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2ª EDIÇÃO 
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Glaciete Jardim Zago 
Walter Antonio Sciani 
Trigonometria 
Conselho Editorial: 
Diretor Editorial: 
Diretor Comercial: 
Diretor de Publicidade: 
Conselho Editorial: 
Consultor Técnico: 
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Diagramação: 
Desenhos Técnicos: 
Revisão Interna: 
Finalização de Capa: 
Revisão Gramatical: 
Ano: 2002 2001 2000 1999 
Edição: 8 7 6 5 4 3 2 
Editora Érica Ltda. 
Antonio Marco Vicari Cipelli 
Paulo Roberto Alves 
Waldir João Sandrini 
Celso de Araujo, Eduardo Cesar Alves Cruz, 
Glaciete Jardim Zaga, Salomão Choueri Junior 
e Walter Antonio Sciani 
Wagner Sciani 
Rosana Arruda da Silva 
Érica Regina Pagano, Graziela M.L.Gonçalves e 
Rosana Ap. Alves Santos 
Pedro Paulo Vieira Herruzo 
Érica Regina Pagano e Rosana Arruda da Silva 
Maurício Scervianinas de França 
Marlene Teresa Santin Alves 
Copyright © 1997 da Editora Érica Ltda. 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 
Zaga, Glaciete Jardim 
Trigonometria/ Glaciete Jardim Zago, Walter Antonio 
Sciani. São Paulo: Érica, 1997. - (Coleção Estudo e Use, Série 
Matemática). 
Bibliografia. 
ISBN 85-7194-403-2 
1. Trigonometria. I. Sciani, Walter Antonio, 1956-
II. Título. III. Série. 
97-0713 
Índices para catálogo sistemático: 
1. Trigonometria 516.24 
CDD-516.24 
TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer 
meio ou processo, especialmente por sistemas gráficos, microfílmicos, fotográficos, reprográficos, 
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dos Direitos Autorais) . 
.... 
ERICA 
Editora Érica Ltda. 
Rua Jarinu, 594- Tatuapé - Cx. P. 14577 
CEP: 03306-000 - São Paulo - SP 
Fone: (011) 295-3066 - Fax: (011) 217-4060 
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Dedicatória 
Aos nossos pais: 
Orlando e Victorino, que em vida souberam semear a vibração do saber 
que nos levou a esta obra. 
Olga e Jandira com carinho. 
Glaciete e Walter 
Aos meus filhos Alexandre e Ariadne e ao meu marido Carlos, pela 
compreensão durante a elaboração deste trabalho. 
Glaciete 
À minha esposa Maria Isabel e ao meu filho João Paulo, com eterna 
gratidão. 
Walter 
Agradecimentos 
Aos professores: 
Cláudio Minoru Tamashiro 
Hideo Nakayama 
Issao Y amamoto 
Marcelo Aoki 
Nelson Kakuiti 
Rubens Nista 
Sheyla Villar Fredenhagem 
Toru Ueno 
Valdir Perruzzi 
e 
José Roberto Torelli, que sempre acreditaram em nosso trabalho. 
Os autores 
(J 
Objetivos 
1. Ensinar de um modo mais intuitivo e menos formal. 
2. Desenvolver as estruturas lógicas do pensamento. 
3. Aplicar o ensino matemático na resolução de problemas práticos. 
4. Colaborar com o desenvolvimento do raciocínio do aluno. 
5. Utilizar linguagem simples e direta na abordagem de cada assunto. 
6. Enfatizar o processo de construção de conceitos. 
tores 
... 
lndice 
Capítulo 1 - Trigonometria no Triângulo Retângulo ................................ 01 
1.1 - Introdução ........................................................................................ 01 
1.2 - Triângulos Retângulos ....................................................................... 02 
1.3 - Razões Trigonométricas .................................................................... 05 
1.4 - Tabela de Razões Trigonométricas .................................................... 13 
Capítulo 2 - Medidas de Arcos e Ângulos ................................................. 17 
2.1 - Arcos e Ângulos ................................................................................ 17 
2.2 - Medidas de Arcos e Ângulos ............................................................. 18 
2.3 - Ciclo Trigonométrico ........................................................................ 25 
2.4-Arcos Côngruos ................................................................................ 27 
2.5 - Menor Determinação Positiva ........................................................... 32 
Capítulo 3 - Seno e Cosseno ....................................................................... 37 
3.1 - Seno e Cosseno de um Arco ............................................................. 37 
3.2 - Valores Notáveis ............................................................................... 39 
3.3 - Pontos Extremos de Quadrantes ...................................................... .40 
3.4 - Sinal do Seno e do Cosseno ............................................................. 41 
3.5 - Relação Fundamental da Trigonometria ........................................... 42. 
Capítulo 4- Função Seno e Função Cosseno ........................................... 51 
4.1 - Função Seno ..................................................................................... 51 
4.2 - Considerações da Função Seno ........................................................ 53 
4.3 - Função Cosseno ............................................................................... 56 
4.4- Considerações da Função Cosseno ................................................... 58 
Capítulo 5 -Tangente e Cotangente ........................................................... 67 
5.1 - Tangente de um Arco ....................................................................... 67 
5.2 - Cotangente de um Arco .................................................................... 68 
5.3 - Pontos Extremos de Quadrantes .......................................................69 
5.4 - Valores Notáveis ............................................................................... 71 
Capítulo 6 - Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante .... 75 
6.1- Função Tangente .............................................................................. 75 
6.2 - Considerações sobre a Função Tangente .......................................... 77 ~ 
6.3 - Função Cotangente ........................................................................... 79 ~ 
6.4- Considerações sobre a Função Cotangente ...................................... 80 
6.5 - Função Secante e Função Cossecante .............................................. 81 
Capítulo 1 - Relações Trigonométricas ....................................................... 85 
7 .1 - Relações Principais ........................................................................... 85 
7.2 - Relações Decorrentes ........................................................................ 86 
Capítulo 8 - Redução e Identidades ............................................................ 93 
8.1 - Redução ao Primeiro Quadrante ....................................................... 93 
8.2 - Seno e Cosseno de Arcos Complementares ...................................... 96 
8.3 - Identidades ....................................................................................... 99 
Capítulo 9 - Transformações ..................................................................... 105 
9.1 - Seno e Cosseno da Soma ............................................................... 105 
9.2 - Tangente da Soma .......................................................................... 107 
9.3 - Seno, Cosseno e Tangente da Diferença ......................................... 109 
9. 4 - Multiplicação de Arcos .................................................................... 111 
9.5 - Transformação em Produto ............................................................ 114 
.. 67 Capítulo 10 - Equações Trigonométricas ................................................ 121 
.. 67 10.1- Equações Redutíveis a uma Equação do 2º Grau ......................... 121 
.. 68 10.2 - Equações Fatoráveis ..................................................................... 125 
.. 69 
.. 71 Capítulo 11 - Funções Trigonométricas Inversas ................................... 129 
11.1 - Função Arco Seno ........................................................................ 130 
.. 75 11.2 - Função Arco Cosseno ................................................................... 133 
.75 11.3- Função Arco Tangente .................................................................. 134 
.77 
· 79 Capítulo 12 - Triângulos Quaisquer ......................................................... 139 
.80 12.1- Lei dos Senos ................................................................................ 139 
.81 12.2 - Lei dos Cossenos .......................................................................... 142 
.85 Respostas ...................................................................................................... 149 
.85 
.86 
.93 
93 
96 
99 
05 
05 
07 
09 
11 
14 
1.1 - Introdução 
1.2 - Triângulos Retângulos 
1.3 - Razões Trigonométricas 
Capítulo 1 
1.4 - Tabela de Razões Trigonométricas 
Trigonometria no 
Triângulo Retângulo 
lntrodu~ão 
A Trigonometria tem suas raízes na Astronomia. 
Hiparco de Nicéia {109 a.C. - 125 a.C.), astrônomo grego, é 
considerado o "Pai da Trigonometria". Atribui-se a ele a construção de tabelas 
cujos valores relacionam arcos e comprimentos das cordas determinadas por 
esses arcos. As obras de Hiparco só foram conhecidas por meio dos trabalhos 
de Cláudio Ptolomeu (125 a.C.), o mais célebre astrônomo da Antiguidade. 
Baseado nos trabalhos de Hiparco, Ptolomeu apresenta uma obra clássica 
de astronomia até a época de Copérnico, chamada "Sintaxe do Mundo". 
Nesse livro, Ptolomeu mostra as leis que justificam os movimentos dos 
corpos celestes e um verdadeiro tratado de Trigonometria Retilínea e Esférica. 
A Sintaxe Matemática foi traduzida para o árabe como "Almagesto" que 
significa "Muito Grande". 
Foi com o matemático persa Nasir Eddir {1201 - 1274) que a 
Trigonometria passa a ser tratada como parte da Matemática, 
desvinculando-se da Astronomia. Já aparecem, nos trabalhos de Nasir, as 
seis funções trigonométricas e algumas técnicas para resolver problemas com 
triângulos. 
Trigonometria no Triângulo Retângulo 1 
Muitos nomes contribuíram para o desenvolvimento da Trigonometria tais 
como: Purback (1423 - 1463), Regiomontanus (1436 - 1476), Joachim 
Retico (1514 - 1575), François Viete {1540 - 1603) e Bartholomeus 
Petiscos (1561 - 1613) a quem devemos a palavra Trigonometria que significa 
"medida dos ângulos de um triângulo". 
1.2 Triângulos Retângulos 
Por simplicidade de linguagem, não distinguiremos ângulo (figura 
geométrica) de sua medida (valor numérico} e segmento (figura geométrica} da 
sua medida {valor numérico). 
2 
O triângulo ABC é retângulo em A. 
A 
Temos: 
• a: chama-se hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto}. 
• b e c: chamam-se catetos {lados que formam o ângulo reto}, b é o 
cateto oposto ao ângulo ~ ou cateto adjacente ao ângulo y e c é o 
cateto oposto ao ângulo y ou cateto adjacente ao ângulo ~. 
• ~ e y são ângulos complementares, isto é: 
~ + y = 90º 
a tais 
::him 
11eus 
nifica 
{Jura 
1) da 
éo 
éo 
Teorema de Pitágoras ( S80 a S10 a.C.) 
1 O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 
Demonstração 
Consideremos os quadrados ABCD de lado b + e e EFGH de lado a, 
como mostra a seguinte figura: 
A e 
Área do quadrado maior ABCD: 
Área do quadrado menor EFGH: 
Área de um triângulo: 
E b B 
AQ = (b + c)2 
A ª
2 
q 
A área do quadrado maior ABCD é igual à soma das áreas do quadrado 
menor EFGH, mais os quatros triângulos, isto é: 
1 
(b+c)2 =a2+4· 
2
bc 
b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc 
Então: 1 ª2 = b2 + c2 j 
Trigonometria no Triângulo Retângulo 3 
4 
Exercícios 
1. Calcule x em cada caso seguinte: 
a) b) 
0,3 
e) d) 
2 
2. Verifique se as medidas 7, 8 e 9 são de um triângulo retângulo. 
3. Deduzir a fórmula da altura de um triângulo equilátero de lado t. 
Solução: 
Aplicando o teorema de Pitágoras no 
triângulo hachurado, temos: 
2 3 2 2 2 e 2 e =>h =f --=>h =-=> 
4 4 
inc 
in 
::::i...c 
lS no 
=> 
4. Deduzir a fórmula da diagonal de um quadrado de lado .f.. 
5. O perímetro de um losango mede 20 cm e uma das diagonais mede Bem. 
Determine quanto mede a outra diagonal. 
1.3 Razões Trigonométricas 
____. 
Sobre o lado AB do ângulo agudo a, marquemos arbitrariamente os 
____. 
pontos B, Bl, B2, ... e tracemos por esses pontos perpendiculares ao lado AB que ____. 
encontram o lado AC nos pontos C, C1, C2, ... 
Teremos, assim, os triângulos ABC, AB1C1, AB2C2, ... semelhantes entre si. 
Então vamos escrever as seguintes proporções: 
ª BC B1C1 B2C2 1-) - = -- = -- = ... = k1 (constante) AC AC1 AC2 
A constante k1 assim obtida, chama-se seno do ângulo agudo a, e 
indicamos sena. 
AB AB AB 
2ll) - = --1 = --2 = ... = k2 (constante) AC AC1 AC2 
A constante k2 assim obtida, chama-se cosseno do ângulo agudo a, e 
indicamos cosa. 
Trigonometria no Triângulo Retângulo S 
BC BC BC 
3.!!) - = - 1- 1 = 2 2 = ... = k 3 (constante) AB AB1 AB2 
A constante k3 assim obtida, chama-se tangente do ângulo agudo ex, e 
indicamos tg ex. 
