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Campos de Medida Divergente e a Fórmula
de Gauss-Green
Leandro Tomaz de Araujo
Dezembro de 2006
Campos de Medida Divergente e a
Fórmula de Gauss-Green
por
Leandro Tomaz de Araujo
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação do Instituto
de Matemática, da Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do t́ıtulo de Mestre
em Matemática.
Orientador: Wladimir Neves
Rio de Janeiro
Dezembro de 2006
.
Araujo, Leandro Tomaz de
A663c Campos de medida divergente e a fórmula de
2006 Gauss-Green/Leandro Tomaz de Araujo.-
Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2006.
v,89f.; 29 cm
Dissertação(Mestrado) - UFRJ/IM. Programa de
Pós-Graduação em Matemática, 2006.
Orientador: Wladimir A. das Neves
Bibliográfia: p.86.
1. Teoria geométrica da medida - tese. 2. Espaços
de funções. I. Neves, Wladimir Augusto das. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de
Matemática. III. T́ıtulo.
Campos de Medida Divergente e a
Fórmula de Gauss-Green
por
Leandro Tomaz de Araujo
Dissertação submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matemática da Universidade
Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau
de Mestre em Matemática.
Área de concentração: Matemática
Aprovada por:
Prof. Dr. Wladimir Neves - UFRJ-IM
(Presidente)
Prof. Dr. Dinamerico P. Pombo Jr. - UFF-IM
Prof. Dr. Antonio Roberto da Silva - UFRJ-IM
Prof. Dr. Gregório Malajovich -UFRJ-IM
Rio de Janeiro
Dezembro de 2006
Campos de Medida Divergente e a
Fórmula de Gauss-Green
Leandro Tomaz de Araujo
Orientador: Wladimir A. das Neves
Resumo
Resumo da Dissertação submetida ao Programa de Pós-graduação em Matemática,
Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do t́ıtulo de Mestre em Matemática.
O objetivo principal deste trabalho é estudar as várias generalizações da Fórmula de
Gauss-Green. Além disso, analisaremos uma nova classe de campos L∞, chamados Cam-
pos de Medida Divergente (DM) conforme introduzido por Chen & Frid [6] e esten-
deremos a Fórmula de Gauss-Green para conjuntos de fronteira deformável Lipschitz a
conjuntos de peŕımetro finito conforme em Chen & Torres [9].
Rio de Janeiro
Dezembro de 2006
i
Campos de Medida Divergente e a
Fórmula de Gauss-Green
Leandro Tomaz de Araujo
Orientador: Wladimir A. das Neves
Abstract
Abstract da Dissertação submetida ao Programa de Pós-graduação em Matemática,
Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do t́ıtulo de Mestre em Matemática.
The main objective of this work is to study some generalizations of the Gauss-Green
Formula. Moreover, we will analyze a new class of L∞ vector fields called divergence-
measure fields (DM) as introduced by Chen & Frid [6] and will extend to the Gauss-Green
Formula for sets of deformable Lipschitz boundaries to sets of finite perimeter as in Chen
& Torres [9].
Rio de Janeiro
Dezembro de 2006
ii
Agradecimentos
Agradeço pricipalmente a Deus por me dado forças para superar mais essa etapa de
minha vida e aos meus pais, João Mendes de Araujo e Geni Tomaz de Araujo, que
sempre acreditaram e me incetivaram ao longo de toda a minha vida.
Ao apoio e incetivo de todos os meus amigos da Universidade Federal do Rio de Ja-
neiro; em especial, Andrea Luiza G. M. Rocha, André G. Valente, André Luiz M. Pereira,
Fabio Henrique A. Santos, Josiane Costa Silva, Luiz Guilhermo Martinez, Marcelo Tava-
res, Regis C. A. Soares Jr. e Susan Wouters. Finalmente, os meus cordiais agradecimentos
aos professores do Instituto de Matemática da UFRJ.
Rio de Janeiro,
Leandro T. de Araujo
iii
.
Para meus pais João e Geni,
e meus irmãos Luciano e Leonardo.
iv
Sumário
1 Introdução 1
2 Preliminares 7
2.1 Medidas e Funções Mensuráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Integrais e Teoremas de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Diferenciação de Medidas de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Teorema de Representação de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Convergência Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Medida de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.8 Propriedade Finas de Análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.9 Regularização e Aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 O Teorema Clássico de Gauss-Green 19
3.1 Integração sobre Fronteiras Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.2 Fórmula de Gauss-Green para funções W 1,p . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Funções de Variacão Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 Fórmula de Gauss-Green para funções BV . . . . . . . . . . . . . 38
4 Campos de Medida Divergente 42
4.1 Definição e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
v
4.2 Propriedades Elementares em DM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Regra do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Deformações Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 A Fórmula de Gauss-Green e o Traço Normal 61
5.1 Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.1 Conjuntos de Peŕımetro Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.2 Teorema de Gauss-Green Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.3 Limites Aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.4 Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 Fórmula de Gauss-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3 Traço Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A Notação 83
A.1 Notação Vetorial e de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.2 Notação para funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A.3 Espaços de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Referências Bibliográficas 86
vi
Caṕıtulo 1
Introdução
Nesta dissertação estudaremos algumas das várias formulações para o Teorema de Gauss-
Green, também conhecido como o Teorema de Stokes. Inicialmente, ele fora decoberto em
1828, e surgiu de uma conexão com a Teoria Potencial (isto inclui potenciais gravitacionais
e eletricos), e depois redescoberto em 1850 por Stokes que o recebeu por sugestão do f́ısico
Lord Kelvin através de uma carta no mesmo ano. Além disso, Stokes o teria utilizado
em um exame para a Smith Prize em 1854 (veja [10]).
Agora, para estudar a Fórmula de Gauss-Green em um contexto mais geral, inici-
aremos provando o Teorema no que chamaremos de sentido clássico: campo suave e o
domı́nio de integração com bordo que é localmente o gráfico de uma função Lipschitz, o
qual chamaremos de fronteira Lipschitz. É bem sábido pelo Cálculo Diferencial e Integral
que a tradicional Fórmula de Gauss-Green também se aplica sobre conjuntos cujas fron-
teiras são suaves por partes, isto é, a união finita de curvas suaves. Entretanto, usaremos
aqui uma outra ferramenta, a saber: Teoria Geométrica da Medida, que é a linguagem
natural para se trabalhar com conjuntos que não são regulares nosentido da Geome-
tria Diferencial (isto é, fronteira suave para podermos aplicar o tradicional Teorema de
Gauss-Green).
Por outro lado, o Teorema de Gauss-Green pode ser apresentado de maneira mais geral
através de formas diferenciais (veja [10]). Então no que segue enunciaremos a formulação
tradicional para o Teorema de Gauss-Green para Análise no Rn, que utiliza o conceito de
formas diferenciais e pode ser encontrado em [21]. Contudo, esta será a única referência
a formas diferenciais neste trabalho.
1
Teorema 1.1 (Gauss-Green). Se M é uma variedade compacta orientada de dimensão
k, e ω é um (k− 1) forma diferencial de classe C1 com suporte compacto sobre M , então
∫
∂M
ω =
∫
M
dω. (1.1)
onde ∂M é dado na orientação induzida.
M
n
Figura 1.1: Uma variedade de dimensão n.
Neste caso, convém observar que (1.1) pode ser reescrito de modo equivalente atráves
da fórmula ∫
U
div F dx =
∫
∂U
F · n dS, (1.2)
onde n é o campo normal unitário a ∂U , o operador div F é o divergente para algum
campo F de classe C1 em um conjunto aberto U do Rn, e dS é a unidade de área. A
fórmula (1.2), é também denominada de Teorema da Divergência, e é mais conhecida pelo
Cálculo Diferencial e Integral do que a fórmula (1.1).
Agora, para generalizar (1.2) nossa ferramenta crucial será a integral de Lebesgue e da
medida de Hausdorff (veja a seção 2.7), a medida natural para trabalhar como conjuntos
que não são regulares no sentido da Geometria Diferencial.
Nesta dissertação, veremos que se mantivermos a suavidade do campo F e diminuirmos
a regularidade do domı́no de integração exigindo que o bordo ∂U seja Lipschitz, o que
garantiria pelo Teorema de Radamacher uma boa propriedade geométrica: a existência
da normal exterior unitária definida em quase todo ponto; neste caso a Fórmula de
Gauss-Green continuará válida.
2
Ainda, se diminuirmos também a regularidade do campo; primeiramente, exigindo que
seja uma função de Sobolev, e em seguida que seja uma função de variação limitada (BV )
também veremos a validade para a Fórmula de Gauss Green. Além disso, veremos que a
fórmula (1.2) pode ser ainda mais generalizada, considerando domı́nios como conjuntos
de Caccioppoli, que são por definição conjuntos cuja função caracteŕıstica é uma função
de variação limitada local.
A dissertação esta dividida em cinco caṕıtulos e um apêndice de notação. No caṕıtulo
2, enunciaremos sem as demonstrações alguns resultados básicos de Teoria da Medida,
que serão utilizados ao longo de todo trabalho.
No caṕıtulo 3, apresentaremos a Fórmula de Gauss-Green para funções suaves, funções
de Sobolev e funções BV em domı́nios cujos bordos são Lipschitz, conforme feito em [12].
Além disso, nos dois últimos casos a usaremos para fornecer uma noção sobre o traço
para essas funções, o que a grosso modo seria como atribuir significado aos valores dessas
funções na fronteira de domı́nio U .
No caṕıtulo 4, estudaremos uma nova classe de campos L∞, chamados campos de me-
dida divergente (DM); conforme introduzido em Chen & Frid [6]. Formalmente campos
DM são campos vetoriais em L∞ cujos divergentes são medidas de Radon. Esses campos
surgem naturalmente no estudo de soluções entrópicas de problemas de valor inicial e de
fronteira de Leis de Conservação hiperbólicas não lineares (veja [6], [7] e [8]). Tendo
em vista a definição de campos DM, veremos ao longo deste caṕıtulo que muitas das
propriedades desses campos são análogas para funções BV ; neste sentido, uma pergunta
natural é se o mesmo é verdade para o traço e para a Fórmula de Gauss-Green para
campos DM sobre um superf́ıcie Lipschitz qualquer. A resposta é negativa em geral,
entretanto é verdade para funções BV como podemos observar no caṕıtulo 3.
A dificuldade em fornecer uma noção razoável para o traço de um campo de medida
divergente F em um conjunto aberto U do Rn foi superada por Chen & Frid [6] ao
introduzirem o conceito de fronteira Lipschitz deformável; onde dado um conjunto aberto
Ω compactamente contido em U com fronteira Lipschitz, supomos que esteja definido
um homeomorfismo bi-Lipschitz ψ de ∂Ω × [0, 1] sobre a sua imagem de tal modo que
ψ(., 0) = id em ∂Ω. Isto os permitiu entender o traço normal F · ν|∂Ω em L∞(∂Ω; H n−1)
3
como o limite fraco estrela (F.ντ ) ◦ ψτ em L∞(∂Ω; H n−1) para uma deformação ψ,
F · ν|∂Ω = w∗ − lim
τ→0
(F · ντ ) ◦ ψτ em L∞(∂Ω; H n−1)
a qual independe de ψτ = ψ(·, τ). Além disso, observaremos que a topologia fraco estrela
é a melhor maneira de definir F · ν|∂Ω em geral, como podemos ver em [6].
No último caṕıtulo, veremos que uma das dificuldade que surge para estender o Teo-
rema de Gauss-Green a conjuntos mais gerais é em que sentido podeŕıamos falar do campo
normal exterior a fronteira que aparece em (1.2). A teoria de conjuntos de Caccioppoli
iniciado por R.Caccioppoli em [4], e apronfundado por vários matemáticos (aqui desta-
cando o trabalho de Ennio De Giorgi), é o ambiente adequado por causa da existência
da normal exterior no sentido geométrico da medida.
Originalmente, conjuntos de peŕımetro finito foram definidos como conjuntos que
podem ser aproximados por domı́nios poliedrais , E ∈ P , o qual é definido como qualquer
conjunto E ⊂ Rn no qual é o fecho de um conjunto aberto cuja fronteira topológica,
∂E, esta contida em uma união finita de hiperplanos do Rn. Essa definição é similar
a definição de Lebesgue da área de uma superficie. Mais geralmente, o peŕımetro de
qualquer conjunto, não necessariamente mensurável, foi definido como
P (E; Rn) := inf
{
lim inf
h→∞
H n−1(∂Eh) : Eh ∈ P , |(E − Eh) ∪ (Eh − E)| → 0
}
.
então mostra que E é um conjunto mensurável, se P (E; Rn) < ∞, e, neste caso, o
peŕımetro coincide com o peŕımetro da definição (5.1) (para detalhes veja [17]).
Por outro lado, De Giorgi pensava em uma hipersuperf́ıcie de codimensão 1 em Rn
como a fronteira de conjuntos de Caccioppoli. Mais precisamente, De Giorgi definiu a
chamada fronteira reduzida para conjuntos de Caccioppoli, ∂∗E, como o conjunto de
pontos x no qual derivada de Radon-Nikodym de ∇XE existe com respeito a medida
de variação||∇XE||, e é igual a νE(x) com |νE(x)| = 1, e pode ser escrito como a união
enumerável de subconjuntos compactos de hipersuperf́ıcies de classe C1, a menos de um
conjunto de medida ||∇X || nula. Ainda, a medida ||∇XE|| coincidiria com a medida de
Hausdorff de dimensão (n− 1) restrita a fronteira reduzida, e estaria contida na fronteira
essencial de E, ∂sE, o qual por definição possui todos os pontos x ∈ Rn que não são
pontos de densidade 0 ou 1, e pela teoria clássica da funções BV (veja [12]), o conjunto
4
∂sE − ∂∗E tem medida de Hausdorff de dimensão (n − 1) nula. Isto permitiu então
estender o Teorema de Gauss-Green para conjuntos de Caccioppoli :
Teorema 1.2 (Gauss-Green Generalizado). Seja E um conjunto de Caccippoli. Então
para H n−1 quase todo x ∈ ∂sE, existe uma única medida teórica da normal exterior
νE(x) tal que ∫
E
div ϕ dx =
∫
∂sE
ϕ · νE dH n−1
para toda ϕ ∈ C1c (Rn,Rn).
