação geométrica da tangente de t
radianos?
A função tangente no intervalo (−π/2, π/2) é uma função crescente
e uma correspondência biuńıvoca com R.
OBS. tg(t + π) = tg t, quando a tangente estiver definida em t.
A função tangente é uma função periódica de peŕıodo π (apesar de
não estar definida em R).
EXERĆICIO. Faça esboço do gráfico de tg t.
DEF. Analogamente, podemos definir:
I a cotangente de t como cotg t = cos tsen t ,
I a secante de t como sec t = 1cos t e
I a cossecante de t como cossec t = 1sen t .
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Relações importantes
PROP. FÓRMULAS DE ADIÇÃO DE ARCOS.
cos(a± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b
sen (a± b) = sen a cos b ± cos a sen b
tg (a± b) = tg a± tg b
1∓ tg a tg b
FÓRMULAS DE ARCOS DUPLOS.
cos(2a) = cos2 a− sen 2a
sen (2a) = 2 sen a cos a
tg (2a) =
2 tg a
1− tg 2a
FÓRMULAS DE TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO.
sen a± sen b = 2 sen (a±b2 ) cos(
a∓b
2 )
cos a + cos b = 2 cos(a+b2 ) cos(
a−b
2)
cos a− cos b = −2 sen (a+b2 ) sen (
a−b
2 )
tg a± tg b = sen (a±b)cos a cos b , onde as quantidades estiverem definidas.
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Lei de cossenos e senos
PROP. LEI DOS COSSENOS. Com a notação usual, em um triângulo
ABC temos a2 = b2 + c2 − 2bc cos Â.
PROVA. Seja H o pé da altura relativa ao lado AC . Considere os
casos quando  é menor, igual ou maior que 90◦ e aplique o Teorema
de Pitágoras.
COROL. Considere um triângulo ABC com lados satisfazendo
a > b > c . ABC é retângulo (em A) se e só se a2 = b2 + c2.
ABC é acutângulo se e só se a2 < b2 + c2.
ABC é obtusângulo se e só se a2 > b2 + c2.
PROP. LEI DOS SENOS. Se R é o raio do ćırculo circunscrito a um
triângulo ABC então
a
sen Â
=
b
sen B̂
=
c
sen Ĉ
= 2R.
PROVA. No caso de um triângulo acutângulo, considere o simétrico
de B em relação ao centro do ćırculo.
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Lei de cossenos e senos
PROP. LEI DOS COSSENOS. Com a notação usual, em um triângulo
ABC temos a2 = b2 + c2 − 2bc cos Â.
PROVA. Seja H o pé da altura relativa ao lado AC . Considere os
casos quando  é menor, igual ou maior que 90◦ e aplique o Teorema
de Pitágoras.
COROL. Considere um triângulo ABC com lados satisfazendo
a > b > c . ABC é retângulo (em A) se e só se a2 = b2 + c2.
ABC é acutângulo se e só se a2 < b2 + c2.
ABC é obtusângulo se e só se a2 > b2 + c2.
PROP. LEI DOS SENOS. Se R é o raio do ćırculo circunscrito a um
triângulo ABC então
a
sen Â
=
b
sen B̂
=
c
sen Ĉ
= 2R.
PROVA. No caso de um triângulo acutângulo, considere o simétrico
de B em relação ao centro do ćırculo.
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Lei de cossenos e senos
PROP. LEI DOS COSSENOS. Com a notação usual, em um triângulo
ABC temos a2 = b2 + c2 − 2bc cos Â.
PROVA. Seja H o pé da altura relativa ao lado AC . Considere os
casos quando  é menor, igual ou maior que 90◦ e aplique o Teorema
de Pitágoras.
COROL. Considere um triângulo ABC com lados satisfazendo
a > b > c . ABC é retângulo (em A) se e só se a2 = b2 + c2.
ABC é acutângulo se e só se a2 < b2 + c2.
ABC é obtusângulo se e só se a2 > b2 + c2.
PROP. LEI DOS SENOS. Se R é o raio do ćırculo circunscrito a um
triângulo ABC então
a
sen Â
=
b
sen B̂
=
c
sen Ĉ
= 2R.
PROVA. No caso de um triângulo acutângulo, considere o simétrico
de B em relação ao centro do ćırculo.