Assim, considerando o triângulo retângulo ABC da figura, temos as 
seguintes conclusões: 
6 
e 
b 
A c B 
Seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e a 
hipotenusa. 
sen p = cateto oposto a p = ~ 
hipotenusa a 
Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e a 
hipotenusa. 
cos p = cateto adjacente a P = ~ 
hipotenusa a 
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o 
cateto adjacente. 
tgp = cateto oposto a P = ~ 
cateto adjacente a p c 
[)a, e 
1os as 
Temos também:Note que: 
cateto oposto a y c 
seny= =-
hipotenusa a 
cateto adjacente a y b 
cosy= - -
hipotenusa a 
tg y = cateto oposto a y = ~ 
cateto adjacente a y b 
12) sen ~ = cos y e cos ~ = sen y 
Como ~ + y = 90º ~ y = 90º - ~ 
Isto equivale a dizer que o seno de ~ é igual ao cosseno do seu 
complementar, e o cosseno de ~ é igual ao seno do seu complementar, isto é: 
1 sen~ = cos (90º - ~) 1 e [CO"s ~ = sen (90º - ~) 1 
Exemplos: 
sen 30º = cos (90º - 30º) = cos 60º 
cos 25º = sen (90º - 25º) = sen 65º 
b 
22) sen~ = a = .!: . ª = .!: = tg~, isto é: 
cos~ ~ a c c 
a 
De modo análogo: tgy = sen y 
cosy 
tg~ = sen~ 
cos~ 
Trigonometria no Triângulo Retângulo 7 
Razões Trigonométricas de 60°, 30° e 4Sº 
Vamos obter as razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) dos 
ângulos de 60°, 30° e 45°, por serem usadas com freqüência. 
8 
1 !!) Ângulo de 60° 
Consideremos um triângulo equilátero de lado L 
f.J3 
o h -2- f.J3 1 .J3 .J3 
sen60 = =--=-- · - =- => sen60º f f 2 f 2 2 
f 
cos60º = _f_ 
f 
f .J3 
tg60º = ~ = + = f; . ~ = .J3 => 1 tg60º = .J3 j 
2 2 
2.!!) Ângulo de 30° 
) dos Como 30° e 60° são complementares, então: 
sen 30º = cos 60º = l. ==> 
2 1 sen30º = ~ 
J3 cos 30º = sen 60º = - ==> 
2 
J3 cos30º = -
2 
1 
tg 30º = sen 30º = 2 = l. . ~ = _1_ = J3 ==> 1 tg 30º = ,/333 
cos30º J3 2 J3 J3 3 _ 
2 
3.!!)Ângulo de 45° 
Consideremos um quadrado d lado l. 
o f f 1 1 .J2. .J2. 
sen45 =-=--=-=-·-=- ==> 
d f .J2. .J2. .J2. .J2. 2 
.J2. sen45º =-
2 
f .J2. 
cos45º = -= sen45° ==> cos45º = -
d 2 
tg45º = ; = 1 ==> 1 tg45º = 1 1 
Trigonometria no Triângulo Retângulo 9 
10 
Podemos resumir esses valores obtidos na seguinte tabela: 
a 30° 45° 60° 
1 J?. J3 sena - - -2 2 2 
J3 J?. 1 cosa - - -
2 2 2 
tga J3 1 J3 -
3 
Exercícios 
6. No triângulo retângulo ABC, calcule: 
e a) senp b) cosp 
e) tgp d) seny 
2 
e) cosy f) tgy 
A 1 B 
7. Calcule o seno, o cosseno e a tangente do menor ângulo agudo de um 
triângulo retângulo cujos catetos medem 12cm e 5cm. 
8. Um terreno possui forma triangular, em que o lado maior mede lOOm, o 
maior ângulo entre os lados é 90° e um dos outros dois ângulos é metade do 
outro. Calcule o lado menor desse triângulo. 
9. Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se 
a 3 metros de uma parede plana e vertical. Nesse instante, o Sol projeta a 
sombra do poste na parede. Essa sombra tem 17 metros. Se a altura do 
poste é 20 metros, calcule a inclinação dos raios solares em relação ao 
plano horizontal. 
! um 
m, o 
ledo 
ra-se 
~ta a 
a do 
:>ao 
1 O. Um arame de 18 metros de comprimento é esticado do nível do solo 
(suposto horizontal) ao topo de um poste vertical. Sabendo-se que o ângulo 
formado pelo arame com o solo é de 30°, calcule a altura do poste. 
11. Um triângulo retângulo tem a hipotenusa e um dos catetos medindo, 
respectivamente, 2.J3 cm e 3cm. Determine a medida do ângulo oposto ao 
cateto dado. 
12. Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um ângulo de 60°, uma torre na 
margem oposta. Quando ela se afasta 40m, esse ângulo é de 30°. Calcule a 
largura do rio. 
13. No triângulo ABC, têm-se BC = 20m e CF = 6,Sm. Determine AF e 
EB. 
e 
B 
14. Determine o valor x na figura. 
Trigonometria no Triângulo Retângulo 11 
12 
15. Na figura abaixo, BA é perpendicular a CA, MB = MC e AB = 12cm. 
Calcule a medida de AM . 
e 
B 
16. Um observador, no ponto O da figura abaixo, vê um prédio segundo um 
ângulo de 75°. Se esse observador está situado a uma distância de 12m do 
prédio e a 12m de altura do plano horizontal, calcule a altura do prédio. 
17. Sendo O o centro da circunferência de raio unitário, calcule a medida de BC . 
12cm. 
ido um 
.2m do 
io. 
BC. 
1.4 Tabela de Razões Trigonométricas 
O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo podem ser obtidos na 
seguinte tabela: 
Angulo sen cos tg Angulo sen cos tg 
tº n n17r, nnnno nm7r; ALO n 710"l 11 l'OOA7 1 (lQr;r; 
2º 00349 o 9994 00349 47° o 7314 o 6820 1 0724 
3º 00523 09986 00524 48° o 7431 o 6691 11106 
4º 00698 09976 00699 49° o 7547 o 6561 11504 
5º 00872 09962 00875 50° o 7660 o 6428 11918 
6º o 1045 09945 o 1051 51° o 7771 o 6293 12349 
7º o 1219 09925 o 1228 52° o 7880 o 6157 12799 
8º o 1392 09903 o 1405 53° o 7986 06018 13270 
9º o 1564 09877 o 1584 54° 08090 05878 13764 
10º o 1736 09848 o 1763 55° o 8192 05736 14281 
11º o 1908 o 9816 o 1944 56° o 8290 05592 14826 
12º 02079 o 9781 o 2126 57° o 8387 05446 1 5399 
13º 02250 o 9744 02309 58° 08480 05299 16003 
14° o 2419 o 9703 02493 59° 08572 05150 16643 
15° o 2588 09659 02679 60° 08660 05000 1 7321 
16° 02756 09613 02867 61° o 8746 04848 18040 
17° 02924 09563 03057 62° o 8829 04695 1 8807 
18° 03090 09511 03249 63° o 8910 04540 1 9626 
19° 03256 09455 03443 64° o 8988 04384 2 0503 
20º 03420 09397 03640 65° 09063 04226 21445 
21° 03584 09336 03839 66° 09135 04067 2 2460 
22° 03746 09272 04040 67° o 9205 03907 2 3559 
23° 03907 09205 04245 68° 09272 03746 2 4751 
24° 04067 o 9135 04452 69° 09336 03584 2 6051 
25° 04226 09063 04663 70° 09397 03420 2 7475 
26° 04384 08988 04877 71° 09455 03256 2 9042 
27º 04540 08910 o 5095 72° 09511 03090 3 0777 
28° 04695 o 8829 o 5317 73° 09563 o 2924 3 2709 
29° 04848 o 8746 05543 74° 09613 o 2756 3 4874 
30° 05000 o 8660 05774 75° 09659 02588 3 7321 
31° 05150 o 8572 06009 76° 09703 o 2419 40108 
32° 05299 08480 06249 77° 09744 o 2250 4,3315 
33° 05446 o 8387 06494 78° o 9781 o 2079 4 7046 
34° 05592 08290 06745 79° 09816 o 1908 51446 
35° o 5736 o 8192 07002 80° 09848 o 1736 5 6713 
36° o 5878 o 8090 o 7265 81° 09877 o 1564 6 3138 
37° o 6018 07986 o 7536 82° 09903 o 1392 71154 
38° o 6157 o 7880 o 7813 83° 09925 o 1219 81443 
39° 06293 o 7771 08098 84° 09945 o 1045 9 5144 
40° 06428 o 7660 08391 85° 09962 00872 11 4301 
41° 06561 o 7547 o 8693 86° 09976 00698 14 3007 
42º o 6691 o 7431 09004 87° 09986 00523 19 0811 
43° o 6820 o 7314 09325 88° 09994 o 0349 28 6363 
44° 06947 o 7193 09657 89° o 9998 o 0175 57 2900 
45° 0,7071 0,7071 1,0000 
Trigonometria no Triângulo Retângulo 13 
t4 
Exercícios 
18. Um foguete é lançado sob um ângulo de 84° com o plano horizontal. 
Sabendo que sua trajetória é uma reta, quando o foguete percorreu 
1000 metros, qual foi a altura atingida? 
19. Calcule o perímetro do quadrilatéro ABCD. 
20. Na figura, calcule a. ex. 
438,4 cm 
X 
ontal. 
:orreu Pense e Faça 
F1: Data Misteriosa 
O ano da invenção da imprensa por Guttenberg tem quatro 
algarismos. O algarismo das dezenas é metade do das unidades; o 
dos milhares é igual ao excesso do das centenas sobre o das dezenas; 
a soma dos quatro algarismos é 14, e, aumentando o número de 
4905, obtém-se o número escrito na ordem inversa. Ache essa data. 
Trigonometria no Triângulo Retângulo 15 
16 
Pense e Fa~a 
F 1 : Fumantes Poluidores 
A porcentagem de fumantes de uma cidade é 323. Se três em cada 
onze fumantes deixarem de fumar, o número de fumantes ficará 
reduzido a 12 800. 
Calcule: 
a) O número de fumantes da cidade. 
b) O número de habitantes da cidade. 
2.1 - Arcos e Ângulos 
2.2 - Medidas de Arcos e Ângulos 
2.3 - Ciclo Trigonométrico 
2.4 - Arcos Côngruos 
2.S - Menor Determinação Positiva 
~ 
Capítulo 2 
Medidas de Arcos e 
Ângulos 
2.1 1 Arcos e Angulos 
Dois pontos A e B de uma circunferência dividem-na em duas partes 
chamadas arcos de circunferência ou simplesmente arcos. 
º· º· 
Os pontos A e B chamam-se extremidades desses arcos. Indica-se o arco 
~ ~ 
de extremidade A e B por AB ou BA. 
Se os pontos A e B coincidem, temos dois are os: 
• arco nulo (um ponto). 
• arco de uma volta (a circunferência). 
º· A=B A=B 
arco nulo arco de uma volta 
Medidas de Arcos e Ângulos 17 
1 
Ângulo Associado a um Arco 
,,,,.......__ 
A todo arco AB de uma circunferência podemos associar um ângulo central 
(ângulo que possui o vértice no centro da circunferência) cujos lados contêm os 
pontos A e B, e vice-versa. 
A ,,,,.......__ 
AOB é o ângulo central associado aoarco AB. 
Podemos, então, associar a cada arco unitário um ângulo central e,. 
considerando tal ângulo como unitário, podemos dizer que são iguais as medidas 
do arco e do ângulo central que o determinam. 
A 
2.2 Medidas de Arcos e Anguf os 
Para medir arcos e ângulos, usaremos duas unidades de medida: grau e 
radiano. 
1 
Grau é a medida do arco, cujo comprimento é igual a da 
360 
circunferência que contém esse arco. 
18 
1 
mtral 
mos 
li e, 
lidas 
lU e 
Subdivisões do Grau 
Minuto('): é o arco que corresponde a 6~ do grau. 
1'=_!_1° => 1º=60' 
60 
Segundo("): é o arco que corresponde a ;
0 
do minuto. 
Temos, então: 
RADIANO 
l"=_!_l' => l'= 60" 
60 
1o=60' = 3600" 
É a medida do arco cujo comprimento é igual ao raio da 
circunferência que contém esse arco. 
Medidas de Arcos e Ângulos 19 
Medida de um Arco em R~dianos 
,,,,......,_ 
m{Ae)=lrad 
B 
A medida a de um arco AB de comprimento !, em radianos é o número 
que indica quantas vezes um arco de comprimento igual ao raio está contido no 
arco a ser medido. 
o 
(a em radianos) 
Lembrando que o comprimento de uma circunferência é 2m, a medida da 
circunferência (arco de uma volta) é: 
2m 
a=-= 2mad 
r 
Assim: 
1 360° = 2mad 1 
A tabela seguinte mostra os arcos obtidos pela divisão da circunferência em 
quatro partes iguais: 
20 
número 
itido no 
lida da 
:ia em 
Exercícios 
" I 
.. -
I 
1 
\ 
\ / ' ,, .... __ .,,. 