Agora, paralelamente ao Teorema de Gauss-Green Generalizado, veremos conforme
Chen & Torres [9], que a Fórmula de Gauss-Green para campos DM pode ser estendida
de um conjunto de fronteira Lipschitz para um conjunto E compactamente contido em U
cuja função caracteŕıstica de E é uma função BV , conhecido como conjunto de peŕımetro
finito. Neste caso, a utilizaremos para fornecer uma noção sobre o traço normal para
campos DM que coincide com a noção introduzida por Chen & Frid [6].
Convém observar que a construção realizada em Chen & Torres [9] é em grande parte
independente da construção realizada em Chen & Frid [6]. De fato, em [6] a noção
do traço normal utilizando deformações Lipschiz é introduzida para depois mostrar a
Fórmula de Gauss-Green em conjuntoscom fronteira Lipschitz deformável; ao passo que,
em [9] a Fórmula de Gauss-Green em conjuntos de peŕımetro finito é introduzida para
depois obter a noção sobre o traço normal sobre tais conjuntos.
A fim de analisar mais profundamente a noção de traço normal, mostraremos conforme
Chen & Torres [9], que existe um subconjunto K̃ε da fronteira reduzida tal que para ε > 0
pequeno, H n−1(∂∗E − K̃ε) < ε e existe um campo suave νε : Rn −→ Rn tal que νε
∣∣ eKε
aponta para o interior de E, e cujo interior topológico de K̃ε, que denotaremos por Kε,
pode ser escrito como a união enumerável de hipersuperf́ıcies de classe C1. Neste caso,
definiremos a seguinte aplicação ψε : Rn × [0, 1] −→ Rn por ψε(x, τ) := x + τνε, o qual
induz a aplicação ψετ := ψ
ε(·, τ) para τ ∈ (0, 1) fixado, e denotando por Eτ = ψετ (E) e
Kετ := ψ(K̃
ε), veremos através da Fórmula de Gauss-Green para campos DM aplicada
Eτ que ∫
E1τ
φ div F +
∫
E1τ
F · ∇φ = −
∫
∂sEτ
φ F · ντ dH n−1. (1.3)
5
Por outro lado, novamente pela Fórmula de Gauss-Green para campos DM em con-
juntos de peŕımetro finito agora aplicada E segue que∫
E1
φ div F +
∫
E1
F · ∇φ = −
∫
∂sE
φ F · ν dH n−1 (1.4)
Agora, passando ao limite quando τ → 0 em (1.3), e pelo Teorema da Convergência
Dominada vemos que o primeiro membro de (1.3) converge ao primeiro membro de (1.4),
o que implica que o segundo membro de (1.3) converge para (1.4).
Finalmente, escolhendo φ ∈ C1c (U) tal que φ se anula numa vizinhança de P com
φ
∣∣
P
6= 0 e φ
∣∣
∂∗E−Kε = 0, e como φ
∣∣
Kετ
pode ser trocado por φ
∣∣
Kετ
◦ (ψετ ) com erro que vai
a zero quando τ → 0. Então existe o limite fraco estrela,
F · ν|Kε = w∗ − lim
τ→0
(F · νετ ) ◦ ψτ em L∞(Kε; H n−1).
desde que ψετ (K̃
ε
τ ) ⊂ int(E). Portanto, o traço normal de um campo DM introduzido
por Chen & Torres [9] sobre tais conjuntos será entendido como o limite fraco estrela
introduzido por Chen & Frid [6], o que mostra sua consistência.
6
Caṕıtulo 2
Preliminares
O objetivo deste caṕıtulo é reunir algumas definições e fatos básicos da Teoria da Medida
e está baseado em [12], [13] e [17]. Adimitiremos a notação do Apêndice A.
2.1 Medidas e Funções Mensuráveis
Seja X um conjunto , e 2X o conjunto de partes de X.
Definição 2.1. Uma coleção F de subconjuntos de X, F ⊂ 2X , é chamado uma σ-álgebra
se
1. ∅, X ∈ F ;
2. Se A ∈ F então X − A ∈ F ; e
3. Se Ak ∈ F , k = 1, . . . , então ∪∞k=1Ak ∈ F .
Ainda, uma σ-álgebra de Borel do Rn é a menor σ-álgebra contendo os subconjuntos
abertos do Rn.
Definição 2.2. Uma aplicação µ : 2X −→ [0,+∞] é chamada uma medida em X se
satisfaz
1. µ(∅) = 0; e
2. µ(A) ≤
∑∞
k=1 µ(Ak) sempre que A ⊂
⋃∞
k=1Ak.
7
Ainda, seja µ uma medida sobre X e A ⊂ X. Então µ restrita a A, escrevemos µbA é a
medida definida por (µbA)(B) = µ(A ∩B) para todo B ⊂ X.
Nota 2.3. A definição (2.2) é usualmente chamada de Medida Exterior, como podemos
ver em [5].
Definição 2.4. Um conjunto A ⊂ X é µ-mensurável se para cada B ⊂ X,
µ(B) = µ(B ∩ A) + µ(B − A).
Definição 2.5. .
1. Uma medida µ sobre X é regular se para cada conjunto A ⊂ X, existe um conjunto
µ-mensuravel B tal que A ⊂ B e µ(A) = µ(B).
2. Uma medida µ sobre Rn é chamada Borel se todo conjunto de Borel é µ-mensurável.
3. Uma medida µ sobre o Rn é Borel regular se µ é Borel e para cada A ⊂ Rn, existe
um conjunto de Borel B tal que A ⊂ B µ(A) = µ(B).
Teorema 2.6. Seja µ uma medida regular sobre X. Se A1 ⊂ · · · ⊂ Ak ⊂ Ak+1 ⊂ . . . ,
então
lim
k→∞
µ(Ak) = µ
(
∞⋃
k=1
Ak
)
.
Demonstração. Veja [12], Teorema 2, p.5.
Definição 2.7. Uma medida µ sobre Rn é uma medida de Radon se µ é Borel regular e
µ(K) <∞ para todo conjunto compacto K ⊂ Rn.
Definição 2.8. Seja µ uma medida sobre X, e Y um espaço topológico. Uma função
f : X −→ Y é µ-mensurável se f−1(U) é µ-mensurável para cada conjunto aberto U ⊂ Y .
Teorema 2.9 (Lusin). Seja µ uma medida de Borel regular sobre Rn e seja f : Rn −→ Rn
uma função µ-mensurável. Assuma que A ⊂ Rn é µ-mensurável e µ(A) < ∞. Então,
para todo ε > 0, existe um conjunto compacto K em A tal que µ(A − K) < ε e f |K é
cont́ınua.
8
Demonstração. Veja [12], Teorema 2, p.15.
Teorema 2.10 (Ergoroff). Seja µ uma medida sobre Rn. Se fk : Rn −→ Rn funções
µ-mensuráveis (k = 1, . . . ) e A ⊂ Rn é µ-mensurável com µ(A) < ∞, e fk → f µ-q.s.
sobre A. Então, para todo ε > 0, existe um conjunto µ-mensurável B ⊂ A em A tal que
µ(A−B) < ε e fk → f uniformente em B.
Demonstração. Veja [12], Teorema 3, p.16.
2.2 Integrais e Teoremas de Limites
Definição 2.11. Seja µ uma medida sobre X. Uma função g : X −→ [−∞,∞] é
chamada um função simples se g é µ-mensurável e a imagem g(X) é um conjunto enu-
merável.
Seja g uma função simples, não negativa e µ-mensurável. Definimos
I(g;µ) =
∑
0≤y≤∞
yµ
(
g−1({y})
)
.
Definição 2.12. se g é uma função µ-mensurável simples, e se I(g+;µ) < ∞ ou
I(g−;µ) <∞, dizemos que g é uma função simples µ-integrável e definimos
I(g;µ) = I(g+;µ)− I(g−;µ).
Assim, se g é uma função µ-integrável,
I(g;µ) =
∑
−∞≤y≤∞
yµ
(
g−1({y})
)
.
Agora, seja f : X −→ [−∞,∞] uma função qualquer e seja S(µ) o conjunto de todas as
funções simples µ-integráveis. Definimos,∫ ∗
fdµ := inf {I(g;µ) : g ∈ S(µ), f ≤ g µ− q.s.} ,
∫
∗
fdµ := inf {I(g;µ) : g ∈ S(µ), f ≥ g µ− q.s.} .
Usualmente definimos inf ∅ := +∞ e sup ∅ := −∞.
9
Definição 2.13. Uma função f : X −→ [−∞,∞] µ-mensurável é chamada µ-integrável
se
∫ ∗
f dµ =
∫
∗ f dµ; neste cado escrevemos∫
f dµ =
∫ ∗
f dµ =
∫
∗
f dµ.
Definição 2.14. Seja X um conjunto.
1. Uma função f : X −→ [−∞,∞] é µ-somável se f é µ-integrável e∫
|f | dµ <∞.
2. Dizemos que a função f : Rn −→ [−∞,∞] é localmente µ-somável se f |K é µ-
somável para cada conjunto compacto K ⊂ Rn.
Seja µ uma medida de Radon. Denotaremos por L1loc(Rn;µ) o conjunto de todas
funções localmente µ-somável f : Rn −→ [−∞,∞]. Para toda f ∈ L1loc(Rn;µ), escrevere-
mos
(µbf)(A) =
∫
A
f dµ
para todo conjunto compacto A do Rn. Note que µbA = µbXA.
Definição 2.15. .
1. Dizemos que ν é uma medida com sinal sobre Rn, e denotaremos por ν ∈ M(Rn)
se existe uma medida de Radon µ sobre o Rn e uma função f ∈ L1loc(Rn;µ) tal que
ν = µbf.
2. Dizemos que ν é uma medida vetorial sobre o Rn em Rm, e denotaremos por
ν ∈ M(Rn; Rm), se existe uma medida de Radon µ e uma função vetorial f =
(f1, . . . , fm) com fi ∈ L1loc(Rn;µ) tal que νi = µbfi (i = 1, . . . ,m).
Teorema 2.16 (Lema de Fatou). Sejam fk : X −→ [0,∞] funções µ-mensuráveis (k =
1, . . . ). Então ∫
lim inf
k→∞
fk dµ ≤ lim inf
k→∞
∫
fk dµ.
Demonstração. Veja [12], Teorema 1, p.19.
10
Teorema 2.17 (Convergência Monótona). Sejam fk : X −→ [0,∞] funções µ-mensuráveis
(k = 1, 2, . . . ), com
f1 ≤ f2 ≤ · · · ≤ fk ≤ fk+1 ≤ . . .
Então ∫
lim
k→∞
fk dµ = lim
k→∞
∫
fk dµ.
Demonstração. Veja [12], Teorema 2, p.20.
Teorema 2.18 (Convergência Dominada). Sejam g : X −→ R uma função µ-somável e
f, fk : X −→ R funções µ-mensuráveis (k=1,2,. . . ). Se |fk| ≤ g e fk → f µ-q.s. quando
k →∞.Então
lim
k→∞
∫
fk dµ =
∫
f dµ.
Demonstração. Veja [12], Teorema 3, p.20.
2.3 Teorema de Fubini
Definição 2.19. Seja µ uma medida sobre um conjunto X e ν uma medida sobre um
conjunto Y . Para cada M ⊂ X × Y definimos
(µ× ν)(M) := inf
{
∞∑
k=1
µ(Ak)ν(Bk)
}
,
onde o ı́nfimo é tomado sobre toda seqüência de conjuntos µ-mensurável Ak ⊂ X e
conjunto ν-mensurável Bk ⊂ Y (k = 1, . . . ) tal que M ⊂
⋃∞
k=1Ak ×Bk. A medida µ× ν
é chamada a medida produto de µ e ν.
Teorema 2.20 (Fubini). Seja µ uma medida sobre um conjunto X e seja ν uma medida
sobre um conjunto Y .
1. µ× ν é uma medida regular em X × Y .
2. Se A ⊂ X é µ-mensurável e B ⊂ Y é ν-mensurável, então A×B é µ×ν-mensurável
e (µ× ν)(A×B) = µ(A)ν(B).
11
3. Se M ⊂ X × Y é σ-finita com respeito a µ × ν (isto é, M = ∪∞k=1Mk, onde Mk é
µ×ν-mensurávele (µ×ν)(Mk) <∞ para k = 1, . . . ), então My = {x : (x, y) ∈M}
e µ-mensurável para ν em quase todo x é µ(My) é ν-integrável. Além disso,
(µ× ν)(M) =
∫
Y
µ(My)dν(y).
Analogamente para x e Mx = {y : (x, y) ∈M}.
4. Se f : X × Y −→ [−∞,∞] é µ × ν-integrável e f é σ-finita com respeito a µ × ν
(em particular, se f é µ × ν-somável), então a aplicação y 7→
∫
X
f(x, y)dµ(x) é
ν-integrável, a aplicação x 7→
∫
Y
f(x, y)dν(y) é ν-integrável, e ainda,∫
X×Y
fd(µ× ν) =
∫
X
(∫
Y
f(x, y)dµ(x)
)
dν(y) =
∫
Y
(∫
X
f(x, y)dν(y)
)
dµ(x).
