Vertical elastic dynamic impedance of a large diameter and thin-walled cylindrical shell type foundation en pt

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Dinâmica do solo e engenharia sísmica
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Impedância dinâmica elástica vertical de um grande diâmetro e base 
cilíndrica tipo casca de parede fina
Rui He uma , b , Lizhong Wang c , Ronald YS Pak d , Zhen Guo c , ⁎ , Jinhai Zheng uma , b
uma College of Harbor, Coastal e O ff shore Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China
b Laboratório Estadual de Hidrologia-Recursos Hídricos e Engenharia Hidráulica, Universidade de Hohai, Nanjing 210098, China
c Faculdade de Engenharia Civil e Arquitetura, Universidade de Zhejiang, Hangzhou 310058, República Popular da China
d Departamento de Engenharia Civil, Ambiental e Arquitetônica, Universidade do Colorado, Boulder, CO 80309-0428, EUA
ARTICLEINFO
Palavras-chave:
O ff turbina eólica costeira
Impedância dinâmica
Concha elástica
Fundo do mar poroelástico
Vibração vertical
ABSTRATO
Este artigo estuda a vibração vertical de uma fundação do tipo casca cilíndrica de grande diâmetro e paredes finas embutida 
em um fundo do mar poroso totalmente saturado em contato com um meio-espaço de água do mar. A solução do acoplado
fl O problema de vibração do solo é obtido usando as funções de Green de carga do anel tanto para a casca quanto para as 
camadas fl meio-espaço do leito do mar. Ao considerar as condições de contorno totalmente acopladas na interface 
concha-solo, o problema de vibração da concha é reduzido às equações integrais de Fredholm. Por meio de uma análise das 
equações singulares de Cauchy correspondentes, as características singulares intrínsecas do problema são tornadas 
explícitas. Com as singularidades claras, um e ff Método numérico ectivo envolvendo o método de Gauss-Chebyshev é 
desenvolvido para resolver as equações de Fredholm governantes. Os resultados numéricos selecionados para as 
distribuições de carga de contato dinâmico, deslocamentos e funções de impedância dinâmica são examinados com base em 
di ff comprimentos de casca, materiais do solo, propriedades de casca e frequências de excitação diferentes. Além disso, os 
resultados são analisados para os casos em que há e não há fl uido sobre o fundo do mar para examinar o e ff ect de fl uid.
1. Introdução
A geração de energia eólica é um método limpo de utilização de energia. Em 
comparação com a energia eólica terrestre, é o ff contraparte da costa mostra signi fi
vantagens consideráveis, incluindo melhor velocidade do vento, não ocupando 
terras valiosas e menos poluição visual e sonora. Na China, a implementação da 
estratégia de energia oceânica acelerou o desenvolvimento de o ff energia eólica 
da costa. Nos últimos anos, um número crescente de ff as turbinas eólicas costeiras 
(OWTs) foram construídas no fi campo ou foram planejadas para serem 
construídas. No entanto, há uma falta de compreensão do desempenho dinâmico 
dos OWTs. Zania [1] observa que as condições de carga dominantes para turbinas 
eólicas são cargas dinâmicas. O cálculo preciso das frequências naturais dos OWTs 
é a chave para evitar danos estruturais de cargas externas em várias frequências. 
Além disso, sob as condições normais de operação, os solos ao redor da fundação 
são quase elásticos e a teoria de vibração elástica é adequada
[2] .
A impedância dinâmica (sti ff ness e amortecimento) das fundações OWT diretamente a ff ecta 
as frequências naturais e respostas dinâmicas das turbinas. Como opções de fundação 
amplamente utilizadas para OWTs, as caçambas de sucção e as monoestacas são fundações do 
tipo concha cilíndrica de grande diâmetro e paredes finas. Em comparação com as pilhas 
delgadas tradicionais, essas
as fundações do tipo casca têm uma relação comprimento-diâmetro menor, normalmente
0,5 - 6 para fundações de balde [3] , que pode ser mais adequado para ser 
representado usando a teoria da casca do que a teoria do feixe. A maioria das 
fundações de aço podem ser consideradas fundações do tipo casca, uma vez que 
são construídas como um conjunto de aço tubular pro fi les ou fl painéis de aço at / 
curvos. As fundações do tipo concha podem ser usadas como fundações para 
águas rasas e mares profundos, conforme mostrado em Figura 1 . Para OWTs com 
fundações de pilha / balde de tripé ( Figura 1 (a)), a fundação vibra verticalmente 
sob o momento dinâmico causado por cargas dinâmicas laterais. Para OWTs em 
alto mar ( Figura 1 (b)), uma fundação de caçamba também está sujeita a forças 
verticais dinâmicas transmitidas pelas pernas de tensão, os testes de modelo 
mostraram que não há sucção entre o disco superior da caçamba e o fundo do 
mar sob pequena carga de tensão, o cisalhamento lateral desenvolvido fi primeiro 
e atingiu seu pico antes de signi fi a sucção não foi medida sob a tampa superior [4,5]
, o que significa que as fundações da caçamba na carga de tensão normal podem 
ser simples fi ed como bases de concha sozinhas. No entanto, não entendemos 
adequadamente as características dinâmicas verticais das fundações do tipo de 
casca cilíndrica. Houve muitos trabalhos pioneiros excelentes em fundações de 
balde, especialmente em “ processo de instalação ”,“ capacidade de suporte ”,“ carregamento 
cíclico ”, e “ carregamento transitório ” problemas [6 - 9] . Além disso, Doherty e Deeks [10] 
estudou o sti estático ff ness de fundações de balde em meio de solo elástico não 
homogêneo usando o escalonado
http://dx.doi.org/10.1016/j.soildyn.2017.01.034
Recebido em 27 de agosto de 2015; Recebido em versão revisada em 13 de novembro de 2016; Aceito em 26 de janeiro de 2017
⁎ Autor correspondente.
Endereço de e-mail: nehzoug@163.com (Z. Guo).
Dinâmica do solo e engenharia de terremotos 95 (2017) 138-152
Disponível online 06 de fevereiro de 2017
0267-7261 / © 2017 Elsevier Ltd. Todos os direitos reservados.
http://www.sciencedirect.com/science/journal/02677261
http://www.elsevier.com/locate/soildyn
http://dx.doi.org/10.1016/j.soildyn.2017.01.034
http://dx.doi.org/10.1016/j.soildyn.2017.01.034
http://dx.doi.org/10.1016/j.soildyn.2017.01.034
http://crossmark.crossref.org/dialog/?doi=10.1016/j.soildyn.2017.01.034&domain=pdf
fronteira fi método do elemento nite. No entanto, ainda não está claro sobre a 
impedância dinâmica elástica das fundações do tipo casca, que tem um 
importante e ff ect nas frequências naturais de OWTs. Para esses novos tipos de 
bases para OWTs, os engenheiros podem fornecer estimativas usando o sti 
estático ff ness de pilhas [11] , as curvas py e tz desenvolvidas para estacas delgadas 
[12 - 16] , O simpli de Novak fi método ed [17,18] , experimentos [19,20] , ou métodos 
numéricos [21 - 25] calcular o sti ff ness das fundações OWT. No entanto, Versteijlen 
et al. [26] observou que “ Nos últimos anos, as frequências naturais medidas de 
OWTs instalados foram consideradas mais altas do que o projetado. ” Essa 
inconsistência é causada principalmente pela subestimação do sti ff ness das 
fundações OWT. Para economizar custos e tornar o cálculo da frequência natural 
mais preciso, é necessário um modelo novo e mais realista envolvendo a interação 
dinâmica de água do mar-concha tipo fundação-solo.