\ 
\ / ' .... __ .,"' 
21. Converta 120° em radianos. 
Solução: 
Grau(º) 
90° 
180° 
270° 
360° 
Podemos fazer a seguinte regra de três: 
j 180° --7trad 
120° --x 
então: 
X 120 120·7t 27t 
- = - => x = -- => x = -rad 
7t 180 180 3 
Radiano(rad) 
7t 
2 
7t 
37t 
2 
27t 
Medidas de Arcos e Ângulos 21 
22. 
7rt 
Converta 6 rad em graus. 
Solução: 
Como rtrad = 180°, então: 
7 rc rad = '!.... · 180° = 210° 
6 6 
23. Converta em radianos: 
a) 15° b) 30° e) 36° 
d) 45° e) 50° f) 60° 
g) 75° h) 135° i) 150° 
j) 160° k) 225° 1) 300° 
24. Converta em graus: 
a) 
1t 1t 1t 
-rad b) -rad e) 9 rad 15 30 
d) 
5rt 4rt f) llrt rad -rad e) 3 rad 18 6 
8rt h) 7rc rad º) 7rt d g) -rad 1 -ra 
9 12 4 
º) 16rt d k) lOrt rad 5rc J -ra 1) 3 rad 9 9 
25. Quantos minutos possui um arco de: 
a) 45° b) 25°18' e) 38°49' 
26. Quantos segundos possui um arco de: 
a) 3° b) 2°7' e) 1°58'43" 
22 
. 
27. Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 
10h15min. 
Solução: 
Em uma hora, o ponteiro das horas percorre um ângulo de 30°, isto é, _!__de 
12 
360°, então: 
60 min ---- 30° X 15 
=> - = - => X = 7°30' 
30 60 15min----x 
como ex + x = 150°, temos: 
ex= 150°-x 
ex = 150° - 7°30' => ex= 142°30' 
28. Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando 
marca: 
a) 9h15min b) 12h15min e) 3h40min 
29. Determine o ângulo formado pelos ponteiros de um relógio à lh12min. 
30. É uma hora da tarde. Em que instante o ponteiro dos minutos coincidirá com 
o ponteiro das horas pela primeira vez? 
31. Na figi.lra, têm-se cinco arcos de circunferências concêntricas e igualmente 
espaçados entre si. Sabendo-se que a soma dos comprimentos desses arcos é 
igual ao comprimento da circunferência maior, determine a medida do 
ângulo central comum a todas as circunferências. 
Medidas de Arcos e Ângulos 23 
24 
32. Dois ciclistas percorrem, no mesmo sentido, uma pista circular de 50 metros 
de diâmetro. A cada volta, o primeiro percorre 2,5 m a mais do que o 
segundo. Supondo que mantenham o mesmo ritmo, após quantas voltas o 
primeiro ciclista terá percorrido 1 radiano a mais do que o segundo? 
33. Para calcular a circunferência terrestre, o sábio Eratóstenes valeu-se da 
distância conhecida de 800 km entre as localidades de Alexandria e Siena, 
no Egito (A e S respectivamente), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele 
sabia que quando em Siena os raios solares caíam verticalmente, em 
Alexandria eles faziam um ângulo de 7 ,2° com a vertical. Calcule, com esses 
dados, a circunferência terrestre, isto é, o comprimento de uma volta 
completa em tomo da Terra. 
34. Achar o valor aproximado em graus, minutos e segundos do arco de 
1 radiano. 
50 metros 
do que o 
as voltas o 
? 
aleu-se da 
ia e Siena, 
mastre. Ele 
nente, em 
com esses 
uma volta 
, arco de 
2.3 Ciclo Trigonométrico 
Chama-se ciclo trigonométrico toda circunferência que satisfaz as 
l !) O centro coincide com a origem do sistema cartesiano ortogonal. 
2!) O raio é unitário (r = 1). 
3!) O ponto A (1,0} é a origem dos arcos. 
4!) Os arcos são orientados da seguinte forma: 
• os percorridos no sentido anti-horário são considerados 
positivos. 
• os percorridos no sentido horário são considerados negativos. 
~ antl-hor4rlo ( +) 
A 
Os eixos do sistema cartesiano dividem o ciclo em quatro partes iguais que 
são chamadas quadrantes. 
Medidas de Arcos e Ângulos 2S 
7t 
Exemplos: 
No ciclo bigonomébico, temos os arcos de medida x associados ao ponto P. 
a) X 
7t 
2 
C) X= 7t 
p 
26 
A 
A 
7t b)x=--
2 
d) X =-7t 
A 
p 
A 
to P. 
A 
31t 
f) x=--
2 
O ponto P é a imagem do arco de medida x no ciclo. 
A 
A medida de um arco acompanhada do sinal + ou - (chama-se medida 
algébrica) e indica a sua orientação no ciclo trigonométrico. 
• Quando a medida é positiva o arco é marcado no sentido anti-
-horário. 
• Quando a medida é negativa o arco é marcado no sentido horário. 
2.4 Arcos Côngruos 
A medida de um arco pode ser maior que 21t (360°). Um arco de 400° é o 
arco de uma volta completa (360°) mais um arco de 40°. 
Medidas de Arcos e Ângulos 27 
Arcos que possuem a mesma extremidade são chamados arcos côngruos. 
Os arcos de 45° e -315° são côngruos. 
45º•-315° 
A diferença entre as medidas de dois arcos côngruos é um múltiplo de 2n 
ou 360°. 
Assim: 
45° = -315° = 405° = 765° = ... 
Então, um arco possui infinitos outros côngruos a ele. 
,,-....... 
Dado um arco AP, interessa-nos apenas a posição da extremidade desse 
arco, independente do número de voltas dadas, isto é, as várias determinações de 
um mesmo arco trigonométrico. Para isso, consideramos sempre a menor 
determinação positiva desse arco. No exemplo, 45° é a menor determinação 
,,,......... 
positiva do arco AP. 
Então, podemos estabelecer uma expressão geral para os arcos côngruos. 
em graus: 1x=Xo+k·360º1 
em radianos: j x = Xo + 2kn j 
28 
•ngruos. 
lo de 2n 
le desse 
ições de 
menor 
rtinação 
puos. 
em que: 
• Xo é a menor determinação positiva do arco de medida x, sendo 
O< Xo ~ 2n. 
• ke"ll.. 
Do exemplo, a expressão geral do arco de 45° é: 
X = 45° + k · 360° 
Exercícios 
35. Localize no ciclo trigonométrico, os seguintes arcos: 
1t 
a) -
3 
Solução: 
1t 
a) -
3 
b) - 71t 
6 
~ = ~ · 1t ( ~ de meia circunferência) 
Para localizar este arco, devemos dividir em três partes iguais a semi-
-circunferência e considerar uma dessas partes, como mostra a figura. 
Medidas de Arcos e Ângulos 29 
30 
b) 71t 
6 
7rc 1 
-- =-TC--· TC 
6 6 (
meia circunferência + i de meia circunferência ] 
no sentido anti - horário 
Para localizar este arco, devemos dividir em seis partes iguais a semi-
circunferência e considerar uma dessas partes com a semicircunferência, 
como mostra a figura. 
-7n 
6 
36. Localize no ciclo trigonométrico, os seguintes arcos: 
a) 1t 31t 51t e 71t 
4' 4, 4 4 
1t 21t 41t 
b) - -
3' 3' 3 
51t 
e -
3 
37. Localize no ciclo trigonométrico, os seguintes arcos: 
51t 1t e) _ lbt a) -- b) --
3 4 6 
d) 51t e) 77t f) - 37t -- --
6 6 10 
38. O ciclo trigonométrico é dividido em três partes iguais pelos pontos A, P e Q, 
sendo A a origem dos arcos. Dê as expressões gerais dos arcos com 
extremidades nesses pontos. 
) Solução: 
:i. semi-
erência, A 
e t d 0 f A o ' 1 2 o t ' 27t t-omo a erça parte a circun erencia e - · 7t, 1s o e, - , en ao as menores 
3 3 
determinações positivas dos arcos com extremidades nos pontos P e Q são 
27t 47t 
respectivamente 3 e 3 . Assim, as expressões gerais dessesarcos para 
ke Z, são: 
A: X= 2k7t 
P: 
27t 
X= 3 + 2k7t 
47t 
Q: X= 3 + 2k7t 
39. Dê a expressão geral dos arcos cujas extremidades são os vértices do 
polígono regular nos seguintes casos: 
a) b) 
p 
A 
s 
Medidas de Arcos e Ângulos 31 
40. Dê a expressão geral da medida dos arcos com extremidades indicadas nos 
pontos das seguintes figuras: 
a) 
e) 
41. Localize no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos de medida x, cuja 
expressão geral para k E Zé: 
2.S 
1t 
a) X =-+2k7t 
4 
1t k7t 
e) x=-+-
4 2 
1t 
b) X =6+k7t 
d) X= 2k7t 
3 
Menor Determinação Positiva 
Processo Prático para Encontrar a Menor Determinação Positiva 
1~ caso: Arco positivo e medido em graus. Basta efetuar a divisão da 
medida do arco por 360°, sem cortar os zeros, e tomar o resto: 
Exemplo: 
Calcular a mdp {menor determinação positiva) do arco de 940°. 
32 
940° 1360° 
220 2 voltas 
ly-1 
mdp 
Assim, 9400 = 2200 
=> X = ~ + ,2{3~?~) 
mdp 2 voltas 
as nos 
t, cuja 
J 
lO da 
2.!! caso: Arco positivo e medido em radianos. Basta efetuar a divisão 
" da medida do arco por 7t, tirar a parte inteira e multiplicar por 2 7t. 
l97t 
Calcular mdp do arco de 3 rad 
19~ 
1 3 
1
: = ~ + 3 l ~ de volta + 3 voltas) 
Como 1 volta = 21t, temos: 
1 
X = - · 21t + 3 · 21t 
6 
X= 1t + 3 · 21t 
3 
. l97t 1t 
Assim: --rad = -rad 
3 3 
3.!! caso: Arco negativo e medido em graus. Basta a divisão por 360°, 
sem cortar os zeros, e tomar o replemento do resto da divisão. 
Exemplo: 
Calcular a mdp do arco de -2140°. 
2140° 1360° 
340° 5° 
Calculando o replemento do resto da divisão, temos 360º - 340° = 20° 
X = 20° + 5(360°) 
"-y-J ~ 
mdp 5 voltas 
Assim, -2140° = 20° 
Medidas de Arcos e Ângulos 33 
4!! caso: Arco é negativo e medido em radianos. Basta efetuar a 
divisão da medida do arco 2rr, tirar a parte inteira, multiplicar por 2rr e tomar o 
replemento. 
Exemplo: 
34 
231t 
Calcular mdp do arco de - -- rad 
7 
231t 
7 23rr 23 
--=--=- ==> 
21t 141t 14 
23 ~ 
9 1 
-=-+ 1 - de volta+ 1 volta 23 9 (9 ) 
14 14 14 
Como 1 volta = 2rr, temos: 
9 9rr 
-·21t=-
14 7 
Calculando o replemento desse arco, temos: 
21t - 91t = 51t 
7 7 
51t 
X =-+1·21t 
7 
. 231t 51t 
Assim: - -- rad = - rad 
7 7 
tuar a Exercícios 
mar o 
42. Encontre a menor determinação positiva (mdp) dos seguintes arcos, 
representando-os no ciclo trigonométrico. 
a) 800° b) 915° e) 5321° d) 7777° 
) 197t d f) 537t d ) 1987t d h) 24967t rad e -ra --ra g --ra 
2 4 5 7 
i) -620° j) -1313° k) -2111° 1) -3333° 
387t 657t 497t 3217t m) ---rad n) --rad o) --rad p) ---rad 
3 2 4 5 
43. Determine em que quadrante estão os seguintes arcos: 
a) 721° b)llllº e) 
327t rad 
3 
d) 867t rad 
5 
f) -1510° 
697t h) - 357t rad e) -830° g) --rad 
4 3 
Medidas de Arcos e Ângulos 3S 
36 
Pense e Fa~a 
Gastei tudo que tinha em quatro lojas. Em cada uma delas gastei um 
real a mais do que a metade do que tinha ao entrar nela. Quanto 
dinheiro eu tinha inicialmente? 
3.1 - Seno e Cosseno de um Arco 
3.2 - Valores Notáveis 
3.3 - Pontos Extremos de Quadrantes 
3.4 - Sinal do Seno e do Cosseno 
3.S - Relação Fundamental da 
Trigonometria 
Capítulo 3 
Seno 
e 
Cosseno 
3.1 Seno e Cosseno de um Arco 
,,-......, 
Consideremos no ciclo trigonométrico, um arco AP de medida a. 
Chama-se seno de a a ordenada do ponto P. 