Demonstração. Veja [12], Teorema 1, p.22.
Definição 2.21. .
1. A medida de Lebesgue um dimensional L 1 em R é definida por
L 1(A) := inf
{ ∞∑
i=1
diam Ci : A ⊂
∞⋃
i=1
Ci, Ci ⊂ R
}
para todo A ⊂ R.
2. A medida de Lebesgue n dimensional L n sobre Rn é definida indutivamente por
L n := L n−1 ×L 1 = L 1 × · · · ×L 1,
ou equivalentemente, L n := L n−k ×L k para qualquer k ∈ {1, . . . , n− 1}.
As vezes usaremos a notação |E| ou meas E para a medida de Lebesgue de um
conjunto genérico E de Rn.
2.4 Diferenciação de Medidas de Radon
Definição 2.22. Sejam µ e ν medidas de Radon sobre Rn. Dizemos que ν é diferenciável
com respeito a µ em x se
Dµν(x) := lim
r→0
ν(B[x, r])
µ(B[x, r])
12
sempre que este limite existe e é finito. Ainda, diremos que Dµν é a densidade de ν com
respeito a µ.
Definição 2.23. .
1. A medida ν é absolutamente cont́ınua com respeita µ, e escreveremos ν � µ, se
µ(A) = 0 implica que ν(A) = 0 para todo A ⊂ Rn.
2. As medidas ν e µ são multuamente singulares, e escreveremos ν⊥µ, se existe um
conjunto de Borel B ⊂ Rn tal que µ(Rn −B) = ν(B) = 0.
Teorema 2.24 (Radon-Nikodym). Seja µ, ν medidas de Radon sobre Rn com ν � µ.
Então
ν(A) =
∫
A
Dµν dµ
para todo conjunto µ-mensurável A ⊂ Rn.
Demonstração. Veja [12], Teorema 2, p.40.
Teorema 2.25 (Lebesgue-Besicovitch). .
1. Seja µ uma medida de Radon sobre Rn e f ∈ L1loc(Rn;µ). Então
lim
r→0
1
µ(B[x; r])
∫
B[x;r]
f dµ = f(x)
para µ quase todo ponto x ∈ Rn.
2. Seja µ uma medida de Radon sobre Rn, 1 ≤ p <∞ e f ∈ Lploc(Rn;µ). Então
lim
r→0
1
µ(B[x; r])
∫
B[x;r]
|f − f(x)|pdµ = 0 (2.1)
para µ quase todo ponto x ∈ Rn.
Demonstração. Veja [12], Teorema 1, p.43, e Corolário 1, p.44.
Definição 2.26. Um ponto x é chamado um ponto de Lebesgue de f com respeito a µ,
se (2.1) é satisfeita.
13
2.5 Teorema de Representação de Riesz
Teorema 2.27 (Representação de Riesz). .
1. Seja L : Cc(Rn; Rm) −→ R um funcional linear satisfazendo
sup{L(φ) : φ ∈ Cc(Rn,Rm), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ K} <∞
para cada conjunto compacto K ⊂ Rn. Então existe uma única medida de Radon
vetorial µ = σ||µ|| ∈ M(Rn; Rm) tal que
L(φ) =
∫
Rn
φ · dµ =
∫
Rn
φ · σ d||µ|| (2.2)
para toda φ ∈ Cc(Rn; Rm), onde σ : Rn −→ Rm tal que |σ| = 1 ||µ||-q.s.
2. Seja L : Cc(Rn) −→ R um funcional linear tal que L(φ) ≥ 0 para toda φ ∈ C∞c (Rn),
φ ≥ 0. Então existe uma medida de Radon µ em Rn tal que
L(φ) =
∫
Rn
φ dµ
para toda φ ∈ C∞c (Rn).
Demonstração. Veja [12], Teorema 1, p.49, e Corolário 1, p.53.
Definição 2.28. Dizemos que λ é uma medida de variação se para cada conjunto aberto
V ⊂ Rn,
λ(V ) = sup{L(φ) : φ ∈ Cc(Rn; Rm), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ V },
onde L : Cc(Rn; Rm) −→ R é um funcional linear limitado. Se L é como em (2.2), então
λ = ||µ||.
2.6 Convergência Fraca
Seja U um conjunto aberto do Rn.
Definição 2.29. Sejam µ e µk, k = 1, . . . , medidas de Radon sobre Rn. Dizemos que
µk converge fracamente a µ no sentido de medida de Radon, e escrevemos µk ⇀ µ em
M(Rn), se
lim
k→∞
∫
Rn
φ dµk =
∫
Rn
φ dµ
para toda φ ∈ Cc(Rn).
14
Teorema 2.30. Sejam µ e µk, k = 1, . . . , medidas de Radon sobre Rn. Então as
seguintes afirmações são equivalentes:
1. µk ⇀ µ em M(Rn); e
2. limk→∞ µk(B) = µ(B) para todo conjunto de Borel limitado B ⊂ Rn com µ(∂B) = 0;
3. lim supk→∞ µk(K) ≤ µ(K) para todo conjunto compacto K de Rn, e
lim infk→∞ µk(A) ≥ µ(A) para todo conjunto aberto A de Rn.
Demonstração. Veja [12], Teorema 1, p.54.
Teorema 2.31 (Compacidade fraca para Medidas de Radon). Seja {µk}∞k=1 em M(Rn)
tal que supk µk(K) < ∞ para todo conjunto compacto K do Rn. Então existe uma
subseqüência {µkj}∞j=1 e uma medida de Radon µ tal que µkj ⇀ µ em M(Rn).
Demonstração. Veja [12], Teorema 2, p.55.
Definição 2.32. Sejam f, fk ∈ Lp(U), k = 1, . . . , e seja 1 ≤ p <∞.
1. Dizemos que fk converge fracamente em L
p(U) para f , e escrevemos fk ⇀ f em
Lp(U), se ∫
U
fkφ dx→
∫
U
fφ dx
para toda φ ∈ Lq(U), onde 1
p
+ 1
q
= 1, 1 < q ≤ ∞.
2. Dizemos que fk converge fracamente em medida, ou como medida, para f se∫
U
fkφ dx→
∫
U
fφ dx
para toda φ ∈ Cc(U)
3. Dizemos que fk converge fracamente no sentido das distribuições, ou como distri-
buição, para f se ∫
U
fkφ dx→
∫
U
fφ dx
para toda φ ∈ C∞c (U)
Definição 2.33. Sejam f, fk ∈ L∞(U), k = 1, . . . . Dizemos que fk converge fraco estrela
em L∞(U) para f , e escrevemos fk
?
⇀ f em L∞(U), se∫
U
fkφ dx→
∫
U
fφ dx
para toda φ ∈ L1(U).
15
2.7 Medida de Hausdorff
A medida de Hausdorff H s é o resultado de uma construção conhecida como construção
de Carathéodory. (Veja [17]).
Definição 2.34. .
1. Seja A ⊂ Rn, 0 ≤ s <∞ e 0 < δ ≤ ∞. Definimos
H sδ (A) = inf
{
∞∑
k=1
α(s)
(
diam Ck
2
)s
: A ⊂
∞⋃
k=1
Ck, diam Ck ≤ δ
}
A medida de Hausdorff de dimensão s, H s, é então definida por
H s(A) := lim
δ→0
H sδ (A) = sup
δ>0
H sδ (A).
2. A dimensão de Hausdorff de um conjunto A ⊂ Rn é definido por
dimH (A) := inf{0 ≤ s <∞ : H s(A) = 0}
O teorema a seguir afirma um fato não trivial que a medida de Haudorff coincide com
a medida de Lebesgue sobre o Rn (compare as definições (2.21) e 2.34).
Teorema 2.35. H n = L n sobre o Rn
Demonstração. Veja [12], Teorema 2, p.70.
Teorema 2.36. H s é Borel regular para todo s ≥ 0. Além disso, se A ⊂ Rn é H s-
mensurável com H s(A) <∞ então H sbA é uma medida de Radon.
Demonstração. Veja [12], Teorema 1, p.61, para a primeira parte, e use Teorema 3, p.5.
para a segunda parte.
Teorema 2.37. Sejam f : Rn −→ Rm uma aplicação Lipschitz, A ⊂ Rn, e 0 ≤ s < ∞.
Então H s(f(A)) ≤ (Lip(f))sH s(A), onde
Lip(f) := sup
{
|f(x)− f(y)|
|x− y|
: x, y ∈ Rn, x 6= y
}
Demonstração. Veja [12], Teorema 1, p.75.
16
2.8 Propriedade Finas de Análise
Teorema 2.38 (Rademacher). Seja f : Rn −→ Rm uma função localmente Lipschitz.
Então f diferenciável L n-quase sempre, isto é, para quase todo ponto x ∈ Rn,
lim
y→x
|f(y)− f(x)−Df(x)(x− y)|
|x− y|
= 0
onde Df(x) é a aplicação linear chamada a diferencial de f em x.
Demonstração. Veja [12], Teorema 2, p.81.
Teorema 2.39 (Fórmula da Área). Seja f : Rn −→ Rm uma função Lipschitz, n ≤ m.
Então para cada subconjunto L n-mensurável A do Rn,∫
A
Jf(x) dx =
∫
Rm
H 0(A ∩ f−1({y}))dH n−1(y).
Demonstração. Veja [12], Teorema 1, p.96.
Teorema 2.40 (Fórmula da mudança de variáveis). Seja f : Rn −→ Rm uma função
Lipschitz, n ≤ m. Então para cada função L n somável g : Rn −→ R,∫
Rn
g(x)Jf(x) dx =
∫
Rm
[ ∑
x∈f−1({y})
g(x)
]
dH n(y).
Demonstração. Veja [12], Teorema 2, p.99.
Teorema 2.41 (Fórmula da Coárea). Seja f : Rn −→ Rm uma função Lipschitz, n ≥ m.
Então para cada subconjunto L n-mensurável A do Rn,∫
A
Jf(x) dx =
∫
Rm
H n−m(A ∩ f−1({y}))dy.
Demonstração. Veja [12], Teorema 1, p.112.
Teorema 2.42. Seja f : Rn −→ Rm uma função Lipschitz, n ≥ m. Então para cada
função L n-somável g : Rn −→ R, g|f−1({y}) é H n−m somável para L m em quase todo y
e ∫
A
g(x)Jf(x) dx =
∫
Rm
[∫
f−1({y})
g dH n−m
]
dy.
Demonstração. Veja [12], Teorema 2, p.117.
17
2.9 Regularização e Aproximação
Seja U um conjunto aberto do Rn. Para todo ε > 0, defina
Uε := {x ∈ U : dist(x, ∂U) > ε}.
Definição 2.43. Seja uma função η : Rn −→ R de classe C∞, definido por
η(x) :=
 C exp
(
1
|x|2−1
)
se |x| < 1,
0 se |x| ≥ 1,
onde C é uma constante escolhida de modo que
∫
Rn η(x) dx = 1. O regularizador padrão
ηεé definido por
ηε(x) :=
1
εn
η
(x
ε
)
, x ∈ Rn.
Ainda, para toda f ∈ L1loc(U), e definiremos
fε = ηε ∗ f,
isto é,
fε(x) :=
∫
U
ηε(x− y)f(y)dy, x ∈ Uε.
Teorema 2.44. .
1. Se f ∈ L1(U), então fε ∈ C∞(Uε).
2. Se f, g ∈ L1loc(U), então
∫
U
fεg dx =
∫
U
fgε dx.
3. Se f é uma função continua em U , então fε → f uniformente em subconjuntos
compactos de U .
4. Se f ∈ Lp(U) para algum 1 ≤ p <∞, então fε → f em L1loc(U). Ainda, se x é um
ponto de Lebesgue de f então f ε(x) → f(x). Em particular, fε → f L n−1q.s.
Demonstração. Veja [12], Teorema 1, p.123.
Proposição 2.45 (Lema de Du Bois Raymond). Seja f ∈ L1loc(U) tal que∫
U
fφ dx = 0
para toda φ ∈ C∞c (U). Então f ≡ 0 L n-q.s. em U .
Demonstração. Veja [1], Lema 3.31, p.74.
18
Caṕıtulo 3
O Teorema Clássico de Gauss-Green
O presente caṕıtulo tem como objetivo demonstrar a Fórmula de Gauss-Green (também
chamado a fórmula de integração por partes) em suas várias versões: para funções su-
aves, funções de Sobolev e funções de Variação Limitada em domı́nios cujos bordos são
Lipschitz, e usá-lo para fornecer uma noção sobre o traço para estas funções.
É bem sabido que não faz sentido definir uma função f em um conjunto de medida nula
quando esta fora definida quase sempre. Consequentemente, lembrando que a fronteira
∂U tem medida L n nula para todo conjunto aberto U , não há trivialmente um significado
para os “valores de f”sobre ∂U .
A noção do traço que estudaremos neste caṕıtulo resolverá esse problema para funções
de Sobolev e funções BV , quando ∂U é Lipschitz; e note que, pelo Teorema de Radama-
cher, ∂U irá possuir um campo normal em H n−1 quase sempre. No caso de f continua
até o fecho de U , temos que f assume valores em ∂U no sentido usual. As seções deste
caṕıtulo foram baseadas em [2], [12],[16] e [23], e utilizaremos a notação do Apêndice A.
3.1 Integração sobre Fronteiras Lipschitz
Seja U um conjunto aberto do Rn.