Portanto, para garantir a segurança dos OWTs, é fundamental que os 
pesquisadores entendam como as fundações do tipo shell respondem às forças 
dinâmicas verticais. Embora existam muitos artigos relacionados à interação 
dinâmica de estacas delgadas tradicionais dentro de estratos de solo elásticos 
devido a forças dinâmicas verticais [27 - 32] , existem poucos estudos sobre a 
vibração vertical de fundações do tipo casca cilíndrica. Liingaard et al. [33]
estudou a impedância das fundações da caçamba em um meio viscoelástico 
usando o método BEM-FEM acoplado. Para um invólucro cilíndrico de extremidade 
aberta livre embutido no solo, Pak e Ji [34] obteve um resultado analítico 
considerando o solo como um sólido elástico monofásico. Ji [35]
estudou a vibração dinâmica vertical de uma concha impermeável no solo usando 
o método dos elementos de contorno (BEM).No entanto, a concha em uma 
fundação do tipo concha real não é livre e aberta, mas limitada por um disco 
superior ou a torre do OWT, e o mar fl oor é um meio natural de duas fases 
composto de esqueletos de água e solo. Assim, a restrição da extremidade 
superior e do poroelástico e ff ect do fundo do mar deve ser considerado. Além 
disso, He et al. [36] observou que a água do mar sobre o fundo do mar pode ter 
um forte e ff ect na resposta dinâmica de fundações embutidas perto da interface 
água-solo devido às ondas de interface. Seria razoável usar a interface e ff ect em 
consideração porque as fundações do tipo concha são montadas muito perto da 
interface água do mar-fundo do mar.
Neste estudo, estender a análise rigorosa do problema dinâmico para o ff aplicações 
costeiras, um modelo acoplado de concha de água do mar e fundo do mar é 
usado. Neste modelo (consulte a Figura 2 ), o meio-espaço da água do mar é 
descrito pelas equações de Euler para um invíscido compressível fl uid
[37] ; O fundo do mar é modelado como um meio poroelástico Biot [38] , enquanto a 
base do tipo casca é modelada usando uma teoria de casca fina elástica [39] . 
Conforme observado por Lin et al. [40] , quando a permeabilidade do solo é menor 
que 10 -6 m / s, poro relativo fl uid fl ow é insignificante, em que a onda de Biot
equações podem não ser aplicáveis e solos saturados que consistem em fi areias 
ne a médias podem ser descritas pela teoria de Biot, então usamos um fundo do 
mar arenoso na parte de análise numérica. Para o problema da casca, o sistema 
acoplado de água-concha-fundo do mar poroso é tratado como uma superposição 
de um meio-espaço intacto de água-fundo do mar e uma concha reduzida e 
restrita, cujo módulo de elasticidade e densidade de massa reduzidos fi ned em
Seção 4 . As funções de Green para a concha fina e o meio-espaço em camadas da 
água do mar-fundo do mar são usadas para formular as equações de Fredholm 
que regem, considerando as condições de contorno apropriadas na interface de 
contato da concha e do fundo do mar. Ao analisar os grãos de Cauchy 
correspondentes, as características singulares fundamentais das reações 
interfaciais que atuam na casca são fornecidas explicitamente. As equações de 
Fredholm são resolvidas numericamente por uma interpolação linear por partes 
das funções das reações interfaciais usando o método de Gauss-Chebyshev. As 
equações governantes para o fl uido e o solo são apresentados em Seção 2 . Dentro Seção 
3 , o anel carrega as funções de Green para a casca e em camadas fl semi-espaço 
uid-solo são apresentados. Dentro Seção 4 , o problema de vibração dinâmica 
acoplada é considerado. Os resultados numéricos são apresentados e discutidos 
em Seção 5 .
As conclusões são apresentadas em Seção 6 .
2. Equações governantes
2.1. Equações governantes para o fl uid
As equações governantes para o invíscido compressível fl uid pode ser escrito 
como [36] .
c ∇ C P = ∂ P C ,
∂ t 2 C
ρ ∂ você C2 + ∇ = 0.∂ t
educaçao Fisica ωt
u = 1 ∇,
P CC2 2
2 2
(1)
Considerando o movimento harmônico no tempo com frequência angular ω, e 
a relação P = C você C −i, temos [37] .C
−i, você w = e ωt
∇ p w + wwkp = 0,
ρ ω 2
p CC
C
2 2
(2)
Onde p C e você C são a amplitude da pressão e o deslocamento do fl uid, 
respectivamente. k = ω / c C é o número da onda do
fl uid, c = (λ / ρ) 1/2 é a velocidade do som no fl uid, e λ C é o módulo de compressão 
do fl uid. Além disso, o termo e ωt vai ser
omitido de todas as quantidades abaixo para simplificar.
C
C ww
−i
2.2. Equações governantes para a casca
Para modelar a fundação do tipo casca, a teoria da casca fina elástica será
Figura 1. ( a) A imagem de uma turbina eólica em águas rasas; (b) A imagem de uma turbina eólica em alto mar.
R. He et al. Dinâmica do solo e engenharia de terremotos 95 (2017) 138-152
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usado, e as equações governantes para a casca sob cargas axissimétricas 
harmônicas podem ser escritas como [39] .
C + γ w +
d z 4 pr pp
ν γ a C = - r
d z G
f , d z
d z 2
C + ν p C =
uma d z
f z
G 1
d r d z d r
,
4 2
(3)
Onde
γ = 12 / uma 2 h 2, f r = p r - ρ p hω w, f z = p z - p
G = μ p h / 6 (1 − ν p), G = 2 µ p h / ( 1 − ν p),
ρ hω w,p r z
2 2
3
1 (4)
e C r e C z são os deslocamentos da casca, µ p e ν p são o cisalhamento
módulo e coeficiente de Poisson da casca, respectivamente; p r e p z são as 
resultantes das tensões de contato radial e vertical distribuídas atuando
na superfície da casca, respectivamente; uma é o raio da superfície média, eu é
o comprimento, e h é a espessura da casca com h <<a; e ρ p é a densidade da 
casca.