Indicamos por: 
1 sena= y 1 
y 
A X 
Chama-se cosseno de a a abscissa do ponto P. 
Indicamos por: 
COS a= X 1 
Seno e Cosseno 37 
y 
A X 
Essas definições de seno e cosseno são compatíveis com as definições vistas 
anteriormente para um ângulo agudo no triângulo retângulo. 
De fato: 
y 
cateto oposto y 
~na= =-=y 
hipotenusa 1 
cateto adjacente x 
cosa= =-=x 
hipotenusa 1 
O eixo das abscissas é chamado eixo dos cossenos e o eixo das 
ordenadas é chamado eixo dos senos. 
38 
1istas 
, das 
3.2 Valores Notáveis 
Na tabela abaixo, temos os valores exatos do seno e do cosseno já vistos 
anteriormente. 
ex 30° 45° 60º 
1 J2 ../3 sen ex - -- --
2 2 2 
../3 J2 1 cos ex -- -- -
2 2 2 
Por simetria, obtemos os demais valores do seno e cosseno representados 
no ciclo: 
seno 
1 90" 
0"=360" 
1 coneno 
Seno e Cosseno 39 
40 
Note, por exemplo, que: 
sen 30° = sen 150° cos 30° = cos 330° 
sen 135° = - sen 225° cos 135° = cos 225° 
Pontos Extremos de Quadrantes 
A seguir, temos o cosseno e o seno de ; , 1t, 
3
2
1t e 21t. 
1t 1t 
cos - = O e sen 1 cos 1t -1 e sen n = O 
2 2 
3n 
cos -=o 
2 
31t 
e sen = -1 
2 
cos O = cos 2n = 1 
sen O = sen 2n = O 
(1,0) 
Varia~ões do Seno e do Cosseno 
Como mostram as figuras anteriores, o valor mínimo do seno de um arco é 
-1 e o valor máximo é 1, isto é, para todo x e [0, 2rr]. Tem-se 
-1 s sen x s 1 
Analogamente: 
1-1 S COS X S 1 1 
3.4 Sinal do Seno e do Cosseno 
Em cada quadrante, os valores do sen a e cos a possuem sinal positivo ou 
negativo, de acordo com as coordenadas da extremidade do arco. 
Sinais do Seno Sinais do Cosseno 
+ 
Seno e Coueno 41 
3.S Relação Fundamental da Trigonometria 
~ 
Consideremos no ciclo trigonométrico, um arco AP de medida a. 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OPQ, temos: 
y 
X sen
2 a + cos2 a = 1 J 
Qualquer que seja a posição de P no ciclo trigonométrico, esta relação é 
válida. 
42 
Então: 
sen2 x = 1- cos2 x e sen x = ±~1- cos2 x 
cos 2 x=l-sen 2 x e cosx=±~l-sen2 x 
Exercícios 
44. No ciclo trigonométrico seguinte, tem-se sen a. = 0,8. Determine: 
a) sen a, sen ~ e sen cr 
b) cos a, cos a., cos ~ e cos y a ---' \ \ 
\ 
\ 
\ I 
\ I 
o é 
Solução: 
y 
X 
y 
X 
a) Como ex e a são representados por 
pontos simétricos em relação ao eixo y, 
então: 
sen a = sen ex = OM = 0,8 
p e y são representados por pontos cuja 
ordenada é oposta à de M, então: 
sen p = - sen ex = - sen a = OM' = - 0,8 
b) Aplicando Pitágoras no triângulo 
hachurado, temos: 
cos2a+ (0,8) 2 = 12 =>cosa= 0,6 
Sendo a e y representados por pontos 
simétricos em relação ao eixo x, então: 
cos y = cos a = ON = 0,6 
.. 
~ .~º·ª 
O.t.~N cosa 
Como ex e P são representados por pontos cuja abscissa é oposta à de a, 
então: 
cos p = cos ex = - cos a = ON' = - 0,6 
Seno e Cosseno 43 
44 
45. No ciclo trigonométrico abaixo, temos cosa= .!. . Determine: 
2 
a) cos o:, cos ~ e cos y y 
b) sen a, sen o:, sen ~ e sen y 
X 
46. Determine o seno e o cosseno de: 
a) 8n b) 9n 
2 
e) 15n d) lln 
2 
e) 9n 
4 
f) 131t 
3 
) 23n g-
3 
h) 151t 
4 
i) 341t 
3 
º) 131t 
J -
6 
47. Determine o seno e o cosseno de: 
a) -2n b) 
1t 7n d) _ 17n 
3 
e) --
4 6 
48. Calcule o valor das expressões: 
3n n 
a) sen4n-2cos2+3sen2 
d) cos( 2n-; J 
e) sen-+cos-+cos -+-1t 1t (1t 1t} 
4 4 2 4 
49. Determinem para que se tenha sen x = 3m - 1 
Solução: 
Como -1 ~ sen x ~ 1, temos: 
-1 ~ 3m -1 ~ 1, resolvendo esta inequação vem: 
-1 + 1 ~ 3m ~ 1 + 1 
O~ 3m ~ 2 
o 2 
-~m~ => 
3 3 
2 
o~ m ~ 
3 
S = {m E IR 1 O ~ m ~ ~} 
3 
50. Determine os valores de m para que se tenha: 
a) sen x = 2m + 5 
e) sen x = 2 - m 
· 3m+2 
b) cosx = ---
3 
1-m 
d) cosx = --
2 
3 7t 
51. Sendo sen x = - e O < x < - , obtenha cos x. 
5 2 
Solução: 
Como x é um arco do primeiro quadrante, o cos x > O, então: 
cos x = ~1- sen2 x = ~1-(~)2 = ~1- 9 = {16 = ~ s 2s '/25 s 
52. Sendo sen x = -~ ex é um arco do 32 quadrante, calcule cos x. 
5 
1 7t 
53. Sendo cos x = -- e - < x < 7t, obtenha sen x. 
2 2 
Seno e Coueno 45 
46 
54. Sendo sen x = 
37t 
2 
< x < 27t, calcule o valor de 
y = cos2x - 5 cos x. 
55 S J2. . , . 1 . e cos x = S , quais os poss1ve1s va ores para sen x. 
56. Determine os números reais m e a que satisfazem simultaneamente 
sena= m -1 ecos a= ~1-m2 , para O< a< 27t. 
Solução: 
Como sen2 a+ cos2 a= 1, temos: 
=>-2m =-1 
1 
m=-
2 
Substituindo: 
1 
sena =--1 => 
2 
1 
sena=--
2 
l17t 
a=--e 
6 
./3 cosa=-
2 
57. Determine os números reais m e a que satisfazem simultaneamente 
sena= m-2 e cosa= m-3 para O< a< 27t. 
r de 
ente 
58. Sendosen x + cos x = a, calcule sen x · cos x. 
Solução: 
Elevando ambos os membros dessa igualdade ao quadrado, temos: 
{senx+cosxf =a2 => sen2 x+2senx cosx+cos2 x = a 2 
=> 2senxcosx=a2 -1 => 
ª2 -1 
senx·cosx =--
59. Sendo sen x - cos x =a, calcule 5 · sen x · cos x. 
1-J3 
60. Sendo sen x + cos x = --- , calcule sen x · cos x. 
2 
2 
=> 
61. Dado J3 sen x + cos x = J3, com O ~ x ~ 27t, calcule sen x ecos x. 
Solução: 
Isolando cos x na expressão, temos: 
cos x = J3 -J3 sen x e substituindo em 
sen2 x + cos2 x = 1, vem: 
~~x+3-6~nx+3~~x=l 
2sen2 x - 3 sen x + 1 = O. Fazendo sen x = a, temos: 
1 
a= -
2a
2 
- 3a + 1 = o< 2 
a=l 
1 
• paraa= -
2 
1 
sen x:;: -
2 
=> e COSX = 
• para a = 1 => ~en x = 1 e cos x = O 
+ J3 
- 2 
62. Dado sen x -../2. cos x = .J2., com O ~ x ~ 27t, calcule sen x e cos x: 
Seno e Cosseno 4 7 
48 
Pense e Faça 
F 4 : Reprodução Rápida 
Uma determinada espécie de alga se reproduz, dividindo-se em 2 a 
cada dia. Assim, no primeiro dia temos 1, no segundo 2, no terceiro 
4, no quarto 8, e assim por diante. Se, começando por uma dessas 
algas, precisamos de 30 dias para preencher determinado volume, 
em quanto tempo preencheremos o mesmo volume se começarmos 
com duas das referidas algas? 
Pense e Fa~a 
F s : Gaivotas 
Atualmente, 50% das gaivotas de certa região são brancas e 50% são 
cinzentas. Se a população da espécie branca aumentar 40% ao ano e 
da espécie cinzenta aumentar 80% ao ano, qual será, . 
aproximadamente, a porcentagem de gaivotas brancas daqui a dois 
anos? 
Seno e Cosseno 49 
Anotações 
50 
4.1 - Função Seno 
4.2 - Considerações da Função Seno 
4.3 - Função Cosseno 
4.4 - Considerações da Função Cosseno 
Capítulo 4 
Função Seno 
e 
Função Cosseno 
4.1 Fun~ão Seno 
Chama-se função seno de x, indica-se: y = sen x ou f(x) = sen x, a 
função f: JR ~ JR, que associa a cada arco de medida x o número real y = sen x. 
y 
senx 
o A X 
Gráfico 
Para O s x s 27t, temos os valores conhecidos para o sen x marcados no 
ciclo trigonométrico. 
Função Seno e Função Cosseno S1 
seno 
0=2!t 
o 
7tr/6 _______ :Y.? ---------- lltr/6 
Str/4 ___ :if.!fr --------- 7rr/4 
:::IF jfr - - - - - Sn:/3 
·l 31t 
T 
X 
o 
1t -
6 
1t 
-
4 
1t -
3 
1t -
2 
1t 
y=senx Pontos 
o (0, O) 
1 (~' ~) -2 
..J2 [X JZ) 
4' 2 2 
./3 [X J3J - 3' 2 2 
1 ( ~' 1) 
o (1t, 0) 
: 
Representando esses pontos no sistema cartesiano, obtemos o gráfico da 
função y = sen x. 
S2 
y 
l 
"'{312 
-YZ;2 
1/2 
!t !t 'Ít 
643 
1t 
2 
Zit 3"it 51t 
346 
7it Sit 4it 3it 
643 2 
-l -------------------------------------
-~ ----------------------------------------
--{"j/2 -------------------------------------------
-! 
X 
>da 
4.2 Considerações da Função Seno 
• Arcos côngruos possuem o mesmo seno, isto é, sen x = sen (x + 21t) = 
sen(x + 41t) = ... = sen (x + 2k1t), em que k e Z. Isto significa que a 
função seno repete seus valores a cada 21t, então o seu gráfico possui 
trechos que se repetem. 
Assim, dizemos que a função seno é uma função periódica de 
período 21t. 
V 
1 
• O gráfico da função seno chama-se senóide. 
• O domínio da função seno é D = R. 
41t X 
• O conjunto imagem da função seno é Im = {y e IR 1 -1 $; y $; 1} ou 
Im = [-1, 1]. 
• A função seno é crescente no 1 i;i e 4º quadrantes e decrescente no 2º 
e 3º quadrantes. 
• f {x) = O para x = lm, k e Z. 
• A função seno é positiva no 1 i;i e 2i;i quadrantes e negativa no 3i;i e 4i;i 
quadrantes. 
• A função seno é ímpar, isto é, sen x = -sen (-x). 
• Dizemos também que o período é o comprimento da onda e a 
ordenada máxima é chamada de amplitude. 
Função Seno e Função Cosseno 53 
Exercícios 
63. Construa o gráfico da função y = 1 + senx e dê o seu período e imagem. 
Solução: 
y = 1 + senx 
Deslocando a senóide (y = senx) uma unidade na vertical, temos: 
y 
p = 21t 
2 
lm =[O, 21 
1 
·l 
64. Construa os gráficos e dê o período e a imagem das seguintes funções: 
a) y = 2 + sen x b)y=-l+senx 
65. Construa o gráfico da função y = 2 senx e dê o seu período e imagem. 
Solução: 
Multiplicando por 2 as ordenadas de y = senx, temos: 
y 
p = 21t 
Im = [-2, 21 
S4 
66. Construa os gráficos das seguintes funções e dê o período e a imagem: 
a) y = 3 senx 1 b) y = - senx 
2 
6 7. Construa o gráfico da função y = sen ( x -i). 
Solução: 
Deslocando a senóide (y = senx) em ~ para a direita, temos: 
2 
y 
1 
-1 
5 x x 
p=---=2 
2 2 
Im = (-1,1) 
~ X 
68. Construa o gráfico das seguintes funções e dê seu período e imagem. 
b) y = sen (x+i) 
69. Construa o gráfico da função y = sen2x e dê seu período e sua imagem. 
Solução: 
y = sen 2x 
Seja2x = t ~ 
t 
o 
1t -
2 
1t 
31t -
2 
21t 
t -x = - , entao y = sen t. 