Definição 3.1. Dizemos que a fronteira ∂U é Lipschitz (respectivamente, classe Ck para
k = 1, . . . ) se para cada x0 ∈ ∂U , existe r > 0 e uma aplicação Lipschitz (respectivamente,
19
classe Ck para k = 1, . . . ) γ : Rn−1 −→ R tal que
U ∩Q(x0; r) := {y : γ(y1, . . . , yn−1) < yn} ∩Q(x0; r).
onde Q(x0, r) é um cubo aberto.
Em outras palavras, a fronteira de U é localmente o gráfico de uma função Lipschitz.
x0
γ
Figura 3.1: Uma fronteira Lipschitz.
Observação 3.2. Fixemos uma função Lipschitz γ : Rn−1 −→ R e um conjunto aberto
limitado em Rn. O gráfico de γ sobre U é
G(γ;U) = {(x, γ(x)) : x ∈ U},
e podemos considerar como a imagem de uma aplicação injetiva Γ : Rn−1 −→ Rn por
Γ(x) = (x, γ(x)). Então, usando o Teorema de Ramacher,
Df =

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1
∂γ
∂x1
∂γ
∂x2
. . . ∂γ
∂xn−1

n×(n−1)
Logo o Jacobiano J Γ =
√
1 + |∇γ|2, e consequentemente
H n−1(G(γ;U)) =
∫
U
√
1 + |∇γ|2dx.
Além disso, novamente pelo Teorema de Rademacher, o campo normal exterior ν a ∂U
existe H n−1 quase sempre sobre ∂U .
20
Agora, dado xj ∈ ∂U, j ≥ 1, vamos escolher uma vizinhança de xj como segue: seja
(−αji , α
j
i ), i = 1, . . . , n− 1, intervalos abertos de R, e ponha
Ωj =
n−1∏
i=1
(−αji , α
j
i )
tal que xj ∈ Ωj × (−r, r). Definiremos uma aplicação ψj(x) = (x′, xn + γj(x′)) para todo
x ∈ Ωj × (−r, r), onde r e γj são como na definição (3.1), e x′ é escolhido de modo que
x = (x′, xn) ∈ Rn. Além disso, note que ψj é um homeomorfismo sobre a sua imagem, e
escreva para todo j ≥ 1,
1. U+j = Ωj × (0, r),
2. U−j = Ωj × (−r, 0), e
3. U0j = Ωj × {0}.
U+j
U−j
U0j
ψj
xn
x′
ψj(U
+
j )
ψj(U
−
j )
ψj(U
0
j )
Figura 3.2: Uma fronteira suave.
Logo ψj(U
+
j ) ⊂ U , ψj(U−j ) ⊂ Rn − U e ∂U ⊆ ∪∞j=1ψj(U0j ). Agora, se U é limitado, então
existe um inteiro positivo N tal que
∂U =
N⋃
j=1
ψj(U
0
j )
O Teorema que enunciaremos a seguir será bastante útil no decorre deste caṕıtulo ao
afirmar a existência da partição da unidade, e pode ser encontrado em [1].
Teorema 3.3. Seja G uma cobertura aberta de um conjunto E ⊂ Rn. Então existe uma
familia F de funções ξ ∈ C∞c (Rn) tal que:
1. Para cada ξ ∈ F , existe U ∈ G tal que spt ξ ⊂ U .
21
2. Se F ⊂ E é compacto, então spt ξ ∩ F 6= ∅ para somente um número finito de
ξ ∈ F .
3.
∑
ξ∈F ξ(x) = 1 para cada x ∈ F .
Demonstração. Veja [1], Teorema 3.15, p.65.
Agora, iniciaremos o estudo da Fórmula de Gauss-Green pelo caso que chamaremos
de clássico, isto é, para campos suaves em domı́nios cujas fronteiras são localmente o
gráfico de funções Lipschitz.
Teorema 3.4 (Fórmula de Gauss-Green). Seja U um conjunto aberto limitado do Rn
com ∂U é Lipschitz. Se ϕ ∈ C1(U ; Rn), então∫
U
div ϕ dx =
∫
∂U
ϕ · ν dH n−1 (3.1)
onde ν é o campo normal unitário definido H n−1 quase sempre sobre ∂U .
Demonstração. Fixe ϕ ∈ C1(U ; Rn). Como ∂U é um conjunto compacto, existe uma
cobertura aberta finita que ainda cobre ∂U , digamos Vk , k = 1, . . . , N . Então pelo
Teorema (3.3) que, existe uma partição da unidade {ξi}Ni=o subordinada aos conjuntos
abertos Vk , k = 1, . . . , N , isto é, existe uma seqüência de funções suaves {ξi}Ni=o tal que ξk ∈ C∞c (Vk), 0 ≤ ξk ≤ 1, (k = 1, . . . , N)∑N
k=1 ξk = 1 em ∂U.
Então ∫
U
div ϕ dx =
∫
U
div
(
ϕ−
N∑
k=1
ξkϕ
)
dx+
∫
U
div
( N∑
k=1
ξkϕ
)
dx
=
∫
U
div(λϕ)dx+
N∑
k=1
∫
U∩Vk
div(ξkϕ)dx, (3.2)
onde λ ≡ 1−
∑N
k=1 ξk em U . Afirmamos que o primeiro termo do lado direito de (3.2) é
zero. De fato, pelo Teorema de Fubini e como λ ≡ 0 sobre ∂U , obtemos:∫
U
div(λϕ)dx =
n∑
j=1
∫∫
. . .
∫
∂
∂xj
(λϕ)dxj · · · = 0. (3.3)
22
Agora, considere ϕ′ := (ϕ1, . . . , ϕn−1) e γk como na definição de fronteira Lipschitz, e uma
vez que ψk(U
+
k ) = Vk ∩U e |Jψ
−1
k (x)| = |Jψk(x)| = 1 H n−1 quase sempre, k = 1, . . . , N ,
então obtemos∫
U∩Vk
div(ξkϕ)dx =
∫
U+k
div(ξkϕ)[ψ
−1
k (y)] dy
=
∫
U+k
n∑
j=1
{
∂(ξkϕj)
∂xj
∂xj
∂yj
+
∂(ξkϕj)
∂xn
∂xn
∂yj
}
dy
=
∫
U+k
{ n−1∑
j=1
{
∂(ξkϕj)
∂xj
− ∂(ξkϕj)
∂xn
· ∂γk
∂xj
}
+
∂(ξkϕn)
∂xn
}
dx
=
n−1∑
k=1
∫
U+k
∂(ξkϕj)
∂xj
dx+
∫
U+k
∂
∂xn
{
ξk(ϕn −∇γk · ϕ′)
}
dx
=
∫
Ωk
ξk(∇γk.ϕ′ − ϕn)[ψk(x′, 0)]dx′, (3.4)
para todo k = 1, . . . , n, onde na última igualdade é obtida integrando em cada direção
xi (i = 1, . . . , n). Agora, pelo Teorema de Radamacher, podemos tomar derivada para γk
em H n−1 quase sempre; de modo que obtemos a normal exterior a Vk ∩ ∂U ,
νk :=
(∇γk,−1)√
1 + |∇γk|2
, (3.5)
definida em H n−1 quase sempre, e note que νk = ν sobre Vk ∩ ∂U ; onde ν é o campo
normal unitário definido H n−1 quase sempre sobre ∂U . Então, por (3.2), (3.3), (3.4) e
(3.5), obtemos∫
U
div ϕ dx =
N∑
k=1
∫
Ωk
ξk(ϕ · νk)(
√
1 + |∇γk|2)[ψk(x′, 0)] dx′
=
N∑
k=1
∫
ψk(U
0
k )
ξk(ϕ · νk)(
√
1 + |∇γk|2) dx′.
Finalmente, como ν é o campo normal unitário definido H n−1 quase sempre sobre a
fronteira de U , e como
Jψk(x
′, 0) =
√
1 + |∇γk|2 e ∂U =
N⋃
j=1
ψj(U
0
j ).
Então pela Fórmula de Mudança de Variável (2.40), obtemos a identidade (3.1), o que
completa a prova.
23
Claramente o teorema anterior é, também, válido se a fronteira do domı́no da ϕ for
suave. Além disso,pela deomnstração podeŕıamos assumir no Teorema (3.3) apenas que
f pertença a C1(U ; Rn)∩C0(U ; Rn). A seguir veremos uma aplicação direta da Fórmula
de Gauss-Green, a chamada Fórmula de Integração por Partes.
Corolário 3.5 (Fórmula de Integração por Partes). Seja U um conjunto aberto limitado
do Rn com ∂U Lipschitz. Se ϕ ∈ C1(U ; Rn), então para toda φ ∈ C∞(Rn),∫
U
φ div ϕ dx = −
∫
U
ϕ · ∇φ dx+
∫
∂U
φ(ϕ · ν) dH n−1,
onde ν é o campo normal unitário definido H n−1 quase sempre em ∂U .
Por fim, convém observar que a medida de Hausdorff é a medida natural para trabalhar
com esses tipos de conjuntos que não são regulares no sentido da Geometria Diferencial.
De fato, ela nos permitirá definir uma dimensão s de conjuntosno Rn, e dotá-los com
uma medida associada a essa dimensão sobre Rn para algum s com 0 ≤ s ≤ n. Essa
medida será usada indestintamente ao longo dessa disertação.
3.2 Espaços de Sobolev
Seja U um conjunto aberto do Rn e seja α um multi-́ındice.
3.2.1 Considerações Gerais
A seguir definiremos uma noção de convergência para o espaço das funções suaves com
suporte compacto, isto é, em C∞c (U).
Definição 3.6. Diz-se que uma seqüência {φn}∞n=1 converge a φ em C∞c (U), e escrevemos
φn → φ em C∞c (U), se
1. existe um conjunto compacto K ⊂ U tal que spt(φn) ⊂ K para todo n = 1, . . . ; e
2. limn→∞D
αφn = D
αφ uniformente sobre K, para todo multi-́ındice α.
Ainda, o espaço C∞c (U), munido dessa noção de convergência, será denotado por D(U),
e seus elementos são chamados de funções testes.
Definição 3.7. Uma distribuição em U é uma transformação linear cont́ınua sobre D(U).
24
O valor da distribuição T em φ será denotado por
〈
T, φ
〉
, e o espaço de todas as das
distribuições será denotado por D′(U).
Exemplo 3.8. Seja U = Rn. Definamos
〈
δ, φ
〉
= φ(0), φ ∈ D(U). Claramente δ é um
funcional linear cont́ınuo. Essa distribuição é chamada de “delta de Dirac”.
Exemplo 3.9. Suponha que f ∈ L1loc(U), e considere o seguinte operador linear T :
D(U) −→ R definido por
〈
T, φ
〉
=
∫
Rn
fφ dx, φ ∈ D(U)
Claramente, T é uma distribuição; e afirmamos que T é univocamente determinado por
f . De fato, suponha que existam f, g ∈ L1loc(U) tais que
〈
T, φ
〉
=
∫
Rn fφ dx e
〈
T, φ
〉
=∫
Rn gφ dx para toda φ ∈ D(U). Portanto, para toda φ ∈ D(U),
∫
Rn(f − g)φ dx = 0;
então, pelo Lema de Du Bois Raymond (2.45), f = g L n-q.s. Por essa razão, podemos
identificar f com uma distribuição associada. Agora, por abuso de notação, escreveremos
f(φ) =
∫
Rn fφ dx para toda φ ∈ D(U).
Convém observar que dada uma função f ∈ C1(U), então se φ ∈ C∞c (U) segue pela
Fórmula de Integração por Partes (3.5) que
−
∫
U
fxiφdx =
∫
U
fφxidx (i = 1, . . . , n).
Note que não há termo sobre o bordo , pois a função de teste φ tem suporte compacto
em U . Mais geralmente, se f ∈ Ck(U) e α é um multi-́ındice tal que |α| ≤ k, então
(−1)|α|
∫
U
φ g dx =
∫
U
f Dαφ dx,
onde g = Dαf . Além disso, esta igualdade faz sentido se g, f ∈ L1loc(U). O que motivará
a definição da chamada derivada fraca de uma função f ∈ L1loc(U).
Definição 3.10. Seja f ∈ L1loc(U). Dizemos que g ∈ L1loc(U) é a α-ésima derivada parcial
fraca de f , se
(−1)|α|
∫
U
φ g dx =
∫
U
f Dαφ dx,
para toda φ ∈ D(U) e, ainda, dizemos que g = Dαf existe no sentido fraco. Se não existe
tal função g, então f não possui α-ésima derivada parcial fraca.
25
Exemplo 3.11. Sejam n = 1 e U = (0, 2). Consideremos as funções
u(x) =
 x, se 0 < x ≤ 11, se 1 ≤ x < 2
e
v(x) =
 1, se 0 < x ≤ 10, se 1 < x < 2.
Afirmamos que u′ = v existe no sentido fraco. De fato, para qualquer φ ∈ C∞c (U), temos∫
U
uφ′dx =
∫ 1
0
xφ′ +
∫ 2
1
φ′dx
= −
∫ 1
0
φdx+ φ(1)− φ(1) = −
∫ 2
0
vφ dx
Logo existe a derivada u′ = v no sentido fraco.
Exemplo 3.12. Sejam n = 1 e U = (0, 2). Consideremos a função
u(x) =
 0, se 0 < x ≤ 11, se 1 ≤ x < 2
Afirmamos que u′ não existe no sentido fraco. De fato, para qualquer φ ∈ C∞c (U),
suponhamos que existe v ∈ L1loc(U) tal que∫ 2
0
uφ′dx = −
∫ 2
0
vφ dx.
Consequentemente,
−
∫ 2
0
vφ dx =
∫ 2
0
uφ′dx =
∫ 2
1
φ′dx = −φ(1).
