Trigonometria dos Triângulos

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Trigonometria 
Roberto Carlos Lourenço dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
SUMÁRIO 
 
 
1. TRIGONOMETRIA DOS TRIÂNGULOS I .............................................................................................. 3 
2. TRIGONOMETRIA DOS TRIÂNGULOS II ............................................................................................ 13 
3. TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA I........................................................................................ 22 
4. TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA II....................................................................................... 30 
5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS I ...................................................................................................... 43 
6. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS II ..................................................................................................... 57 
 
 
 
 
3 
 
1. TRIGONOMETRIA DOS TRIÂNGULOS I 
Neste bloco, estudaremos a trigonometria nos triângulos, iniciando com a definição de 
triângulo e os tipos de triângulos, conforme medidas dos lados e dos ângulos internos. Ainda 
nesse bloco, abordamos o Teorema de Pitágoras, que assume um papel importante em cálculo 
de lados de triângulos retângulos. 
A trigonometria é apresentada nesse momento com as razões de seno, cosseno e tangente, 
envolvendo o triângulo retângulo, sendo uma ferramenta preciosa para determinar medidas 
de lados entre outros segmentos envolvendo o triângulo estudado. 
 
1.1 Triângulo retângulo: conceito, elementos e Teorema de Pitágoras 
Triângulos 
Qualquer polígono que possui 3 lados, 3 vértices e 3 ângulos internos, é chamado de triângulo. 
Triângulo ABC é escaleno, pois os três lados AB, AC e BC possuem medidas diferentes. 
 
Triângulo DEF é isósceles, pois os lados DE e DF são congruentes. 
 
Triângulo GHI é equilátero, pois os lados GH, GI e HI são congruentes. 
 
Triângulo acutângulo possui três três ângulos (internos) agudos. 
Triângulo obtusângulo possui um ângulo (interno) obtuso e dois agudos. 
Triângulo retângulo possui um ângulo (interno) reto e dois agudos. 
1 
 
 
 
4 
 
 
Ao somar as medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo o resultado é 180°. 
Será que existe triângulo retângulo que pode ser equilátero? Reflita! 
Elementos do triângulo retângulo 
Consideremos o ∆ABC retângulo em A e o segmento AD perpendicular ao lado BC, com D em 
BC. Ficam definidos os seguintes elementos do ∆ABC: 
 
Repare que os ângulos j + k + 90° = 180°. 
 
 
Como os três triângulos têm todos os ângulos congruentes, pelo caso AA temos: 
DACDBAABC ∆∆∆ ~~ 
As relações métricas 
 
 
 
5 
 
mac
c
m
a
c
BA
DB
BC
AB .²)1( =⇒=⇒= 
cbha
b
h
a
c
AC
DA
BC
AB ..)2( =⇒=⇒= 
nab
b
n
a
b
AC
DC
BC
AC .²)3( =⇒=⇒= 
nmh
h
n
m
h
DA
DC
DB
DA .²)4( =⇒=⇒= 
 
Teorema de Pitágoras 
Consideremos o triângulo a seguir com as informações: 
 
 
mac
c
m
a
c
BA
DB
BC
AB .²)1( =⇒=⇒= 
nab
b
n
a
b
AC
DC
BC
AC .²)3( =⇒=⇒= 
 
 
Ao realizar a soma das duas relações métricas, (1) e (3) temos: 
c² = a.m e b² = a.n 
c² + b² = a.m + a.n  c² + b² = a (m + n)  c² + b² = a . a  c² + b² = a² (Teorema de Pitágoras) 
Sendo assim, para qualquer triângulo retângulo onde a é a hipotenusa, b e c são os catetos 
temos: 
a² = b² + c² 
 
 
 
6 
 
Aplicação 
Explicação: Uma torre de televisão de 30 m de altura vai ser sustentada por três cabos de 
mesmo comprimento. Os cabos serão presos na torre a 12 m de altura e os três ganchos no 
solo para prender os cabos estarão a 6 m da base da torre. Quantos metros de cabo serão 
necessários para sustentação da torre? 
Resolução: 
Fazendo uma ilustração é possível entender que utilizando o Teorema de Pitágoras podemos 
determinar a medida do cabo. 
 