As tensões resultantes por unidade de comprimento nas direções vertical, angular, 
de flexão e de cisalhamento atuando em uma entrada fi elemento de casca nitesimal são 
expressos como [39]
N = G 1 ( ε z + p θν ε), N = G 1 ( ε θ + pz ν ε), M = G ∂ C r 2 Q = G ∂ 3 C r∂ z ∂ z 3
,z θ z z
2
(5)
A solução para (3) pode ser escrito como [34]
w (z; c) = ∑ i = 1
w (z; c) = ∑ i = 1
C f (z), w (z; c) = ∑ i = 1
P f (z), w (z; c) = ∑ i = 1
C g (z), 0 ≤ <,
Pg (z), c <
z
z ≤
c
eu,
r
r
ii
ii
z ii
iiz
6
6
6
6
(6)
Onde,
fz
fz
fz
f (z) =
f (z) = 0, 6
g (z) = p - p
g (z) = - p - p
ak e
ak e
ak e
ak e
fz
ν e kz cos ( p
ν e kz pecado( p), 5 (
[cos ( k p z) - pecado ( p
kz) + pecado( k p z)],
[cos ( k p z) + pecado( k p z)],
kz [ cos ( k p z) - pecado ( k p z)],
() = - aν p, g 1 ( z) = - ν p e kpz
kz), g 3 ( z) = - ν p e kpz
kzgz) = 1, g 6 z
kz
kz)],
cos ( k p z),
pecado( k p z),
() =, p zk = 3 (1 - p 2
uma 2 h 2
() =
() =
() =
[cos ( p
.
PKZ
p - p
PKZ
p - p
ν)
1
2
3
4
5
2
4
4
p
p
(7)
2.3. Equações governantes para o solo
Quando o movimento harmônico do tempo com uma frequência angular ω é 
considerada, usando a teoria de Biot para solo saturado, e a teoria do potencial, 
podemos escrever os deslocamentos da parte sólida e a pressão dos poros do 
fundo do mar como [37]
u = φ fr + φ sr + rz
p = ρ ω A φ,
ψ, u z = φ fz + φ sz - rr
φ) + A s φ + rsr
ψ - rr ψ,
+ r φ fr + f zz φ + s zz φ)],[( f rr ( s rr
r
f φ f
, , , , ,
1
, ,
1
, , ,
1
, ,
∼22
(8)
Figura 2. O esquema do problema acoplado água do mar-concha-fundo do mar.
tabela 1
Propriedades mecânicas da casca e do solo.
Material E (Pa) ρ ( kg / m)3 ν ν você φ B k ( em)
Aço
Concreto
Areia solta
Areia densa
2e11
3e10
1,5e7
6e7
7800
2500
1600
1900
0,3
0,2
0,25
0,35
0,495
0,495
0,5
0,4
1.0
1.0
e-3
e-4
R. He et al. Dinâmica do solo e engenharia de terremotos 95 (2017) 138-152
140
Onde você r e você z são os deslocamentos radiais e verticais do sólido
parte do fundo do mar, respectivamente. p f é a pressão dos poros do fundo do mar.
ϕ f, ϕ s e ψ eu são três potenciais para o rápido, lento P onda e S onda, respectivamente. UMA
f e UMA s são coeficientes ffi cientes de fi ned em [37] . A missa
coeficiente ffi cientes ρ ∼mn é de fi ned como ρ = 
+ eu
mn , e b =
representa o amortecimento resistivo devido ao movimento relativo entre o sólido 
e o fl uid [38] , η é o fl viscosidade do fluido, κ é o coeficiente de Darcy ffi suficiente 
de permeabilidade. O estresse do solo pode ser representado como
[37]
ρ + ( -1) mn b∼mn ω ηφ / κ
2
σ = μ (u rz + zr
σ = 2 uu zz + λ (u zz + rr
σ = 2 uu rr + λ (u zz + r você r + rr
você ),
u + rr
você ) -
você ) - ϕ RQR
ϕ R + QR
p,
p,
rz
z
r
f
f
, ,
, ,
1
1
,
+
, , , (9)
Onde λ e µ são as constantes Lame da parte sólida, e φ é o
porosidade do meio poroso. σ r, σ z e σ rz são tensões totais do fundo do mar. O 
acoplamento entre o sólido e o fl uid é caracterizado por
os dois parâmetros Q e R, que pode ser calculado a partir dos módulos de massa 
do sólido e do fl uid [41] .
3. Função de Green de carga do anel
Nesta seção, a função de Green para a casca e as camadas fl será estudado o 
meio-espaço do solo sob a carga do anel.
3.1. Funções de Green para uma concha
Quando uma casca é submetida a uma carga circular vertical ou radial de peso 
total unitário no plano z = c, as condições de limitepodem ser
representado como
f (z) = ( -) (-), r
δ r
2
a δ z
πr
cf (z) = 0,z (10)
para o anel de carga vertical e
f (z) = 0, r f (z) = ( -) (-),
δ r
2
a δ z
πr
cz (11)
para a carga do anel radial, onde δ () é a função delta de Dirac.
Para o casco de uma fundação de caçamba, existem duas condições de limite 
para a extremidade superior do casco
(a) Topo livre: totalmente sem restrição na extremidade superior da casca
W ( 0) = 0, M ( 0) = 0, Q ( 0) = 0, z = 0,z z z (12)
o que significa que a parte superior da concha pode deformar-se livremente.
(b) Topo fixo: restrição perfeita na extremidade superior da casca
W ( 0) = 0, W ( 0) = 0, d r W ( 0) / dz = 0, z = 0,z r (13)
o que significa que a parte superior da concha não pode deformar. As condições de contorno 
reais estarão dentro das duas condições limitantes, por exemplo, topo da dobradiça:
(14)
o que significa que a solda entre o casco e o disco superior não é tão forte ou uma 
dobradiça de plástico é formada aqui. Iremos comparar os resultados numéricos 
obtidos pelas três condições de contorno em Seção 5 .
As condições de contorno apropriadas para a extremidade inferior da casca 
podem ser escritas como [34]
W ( 0) = 0, W ( 0) = 0, M (l) = 0, = 0, zz r z
N (l) = 0, M (l) = 0, Q (l) = 0, =, z euz z z (15)
Fig. 3. ( a) Comparação da distribuição de carga de contato dinâmico vertical dada em Pak e Ji [34] versus o obtido neste estudo; (b) Comparação do deslocamento vertical da casca dado em Pak e Ji [34] versus 
o obtido neste estudo; (c) Comparação da impedância dinâmica vertical dada em Rajapakse e shah [29] versus o obtido neste estudo; (d) Comparação da complacência dinâmica vertical dada em Ji [35] versus 
o obtido neste estudo.
R. He et al. Dinâmica do solo e engenharia de terremotos 95 (2017) 138-152
141
que são apropriados para fundações de estacas de fricção.