2 
X y = sent 
o o 
1t 
1 -
4 
1t o -
2 
3n 
-1 -
4 
1t o 
Função Seno e Função Cosseno SS 
1 
V 
p = 1t 
1 
Im = [-1, 1] 
ir ,,/2lt X 
,,•" ........... ____ ,,. 
o 
-1 
70. Construa os gráficos das seguintes funções, dê seu período e imagem. 
71. 
4.3 
a) y = sen4x 
X 
b) y = sen -
2 
Construa os gráficos das seguintes funções, dê o seu período e a imagem. 
a) y = -senx b) y = 1 + 2senx 
e) y = lsenxl d) y 1 + sen(x-~) 
e) y = 2 + 2sen ( x + ~) f) y = -1 + sen{2x - 1t) 
1 Função Cosseno 
Chama-se função cosseno de x, indica-se y = cosx ou f(x) = cosx, a 
·função f: IR ~ IR, que associa a cada arco de medida x, o número real y = cosx. 
V 
Oco•x A x 
56 
sx. 
Gráfico 
Para O :5: x :5: 21t, temos os valores conhecidos para o cosx marcados no 
ciclo trigonométrico. 
: ! -1/2 
:~: 
1 2 1 
7'/f/6 i : 
5'/f/4 1 : 
1 
41f/3 
1 'lf/2. 
o 112 ! : cosseno 
:.n:: 
1 2 1 
: 1 lllf/6 
1 1 
: 71f/4 
Slf/3 
X 
o 
1t -
6 
1t -
4 
1t -
3 
1t -
2 
1t 
: 
y = COS X Pontos 
1 (0, 1) 
J3 (X JS) - 6' 2 2 
J2. (X JZ) - 4' 2 2 
1 (~·~) -2 
o (~·º) 
-1 (1t, -1) 
Representando esses pontos no sistema cartesiano, obtemos o gráfico da 
função y = cosx. 
y 
-! 
-"'{if2 
-~12 
-1 
21t 31t Sit 
341) lt 
~ t ~ ! ! 
: : : 1 : : : 
-T--~-----•------r--r-
1 1 1 1 1 
----------------------- --L-----~-----..L-1 1 1 
-------------------------- -----;-----
21t X 
Função Seno e Função Cosseno 57 
S8 
4.4 Considerações da Função Cosseno 
• Arcos côngruos possuem o mesmo cosseno, isto é, cosx = cos (x + 27t) = 
= cos (x + 47t) = ... = cos(x + 2k7t), em que k E Z. Isto significa que a 
função cosseno repete os seus valores a cada 21t, então o seu gráfico 
possui trechos que se repetem. 
Assim, dizemos que a função cosseno é uma função periódica de 
período 21t. 
li 
pedodo=21t 
• O gráfico da função cosseno chama-se cossenóide. 
• O gráfico da função cosseno coincide com o gráfico da função seno 
deslocado de i à direita. Isto significa que cosx = sen ( x - ; } 
y 
• O domínio da função cosseno é D = R. 
• O conjunto imagem da função cosseno é lm= {y E IR 1 -1 ~ y ~ 1} 
ou Im = [-1, 1]. 
• A função cosseno é crescente no 3&? e 4Q quadrantes e decrescente 
no 12 e 22 quadrantes. 
de 
no 
• 
• 
• 
1t 
f (x) = O para x = "2 + kn, k E Z . 
A função cosseno é positiva no 12 e 42 quadrantes e negativa no 22 e 
32 quadrantes. 
A função cosseno é par, isto é, cos x = cos (-x) . 
Exercícios 
72. Construa o gráfico da função y = 1 + cosx, dê seu período e imagem. 
Solução: 
y=l+cosx 
Deslocando a cossenóide (y = cosx) uma unidade na vertical para cima, 
temos: 
y 
p = 27t 
2 
Im = [0,2] 
1 
·1 
73. Construa o gráfico, dê o período e a imagem das seguintes funções: 
a) y = -2 + cosx b) y = 3 + cosx 
74. Construa o gráfico da função y = 2cosx, dê seu período e imagem. 
Solução: 
Multiplicando por 2 as ordenadas de y = cosx, temos: 
Função Seno e Função Cosseno 59 
60 
y 
2 
1 
o 
-1 
-2 
1 
1 
1 
1 
1 
, ...... -1 
, 1 
/ 1 
, 1 
,' 1 
21t X 
p = 21t 
lm = [-2, 2] 
75. Construa o gráfico das funções, dê seu período e imagem. 
a) y = 3cosx b) y = -2cosx 
76. Construa o gráfico da função y = cos ( x + : ) , dê seu período e imagem. 
Solução: 
p = 27t 
y Im = [-1, 1]X 
77. Construa o gráfico das seguintes funções, dê seu período e imagem. 
a) y = COS (X -i) b) y = cos (x + 1t) 
78. Construa o gráfico da função y = cos i, dê seu período e imagem. 
Solução: 
p = 41t 
y 
Im = [-1, 1] 
......... , 
,, 1 
,, 1 
, 1 
,' 1 
o 
·l 
,2it 
1 
1 
' 
79. Construa o gráfico das seguintes funções, dê seu período e imagem. 
a) y = cos 2x b) y X cos -
4 
80. Construa os seguintes gráficos, dê o período e imagem. 
a) y = -cosx b) y = 1 + 2cosx 
e) y = Jcosxl d) y =-1 + cos( x+i) 
e) y = 2 + cos( x-i) f) y = -1 + cos(2x - n) 
81. Sendo a, b, e, d números reais, determine o período da função 
y = a + b sen (ex + d). 
Solução: 
Para que esta função complete um período, o arco ex + d deve variar de 
O a 2n. Temos, então: 
d 
cx+d=O ~ x= 
ex+ d= 2n ~ 
e 
2n-d 
X=--
C 
Função Seno e Fungão Cosseno 61 
62 
p = 21t-d -(-~)= 21t 
e e e 
~ 
logo:~ 
Tal conclusão também é válida para a função y a+ b cos (ex+ d). 
82. Determine o período das seguintes funções: 
a) y = 3 + 2 sen ( 3x - 1~) 
b) y = -5 cos ( ~+1t) 
Solução: 
a) y = 3 + 2 sen ( 3x - 1~) 
Como o coeficiente de x é 3, isto é, e = 3, então o período é p = ~1t . 
b) y= -Scos (~+1t) 
e f .. td - 1 ·, 1 ~ 'd' 21t4 orno o coe 1c1en e e x e 2" , isto e, e = 
2 
, entao o peno o e p = = 1t. 
83. Determine o período das funções: 
a) y = sen 6x 
e) y = 2 + cos 3x 
e) y = 3 + 5 cos( 2x-~) 
2 
b) y = 9 sen x 
d) y = 1 -2 cos(x+~) 
f) y = -4+/2. sen ( ~-1t) 
84. Dê o conjunto imagem das funções: 
a) y = 2 + COS X 
e) y = 1 + cosx 
e) y = 1 + sen 2x 
85. Resolva as equações: 
a) senx = 1 
Solução: 
a) senx = 1 
7t 
2 
X 
b)cosx=-1 
X 
o 
b) cosx = -1 
b) y = 3 - 2senx 
d) y = 3 1 sen x 1 
f) y = 1 + 2 1 cosxl 
e) senx =O 
Observando o ciclo trigonométrico, 
temos: 
1t 
X=-+ 2k1t 
2 
1t 
S = {x E IR 1 x = 2 + 2k1t, k E Z} 
Observando o ciclo trigonométrico, 
temos: 
X= 1t + 2k1t 
S = {x E IR 1 x = n+ 2k1t, k E Z} 
Função Seno e Função Cosseno 63 
64 
e) senx =O 
X 
o 
86. Resolva as equações: 
a) COS X= 1 
e) sen x = -1 
e)cos (x-~)=o 
g) sen ( x+~ )=-~ 
Observando o ciclo trigonométrico, 
temos: 
X = k7t 
S = {x E IR 1 x = k7t, k E Z} 
b) COS X= Ü 
d) sen 2x =O 
f)2cos (x-7t)=l 
h) 2 cos (x-~ )= "2 
87. Resolva as equações: 
) J3. 10 2 a sen x = z , no mterva o :s; x :s; 7t 
b) 2 cos x = 1, no intervalo O :s; x < 27t 
e) sen ( x -~) = ~ , no intervalo O :s; x :s; 7t 
d) 2 cos (x + 7t) = J3, no intervalo O :s; x :s; 47t 
Pense e Faça 
F 6 : Nem Lucro e Nem Prejuízo 
Uma loja vendeu duas motos por 99 mil reais. Na venda de uma, 
perdeu 10% e na venda de outra, ganhou 10%. Ficaram elas por 
elas, não é? 
Função Seno e Função Cosseno 6S 
66 
Pense e Fa~a 
F7: Dois Melões 
Dois melões da mesma espécie estão sendo vendidos. Um tem 60 cm 
de circunferência e outro 50 cm. O primeiro é uma vez e meia mais 
caro. 
Qual dos dois vale a pena comprar? 
(Extraído do liuro "Aprenda Matemática Brincando" - J. Perelmann) 
S.1 - Tangente de um Arco 
S.2 - Cotangente de um Arco 
S.3 - Pontos Extremos de Quadrantes 
S.4 - Valores Notáveis 
Capítulo S 
Tangente 
e 
Cotan ente 
S.1 Tangente de um Arco 
Consideremos no ciclo trigonométrico, um arco x -::/:. ; + kn e um eixo t com 
origem em A, paralelo e de mesmo sentido que o eixo y. Chama-se tangente de 
a a ordenada do ponto T, obtida pela intersecção da reta ÜP com o eixo t (eixo 
das tangentes). 
y 
T 
X 
B' 
Indicamos por: 
1 tga = AT 1 
Assim, a tangente de ex é a medida algébrica AT. 
Tangente e Cotangente 67 
! ~; 
j; 
! 
! 
t 
• Arcos com extremidades nos pontos B e B' (a. = · ~ + kn, k e 7Z..) não 
-possuem tangente, pois a reta OP que passa por esses pontos é 
paralela ao eixo t. 
• Podemos relacionar a tangente de um arco com o seno e o cosseno do 
mesmo. Assim: 
y 
S.2 
X 
~OAT-~OQP 
Então: 
tg a. 1 
--=--
sena. cosa. 
t 
sena. 
~ ga.=--
cosa. 
Esta expressão existe para cos a. -:t. O , 
7t 
isto é, a. :;t: 
2 
+ kn, k e 7Z... 
Cotangente de um Arco 
Consideremos no ciclo trigonométrico, um arco a. -:t. kn e um eixo s com 
origem em B, paralelo e de mesmo sentido que o eixo x. Chama-se cotangente 
-de a. a abscissa do ponto S, obtida pela intersecção da reta OP com o eixo s 
(eixo das cotangentes). 
y 
s 
A' X 
B' 
68 
Indicamos por: 
1 cotg a= ssl 
Assim, a cotangente de a é a medida algébrica BS. 
• Arcos com extremidades nos pontos A e A' ( a = k1t, k E Z) não possuem 
cotangente, pois a reta OS que passa por esses pontos é paralela ao 
eixos. 
• Relacionando a tangente de um arco com o cosseno e o seno do 
mesmo, pela semelhança dos triângulos OBS e OPQ, temos: 
S.3 Pontos Extremos de Quadrantes 
Para a tangente: 
y 
• 
1t 
a = 2 + k1t (pontos B e B'} não 
X existe tg a. 
• a= kn (pontos A e A'), tg a= O 
Tangente e Cotangente 69 
• 
' 
Para a cotangente: 
s 
A' 
B' 
• a = kn (pontos A e A') não existe cotg a. 
1t 
• a= - + kn (pontos B e B'), cotg a = O 
2 
Sinal da Tangente e da Cotangente 
Arcos situados no 1 Q e 3Q quadrantes possuem tangentes positivas, e arcos 
situados no 2Q e 4Q quadrantes possuem tangentes negativas. 
70 
p 
' 
y 
' ' ' o 
tga>O 
X 
X 
tga<O 
y 
Multiplicando tg a por cotg a, temos: 
~na cooa 1 1 tga· cotga=--·--=1 => tga· cotga=l 
cosa sena . . 
tga>O 
X 
X 
tga<O 
5 
Assim: 
1 
tga=--
cotga 
S.4 
ou 1 cotga=-
tga 
Valores Notáveis 
Tem os os valores notáveis para a tangente e para a cotangente dos 
1t 1 
7t 7t sen 6 2 1 J3 
• a=-=>tg-=--=-=-=-
6 6 cos~ J3 J3 3 
6 2 
cotg 1t =-
1
-= ~ = ~ =J3 
6 tg 1t -v3 -v3 
6 3 
1t J2 sen- -
• a=2:=>tg 7t =--4 = 7,. =1 
4 4 cos 1t "' 2 
4 2 
1t 1 1 
cotg-=--=-=1 
4 t 1t 1 
94 
1t J3 sen- -
• a=1t=>tg7t=--3= I =J3 
3 3 cos 1t -
3 2 
1t 1 1 J3 
cotg-=-=-=-
3 tg~ J3 3 
3 
Tangente e Cotangente 71 
t 
t 
Temos a tabela dos valores notáveis para o seno, cosseno, tangente e 
cotangente de um arco. 