A medida x do cabo representa a hipotenusa, dessa forma: 
x² = 12 ² + 5²  x² = 144 + 25  x² = 169 
13169 =⇒= xx 
Como cada cabo mede 13 m, serão necessários 3. 13 = 39 metros de cabo. 
 
1.2 Razões trigonométricasno triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente 
Seno de um ângulo 
Consideremos o ∆ABC retângulo em A: 
 
 
 
 
7 
 
A razão seno de um ângulo é: 
a
b
hipotenusa
xaopostocatetosenx == 
a
c
hipotenusa
yaopostocatetoseny == 
Exemplo: 
Apresente o valor de sen x no caso a seguir: 
 
 
 
Para determinar o valor de sen x precisamos do cateto oposto ao ângulo x. Nesse caso é 
necessário recorrer ao Teorema de Pitágoras. 
 
 
 
15² = z² + 12² 
 225 = z² + 144  z² = 225 – 144  981 =⇒= zz 
Sendo z = 9 m, podemos determinar o valor de sen x: 
6,0
5
3
15
9
====
m
m
hipotenusa
xaopostocatetosenx 
 
 
 
 
8 
 
Cosseno de um ângulo 
Consideremos o ∆ABC retângulo em A: 
 
A razão cosseno de um ângulo é: 
a
c
hipotenusa
xaadjacentecatetox ==cos 
a
b
hipotenusa
yaadjacentecatetoy ==cos 
Exemplo: 
Apresente o valor de cos x no caso a seguir: 
 
Para determinar o valor de cos x precisamos do cateto adjacente ao ângulo x. Nesse caso, é 
necessário recorrer ao Teorema de Pitágoras. 
 
25² = z² + 15² 
 625 = z² + 225  z² = 625 - 225  20400 =⇒= zz 
Sendo z = 20 cm, podemos determinar o valor de cos x: 
 
 
 
9 
 
8,0
5
4
25
20cos ====
hipotenusa
xaadjacentecatetox 
 
Tangente de um ângulo 
Consideremos o ∆ABC retângulo em A: 
 
A razão tangente de um ângulo é: 
c
b
xaadjacentecateto
xaopostocatetotgx == 
b
c
yaadjacentecateto
yaopostocatetotgy == 
Exemplo: 
Apresente o valor de tg x no caso a seguir: 
 
Para determinar o valor de tg x precisamos do cateto oposto ao ângulo x. Nesse caso, é 
necessário recorrer ao Teorema de Pitágoras. 
 
21² = z² + 17² 
 
 
 
10 
 
 441 = z² + 289  z² = 441 - 289  38.2152 =⇒= zz 
Conhecendo z podemos determinar o valor de tg x: 
17
38.2
==
xaadjacentecateto
xaopostocatetotgx 
 
1.3 Relações entre seno, cosseno e tangente 
Relação Fundamental do triângulo retângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a trigonometria dos triângulos, conhecendo os triângulos escalenos, 
isósceles, equiláteros, como os acutângulos, obtusângulos e os retângulos. Passamos pelo 
Teorema de Pitágoras e as razões trigonométricas, estudando seno, cosseno e tangente no 
triângulo retângulo. 
 
Referências 
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Curso de Matemática. São Paulo: Moderna, 1995. 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
SMOLE, K. C. S. Matemática. São Paulo: Saraiva, 1999. v. 1. 
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. Matemática Ensino Médio. São Paulo: Saraiva, 2003. v. 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
2. TRIGONOMETRIA DOS TRIÂNGULOS II 
Neste bloco, estudaremos a trigonometria nos triângulos, especificamente com seno, cosseno 
e tangente dos ângulos complementares. 
 Teremos a oportunidade de demonstrar os valores para seno, cosseno e tangente de ângulos 
fundamentais de 30°, 45° e 60°. 
Ampliando os estudos sobre trigonometria, passaremos pelas Leis dos Senos e Cossenos, 
existindo a possibilidade conhecer e determinar medidas e lados de diversos tipos de 
triângulos. 
 
