Modelos não-lineares do sistema respiratório

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· MODELOS NÃO-LINEARES DO SISTEMA RESPIRATÓRIO 
Mário Ferreira de Aguiar Filho 
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRA-
MAS DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEI-
RO, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇÃO 
DO GRAU DE MESTRE EM CitNCIAS (M.Sc.) 
Aprovada por: 
···=4 
Liu Hsu 
·(Presidente) 
. ~;~ ~~«ac----/ / . ~ __.,,-- -
William M; Mansour 
Q\, f '"~~. CLt::: 
Ayres Fonseca Costa 
:, --J-
Yaro Burian Júnior 
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL 
MARÇO DE 1977 
FERREIRA, MARIO DE AGUIAR FILHO 
MODELOS NÃO-LINEARES DO SISTEMA 
RESPIRATÔRIO !RIO DE JANEIRO! 1977 
VIII, 84p 29,7cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., 
ENGENHARIA MECÂNICA, 1977) 
TESE - UNIV. FED. RIO DE JANEIRO - FAC 
ENGENHARIA 
1- REGULAÇÃO DO SISTEMA RESPIRATÔRIO - I -
COPPE/UFRJ - II- TÍTULO (S~RIE) 
i 
AGRADECIMENTOS 
A todos aqueles que direta ou indiretamente, 
contribuiram para a realização deste trabalho. 
ii 
SUMÃRIO 
O presente trabalho fundamenta-se no mode-
lo matemático do sistema respiratório, em que não só uma lei 
do tipo proporcional mais derivativo é proposta, como também 
o conceito de pontos singulares dos tipos sela e foco instá-
vel para a formação do ciclo limite, a fim de explicar o com-
portamento cíclico do sistema. 
Conservando as características do modelo 
original identificamos os parámetros do controlador utilizan-
foco do a noção de uma bifurcação do tipo foco estável para 
instável, obtendo assim um ciclo limite estável, cuja amplit~ 
de foi determinada qualitativamente pelo método de Krylov-
Bogoliubov-Mitropolsky (KBM). A frequência da solução oscila 
tória, identificada no modelo original como sendo a frequên-
cia da respiração, diminui inicialmente, quando aumentamos a 
concentração do co 2 inalado (Crco l, o que constitui uma in-
2 
coerência com a realidade. 
Introduzimos no modelo original o efeito 
dos tempos de circulação do sangue venoso e arterial e, cons-
tatamos que no caso de um ser humano, a identificação era 
viável apenas para tempos de circulação bem menores que os 
tempos reais. 
Constatados esses fatos propusemos então, 
um novo modelo onde a rítmicidade respiratónia é traduzida p~ 
la açao de um sinal oscilatório, elaborado no centro respir~ 
tório. Este sinal é diferente do oriundo do sistema contro7 
iii 
lador citado acima, porém mantém com este uma interdependência 
no sentido de que a frequência e a amplitude da oscilação res 
piratória são influenciadas pelo sinal controlador. 
iv 
SUMARY 
This work is based on the mathematical of 
the respiratory system, in which not only a law of the 
proportional plus derivative type is propoused, but also the 
concept of singular points of the types, saddle and unstable 
focus, to form the limit cycle to explain the behaviour 
cyclical of the system. 
Maintaining the characteristics of the 
original model we define the parameter of the controller, using 
the n.otion of a bifurcation of the type stable focus to unstçlble 
focus, obtaining then a stable limit-cycle, whose amplitude was 
determined analitically by the method of Krilov-Bogoliubov -
Mitropolsky (KBM). The frequency of the oscillatory solution 
defined in the original modelas being the frequency of the 
respiration, decrease initially when we increase the concentration 
of the inhaled co
2 
(CICO ). This initial decrease is incoherent 
2 
with reality. 
When we introduced in the original model the 
\. 
effect of circulation time of the venous and arterial bloods, we 
'· 
V 
verified that in the case of a hurnoural control, the identification 
wasn't viable to real circulation time. 
Having verified these fac ts we propoused 
a new model, where the respiratory rithimicity is elaborated in 
the respiratory center, by the action of an oscillatory signal. 
This signal is different from the signal that comes from the 
controller system refered to above, but it maintains with the 
controller system signal an interdependence so that the frequency 
and the amplitude of the respiratory oscillation are influenced by 
the controller signal. 
, 
• , 
vi 
ÍNDICE 
- INTRODUÇÃO 
- Capítulo 1. Os aspectos biológicos da regulação. 
- 1.1 - Introdução 
- 1.2 - Conclusões 
- Capítulo 2. Estudo do modelo correspondente à 
suposição de tempo de circulação 
PAGINAS 
1 
5 
5 
10 
do sangue nulo. 12 
- 2.1 - Introdução 12 
- 2.2 - Descrição do modelo 14 
- 2.3 - Equações diferenciais do modelo 
- 2.4 - Determinação dos pontos singulares no plano 
de fase 
- 2.5 - Natureza dos pontos singulares 
-,2.6 - Expressão analítica aproximada da oscilação 
- 2.7 - Identificação dos parâmetros 
- 2.8 - Simulação analógica e simulação digital 
- 2.9 - Determinação Numérica·dos termos da expressão 
analltica 
- 2.10- Observações 
- 2.11- Determinação dos valores determinados pelo 
método de Krylov-Bogoliubov, com os deter 
minados oelo método de Ritz. 
16 
21 
22 
24 
30 
35 
36 
37 
39 
vii 
2.12 - Determinação da variação da frequência 
e do valor médio ao variar a concentra 
ção de co
2 
no ar atmosférico 43 
2.13 - Comparação dos resultados com os do rrodelo de Grodins 48 
- Capítulo 3. O modelo considerando os tempos de 
circulação do sangue venoso e 
sangue arterial. 
- 3.1 - Introdução 
- 3.2 - Desenvolvimento da equaçao diferencial 
com retardo. 
- 3.3 - Análise referente à estabilidade da 
do 
50 
50 
51 
solução trivial da equação com retardo. 55 
- 3. 4 - Conclusões sobre a viabilidade da aplicação do rrodelo 62 
- Capítulo 4. Proposição de um novo modelo. 
- 4.1 - Introdução 
- 4.2 - Descrição do modelo 
- 4.3 - Conclusões 
- Apêndice 
- A - Desenvolvimento do método de Krylov-Bogoliubov 
Mitropolsky 
- B - Aplicação para a equaçao desenvolvida do balanço 
de co 2 
- Referências Bibliográficas 
63 
63 
65 
67 
69 
69 
73 
82 
ºc 
QT 
ºv 
R 
VA 
VT 
S1, S2 
Kl 2 , 
Tl 2 , 
T 
viii 
RELAÇÃO DAS VARIÂVEIS USADAS 
Volume de co 2 alveolar (lts) 
Volume de co 2 tecidual (lts) 
Concentração de co 2 no sangue venoso (ltC0 2/lt 
sangue) 
Concentração alveolar de co 2 (ltCO.jlt gás) 
Concentração tecidual de C02 (ltC0 2/lt líquido 
teci dual) 
Concentração de co 2 no ar inalado (ltcü 2/ltar) 
Concentração de co 2 no sangue arterial (ltC0 2/lt 
sangue 
Fluxo sanguíneo (lt/seg) 
Produção metabólica de co 2 nos tecidos (lt/seg) 
Sinal ventilatório 
Sinal de referência do co 2 tecidual 
Volume alveolar (lt) 
Volume tecidual (lt) 
Parâmetros do controlador 
Constantes de valores experimentais 
Tempo de circulação do sangue venoso e do sangue 
arterial 
Tempo de atraso total - T = T1 + T2 
1 
INTRODUÇÃO 
1. PESQUISAS BIRLIOr.RAFICAS 
Vários trabalhos de pesquisa foram realiza-
dos no sentido de explicar o mecanismo de regulação do sistema 
respiratório para efeito de sintetização de idéias, exporemos 
brevemente alguns desses trabalhos. 
Grodins et al 121 em 1954, supuseram que 
o sistema respiratório era um regulador realimentado e, consi-
deraram a concentração do co 2 tecidual como sendo a 
controlada. O controlador por eles considerado era do 
vàriável 
tipo 
proporcional e seus parâmetros foram determinados experimental 
mente. A natureza cíclica da ventilação não foi entretanto 
considerada pois em relação à escala de tempo dos fenômenos es 
tudados o período respiratório era muito pequeno. 
Mais tarde Milhorn, Guyton et al 141 em 
1965, supuseram como variáveis as concentrações de Co 2 e de 
o
2
. Porém, eles separaram os tecidos cerebrais dos tecidos to 
tais, para analisarem a influência da Pco dos tecidos do cor-
2 
po no fluxo sanguíneo do cérebro. 
Consideraram ainda os tempos de circulação 
dos sangues venoso e arterial. Entretanto, quanto a ciclici-
dade da ventilação nada foi acrescentado ao modelo anterior. 
Recentemente Mutter e Mansour l 11 , supondo 
a concentração do co
2 
tecidual como variável controlada, pro-
2 
puseram umnovo modelo, acrescentando ao controlador um termo 
derivativo. No entanto, a idéia mais relevante desse modelo 
foi a da determinação dos parâmetros do controlador de modo a 
que o sistema oscilasse com urna frequência igual a da 
quência respiratória. 
2. OBJETIVOS DO PRESENTE TRABALHO 
fre-
O presente trabalho consiste básicamente de 
estudo da viabilidade da aplicação real do modelo de Mutter-
Mansour ao ser humano. Dividimos este estudo em 3 capítulos 
a saber: 
No capítulo I, sao reunidos alguns 
tos das referências citadas, a fim de mostrar: 
fragrne~ 
1) o papel preponderante da concentração do co2 corno variá-
vel controlada em relação ao Ph sanguíneo e à 
ou pressão de 0 2 ; 
concentração 
2) os efeitos da inalação de altas-concentrações de co
2 
so-
bre a respiração; 
3) a necessidade de se considerar o termo derivativo no con-
trolador, a fim de explicar a rapidez da resposta do sistema 
respiratório a urna variação da variável controlada e finalrnen 
te; 
4) a existência de um sinal cíclico responsável pela rítmi-
cidade respiratória. 
3 
No capitulo II, estudamos o modelo origi-
nal conservando-lhe as características: identificamos os pa-
râmetros do controlador usando a noção de uma bifurcação no 
plano de fase do tipo (foco estável) a (foco instável) mais ci 
elo limite estável). Determinamos a amplitude e a frequência 
de oscilação em função dos parâmetros do modelo, usando o mé-
todo de Krylov-Bogoliubov-Mitropolvsky (KBM). Através da si-
mulação digital, comparamos o valor da amplitude então obti-
do, com o valor previsto teoricamente constatando aproximação 
aceitável dos resultados. Em relação a expressao da ampli t!:!_ 
de obtida pelo método de Ritz, usado em Ili, verificamos por 
simulação que o valor. da, :amplitude previsto pelo método de KBM 
conduz a um resultado bem mais preciso. Finalmente, variamos 
o parâmetro relativo à concentração do ca2 inalado (CIC0 2
l e 
constatamos uma incoerência do modelo com a realidade, traduz! 
da pelo fato de que no ser humano a frequência respiratóriaª!:!. 
menta com o aumento do co2 inalado ao passo que no modelo ori-
ginal constatou-se um efeito contrário. 
No capitulo III, levamos em conta os tem-
pos de circulação do sangue, desenvolvendo um modelo com re-
tardas, que se reduz ao modelo original quando estes retardas 
são igualados a zero. A identificação dos parâmetros é reali 
zada usando-se a noçao de bifurcação. A bifurcação considera 
da ocorre quando ao variar os parâmetros da parte linear a so 
lução de referência passa de estável assintóticamente a instá 
vel. Incluindo a parte não-linear varificamos que a identi-
ficação dos parâmetros é inviável para valores reais dos tem-
pos de circulação, pois a existência de uma oscilação estável 
4 
próxima de equilíbrio só e possível para valores bem inferio-
res desses tempos. 
Concluímos dos resultados do capítulo II e 
III que o modelo em questão por um lado não permite a inclu-
sao dos tempos de circulação sanguínea reais e por outro, co~ 
duz a uma diminuição da frequência respiratória com o aumen-
to do C o que está em desacordo com a realidade. 