Agora, seja {φk}∞k=1 uma seqüência de funções suaves tais que 0 ≤ φk ≤ 1, φm(1) = 1
e φk(x) → 0 para todo x 6= 1. Então trocando φ por φk em (3.6), e pelo Teorema da
Convergência Dominada, obtemos
1 = lim
k→∞
φk(1) = lim
k→∞
(∫ 2
0
vφk dx
)
= 0,
uma contradição.
26
Exemplo 3.13. Sejam n = 1 e U = (0, 2). Consideremos as funções
u(x) =
 x, se 0 < x ≤ 12, se 1 < x < 2.
Afirmamos que u′ não existe no sentido fraco. De fato, para qualquer φ ∈ C∞c (U),
suponhamos que existe v ∈ L1loc(U) tal que∫ 2
0
uφ′dx = −
∫ 2
0
vφ dx.
Consequentemente,
−
∫ 2
0
vφ dx =
∫ 2
0
uφ′dx
=
∫ 1
0
xφ′dx+ 2
∫ 2
1
φ′dx = −
∫ 1
0
φ dx− φ(1). (3.6)
Agora, seja {φk}∞k=1 uma seqüência de funções suaves tais que 0 ≤ φk ≤ 1, φm(1) = 1
e φk(x) → 0 para todo x 6= 1. Então trocando φ por φk em (3.6), e pelo Teorema da
Convergência Dominada, obtemos
1 = lim
k→∞
φk(1) = lim
k→∞
(∫ 2
0
vφk dx−
∫ 1
0
φk dx
)
= 0,
uma contradição.
Claramente, se f é suave de modo que exista a α-ésima derivada parcial Dαf no sen-
tido usual (clássico), então Dαf será também uma α-ésima derivada parcial no sentido
fraco. Além disso, é facil verificar que Dαf quando existe é único a menos de um con-
junto de medida L n nula (veja [11]). Agora, motivados pela definição de derivada fraca
definiremos a derivada no sentido das distribuições.
Definição 3.14. Seja T ∈ D′(U). Dizemos que DαT é a α-ésima derivada distribucional
se
〈
DαT, φ
〉
= (−1)|α|
〈
T,Dαφ
〉
para toda φ ∈ C∞c (U).
Observe que se T e DαT forem definidas por funções em L1loc(U) então as definições de
derivada fraca e distribuicional coincidem. Agora, definiremos certos espaços de funções,
cujos elementos possuem derivada fraca de várias ordens o que não é verdadeiro em alguns
espaços Lp.
27
Definição 3.15. Seja 1 ≤ p ≤ ∞.
1. Para todo inteiro positivo k, o Espaço de Sobolev,
W k,p(U),
consiste de todas as funções f ∈ Lp(U) tais que Dαf ∈ Lp(U) existe no sentido
fraco para todo |α| ≤ k.
2. A função f ∈ W k,ploc (U) se f ∈ W k,p(V ) para cada conjunto aberto V ⊂⊂ U .
3. Dizemos que f é uma função de Sobolev se f ∈ W 1,ploc (U) para algum 1 ≤ p ≤ ∞.
Exemplo 3.16. A função definida no exemplo (3.11) pertence a W 1,1(0, 2), por outro
lado, a funções definida no exemplo (3.12) não pertence a este espaço. Além disso, se
E é um conjunto aberto de R com fronteira suave, então a função caracteŕıstica não
pertence a W 1,1loc (U) para algum conjunto aberto U .
Se p = 2, W k,2(U) (k = 1, . . . ) é um espaço de Hilbert, usualmente denotado por
Hk(U); e neste caso, note que H0(U) = L2(U). Ainda, o espaço de Sobolev W k,p(U) é
um espaço normado equipado com a norma
||f ||W p,k(U) :=

(∑
|α|≤k
∫
U
|Dαf |pdx
) 1
p , 1 ≤ p <∞∑
|α|≤k ess supU |Dαf |, p = ∞
a qual é claramente equivalente a norma
∑
|α|≤k ||Dαf ||Lp(U), e podemos verificar que
W k,p(U) é um espaço de Banach (veja [11], Teorema 2, p.249.). Além disso, se existe
uma seqüência limitada {fk}∞k=1 em W 1,p(U), onde U é um conjunto aberto limitado com
fronteira Lipschitz e 1 < p < n, então existem uma subseqüência {fkj}∞j=1 e f ∈ W 1,p(U)
tais que fkj → f em Lq(U), para cada 1 ≤ q <
pn
n−p (veja [12], Teorema 1, p.144); neste
caso, dizemos que W 1,p(U) esta compactamente imerso em Lq(U), W 1,p(U) ↪→ Lq(U).
Agora, veremos no próximo resultado, que poderemos aproximar funções f ∈ W 1,p(U),
onde 1 ≤ p < ∞, por funções em C∞(U). Em outras palavras, mostraremos que o
conjunto das funções f ∈ C∞(U) tal que a norma ||f ||Wk,p(U) <∞ é denso em W k,p(U), e
note que não exigimos nenhuma regularidade sobre o bordo de U . Aqui, faremos a prova
somente para o caso mais simples: quando U = Rn. O caso geral, faz uso da partição da
unidade e pode ser encontrado em [12].
28
Teorema 3.17. Seja f ∈ W k,p(U) para algum 1 ≤ p < ∞. Então existe uma seqüência
fm ∈ W k,p(U) ∩ C∞(U), m = 1, . . . tal que fm → f em W k,p(U).
Demonstração. Assuma que U = Rn e fixe ε > 0. Defina fε := ηε ∗ f ; logo fε → f em
Lp(U) quando ε→ 0. Afirmamos que Dαfε = ηε ∗Dαf para todo multi-́ındice α tal que
|α| ≤ k. De fato,
Dαfε(x) =
∫
U
Dαxηε(x− y)f(y) dy
= (−1)|α|
∫
U
Dαy ηε(x− y)f(y) dy
= (−1)2|α|
∫
U
ηε(x− y)Dαf(y)dy (pela definição (3.8))
= ηε ∗Df(x)
Logo Dαfε → Dαf em Lp(U) quando ε→ 0, o que completa a prova.
O teorema que enunciaremos a seguir (veja [12]) nos permitirar aproximarmos funções
f ∈ W 1,p(U), onde 1 ≤ p <∞, por funções em C∞(U) quando U é um conjunto aberto
limitado;no entanto, necessitamos de alguma condição geométrica sobre o bordo de U ,
a saber, que a fronteira ∂U seja Lipschitz.
Teorema 3.18. Seja U limitado com ∂U é Lipschitz. Se f ∈ W 1,p(U) para algum
1 ≤ p < ∞, então existe uma seqüência fm ∈ W 1,p(U) ∩ C∞(U), m = 1, . . . , tal que
fm → f em W 1,p(U)
Demonstração. Veja [12], Teorema 3, p.127.
3.2.2 Fórmula de Gauss-Green para funções W 1,p
No que se segue passaremos a estudar a Fórmula de Gauss-Green para funções W 1,p(U)
com 1 ≤ p < ∞. Como dito anteriormente, não faz sentido definir a “restrição”de um
função em um conjunto de medida nula quando esta fora definida quase sempre. No
entanto, a importância de se estudar problemas de valor de fronteira para operadores
diferenciáveis em algum domı́nio U cria naturalmente uma questão: qual o significado
que podemos atribuir a f sobre os valores da fronteira de U ; ou mais formalmente, em
qual espaço de funções definido sobre ∂U que contém o traço Tf para a função f .
29
O Teorema (3.19) resolverá este problema para funções de Sobolev em conjuntos
abertos e limitados com fronteira Lipschitz. Aqui seguiremos a demonstração de [12] e
usaremos a notação do Apêndice A.
Teorema 3.19 (Fórmula de Gauss-Green). Seja U um conjunto limitado com ∂U Lips-
chitz e 1 ≤ p <∞. Então
1. Existe um operador linear limitado
T : W 1,p(U) −→ Lp(∂U ; H n−1)
tal que Tf = f em ∂U para toda f ∈ W 1,p(U) ∩ C(U).
2. Além disso, para toda φ ∈ C1(Rn; Rn) e f ∈ W 1,p(U),∫
U
f div φ dx = −
∫
U
Df · φ dx+
∫
∂U
(φ · ν)Tf dH n−1 (3.7)
onde ν denota o campo normal unitário exterior a ∂U .
Agora, defiremos o traço de uma função de Sobolev sobre uma fronteira Lipschitz
como o operador linear limitado Tf em (3.7). Mais precisamente:
Definição 3.20. Dizemos que Tf , o qual é único a menos de um conjunto de medida
H n−1b∂U nula, é o traço de f sobre a fronteira de U . Interpretaremos Tf como o “valor
de fronteira” de f sobre ∂U .
Demonstração. Fixe x ∈ ∂U e ε > 0. Como ∂U é Lipschitz, existe r > 0 e uma aplicação
Lipschitz γ : Rn−1 −→ R tais que
U ∩Q(x; r) := {y : γ(y1, . . . , yn−1) < yn} ∩Q(x; r).
onde y = (y1, . . . , yn−1, yn) ∈ Rn. Escreva Q ≡ Q(x; r), e suponha inicialmente que
f ∈ C1(U) e que f ≡ 0 em Rn −Q. Afirmamos que existe q > 0 tal que
−en · ν ≥ q > 0 H n−1-q.s. em Q ∩ ∂U.
30
De fato, como γ é uma função Lipschitz, pelo Teorema de Radamacher, podemos tomar
derivadas em quase todo ponto
−en · ν = −en ·
(
(∇γ,−1)√
1 + |∇γ|2
)
≥ 1√
1 + |∇γ|2
≥ 1√
1 + Lip(γ)2
> 0.
Então, a afirmação segue pondo
q =
1√
1 + Lip(γ)2
.
Agora, definiremos βε(t) = (t
2 + ε2)
1
2 − ε para todo t ∈ R, e note que |β′ε| ≤ 1. Então,
calculemos:∫
∂U
βε(f)dH
n−1 =
∫
Q∩∂U
βε(f)dH
n−1
≤ C
∫
Q∩∂U
βε(f)(−en · ν)dH n−1
= −C
∫
Q∩U
∂yn(βε(f))dx (pelo Teorema (5.9))
≤ C
∫
Q∩U
|β′ε(f)||∂ynf |dx
≤ C
∫
Q∩U
|β′ε(f)||Df |dx
≤ C
∫
Q∩U
|Df |dy.
Então passando ao limite quando ε → 0, pelo Teorema da Convergência Dominada,
obtemos ∫
∂U
|f |dH n−1 ≤ C
∫
U
|Df |dx.
Agora, suponhamos que f ∈ C1(U). Como ∂U é um conjunto compacto então existe um
número finito de cubos abertos tais que
∂U ⊂
N⋃
i=1
Qi e
∫
∂U∩Qi
|f |dH n−1 ≤
∫
U∩Qi
|Df |dx, (3.8)
31
onde Q ≡ Q(xi; ri). Pelo Teorema (3.3), existe uma partição da unidade sobre U subor-
dinada a Qi, i = 1, . . . , N . Então∫
∂U
|f |dH n−1 =
∫
∂U
N∑
i=1
ξi|f |dH n−1
≤
N∑
i=1
∫
∂U∩Qi
|f |dH n−1
≤
N∑
i=1
∫
U∩Qi
|Df |dx
≤ C
∫
U
|f |+ |Df |dx,
onde {ξi}Ni=1 é partição associada a cobertura Qi, i = 1, . . . , N . Assim, para 1 < p <∞,
aplicando a estimativa acima com |f |p no lugar de |f | para obtermos∫
∂U
|f |pdH n−1 ≤ C
∫
U
(|Df ||f |p−1 + |f |p)dx
≤ C
∫
U
(
|Df |p
p
+
|f |(p−1)q
q
+ |f |p
)
dx
≤ C
∫
U
(|Df |p + |f |p)dx.
Agora, definimos um operador linear T : C1(U) −→ Lp(∂U ; H n−1) por
Tf :=
N∑
i=1
ξif
para toda f ∈ C1(U). Note que Tf := f |∂U e ||Tf ||Lp(∂U) ≤ C||f ||W 1,p(U) para toda
f ∈ C1(U), logo T é um operador linear limitado para toda f ∈ C1(U). Finalmente,
suponha que f ∈ W 1,p(U). Então existe uma seqüência {fk}∞k=1 em W 1,p(U) ∩ C∞(U)
tal que fk → f em W 1,p(U), e afirmamos que {Tfk}∞k=1 é uma seqüência de Cauchy. De
fato, temos que
||Tfm − Tfl||Lp(∂U) = ||T (fm − fl)||Lp(∂U) ≤ C||fm − fl||W 1,p(U) (3.9)
Passando ao limite quando l, m→∞ em (3.9), segue que {Tfk}∞k=1 é uma seqüência de
Cauchy em Lp(∂U ; H n−1). Portanto, existe o limite de {Tfk}∞k=1 quando k → ∞; pois
Lp(∂U ; H n−1) é um espaço completo. Assim, defina
Tf := lim
k→∞
Tfk.
32
para toda f ∈ W 1,p(U) ∩ C(U); o completa a prova da primeira afirmação. Final-
mente para ver (3.7), apliquemos a Fórmula de Gauss Green Clássica para uma seqüência
{fk}∞k=1 em W 1,p(U) ∩ C∞(U),∫
U
fk div φ dx = −
∫
U
Dfk · φ dx+
∫
∂U
(φ · ν)Tfk dH n−1 (3.10)
para toda φ ∈ C1c (Rn; Rn). Agora, passando ao limite quando k →∞, usando o Teorema
da Convergência Dominada obtemos (3.7); o que completa a prova da segunda afirmação.