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Lei de cossenos e senos
PROP. LEI DOS COSSENOS. Com a notação usual, em um triângulo
ABC temos a2 = b2 + c2 − 2bc cos Â.
PROVA. Seja H o pé da altura relativa ao lado AC . Considere os
casos quando  é menor, igual ou maior que 90◦ e aplique o Teorema
de Pitágoras.
COROL. Considere um triângulo ABC com lados satisfazendo
a > b > c . ABC é retângulo (em A) se e só se a2 = b2 + c2.
ABC é acutângulo se e só se a2 < b2 + c2.
ABC é obtusângulo se e só se a2 > b2 + c2.
PROP. LEI DOS SENOS. Se R é o raio do ćırculo circunscrito a um
triângulo ABC então
a
sen Â
=
b
sen B̂
=
c
sen Ĉ
= 2R.
PROVA. No caso de um triângulo acutângulo, considere o simétrico
de B em relação ao centro do ćırculo.
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Lei de cossenos e senos
PROP. LEI DOS COSSENOS. Com a notação usual, em um triângulo
ABC temos a2 = b2 + c2 − 2bc cos Â.
PROVA. Seja H o pé da altura relativa ao lado AC . Considere os
casos quando  é menor, igual ou maior que 90◦ e aplique o Teorema
de Pitágoras.
COROL. Considere um triângulo ABC com lados satisfazendo
a > b > c . ABC é retângulo (em A) se e só se a2 = b2 + c2.
ABC é acutângulo se e só se a2 < b2 + c2.
ABC é obtusângulo se e só se a2 > b2 + c2.
PROP. LEI DOS SENOS. Se R é o raio do ćırculo circunscrito a um
triângulo ABC então
a
sen Â
=
b
sen B̂
=
c
sen Ĉ
= 2R.
PROVA. No caso de um triângulo acutângulo, considere o simétrico
de B em relação ao centro do ćırculo.
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Exerćıcios
EXERĆICIO. Determinar, no triângulo ABC , os lados a, b e c e os
ângulos Â, B̂ e Ĉ nos seguintes casos:
I São dados os lados a, b e c , a ≤ b ≤ c .
I São dados os lados a, b e o ângulo Ĉ .
I São dados os ângulo Â, B̂, com  + B̂ < 2retos e o lado c .
I São dados os lados a, b, com a > b e o ângulo Â.
EXERĆICIO. Calcule os arcos trigonométricos de 75◦.
EXERĆICIO. Como determinar as coordenadas do ponto (x ′, y ′),
obtido a partir do ponto A = (x , y) por meio da rotação de ângulo θ
em torno da origem do plano?
EXERĆICIO. Mostre que cos θ =
1− tg 2( θ2)
1 + tg 2( θ2)
e sen θ =
2 tg ( θ2)
1 + tg 2( θ2)
.
(páginas 201 e 202 do livro).
Monica Merkle - IM/UFRJ 12 / 15
Exerćıcios
EXERĆICIO. Determinar, no triângulo ABC , os lados a, b e c e os
ângulos Â, B̂ e Ĉ nos seguintes casos:
I São dados os lados a, b e c , a ≤ b ≤ c .
I São dados os lados a, b e o ângulo Ĉ .
I São dados os ângulo Â, B̂, com  + B̂ < 2retos e o lado c .
I São dados os lados a, b, com a > b e o ângulo Â.
EXERĆICIO. Calcule os arcos trigonométricos de 75◦.
EXERĆICIO. Como determinar as coordenadas do ponto (x ′, y ′),
obtido a partir do ponto A = (x , y) por meio da rotação de ângulo θ
em torno da origem do plano?
EXERĆICIO. Mostre que cos θ =
1− tg 2( θ2)
1 + tg 2( θ2)
e sen θ =
2 tg ( θ2)
1 + tg 2( θ2)
.
(páginas 201 e 202 do livro).
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Exerćıcios
EXERĆICIO. Determinar, no triângulo ABC , os lados a, b e c e os
ângulos Â, B̂ e Ĉ nos seguintes casos:
I São dados os lados a, b e c , a ≤ b ≤ c .
I São dados os lados a, b e o ângulo Ĉ .