ICo 2 
No capítulo IV, propomos então um novo mode 
lo onde se supoe: 
1) a existência de um outro sistema responsável pela ritmi-
cidade respiratória interligado com o sistema controlador da 
concentração do Co
2 
tecidual; 
2) a função conversora dos músculos intercostais, já que o 
sinal oriundo dos neurônios que atuam nesses músculos nao po-
de ser identificado como sendo o sinal ventilatório. 
5 
CAP!TULO I 
OS ASPECTOS BIOLÕGICOS DA REGULAÇÃO 
1.1 - INTRODUÇÃO 
A fim de salientar a importância de certos 
aspectos biológicos do sistema respiratório, usados no prese~ 
te trabalho, transcrevemos alguns fragmentos das 
citadas. 
Os aspectos a salientar sao: 
referências 
1) a existência de um sinal cíclico, responsável pela rítmi-
cidade respiratória, sinal este gerado na área bulbar de rít-
micidade do centro respiratório. 
2) o papel preponderante da concentração do co2 tecidual, em 
relação as outras necessidades metabólicas, como concentração 
sangulnea de o2 e o Ph corpóreo, como variável a ser controla 
da pelo sistema respiratório. 
3) a influência de alta concentração de co2 no ar 
sobre a ventilação. 
4) a importância do termo derivativo no controlador, 
explicar a rapidez da resposta do sistema respiratório. 
inalado 
para 
Os fragmentos expostos a seguir possibil.!c 
6 
tam salientar os aspectos mencionados acima: 
1. O centro respiratório - [ 8 [ , pags. 4 72-4 73. 
O chamado "centro respiratório" é um grupo 
muito disperso de neurônios localizados principalmente na sub~ 
tância reticular lateral da medula oblonga e, em ligeira exte~ 
sao, na parte inferior da ponte. Essa área, ilustrada na fig. 
1, é dividida em 3 partes: 
IMPULSOS CORTICAIS 
E MESENCIFÁLICOS 
I 
I 
y I f I 
,...;-\ _ ~ AREA PNEUMATOXICA 
/ ~í 1-r 1 , / _, 
/ !; 
!; 
{/) 
. 'v.J.- J ' , '.i / - . . 
IMPULSOS FACILITAT~RIOS MEDULAR ~--- --·ÁREA CE RITIMICIDACE MEDULAR -.... 1'<.tdt --r-4. ' / ' . 11 I ',,. ' . / 'IMPULSOS'NO VÁGO E GLOSSOF~RINGEO 
/ 
FI 9. 1 
o CENTRO,RESl'IRATÓRIO LOCALIZADO Bll:ATERALMENTE NA ,süesiÂNCIA 
RETICULAR DO BULe·o E INFERIOR DA i(>ONTE ' 
1) a área bulbar de ritmicidade 
2) a área apnêustica 
3) a área pneumatóxica 
A área bulbar de ritmicidade é, sem dúvida, 
a mais importante e por isso merece particular atenção: a a-
7 
rea bulbar de ritmicidade, amiúde chamada centro respiratório 
bulbar, localiza-se abaixo da parte inferior do assoalho do 
quarto ventrículo, medianamente no interior do bulbo. Atra-
véz de micro-eletródios inseridos experimentalmente neste cen 
tro, pode-se detectar em toda a sua extensão certos neuro-
neos que descarregam durante a inspiração e outros que o fa-
zem durante a expiração. Certos resultados experimentais de-
monstram que parte do centro é primariamente relacionada à 
insp.iração e parte à expiração. Entretanto, a maioria dos es-
forços para individualizá-los não alcançou sucesso. Daí a 
dedução geral de que neuroneos inspiratórios e 
se mesclam no centro bulbar de ritmicidade. 
expiratiórios, 
t neste centro que o ritmo básico da respi 
raçao e estabelecido. Na pessoa normal, em repouso, a inspi 
raçao habitualmente dura uns 2 segundos e, a expiração uns 3 
segundos. Porém, a área bulbar de ritmicidade não é capaz de 
propiciar, por si mesma, um padrão regular normal da respir~ 
çao. A atividade rítmica do centro bulhar é muito fraca qua~ 
do não recebe impulsos aferentes de outras fontes. Desse mo-
do, a fig. 1 mostra impulsos oriundos da medula espinhal do 
cortéx e cérebro médio, da área pneurnâtóxica e da área apneu~ 
tica, entrando na area bulhar de ritmicidade. Todos esses si 
nais modificam o ritmo e contribuem para um padrão normal da 
respiração. 
O mecanismo básico da ritmicidade, obser-
vado na área bulbar de ritmicidade, "é, portanto, devido ao 
fato que o centro inspiratório, ao curso de seu funcionamen-
to, excitaria os neurôneos inibidores que, em retorno, inibiri 
8 
amo centro inspiratório, a frequência respiratória autônoma, 
dependeria em definitivo da característica da constante de 
tempo, do circuito" l 71 , pags. 140-141. 
2. REGULAÇÃO HUMORAL DA RESPIRAÇÃO - 1 s 1 , pags. 4 75-4 79. 
O principal objetivo da respiração ê man-
ter concentrações adaquadas de oxigênio (0 2 ), dióxido de car-
bono (c0
2
) e iontes de hidrogênio (H+), nos líquidos tecidu-
ais. t importante portanto, que a atividade respiratória res 
ponda até mesmo a variações muito pequenas de qualquer um de-
les nos fluidos corporais. Em consequência,,quando se fala 
de regulação humoral da respiração, pensa-se básicamente na 
regulação da atividade respiratória devido a variações da con 
centração de oxigênio, de dióxido de carbono ou de iontes de 
hidrogênio nos líquidos teciduais. 
+ O co 2 e o H exercem seus efeitos princi-palmente sobre o centro respiratório no cérebro, ao passo que 
o oxigênio manifesta seu efeito quase inteiramente sobre os 
quimio-receptores periféricos e, estes é que atuam sobre o 
centro respiratório. 
Desde que o co 2 é um dos produtos finais 
do metabolismo, a sua concentração nos líquidos corpóreos afe-
ta grandemente as reações químicas. Por essa razão, a 
(pressão de co 2 nos líquidos teciduais) ou a concentração de 
co2 dos líquidos teciduais (<;ç0 ) te:n de ser regulada com boa precisão. 2 
Sabe-se que a Pco do sangue e do líquido intersticial são determinantes 
2 
em grande extensão, pela frequência da ventilação alveolar. Por cons~ 
9 
te, a estimulação do centro respiratório pelo dióxido de carb~ 
no provê importante macanismo para a regulação da concentração 
de dióxido de carbono em todo o corpo. Isto é, um aumento da 
p 
~o 
2 
estimula o centro respiratório, isso eleva a ventilação 
alveolar e reduz o co
2 
aLlóveolar, consequentemente a P 
Co 2 
teci-
dual volta ao normal. Dessa forma o centro respiratório man-
tém a Pr, dos líquidos teciduais em nível relativamente cons-
"º2 
tante e, por isso, bem pode ser chamado de "regulador de dióxi 
dó de carbono". 
3. Efeitos da inalaç.ão de altas concentrações. de Co2 sobre a 
respiração - J s J , pag. 4 79. 
Quando se inala ar contendo altas concentra 
çoes de co2 , as Pco alveolar e tecidual sobem acima do nor-2 
mal, daí resulta que a ventilação alveolar aumenta. O aumento 
da ventilação alveolar, por sua vez, impede a P alveolar de 
co2 
elevar-se tanto quanto aconteceria se não fosse assim. Portan 
to, 1 a 2 por cento de Co 2 no ar inalado quase não alteram a 
concentração de co7 nos líquidos teciduais (CTCo
2
) mas quando 
de Csº inalado (C __ c ) sobe 
~ .L º2 
a 5%, nem sequer a concentração 
uma ventilação alveolar extraordinária impedirá a concentração 
dos líquidos teciduais de subir excessivamente. Alcança-se a 
ventilação máxima aproximadamente 9% de co 2. Além desse 
~ ni-
vel, um aumento ulterior de cocentração de co 2 e consequente-
mente da PC dos líquidos teciduais começa a deprimir o cen-
º2 
tro respiratório causando redução progressiva da atividade res 
10 
piratória em vez de aumento ulterior. A pessoa começa a en-
trar em coma a 20 ou 30% de Co
2
, torna-se completamente anes-
tesiada a 30 ou 40% e morre a 40 ou 50%. 
4. o Controlador J 7 J , pag. 146. 
A rapidez da reaçao ventilatória às modifi 
caçoes da composição físico-química do sangue, levou autores 
a pesquisar a existência de quimio-receptores acima do leito 
capilar pulmonar, capazes de informarem aos centros respira-
tórios sobre a posição do sangue venoso :misturado. Algumas 
• • - I I provas experimenta.is mostram que nao e possivel a existên 
eia desses quimio-receptores. Na verdade, não seria neces-
sária a existência destes, para poder explicar a rapidez da 
adaptação da ventilação alveolar bastaria que o centro respi-
ratório fosse capaz de apreciar a velocidade da variação da 
variável controlada (em outros termos, a derivada da variável 
em função do tempo) ao nível do sangue arterial ou mesmo ao 
nível tecidual e, não simplesmente esta variação para que a 
reação possa ser adaptada·de maneira prévia. 
1. 2 - Conclus6es, referendadas aos itens da seção anterior: 
De·l·podemos concluir sobre a existênciade 
uma área no centro respiratório responsável pela rítmicidade 
respiratória. Este sinal rítmico gerado nesta área sofre afe 
11 
rências de outros sinais que regulam às necessidades metabóli 
cas. 
De 2, o que concluimos é que a ·concentra-
çao tecidual de co 2 , tem um papel importante na regulação hu-
moral. Esta importância se deve ao fato de que o C02 é um 
produto do metabolismo e a sua eliminação tem que ser bem pr~ 
cisa a fim de que os tecidos celulares não sejam danificados. 
De 3, a conclusão tirada é que a concentr~ 
çao de co 2 no ar inalado afeta enormemente a frequência e a 
amplitude da respiração, aumentando-as inicialmente, quando 
sofre um aumento. 
Finalmente, de 4 podemos concluir que o 
controlador deve ter um termo derivativo, para explicar ara-
pidez da resposta do sistema respiratório. 
12 
CAPITULO II 
ESTUDO DO MODELO CORRESPONDENTE Ã SUPOSIÇÃO 
DE TEMPO DE CIRCULAÇÃO DO SANGUE NULO 
2.1 - INTRODUÇÃO 
Neste capítulo, .primeiramente, foi dada uma 
revisão do modelo proposto por Mutter Ili, após então exten-
dem-se as análises usando técnicas diferentes. 
No referido modelo a concentração tecidual 
do co 2 (CTCO) é suposta como a variável controlada e uma confi 
2 
guraçao no plano de fase do tipo (sela) - (foco-instável) e 
proposta. Com esta configuracão obter-se-á, no plano de fase, 
um ciclo limite formado em torno do foco-instável (ver fig. 2), 
o que explicará a ciclicidade da respiração (não-assistida). A 
oscilação correspondente, que é somente do sinal da regulação 
humoral, estaria diretamente relacionada com o ciclo respira-
tório. 
13 
SE l:A 
: CONFIGURAÇAO NO PLANO OE 
Um dos problemas que aparecem de início é o 
da identificação dos parâmetros do controlador. Esta identifi 
cação é feita em Ili, considerando-se a frequência do 
respiratório e o valor médio do CTCO • 
2 
ciclo 
~ natural então que os parâmetros do ciclo 
limite devam ser determinados em função dos parâmetros do con-
trolador (os demais parâmetros do sistema são fixados em valo-
res geralmente adotados na literatura) a fim de se proceder a 
identificação. 
Diversos métodos analíticos (aproximados) 
sao disponiveis para a determinação de oscilações de sistemas 
não-lineares. Em Ili foi adotado o método de Ritz, porém ver~ 
fica-se que a expressão da amplitude da oscilação apresenta 
uma sensibilidade numérica, que compromete a determinação des-
ta amplitude. Além disso ficou aparente das simulações que a 
frequência varia com a amplitude. Usando-se o método de Ritz 
(em 1e aproximação) esta variação nao e diretamente relaciona 
da e nem é apresentada, explicitamente, uma correçao em função 
da amplitude. 