Das condições de carga e das condições contínuas exigidas no avião z = c, as 
condições de contorno no plano z = c pode ser escrito como
Banheiro -) = rw (c +), Banheiro -) = zw (c +), Banheiro
N (c +) - z N (c -) = π
= Banheiro
d z ,
= Banheiro
d z 2
, d r
d 3
= Banheiro
d z 3
, ,
r
d r
z
Banheiro -)
z
z
Banheiro -)
d z 2 z
d (-)
d
d (+)
d r (+) d r (+) 1
2 a
r r
2 2 3 3
(16)
para o caso de carga em anel vertical, e
Banheiro -) = rw (c +), Banheiro -) = z
-
w (c +), Banheiro
G Banheiro
d z 3
G Banheiro
d z 3
N (c +) - z N (c -) = 0,
= Banheiro
d z ,
= Banheiro
d z 2
, = 2 πa ,
r
d r
z
d r
z
Banheiro -)
d z 2 z
d (-)
d
d (+)
d r (+) (-) d r (+) 1
r r
2 2 3 3
(17)
para o caso de anel de carga radial.
Com base nas equações que regem e nas condições de contorno do
Fig. 4. ( a) Comparação da distribuição de carga de contato dinâmico vertical obtida com três di ff diferentes condições de contorno de extremidade superior da casca; (b) Comparação da distribuição de 
carga de contato dinâmico radial obtida com três di ff diferentes condições de contorno de extremidade superior da casca; (c) Comparação da parte real do deslocamento vertical da casca obtida com 
três di ff diferentes condições de limite de extremidade superior; (d) Comparação da parte imaginária do deslocamento vertical da casca obtido com três di ff diferentes condições de limite de extremidade 
superior; (e) Comparação do deslocamento radial da casca obtido com três di ff diferentes condições de limite de extremidade superior; (f) Comparação da parte real da força axial interna da casca obtida 
com três di ff diferentes condições de limite de extremidade superior; (g) Comparação da parte imaginária da força axial interna da casca obtida com três di ff diferentes condições de limite de 
extremidade superior; (h) Comparação da parte real do cisalhamento interno da casca obtida com três di ff diferentes condições de limite de extremidade superior; (i) Comparação do
parte imaginária do cisalhamento interno da casca obtida com três di ff diferentes condições de limite de extremidade superior; (j) Comparação do K s v de uma casca de aço embutida em areia densa obtida
com três di ff diferentes condições de limite de extremidade superior.
R. He et al. Dinâmica do solo e engenharia de terremotos 95 (2017) 138-152
142
shell, as funções de Green correspondentes podem ser obtidas facilmente, e apenas os 
resultados para o fi a parte superior fixa será dada em Apêndice A Pela simplicidade.
3.2. Funções de Green para camadas fl meio-espaço uid-solo
Através da teoria do potencial e das equações governantes para o meio 
poroso, a função de Green para o fundo do mar pode ser escrita como
∫ ( - 1 -
∫ ( - ( UMA 1 e - α z
∫ η A e α
você
você
p
( r, z) =
( r, z) =
( ξ, z) =
αA e α z βA e β
UMA e)
η A e) () d
ξA e) J (ξr) ξ d ξ, ξ + A 3 γ
e) J (ξr) ξ d ξ, J ξr ξ ξ,
- +
+ 2 -
( 1 1 - z + 2 2 -
z +
r +
γ
β z - γ z 1
f +
β z 0
0
0
∞
∞
∞
2 - z 3 - z 0
0 (18)
para c ≤ z ≤ ∞, e
∫ α A α z
∫ [ - ( UMA 4 e + 5 -
( ξr) ξ d ξ,
∫ [ η (A e α z + 5 -
urz UMA 5 - β A β z
UMA e)] J (ξr) ξ d ξ,
UMA e α z + UMA 6 e + UMA 7 e -) ξ - γ (A 8 e - 9 -
UMA 7 -
+ ξ (A e γ z + 9 -
u (r, z) = UMA e)] J 1
p (r, z) = UMA e) + η (A 6 e + 7 - UMA e)] J (ξr) ξ d ξ,
(,) = [(e - e) + (e - e)z - α z β z
γ z
r -
α z β z β z γ z γ z
f -
α z β z β z
0
∞
4 6
8 0
0
∞
0
∞
1 4 2 0
(19)
para 0 ≤ z ≤
(,) =
c, e
∫ B ξ e J ξr ξ ξprz () ϑz 0 () d,C
0
∞
1 (20)
para −∞ ≤ z ≤ 0, Onde
η = - ff
α = ξ 2 -,
A k ρ ω / ϕ, η 2 = - UMA s k s
k β = ξ 2 - k, γ 2 = 2
ρ ω / ϕ,
ξ - k t, ϑ = ξ 2 - C k,
∼ ∼
f s
1
2
22
2
22
2 2 2 2 2 2 2
(21)
z = c é o plano onde as cargas atuam, e k f, k s e k t são números de onda 
complexos para a onda P rápida e lenta e a onda S, respectivamente [37] .
A forma de obter as funções de Green para camadas fl meio-espaço uido-solo 
devido à carga do anel vertical e radial é quase o mesmo que aquele dado em [37] , 
exceto que as condições descontínuas no plano z
= c deve ser substituído por
σ (c +) - (-) = - (-).σ c δ r
2
uma
πrz z (22)
para o anel de carga vertical, e
σ (c +) - (-) = - (-).σ c δ r
2
uma
πrzr zr (23)
para a carga do anel radial.
Usando a transformada de Hankel e as condições de contorno no plano que 
passa pela força e a interface água-solo, podemos facilmente obter o coeficiente 
correspondente ffi cientes para a carga do anel vertical do raio
uma
A = - 4 2
A = 2 J ξa πN,
A = (Δ 1 η 2 e -2 Δ 2 η 1 e
A = - 1 J (ξa) / 4 πN 1
A = ( 2 Δ 4 η 2 e Δ η e
A = ( -4 Δ 7 γη ξ e αc + 4 8
B = (Δ 10 η α c2 e c Δ η e β
-4 3 1
A = 1
-4 Δ 6 k 1 μξ e) (
Δ γη ξ e βc
Δ k μξ e) (
- 5 1
AA e, A = - 6 2AA e, A = A 9 + 8 2 UMA e,
η e αc 0
Δ k μξ e) J (ξa) / ( -4 1 1
k ξ e γc J 0 ( ξa) / 4 πγN,
J ξa) / ( -4 πN 1 R 1),
Δ k ξ e) J (ξa) / ( 4 πγN R),
J ξa) / ( -2 πN 1 R 1),
πN R),
η e βc 0
() / 4 1
,
+ 9 1
+ 2 12 1 2 -+ 11 1
α c β c γ c
αc βc γc 0
αc βc γc 0
γc 0
γc 0
1 5 2 7 3
4
-
5
6
7
9
- - 2 -
-
2 -
-
8 1
- -
2
-
1
- -
1 1
1
- - (24)
Fig. 4. ( contínuo)
R. He et al. Dinâmica do solo e engenharia de terremotos 95 (2017) 138-152
143
onde as variáveis k eu, Δ eu, etc., aparecendo em (24) são de fi ned no
Apêndice B , e o coeficiente ffi cientes para a carga do anel radial do raio uma
A = A 5 + 4 2
A = 2 J ξa παμN,
A = (Δ 1 η 2 βξ e -2 Δ 2 η 1 αξ e -2 3 1 3
A = η βc1 ξ e J 1 ( ξa) / 4 πβμN A = - 1 -
A = ( 2 Δ 4 η 2 ξβ e - Δ 5 η 1 αξ e -2 Δ 6 αk k e) (
A = ( 4 Δ 7 βη ξ e αc - 4 Δ 8 αη ξ e βc Δ k e) (
B = (Δ 10 βξη e αc Δ η αξ e Δ αk k e) (βc
UMA e, A = A 7 + 6 2 UMA e, A = A 9 - 8 2 UMA e,
η e αc 1
Δ kk α e ) J (ξa) / ( 4
J (ξa) / 4 πμN,
J ξa) / ( -4
J ξa) / ( -4
J ξa) / ( -2
παβμN R),
παβμN R),
παβμN R),
παβμN R).