I São dados os ângulo Â, B̂, com  + B̂ < 2retos e o lado c .
I São dados os lados a, b, com a > b e o ângulo Â.
EXERĆICIO. Calcule os arcos trigonométricos de 75◦.
EXERĆICIO. Como determinar as coordenadas do ponto (x ′, y ′),
obtido a partir do ponto A = (x , y) por meio da rotação de ângulo θ
em torno da origem do plano?
EXERĆICIO. Mostre que cos θ =
1− tg 2( θ2)
1 + tg 2( θ2)
e sen θ =
2 tg ( θ2)
1 + tg 2( θ2)
.
(páginas 201 e 202 do livro).
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Exerćıcios
EXERĆICIO. Determinar, no triângulo ABC , os lados a, b e c e os
ângulos Â, B̂ e Ĉ nos seguintes casos:
I São dados os lados a, b e c , a ≤ b ≤ c .
I São dados os lados a, b e o ângulo Ĉ .
I São dados os ângulo Â, B̂, com  + B̂ < 2retos e o lado c .
I São dados os lados a, b, com a > b e o ângulo Â.
EXERĆICIO. Calcule os arcos trigonométricos de 75◦.
EXERĆICIO. Como determinar as coordenadas do ponto (x ′, y ′),
obtido a partir do ponto A = (x , y) por meio da rotação de ângulo θ
em torno da origem do plano?
EXERĆICIO. Mostre que cos θ =
1− tg 2( θ2)
1 + tg 2( θ2)
e sen θ =
2 tg ( θ2)
1 + tg 2( θ2)
.
(páginas 201 e 202 do livro).
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Exerćıcios
EXERĆICIO. Determinar, no triângulo ABC , os lados a, b e c e os
ângulos Â, B̂ e Ĉ nos seguintes casos:
I São dados os lados a, b e c , a ≤ b ≤ c .
I São dados os lados a, b e o ângulo Ĉ .
I São dados os ângulo Â, B̂, com  + B̂ < 2retos e o lado c .
I São dados os lados a, b, com a > b e o ângulo Â.
EXERĆICIO. Calcule os arcos trigonométricos de 75◦.
EXERĆICIO. Como determinar as coordenadas do ponto (x ′, y ′),
obtido a partir do ponto A = (x , y) por meio da rotação de ângulo θ
em torno da origem do plano?
EXERĆICIO. Mostre que cos θ =
1− tg 2( θ2)
1 + tg 2( θ2)
e sen θ =
2 tg ( θ2)
1 + tg 2( θ2)
.
(páginas 201 e 202 do livro).
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Exerćıcios
EXERĆICIO. Determinar, no triângulo ABC , os lados a, b e c e os
ângulos Â, B̂ e Ĉ nos seguintes casos:
I São dados os lados a, b e c , a ≤ b ≤ c .
I São dados os lados a, b e o ângulo Ĉ .
I São dados os ângulo Â, B̂, com  + B̂ < 2retos e o lado c .
I São dados os lados a, b, com a > b e o ângulo Â.
EXERĆICIO. Calcule os arcos trigonométricos de 75◦.
EXERĆICIO. Como determinar as coordenadas do ponto (x ′, y ′),
obtido apartir do ponto A = (x , y) por meio da rotação de ângulo θ
em torno da origem do plano?
EXERĆICIO. Mostre que cos θ =
1− tg 2( θ2)
1 + tg 2( θ2)
e sen θ =
2 tg ( θ2)
1 + tg 2( θ2)
.
(páginas 201 e 202 do livro).
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Exerćıcios
EXERĆICIO. Determinar, no triângulo ABC , os lados a, b e c e os
ângulos Â, B̂ e Ĉ nos seguintes casos:
I São dados os lados a, b e c , a ≤ b ≤ c .
I São dados os lados a, b e o ângulo Ĉ .
I São dados os ângulo Â, B̂, com  + B̂ < 2retos e o lado c .
I São dados os lados a, b, com a > b e o ângulo Â.
EXERĆICIO. Calcule os arcos trigonométricos de 75◦.
EXERĆICIO. Como determinar as coordenadas do ponto (x ′, y ′),
obtido a partir do ponto A = (x , y) por meio da rotação de ângulo θ
em torno da origem do plano?