2.1 Seno, cosseno e tangente dos ângulos complementares 
Seno e cosseno de ângulos complementares 
 
 
 
 
 
14 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
2.2 Razões trigonométricas de 30°, 45° e 60° 
Razões trigonométricas de 30° 
Consideremos o ∆ABC equilátero onde cada lado mede m. 
 
Para o segmento AH perpendicular a BC, temos BH = CH, pois H é ponto médio de BC. 
 
 
 
 
16 
 
Vamos determinar h em função de m. 
2
3
4
²3
4
²3²
4
²²²
2
²²
2 mhmhmhmmhmhm =⇒=⇔=⇔−=⇔




+= 
2
11.
2
230 ===°
m
m
m
m
sen 
2
31.
2
32
3
30cos ====°
m
m
m
m
m
h
 
3
3
3
3.
3
1
3.
2.
2
2
3
2230 =====°
m
m
m
m
h
m
tg 
 
Razões trigonométricas de 60° 
Consideremos o ∆ABC equilátero onde cada lado mede m. 
 
Para o segmento AH perpendiculara BC, temos BH = CH, pois H é ponto médio de BC. 
 
 
 
 
17 
 
Vamos determinar h em função de m. 
2
3
4
²3
4
²3²
4
²²²
2
²²
2 mhmhmhmmhmhm =⇒=⇔=⇔−=⇔




+= 
2
31.
2
32
3
60 ====°
m
m
m
m
m
hsen 
2
11.
2
260cos ===°
m
m
m
m
 
3
.
2.
2
3
2
2
3
60 ===°
m
m
m
m
tg 
Razões trigonométricas de 45° 
Consideremos o quadrado ABCD: 
 
Sendo d diagonal do quadrado, temos: 
 
Vamos determinar d em função de m. 
 
 
 
18 
 
2²2²2²²²² mdmdmdmmd =⇒=⇔=⇔+= 
2
2
2
2.
2
1
2
45 ====°
m
m
d
msen 
 
2
2
2
2.
2
1
2
45cos ====°
m
m
d
m
 
145 ==°
m
mtg 
 
2.3 Lei dos Senos e Lei dos Cossenos 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Lei do Senos 
 
 
Exemplo: 
Em um triângulo isósceles, a base mede 6 cm e o ângulo oposto à base mede 120°. Calcule a 
medida dos lados congruentes desse triângulo. 
 
 
Lei dos Cossenos 
 
 
 
 
20 
 
Exemplo: 
O desenho a seguir representa posições de três pessoas, João está no ponto A, Manoel está no 
ponto B e Nonato está no ponto C. Com as informações do desenho determine a distância 
entre João e Nonato? Trabalhe com 7,13 ≅ 
 
 
Resolução: 
 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos seno, cosseno e tangente de ângulos complementares, os valores das 
razões trigonométricas para os ângulos fundamentais de 30°, 45° e 60°. Para finalizar, 
estudamos as leis dos senos e cossenos para determinar medidas de lados em triângulos não 
retângulos. 
 
 
 
 
 
 
21 
 
Referências 
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Curso de Matemática. São Paulo: Moderna, 1995. 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
SMOLE, K. C. S. Matemática. São Paulo: Saraiva, 1999. v. 1. 
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. Matemática Ensino Médio. São Paulo: Saraiva, 2003. v. 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
3. TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
Neste bloco, estudaremos a trigonometria na circunferência, definindo dessa forma a 
circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico. 
Começamos nosso estudo falando sobre a circunferência, raio e arco, a medida e comprimento 
do arco em graus ou radianos, e menor determinação positiva de um arco. 
 
3.1 Arcos de circunferência 
Circunferência 
 
 
 
Arcos da circunferência 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 
 
Demonstração: 
 
 
 
 
24 
 
3.2 Medidas de arco e de ângulo central 
Medida do arco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
3.3. Circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico 
Circunferência unitária ou circunferência trigonométrica 
É circunferência orientada cujo raio é 1 unidade de comprimento e na qual o sentido positivo é 
o anti-horário. 
 