A fim de tentar superar as deficiências a-
14 
presentadas acima propomos aqui a utilização do método de 
Krylov-Bogoliubov-Mitropolvskv (KBM). Este método embora gera! 
mente utilizado para não-linearidade do tipo ímpar se mostra tam 
bém eficaz no presente caso em que as não-linearidades são do 
tipo quadrático. Entretanto é necessário para uma estimação 
de amplitude de se recorrer à segunda aproximação. Além dis-
so, a segunda fornece também uma correção de frequência. 
Uma vez obtidas as expressões analíticas da 
oscilação, foi feita a identificação dos parâmetros usando-se 
a noção de uma bifurcação do tipo foco-estável, foco-instável, 
mais ciclo-limite estável. 
Finalmente, já identificados os parâmetros 
procede-se â comprovação dos resultados analíticos com os simu 
lados e, após então, ao estudo dos efeitos da variação da con-
centração do Co inalados, bem como à comparação dos 
2 
modelos 
anteriores J 1 J J 2 J • 
2.2 - DESCRIÇÃO DO MODELO 
Neste modelo o sistema respiratório é visua 
lizado como um sistema de controle em malha fechada a realimen 
tação negativa tal como ilustrado na fig. 3. 
SINAL OE 
TROCA DE CC\E 02 TROCA DE CQ,E_..0,Í, 
RESERVATÓRIO PULMONAR r-""--"-----'=-, RESEÀVA 
/3o 
-RIO :TEc1: 
DUAL,: 
QT PRODU 
•CAO ME-
'-------'---' l'ABÓLICA 
'DE C02 
Fig. 3 , 
MODELO DO SISTEMA RESPIRATORIO 
15 
Na idealização deste modelo foram considera 
das as seguintes hipóteses: ll J • 
a) os pulmões são tratados corno urna caixa rígida de volume 
(VA) e de espaço morto nulo. Procedendo-se assim, considera-
se na verdade somente a ventilação alveolar. 
b) os pulmões são ventilados por un\ fluxo de gás bidirecional. 
e) os atrasos de tempo na transferência gasosa, através da 
membrana alveolar são ignorados. 
d) os volumes de o2 e de Co 2 trocados através da membrana al-
veolar sao considerados iguais em amplitudes, er,1 condições nor 
mais de ar inspirado,e opostosern direção a cada instante. 
De acordo com a figura 3, o sistema respi-
ratório é composto de 2 subsistemas: o sistema controlador e 
o sistema controlado. O último tem como entradas o sinal con-
trolador ou corretor (Qv) e o sinal pertubador, correspondente 
à concentração de co
2 
no ar inalado, suposta diferente de ze-
ro, e corno única saída a variável controlada (C ) . O rela-
Tco2 
cionarnento entre as entradas e a saída é definida pelas equ~ 
ções do sistema controlado. 
O controlador por sua vez tem urna entrada 
que é a diferença, ou sinal do erro, entre o sinal de referê~ 
eia e a varâável controlada multiplicada por um ganho (80 ) .~ 
brando que esta última é a saída do sistema controlado, pode-
mos dizer então que ternos urna malha fechada de realimentação 
negativa, onde s0 é o ganho de realimentação. A saída do sis 
terna controlador é o sinal estimulador ou corretor que é urna 
das entradas do sistema controlado. Desde que visualizou-se o 
16 
sistema respiratório como seu dispositivo para regularizar a 
concentração de co 2 nos tecidos, que é um fluido contido no 
corpo humano, se está somente considerando o aspecto 
do sistema respiratório. 
humoral 
Como observa Arnould 171, de um ponto de vis 
ta teórico uma regulação puramente humoral poderia ser suficien 
te para um estado metabólico estável. Um tal sistema age some~ 
te quando existe uma diferença efetiva entre o valor medido e 
o valor de referência do fenômeno considerado. A respiração é 
claramente um fenómeno cíclico e não é surpreendente de se ver! 
ficar que a Pco 
2 
e a P0 dos líquidos corpóreos cíclicas 2 
rela-
cionadas com o ciclo respiratório. Por outro lado nao e difí-
cil de conceber que os centros respiratórios sejam capazes de 
"integrar" (ou filtrar) os valores instantâneos de.modo a nao 
considerar senão o valor "médio" ou mais exatamente as compone~ 
tes lentas do sinal (em relação ao período de respiração). 
Destas considerações concluimos -que o modelo 
proposto poderia explicar (a priori) o mecanismo da ritmicidade 
respiratória se conceber-mos de alguma maneira o efeito de fil-
tragem do centro respiratório, porém, na realidade a regula-
ção respiratória não é puramente humoral 171, (pag. 146). 
2.3 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO MODELO 
Para estabelecer as equaçoes dinâmicas que 
relacionam as entradas com as saídas do sistema controlado, u-
tilizamos o conceito de balanço do co 2 , isto é, a diferença das 
taxas de co 2 que entram e que saem, por qualquer caminho, em re 
17 
lação a um reservatório, é igual a taxa de mudança da quantid~ 
de de c 02 do reservatório. Consideramos corno reservatórios os 
pulmões e os tecidos e desprezamos trocas menores de co 2 {por 
exemplo, pela uréia, pelos poros, etc .•.• ). Assim sendo as e-
quações de balanço são: 
d 
VACO = Qc [~Co CAco l + Q [e - e l 
dt 
V Ico ACo 
2 2 2 2 2 
{ 1) 
d V = Qc [cAco - ~co J + Q'r 
dt TCo 2 2 2 
Embora nestas equaçoes apareçam sete variá-
veis {vide tabela pg. 1): Cvco
2 
; CACo
2
; 
V · V ,· Qv , podemos eliminar algumas delas ,a 
ACo
2
' TCo
2 
partir 
das seguintes considerações: 
a) as pressões parciais e concentrações do Co 2 no sangue ven~ 
soe no reservatório tecidual são supostas iguais, isto é: 
(2) 
b) as concentrações de co2 no sangue arterial e alveolar sao 
relacionados por: 
C = K Aco
2 
1 
constantes positivas determinadas experimentalmente; K1 depen-
de da pressão barométrica do meio ambiente. 
18 
c) o volume dos pulmões (VA) é suposto constante e a concen-
tração de Co
2 
neles é suposta uniforme em qualquer 
Assim temos: 
instante. 
d) o volume tecidual VT sendo constante pode-se escrever: 
e , etc ... 
ACo
2 
(1) obtemos: 
d 
dt 
d 
dt 
Substituindo-se então, as variáveis Cvc0 2 ' 
pelas expressões correspondentes (2) ... (s") em 
= (CICo -
2 
O sistema (6) pode ser reduzido a uma equ~ 
çao diferencial de segunda ordem por eliminação do C Fi-
Aco2 
camos então com: 
d2 
dt2 
19 
+ 
1 ) + d ---C + 
dt Tco2 
= 
A quantidade Qv é o sinal ventilatório e 
contém implicitamente a variável CTCo
2 
e sua derivada. 
A forma explícita de Qv é deduzida consi-
derando-se que o controlador é do tipo proporcional+ deriva-
tivo. Neste caso temos: 
sl + S2S ) ( R - So C TCo 2 
(sé o operador diferencial). 
(8) 
onde R é o sinal de referência e s0 é o ganho da malha de rea 
limentação. 
Em relação a modelos anteriores 121 141, o 
controlador aqui usado difere pelo termo s2 s (termo derivativo), 
a importância destes termos já foi discutida no cap. I. 
A relação (8) pode ainda ser escrita como: 
(9) onde 
20 
Usando-se (9) em (7) chegamos à seguinte e-
quaçao diferencial: 
i x + 
onde X = e 
Ctl = 
et2 = 
Ct3 = 
Ct4 = 
Ct5 = 
Ct6 = 
ª1 = 
ª2 = 
ª3 = 
ª4 = 
ªs = 
ª1 + ª2So - ª3S2 
ª4So ª3S1 
ª2S1 + a4S2 
ª2S2 
ª4 f\ 
ªs + ª3So 
Qc( 
Kl 
+ 1 
VA VT 
1 
VA 
. Kl Qc CICo~ + K2Qc 
VAV'" 
Qc 
VAVT 
kl Qc QT 
V V_ 
l~ T 
) 
+ QT 
- Ct 
6 
(10) 
(11) 
(12) 
21 
Os parâmetros K
1 
V Q K
2 , a , "' , 
no 
ser humano tem os seguintes valores típicos 121 
Kl = 3,23 K2 = 0,32 
V = 3tts o = O,ltts/seg a -c 
4,4 -3 40tts Q = X 10 :t'.ts/seg V = 
T T 
Quanto à constante VT , ela será suposta i-
gual a 40tts como em 121. Esta hipótese implica que a 
é considerada uniforme em todos os tecidos, o que sem 
e TCo 2 
dúvida 
constitui uma simplificação do problema real. Esta mesma con-
sideração foi feita na referência 121. Porém em 141, separou-
se a concentração do Co
2 
tecidual em duas,a concentração nos 
tecidos do cérebro e a concentração dos tecidos do resto do 
corpo. Esta modificação se deve ao fato de ser então conside 
rada a variação do fluxo sanguíneo do cérebro com a 
da Pco do corpo. 
2 
va:i:iação 
2. 4 -' DETERMINAÇÃO DOS PONTOS SINGULARES NO PLANO DE FASE 
No plano de fase ( x1 , x2 ) da equaçao (10) 
. 
onde x1 = X e x2 = X os pontos singulares são fornecidos p~ 
lo seguinte sistema: 
(13) 
22 
Temos portanto dois pontos singulares dados 
por: 
=~ 
+ 
2 
4a5 ª6 ª2 ª2 + 
x2 = o , xl (14) 
- 2 ª5 
t claro que a condição de existência destes 
pontos é dada por 2 ª2 + 4 ª5 ª6 > o ou em termos dos parame-
tros B ( ª4 Bo + ª3 B l 2 1 + 4 ª4 ª5 81 ~ o (15) 
Que deverá ser satisfeita pelos valores dos parâmetros B, que 
serão determinados. 
2.5 - NATUREZA DOS PONTOS SINGULARES 
A equaçao (10) pode ser escrita na forma 
A matriz Jacobina associada a (6) é: 
O 1 
* * A natureza de um ponto singular (X
1
, x
2
) e 
'.* * dada pela matriz J(X
1
, x
2
) isto e: 
o 
-a -
2 
23 
* tendo em conta as expressoes (14) sendo x
1 
= 
Como em (17) o elemento 
-a -2 
( 1 7) 
a2::.\/a'~+4a~/t6 
- 2a5 
(18) 
então o ponto singular correspondente ao sinal+ do radicando 
será sempre uma sela. O outro poderá ser um foco ou um nó se-
gundo as condições abaixo: 
- definindo-se as variáveis: 
guintes condições: 
- Nó estável 
- NÓ instável 
- foco estável -
D = P 2 - 4 
D > O 
D > O 
D < O 
p < o 
p > o 
p < o 
ª2 - Va~ + .4a5a6 
2 ªs 
1 
teremos as se-
24 
- NÓ instável D < O p > o 
Veremos mais adiante que por uma escolha a-
dequada dos parâmetros S, poderemos ter uma configuração do ti 
po sela (ciclo limite estável) - foco instável: 
Fig. 4 
-CONFIGURACAO , ' SELA- CICLO LIMITE ESTAVEL- FOCO INSTAVEL 
2.6 - EXPRESSÃO ANAL1TICA APROXIMADA DA OSCILAÇÃO 
Na teoria das oscilações não-lineares, vari 
os métodos analíticos, (geralmente aproximados), existem para 
a determinação dos parâmetros que caracterizam uma oscilação 
Jl7J. No presente caso a dificuldade que ocorre se deve ao fa 
to de que um pequeno parâmetros não aparece explicitamente.~ 
tudo se a oscilação for de pequena amplitude é de se esperar 
que em torno do foco o sistema se comporte como quase linear 
e portanto poderá ser tratado por um método assintótico. Em 
J1J o método usado foi o de Ritz porém conforme já comentado, 
a correçaode frequência (em relação à frequência natural do 
sistema em torno do foco), não foi obtida explicitamente em 
função da amplitude, além disso a expressão da amplitude deter 
minada pelo método de Ritz, apresenta uma sensibilidade nume-
rica, que compromete a determinação da amplitude de oscilação. 