EXERĆICIO. Mostre que cos θ =
1− tg 2( θ2)
1 + tg 2( θ2)
e sen θ =
2 tg ( θ2)
1 + tg 2( θ2)
.
(páginas 201 e 202 do livro).
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Exerćıcios
EXERĆICIO. Determinar, no triângulo ABC , os lados a, b e c e os
ângulos Â, B̂ e Ĉ nos seguintes casos:
I São dados os lados a, b e c , a ≤ b ≤ c .
I São dados os lados a, b e o ângulo Ĉ .
I São dados os ângulo Â, B̂, com  + B̂ < 2retos e o lado c .
I São dados os lados a, b, com a > b e o ângulo Â.
EXERĆICIO. Calcule os arcos trigonométricos de 75◦.
EXERĆICIO. Como determinar as coordenadas do ponto (x ′, y ′),
obtido a partir do ponto A = (x , y) por meio da rotação de ângulo θ
em torno da origem do plano?
EXERĆICIO. Mostre que cos θ =
1− tg 2( θ2)
1 + tg 2( θ2)
e sen θ =
2 tg ( θ2)
1 + tg 2( θ2)
.
(páginas 201 e 202 do livro).
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Calculando máximos e ḿınimos de funções envolvendo
trigonométricas
EXERĆICIO. Determine os valores máximo e ḿınimo da função
f : R→ R definida por f (x) = 3
2 + sen x
.
EXERĆICIO. Determine os valores máximo e ḿınimo de
y = 2 sen 2x + 5 cos2 x .
EXERĆICIO. Determine os valores máximo e ḿınimo de
y = sen x + 2 cos x .
EXERĆICIO. Mostre que |a cos x + b sen x | ≤
√
a2 + b2, para valores
de a e b fixos e x variável.
(Dica. Desenvolva a cos x + b sen x =
√
a2 + b2(K cos x + L sen x) e
use fórmula de adição de arcos).
Monica Merkle - IM/UFRJ 13 / 15
Calculando máximos e ḿınimos de funções envolvendo
trigonométricas
EXERĆICIO. Determine os valores máximo e ḿınimo da função
f : R→ R definida por f (x) = 3
2 + sen x
.
EXERĆICIO. Determine os valores máximo e ḿınimo de
y = 2 sen 2x + 5 cos2 x .
EXERĆICIO. Determine os valores máximo e ḿınimo de
y = sen x + 2 cos x .
EXERĆICIO. Mostre que |a cos x + b sen x | ≤
√
a2 + b2, para valores
de a e b fixos e x variável.
(Dica. Desenvolva a cos x + b sen x =
√
a2 + b2(K cos x + L sen x) e
use fórmula de adição de arcos).
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Calculando máximos e ḿınimos de funções envolvendo
trigonométricas
EXERĆICIO. Determine os valores máximo e ḿınimo da função
f : R→ R definida por f (x) = 3
2 + sen x
.
EXERĆICIO. Determine os valores máximo e ḿınimo de
y = 2 sen 2x + 5 cos2 x .
EXERĆICIO. Determine os valores máximo e ḿınimo de
y = sen x + 2 cos x .
EXERĆICIO. Mostre que |a cos x + b sen x | ≤
√
a2 + b2, para valores
de a e b fixos e x variável.
(Dica. Desenvolva a cos x + b sen x =
√
a2 + b2(K cos x + L sen x) e
use fórmula de adição de arcos).
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Calculando máximos e ḿınimos de funções envolvendo
trigonométricas
EXERĆICIO. Determine os valores máximo e ḿınimo da função
f : R→ R definida por f (x) = 3
2 + sen x
.
EXERĆICIO. Determine os valores máximo e ḿınimo de
y = 2 sen 2x + 5 cos2 x .
EXERĆICIO. Determine os valores máximo e ḿınimo de
y = sen x + 2 cos x .
EXERĆICIO. Mostre que |a cos x + b sen x | ≤
√
a2 + b2, para valores
de a e b fixos e x variável.
(Dica. Desenvolva a cos x + b sen x =
√
a2 + b2(K cos x + L sen x) e
use fórmula de adição de arcos).