 
Abaixo temos a circunferência unitária de centro O, onde é possível associar ao sistema de 
coordenadas cartesianas ortogonais, onde o ponto A de coordenadas (1, 0) é a origem dos 
arcos AB, AA’ e AB’. 
 
 
Os eixos x e y dividem a circunferência unitária em quatro partes congruentes chamadas de 
quadrantes: 
 
 
 
 
27 
 
Arcos congruentes 
Dois arcos são congruentes quando suas medidas diferem de um múltiplo de 2π rad ou 360°. 
Exemplo: 
No desenho abaixo o arco AB mede 40°. 
 
 
Agora, procurando na mesma circunferência a extremidade do arco que possui a medida de 
400° vamos identificar que B é o ponto. 
 
 
Isso acontece, pois 400° = 360° + 40°, sendo uma volta completa mais 40°. 
Supondo que o ponto B se deslocasse k voltas inteiras, o número associado à extremidade B do 
arco AB seria escrito assim: 
Zkcomkouk ∈+°+° ,2.
9
2360.40 ππ 
 
 
 
 
28 
 
Menor determinação positiva 
Seja π20, 00 ≤≤∈ xRx , tal que: 0)( xAÔPm = 
Nesse caso, 0x é chamado de menor determinação positiva de AÔP’ se P’ ≡ P. 
 
Exemplos: 
1. Apresente a menor determinação positiva para .
3
7π
 
Resolução: 
3
2
33
6
3
7 πππππ +=+= 
Então o arco de 
3
7π
rad tem 
3
π
 como menor determinação positiva. 
2. Apresente a menor determinação positiva para o arco 
3
2π
− . 
Resolução: Localizando o arco indicado na circunferência temos: 
 
 
 
 
29 
 
Isso acontece pois o valor é negativo. 
 
Dessa forma, podemos afirmar que a menor determinação positiva para o arco 
3
2π
− é 
3
4π
. 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a circunferência trigonométrica, compreendendo o arco como parte 
da circunferência, onde a mesma possui medida e comprimento, sendo a medida angula igual 
ao ângulo central correspondente. Conhecemos a medida do arco por graus e radianos, e a 
menor determinação positiva do arco de circunferência. 
 
Referências 
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Curso de Matemática. São Paulo: Moderna, 1995. 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. 
SMOLE, K. C. S. Matemática. São Paulo: Saraiva, 1999. v. 1. 
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. Matemática Ensino Médio. São Paulo: Saraiva, 2003. v. 1. 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
4. TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA II 
Neste bloco, estudaremos a trigonometria na circunferência, conhecendo as relação 
trigonométricas, seno, cosseno e tangente de um arco. 
Teremos a oportunidade de estudar as relações fundamentais da trigonometria, os arcos 
notáveis e a redução ao primeiro quadrante, sendo dessa forma ferramentas importantes para 
solução problemas que envolvem a trigonometria. 
 
4.1 Seno, cosseno, tangente de um arco 
Seno na circunferência trigonométrica 
Consideremos P (a, b) um ponto da circunferência trigonométrica, ponto final do arco de 
medida α rad, definida a partir do número real α. 
 
 
 
Nessas condições, é possível definir que: 
bbsen ==
1
α (ordenada de P) 
 
Na circunferência trigonométrica o eixo vertical (das ordenadas) é chamado de eixo dos senos. 
Agora é possível entender que sen 0° = 0 e sen 90° = 1. 
 
 
 
31 
 
 
 
Cosseno na circunferência trigonométrica 
Consideremos P (a, b) um ponto da circunferência trigonométrica, ponto final do arco de 
medida α rad, definida a partir do número real α. 
 
 
Nessas condições, é possível definir que: 
aa ==
1
cosα (abscissa de P) 
 
Na circunferência trigonométrica o eixo horizontal (das abscissas) é chamado de eixo dos 
cossenos. 
 
Agora é possível entender que cos 0° = 1 e cos 90° = 0. 
 
 
 
32 
 
 
 
Tangente na circunferência trigonométrica 
Consideremos P (a, b) um ponto da circunferência trigonométrica, ponto final do arco de 
medida α rad, definida a partir do número real α. 
 