k e γc 1
() / 4
,
- 9 1 -
+ 12 1 3 -+ 11 1
α c β c γ c
αc βc γc 1
αc
2 -
-
βc γc 1
γc 1
γc 1
1 2 3
4
-
2
5
6
7
9
- - -
2 1
-
2 8 2
- -
1 3 - 2 1
2 1
2 1
2
2
1
2 -
1
-
(25)
4. O problema de vibração dinâmica acoplada
Agora consideramos a interação dinâmica da casca e do solo. Para a casca 
reduzida, seu módulo de elasticidadee densidade de massa são de fi ned como [42]
E * = E p -, p E ρ * = p ρ - ρ,p (26)
Onde E p e E são o módulo de elasticidade da casca e do solo, respectivamente. No 
problema de vibração dinâmica acoplada, a redução
módulo e densidade são usados para a casca a seguir. A função de Green obtida 
em Seção 3 será usado e será escrito com um
telhado, por exemplo, C R r significa a função de Green de C r da concha
causada por uma carga de anel radial, outras funções de Green usadas abaixo têm 
um de fi nição. Para este problema acoplado, suponha que a interface
forças no meio-espaço do solo e a casca reduzida são p r e p z, podemos
têm os deslocamentos do solo sob as forças interfaciais p r e p z
∫ urzspss
∫ você ˆ ( r, z; s) p (s) d s +
∫ p ˆ ( r, z; s) p (s) d s +
∫ urzspss
∫ você ˆ ( r, z; s) p (s) d s,
∫ p ˆ ( r, z; s) p (s) d s.
u (r, z) =
u (r, z) =
p (r, z) =
ˆ (,;) () d + ˆ (,;) () d,r
eu
r
R
r
eu
r
Z
Z
z
z
eu
z
R
r
eu
z z
f
eu
f
R
r
eu
f
z
z
0 0
0 0
0 0 (27)
Para o shell, considerando as Eqs. (3), (4) e (6) , os deslocamentos
causado pelas forças interfaciais p r e p z pode ser representado como
∫ wzsfss
∫ C ˆ ( z; s) f (s) d s +
∫ wzsfss
∫ C ˆ ( z; s) f (s) d s + z
w (a, z) =
w (a, z) = Δ,
ˆ (;) () d + ˆ (;) () d,r
eu
r
R
r
eu
r
Z
z
z
eu
z
R
r
eu
z
Z
z
0 0
0 0 (28)
Onde Δ z é o deslocamento vertical da extremidade superior da casca.
Neste estudo, a fundação embutida no fundo do mar está totalmente
contato com o fundo do mar, e nenhum deslizamento e separação entre a concha 
e o solo são permitidos. Para a condição de limite hidráulico ao longo da casca em 
detalhes, a interface de contato casca-solo pode ser considerada totalmente 
permeável ou impermeável, Halpern e Christiano
[43] afirmou que há di insignificante ff erências entre o mecanismo de transferência 
de carga e as conformidades verticais de placas rígidas impermeáveis e 
permeáveis em um meio-espaço poroelástico nas baixas frequências ( ω < 1.0). Resultados 
semelhantes também podem ser encontrados em [37] . Portanto, é razoável supor 
que a condição de contorno hidráulico não é importante no modelo de vibração 
vertical. Esta suposição será contra fi armado em Seção 5.1 comparando este 
estudo com o trabalho de Ji, que considerou uma concha totalmente impermeável 
usando BEM [35] . Neste artigo, não impomos uma condição de limite hidráulica no 
contato
Fig. 5. ( a) A distribuição de carga de contato dinâmico vertical para uma casca de aço com l = 2 uma em vários tipos de solos; (b) A distribuição de carga de contato dinâmico radial para uma casca de aço com l = 2 uma
em vários tipos de solos; (c) Parte real do deslocamento vertical da casca para uma casca de aço com l = 2 uma em vários tipos de solos; (d) Parte imaginária do deslocamento vertical da casca para uma 
casca de aço com l = 2 uma em vários tipos de solos; (e) O deslocamento radial da casca para uma casca de aço com l = 2 uma em vários tipos de solos; (f) Parte real da força axial interna da casca para 
uma casca de aço com l = 2 uma em vários tipos de solos; (g) Parte imaginária da força axial interna da casca para uma casca de aço com l = 2 uma em vários tipos de solos.
R. He et al. Dinâmica do solo e engenharia de terremotos 95 (2017) 138-152
144
superfície seguindo Zeng e Rajapakse [30] . As condições de contato perfeitamente 
unidas podem ser escritas como
w (a, z) = lim ra
w (a, z) = lim ra
u (r, z), 0 ≤ ≤,
u (r, z), 0 ≤ ≤,
z
z
eu
eu
z
r
z
r
→ ±
→ ± (29)
Combinando as equações acima, podemos ter as seguintes condições de 
contorno para a casca e o solo
w (a, z) = (,), 0 ≤ ≤,
w (a, z) = (,), 0 ≤ ≤,
uaz
uaz
z
z
eu
eu
z
r
z
r (30)
que são equações integrais de Fredholm para p r e p z, e pode ser resolvido 
numericamente.