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Funções inversas
DEF. Dizemos que a função g : Y → X é a inversa da função
f : X → Y quando g(f (x)) = x e f (g(y)) = y para todo x ∈ X e
y ∈ Y .
OBS. g é a inversa de f se e somente se f é a inversa de g .
OBS. Quando g é a inversa de f , g(y) = x se e somente se f (x) = y .
OBS. Se g(f (x)) = x para todo x ∈ X então f é injetiva.
OBS. Se f (g(y)) = y para todo y ∈ Y então f é sobrejetiva.
A função f possui inversa se e somente se f é bijetiva.
Uma função cont́ınua f : I → R, definida em um intervalo I ⊂ R só
pode ser injetiva quando é monótona crescente ou decrescente.
EXERĆICIO. Como verificar pelo gráfico da função que ela possui
inversa?
OBS. A inversa de uma função crescente é crescente e a inversa de
uma decrescente é decrescente.
Como esboçar o gráfico de uma função inversa?
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Funções inversas
DEF. Dizemos que a função g : Y → X é a inversa da função
f : X → Y quando g(f (x)) = x e f (g(y)) = y para todo x ∈ X e
y ∈ Y .
OBS. g é a inversa de f se e somente se f é a inversa de g .
OBS. Quando g é a inversa de f , g(y) = x se e somente se f (x) = y .
OBS. Se g(f (x)) = x para todo x ∈ X então f é injetiva.
OBS. Se f (g(y)) = y para todo y ∈ Y então f é sobrejetiva.
A função f possui inversa se e somente se f é bijetiva.
Uma função cont́ınua f : I → R, definida em um intervalo I ⊂ R só
pode ser injetiva quando é monótona crescente ou decrescente.
EXERĆICIO. Como verificar pelo gráfico da função que ela possui
inversa?
OBS. A inversa de uma função crescente é crescente e a inversa de
uma decrescente é decrescente.
Como esboçar o gráfico de uma função inversa?
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Funções inversas
DEF. Dizemos que a função g : Y → X é a inversa da função
f : X → Y quando g(f (x)) = x e f (g(y)) = y para todo x ∈ X e
y ∈ Y .
OBS. g é a inversa de f se e somente se f é a inversa de g .
OBS. Quando g é a inversa de f , g(y) = x se e somente se f (x) = y .
OBS. Se g(f (x)) = x para todo x ∈ X então f é injetiva.
OBS. Se f (g(y)) = y para todo y ∈ Y então f é sobrejetiva.
A função f possui inversa se e somente se f é bijetiva.
Uma função cont́ınua f : I → R, definida em um intervalo I ⊂ R só
pode ser injetiva quando é monótona crescente ou decrescente.
EXERĆICIO. Como verificar pelo gráfico da função que ela possui
inversa?
OBS. A inversa de uma função crescente é crescente e a inversa de
uma decrescente é decrescente.
Como esboçar o gráfico de uma função inversa?
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Funções inversas
DEF. Dizemos que a função g : Y → X é a inversa da função
f : X → Y quando g(f (x)) = x e f (g(y)) = y para todo x ∈ X e
y ∈ Y .
OBS. g é a inversa de f se e somente se f é a inversa de g .
OBS. Quando g é a inversa de f , g(y) = x se e somente se f (x) = y .
OBS. Se g(f (x)) = x para todo x ∈ X então f é injetiva.
OBS. Se f (g(y)) = y para todo y ∈ Y então f é sobrejetiva.
A função f possui inversa se e somente se f é bijetiva.
Uma função cont́ınua f : I → R, definida em um intervalo I ⊂ R só
pode ser injetiva quando é monótona crescente ou decrescente.
EXERĆICIO. Como verificar pelo gráfico da função que ela possui
inversa?
OBS. A inversa de uma função crescente é crescente e a inversa de
uma decrescente é decrescente.
Como esboçar o gráfico de uma função inversa?
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Funções inversas
DEF. Dizemos que a função g : Y → X é a inversa da função
f : X → Y quando g(f (x)) = x e f (g(y)) = y para todo x ∈ X e
y ∈ Y .
OBS. g é a inversa de f se e somente se f é a inversa de g .
OBS. Quando g é a inversa de f , g(y) = x se e somente se f (x) = y .