 
 
Nessas condições, é possível definir que: 
0cos,
cos
≠== α
α
αα
a
bsentg 
 
 
 
33 
 
 
 
Dessa forma é possível entender que α está em um quadrante se o ponto P, associado a ele, 
está nesse quadrante, temos: 
 
 1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante 
sen α + + - - 
cos α + - - + 
tg α + - + - 
 
 
4.2 Relações fundamentais 
 
 
 
 
 
 
34 
 
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
Relações decorrentes das fundamentais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
4.3 Arcos notáveis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
Eixo dos cossenos 
 
 
 
Eixo dos senos 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
Eixo tangente 
 
 
 
Fonte: https://pt.slideshare.net/con_seguir/arcos-notaveis 
 
 
 
39 
 
4.4 Redução ao primeiro quadrante 
 Arcos no 1º quadrante 
Conhecendo os valores de seno e cosseno do primeiro quadrante, fica simples e fácil 
identificar os demais valores da circunferência trigonométrica. 
Dessa forma: 
 
 
 
 
Arcos no 2º quadrante 
Para determinar o seno ou cosseno de um ângulo do 2º quadrante, basta compará-lo com o 
ângulo correspondente do 1º quadrante: 
 
1º quadrante 
 
 
 
40 
 
 
Para 0° ≤ x ≤ 90°, temos: 
sen (π – x) = sen x 
cos (π – x) = - cos x 
Exemplos: 
2
245)45180(135 =°=°−°=° sensensen 
2
3
333
2
==




 −=
ππππ sensensen 
2
245cos)45180cos(135cos −=°−=°−°=° 
2
1
3
cos
3
cos
3
2cos −=−=



 −=
ππππ 
 
Arcos no 3º quadrante 
Para determinar o seno ou cosseno de um ângulo do 3º quadrante, basta compará-lo com o 
ângulo correspondente do 1º quadrante: 
 
Para 0° ≤ x ≤ 90°, temos: 
sen (π + x) = - sen x 
 
 
 
41 
 
cos (π + x) = - cos x 
Exemplos: 
2
245)45180(225 −=°−=°+°=° sensensen 
2
3
333
4
−=−=




 +=
ππππ sensensen 
2
245cos)45180cos(225cos −=°−=°+°=° 
2
1
3
cos
3
cos
3
4cos −=−=




 +=
ππππ 
 
Arcos no 4º quadrante 
Para determinar o seno ou cosseno de um ângulo do 4º quadrante, basta compará-lo com o 
ângulo correspondente do 1º quadrante: 
 
 
Para 0° ≤ x ≤ 90°, temos: 
sen (2π – x) = - sen x 
cos (2π – x) = cos x 
Exemplos: 
 
 
 
42 
 
2
245)45360(315 −=°−=°−°=° sensensen 
2
3
33
2
3
5
−=−=




 −=
ππππ sensensen 
2
245cos)45360cos(315cos =°=°−°=° 
2
1
3
cos
3
2cos
3
5cos ==




 −=
ππππ 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a trigonometria na circunferência, trabalhando com seno, cosseno e 
tangente de um arco. Conhecemos as relações fundamentais da trigonometria, os arcos 
notáveis e a redução ao primeiro quadrante, dessa forma, sendo possível identificar os valores 
para seno, cosseno e tangente para qualquer medida de arco. 
 
Referências 
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Curso de Matemática. São Paulo: Moderna, 1995. 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. 
SMOLE, K. C. S. Matemática. São Paulo: Saraiva, 1999. v. 1. 
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. Matemática Ensino Médio. São Paulo: Saraiva, 2003. v. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS I 
Neste bloco, estudaremos as funções trigonométricas, conhecendo suas representações 
gráficas no plano cartesiano, como senoide e cossenoide, assim como as periodicidades das 
funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. 
 
5.1 Funções trigonométricas 
 
Função seno 
Função seno (sen) é a função, de R em R, que a todo número α associa a ordenada do ponto P, 
imagem de α no círculo trigonométrico. 
 