25 
Neste trabalho é usado o método de (KBM) 
a fim de possivelmente melhorar os resultados em relação ao 
método de Ritz. A particularidade da equação estudada é oca-
ráter não-Ímpar da parte não-linear, uma vez que geralmente o 
método de KBM é aplicado a casos em que a parte não-linear é 
ímpar. Veremos logo que devido a este último fato uma estima-
tiva da amplitude da oscilação só é dada pela 2e aproximação 
do método de KBM. Obtem-se igualmente uma correção de frequê~ 
eia, na 2e aproximação. 
A fim de aplicarmos o método proposto esco 
lhemos como nova origem do plano de fase o foco (ou nó), bas-
* tando para isso usar em (10) a substituição X + X + xl onde 
* xl é a abcissa do foco (ou nó) . A nova equação é: 
\x· + P1X + P 2X + P 3i!X + p x2 + P x2 = o (19) 4 5 
onde, 
* pl = ª1 + a3Xl 
* p2 = ª2 + 2a5x1 
P3 = ª3 
P4 = Cl 4 
PS = ªs 
A equaçao (19) pode ser vista como uma e-
quaçao do tipo: 
26 
X+ w2x = E f(X,X) (20) 
que é a forma padrão tratada oelo método a hipótese de E sufici 
entemente pequeno será corroborada "a posteriori". 
Colocando (19) na forma (20) temos: 
x + P
2
x = E f(x,xi = - p x - p xx - p x2 1 3 4 
onde E é considerado igual a 1. 
P x2 
5 
A l a_ • - - d d ~ aproximaçao e a a por x· = a cos.,, 
( 21) 
apl!_ 
cando diretamente as fórmulas, dados pelo método J17J, temos: 
da 
= E Al (a) 
dcj> 
W + EBl (a) ( 22) = 
dt dt 
com A1 e Bl definidos por: 
A1 (a) = 
1 r. (a coscj> , -a w sencj>) sencj> dcj> 27TW 
o 
Bl (a) = 1 f f(a coscj> -a w sencj>) coscj> dcj> ; 
aTIW 
ô 
Comparando as equaçoes (20) e (21), teremos: 
E=l; w=v'P; e aplicando (23) em (21), temos: 
a 
2 
B1 (a) = O , logo 
da 
dt 
27 
= - p 
1 
a , 
2 
d<j, 
dt 
= ~ (24) 
vemos de (24) que um ciclo limite nao é pr~ 
visto pela 1ª aproximação. 
forma: 
onde ternos: 
ul (a, <j, ) 
go(a) = 
g2 (a) = 
h 2 (a) = 
Aplicando-se 
A solução em 2ª aproximação é suposta da 
X= a cos <j, + E u1 (a, <j,) 
da 
dt 
d<j, 
dt 
(25) 
(26) 
(27) 
go (a) "' gn (a) cos nq, + h (a) se.n n<j, 
= 1 E n 2 2 w w n=2 n - 1 
sff 1 f(a cos <j, - a sen <j,J d<j, I 
2 rr 
o .zlii' 
1 J f(a cos <j, - a w sen <j,Jcos 2 <j, J<j, (29) , 
2 'rr 
o ;iJ( 
1 j f(a cos <j, - a w sen <j,) sen 2 <j, d<j, , 
2 rr 
o 
(29) para a equaçao ( 21) 
28 
2 
go Cal 
a 
(P4 p2 + P5l = 
2 
2 
g2 (a) 
a (-P 4 P2 + P5) 
( 30) = 
4 
h 2 (a) 
P3 2 ~ = a 4 
Assim u1 (a, cj,) fica com apenas o termo cons 
tante e o termo correspondente à harmônica de ordem i, pois 
os termos correspondentes as harmônicas de ordem superiores s~ 
rao inferiores em ordem de grandeza aos das harmônicas de or-
dem 2 
u1 (a, cj,) = 
1 (g2 (a) cos 2 cj, + h 2 (a) sen 2 cj,) 
3w
2 
u1 (a, cj,) = -
P3yÇ 
4 
ª2 
(P 
4 
P
2 
+ P
5
) + 
2P 2 
sen 2 cj,J 
2 
a 
A solução fica portanto na forma: 
X= a coscj, + ª
2 
'c-(P4 
2 p2 t 
+ P3 J;';_ sen 2<J>,1 
com 
( 31) 
(32) 
29 
2 = e: A1 (a) + e: A2 (a) , onde 
1 . { 2A B , + Al 
1 1 
a} -
2w 
,<, fl' 
~ Gi1 (a, $) fx (a cos$; - aw sin$) + (A1 cos$ - aBf 1 21Tw 
Jºul 
xsen$ + w ---) x f" (a cos $. - a w sen$~ sen$ d$ J $ X J 
com 
fx(a cos $ , - a w sen$) = (P
3 
a w sen$ - 2P5 a cos$) 
= 
Substituindo e integrando tem-se: 
da 
dt 
= a 
2 
9 
(- pl + ---
24 
2 
a p 3 (P 4 + ) ) ( 33) 
As oscilações permanentes correspondem aos 
valores de ~ que anulam o segundo membro de «33) . Naturalmente 
a = O corresponde à solucão trivial. O outro valor de a cor-· 
responde ao ciclo limite em torno do foco e é dado por: 
a= ~24 
9 
(34) 
30 
- Cálculo da correçao frequência 
dcb w + E B1 (a) + 
2 B2 (a) = E , com dt 
2. 'il' 
B2 (a) 
1 { 2 Al dAl } - 1 J [u1 (a,cj)) fx(a coscb = Bl 2w a da 2rrwa 
o 
, -a w sencj)) + O + ) x f (a coscj), -a wse~) I 
X 
x coscj) dcj) 
!!OS: 
+ _.=lc__ 
12 
Ai_ 1 
;--=-; 
a 2 
1 
da 
- - 1- , substituindo e integrando, te-
2 
(35) 
Os resultados obtidos acima serao compara-
dos com os obtidos pelo método de Ritz na seção seguinte, 
2.7 - IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS Bo , B1 e B2 
Procedemos aqui a identificação dos parame-
31 
tros S, tendo em conta certas características reais do 
respiratórió que são (no ser humano): 
a) O CTC varia em torno de um valor médio de 0,543. 
º2 
ciclo 
b) A variação de C em regime permanente é pequena embora TCo2 
nao se disponha de dados mais precisos. 
c) O período do ciclo respiratório é aproximadamente de 6 
segs. 
A identificação pode ser feita em primeira 
instância usando-se as expressões da frequência (35) e do va-
lor médio dado por: 
( 36) 
Entretanto este procedimento leva à resolu-
çao de um sistema muito complexo de equações algébricas. Para 
contornar esta dificuldade recorreremos a algumas hipótesess:1!!! 
plificadoras cuja validade será verificada "à posteriori": 
1) Devido à pequena amplitude da oscilação esperada (em rela-
çao ao valor médio) supõe-se que o valor médio seja dado pela 
* abcissa do foco (i.e x1 ). A validade desta suposição é estima 
2 
da pelo valor -a (P 4P 2 + P 5 )/2P2 .(videl36)). 
2) A frequência é suposta como sendo a frequência obtida pela 
1e aproximação. A correção obtida da 2e aproximação 
ser pequena para que esta hipótese seja válida. Aqui 
deverá 
também 
32 
o fato da oscilação ser de pequena amplitude leva a 
que a correçao mencionada seja pequena. 
Das hipóteses acima segue-se as 
equaçoes: 
w = 
à2 - va~ + 4a5ª6 
-2a
5 
= 0,543 
1,0466 
esperar 
seguintes 
( 3 7) 
(38) 
Em termos dos 8's (37) e (38) ficam depois 
das devidas simplificações na forma de um sistema linear de 
equações, i.é: 
(39) 
onde: 
A= (-2,172a3 + l,087a4 ) ; 
D= a
4
; E= 4 a
5 
; F = 1,0955, resolvendo· 
este sistema de equaçoes, determinamos os segúintes valores 
para 80 = -.39.83 
33 
Note-se que o parâmetro s2 , nao interfere em 
(37) ou (38) (vide eqs. 11) e, portanto em (39). Assim, o sis 
-
tema (39), só fornece os valores de s0 e s1 • f,importante fri 
sar que esses valores foram determinados com Crc = O. A in-
º2 
fluência da variação de c
1
c
02 
será estudada mais adiante. 
A identificação de s
2 
e feita tendo-se em 
conta as seguintes considerações: 
- A posição do foco nao muda com s2 • 
- A frequência varia pouco com s2 (só influi na 2ê aproximação) 
- A estabilidade do foco depende de s2 • 
Sendo a amplitude suposta pequena o s2 deve-
rã ter um valor corresPondente à bifurcação foco estável + 
foco instável. Esta bifurcação ocorre quando P1 na equaçao 
(19) é nulo. Embora uma análise exata da bifurcação seja pos-
sível l 18 1 , contentamo-nos com uma análise aproximada baseada 
na equação ('33). Desta maneira concluímos que a bifurcação é es 
tável se P
3
(P
4 
+ P
5
/P
2
) for negativa pois (33) fica então, na 
bifurcação na forma 
da 
dt 
= 9 
48 
( 4 O) 
~ bem conhecido que neste caso,ao variar P.l 
(ou seja s
2
) de modo que P 1 fique negativo (porém pequeno) um 
ciclo limite estável nasce do foco que se tornou instável (vi-
de fig. 5). 
•• PI >0 
34 
P1=-0 
Fig. 5 
DESENVOLVIMENTO DA B IFURCACAO 
··-
Determinação de. s2 
P1 <0 
• 
• 
'.1 
Por nao sabermos exatamente o valor da am-
plitude da oscilação, sabemos apenas das referências que este 
valor é bastante pequeno, o valor de S 2 não será perfeitamente 
determinado, qualquer valor perto do valor da bifurcação fará 
com que tenhamos um ciclo limite estável de amplitude pequena. 
O valor correspondente à bifurcação é dado por: 
-4 
P 1 = 0,0783 + 1,49 x 10 s2 = O, donde 
s
2 
= -525 é o valor correspondente à bifurcação. Um valor de 
82 menor e próximo de -525 ocasionará, como já dissemos an-
tes, um ciclo limite estável de amplitude pequenae com a fre-
quência aproximadamente igual a frequência desejada. Assim, 
para efeito de comparação de valores escolheremos 82 = -700 , 
com o qual obteve-se os seguintes valores dos parâmetros: 
35 
pl = -0,026 
p2 = 1,093 
P3 = 2444 ( 41) 
P4 = -233,31 
P5 = 6,11 
ficand o a equaçao final igual a: 
X= 0,026X - l,093X - 2444XX + 233,31~2 - 6,11X
2 ( 4 2) 
2.8 - SIMULAÇÃO ANALÔGICA E SIMULAÇÃO DIGITAL 
Para simular a equação(42), usamos a simu~ 
lação-analógica e a digital. Para a simulação analógica, fiz~ 
mos urna mudança de variável: X= lOOOX e usamos o 
circuito. 
10 
+10 
Fig. 6 
_/ _•A CIRCUITO DA SIMULAÇÃO ANOLÓGICA 
seguinte 
', ! 
•. 
• 
36 
Para a digital usamos um compilador da 
IBM, montado no B/360, denominado CSMP (contínuos sistem model 
Program). 
O gráfico da simulação digital se encontra 
anexo. 
2. 'l - DETERMINAÇÃO NU~RICA DOS TEI_l,MOS DA EXPRESSÃO ANAL!TICA 
Com os valores dos coeficientes e já deter 
minados, poderemos obter os valores numéricos dos termos da 
expressão analítica, substituindo nas equações (26), (28) e 
(30), obtemos: 
a 2 = l,246'"X,:I:ü"" 7 
a = 3,53 X 10-4 
E: go (a) 
10-5 = 1,422 X 
p2 
( 4 3) 
cg2(a) 
= - 2,96 X 10-6 
3 p2 
= 2,32 X 10-5 
Ficandp a expressao analítica, igual a: 
REPRESENTAÇÃO NO PLANO DE FASE DO CICLO 
X 
10"4 
'( 
Fig. 7 
, , 
TRAJETORIA CORRESPONDENTE AO EST. TRANSITORIO 
, , 
TRAJETORIA CORRESPONDENTE AO EST. ESTACIONARIO 
X 
10-4 
- I • 
LIMITE CORRESPONDENTE A SOLUÇAO OSCILATORIA'DA EQUAÇAO DIFERENCIAL 
® 
38 
-4 = (3,53 coscj) + 0,142 + 0,0292 cos 2cj) - 0,232 sen 2cj)) 10 
( 4 4) 
- Comparações: 
Comparamos o valor de amplitude determina-
do teoricamente com o valor determinado pela simulação analóg!_ 
ca e digital e, constatamos que esses valores estão bem próxi-
mos. Os valores comparados sao: 
-4 
sol. simulada no computador digital+ 4,2 X 10 
sol. analítica amplitude total+ 3, ., X 10-
4 
- Quanto a correçao da frequência, verificou-se que esta é bem 
pequena. A frequência corrigida, ficou sendo: 
dcj) = 1,0455 - 0,0148 = 1,0307 ( 4 5) 
dt 
com uma correçao de 1,41%. O valor,real, determinado pela si-
mulação, é bem próximo do valor corrigido. 