OBS. Se g(f (x)) = x para todo x ∈ X então f é injetiva.
OBS. Se f (g(y)) = y para todo y ∈ Y então f é sobrejetiva.
A função f possui inversa se e somente se f é bijetiva.
Uma função cont́ınua f : I → R, definida em um intervaloI ⊂ R só
pode ser injetiva quando é monótona crescente ou decrescente.
EXERĆICIO. Como verificar pelo gráfico da função que ela possui
inversa?
OBS. A inversa de uma função crescente é crescente e a inversa de
uma decrescente é decrescente.
Como esboçar o gráfico de uma função inversa?
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Funções inversas
DEF. Dizemos que a função g : Y → X é a inversa da função
f : X → Y quando g(f (x)) = x e f (g(y)) = y para todo x ∈ X e
y ∈ Y .
OBS. g é a inversa de f se e somente se f é a inversa de g .
OBS. Quando g é a inversa de f , g(y) = x se e somente se f (x) = y .
OBS. Se g(f (x)) = x para todo x ∈ X então f é injetiva.
OBS. Se f (g(y)) = y para todo y ∈ Y então f é sobrejetiva.
A função f possui inversa se e somente se f é bijetiva.
Uma função cont́ınua f : I → R, definida em um intervalo I ⊂ R só
pode ser injetiva quando é monótona crescente ou decrescente.
EXERĆICIO. Como verificar pelo gráfico da função que ela possui
inversa?
OBS. A inversa de uma função crescente é crescente e a inversa de
uma decrescente é decrescente.
Como esboçar o gráfico de uma função inversa?
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Funções inversas
DEF. Dizemos que a função g : Y → X é a inversa da função
f : X → Y quando g(f (x)) = x e f (g(y)) = y para todo x ∈ X e
y ∈ Y .
OBS. g é a inversa de f se e somente se f é a inversa de g .
OBS. Quando g é a inversa de f , g(y) = x se e somente se f (x) = y .
OBS. Se g(f (x)) = x para todo x ∈ X então f é injetiva.
OBS. Se f (g(y)) = y para todo y ∈ Y então f é sobrejetiva.
A função f possui inversa se e somente se f é bijetiva.
Uma função cont́ınua f : I → R, definida em um intervalo I ⊂ R só
pode ser injetiva quando é monótona crescente ou decrescente.
EXERĆICIO. Como verificar pelo gráfico da função que ela possui
inversa?
OBS. A inversa de uma função crescente é crescente e a inversa de
uma decrescente é decrescente.
Como esboçar o gráfico de uma função inversa?
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Funções inversas
DEF. Dizemos que a função g : Y → X é a inversa da função
f : X → Y quando g(f (x)) = x e f (g(y)) = y para todo x ∈ X e
y ∈ Y .
OBS. g é a inversa de f se e somente se f é a inversa de g .
OBS. Quando g é a inversa de f , g(y) = x se e somente se f (x) = y .
OBS. Se g(f (x)) = x para todo x ∈ X então f é injetiva.
OBS. Se f (g(y)) = y para todo y ∈ Y então f é sobrejetiva.
A função f possui inversa se e somente se f é bijetiva.
Uma função cont́ınua f : I → R, definida em um intervalo I ⊂ R só
pode ser injetiva quando é monótona crescente ou decrescente.
EXERĆICIO. Como verificar pelo gráfico da função que ela possui
inversa?
OBS. A inversa de uma função crescente é crescente e a inversa de
uma decrescente é decrescente.
Como esboçar o gráfico de uma função inversa?
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Funções inversas
DEF. Dizemos que a função g : Y → X é a inversa da função
f : X → Y quando g(f (x)) = x e f (g(y)) = y para todo x ∈ X e
y ∈ Y .
OBS. g é a inversa de f se e somente se f é a inversa de g .
OBS. Quando g é a inversa de f , g(y) = x se e somente se f (x) = y .
OBS. Se g(f (x)) = x para todo x ∈ X então f é injetiva.
OBS. Se f (g(y)) = y para todo y ∈ Y então f é sobrejetiva.
A função f possui inversa se e somente se f é bijetiva.
Uma função cont́ınua f : I → R, definida em um intervalo I ⊂ R só
pode ser injetiva quando é monótona crescente ou decrescente.