 
2
:
OPsen
RRsen
=
→
αα a
 
 
2OP é a medida algébrica do segmento 2OP quando o raio é tomado como unidade. 
Dizemos também que 2OP é o seno de AÔP ou do arco AP e indicamos: 
sen AÔP = senα = 2OP 
O eixo Oy passa a ser denominado eixo dos senos. 
O conjunto imagem da função seno é: [-1; 1]. 
 
 
 
44 
 
Gráfico da função seno 
 
y = sen(x) 
 
O gráfico da função seno é chamado de senoide. 
 
Função cosseno (cos) é a função, de R em R, que a todo número α associa a ordenada do 
ponto P, imagem de α no círculo trigonométrico. 
 
1cos
:cos
OP
RR
=
→
αα a
 
 
1OP é a medida algébrica do segmento 1OP quando o raio é tomado como unidade. 
Dizemos também que 1OP é o cosseno de AÔP ou do arco AP e indicamos: 
cos AÔP = cosα = 1OP 
O eixo Ox passa a ser denominado eixo dos cossenos. 
O conjunto imagem da função cosseno é: [-1; 1]. 
 
 
 
 
45 
 
Gráfico da função cosseno 
 
y = cos(x) 
 
 
O gráfico da função cosseno é chamado de cossenoide, que é uma senoide deslocada. 
 
 Função tangente 
A definição da função tangente de x para x Є R, desde que cosx ≠ 0, é dada por: 
0cos,
cos
≠= x
x
senxtgx 
 
Assim, o domínio D da função f definida por f(x) = tgx é dada por todos os x Є R tais que cosx ≠ 
0, isto é: 





 ∈+≠∈= ZkkxeRxxD ,
2
: ππ 
O conjunto imagem da função tangente é R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
Gráfico da função tangente 
 
 
 
 
 Função cotangente 
A definição da função cotangente de x para x Є R, desde que sen x ≠ 0, é dada por: 
0,coscot ≠= senx
senx
xgx 
 
Assim, o domínio D da função f definida por f(x) = cotgx é dada por todos os x Є R tais que sen 
x ≠ 0, isto é: 
{ }ZkkxeRxxD ∈≠∈= ,: π 
O conjunto imagem da função cotangente é R. 
 
 
 
 
 
47 
 
Gráfico da função tangente 
 
 
 
 
Função secante 
Definição 
Secante de x = )0cos(
cos
1sec ≠= xpara
x
x 
Sendo f a função definida por f(x) = sec x, temos: 
o domínio de f é 





 ∈+≠∈= ZkkxRxD ,
2
/ ππ 
 
 
 
 
48 
 
Gráfico da função secante 
 
 
O conjunto imagem da função secante é: R - ]-1; 1[. 
 
Função cossecante 
Definição 
Cossecante de x = )0(1cos ≠= senxpara
senx
ecx 
 
Sendo g a função definida por g(x) = cosec x, temos: 
 
o domínio de f é 
{ }ZkkxRxD ∈≠∈= ,/ π 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
Gráfico da função cossecante 
 
 
O conjunto imagem da função cossecante é: R - ]-1; 1[. 
 
5.2 Ciclo trigonométrico 
Vamos compreender os valores das funções trigonométricas trabalhando com o ciclo 
trigonométrico. 
 
 
 
 
50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
5.3 Periodicidade das funções trigonométricas 
Periodicidade da função seno 
y = sen(x) 
 
Observando o gráfico da função seno, é possível identificar que a função repete periodicamente seus 
valores nos intervalos ... [-2π, 0], [0, 2π], ... Sendo assim, podemos afirmar que a função seno é 
periódica de período 2π, isto é: 
f(x) = senx = sen (x + 2π) para todo x Є R. 
Sendo k Є R*, consideremos a função g(x) = sen(k.x), o período p da função g é dado por: 
k
p π2= . 
 Periodicidade da função cosseno 
y = cos(x) 
 
Observando o gráfico da função cosseno, é possível identificar que a função repete 
periodicamente seus valores nos intervalos ... [-2π, 0], [0, 2π], ... Sendo assim, podemos 
afirmar que a função cosseno é periódica de período 2π, isto é: 
f(x) = cosx = cos (x + 2π) para todo x Є R. 
Sendo k Є R*, consideremos a função g(x) = cos(k.x), o período p da função g é dado por: 
 
 
 
53 
 
k
p π2= . 
Periodicidade da função tangente 
y = tg (x) 
 
A função RDf →: dada por f(x) = tg (x) = tg (x + π) para todo x Є R, sendo assim periódica 
de período π. 
Sendo k Є R*, o período p da função g, definida por g(x) = tg (k.x) é dado por: 
k
p π= . 
 