2.10 - OBSERVAÇÕES 
1) A identificação exata de s2 fica na dependência de se co-
nhecer precisamente a amplitude de oscilação da concentração te 
cidual de c02 , porém, com o valor determinado tiramos as se-
guintes conclusões: - pel-0 fato de o valor constante,,determi-
39 
nado pelo método KBM, ter sido bem pequeno, podemos considerar 
que a oscilação seja em torno do foco instável, isto é, que a 
abcissa do foco seja o valor médio da oscilação, o que confir 
ma a hipótese feita. 
2) Sendo pequena a correção da frequência determinada na 2~ 
aproximação, podemos concluir que a influência de s2 na fre-
quência é bem pequena, já que ele influe· somente na correçao. 
t importante salientar de que apesar desta correcão ser peque-
na, o método de KBM pode determiná-la, enquanto o método de 
Ritz, como empregado, não a determina. Dévido à particulari-
dade das não-linearidades da equação, serem não-impar, uma es-
timativa da amplitude só foi c~nsegú.ida na 2~ aproximação. 
2 .11 - COMPARAÇÃO DOS VALORES· DETERMINADOS PELO ~TODO 
KRYLOV-BOGOLIUBOV, COM OS DETERMINADOS PELO ~TODO 
RITZ , . USADO NO TRABALHO ESTUDADO. 
DE 
DE 
Para efeito de verificação da validade ou 
nao da aplicação do método de· KBM em substituição do de Ritz, 
faremos uma comparação do valor medio, 
1 
da frequê!!_ 
eia e da amplitude determinados pelos 2 métodos. A 
do sistema pode ser escrita da seguinte forma: 
X+ f(x,x) = O (46) onde 
equaçao 
( 4 7) 
40 
A expressao analítica aproximada, é dada por: 
1 
X (t) = XO + xl sen wt , donde ~. 
X(t) = X w cos wt ( 4 8) i 
X (t) 2 wt = x 1w sen 
A função f(X,X) será colocada como: 
onde: 
A(x0 , ~,wl = 
. 1 )"f(XO + X:I. sen~'. wt, Xf cos wt) dwt 
2'1T r~ 
B cx0 ,x,w) 
1 
. f (XO + 2S_ sen wt, xr cos wt) sen wt dwt = 
'ITXJ o <ii' 
C(X0 ,1,w) 
1 f ~(XO + 2S_ sen wt, x 1wcos wt) cos wt dwt = 
'1T 21 w .o 
( 50) 
Substituindo(47)ern @Q'ie usando as eJ:{Pres-
soes de (413) e ( 4 9) ternos: 
1 
2 
( 51) 
41 
1 
2 
substituindo em 46, temos: 
1 
2 
(52) 
·Fazendo o balanço harmônico, determinamos 
os valores da amplitude da frequência e do valor médio da osci 
lação: 
(53) 
; 
Com-o conjunto dos parâmetros B identifi-
cados anteriormente, determinamos os valores dos. coeficientes 
a e substituindo em(53),obtemos: 
XO = 0,543 
w = 1,045 ( 54 )· 
X,. = 9,08 X 10-4 
i 
42 
Ficando a solução pelo método de Ritz, i-
gual a: 
-4 X(t) = 0,543 + 9,08 X 10 sen 1,045 t ( 55) 
- Comparando as soluções dos dois métodos, concluimos que: 
- O valor médio da oscilação e praticamente o mesmo para os 2 
métodos, diferenciando somente do valor constante, determinado 
pelo método de KBM, o qual é pequeno. 
- A frequência determinada pelo método de Ritz, apresenta uma 
correção em função do valor médio o que vem a ser indiretamen 
te, em função da amplitude. Porém esta correção não é aprese~ 
tada de uma maneira explícita, isto é, o método como emprega-
do, não apresenta uma expressão que relaciona diretamente a 
correçao com a amplitude de oscilação. 
- Devido a sensibilidade numerica da expressão da 
determinada pelo método de Ritz, a comparação das 
amplitude 
amplitudes 
determinadas pelos 2 métodos fica prejudicada. Porém, a ampl! 
tude determinada pelo método de KBM está próxima da amplitude 
da solução obtida pela simulação analógica e digital. 
- Além dessas conclusões tiradas com os resultados obtidos pe-
los 2 métodos para s2 = - 700, calculamos diferentes ·.·valores 
amplitude de oscilação, pelos 2 métodos, variando s2 . Os re-
sultados são: 
para s2 = -900 
- -4 metodo de Ri tz -+ X.1 = 3,559 X 10 
- -4 metodo de KBM-+ a= 4,552 X 10 
para s2 = -1000 
para s2 = -1100 
43 
método de Ritz +X= 1,272 X 10-4 
J 
método de KBM +a= 4,85 X 10-4 
método de Ritz + X_:1= 1,006 X 10-4 
método de KBM + a = 6,6 X 10- 4 
A determinação desses valores, veio compr~ 
varo que já foi dito anteriormente: que a sensibilidade nume 
rica da expressão da amplitude determinada pelo método de Ritz, 
prejudica qualquer comparação das amplitudes determinadas pe-
los 2 métodos. Apesar disto, das conclusões anteriores pode-
mos afirmar que a mudança do método analítico foi válida. 
2.12 - DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DA FREQUt:NCIA E DO VALOR M~DIO 
AO VARIAR A CONCENTRAÇÃO DE c02 NO AR ATMOSF~RICO 
Variamos agora, o parâmetro referente a 
concentração de co 2 no ar inalado (CICO ) e, veri·ficaremos o 2 . 
que acontece com a concentração de co 2 tecidual e a frequência 
ventilatória. Obviamente, mantendo os valores dos parâmetros 
44 
A expressao do valor médio (abcissa do fo-
co instável) em função de CICO , é dada pela expressão (14),, 
ª2 -'~~ + 4a5a6 2 
, onde no parâmetro a 3 (ver 12), que - 2a 
5 
entra em a 1 , a 2 , a 6 , e considerado o termo que contém 
X = 
m 
(5,5426 + 19,743J) + v389, 786J2 _ 43,164J + 1,1948 
12,221 
(56) 
e, a frequência, determinada pelo método KBM, pela expressao, 
w = \IP;', onde P 2 = a 2 + 2a5 xm. Assim, a expressão da fre-
4,------:c-----------.-
quência do CIC0
2
, fica w =\/389,786J
2 
- 43,164J + 1,1948 
onde J = CICO 
2 
mos que: 
( 5 7) 
Traçando os gráficos X xJ e wxJ, verifica-
m 
1) O valor médio e sempre crescente, com o aumento de 
o que é coerente com o aspecto físico. 
2) Com e aumentando, a frequência inicialmente decresce, Ico2 
atinge um mínimo e em seguida aumenta, o que não é coerente 
com o aspecto físico, porque o modelo considera a frequêhcià 
respiratória igual a frequência de oscilação da concentração 
de co 2 nos tecidos e a frequência respiratória aumenta sewpre 
' Xm ( VAL.MEDIO) 
0.5 
1W 
;(rd1') 
i0,31 
45 C1cn., xm 
' 
D 0,543 __ 
0,0015; 0,543055 
0,003 0,543056 
0,0075 0,54306 
0,015 0,543066 
0,03 0,54309 
0,06 '0,55835 
10,09 0,65497 
H'I~- 0,7519 
5_ 0,8488 
Fig. 8 
r- I - "" 
VARIAÇAO DO VALOR MEDIO DA OSCILACAO VERSUSCONCENTRACAO DEC02 NO AR INALADO 
0,03 
0,0075 0,972 
0,015 0,993 
~--"---' 
1 0,03 0,7083 
, 0,06 r 0,3096 
1-0,09- · · o-;ii212: 
~.12 1,1293 
0,15 ___ L!·~3_6o _ __, 
'= 
• 
Fig. 9 
VARIAÇAO DA(FREQUÊNCIA) DA OSCILACÂO VERSUS CONCENTRAÇÃO DE Coz NO AR INALADO 
0,03 
b-
C1co2 
" ' 
46 
com o aumento de co 2 inalado. Assim, fica confirmado que a 
oscilação da respiração é distinta da oscilação da variação da 
concentração de co 2 nos tecidos, já que as frequências são dis 
tintas. Esta distinção, dos dois sistemas e a correlação en-
tre eles serao melhores analisadas no capitulo seguinte contu-
do, já podemos concluir que uma regulação puramente humoral não 
permite determinar a cíclicidade respiratória, já que a 
quência respiratória nao e a mesma do sinal regulador. 
fre-
3) A abcissa do 19 ponto singular, que é do tipo sela, aumenta 
com o aumento do CICO , aproxirnando-.se do foco instável, nao 
2 
havendo porêm a coincidência dos 2 pontos singulares, inexis-
tindo assim a bifurcação. 
4) O gráfico da variação da frequência só ê válido para valo-
res de CICO pequenos, pois para- valores grandes de CICO o 
2 2 
do método nao mais válido já que a oscilação 
.~ 
nao uso e Jª 
mais existe. 
Assim sendo, para efeito de comparaçao en-
tre resultados analiticos e os obtidos pela simulação analógi-
ca, determinamos as equações para valores de CICO , bem pequ~ 
2 
nos, que sao: 
-CICO = 0,0015 + equaçao resultante+ X= 0,023174X - 1, 06393X-
2 
- 2444XX + 233,3i.x2 - 6,11X2 
- 3,84Xl0-7 
47 
c1c 02 = 0,003 + equaçao resultante+ X= 0,02035X - l,0343X -
2444XX + 233,3lx2 - 6,11x2-
c1 c 02 = 0,0075 + equação resultante+ X= 0,01187X - 0,9455X -
• 2 
2444XX + 233,31X 
-19,2 X 10 -7 
Essas equaçoes foram simuladas no computa -
dor analógico, e os gráficos junto com o gráfico corresponden-
te para e = o se encontram a seguir. 
COMPARAÇÃO DA FREQ. E DA AMPLIT. DA OSCIL.DOCTco2 P/PEQ.VALORES C,co 
Pelo gráfico, pode-se notar que a amplitude 
e a frequência de oscilação diminui com o aumento de 
Os valores da frequência e da amplitude obtidos pelo 
de KBM, estão próximos dos valores obtidos pela simulação ana-
lógica. 
48 
2.13 - COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS,· COM OS OBTIDOS ANTE-
. RIORMENTE POR UM OUTRO MODELO 
O modelo cujos resultados vamos comparar é 
o da referência 121. 