Seguindo o caminho de [34] , será útil estudar a correspondência
ing equações singulares de Cauchy
, 0 < z <,
, 0 < z <,
eu
eu
= lim ra
= lim ra
d w (a, z)
d z
d w (a, z)
d z
∂ u (r, z)
∂ z
∂ u (r, z)
∂ z
→ ±
→ ±
z z
r r
(31)
e pela teoria das equações integrais singulares, a singularidade de p r
e p z, pode ser representado como
p (z) = αz
p (z) = αr
α z
, 0 <Re ( α r) < 1, 0 <Re () <1,
β z
β r
, 0 <Re () <1, 0 <Re () <1,z
gz
z (l - z) βz
g (z)
z (l - z) βrr
()z
r
(32)
Onde α z, β z, α r, e β r satisfazer as equações características
(3 - 4 ν) cos ( z
(3 - 4 ν) cos ( r
πα) = 8 ν 2 -12
πα) = 8 ν 2 -12
ν + 5 −2 ( α z -1), cos ( z
ν + 5 −2 ( α r -1), cos ( πβ r) = 0,
πβ) = 0,2
2 (33)
Onde ν é a razão de Poisson drenada para o solo, também pode ser encontrado que 
quando ν = 0, Ambas α z e α r tendem a 0.
Do ponto de vista da engenharia, também podemos definir fi ne
K = / z F Δ,vs v (34)
como a impedância dinâmica vertical para a concha no fundo do mar saturado,
Onde F v é a força externa que sustenta a vibração da casca, e o coeficiente de 
impedância dinâmica vertical adimensional ffi eficiente
K = v K / μa,v
s s (35)
que pode ser dividido em sti ff relação de amortecimento
K = Ré( K v) - iIm ( v K) = k - eu ωc,vs s s (36)
Fig. 5. ( contínuo)
Fig. 6. Comparação de coeficiente de impedância ffi suficiente de um disco rígido com r = a e uma casca de aço com l = 
a.
R. He et al. Dinâmica do solo e engenharia de terremotos 95 (2017) 138-152
145
Onde k e c significa sti ff coeficiente de amortecimento ffi cientes que a fundação pode 
fornecer, respectivamente.
5. Resultados numéricos
Quando as singularidades são conhecidas, a Eq. Integral de Fredholm. (30)
pode ser resolvido numericamente. Um programa de computador usando um piecewise
interpolação linear de g r e g z com o método de Gauss-Chebyshev foi
escrito para calcular o valor de g r e g z. Então, podemos obter as respostas 
completas da fundação e K s
v usando o correspondente Green's
funções.
Interpolar funções N (z) satisfazer N z
quais são de fi ned como
eu () = 1 e N (z) = 0 E se j ≠ii eu j eu ，
Fig. 7. ( a) O em fl uência da água do mar em Ré( v
com várias relações comprimento / raio embutidos em areia densa.
K)s para uma casca de aço com várias relações comprimento / raio embutida em areia densa; (b) O em fl uência da água do mar em Eu estou( v K)s para uma concha de aço
Fig. 8. ( a) O di ff erência de Ré( v
areia solta; (c) O di ff erência de Ré( v
incrustado em areia densa.
K)s entre uma casca de aço e uma casca de concreto embutida na areia solta; (b) O di ff erência de Eu estou( v
s entre uma casca de aço e uma casca de concreto embutida em areia densa; (d) O di ff erência de Eu estou( v
K)s entre uma casca de aço e uma casca de concreto embutida em
s entre uma casca de aço e uma casca de concretoK) K)
R. He et al. Dinâmica do solo e engenharia de terremotos 95 (2017) 138-152
146
⎧
⎨ z 2
⎧ (
⎨
⎪ z
⎧
⎨ z
⎩ 0,
⎪ z - eu -1
⎩ 0,
z) = ( -) /
⎩ 
n
0,
- z, i = 1, 2 .....
N z zhz ≤
outro
h,
z) / h eu, z ≤
outro
zh, z ≤
outro
z
-
) / eu -1
z ≤ z 2,
≤ z ≤ eu
N (z) = ( i + 1
z eu -1 z
z,z ≤ i + 1
N ( z ≤ z n + 1
() = (-) /, 1
,
eu eu
n + 1
n n
1
1
(37)
Onde ， h =
Usando funções N (z), funções contínuas g z, g r, C z e C r pode ser representado 
como
z i + 1 neu eu
eu
g (z) = ∑ i = 1
w (z) = ∑ i = 1
N (z) g, g r ( z) = ∑ i = 1
N (z) w, w (z) = ∑ i = 1
N zg r
N (z) w r.
(),z
n + 1
n + 1
eu z
eu n + 1
n + 1
eu
eu
z eu z
eu
r eu
eu
(38)
eu são a parte regular da vertical e radialOnde, g z
distribuição de forças na interface concha-solo no eu- direção, respec-
ativamente. C euz e C r
a eu- direção, respectivamente.
A fórmula integral de Gauss-Chebyshev pode ser escrita como
eu e g r
eu são o deslocamento vertical e radial da casca em
⎛
⎝⎜ eu
⎞
⎠⎟.
∫ -1 d x = ∑ i = 0
, x )i = cos ( 2 + 1
A fx eu
A = π
(),f (x)
1 - 2x
n
eu
eu n + 1
π
2 (+ 1)n
1
(39)
Substituindo (37) e (38) para dentro (27), (28) e (30) , podemos obter
(40)(+ ρ p hω WH -H W) g = 0 você ,2
Onde,
∫ uzs
∫ uzs
∫ uzs
∫ uzs
∫ wzs
∫ wzs
∫ C ˆ ( z, s) αr
∫ C ˆ ( z, s) N (s) d s, W ˆ i, (n + 1) +
= ∫ C ˆ ( z, s) N (s) d s, W ˆ (n + 1) +, (
∫ wzs
∫ wzs N ss
= ∫ C ˆ ( z, s) N (s) d s.
H =
H n
H n
W =
C n
C n
C ˆ =
C ˆ n
s H dentro
s
s
s
s W dentro
s
s
s
ˆ (,) αz
= ˆ (,) αz
ˆ (,) αr
d,
d, = ˆ (,) αr d,
d,
=
ˆ (,) αz
ˆ (,) αz
d,
= ˆ (,) αr d,
= d,
= d,
= ˆ (,) () d,
eu j
eu
z
z
eu
N s
s (l - s) βz j
eu
z
r
eu
N s
s (l - s) βr
eu j
eu
r
z
eu
N s
s (l - s) βz
dentro j
eu
r
N s
s (l - s) βz
r
eu
N s
s (l - s) βr
eu j
eu
z
z
eu j
eu
z
r
eu
N s
s (l - s) βr
eu j
eu
r
z
eu
N s
s (l - s) βz
dentro j
eu
r
r
eu
N s
s (l - s) βr
eu j
eu
z
z
eu j j
eu
z
r
eu j
(+1) + eu j
eu
r
z
eu j eu n + 1) +j
eu
r
r
eu j
, 0
()
, (+1) + 0
()
(+1) +, 0
()
(+1) +, (+1) + 0
()
, 0
()
, (+1) + 0
()
(+1) +, 0
()
(+1) +, (+1) + 0
()
, 0 0
0 0
j j
j
j
j j
j
j
(41)
As forças desconhecidas são
g ( 2 ( n + 1) × 1) = {~ z gg n + 1z gg n + 1r, ~ r }
1 1
(42)
O deslocamento inicial da casca você 0 é
você ( 2 ( n + 1) × 1) = {... zΔ z Δ, 0 ... 0},0 T (43)
e (40) pode ser resolvido numericamente.