Periodicidade da função cotangente 
 y = cotg (x) 
 
 
 
 
54 
 
A função RDf →: dada por f(x) = cotg (x) = cotg (x + π) para todo x Є R, sendo periódica de 
período π. 
Sendo k Є R*, o período p da função g, definida por g(x) = cotg (k.x) é dado por: 
k
p π= . 
 
Periodicidade da função secante 
 
 
 
Observando o gráfico da função secante, é possível identificar que a função repete 
periodicamente seus valores nos intervalos ... ]-3π/2, π/2[, ]π/2, 5π/2[, ... Sendo assim, 
podemos afirmar que a função secante é periódica de período 2π, isto é: 
 
f(x) = sec x = sec (x + 2π) para todo x Є R. 
 
Sendo k Є R*, consideremos a função g(x) = sec (k.x), o período p da função g é dado por: 
k
p π2= . 
 
 
 
55 
 
Periodicidade da função cossecante 
 
 
 
Observando o gráfico da função cossecante, é possível identificar que a função repete 
periodicamente seus valores nos intervalos ... ]-2π, 0[, ]0, 2π[, ... Sendo assim, podemos 
afirmar que a função cossecante é periódica de período 2π, isto é: 
 
f(x) = cosec x = cosec (x + 2π) para todo x Є R. 
 
Sendo k Є R*, consideremos a função g(x) = cosec (k.x), o período p da função g é dado por: 
k
p π2= . 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos as funções trigonométricas, seno, cosseno, tangente, cotangente, 
secante e cossecante, suas representações no plano cartesiano, as funções trigonométricas no 
ciclo, sendo possível determinar o valor de cada função referente à medida do arco, e 
finalizando com a periodicidade de cada função trigonométrica. 
 
 
 
 
 
56 
 
Referências 
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Curso de Matemática. São Paulo: Moderna, 1995. 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. 
SMOLE, K. C. S. Matemática. São Paulo: Saraiva, 1999. v. 1. 
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. Matemática Ensino Médio. São Paulo: Saraiva, 2003. v. 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
6. FUNÇÕESTRIGONOMÉTRICAS II 
Neste bloco, estudaremos as transformações nas funções trigonométricas, sendo um 
momento oportuno para compreender as fórmulas de adição, subtração, do arco duplo e do 
arco metade. Será um momento de compreender a diferença de identidade para equação 
trigonométrica, sendo possível conhecer alguns exemplos e métodos para resolução de 
equação trigonométrica. 
 
6.1 Transformações trigonométricas 
Introdução 
 
 
Adição e subtração 
 
 
 
 
 
58 
 
Demonstração 
 
Identificando as coordenados dos pontos, temos: 
 
 
 
 
 
 
59 
 
Arco duplo 
 
Arco metade 
 
Transformação em produto 
 
 
 
 
 
60 
 
6.2 Equações trigonométricas 
Identidades trigonométricas 
Toda igualdade envolvendo funções trigonométricas que se verifica para todos os valores do 
domínio de tais funções é uma identidade trigonométrica. 
Exemplo: 
:,
2
,sec. temoskxparatgxxsenx ππ +≠= 
tgx
x
senxxsenx ==
cos
1.sec. 
Agora, a igualdade senx + cosx = 1 para x Є R, não é uma identidade, pois ela não é verdadeira 
para todo x Є R. Sendo assim uma equação trigonométrica. 
Equações resolvidas com alguns artifícios 
Toda equação possui o sinal de igual que indica a igualdade entre dois membros, existindo no 
mínimo uma incógnita. Na equação trigonométrica não é diferente, existindo assim, as 
relações trigonométricas. 
Alguns exemplos simples: 
Determine x nos casos: 
a) Para 0 ≤ x ≤ 2π e 
2
1
=senx 
2
1
6
5
2
1
6
2
1
=
=
⇔=
π
π
sen
ou
sen
senx 
Por se tratar do intervalo indicado, temos como conjunto solução para equação: 
 





=∴
6
5;
6
ππS 
 
b) 
2
3cos =x 
Como nesse caso não foi informado intervalo para x, temos como universo U = R. 
 