1t 1t 1t 
a - - -
6 4 3 
1 .J2 J2, sena - -
2 2 2 
J2, .J2 1 cosa - - -
2 2 2 
tga 
J2, 
1 J2, -
3 
cotga J2, 1 J2, -
3 
Arcos situados no 12 e 32 quadrantes possuem cotangentes positivas, e 
arcos situados no 22 e 42 quadrantes possuem cotangentes negativas. 
y y 
X X 
li 
A X 
p 
72 
e 
e 
Resumindo, temos os sinais da tangente e da cotangente. 
Exercícios 
88. Dê o valor de: 
7t 
a) tg27-
4 
-
b) tg (-870º) 
y 
X 
7t 
e) cotg31-
6 d) cotg (-61-i) 
89. Sabendo que x é um arco do 3º quadrante e sen x =-~,calcule: 
5 
a) tg X b) cotg x 
J2 
90. Sendo tgx= - , calcule cotgx. 
5 
91. Sendo cosa. = 0,8, calcule sena.. tga.. 
92. Sabendo que 16 cos2x + 3 sen2x = 7, obtenha tgx. 
93. Resolva as equações: 
a) tgx = 1 b) cotgx = -1 e) tg {x - 7t) = J3 
d) tg2x =O e) cotgx =O f) cotg ( 2x -i) = O 
Tangente e Cotangente 73 
~· .. 
74 
Pense e Faça 
F 8: Etiquetas Trocadas 
Em um armazém, existem três caixas. Uma só contém maçãs, outra 
só pêras, e a outra, maçãs e pêras. Nenhuma das caixas está com a 
etiqueta correta. Quantas frutas, no mínimo, devem ser tiradas das 
caixas para que as etiquetas sejam colocadas corretamente? 
6.1 - Função Tangente 
6.2 - Considerações sobre a Função Tangente 
6.3 - Função Cotangente 
6.4 - Considerações sobre a Função Cotangente 
6.S - Função Secante e Função Cossecante 
Capítulo 6 
Funções Tangente, 
Cotangente, Secante 
e Cossecante 
6.1 Função Tangente 
Chama-se função tangente de x, indica-se y = tgx ou f (x) = tgx, a 
função f: D -7 IR, em que D = { x e IR 1 x * ~ + kn, k e :z} , que associa a cada 
arco de medida x, com x e D, o número real y tgx. 
y 
T 
tgx 
X 
tgx = AT 
Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 7S 
Gráfico 
Para O s x s 2n, temos os valores conhecidos para a tgx. 
X y = tgx Pontos 
o o (O, 0) 
1t J3 (X~) - -
6 3 6' 3 
y 
7t 1 [:. 1) -4 
1t J3 (;.JS) -3 
1t 
não existe - -
2 
X 
27t -/3 [~1t ,-~) -
3 
3n -1 [:: ,-1) -4 
Sn J3 (Sx _ ~J - --
6 3 6' 3 
1t o (1t, 0) 
: 
Representandoesses pontos no sistema cartesiano, obtemos o gráfico da 
função y = tgx. 
76 
a 
y 
2x 
-~ ----· ---------· 2t' '----!-----~--~--. 'T , , •• 
-1 -----------------J----- -- --------------------------:-----~--• • 1 
-f3' -----------------~----- -----------------------------1-----· 1 • 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 " 1 
1 1 
1 • 
• 1 
• 1 
1 1 
1 1 
1 1 
----perrooo= x •I 
6.2 Consideratões sobre a Funtão Tangente 
• O gráfico da função tangente chama-se tangentóide. 
• o domínio da função tangente é D = {X E IR 1 X '# ~ + k1t, k e z} . 
• O conjunto imagem da função tangente é Im = R. 
• A função tangente é crescente em IR. 
• A função tangente é periódica de período p = 1t. 
• A função tangente é positiva no l 2 e 32 quadrantes e negativa no 22 e 
42 quadrantes. 
• A função tangente é ímpar, isto é, tgx = -tg(-x). 
Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 77 
• 
,,, 
78 
Exercícios 
94. Determine o domínio e o período da função y = tg ( x - : ) . 
Solução: 
Fazendo x - 1t = a , então existe tg a se a -:F- 1t + kn, k e :Z. Então: 
4 2 
1t 1t 1t 1t 31t 
X---:F--+k7t ~X '#.-+-+k1t ~X '#.-+k1t 
4 2 2 4 4 
Assim, D = { x e IR 1 x '#. ~1t + kn, k e :Z} 
Para tga completar um período, devemos ter: 
1t 3n 1t n 3n 
-<<X<-~-<x--<-~ 
2 2 2 4 2 
1t 1t 3n n 3n 7n 
~-+-<x<-+-~-<x<-
2 4 2 4 4 4 
_ 7n (3n) Entao: p= 4 - 4 =1t 
95. Determine o domínio e o período das seguintes funções: 
a)y=tg(x+i) b)y=tg3x e) y = tg( 2x-:) 
96. Determine: 
a) tg 28n b) tg 17n ) t 
37n 
e g--
3 
d) tg 43n 
4 
4 37t 
97. Sendo tgx = - , 7t < x < - , calcule senx. 
3 2 
7t 
98. Dado tgx = 3, O < x < - , calcule cosx. 
2 
3tgx 7t 
99. Sendo --= 2, e O < x < - , calcule senx + cosx. 
1+ tgx 2 
6.3 Função Cotangente 
Chama-se função cotangente de x, indica-se y = cotgx ou f(x) = cotgx, 
a função f: D ~ IR, em que D = {x e IR lx '* kn, k e Z}, que associa a cada 
arco de medida x, com x e D, o número real y = cotgx. 
y 
X 
1 cotgx • BS 1 
De modo análogo à função tangente, temos o seguinte gráfico da função 
cotangente. 
Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 79 
80 
y 
6.4 Considerações sobre a Função Cotangente 
• O gráfico da função cotangente chama-se cotangentóide. 
• O domínio da função cotangente é D = {x E IR 1 x -::;:. k7t, k E Z}. 
· • O conjunto imagem da função cotangente é Im = R. 
• A função cotangente é decrescente em IR. 
• A função cotangente é periódica de período p = 7t. 
• A função cotangente é positiva no 1 º e 3º quadrantes e negativa no 
2º e 4º quadrantes. 
• A função cotangente é ímpar, isto é, cotg x = -cotg{-x). 
1 
6.S Função Secante e Função Cossecante 
............... 
Consideremos no ciclo trigonométrico, um arco AP de medida a. 
1t 
12) Chama-se secante de a, a * 
2 
+ k7t , k e Z, o inverso do cosseno 
de a. Indica-se: 
seca=-
1-1 cosa 
Sendo assim, a secante e o cosseno possuem os mesmos sinais. 
2.!!) Chama-se cossecante de a, a * k7t, k e Z, o inverso do seno de a. 
Indica-se: 
1 
cosseca=--
sena 
Sendo assim, a cossecante e o seno possuem os mesmos sinais. 
V 
T 
s 
X X 
seca= OTI 1 cosseca =OS 1 
Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 81 
• 1 
t 
• t 
82 
Gráfico da Função Secante: 
1 
1 
' 1 
' ' • 1 
1 
' • • • 1 
' 1 
1 
1 
1 
1 • 1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
' 
y 
1 ' 
~-----------~----
1 1 
----"-----------• f ,, 1 t , •, ' \ 1 
1 1 ' \ 1 \ 1 
\1 1 ' ' ' •' 
..JXJ\, 
1 \ 
1 ', :----::t 
' 1 
1 
1 
' 1 
1 
1 
1 
' 1 1 
1 
' 
,,-2iç :.li -iç,\ 
,/: 2 : \ 
, 1 ' ', 
~---~-----------t----1 1 
1 1 
1 1 
1 ' 1 1 
1 1 
' ' 1 ' 1 1 
1 ' ' ' 1 1 
' 
Gráfico da Função Cossecante: 
' 1 
1 
1 
1 
1 
' 1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
... ___ _ 
1 ,,. 
1 , 
1 , 
1 I 
i/ 
~· -2lt 2: 
1 1 
~-----------i----1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 
1 
1 
y 
' ' ' ' ' ' 1 1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 1 
----~-----------·----', : : ,, ... 
' ' ' , '\I : / 
21t ~· 2: 
• 1 
----+-----------~ 1 1 
• 1 
1 1 
• 1 
1 1 
• 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 ' 1 1 
1 1 
1 
1 
1 
Mf4--pedodo•2n: --•tof 
X 
Exercícios 
100. Determine o domínio e o período das seguintes funções: 
a) f(x) = cotg( x -~) 
b) f(x) = sec ( x - ; ) 
e) f(x) = cossec 2x 
101. Calcule o valor da expressão: 
3Jt 5Jt 
sec - + cossec 
4 6 
y=-------~ 
4Jt 
cotg3 
102. Resolva as equações: 
a) sec(x+ ~) =1 
b) 3sec x = 9 
e) cossec 4x = O 
Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 8 3 
84 
Pense e Fa~a 
F 9: As Torneiras Novamente 
Um tanque é abastecido por duas torneiras. Uma delas enche o 
tanque em 10 minutos e a outra, em 20 minutos. As duas juntas 
enchem o tanque em quantos minutos? 1 
7.1 - Relações Prineipais 
7.2 - Relações Decorrentes 
Capítulo 7 
Relações 
Trigonométricas 
7.1 Relagões Principais 
Sendo a um número real, temos as seguintes relações já vistas 
anteriormente. 
sen2 a + cos2a = 1 
t 
sena 
ga=--' 
cosa 
cosa 
cotga =--, 
sena 
1 
seca=--, 
cosa 
1 
cossec a = --, 
sena 
em queke Z 
Relações Trigonométricas 8S 
' 
t 
.. 
86 
7.2. 
sena 
Como tga=--
cosa 
1 
cotga=--
tga 
e 
Rela~ões Decorrentes 
cosa 
cotga=--, 
sena 
Dividindo os membros sen2 a + cos2a = 1 por cos2a, temos: 
sen2 a cos2 a 1 
--=-- + = --=--
cos2 a cos2 a cos2 a 
Dividindo os membros sen2 a + coSZa = 1 por sen2a, temos: 
sen2 a cos2 a 1 
--=--- + --=-- - --=--
sen2 a sen2 a sen2 a 
Resumindo, temos: 
1 
cotga=--
tga 
Das duas últimas relações, concluímos que a seca e a cosseca são 
hipotenusas dos triângulos abaixo hachurados. 
V 
cotga. ___ ... ___ .s 
s 
X 
X 
f 1+tg2 a = sec2 a1 
Exercícios 
103. Dado sen x = ~ , O < x < i, obtenha as demais funções trigonométricas. 
Solução: 
2 4 5 JS => cos x= 1--=- => cosx= ± 
9 9 3 
1t JS 
Como o < X < - => cos X > o => cos X = -
2 3 
2 
senx 3 2 2JS 
tgx=~= JS= JS=>tgx=5 
3 
Relações Trigonométricas 87 
104. 
105. 
106. 
107. 
108. 
109. 
110. 
88 
1 1 JS 
cot g x = -- = r.:: => cot g x = -
tgx 2-vS 2 
5 
1 1 3JS 
sec x = --= r.:: => sec x = --
cos X v5 5 
3 
1 1 3 
cossecx =--=-=> cossecx =-
senx 2 2 
3 
Dado cos x = - ~ , ~ < x < 7t, calcule as demais funções bigonométricas. 
5 2 
Sabendo que sec x = 3 e tg x < O, detennine sen x. 
Se tg x = JS, detennine sen2 x. 
Se x é um arco do 3!! quadrante e tg x = 1, detennine cos x. 
Se cos 9 = -3 7t < 9< 7t , detennine o valor de ~ 2 cot g9 + cossec 2 9 
J[O' 2 
sec x + cot g x 1 
Calcule o valor da expressão y = , sabendo que sen x = 
cosx+tgx 4 
e x é um arco do 22 quadrante. 
1 
Sendo cos x = - e x um arco do 12 quadrante, calcule o valor da 
2 
expressão: 
tg x · cossec x 
y=-----
secx -cosx 
1 
4 
da 
111. 
112. 
113. 
114. 
115. 
116. 
117. 
f3 
Sendo sen x = -2 e x um arco do 3º quadrante, calcule o valor de: 
senx l+cosx 
y= + . 
l+cosx senx 
_ 2tgx 3 
Calcule o valor da expressao E= 
2 
para cos x = -- e tg x <O. 