3.3 Funções de Variacão Limitada
Seja U um conjunto aberto do Rn.
3.3.1 Considerações Gerais
Definição 3.21. .
1. Dizemos que f ∈ L1(U) é uma função de variação limitada em U, e denotamos por
f ∈ BV (U), se o gradiente ∇f no sentido das distribuições é uma medida de Radon
finita em U .
2. Dizemos que f é uma função de variação limitada local, e denotamos f ∈ BVloc(U),
se f ∈ BV (V ) para todo conjunto aberto V ⊂⊂ U .
Em outras palavras, f ∈ BV (U) se, e somente, existe ∇f em M(U ; Rn) finita tal que
para i = 1, . . . , n, ∫
U
f φxi dx = −
∫
U
φ d(Dif),
para toda φ ∈ C1c (U), onde ∇f = (D1f, . . . , Dnf) em U ; ou equivalentemente,∫
U
f div φ dx = −
∫
U
φ · d(∇f),
para toda φ ∈ C1c (U ; Rn). Além disso, para simplificar escreveremos∫
U
f div φ dx = −
∫
U
φ · ∇f, (3.11)
para toda φ ∈ C1c (U ; Rn).
33
Agora, definiremos a chamada variação de uma função f ∈ L1loc(U), e juntamente
com Teorema (3.24) fornecerá um critério util para saber se f é uma função de variação
limitada (para detalhes veja [2]).
Definição 3.22. A variação V (f ;U) de uma função f ∈ L1loc(U) em U é definido por
V (f ;U) = sup
{∫
U
f div φ dx : φ ∈ C1c (U ; Rn), ||φ||L∞ ≤ 1
}
. (3.12)
No exemplo a seguir, observemos que para toda função f ∈ W 1,1(U) tem variação
finita. Em particular, veremos que toda função de Sobolev tem localmente variação
limitada.
Exemplo 3.23. Suponha que f é uma função de Sobolev,isto é, f ∈ W 1,1(U), então
temos a seguinte igualdade
V (f ;U) =
∫
U
|Df |dx.
De fato, trivialmente V (f ;U) ≤
∫
U
|Df |dx. É suficiente provar a desigualdade oposta,
para tal fixe ε > 0, e escolha φ como (Df)ε|Df | , onde Dfε = ηε ∗Df , então
V (f ;U) ≥
∫
U
f divφ dx =
∫
U
(Df)ε ·Df
|Df |
dx. (3.13)
Passando ao limite quando ε → 0, obtemos V (f ;U) ≥
∫
U
|Df |dx. Também observe que
a mesma igualdade é válida se f é de classe C1.
Tendo em vista, a definição de variação de uma função f ∈ L1loc(U), note que a
variação da mesma pode ser infinita. Neste caso, veremos através do Teorema (3.24), que
pode se encontrado em [2], que esta não será uma função de variação limitada.
Teorema 3.24. Seja f ∈ L1(U). Então f ∈ BV (U) se, e somente se, V (f ;U) < ∞.
Além disso, V (f ;U) = ||∇f ||(U).
Demonstração. Suponhamos que f seja uma função de variação limitada, ou seja, f ∈
BV (U). Fixemos φ ∈ C1c (U ; Rn), |φ| ≤ 1, então temos que
−
∫
U
f div φ dx =
∫
U
φ · ∇f ≤
∫
U
d||∇f ||.
34
Como |φ| ≤ 1, segue que V (f ;U) ≤ ||∇f ||(U) < ∞ Reciprocamente, definimos um
operador linear L : C1c (U ; Rn) −→ R por
L(φ) := −
∫
U
f div φ dx
para toda φ ∈ C1c (U ; Rn). Observemos que |L(φ)| ≤ V (f ;U)||φ||L∞ . Fixemos um con-
junto compacto K ⊂ U , e seja V um conjunto aberto V tal que K ⊂ V ⊂⊂ U . Para cada
φ ∈ Cc(U ; Rn) com spt(φ) ⊂ K, existe uma seqüência φk ∈ C1(V ; Rn), k = 1, . . . , tal que
φk → φ uniformente em V . Definimos L̃(φ) := limk→∞ L(φk), paratodo φ ∈ Cc(U ; Rn).
Pela desigualdade |L(φ)| ≤ V (f ;U)||φ||L∞ , vemos que L̃ está bem-definido e, ainda, pode
ser estendida ao operador linear L̃ : Cc(U ; Rn) −→ R tal que
sup{L̃(φ) : φ ∈ Cc(U ; Rn), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ K} <∞.
Finalmente, pelo Teorema de Representação de Riesz, existe uma única medida de Radon
vetorial µ tal que
L̃(φ) :=
∫
U
φ · dµ.
Portanto, f é uma função de variação limitada, isto é, f ∈ BV (U). Ainda, para cada
φ ∈ C1c (U ; Rn), |φ| ≤ 1, então |L̃(φ)| ≤ V (f ;U), logo ||∇f ||(U) ≤ V (f ;U).
Exemplo 3.25. Suponhamos que f ∈ W 1,1(U), então pelo Exemplo (3.23) e o teorema
anterior, f ∈ BV (U), logo W 1,1(U) ⊂ BV (U), e analogamente, W 1,1loc (U) ⊂ BVloc(U).
Em particular, W 1,ploc (U) ⊂ BVloc(U) para 1 ≤ p ≤ ∞. Consequentemente, toda função de
Sobolev tem variação limitada local.
Exemplo 3.26. Seja u a função do Exemplo (3.13), então u ∈ BV (0, 2) (veja [12],
Teorema 1, p.217). Agora, suponhamos que E seja um conjunto do Rn limitado com
fronteira suave tal que H n−1(∂E ∩ K) < ∞, para todo conjunto compacto K ⊂ U .
Então, para cada conjunto aberto V ⊂⊂ U e φ ∈ C1c (V ; Rn), |φ| ≤ 1, temos∫
E
div φ dx =
∫
∂E∩V
φ · ν dH n−1 ≤ H n−1(∂E ∩ V ) <∞.
Logo, XE ∈ BVloc(U); apesar de XE /∈ W 1,1loc (U). Portanto, as inclusões do exemplo
anterior são restritas, isto é, nem todas as funções de variação limitada local é também
uma função de Sobolev.
35
Exemplo 3.27 (Aproximação de Cantor-Vitali). Considere uma seqüência de funções
Vk : [0, 1] −→ R definida indutivamente por V0(x) = x e
Vk+1(x)

1
2
Vk(x) se x ∈ [0, 13 ]
1
2
se x ∈ [1
3
, 2
3
]
1
2
+ 1
2
Vk(3(x− 23)) se x ∈ [
2
3
, 1].
Figura 3.3: O gráfico de uma função V3.
para todo inteiro positivo k. Agora, podemos verificar que Vk(0) = 0, Vk(1) = 1 e
|Vk+1(x)− Vk(x)| ≤
1
3(2k+1)
(k = 1, . . . ) (3.14)
Por (3.14), {Vk}∞k=1 é uma seqüência de Cauchy em C ([0, 1]), consequentemente converge
uniformente em [0, 1] para alguma função cont́ınua V , chamada a função de Cantor-
Vitali. Finalmente, V tem variação limitada em (0, 1), V ∈ BV (0, 1), pois V é uma
seqüência não decrescente, e V (0) = 0, V (1) = 1. (Veja [17], p.19).
Agora, pelo Teorema (3.24) é fácil mostrar que o espaço BV (U) é um espaço normado
equipado com a norma
||f || := ||f ||L1(U) + ||∇f ||(U), (3.15)
e podemos verificar que BV (U) é um espaço de Banach (veja [16], p.9). Além disso, se
f ∈ L1(U), então f ∈ BV (U) se, e somente se, a norma ||f ||BV (U) < ∞; e se existe
uma seqüência limitada {fk}∞k=1 em BV (U), onde U é um conjunto aberto limitado com
fronteira Lipschitz, então existem uma subseqüência {fkj}∞j=1 e f ∈ BV (U) tais que
fkj → f em L1(U) (veja [12], Teorema 1, p.176); neste caso, dizemos que BV (U) esta
compactamente imerso em L1(U), BV (U) ↪→ L1(U).
36
Os próximos resultados dizem respeito a Semi-continuidade Inferior e a aproximação
por funções suaves e podem ser encontrados em [12],[16] e [23].
Teorema 3.28 (Semi-continuidade Inferior). Se fk ∈ BV (U), k = 1, . . . , e fk → f em
L1loc(U). Então f ∈ BV (U) e
||∇ f ||(U) ≤ lim inf
k→∞
||∇fk||(U).
Demonstração. Fixemos φ ∈ C1c (U ; Rn), |φ| ≤ 1. Então pelo Lema de Fatou (2.16),∫
U
f div φ dx = lim
k→∞
∫
U
fk div φ dx ≤ lim inf
k→∞
||∇fk||(U).
Portanto, ||∇f ||(U) ≤ lim infk→∞ ||∇fk||(U).
O próximo teorema será usado para demonstrar o Teorema (3.31). Aqui, faremos a
prova somente para o caso mais simples, isto é, quando U = Rn; o caso geral, faz uso da
partição da unidade e pode ser encontrado em [12].
Teorema 3.29 (Aproximação por Funções Suaves). Seja f ∈ BV (U). Então existe
uma seqüencia fk ∈ BV (U) ∩ C∞(U), k = 1, 2, . . . , tal que Fk → F em L1(U) e
limk→∞ ||∇Fk||(U) = ||∇F ||(U).
Demonstração. Assuma que U = Rn e fixe ε > 0. Defina fε := ηε ∗ f ; logo fε → f em
L1(U) quando ε→ 0. Agora, pelo Teorema (3.28) é suficiente mostrar que
lim sup
ε→0
||∇fε||(U) ≤ ||∇f ||(U). (3.16)
De fato, fixe φ ∈ C1c (U ; Rn), |φ| ≤ 1, temos que∫
U
fε div φ dx =
∫
U
(∫
U
ηε(x− y)f(y) dy
)
div φ dx
=
∫
U
(∫
U
ηε(x− y)div φ dx
)
f(y) dy
=
∫
U
(ηε ∗ div φ)f dy
=
∫
U
div (ηε ∗ φ)f dy
≤ ||∇f ||(U).
Logo, obtemos (3.16); o que completa a prova.
37
O próximo corolário faremos a prova somente para o caso mais simples, isto é, quando
U = Rn; o caso geral pode ser encontrado em [12].
Corolário 3.30. Seja f ∈ BV (U). Se fk ∈ C∞(U), k = 1, . . . é como no Teorema
(3.29). Então L nb∇fk ⇀ ∇f em M(Rn; Rn).
Demonstração. Assuma que U = Rn e escreva µk = L nb∇fk e µ = ∇f então para toda
φ ∈ C1c (Rn,Rn), ∫
U
φ dµk =
∫
U
φ · ∇fk dx = −
∫
U
fk div φ dx.
Como fk → f em L1(U), passando ao limite quando k → ∞ obtemos que µk ⇀
µ em M(Rn; Rn); o que completa a prova.
3.3.2 Fórmula de Gauss-Green para funções BV
Agora, passaremos a estudar a Fórmula de Gauss-Green para funções de variação limitada
em conjuntos abertos com fronteira Lipschitz. Convém observar que o teorema a seguir é
uma generalização do Teorema (3.19) para funções de Sobolev. De fato, lembramos que
W 1,ploc (U) ( BVloc(U), veremos que a noção de traço dada abaixo coincide conforme visto
em (3.20). Aqui seguiremos demonstração de [12] com a notação do Apêndice A.
Teorema 3.31 (Fórmula de Gauss-Green). Seja U um conjunto limitado com ∂U é
Lipschitz. Então existe um operador linear limitado
T : BV (U) −→ Lp(∂U ; H n−1)
tal que ∫
U
f div φ dx = −
∫
U
φ · ∇f +
∫
∂U
(φ · ν)Tf dH n−1 (3.17)
para toda φ ∈ C1(Rn; Rn) e f ∈ BV (U), onde ν denota o campo normal unitário exterior
a ∂U .
Agora, podemos definir de modo a noção sobre o traço de uma função BV sobre uma
fronteira Lipschitz do mesmo modo que a definição (3.20).
Definição 3.32. Dizemos que Tf , o qual é único a menos de um conjunto de medida
H n−1b∂U nula, é o traço de f sobre a fronteira de U . Interpretaremos Tf como o “valor
de fronteira” de f sobre ∂U .
38
Demonstração. Como ∂U é uma fronteria Lipschitz, existe r, h > 0 e uma aplicação
Lipschitz γ : Rn−1 −→ R tal que max{|γ(y′)− xn| y′ ∈ B[x′, r]} ≤ h4 e, a menos de uma
rotação e renomeando os eixos coordenados se necessário, podemos considerar que
U ∩ C(x; r, h) = {y ∈ Rn : |x′ − y′| < r, γ(y′) < yn < xn + h},
onde C ≡ C(x; r, h) é um cilindro aberto centrado em x. Inicialmente, suponhamos que
f ∈ BV (U)∩C∞(U). Tomando x ∈ ∂U e r, h, γ como acima. Se 0 < ε < h
2
e y ∈ ∂U ∩C,
definiremos uma função fε : Rn −→ R por
fε(y) := f(y
′, γ(y′) + ε).
Além disso, considere Cδ,ε o conjunto de todos os y ∈ C tais que γ(y′)+δ < yn < γ(y′)+ε
para todo 0 ≤ δ < ε < h
2
, e escreva Cε ≡ (C ∩ U)− C0,ε.
Figura 3.4: Um fronteira Lipschitz quanto ao conjunto Cδ,ε.