Dentro Seções 5.2 e 5.3 , alguns resultados numéricos são fornecidos. Para
Para melhor uso prático da engenharia, as respostas dinâmicas de dois tipos de conchas, 
conchas de aço e conchas de concreto embutidas em dois tipos de solo, areia solta e 
areia densa, são totalmente estudadas. As propriedades materiais da casca e do solo 
podem ser encontradas em tabela 1 , Onde B é o coeficiente de pressão dos poros de 
Skempton ffi eficiente e k é a condutividade hidráulica do solo.
ν você é a razão de Poisson não drenada do solo. O raio da casca é
Fig. 9. ( a) K v
incrustado em vários tipos de solos; (d) K v
para uma concha de concreto com l = 2 uma incrustado em vários tipos de solos; (g) K v
s para uma concha de aço com l = a incrustado em vários tipos de solos; (b) K v
s para uma concha de aço com l = 10 uma incrustado em vários tipos de solos; (e) K v
s para uma concha de concreto com l = 4 uma incrustado em vários tipos de solos.
s para uma concha de aço com l = 2 uma incrustado em vários tipos de solos; (c) K v
s para uma concha de concreto com l = a incrustado em vários tipos de solos; (f) K v
s para uma concha de aço com l = 4 uma
s
R. He et al. Dinâmica do solo e engenharia de terremotos 95 (2017) 138-152
147
a = 5 m. A espessura da casca de aço e da casca de concreto são h
= 0,01 uma e h = 0,03 uma, respectivamente. Comprimento das conchas de l = a, l = 2
a, l = 4 uma, e l = 10 uma são estudados. Os parametros R, Q, e b pode ser obtido a 
partir dos parâmetros fornecidos [41] . Para a água do mar, temos
ρ = 1,0 × 10 kg / m 3 e v = 1,414 × 10 m / s.C
3
C
3
5.1. Comparação com soluções existentes
Para verificar a exatidão deste método e do programa de computador, 
comparamos os resultados obtidos aqui com as soluções existentes para um
concha elástica vibrando em um meio-espaço elástico dado por Pak e Ji [34] , e 
Rajapakse e Shah [29] . A solução para um shell embutido em um
meio-espaço elástico pode ser obtido definindo c C, b, R, Q, e ρ f para valores 
igualmente pequenos. Fig. 3 (a) - (c) mostram que nossa solução corresponde
bem com aqueles fornecidos em [34] e [29] , que valida as funções de Green e a 
implementação numérica neste estudo.
Para validar a declaração “ as condições de contorno hidráulicas do casco não são 
importantes para a impedância vertical ”, comparamos nosso resultado com o trabalho de 
Ji, que considerou uma casca totalmente impermeável usando BEM
[35] . Da comparação em Fig. 3 (d), a exatidão do
Fig. 9. ( contínuo)
Fig. 10. ( a) O em fl uência do raio uma da casca em K v
com l = 2 uma incrustado em areia densa.
s para uma concha de aço com l = 2 uma incrustado em areia densa; (b) O em fl uência da espessura h da casca em K v s para uma concha de aço
R. He et al. Dinâmica do solo e engenharia de terremotos 95 (2017) 138-152
148
declaração é validada.
5,2 Respostas dinâmicas do shell
O em fl uência das condições de contorno da extremidade superior da casca 
nas respostas dinâmicas do problema de vibração do solo da casca deve
fi primeiro seja esclarecido. Uma concha de aço embutida em uma caixa de areia 
densa é ilustrada aqui para um exemplo. Escolhemos comparar a dinâmica
forças de interação p z e p r e C z, C r, N z e Q z da casca em um não
frequência dimensional ω = 0,25 ( ω = /) com l = 2 uma, e K s v para
a concha com l = 2 uma e l = 10 uma entre as três condições de contorno. A partir 
de Fig. 4 (a) - (j), nós fi e que o di ff erências das respostas dinâmicas entre os três 
casos são localizadas para o shell
(referir-se p z, C r e Q z nas proximidades da extremidade superior da casca), e
o coeficiente de impedância ffi eficiente K sv está minimamente em fl uenciado pela fronteira
ωa / μ ρ
Fig. 11. ( a) O em fl uência da permeabilidade k do fundo do mar em K v
sobre K sv para uma concha de aço com l = 2 uma incrustado em areia densa; (c) O em fl uência do coeficiente de Poisson não drenado ν você do fundo do mar em K v
(d) O em fl uência do módulo elástico E do fundo do mar em K s v para uma concha de aço com l = 2 uma incrustado em areia densa; (e) O em fl uência do módulo de elasticidade E do fundo do mar em K v
escudo de aço com l = 10 uma incrustado em areia densa.
s para uma concha de aço com l = 2 uma incrustado em areia densa; (b) O em fl uência do coeficiente de Poisson drenado ν do fundo do mar
s para uma concha de aço com l = 2 uma incrustado em areia densa;
s para
R. He et al. Dinâmica do solo e engenharia de terremotos 95 (2017) 138-152
149
e ff ect. Resultados semelhantes são encontrados para conchas com di ff comprimentos 
diferentes em outros tipos de solos. Portanto, a seguinte análise de parâmetro pode ser 
baseada em qualquer uma das três condições de contorno, e usamos o fi condições de 
limite de finalização superior fixas (Eq. (13) ) aqui.
Para entender o problema de vibração dinâmica acoplada, é
necessário conhecer as forças de interação dinâmica resultantes p z e p r
na casca e no solo. Fig. 5 (a) e (b) mostram ambos p z e p r para o caso de uma casca 
de aço com l = 2 uma embutido em vários tipos de solos em
ω = 0,25, respectivamente. A partir de Fig. 5 (a) e (b), nós fi e que ambos p z e
p r são singulares na parte superior e inferior da casca, e as forças na parte inferior 
são maiores do que as forças na parte superior da metade,
o que significa que a maior parte da transferência de carga ocorre na parte inferior do
A concha. p z e p r nos dois casos são muito semelhantes, o que significa que o 
mecanismo de transferência de carga em areia densa e areia solta são muito
semelhante. Os deslocamentos da casca são plotados em Fig. 5 (c) - ( e). Podemos 
ver que a casca tem maiores deslocamentos quando o solo tem uma maior rigidez ff
ness; no entanto, para o casco de aço com l / a = 2, ambos os deslocamentos 
vertical e radial são muito pequenos, o que significa que o casco de aço com uma 
pequena relação comprimento / raio age como um rígido. A força axial
() da casca pode ser obtida integrando a força inercial e a força de contato 
vertical de z = s até o fim da casca, e N ( 0)
é igual a F v de fi ned acima. Os resultados do N (s) para uma concha de aço em areia 
densa são dadas em Fig. 5 (f) e (g), a partir do qual podemos ver que a parte real 
de N (s) para os dois tipos de solos são quase iguais, enquanto a parte imaginária 
de N (s) tem algum di ff erence, no entanto, os valores são todos muito pequenos.