1-tg X 7 
Sabendo que sen x = ~ e x E [O,%] , calcule o valor numérico da 
- sen x · cossec 2x 
expressao: y = . 
sec 2 x · cot g x - cossec x · tg x 
5 
Sendo x um arco com extremidade no segundo quadrante e sec x = - - , 
3 
calcule o valor de 5 sen2x - 3 tgx. 
24 1-cosx 
Se sen x = - e sec x < O, calcule o valor de 
25 l+cosx 
S
. 
1
.f. _ cos3 x - 2 cos x + sec x 
1mp 1 1que a expressao y = 
2 cosx·sen x 
1 1 1 1 
Mostre que + + + é igual a 2. 
1 + sen 2 x 1 + cos 2 x 1 +sec 2 x 1 + cossec 2 x 
118. Sendo a um ângulo agudo e tg a = 2, quais os possíveis valores de sen a 
ecos a? 
Relações Trigonométricas 8 9 
90 
119. 
120. 
3 37t 
Se tgx = 4", 7t < x< 2 , calcule sen x. 
Determine m e x que satisfaçam simultaneamente: 
m-3 2 
senx =--e secx =--
2 m-1 
Solução: 
2 1 2 m-1 
Como: sec x = --~ --= --~ cos x = --
m -1 cosx m-1 2 
Sabendo que sen2x + cos2x = 1, temos: 
m-3 m-1 2 
( )2 ( )2 - 2- + - 2 - =l~m -4m+3=0~ {
m=l 
ou 
m=3 
la) Param= 1, não existe sec x. 
3-3 3-1 
2a) Para m = 3, temos sen x = -- = O e cos x = -- = 1, portanto2 2 
X = 2k7t, k E Z. 
121. Determinem ex que satisfaçam simultaneamente: 
1 2 
cosx=m-- e cossecx= ~ 
2 -v2m+l 
Pense e Fa~a 
f 10: Cálculo em Família 
Um pai, querendo encorajar seu filho à prática de cálculo, combina 
pagar-lhe por cada problema certo 8 saldos, mas retira-lhe 5 saldos 
por cada problema não resolvido ou errado. Depois de 26 
problemas, fazem as contas e o filho nada recebe e nada deve. 
Quantos problemas ele resolveu? 
Relações Trigonométricas 91 
92 
Pense e Faça 
f 11: Aposentado 
Uma escola tem 18 professores. Um deles se aposenta e é substituído 
por um professor de 22 anos. Com isso, a média das idades dos 
professores diminui de 2 anos. Qual é a idade do professor que se 
aposentou? 
1 
8.1 - Redução ao Primeiro Quadrante 
8.2 - Seno e Cosseno de Arcos 
Complementares 
8.3 - Identidades 
Capítulo 8 
Redu~ão e 
Identidades 
8.1 Redu~ão ao Primeiro Quadrante 
Reduzir um arco ao primeiro quadrante significa determinar um arco no 
primeiro quadrante cujas funções trigonométricas têm o mesmo valor absoluto. 
,,.......... 
Consideremos um arco AP de medida x no 1 º quadrante e as seguintes 
simetrias do ponto P: 
,,,-........ 
l!) em relação ao eixo Oy, temos o arco AQ de medida 7t - x no 2º 
quadrante. 
/"""'-.. 
2ª) em relação ao centro do ciclo, temos o arco AR de medida 7t + x no 3Q 
quadrante. 
,,,-...... 
3!) em relação ao eixo Ox, temos o arco AS de medida 27t - x no 4º 
quadrante. 
Assim, no ciclo trigonométrico, temos: 
Redução e Identidades 
1 
1 
que: 
94 
Observando as abscissas e as ordenadas dos pontos P, Q e R, é imediato 
sen (1t-x) = sen x 
sen (1t + x) = - sen x 
sen (2n;-x) = -sen x 
sen (- x) = - sen x 
Exercícios 
122. Reduza ao 1si quadrante: 
a) sen 1300 
e) sen 340" 
Solução: 
a) sen 1300 
COS (1t-X) = -COS X 
COS (n;+x) = - COS X 
COS (21t - X) = COS X 
COS (-X)= COS X 
b) cos 250º 
41t 
d) sec 3 
f) t 
111t 
cog-
6 
Como 130º é um arco do 2º quadrante, então: 
180 - x = 130º => x = 50°, assim: 
sen 130º = sen 50º 
b) cos 250º 
Como 2500 é um arco do 32 quadrante, então: 
180 + x = 250º => x = 70º, assim: 
cos 250º = -cos 70º 
lia to e) sen 340º 
Como 340º é um arco do 42 quadrante, então: 
360 - x = 340º ~ x = 20º, assim: 
sen 340º = - sen 20º 
41t 
d) sec-
3 
Como ~1t é um arco do 32 quadrante, então: 
41t 41t 1t . 
1t+x=-~ x=--1t~X =- assim: 
3 3 3' 
41t 
e) tgS 
1 
1t 
-cos-
3 
1t 
-sec-
3 
Como ~1t é um arco do 22 quadrante, então: 
41t 41t 1t ' 
n-x::-~ x=n--~ x=- assim: 
5 5 5' 
41t 1t 
4 sen- sen-5 
1t 
tg~= 5 =---='--- tg 5 41t 1t - - 5 
f) 
cos- -cos-
5 5 
111t 
cotg
6 
Como 
1 
!1t é um arco do 42 quadrante, então: 
Redução e Identidades 95 
117t l17t 7t . 
27t-x =-=> x =27t--=> x =- assim: 
6 6 6' 
l17t 7t 
11 cos- cos-
cotg~= 6 =--6 =-cotg~ 
6 ll7t 7t 6 
sen- sen-
6 6 
123. Reduza ao lQ quadrante: 
a) sen 145º b) cos 100º 
d) cos 196º e) sen 310º 
97t 47t 
g) senlO h) cos-
5 
º) 77t l97t J cos6 k) sen-10 
124. Reduza ao 12 quadrante: 
a) sec 160º 
67t 
e) tg-
5 
377t 
e) sec-
4 
g) sen (-10º) 
l07t 
b) cossec-
9 
l97t 
d) cotg-
10 
f) tg l 77t 
6 
h) cos (-40º) 
e) sen 235º 
f) cos 325º 
º) 57t 1 sen-
4 
57t 
1) cos-
3 
8. 2 Seno e Cosseno de Arcos Complementares 
Seja AP' um arco de medida x, 7t < x < 7t e um ponto Q do ciclo, 
4 2 
simétrico de P em relação à bissetriz do l 2 quadrante. 
96 
,, ___ _. Bissetriz do 
1.2 Quadrante 
.1!-x 
2 
Os triângulos O Q1Q e O P1P são congruentes. Assim: 
OQ1= OP1 =::} senx=cos(;-x) 
QQ1= PP1 =::} cosx=sen(;-x) 
sen x = cos (; - x) 
cos x = sen (; - x) 
Exemplos 
sen 60º = cos (90º 60º) = cos 30º 
cos 86º = sen (90º - 86º) = sen 4º 
3n 1 1 1 
sec-g= 37t = ( 3 )=--7t-
cos-8- sen ~ -
3
n sen 
8 
1t 
cossec8 
Redu~ão e Identidades 97 
98 
Exercícios 
125. Sendo sen 53º = 0,80, calcule cos 37º. 
126. Simplifique as seguintes expressões: 
127. 
128. 
129. 
a) Y = sen (<+x)· sen( ~ -x J 
cos (21t-x). cos {n-x) 
b) 
sen (n + x)· cotg (21t- x) 
y= 
cos (1t-x)· cossec (1t + x) 
sen{7t-x)·cos(~-x l 
e) y= (1-senx) senx·tg(7t+x)+2 J 
t (
1t) sen(n+x) gx·cos --x 
2 
1 
Sendo sen x = '3 , calcule o valor de: 
sen(i-x }sec(7t+x) 
tg (1t- x) 
sec (1t-x)·cos( ~-x J 
Sendo sec x = 2, calcule o valor de: ( 2} 
cossec x · cot g 1t + x · sen x 
Mostre que: 
n) Se <X, ~ e 'Y são medidas dos ângulos internos de um triângulo, então 
cos (<X + ~) = - cos 'Y· 
b) Se <X e ~ são medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, 
então sen <X= cos ~-
o 
8.3 Identidades 
Duas funções f(x) e g(x) são idênticas. Indica-se f(x) = g(x), se e somente se, 
a sentença f (x) = g(x) for verdadeira para todo x pertencente ao domínio de 
ambas as funções. 
São exemplos de identidades: 
• a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) 
• a3 + b3 = (a+ b)(a2 - ah+ b2) 
x2 -9 
• =X+ 3 
x-3 
• sen x = tg x . cos x 
Todas as relações que já foram vistas também são identidades, como por 
exemplo sen2x + cos2x = 1, que podem ser empregadas na demonstração de 
outras identidades. 
Podemos provar uma identidade pelos seguintes métodos: 
12 ) Partir de um dos membros e chegar ao outro. 
Prove a identidade: cos x + sen x · tg x = cossec x 
senx · secx 
Solução: 
j 12 membro 
senx 
cosx+senx--
cos2 x +sen2 x 1 
cos X - __ c=o=s=x;___ = --=C=OS=X:.::..__ = 
1 - 1 1 
senx· 
cosx 
1 
--=cossecx 
senx 
senx·-- senx·--
cosx cosx 
22 mem 
Redu~ão e Identidades 99 
100 
2!!) Transformar os dois membros separadamente numa mesma 
expressão. 
Prove a identidade: tg x - sen x = tg x · sen x 
tg x · sen x tg x + sen x 
Solução: 
lºmembro 
senx senx-senx cosx 
---senx 
tg x - sen x _ -"c'"""o""""s"""'x'---- = ------"c-=-os"""'x=----- = 
tgx. senx senx senxz --·senx 
cosx cosx 
= sen x - sen x cos x = sen x (1 - cos x) _ sen x (1 - cos x) _ 
sen2 x 1- cos2 x - (1 + cos x) (1- cos x) -
senx 
=----
(1 + cosx) 
j 22 membro 
senx sen2 x 
tgx · senx --·senx cosx cosx = = = tgx +senx senx senx +senx cosx --+senx 
cosx cosx 
sen2 x sen2 x senx 
------=----
senx +senxcosx sen x (1 + cos x) 1 + cos x 
na 3J!) Mostrar que a diferença entre os dois membros é igual a zero. 
1 cosx 
Prove a identidade: ---
senx 
Solução: 
senx 
l+cosx 
1-cosx senx _ (1-cosx)(l+cosx)-sen2 x _ 
senx l+cosx - senx(l+cosx) -
= (1- cos2 x )- sen 2 x = sen 2 x - sen 2 x = O 
senx(l+cosx) senx (1 + cosx) 
Exercícios 
130. Prove as seguintes identidades. 
a) 
senx+ 
l+secx 
X 
=senx 
b) (senx+cosx)2 =1+2senxcosx 
e) sec 2 x · cossec 2x = sec 2 x + cossec 2x 
d) sen4 x-cos4 x = 2sen 2 x -1 
e) 
f) 
g) 
sen3 x -cos3 x ------= sen x -cos x 
l+senxcosx 
cossec x - sec x ------= secx 
cotgx-1 
cotg2x _ 1 
1 + cot g2x - 1 + tg2x 
Reduião e Identidades 101 
h) 
senx l+cosx 
2 ---+ = cossec x 
1+ cosx senx 
i) 
tgx-senx secx _::_ ____ . cossec x = ---
sen 2 x 1 + cos x 
j) 
sen x + sen y cos x + cos 
-----= 
cos x - cos y sen y - sen x 
102 
Pense e Faça 
F1i: É dê-me e não me dá 
Se dou 7 reais a cada um dos pobres que está à minha porta, ficarei 
com 24 reais; se quiser dar a cada um 9 reais, faltar-me-ão 32. Qual 
o número de pobres e quantos reais tenho? 
Redução e Identidades 103 
104 
Pense e Fa~a 
f 13: Elevador 
Um elevador pode levar 20 adultos ou 24 crianças. Se 15 adultos já 
estão no elevador, quantas crianças ainda podem entrar? 
9 .1 - Seno e Cosseno da Soma 
9.2-Tangente da Soma 
9.3 - Seno, Cosseno e Tangente da Diferença 
9.4 - Multiplicação de Arcos 
9.5 - Transformação em Produto 
Capítulo 9 
Transformações 
9.1 Seno e Cosseno da Soma 
- -Consideremos dois arcos consecutivos AP e PQ de medidas a e b, 
respectivamente, no 12 quadrante. 