Neste modelo o controlador considerado é do 
tipo proporcional, nao havendo portanto, o termo referente a 
derivada da variável. O que comparamos então, serão os tempos 
gastos para estabilização, após sofrer variações do creu ina 
2 
lado. Essas comparações são importantes por que nesse modelo, 
• 
os parâmetros s0 e s1 foram identificados experimentalmente 
,.,.-
Variando o crco nas equações(12h obtivemos 
2 
os coeficientes a, que originaram as seguintes equações: 
P/Cic0 2 = 0,01 +X= 1327,4X + 5,7415X 
-6 , 11X
2 + 1, 315 4 
P/Cic0 2 = 0,03 +X= 1327,15X + 6,1364X 
-6 ,11X
2 + 1,53 
P/Cic0 2 = 0,047 +X= 1327,12X + 6,472X 
- 6,11X
2 + 1,712 
2444XX + 233,3x2 -
2444XX + 233,3~2 
2444XX + 235,3X 2 
As 2 primeiras equaçoes foram simuladas com 
as condições iniciais x0 = O ; x0 = 0,543 , que é o valorrrédio 
49 
para crê = o. Com isso, poderemos comparar os tempos gastos 
º2 
para o sistema estabilizar num outro valor médio, com a varia-
çao do c Ico
2 
Os ,gráficos estão em anexo: 
X 
C1co2 , o,o 3 
c,coz, 0,01 
3 4 6 t 
Fig. li 
... ... do . ' 
VARIAÇAO DO TEMPO DE ESTABILIZACAO DO Cycoz a- C1coz E MODIFICADO 
Podemos verificar que no caso de e_ = 0,01 -r,co
2 
o sistema oscila em torno do valor médio, gastando um tempo de 
estabilização de aproximadamente 6 segs. No segundo caso (ca-
so de CICO = 0,03) o sistema não oscila gastando um 
2 
tempo 
para atingir o valor médio de 2 segundos aproximadamente. Es-
ses tempos estão muito aquém dos valores achados por Grodins 
121, O que mostra que os valores dos parâmetros 
dos, não atendem aos resultados experimentais. 
identifica-
50 
CAPÍTULO III 
O MODELO CONSIDERANDO OS TEMPOS DE CIRCULAÇÃO DO 
SANGUE VENOSO E DO SANGUE ARTERIAL 
3.1 - INTRODUÇÃO 
Continuando ainda, com o objetivo de estu-
dar a viabilidade da aplicação real do modelo estudado, intro-
duzimos os tempos de circulação do sangue venoso e do arteri-
al, já que esses tempos existem e são mensuráveis 141 161. 
Assim, obtivemos um modelo, que será igual ao original quando 
estes atrasos forem igualados a zero. Para identificarmos os 
parâmetros S usamos uma noçao de bifurcação que consiste em va. 
riar os parâmetros da parte linear até que a solução de refe-
rência passe de eztável assintáticamente a instável. Incluin 
do então, a parte não-linear esta limitará a amplitude de osci 
lação formando um ciclo limite estável. Para aplicarmos esta 
noçao de bifurcação usamos o diagrama de Nyquist. Ao tentar-
mos identificar os parâmetros, constatamos que esta identifica 
çao era inviável para valores reais dos tempos de circulação, 
dados pelas referências citadas, pois a existência de uma osci 
lação estável só era possível para valores bem inferiores des 
ses tempos. 
51 
3.2 - DESENVOLVIMENTO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL COM RETARDO 
O esquema básico do sistema continua o mes 
mo. Seja a figura (12), que representa o modelo. 
---
RESERVATÓRIO PULMONAR 
/ 
CORRETOR }-~~CONTROLADOR 
SINAL ESTIMULADOR OU 
/3o 
Fig- 12 
Q PROOU 
L 
_______ _,-lAO ME-
TABÓLlCA 
OE C02 
' MODELO DO SISTEMA RESPIRATORIO 
A única mudança será na determinação das 
equaçoes de balanço, nas quais agora serao considerados os tem 
pos de circulação do sangue venoso e arterial. Por simplific~ 
çao consideraremos esses tempos como sendo fixos. 
Chamemos de T1 o tempo de circulação do 
sangue venoso e de T2 do sangue arterial. Assim as 
de balanço ficarão da seguinte maneira. 
d CAc02 - Qc - - ( (CTCO ) Tl (KlCACO + K2)) 
dt VA 
2 2 
x(CIC02 - CAC0
2
) 
equaçoes 
+ 
Qv 
x 
VA 
onde 
.d CTco2 
dt 
(CTCO ) T 
2 1 
= 
Qc 
( (Kl CACO 
VT 
-T s 
= CTCO e 1 
2 
52 
2 
º:r + K2)T CTCO ) + , 
2 2. VT 
( 58) 
e 
As equaçoes acima podem também ser escritas 
como: 
= 
+ 
.d CTC02 = 
. Qc 
dt VT 
+ 
QT 
VT 
CTC~ (t - Tl) -
-2 
Kl CAC02 (t - T ) 2 + 
K2Qc Qc 
S.co2 
VT VT 
Após fazer as eliminações necessárias e 
substituição Q 
V 
brando que os termos de. Qv que contém CT CO e CT CO , 
2 2 
considerar o tempo atraso da circulação), obtemos a 
equaçao: 
deverão 
seguinte 
53 
( 6 O) 
onde T = T1 + T2 e os coeficientes a sao dados pelas expres-
soes: 
( 
80 KlQc 
+ 
. Qc 
ª1 = - --+ 
VA VA VT 
= ( 
K1Qc2 
+ 
8o0 c 
ª2 -
VAVT VAVT 
82 
(KlQCCICO + K2Qc + QT) ª3 = 
VAVT 2 
(61) 
= 
K1Qc2 
+ 
81 
(KlQcCICO + K2Qc + QT) ª4 
VAVT VAVT . 2 
82 
ªs = -
VA 
81 
54 
= 
!\Qc 
ªa 
VAVT 
= 
KlQCQT 
+ 
Ba 
(K1Qccrco
2 
+ K2Qc + QT) ª9 
VAVT VAVT 
Transferindo a origem do plano de fase para 
a abeissa X= 0,543 , obtivemos: 
X (t - T)X + P 7X(t - T)X + P8X(t - T)X + Pg (62) 
onde por simplificação, chamamos a nova variável também de X. 
Os coeficientes P são dados por: 
pl = ª1 + 0,543 ª7 Pg = 0,543 a 2 + 0,543 a 4 + 0,5432x 
p2 = ª2 + 0,543 ªa 
P3 = ª3 + 0,543 ª6 
P4 = ª4 + 0,543 ªa 
( 6 3) 
P5 = ª5 
p6 = ª6 
P7 = ª7 
p8 = ªa 
55 
3,3 · ANÃLISE REFERENTE i\: ESTABILIDADE DA SOLUÇÃO TRIVIAL DA E-
QUAÇÃO COM RETARDO 
Os coeficientes da equação (62) sao funções 
dos 3 parâmetros 8
0 
, 81 , 82 • Estes, serão identificados a 
fim de atender a periodicidade da solução da referida equação. 
O período da solução oscilatória será de 6 segs. que é o perí2 
do correspondente ao ser humano. 
Para identificá-los usaremos a seguinte no-
çao de bifurcação: consideraremos inicialmente somente a parte 
linear de(62')e, para esta determinação os parâmetros que fazem 
com que a solução desta parte linear passe assintóticamente e~ 
tável à instável. Para esses parâmetrosdeterminados, anexa-
se ·então a parte não-linear que deverá limitar a amplitude de 
oscilação, para termos então uma oscilação estável. A frequê~ 
eia de oscilação será a frequência de bifurcação, isto é, a 
frequência que a parte linear passa de assintóticamente instá-
vel a estável. Logo, uma das condições da identificação dos 
parâmetros é que essa frequência se,ja a frequência desejada. 
Assim, para a aplicação dessa noção de bi-
furcação consideremos., inicialmente a parte linear da equaçao 
62, que é: 
( 6 4) 
Na equação (64) usaremos o critério de Nyquist, 
I 56 
para equaçoes com retardo. Para tanto usaremos a configuração 
de diagrama de blocos à malha fechada. Seja a fig. 13 que re-
presenta um sistema de malha fechada, com realimentação negat!_ 
va. -·~~·--
+ -{ P;s + P~ l -TS 
- 52-p,S - P 2 é 
.FI 9, Ili - ' SISTEMA DE MALHA FECHADA, CUJA EQUAÇAO CARACTER! STICA E A EQUAÇÃOe 
A funçao de transferência- à malha fechada 
sérá equivalente a equação (64) ,pois a sua equação característ!_ 
ca será a equação(64). Assim o estudo de estabilidade, desta~ 
quação será análogo as do sistema representado pela figura 8: 
A função de transferência do sistema de ma-
lha aberta será GT(S) = G(S) e -ST ' onde de acordo com a fig. 
- 13 ,G(S) 
- (P3 s +. P4) A resposta frequência do sis-= em 
S2 ' - P 1S - p2 
tema será dada por GT(Jw) = G(Jwl -ST e 
O gráfico de frequência de GT-(Jw) é cons-
truído a partir do de G(J~. Após construirmos· este, cada ve 
tor será girado no sentido dos ponteiros do relógio de um ang~ 
lo WT, onde T é o tempo de atraso. Assim, representando, de 
uma maneira geral o diagrama de Nyquist, teremos a figura 14: 
57 
Im 
Re 
Fig.14 
DIAGRAMA DE NYQUIST, PARA UM SISTEMA COM RETARDO 
A identificação dos parâmetros S, terá que 
satisfazer as seguintes equações, determinadas pela condição 
de que para haver a bifurcação pretendida, o gráfico de GT(Jw) 
deverá interceptar o círculo de raio 1 (fig.14) no ponto -l+J
0
, 
com a frequência Wc = 1,046 rad/s. 
mod = mod G(Jw) = 1 
e 
( 6 5) 
( 6 6) 
Os parâmetros S terão que satisfazer(65) e 
(66),e mais a equação que designa o valor médio (P
9 
= O , na e-
quação (6 3) . 
Voltando a idéia inicial da bifurcação, o 
que queremos é que o sistema correspondente à parte linear co-
mece a oscilar com a frequência W = 1,046 rd/s para um tempo 
c 
de atraso T de 25 seg. (ver refs. l 41 , l 6 I) . Note bem, para 
58. 
que a bifurcação se realize perfeitamente, isto é, após a adi-
çao da parte não-linear a oscilação seja amortecida, ficando 
oscilatória na frequência desejada, é necessário que a frequê~ 
eia desejada seja a primeira frequência em que o sistema li-
near comece a oscilar. 
A determinação dos parámetros 8, das equa-
ções (65lc, (66) e de P9 = O (eq. (63), fica muito difícil, o que p~ 
de ser verificado, quando as escrevermos em função dos parâme-
tros 8, 
ª1 81 + ª2 80 + ª3 = o 
bl 82 (b2 81 + b3 8 )2 (b 4 80 + b5 81 + 
2 
(_b7 + = b6) + 80 + 2 o 
+ b 8 01 + b 9 J 
2 
arc·tg 
e 8 i 2 
(C281 + C380) 
-WT=7T e 
- are tg 
onde os coeficientes sao dados por: 
ª1 = 0,8091 X 10-
4 
; ª2 = 1,49 
X 10-5 
bl 2,22 X 
' -8 2 "·b 0,809 = 10 w ; = e 2 
X 10- 4 ; b4 = - 0,343 w ; b5 = e 
(C480 + C581 + C6) 
(C780 + C881 + c9) 
X 10-4 ª3 = 1,1843 X 
X 10-4 ; b3 = 4,525 X 
0,181 w ; e 
59 
b = 0,1101 W 
6 c 
= 2,69 X 10-4 - W 2 
c 
2,23 X 10-4 
C5 = - 1,49 WC ; c2 = - 0,809 ; C3 = - 4,525 ; C4 = - 0,383,,x 
x- W • c = O, 121 W · c ' 5 c c = 0,1101 w 6 c 8 33 X 10-
4 
C7 = - , 
t;' ca = - 4,52 X 10-4 2,692 X 10-4 w 2. 
c 
Porém, observando a equação ((56) podemos ve-
rificar que, quaisquer que sejam os valores dos 13, esta nao se 
rá verificada para W = 1,046 rd/seg e T = 24 segs.; porque c 
w cT será igual 81T rad G (J wc) ultrapassará 1T a e o arg nao a--, 
2 
(intercessão no 19 quadrante). Assim, para que essa equaçao 
seja satisfeita uma das 2 hipóteses terá que ser verificada (ou 
as duas); 
1) W menor do que 
c 
21r 
6 
= 1,0466 rd/s. O que é incoerente com 
o modelo, já que e suposto que a frequência de oscilação dava 
riação de c 1c 02 
seja a mesma frequência respiratória. 
2) o tempo de atraso 1r, seja no máximo de 4,5 segs., o que e 
incoerente com os dados estipulados como reais, obtidos das 
referências. 
Assim o que se conclui é que realmente para 
um atraso de 24 a 25 segs., não será possível existir a bifur 
caçao com a frequéncia de W = 1,046 rd/seg., para 
c quaisquer 
60 
valores dos parâmetros B, determinados. Não podendo existir 
portanto, para o sistema não-line?r com o atraso acima referi-
do, uma oscilação estâvel com a frequência desejada. 