EXERĆICIO. Como verificar pelo gráfico da função que ela possui
inversa?
OBS. A inversa de uma função crescente é crescente e a inversa de
uma decrescente é decrescente.
Como esboçar o gráfico de uma função inversa?
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Funções inversas
DEF. Dizemos que a função g : Y → X é a inversa da função
f : X → Y quando g(f (x)) = x e f (g(y)) = y para todo x ∈ X e
y ∈ Y .
OBS. g é a inversa de f se e somente se f é a inversa de g .
OBS. Quando g é a inversa de f , g(y) = x se e somente se f (x) = y .
OBS. Se g(f (x)) = x para todo x ∈ X então f é injetiva.
OBS. Se f (g(y)) = y para todo y ∈ Y então f é sobrejetiva.
A função f possui inversa se e somente se f é bijetiva.
Uma função cont́ınua f : I → R, definida em um intervalo I ⊂ R só
pode ser injetiva quando é monótona crescente ou decrescente.
EXERĆICIO. Como verificar pelo gráfico da função que ela possui
inversa?
OBS. A inversa de uma função crescente é crescente e a inversa de
uma decrescente é decrescente.
Como esboçar o gráfico de uma função inversa?
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Funções inversas
EXERĆICIO. Mostre que o simétrico do ponto (x , y) en relação à
diagonal y = x é o ponto (y , x).
O gráfico da função inversa de f é o simétrico do gráfico da função f
em relação à diagonal y = x .
Exemplos:
I A função f : R→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : [0,∞)→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : (−∞, 0)→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : (−π/2, π/2)→ R, f (x) = tgx , possui inversa?
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Funções inversas
EXERĆICIO. Mostre que o simétrico do ponto (x , y) en relação à
diagonal y = x é o ponto (y , x).
O gráfico da função inversa de f é o simétrico do gráfico da função f
em relação à diagonal y = x .
Exemplos:
I A função f : R→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : [0,∞)→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : (−∞, 0)→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : (−π/2, π/2)→ R, f (x) = tgx , possui inversa?
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Funções inversas
EXERĆICIO. Mostre que o simétrico do ponto (x , y) en relação à
diagonal y = x é o ponto (y , x).
O gráfico da função inversa de f é o simétrico do gráfico da função f
em relação à diagonal y = x .
Exemplos:
I A função f : R→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : [0,∞)→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : (−∞, 0)→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : (−π/2, π/2)→ R, f (x) = tgx , possui inversa?
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Funções inversas
EXERĆICIO. Mostre que o simétrico do ponto (x , y) en relação à
diagonal y = x é o ponto (y , x).
O gráfico da função inversa de f é o simétrico do gráfico da função f
em relação à diagonal y = x .
Exemplos:
I A função f : R→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : [0,∞)→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : (−∞, 0)→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : (−π/2, π/2)→ R, f (x) = tgx , possui inversa?
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Funções inversas
EXERĆICIO. Mostre que o simétrico do ponto (x , y) en relação à
diagonal y = x é o ponto (y , x).
O gráfico da função inversa de f é o simétrico do gráfico da função f
em relação à diagonal y = x .
Exemplos:
I A função f : R→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : [0,∞)→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : (−∞, 0)→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : (−π/2, π/2)→ R, f (x) = tgx , possui inversa?
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Funções inversas
EXERĆICIO. Mostre que o simétrico do ponto (x , y) en relação à
diagonal y = x é o ponto (y , x).
O gráfico da função inversa de f é o simétrico do gráfico da função f
em relação à diagonal y = x .
Exemplos:
I A função f : R→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : [0,∞)→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : (−∞, 0)→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : (−π/2, π/2)→ R, f (x) = tgx , possui inversa?
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Funções inversas
EXERĆICIO. Mostre que o simétrico do ponto (x , y) en relação à
diagonal y = x é o ponto (y , x).
O gráfico da função inversa de f é o simétrico do gráfico da função f
em relação à diagonaly = x .
Exemplos:
I A função f : R→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : [0,∞)→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : (−∞, 0)→ [0,∞), f (x) = x2, possui inversa?
I A função f : (−π/2, π/2)→ R, f (x) = tgx , possui inversa?
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