U V A 
Da figura, temos: 
~OTQ: sen b = TQ = TQ :::} TQ == sen b 
OQ 1 
OT OT 
cosb =-= - :::} OT = cosb 
OQ 1 
Transformações 105 
1 
~TQX: 
~OVf: 
Então: 
XT 
sena = - ::} XT = sena · TQ = sena · sen b 
TQ 
XQ 
cosa= - ::} XQ = TQcosa = sen b ·cosa 
TQ 
vr 
sena=- ::} vr =sena· OT =sena· cosb 
OT 
ovcosa= OT ::} OV =cosa· OT =cosa· cosb 
o UQ UQ 
1-) sen(a+b) =-=- = UQ = UX + XQ = vr + XQ= 
OQ 1 
=sena cos b + sen b cosa 
logo: lsen(a + b) =sena cos b + sen b cos ai 
o ou ou 
2-) cosa(a + b) = - = - =OU= OV - UV = OV - XT = 
OQ 1 
=cosa cos b - sena sen b 
logo: lcos(a + b) =cosa cosb - sena sen bl 
É possível provar que as fórmulas anteriores são válidas para quaisquer 
~ medidas de a e b. 
11 Exercícios 
H 
131. Calcule: 
a) sen 75° b) cos105° 
Solução: 
a) sen 75° 
•• 1 
sen 75° = sen (45° + 30°) = sen 45° cos 30° + sen 30° cos45° 
106 
er 
132. 
133. 
134. 
9.2 
sen 75° = J2. · ,,f3 + 1 · J2. = ..[6 + J2. 
2 2 2 2 4 
b) cos 105 o 
cos 105° = cos(50º + 45°) = cos 60° cos 45° - sen 60° sen 45° = 
cos 105° = .!. . J2. 
2 2 
Calcule: 
a) sen 105° 
Mostre que: 
,,f3 J2. J2. - ..[6 -·-=---
2 2 4 
b) cos75° 
a) sen( ~ +x) = cosx b) cos( ~ + x) = - sen x 
e) sen(
3
2
1t + x) = -cosx d) cos( 3
2
1t + x) = senx 
Sendo cos x = - e O < x < - , calcule cos - + x . 3 1t (1t ) 
5 2 3 
Tangente da Soma 
tg(a+b) = sen (a+ b) 
cos (a+ b) 
sena cosb + senb cosa 
cosa cos b sena sen b 
Dividindo o numerador e o denominador por cos a cos b, temos: 
sena cos b + sen b cosa 
cosa cosb 
tg(a + b) = cosa cos b - sena sen b = 
cosa cosb 
Transformações 107 
t 1 
•I 
108 
= 
sena cos b sen b cosa 
+ 
cosa cos b cosa cos b tga + tgb 
= cosa cos b sena sen b 1- tga tgb 
cosa cosb cosa cosb 
logo: tg(a + b) = tga + tgb 
1- tga tgb 
7t 7t 7t 
Com a '# 
2 
+ k7t, b '# 
2 
+ k7t e a + b * 
2 
+ k7t (k e Z). 
Exercícios 
135. Calcule tg 285°. 
Solução: 
tg 285° = tg (360° - 285°) = - tg 75º = 
tg 45º + tg 30º = -tg (45º + 30º) = = 
1 - tg45º tg30º 
=- 3+../3 =-2-../3 
3 -../3 
136. Calcule: 
a) tg 105° b) tg 255° 
137. Sendo tgx = 3, O< x < i· calcule tg ( ~ + x} 
1 + J3 
3 = 
J3 1-1·-
3 
138. 
12 7t 4 7t 
Sendo sen a= 
13 
, 2" < a < 7t e cos b = - 5, 2 < b < 7t , 
calcule tg (a + b). 
139 Se tg 45° = 1, calcule tg 22,5°. 
140. Prove as identidades: 
a) 
sen (a+b} b ---- = tga + tg 
cosa cosb 
b) ( b} 
cotga cotgb - 1 
cotg a+ =------
cotga cotgb 
9.3 Seno, Cosseno e Tangente da Diferença 
Sabemos que sen (a + b) = sena cos b + sen b cosa, vamos deduzir a 
fórmula de sen (a - b). Como a - b = a + (-b), vem: 
sen (a-b) = sen[a + (-b)] = senacos(-b) + sen(-b) cosa 
Lembrando que cos(-x) = cosx e sen (-x) = -senx, temos: 
lsen(a-b) =sena cosb - senb cosa 1 
De modo análogo, temos: 
lcos (a-b) =cosa cosb +sena senbj 
e 
( b) 
tga - tgb 
tga- =----
1 + tga tgb 
n n n 
com a * 
2 
+ kn, b * 
2 
+ kn e a - b * 
2 
+ kn (k e 7l) 
Exercícios 
141. Calcule: 
a) sen 15° b) tg 15° 
Transformações 109 
f 
' 1 ' 
, . 
'' 
110 
Solução: 
a) sen 15° = sen (45° - 30°) = sen 45° cos 30° - sen 30° cos 45° = 
./2. J3 1 ./2. J6 - ./2. 1- J3 3 =-·---·- = = J3 2 2 2 2 4 1+1·-
3 
b) tg 15º = tg (45º - 30º) = tg 450 - tg30º = 
1+tg45º tg30º 
=3-./3=2-./3 
3 + J3 
= 
142. Calcule tg (a - b), sendo tg a = 2 e tg b = 3. 
143. Calcule: 
a) cos 15° e) tg 13n 12 
144. 
1 4 
Dados sena = - e cos b = - , a e b agudos, calcule: 
3 5 
a) sec (a - b) b) tg (a- b) e) cotg (a - b) 
145. 
3 1t 
Se tgx = "2 e x - y = "6, calcule tg y. 
146. 
4 12 37t 
Sendo tga = - ecos b = -, - < b < 2n, calcule tg (a+ b). 
5 13 2 
147. 1t 3 (1t ) Se O < x < "2 e cos x = s" obtenha tg 
4 
- x . 
148. Prove as identidades: 
a) sen (a + b) · sen (a - b) = sen 2 a - sen 2 b 
b) cos(a + b) +sen (a-b) =(cosa+ sena) (cosb- senb) 
9.4 Multiplica~ão de Arcos 
Consideremos as seguintes fórmulas de adição de dois arcos de medidas a e b: 
• sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a. 
• cos (a+ b) cosa cos b - sena sen b. 
• tg(a+b)= tga+tgb 1-tgatgb 
Substituindo b por a nessas fórmulas, temos: 
12) sen (a+a} =sena cosa+ sena cosa 
lsen2a = 2sena cosal 
22) cos (a+ a}= cosa cosa - sena sena 
cos2a = (1 - sen2 a) - sen2 a ==> jcos2a = 1-2sen2a 1 
cos2a = cos2 a-{1-cos2 a)==> jcos2a = 2cos2a-1 I 
ºº) t ( ) tg a + tg a .,- g a+a =-----
1- tga tga 
tg2a = 2tga 
1- tg2 a 
T ranslormações 111 
f. . ,, 
112 
Exercícios 
149. 
150. 
151. 
152. 
1 7t 
Sendo sena = "3, O < a < 2" , calcule sen2a. 
Solução: 
1 8 
Temos cos 2 a = 1 - sen 2 a = 1 - - = - ~ 
9 9 
2 ../2. 
~cosa=--
3 
Como sen 2a = 2 sen a cos a, então: 
1 2 ../2. 4../2. 
sen 2a = 2 · - · -- = --
3 3 9 
3 7t 
Sendo cosa= s' O< a< 2", calcule: 
a) sen 2a b) cos 2a e) tg 2a 
1 
Sendo x um arco do 3º quadrante e sen x = -- , calcule: 
2 
a) sen 4x b) cos 3x 
, 1 
Sabendo que sen x + cos x = "3 , calcule sen 2x. 
153. Dado senx = ~, O< x<i, calcule cos ( i + 2x} 
154. Calcule sen 22°30' . 
Solução: 
Temos: cos2a = l-2sen 2 a 
Fazendo a = 22°30', então 2a = 45°. Assim: 
cos 45° = 1 - 2 sen 2 22º30' ~ 
1 - ./2. 
2 1 cos45º 2 - ./2. 
~ sen 22º30' = ---- ;;;;; ----"'-- = ~ 
2 2 4 
~2- ./2. 
~ sen 22º30' = -'---
2 
155. Calcule: 
156. 
157. 
a) cos 22°30' 
a 
Sendo tg '2 = 2 , calcule tg2a 
Prove as identidades: 
a) sen 3x = 3senx - 4sen 3 x 
b) 
1-cos2x t 2 ----= g X 
1 + cos2x 
b) tg22°30' 
158. Prove que: 
x +~1-cosx sen- = -
2 2 
Solução: 
2 ~ 2 1- cos2a 
Sendo cos 2a = 1 - 2 sen a, entao sen a = 
2 
~1 - cos2a Assim, sena = ± 
2 
Fazendo 2a = x ~ a = -i , então: 
X ~1 - COSX sen- = + 2 - 2 
Transformações 113 
159. Prove que: 
) X _ ± ~1 + COSX X 1 COSX b) tg-2 = ± a cos- -
2 2 1 + cosx 
9.S T ransforma~ão em Produto 
Podemos transfonnar em produto {ou fatorar) uma soma ou diferença de 
senos, cossenos e tangentes. Estas fatorações são úteis na resolução de algumas 
equações trigonométricas. 
Consideremos as expressões: 
• sen (a+ b) =sena cos b + sen b cosa G) 
• sen {a - b) = sen a cos b - sen b cos a @ 
• cos {a+ b) =cosa cos b - sena sen b @ 
• cos {a- b) =cosa cos b + sena sen b @) 
Tem os as seguintes transfonnações em produto: 
1 !) Somando CD e ®: 
sen {a + b) + sen {a - b} = 2 sen a cos b 
Fazendo: 
{
a+ b = p 
, obtemos : a = p + q e b = p - q 
a-b=q 2 2 
Então: 
senp + senq = 2sen (9 )cos (9) 
2!.) Subtraindo CD e ®: 
sen {a + b) - sen {a - b) = 2 sen b cosa 
114 
Como: 
p+ q p- q 
a + b = p a - b = q a = -- e b = -- temos· ' ' 2 2 ' . 
senp- senq = 2sen(Y )cos (9) 
3!!) Somando @ e @): 
cos (a + b) + cos (a- b) = 2 cosa cos b 
Como: 
a + b = p, a - b = q, a = P; q e b = P ; q , temos: 
cosp + cosq = 2 cos (9 )cos (Y) 
4!!) Subtraindo @ e @): 
cos (a + b) - cos (a - b) = - 2 sena . sen b 
Como a+ b = p, a - b = q, a = P ; q e b = P ; q , temos: 
cosp-cosq=-2sen( 9 )sen(Y) 
Exercícios 
160. Transforme em produto: 
a) sen 70° + sen 30º 
b) cos 50º - cos 20° 
Transformações 11S 
Solução: 
a) sen 70° + sen 30° 
Fazendo p = 70° e q = 30° na fórmula 
sen p + sen q = 2 sen ( p ; q ) · cos ( p ; q } temos: 
(70º + 30°) (70º -30º) sen 70º + sen 30° = 2 sen 2 · cos 2 
sen 70° + sen 30° = 2 . sen 50° . cos 20° 
b) cos 50° - cos 20° 
Fazendo p = 50° e q = 20° na fórmula 
cos p - cos q = - 2 sen ( p ; q ) · sen ( p ; q ) , temos: 
(
50° + 20º) (50º - 20º) cos 50° - cos 20º = - 2 sen 
2 
. sen 
2 
cosSOº - cos20º = -2sen35º senlSº 
161. Fatore as expressões: 
a) sen 50° + sen 30º b) sen 70º - sen 40º 
e) cos60º + cos20º d) cos 85º - cos 15º 
162. Fatore as expressões: 
a) 1+cos40° b) cos 70° + sen 48° 
Solução: 
(0º+40º) (ºº-40º) a) 1 + cos 40º = cos Oº+ cos 40º = 2 cos 2 . cos 2 = 
= 2 cos 20° cos (-20°) 
116 
Como cos (- 20º) = - cos 20º, então: 
1 + cos 40° = 2 cos 20° cos 20º = 2 cos2 20º 
b) cos 70° + sen 48° = sen {90° - 70°) + sen 48° 
(
20° + 48°) (20º - 48º) = sen20º + sen48º = 2sen 
2 
· cos 
2 
= 
= 2sen34º cos (-12º) = 2sen34º cosl2º 
cos70º + sen48º = 2 sen 34º cosl2º 
163. Fatore as expressões: 
a) 1 + sen20° b) cos 72° -1 
e) sen 70° + cos 8° d) cos 20° - sen 40° 
164. Transforme em produto: 
a) sen 2x + sen 6x b) cos 7x - cos 3x 
e) -1 + cos2x d) sen x + 1 
e) sen 2x - cos x f) sen x + cos x 
165. Transforme num produto de senos: 
sen2 3x - sen2 x 
166. Fatore