γ
Cδ,ε
x
h
C
r
U
Então
|fδ(y)− fε(y)| ≤
∫ ε
δ
∣∣∣∣ ∂f∂xn (y′, γ(y′) + t)
∣∣∣∣dt ≤ ∫ ε
δ
|∇f(y′, γ(y′) + t)|dt.
Conseqüentemente, como γ é uma aplicação Lipschitz, a Fórmula de Mudança de Variável
implica que∫
∂U∩C
|fδ − fε|dH n−1 ≤
∫
∂U∩C
∫ ε
δ
|∇f(y′, γ(y′) + t)|dt dH n−1
≤ C
∫
Cδ,ε
|∇f |dy
= C||∇f ||(Cδ,ε). (3.18)
39
Agora, definimos um operador linear limitado do seguinte modo
Tf := lim
ε→0
fε (3.19)
para toda f ∈ BV (U) ∩C∞(U). Observemos que (3.19) está bem definido. De fato, por
(3.18), {fε}ε>0 é de Cauchy em L1(∂U ∩ C; H n−1) que, por sua vez, é completo, logo
existe o limite em (3.19). Além disso, fixando ε > 0 e passando ao limite quando δ → 0
em (3.18), obtemos ∫
∂U∩C
|Tf − fε|dH n−1 ≤ C||∇f ||(C0,ε).
Fixemos φ ∈ C1c (C; Rn), então pelo Teorema de Gauss-Green Clássico temos que∫
Cε
f div φ dy = −
∫
Cε
φ · ∇f dy −
∫
∂U∩C
(φε · ν)fε dH n−1.
Agora, passando ao limite quando ε → 0 e lembrando que a translação é continua na
norma L1 obtemos∫
U∩C
f div φ dy = −
∫
U∩C
φ · ∇f −
∫
∂U∩C
(φ · ν)Tf dH n−1.
Como ∂U é um conjunto compacto existe um Ci ≡ C(xi; ri, hi), i = 1, . . . , N tais que
∂U ⊂
⋃N
i=1Ci e satisfaz∫
∂U∩Ci
|Tf − fε|dH n−1 ≤ C||∇f ||(Ci0,δ); e∫
U∩Ci
f div φ dy = −
∫
U∩Ciφ · ∇f −
∫
∂U∩Ci
(φ · ν)Tf dH n−1.
Escolha C0 um conjunto aberto tal que U ⊂ ∪Ni=0Ci e satisfaz os itens anteriores. Pelo
Teorema (3.3), existe uma partição da unidade {ξi}Ni=o subordinada aos conjuntos abertos
Ci, i = 0, 1, . . . , N . Então∫
U
f div φ dy =
N∑
i=0
∫
U∩Ci
ξif div φ dy
=
N∑
i=0
(
−
∫
U∩Ci
φξi · ∇f −
∫
∂U∩Ci
(φ · ν)TfdH n−1
)
= −
∫
U
φ · ∇f −
∫
∂U
(φ · ν)TfdH n−1. (3.20)
Finalmente, suponhamos que f ∈ BV (U), pelo Teorema (3.29), podemos escolher uma
seqüência {fk}∞k=1 em BV (U)∩C∞(U) tal que fk → f em L1(U), ||∇fk||(U) → ||∇f ||(U)
40
e L nb∇fk ⇀ ∇f em M(Rn; Rn). Afirmamos que {Tfk}∞k=1 é uma seqüência de Cauchy
em L1(∂U ; H n−1). De fato, fixe ε > 0 e x ∈ ∂U , definimos
f εk(y) =
1
ε
∫ ε
0
fk(y
′, γ(y′) + t)dt =
1
ε
∫ ε
0
(fk)t(y)dt
para todo y ∈ ∂U ∩ C. Então obtemos∫
∂∩C
|Tfk − f εk |dH n−1 ≤
∫
∂∩C
|Tfk(y)−
1
ε
∫ ε
0
fk(y)|dH n−1
≤ 1
ε
∫ ε
0
∫
∂∩C
|Tfk − (fk)t|dH n−1 ≤ C||∇fk||(C0,ε).
De modo que obtemos a seguinte estimativa:∫
∂∩C
|Tfm − Tfn|dH n−1 ≤
∫
∂∩C
|Tfm − f εm|dH n−1 +
∫
∂∩C
|Tfn − f εn|dH n−1
+
∫
∂∩C
|f εn − f εm|dH n−1
≤ C(||∇Fm||+ ||∇Fn||)(C0,ε) +
C
ε
∫
C0,ε
|fm − fn|dy.
Então
lim sup
m,n→∞
∫
∂∩C
|Tfm − Tfn|dH n−1 ≤ C||∇F ||(C0,ε ∩ U).
Como a quantidade a direita da desigualdade vai a zero quando ε→ 0 obtemos afirmação.
Agora, definimos um operador linear limitado T : BV (U) −→ L1(∂U ; H n−1) por
Tf := lim
k→∞
Tfk (3.21)
Observe que (3.21) está bem definido. De fato, como {Tfk}∞k=1 é uma seqüência de
Cauchy em L1(∂U ; H n−1), e este, por sua vez, é completo, segue que existe o limite
acima e não depende da escolha da seqüência {fk}∞k=1. Finalmente, aplicando (3.20) para
a seqüência {fk}∞k=1 obtemos∫
U
fk div φ dx = −
∫
U
φ · ∇fkdx−
∫
∂U
(φ · ν)Tfk dH n−1.
Passando ao limite quando k →∞, usando o Teorema da Convergência Dominada obte-
mos (3.17); o que completa a prova.
Teorema 3.33. Seja U um conjunto aberto, limitado, com fronteira ∂U Lipschitz. Se
f ∈ BV (U), então para H n−1 quase todo x ∈ ∂U ,
Tf(x) = lim
r→0
1
L n(B(x, r) ∩ U))
∫
B(x,r)∩U
fdy.
Demonstração. Veja [12], Teorema 2, p.181.
41
Caṕıtulo 4
Campos de Medida Divergente
Nesse caṕıtulo passaremos a estudar uma nova classe de espaços vetoriais L∞ os quais
chamaremos de Campos de Medida Divergente, conforme fora introduzido por Chen &
Frid [6]. De modo formal, os campos DM são campos vetoriais em L∞ cujos divergente
são medidas de Radon. A motivação para estudar esses tipos de campos está em analisar
as soluções entrópicas em L∞ de leis de conservação hiperbólica não linear como podemos
ver em [6], [7] e [8].
Muitos dos resultados para campos DM são análogos para funções de variação limi-
tada, como podemos ver em [12], [16] ou [23]. Além disso, por completude, a regra do
produto e a noção de deformação Lipschitz serão apresentadas conforme introduzidas por
Chen & Frid [6], assim como o traço normal para deformações Lipschitz. Essa classe de
campos vetoriais foi inicialmente estudado por Anzelloti [3].
4.1 Definição e Exemplos
Doravante neste caṕıtulo, assuma que U seja um conjunto aberto do Rn.
Definição 4.1. Dizemos que F ∈ L∞(U ; Rn) é um campo de medida divergente em U ,
e denotamos por F ∈ DM(U), se div F no sentido das distribuições é uma medida de
Radon (finita) em U .
Em outras palavras, F ∈ DM(U) se, somente se, existe uma medida denotada por
42
div F em M(U) finita tal que∫
U
F · ∇φ dx = −
∫
U
φ div F
para toda φ ∈ C1c (U); onde ∇φ é no sentido usual.
Definição 4.2. Dizemos que F é um campo de medida de divergente local em U se
F ∈ DM(V ) para todo conjunto aberto V ⊂⊂ U . O espaço de tais funções é denotado
por DMloc(U).
Exemplo 4.3. É facil ver que o campo suave
F (x, y) =
(
sin
1
x− y
, sin
1
x− y
)
pertence a DM(R2). De fato, como o divergente no sentido usual é igual zero, isto é,
div F = 0, então F ∈ DM(R2). Observemos a impossibilidade de fornecer alguma noção
razoável para o traço sobre a reta x = y.
Agora, introduziremos alguma notação: para toda F ∈ L∞(U ; Rn), seja
||div F ||(U) := sup
{∫
U
F · ∇φ dx : φ ∈ C1c (U ; R), |φ| ≤ 1
}
.
O próximo teorema irá nos fornecer um critério para caracterizar os campos em DM(U),
compare com o Teorema (3.19).
Teorema 4.4. Seja F ∈ L∞(U ; Rn). Então F ∈ DM(U) se, e somente se,
||div F ||(U) <∞.
Demonstração. Suponhamos que F seja uma campo de medida divergente. Fixemos
φ ∈ C1c (U), |φ| ≤ 1, então temos que
−
∫
U
F · ∇φ dx =
∫
U
φ div F <∞
Tomando o supremo com relação a φ, obtemos ||div F ||(U) < ∞. Reciprocamente,
definimos um operador linear L : C1c (U) −→ R por
L(φ) := −
∫
U
F · ∇φ dx
43
para toda φ ∈ C1c (U). Observemos que |L(φ)| ≤ ||div F ||(U)||φ||L∞ . Fixemos um
conjunto compacto K ⊂ U , e seja V um conjunto aberto V tal que K ⊂ V ⊂⊂ U . Para
cada φ ∈ Cc(U) com spt(φ) ⊂ K, existe uma seqüência φk ∈ C1c (V ), k = 1, . . . , tal que
φk → φ uniformente em V . Definimos L̃(φ) := limk→∞ L(φk), para todo φ ∈ Cc(U). Pela
desigualdade |L(φ)| ≤ ||div F ||(U)||φ||L∞ , vemos que L̃ está bem-definido e, ainda, pode
ser estendida ao operador linear L̃ : Cc(U) −→ R tal que
sup{L̃(φ) : φ ∈ Cc(U), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ K} <∞.
Finalmente, pelo Teorema de Representação de Riesz, existe uma única medida de Radon
µ tal que
L̃(φ) :=
∫
U
φ dµ. (4.1)
Portanto, F é uma campo de medida divergente, isto é, F ∈ DM(U).
Seja F ∈ DM(U). Pela demonstração do Teorema de Representação de Riesz
(2.27); temos que ||div F || é uma medida de variação. Além disso, uma distribuição
L : C∞c (U) −→ R definida por (4.1) é uma medida (ou melhor pode ser estendida a uma
medida) se, e somente se, sup{L(φ) : φ ∈ C∞c (U), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ K} < ∞ para
todo conjunto compacto K ⊂ U . Neste caso, podemos identificar a medida de Radon
µ = div F com a distribuição associada L, então para toda φ ∈ C∞c (U) escreveremos,〈
div F
∣∣
U
, φ
〉
=
∫
U
φ dµ = −
∫
U
F · ∇φ dx.
Além disso, podemos verificar que o espaço DM(U) é um espaço vetorial normado equi-
pado com a norma:
||F ||DM(U) := ||F ||L∞(U ;Rn) + ||divF ||(U).
No Teorema (4.9) mostraremos que essa norma faz de DM(U) um espaço de Banach.
Agora, observe que, pelo teorema anterior, o espaço DM(U) pode ser caracterizado como
o conjunto de campos F ∈ L∞(U ; Rn) tal que a norma ||F ||DM(U) <∞.
4.2 Propriedades Elementares em DM
Agora, estamos interessados em algumas propriedades de convergência de campos DM.
Os resultados que veremos são análogos para funções de variação limitada e suas demons-
44
trações estão baseadas em [12], [16] e [23], e foram realizadas em Chen & Frid [6].
Teorema 4.5 (Semi-Continuidade Inferior). Se Fk ∈ DM(U), k = 1, 2, . . . , e Fk → F
em L1loc(U). Então F ∈ DM(U) e
||divF ||(U) ≤ lim inf
k→∞
||divFk||(U).
Demonstração. Fixemos φ ∈ C1c (U ; R), |φ| < 1. Então pelo Lema de Fatou (2.16),∫
U
F · ∇φdx = lim
k→∞
∫
U
Fk · ∇φdx ≤ lim inf
k→∞
||divFk||(U).
Portanto, ||divF ||(U) ≤ lim infk→∞ ||divFk||(U).
O resultado anterior é usualmente chamado de Semi-continuidade Inferior; algo que
é realmente similar para funções BV ; compare com o Teorema (3.28). Vejamos agora
algumas conseqüências do Teorema (4.5), os quais foram provados em Chen & Frid [6].
Contudo, seguiremos aqui os passos análogos a [23].
Teorema 4.6. Se Fk ∈ DM(U), k = 1, 2, . . . , tal que Fk → F em L1loc(U) e
lim
k→∞
||divFk||(U) = ||divF ||(U).
Então para todo conjunto aberto A ⊂ U ,
lim sup
k→∞
||divFk||(Ā ∩ U) ≤ ||divF ||(Ā ∩ U).
Demonstração. Ponha B = U − Ā, pelo Teorema (4.5),
||divF ||(A) ≤ lim inf
k→∞
||divFk||(A); e ||divF ||(B) ≤ lim inf
k→∞
||divFk||(B).
Portanto,
||divF ||(Ā ∩ U)|| + ||divF ||(B) = ||divF ||(U)
≥ lim
k→∞
||divFk||(U)
≥ lim sup
k→∞
||divFk||(Ā ∩ U) + lim inf
k→∞
||divFk||(B)
≥ lim sup
k→∞
||divFk||(Ā ∩ U) + ||divF ||(B).
Como F ∈ DM(U), segue que ||divF ||(B) <∞ e, consequentemente,
lim supk→∞
||divFk||(Ā ∩ U) ≤ ||divF ||(Ā ∩ U),
o que completa a prova.