Apenas como exemplo, da noçao de bifurcação 
considerada, apresentamos um conjunto de valores do parâme-
tro B, determinados com a fixação de s0 = - 1000 e o cálculo, 
de s
1 
= 1850 e B2 = 12830, de tal maneira que as e primeiras 
equações de (67), fossem atendidas. Obtivemos então na 3~ ~ 
ção um atraso de T = 2,7 segs. Simulamos a equação diferen-
cial resultante, após o cálculo dos coeficientes no computador 
digital usando o CSMP, e comprovamos a bifurcação: para valo-
res de T menores que 2,7 segundos o sistema linear era assin-
tótica!'Ilente estável e para T = 2, 7 se.gs. o sistema começou a 
oscilar. Com a inclusão da parte não-linear, a oscilação foi 
limitada, originando um ciclo limite de amplitude igual a 
-5 ~ 3,5 X 10 e de periodo aproximadamente igual a 6 segs. A e-
quação, resultante simulada ficou sendo a: 
X= - l,627X - 0,004X - l,914X(t - T) - 0,276X(t - T) - 4276,6X 
X(t - T)X - 10,69X(t - T)X - 616,66X(t - T)X - l,542X(t - T)X 
Segue em anexo o gráfico no plano de 
da solução determinada pela simulação digital. 
( 69) 
fase 
OBS·,: A solução numérica do sistema de equações em B fica re-. 
almente muito difícil. Porém, pode-se determiná-losgi~ 
ficamente a partir de B0 + B1 + S2 + T 
·5 
10 
Fi g.15 
TRAJETORIA CORRESPONDENTE AO EST. TRANSITORIO 
TRAJETORIA CORRESPONDENTE AO EST. ESTACIONARIO 
CONFIGURAÇÃO NO PLANO DE FASE DO CICLO LIMITE QUE REPRESENTA A SULUÇÃO DA EQUAÇAO @ 
(1) 
62 
3.4 CONCLUSÕES SOBRE A VIABILIDADE DA APLICAÇÃO DO MODELO 
O modelo considera somente o fator humoral 
da regulação do sistema respiratório. Este fator nao é por 
si só, suficiente para explicar~ rítmicidade da respiração, 
podendo explicar somente~ regulação do valor médio da variá-
vel considerada. Esta insuficiência ficou evidenciada nao só 
~ capitulo anterior, quando a frequência da oscilação do co2 
tecidual, suposta como sendo a frequência respiratória, dimi-
nuía com 2. aumento do co2 inalado, como também nesse capitulo, 
~~impossibilidade de se supor um tempo de circulação 
·sangue, estipulado, pelas referências, como real. 
do 
Assim, é necessário na regulação 
tória, a existência de um outro fator que aliado ao 
respira-
humoral, 
venha dar ao organismo uma regulação respiratória satisfatória, 
A existência desse outro fator será analisa 
da no capitulo seguinte. 
63 
CAPÍTULO IV 
PROPOSIÇÃO DE UM NOVO MODELO 
4.1 - INTRODUÇÃO 
Baseado no que foi analisado anteriormente, 
podemos afirmar que uma regulação puramente humoral, em condi-
çoes normais, não é suficiente para um estado metabólico está-
vel. Das referências l 71 l 11 I , l 13 I l 14 I, concluimos so-
bre a existência de um sistema que interligado com o respons~ 
vel pela regulação humoral, venha dar ao organismo o estado me 
tabólico estável referido acima. Esta existência pode serve-
rificada nas transcrições dos seguintes trechos: - de 171 pag 
147 - "Há algum tempo imaginou-se existir na região bulbo-pro-
tuberáncia, um marcador de passo análogo ao sistema cardíaco. 
No estado atual de conhecimentos sobre o sistema respiratório, 
sabe-se que esta concepção é simplista: a difusão da excitação. 
no coração não é absolutamente comparável à emissão dos influ-
xos nervo-motores pelos centros respiratórios. ~ bem mais evi 
dente,na realidade 1que o automatismo respiratório é feitc pela 
reunião de.sinais neuróneos religados entre si inibindo-se e 
excitando-se de tal maneira que o funcionamento respiratório se 
ja oscilatório e que possa ser modificado pelas aferências re-
gulatrizes". - de llll pgs. 5 a 11 - "O termo neurôneo respi-
64 
ratório é usado para significar um grupo de neurônios que pro-
duz sinais periódicos que são relacionados constantemente a 
alguma fase da atividade respiratória. Esta definição é limi-
tada porque não se pode excluir a possibilidade da existência 
de neurônios que produzem descargas constantes ou que nao se-
j am periódicas. Entretanto; até o momento não se teve meios 
de reconhecer o caráter dessas atividades não-rítmicas. Somos 
então, forçados a aceitar somente, as atividades rítmicas. 
A localização dos neurônios expiratórios e 
inspiratórios foi determinada por experiências, que constaram 
de inserções de· micro-eletrodos no tronco cerebral .e no nervo 
superior cervical: 
Quanto à classificação, os neurônios respi-
ratórios foram classificados como sendo inspiratório ou.expir~ 
tório, de acordo com a fase da respiração na qual se obteve 
maior frequência de descarga. Na média, os neurónios inspir~ 
tórios foram encontrados 2 vezes mais do que os expiratórios. 
Dessas experiências, constatou-se que a$ descargas desses neu-
rônios são probabilísticas e, pode-se dizer numa primeira a-
proximação, que durante o ciclo respiratório a soma das proba-
bilidades das descargas expiratória e inspiratória, é 
tante". 
Em resumo, dos trechos transcritos 
cons-
acima 
podemos concluir sobre a existência no cérebro de uma área res 
pensável pela ritmcbcidade respiratória, sendo esta ritmicida 
de ocasionada· por descargas de neurônios inspiratórios e exp!_ 
ratórios. 
Além dessa conclusão, das experiências fei-
65 
tps em 1161 podemos tirar outra, que é a da influência dos mus 
culos intercostais na determinação ou modificação do ritmo res 
piratório. Dos resultados dessas experiências podemos deduzir 
que os sinais provenientes dos neurônios sofrem nos músculos 
intercostais uma conversação para sinal ventilatório. 
4.2 DESCRIÇÃO DO MODELO 
Neste modelo o sistema respiratório conti-
nua, sendo visualizado como um sistema de controle à malha fe-
chada de realimentação negativa, conforme ilustrado na figura 
16. 
.. 
FUNÇAO CONVER- LIMITADOR 
·i-0--{ /31 + s/32 
SORA DOS MÚSCU-
=F OSCILADOR •.SINAL MODULADO~ LOS INTERCOSTAIS - -... 
V'i(A,F) 
TROCA DE f0
2
E o
2 
TROCA OE c9,s ''!, 
RESERVATOR 10 RE~ERVA 
1 
TECIDUA L -T RIO i 
\ 1 1 1 
PU,MONAf 
\ / - - ! 
1 
-
1 f3o • 
,1 1 - -
- -
1 ' i. 
1 1 1 1 
1 
QT~PRO~UC:Ã cI co2 
Fig.16 METABOLICA 
' o SISTEMA RESPIRATORIO 
1 
' 
·De acordo com a figura 16, o sistema respi-
ratório seria constituído dos seguintes subsistemas: 
66 
1) Sistema responsável pela regulação humoral: 
Este sistema, é regido pelas equaçoes de ba 
lanço das variaveis consideradas como controladas e, tem como 
entradas o sinal ventilatório e o sinal perturbador, que e a 
concentração do co 2 inalado. As suas saídas serão as variá-
veis controladas que multiplicadas por um ganho de realimen-
tação ã
0 
, _serão comparadas com um sinal de referéncia. O si-
nal resultante, sinal de erro, passará pelo controlador do ti-
po proporcional mais derivativo, que regulará as variáveiscon 
troladas. Deste sistema saem os sinais reguladores que atua-
rao no oscilador. 
2) Sistema responsável pela ritmicidade respiratória 
Este, gera um sinal oscilatório, o qual é 
gerado pelas descargas dos neurôneos inspiratórios e expirat2 
rios que se mesclam. O sinal oscilatôrio sofre aferência dos 
sinais reguladores do controle humoral, que o modulam variando 
a sua frequência e amplitude, o qual atuará no diafragma e nos 
músculos intercostais. 
3) Sistema Conversor 
Composto do diafragma e dos músculos inter 
costais que possuem uma função tradutora. Esta função regerá 
a conversao do sinal neurôneo em sinal ventilatório e, que se-
rã, talvez função não-linear de A e F, onde A e F são a 
tude e a frequência do sinal canp::>sto. A não-linearidade da 
seria devido, pelas experiências feitas em 116 I, à influência que 
ampl.!_ 
função 
o 
67 
sinal ventilatório sofre, com as contrações reflexivas dos mús 
culos intercostais quando eles são distendidos e, com a estim~ 
lação dos neurôneos pelo deslocamento da càixa torácica. As-
sim, essa função conversora é representado no modelo por 
V= f(A,F), onde fé uma função e não-linear. Além, da função 
conversora, na fig. 16 ve-se um bloco com um limitador. Este, 
representa a saturação elástica dos músculos intercostàis, li-
mitando assim o sinal ventilatório. 
4.3 CONCLUSÕES 
O modelo proposto permitirá considerar os 
tempos reais da circulação sanguínea, nas equações de balanço 
que regem a regulação humoral. Isto sera possível, devido à 
consideração do sinal r.ítmico gerado na área bulbar de rítmici-
dade, porque com esta consideração as frequências de oscila-
ção (caso exista) das variáveis controladas poderão ser bem 
pequenas, pois elas são diferentes da frequência respiratôria. Estanos 
falando em variáveis controladas, porque nos parece que a sim-
plificação de considerar sorrente a <:.rco =ro variável oontrolada é 
2 
muito forte, que poderá não exprimir exatamente a realidade. 
Está nos parecendo bem mais real a consideração em 141, na 
qual foram usadas como variáveis controladas a concentração te 
cidual do co
2 
e o2 . Além disso, os tecidos totais foram se-
parados em 2 grupos, o do cérebro e o do resto do corpo, com 
essa separação, determinou-se as equações de balanço de cada 
68 
um desses grupos, o que possibilitou então, a consideração das 
influências existentes entre os 2 grupos, como por exemplo, a 
variação do fluxo sanguíneo do cérebro em função da pressão al 
veolar de co 2 . 
Os problemas que aparecerao e que deixamos 
de levantar por achar que fugiríamos ao objetivo inicial do 
trabalho, são: - a determinação matemática do sinal rítmico, 
como ele é gerado, se é probabilístico ou não, a sua frequên-
cia e a sua amplitude. - como o sinal regulador modula o sinal 
oscilatório. - como é a função conversora dos músculos inter-
costais, nos parece pelas esperiências feitas em 1161 que ela 
é não-linear, porem quais serao os seus parâmetros, serão de-
terminísticos ou probabilísticos. 
Em suma, deixamos para um estudo posterior 
o problema de identificação desse modelo. 
69 
APlê:NDTCE 
A. Desenvolvimento dó Método de Krylov-Bogoliubov-Mitropolsvk 
O método KBM desenvolve aproximações assin-
tóticas, para o caso de oscilações definidas por equações dife 
renciais da forma: 
d2 X 
d t 2 
+ w2x = E f(x, ~)(,)onde E é um 
dt 
parâmetro pequeno positivo. Nós podemos chegar â formulação 
correta deste método se partirmos dos conceitos físicos que 
definem o caráter do processo oscilatório. 
Quando a perturbação está ausente, i.e., 
quando E= O, as oscilações serao evidentemente a harmônica 
pura, dado por: X = a cos<j> (2) , com uma amplitude constante 
e um ângulo de fase uniformemente rotativo: 
y! ? 
da ~ = o = w ( 1/J = wt + e) (3) 
dt dt 
(a amplitude e a fase das oscilações serao constantes no tem-
po, dependendo das condições iniciais). 
A existência de perturbação não-linear (E;,!0) 
resulta na existência de outras harmônicas na solução da equa-
70 
çao (1), de um fator que estabelece dependência entre a fre-
quência instântanea e a amplitude e finalmente, dá o-
rigern a um sistemático aumento ou decréscimo na amplitude das 
oscilações, dependendo ·se a energia é expelida ou absorvida 
pelas forças de perturbação. Todos esses efeitos estão ausen-
tes, obviamente, no caso limite (E= O). 