 
 
61 
 
Estudando a circunferência trigonométrica podemos identificar que: 
 
2
3
6
11cos
6
cos == ππ . 
Então, os valores reais de x podem ser 
6
11,
6
ππ
 e todos os arcos côngruos a eles, ou seja, 
ππππ kxoukx 2
6
112
6
+=+= , com k Є Z. 





 ∈+=+=∈=∴ ZkcomkxoukxRxS ,2
6
112
6
: ππππ 
 
c) 12 =xsen 
Como 1
2
=
πsen , temos: 
ππ
ππ
ππ kx
k
xkx +=⇔
+
=⇔+=
42
2
22
2
2 





 ∈+=∈=∴ ZkcomkxRxS ππ
4
: 
 
d) 
2
3
3
cos =




 −
πx 
Observando a circunferência trigonométrica temos: 
2
3
6
cos =π no 1º quadrante e 
2
3
6
11cos =π no 2º quadrante. 
Dessa forma, desenvolvemos: 
 
 
 
 
 
62 
 









+=−
+=−
iikx
ou
ikx
πππ
πππ
2
6
11
3
2
63
 
 
 
ππππππππππ kxkxkxkxi 2
2
2
6
32
36
2
63
. +=⇔+=⇔++=⇔+=− 
 
Ou 
 
ππππππππππ kxkxkxkxii 2
6
2
6
132
36
112
6
11
3
. +=⇔+=⇔++=⇔+=− 





 ∈+=+=∈=∴ ZkcomkxoukxRxS ππππ 2
6
2
2
: 
 
Equações do tipo a . cos x + b . sen x = c 
Uma forma comum para resolver esse tipo de equação tipo é: 
1º) Obtém-se ²² bam += 
2º) Transforma: 
m
csenx
m
bx
m
acsenxbxa =+⇔=+ cos..cos. 
3º) Determina-se α, tal que αcos=
m
a
e αsen
m
b
= 
E assim, temos: 
 
 
 
63 
 
m
cx
m
csenxsenx
m
csenx
m
bx
m
acsenxbxa
=−⇔
=+⇔
=+⇔=+
)cos(
.cos.cos
cos..cos.
α
αα 
Exemplo 
Resolva a equação 1cos.3 −=+ xsenx 
Resolução 
24²1²3 ==+=m 
2
1cos
2
1.
2
31cos.3 −=+⇔−=+ xsenxxsenx 
Sendo 
3
πα = 
ππ
π
πππ
πππ
π
ππ
kx
ou
kx
kx
ou
kx
x
xsenxsenxsenxxsenx
2
3
5
)12(
2
3
4
3
2
3
2
3
2
1
3
cos
2
1cos.
3
cos.
32
1cos
2
1.
2
31cos.3
+=
+=
⇔
+=−
+=−
⇔−=




 −⇔
−=+⇔−=+⇔−=+
 





 ∈+=+=∈=∴ ZkcomkxoukxRxS πππ 2
3
5)12(: 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos transformações trigonométricas, passando pela adição, subtração, 
arco metade e arco duplo, como a transformação em produto. Concluímos com as equações 
trigonométricas, que deixa em destaque a importância em conhecer o ciclo trigonométrico 
para conseguir solucionar as equações trigonométricas. 
 
 
 
 
 
64 
 
Referências 
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Curso de Matemática. São Paulo: Moderna, 1995. 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. 
SMOLE, K. C. S. Matemática. São Paulo: Saraiva, 1999. v. 1. 
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. Matemática Ensino Médio. São Paulo: Saraiva, 2003. v. 1.