45
Corolário 4.7. Se Fk ∈ DM(U), k = 1, 2, . . . , tal que Fk → F em L1loc(U),
lim
k→∞
||divFk||(U) = ||divF ||(U)
e ||divF ||(∂A ∩ U) = 0 para todo conjunto aberto A ⊆ U . Então
||divF ||(A) = lim
k→∞
||divFk||(A).
Demonstração. Fixe um conjunto aberto A ⊆ U . Então
||divF ||(A) ≤ lim inf
k→∞
||divFk||(A) (pelo Teorema (4.5))
≤ lim sup
k→∞
||divFk||(A ∩ U)
≤ lim sup
k→∞
||divFk||(A) + lim sup
k→∞
||divFk||(∂A ∩ U)
≤ ||divF ||(A) + ||divF ||(∂A ∩ U) (pelo Teorema (4.6)).
Como ||divF ||(∂A ∩ U) = 0, o resultado segue.
Um outra conseqüência interessante da Semi-continuidade Inferior é o teorema abaixo.
Teorema 4.8. O espaço de Medida Divergente DM(U) é um espaço de Banach.
Demonstração. Seja {Fk}∞k=1 uma seqüência de Cauchy em DM(U), segue que {Fk}∞k=1
é uma seqüência de Cauchy em L∞(U). Como Lp(U) é completo, existe F ∈ L∞(U)
tal que Fk → F em L∞(U). Pelo Teorema (4.5), F ∈ DM(U). Agora, sabendo que
||div(Fk − Fl)|| → 0 quando k, l→∞ ; novamente pelo Teorema (4.5),
||div(Fk − F )||(U) ≤ lim inf
l→∞
||div(Fk − Fl)||(U).
Portanto, passando ao limite quando k → ∞ segue que Fk → F em DM(U); logo o
espaço de Medida Divergente é um espaço de Banach.
4.3 Aproximação
Nessa seção, vamos mostrar alguns resultados sobre aproximações para campos DM(U)
cujas demonstrações foram realizadas em Chen & Frid [6]. Aqui, seguiremos os passos
análogos a [12] e [16] para as funções BV .
46
Teorema 4.9. Seja F ∈ DM(U). Se F tem suporte compacto em U , então existe
Fk ∈ DM(U) ∩ C∞(U), k = 1, 2, . . . , tal que:
lim
k→∞
||divFk||(U) = ||divF ||(U).
Demonstração. Fixe ε > 0. Definemos
Fε = ηε ∗ F.
Como Fε → F em L1(U) segue, pelo Teorema (4.6), que é suficiente mostrar que
lim sup
ε→0
||divFε||(U) ≤ ||divF ||(U).
Seja φ ∈ C1c (U ; R), |φ| ≤ 1,∫
U
Fε · ∇φdx =
∫
U
F · (∇φ)εdx =
∫
U
F · ∇φεdx. (4.2)
Agora, como |φε| ≤ 1, pois |φ| ≤ 1, e spt(φε) ⊆ U ε = {x : dist(x, U) < ε}, pois
spt(φ) ⊆ U , segue que∫
U
Fε · ∇φdx =
∫
U
F · ∇φεdx ≤ ||divF ||(U ε). (4.3)
Agora, tomando o supremo em relação a φ em (4.3), vemos que
||divFε||(U) ≤ ||divF ||(U ε).
Portanto,
lim sup
ε→0
||divFε||(U) ≤ lim
ε→0
||divF ||(U ε) = ||divF ||(U),
o que completa a prova
Teorema 4.10. Seja F ∈ DM(U). Então existe Fk ∈ DM(U) ∩ C∞(U), k = 1, 2, . . . ,
tal que Fk → F em L1(U) e
lim
k→∞
||divFk||(U) = ||divF ||(U).
Demonstração. Fixe ε > 0. Tendo em vista o Teorema (4.5) é suficiente mostrar que
||Fε − F ||L1(U) < ε e lim supε→0 ||divFk||(U) ≤ ||divFk||(U). Assim, para cada inteiro
positivo m, defina os conjuntos abertos
Uk ≡
{
x ∈ U : dist(x, ∂U) > 1
m+ k
}
∩B(0; k +m) (k = 1, . . . )
47
e então podemos escolher m suficientemente grande de modo que ||divF ||(U − U1) < ε.
Agora, seja U0 ≡ ∅ e defina Vk := Uk+1 − Uk−1 para k = 1, . . . e considere {ξk}∞k=1 uma
partição da unidade subordinada a cobertura Vk, k = 1, . . . , isto é, ξk ∈ C∞c (Vk), 0 ≤ ξk ≤ 1, (k = 1, . . . )∑∞
k=1 ξk = 1 sobre U.
Assim, para cada k, existe εk > 0 suficientemente pequeno tal que
spt(ηεk ∗ (Fξk)) ⊂ Vk; (4.4)∫
U
|ηεk ∗ (Fξk)− Fξk|dx <
ε
2k
; e (4.5)∫
U
|ηεk ∗ (F · ∇ξk)− F · ∇ξk|dx <
ε
2k
. (4.6)
Defina
Fε =
∞∑
k=1
ηεk ∗ (Fξk). (4.7)
Por (4.4), a soma (4.7) é localmente finita; portanto, Fε ∈ C∞(U) . Como também,
F =
∑∞
k=1 Fξk e (4.7), implica que
||Fε − F || ≤
∞∑
k=1
∫
U
|ηεk ∗ (Fξk)− Fξk|dx <
∞∑
k=1
ε
2k
= ε,
o que prova a primeira afirmação. Agora, fixe φ ∈ C1c (U), |φ| ≤ 1, temos que∫
U
Fε · ∇φdx =
∞∑
k=1
∫
U
ηεk ∗ (Fξk) · ∇φdx
=
∞∑
k=1
∫
U
(∫
U
ηεk(x− y)Fξk(y)dy
)
· ∇φ(x)dx
=
∞∑
k=1
∫
U
(∫
U
ηεk(x− y)∇φ(x)dx
)
· Fξk(y)dy
=
∞∑
k=1
∫
U
ηεk ∗ (∇φ) · Fξkdx
=
∞∑
k=1
∫
U
F · ∇(ηεk ∗ φ)ξkdx
=
∞∑
k=1
∫
U
F · ∇((ηεk ∗ φ)ξk)dx−
∞∑
k=1
∫
U
ηεk ∗ (F · ∇ξk)φdx.
48
Usando o fato que
∑∞
k=1∇ξk = 0 em U temos que,∫
U
Fε · ∇φdx =
∞∑
k=1
∫
U
F · ∇((ηεk ∗ φ)ξk)dx
−
∞∑
k=1
∫
U
ηεk ∗ (F · ∇ξk − F · ∇ξk)φdx
= Iε1 + I
ε
2 .
Como |ξk(ηεk ∗φ)| ≤ 1, k = 1, . . . e cada ponto de U pertence a no máximo três conjuntos
Vk, k = 1, . . . . Assim,
|Iε1 | =
∣∣∣∣ ∞∑
k=1
∫
U
F · ∇((ηεk ∗ φ)ξk)dx
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ ∫
U
F · ∇((ηε1 ∗ φ)ξk)dx+
∞∑
k=2
∫
U
F · ∇(ηεk ∗ φ)ξk)dx
∣∣∣∣
≤ ||divF ||(U) + 3||divF ||(U − U1)
< ||divF ||(U) + 3ε.
Por outro lado, por (4.6), |Iε2 | < ε, logo∫
U
Fε · ∇φ dx ≤ ||divF ||(U) + 4ε.
Portanto, temos que lim supε→0 ||divFε||(U) ≤ ||divF ||(U), o que completa a prova da
segunda afirmação.
Observação 4.11. Para toda F ∈ DM(U) ∩ C∞(U) temos que
||div F ||(U) =
∫
U
|div F |dx,
e consequentemente ||div F || = L n
⌊
|div Fk|. De fato, fixemos φ ∈ C1c (U), |φ| ≤ 1,∫
U
F · ∇φ dx = −
∫
U
φ div F dx ≤
∫
U
|div F |dx
Por outro lado, para ver a desigualdade oposta escolha φ = div F||div F || , se div F 6= 0. Agora,
pelo Teorema (4.10), existe Fk ∈ C∞(U ; Rn) tal que Fk → F em L1(U) e
lim
k→∞
∫
U
|div Fk|dx = ||div F ||(U).
Além disso, vemos que L n
⌊
|div Fk|⇀ ||div F || em M(U). De fato, fixemos φ ∈ Cc(U),∣∣∣∣ ∫
U
φ|div Fk|dx−
∫
U
φ d||div F ||
∣∣∣∣ ≤ C∣∣∣∣ ∫
U
|div Fk|dx−
∫
U
d||div F ||
∣∣∣∣.
49
Passando ao limite quando k →∞, o resultado segue. Agora, se V é um conjunto aberto
de U tal que ||div F ||(∂V ∩ U) = 0, segue pelo Corolário (4.8),
lim
k→∞
∫
V
|div Fk|dx = ||div F ||(V ).
de modo que L n
⌊
|div Fk|⇀ ||div F || em M(V ).
Corolário 4.12. Seja F ∈ DM(U). Se Fk ∈ C∞(U), k = 1, . . . , é como no Teorema
(4.10). Então L nbdiv Fk ⇀ div F em M(Rn).
Demonstração. Fixe φ ∈ C1c (Rn) e ε > 0. Como na demonstração do Teorema (4.10),
para todo inteiro positivo m, defina o conjunto aberto
U1 =
{
x ∈ ∂U : dist(x, ∂U) > 1
m+ 1
}
∩B(0;m+ 1).
e então escolhendo m suficientemente grande de modo que ||div F ||(U − U1) < ε. Seja ζ
uma função suave tal que ζ ≡ 1 em U1, spt(ζ) ⊂ U e 0 ≤ ζ ≤ 1. Então∣∣∣∣ ∫
Rn
φ div Fk dx−
∫
Rn
φ div F
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣− ∫
U
∇(ζφ) · Fkdx−
∫
U
φ div F
∣∣∣∣
+
∫
U−U1
|ζ − 1||φ||div Fk|dx
≤
∣∣∣∣− ∫
U
∇(ζφ) · Fkdx−
∫
U
φ div F
∣∣∣∣+ C||div Fk||(U − U1)
Pelo Teorema (4.5),∣∣∣∣ ∫
Rn
φ div Fk dx−
∫
Rn
φ div F
∣∣∣∣ ≤
≤ lim inf
k→∞
∣∣∣∣− ∫
U
∇(ζφ) · Fkdx−
∫
U
φ div F
∣∣∣∣+ Cε
≤
∣∣∣∣− ∫
U
∇(ζφ) · F dx−
∫
U
φ div F
∣∣∣∣+ Cε
≤
∣∣∣∣ ∫
U
ζφ div F −
∫
U
φ div F
∣∣∣∣+ Cε
≤
∣∣∣∣ ∫
U−U1
(ζ − 1)φ div F
∣∣∣∣+ Cε
≤ C||div F ||(U − U1) + Cε ≤ 2Cε.
Logo, L nbdiv Fk ⇀ div F em M(Rn).
Nota 4.13. Por abuso de notação, escreveremos div Fk ⇀ div F em M(Rn) para con-
vergência do Corolário (4.12).
50
4.4 Regra do Produto
O resultado a seguir, que pode ser encontrado em Chen & Frid [6], será útil no próximo
caṕıtulo para provar o teorema mais significativo de Chen & Torres [9].
Teorema 4.14. Seja g ∈ BV (U) ∩ L∞(U) e F ∈ DM(U). Então
gF ∈ DM(U).
Além disso, se g é localmente Lipchitz, então
div (gF ) = g div F + F · ∇g.
Demonstração. Fixe g ∈ BV (U)∩L∞(U) e F ∈ DM(U). Pelo Teorema (4.10), podemos
escolher uma seqüência {Fk}∞k=1 em DM(U) ∩ C∞(U) tal que
Fk → F em L1(U) e ||div Fk||(U) → ||div F ||(U). (4.8)
Analogamente, usando o Teorema (3.29), podemos escolher uma seqüência {gk}∞k=1 em
BV (U) ∩ C∞(U) tal que
gk → g em L1(U) e ||∇gk||(U) → ||∇g||(U). (4.9)
Note que por (4.8) e (4.9), temos que gkFk → gF em L1(U). Ainda, obtemos a seguinte
desigualdade,∫
U
|div (gkFk)|dx = sup
{∫
U
gkFk · ∇φ dx : φ ∈ C1c (U), |φ| ≤ 1
}
≤ ||gk||L∞ sup
{∫
U
Fk · ∇φ dx : φ ∈ C1c (U), |φ| ≤ 1
}
+||Fk||L∞ sup
{∫
U
∇gk · φ dx : φ ∈ C1c (U ; Rn), |φ| ≤ 1
}
≤ 3||g||L∞||div Fk||(U) + 3||F ||L∞ ||∇gk||(U).
A primeira desigualdade segue considerando a função teste como gkφ/||gk||L∞ para φ ∈
C1c (U), |φ| ≤ 1. E a segunda usando o fato que por construção ||gk||L∞ ≤ 3||g||L∞ e
||Fk||L∞ ≤ 3||F ||L∞ . Consequentemente, para qualquer φ ∈ C1c (U) com |φ| ≤ 1, temos∫
U
gkFk · ∇φ dx ≤
∫
U
|div (gkFk)|dx
≤ 3||g||L∞||div Fk||(U) + 3||F ||L∞||∇gk||(U)
51
Passando ao limite quando k →∞ segue, por (4.8) e (4.9), que ||div (gF )||(U) <∞ e∫
U
g F · ∇φ dx