Com tudo isto em vista podemos 
urna solução geral da equação (1), que será da forma: 
determinar 
(4) 
Onde u 1 (a, <!> ) , u2 ( a , <!>) , . . . . , sao funções periód:iJcasdo âng~ 
lo cj, com um período 2rr e as quantidades a, cj, são funções do 
tempo definidas pelas equações diferenciais: 
da 
E Al ( a) 2 A2 (a) = + E + ... dt 
(5) 
dcj, = W + E B1 (a) + 
2 B2 (a) + E ... dt 
Ternos que escolher expressoes adequadas p~ 
ra as funções u1 (a, cj,), u 2 (a, cj,) •.. A1 (a), B1 
(a), A
2 
(a), B
2
(a) 
tal que a equação(4) após substituir a, cj,, pelas funções 
definidas em 5, venha servir como urna solução de 1. 
71 
Tão logo este problema seja resõlvido e ex-
pressoes explícitas para os coeficientes de expansões que apa-
recem nos lados direitos das equações(4) eCs)são obtidos, o 
problema de integrar a equação(l)é reduzido para o de integrar 
as equações(SÀ que têm variáveis separadas. 
Por complexidade das fórmulas que aparecem 
a determinação, na prática fica restrito somente aos 2 primei-
ros termos e em alguns casos ao 39 termo. 
Na 1ê: aproximação a solução fica X·- à-cose/> 
(6) onde as quantidades a e e/> são definidas por: 
da = Al (a) E 
dt 
(7) 
dcf> = W + E Bl (a) 
dt 
e para a segunda aproximação, nos temos a expressao da solução: 
(8) onde a e e/> sãó.definidas pelas 
equaçoes: 
da 
E Al (a) 
2 = + E A2 (a) dt 
(9) 
de/> 
W + E Bl (a) 2 = + E B2 (a) dt 
As fórmu:1:ãs explícitas de A1 (a) , A2 (a) ,B1 
(a), 
72 
B
2 
(a) e u
1
(a, q, ) sao dadas por: 
A
1 
{a) 1 f: .. cosq,, - aw senq,) senq, dq, = 
21TW 
o 
(10) 
B
1 
(a) 1 J:,. cosq,, - aw senq,) cosq, dq, = 
21TW 
º 
u1 (a, q,) = 
. go (al 
2 
w w 
1 
2 
óo 
i: 
m=2 
gn (a). cos. n<j, +. hn (a) sen nq, 
n 2 - 1 
(11) 
onde g {a) e h {a) sao dados por: 
n n 
gn(a) 
1 s'llf(a 
cosq,, - aw senq,) cos nq, dq, = 
2rr 
o 
_('"ª 
(12) 
h (a) = T cosq,, - aw senq,) sen nq, dq, n 2rr 
9 • 
/ 
Finalmente A2 (a) e B2 (a) sao dados por: 
1 . dBl 
---· { 2A1B1 + Al --- a } -2 w da 
1 [u
1
(a, q,) 
21TW 
73 
f'x(a cos~, - a w sen~) + (A1 cos~ - aB1 sen~ + w 
X' f'. . (a cos~, - a w se~)] sen ~ d~ ; 
X 
1 
2w 
. { 2 · Ai 
Bl ---
a 
·~ } __ 1_··-
da 211Wa 
- a w sen~) + 
.Jul. 
(Ai ms~ - aBi sen~ + w J 1i 
sen~i] cos~ d~ 
[u1 (a,~) f'x(a cos~, 
f' (a cos~, - a w 
X 
( 13) 
B. Apl.icação para a equaçao. des.envolvida do balanço de. c
0 2
. 
A equaçao que rege o balanço e dado por 
(eq. 19, pag. 27): 
colocando 14 na forma 1, temos: 
ramos E igual a 1. 
Determinação da solução na 1e aproximação. 
- Aplicando. (10) em CJ.s), temos: 
(14) 
(15) 
.. 1. 
2rrw 
grando temos: 
1 
2rrw 
1 
2rrw 
1 
2rraw 
integrando temos: 
1 
2rraw 
74 
2 2 
P
1 
a w sen<j, + P 3 a w sen<j, cos<j, - P 4"ª. 
2 2 2 2 
w sen <!> - P
5 
a cos <j,) sen<j, d<j,, inte-
[ P
1 
aw ( 
2 
sen 2<!> 
4 
2 
+ P 3 a w 3 
1 
3 2 2 
sen <!> - P
4 
a w (- cos<j, + 
3 
cos <j,) -P
5 
1 
3 
(- - 1-· - cos 3<1>)J 
3 
a 
2 
2 2 2 
aw sen<j, + P
3 
a w sen<j, éos<j, - P4 a w 
2 2 2 
sen <j, - P
5 
a cos <j,) x cos<j, d<!> 
[ P
1 
a w {--=1- sen2 <J>,), + P
3 
a2 w {- .-=-1-~<!>l 
2 3 
- P 
4 
a 2 w2 x (-·-·_l_ sen3 <j,) - P
5 
a 2 {sen<j, -
3 
1 
3 
75 
1 
X Ü = Ü 
2naw 
Substituindo em 7, temos: 
da 
dt 
dq, 
dt 
a 
2 
- p 
1 
2 
a = e 
Podemos observar que a amplitude estacioná-
ria será somente dada por a· = O , para outra qualquer solução 
a é sempre crescente, nao determinando assim um ciclo limite 
l a . -na - aproximaçao. Isso· se deve ao fato de termos somente não-
linearidade do tipo não-ímpar. 
Teremos, então de .calcular a solução na 
segunda aproximação, que será dada por( 8} Para determinação de 
u 1 (a, q,) (11) teremos que calcular g0 (a) 1 gn(a) e hn(a)Í ,subs 
tituindo~5) em(12), temos: 
P/n = O 
go(al = 1 2 2 2 2 (P 1 aw senq, + P 3 a w senq, cosq, - P 4 a w sen q, 27! 
- P 5 a
2 cos2q,) dq, , integrandó, temos: 
. 1 
211 
76 
· 2 2 2 2 
1;P1 awcos</)+P 3 a wsen</)-P4 a w 
2 
) - PS a -~<f>-+ 
2 
sen
2
<1> 
4 
) J 
</> 
2 
1 go (a) = ---
211 
( 2 2 2. ) l - P 4 a w 11 - P5 a 11, ono 
para n 
g2 (a) = 
= 2 
1 
211 
. · 1 
2:tr 
... 1 
g2(a) = 
211 
, temos 
f',pl aw sen</) + P
3 
2 
w sen</) cos</) - P 4 
2 2 2 a a w sen <f> 
Q 
- P5 a
2 
cos
2
<1>) cos 2</) d<f> , integrando, temos: 
[ P1 aw (- cos</) + --
1-
3 
3 
cos </> - 1 
3 
2 · 1 
+ P
3 
a w ( 
4 
2 3 
xw (- --- 1 </> + ---
8 4 
sen 
.. 1 
2</) -
32 
1 
+ ---
4 
+ 
· sen <f>) _ 2 · $ 
PS a (- --'-----
8 32 8 
+ 
sen4 <1> 
sen4 <1> 
32 
+ 
3</) 
8 
1 + --- sen 2</) + --1-
32 
sen 4</) J 
2 2 a w 
. 11 
2 
4 
11 
- PS a ---
2 
+ 
77 
2 
g2 (a) = 
·-·a· 
(- p 4P 2 + P5) 4 
r~ . 1 2 2 2 2 h
2 
(a) = (Pl aw sencj, + P 3 a w sencj, coscj, - P 4 a w sen cj, 2rr 
ó 
2 2 sen 2cj, dcj, - p a cos cj,) 5 
substituindo e integrando temos: 
Determinaremos somente os termos de ordem 2, obtendo então( sub.ê_ 
ti tuindo em (11) ) : 
.. 2 a. 
P3..r;; 
4 
sen 2cj, ] 
substituindo em(8} temos: 
2 
X= a coscj, + -ª--II-(P 4P2 + P5 ) + 2 
Para determinarmos 
1 
6 
da 
e 
dt dt 
, temos 
7 fJ 
que determinar A
2
(a) e B
2
(a) , que sao expressos pela 
f (a cos<J, 
X 
= 
Obtendo os termos de(13), temos: 
- a w sen<J,) = (P
3 
a w sen<J, - 2 P
5 
a cos<J,) 
2 
a 
6 y{Ç' 
forma 
f'~ (a cos<J, - a w sen<J,) = (-P
1 
- P 3 a cos<J, + 2 P4 a~ sen<J,) 
substituindo em 13, temos: 
~~1~· { 2Al X O+ Al X O a J -
2w 
. 1 
2'1TW 
2 
a 
cos 2<J, -
PJ~ 
4 
sen 2<J>ll X (P 3 
a w sen<J, - 2P
5 
a cos<J,) 
+Q 
' integrando temos • 
Assim, 
· da 
dt 
da 
dt 
9 
a = ---
2 
79 
(17) 
a 
- pl ---
2 
9 + -,---
1 B 
3 
a p 3 (P 4 + 
(18) 
A amplitude do ciclo limite e o valor com 
o qual as oscilações são estacionárias, isto é, a oscilação o-
corre com amplitude e frequência constante. Neste caso nós te 
mos: 
···da 
dt 
= O - , onde ·a 
2 
9 (- pl + ---
24 
(19) 
Obviamente a= O satisfaz a equaçao acima, 
porém a= O nao e a amplitude do ciélo limite. 
O outro valor de a que·verifica(l~ é dado 
por: 
t 
a = 20 
80 
que é a amplitude do ciclo limite. 
A correçao da frequência-é obtida da equaçao: 
d<P 
dt 
2 = w + E B1 (a) + E B2 (a) , para tanto 
precisamos calcular B2 (a) que é expresso pela equação(13) 
Substituindo os valores temos: 
1 
---· {Bl + 
27T 
__ 1_· - (~ rl{ [ -
21rwa j 
ó 
( -
2 
a 
pl 
2 
) } 
cos 2<j, -
P5 p2 
sen 2<Pl] x (P 3 a w sen<j, 4 
- 2P5 a cos<J,) + [-
P1a 
2 
cos<j, -
.. ª2 
6~ 
sen 2<J, + P 3 ~ cos 2<J, J (- P1 - P 3 a cos<J, + 2 P 4 
P2 sen<j,} · cos<J, d<P 
a 
81 
Desenvolvendo e integrando, temos o seguinte valor de B
2
(a). 
B2 (a) = 
Ficando, então: 
d4> 
dt 
1 
)+ ---
12 
[ - .. 1 
8 
[.- _l_ 
8 
P 32 
48 
+ 11 
24 
P
3
2 
48 
+ 11 
24 
82 
REFE RE:N CIAS BTBLTOGRÃFICAS 
1. MUTTER, P. and 
W. M. MANSOUR 
2. GRODINS, F. S. 
et al 
3. MILHORN et al 
4. MILHORN et al 
5. GRODINS, F. S. 
6. GRODINS, F. S. 
- A saddle'-focus for the respiratory 
system" - Dep. of Mechanical 
Engineering - Univ. of Waterloo -
Ontario - Canadá - 1974. 
- Respiratory responses to c02 
inhal·ation. A theoretical study of 
a nonlinear biological regulator -
J. Applied physiol (7), 283-308-1954 
- An analog computer analysis of 
cheyne-stokes breathing - J. Apllied 
physiol - 21(2), 328-333 - 1965. 
- A mathematical model of the human 
respiratory system - B,iophysical 
Journal - (5), 27-46 - 1965. 
- Cheyne-Stokes breating produced by 
a model of the human respiratory 
central system - J. Applied physiol. 
21(6), 1839-1946 - 1966 
- Mathematical analysis and digital 
simulation of the human respiratory 
central system - J. Applied physiol 
22(2), 260-276 - 1967. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
ARNAULD, P. 
GUYTON 
CONROE,JULIUS 
BINET (L) et al 
SALMOIRAGHI 
AND DELISLE 
BURNS B 
CROSS. (K.W.) 
et al 
FLITTS ROBERT 
et al 
F. PITTS ROBERT 
83 
- Regulation de la respiration.do li-
vro - L'Exploration Fonctionnalle 
Pulrr:j.onaire - Editores:Denolin, H; 
SADOUL, P. ORIE, N.G.M.-EDIT. MEDI-
CALES FLAMARION - PARIS - 1964.