N sz
z
z
z
z
5.3. Resultados numéricos para a impedância dinâmica
Para obter um fi primeira vista da resposta dinâmica de uma casca, uma comparação 
da impedância dinâmica entre um disco rígido com r = a e uma concha com
l = a em areia densa é estudado. A partir de Fig. 6 , nós fi descubra que a parte real 
da impedância da casca é cerca de 20% maior que a do disco, enquanto a parte 
imaginária da casca é cerca de 60% maior que a do disco.
5.3.1. Resultados numéricos para K v
º e resultados numéricos para o coeficiente de impedância dinâmica vertical ffi-eficiente K s v em função da relação comprimento / raio da casca ( l / a), tipo de casca,
tipo de solo, e a frequência não dimensional ω são apresentados a seguir. A partir de Fig. 
7 , nós fi ache isso para uma concha de aço em san solta d , a existência de
uma sfl meio-espaço uid tem apenas alguns em fl influência sobre Eu estou( v, que significa
amortecimento inc r atenua. A relação comprimento / raio eu/ uma tem um muito grande
dentro fl influência sobre K vs. Dos casos l = a para l = 10 uma, K s v aumenta gradualmente.
Para o caso de uma casca de aço embutida em outros tipos de solo ou uma casca de 
concreto, resultados muito semelhantes podem ser obtidos.
Para considerar o di ff erência entre uma etapa el concha e uma concha de concreto,
nós fi nd de Fig. 8 que o di ff erência de K s v entre eles aumenta
com a relação comprimento / raio para o caso embutido em areia densa, e wh e n l 
/ a = 10 ， o di ff erência é considerável, enquanto a diferença ff erências
de K sv pois as areias soltas são muito menores. Esses resultados significam quando o
O tipo de solo é dado, seja uma casca de aço ou de concreto, respostas dinâmicas 
semelhantes são obtidas, exceto no caso em que a casca está incrustada em areia 
densa com uma grande relação comprimento / raio.
Fig. 9 mostra os resultados para uma casca de aço e uma casca de concreto 
embutida em vários tipos de solos com di ff rácios comprimento / raio diferentes. A 
partir de Fig. 9 , nós fi encontrar um fenômeno interessante: quando a relação 
comprimento / raio da casca de aço é l = a, l = 2 uma, e l = 4 uma, e quando o
le relação raio / raio da casca de concreto é l = a e l = 2 uma, o obtido
s não está relacionado com o s tipos de óleo e depende quase apenas de l / a
e ω, que significa K s v nestes casos pode ser escrito como um simples
equação de ω. O fi equações ajustadas são fornecidas em Fig. 9 . O erro do
fi equação ajustada e o valor real é aceitável: o máximo er r ors
estão dentro de 5%. Considerando o caso de uma casca rígida embutida no solo, K s v é
independente da rigidez do solo, esse fenômeno pode ser explicado pelo fato de a 
rigidez da concha embutida em qualquer tipo das duas areias ser suficientemente 
grande com uma concha de aço com relação comprimento / raio.
s
K)
K v
la/ ≤ 4 e uma casca de concreto com uma relação comprimento / raio la/ ≤ 2.
5.3.2. O em fl uência de uma e h sobre K v
Para saber se os resultados obtidos acima podem ser usados quando o
raio e a espessura do shel eu são alterados, o e ff efeito de mudança
o raio uma e a espessura h sobre K s v é estudado abaixo. A partir de Fig. 10 (uma),
podemos ver que para a casca de aço com uma pequena proporção de comprimento ( l = 2
a) na areia densa, ao mudar o raio uma de 0,025 a 5 m (de um modelo pequeno
fundação de balde para uma fundação de balde real), K s v varia minimamente,
exceto C galinha uma é menor que 0,5 m em uma frequência muito pequena, que
meios K s v obtido por um teste de modelo pode ser usado diretamente para um caso real
quando o raio da caçamba do modelo é escolhido corretamente (maior que
0,5 m). A partir de Fig. 10 (b), nós também fi e que variando a espessura da casca h
de 0,01 uma para 0,1 uma ( no alcance de h <<a, E se h é comparável a uma, o fundo 
do abrigo eu deve ser tratado como um disco anular) também tem muito
pequeno em fl influência sobre K sv, entretanto, quando h é 0,001 uma, um obterá muito
menor K s v. Resultados semelhantes são obtidos para outros tipos de solos e uma grande
le razão ngth / raio ( l / a = 10) concha. A partir dos resultados acima, nós fi encontrar aquilo
s não é sensível ao raio da casca e não é sensível a h / a da casca, exceto quando h 
/ a é muito pequeno.
s
K v
5.3.3. O em fl uência de k, ν, ν você e E do solo em K v
Para determinar se os resultados obtidos acima podem ser usados quando
as propriedades dos solos não são as mesmas e como temos usado, estudamos
como os parâmetros do solo a ff ect K s v, e pegue a concha de aço
incrustado em areia densa coberta pela água do mar, por exemplo. Para areia densa, assumimos 
a condutividade hidráulica k é 10 -3 m / s ~ 10 -5 m / s, o coeficiente de Poisson drenado é de 0,25 - 0,45, 
o coeficiente de Poisson não drenado é
0,49 - 0,4995, e o módulo de elasticidade E é 50 MPa ~ 120 MPa. A partir de
Fig. 11 , nós fi e isso variando ν, κ, ν você e E tem um e muito pequeno ff ect no
s, o que significa que os resultados obtidos acima para areia densa podem ser
usado para areia densa, mesmo que seus parâmetros mecânicos não sejam os mesmos. 
Em contraste com o caso da pequena relação comprimento / raio, E tem um
pronunciado e ff ect on K s v no caso de grande relação comprimento / raio, como visto
dentro Fig. 11 (e). Resultados semelhantes também podem ser obtidos para areia solta. A partir 
dos resultados acima, chegamos à conclusão de que para o coeficiente de impedância dinâmica ffi
cientes de uma concha de aço ou concreto embutida em areias comuns em baixa frequência, os 
fatores mais dominantes são a rigidez relativa da concha e do solo. Para a casca, sua rigidez 
aumenta com a diminuição da razão comprimento / raio l / a, aumento da relação espessura / raio 
h /
uma e aumentando o módulo de elasticidade E p, Considerando que para th e solo, sua rigidez é
mais um ff afetado por seu módulo de elasticidade E. Que significa K s v de uma concha pode ser
escrito em função de l / a, h / a, E / E e ω. Para a concha com pequena relação 
comprimento / raio, sua rigidez é grande o suficiente se comparada a qualquer tipo de 
areia comum, portanto, variar a rigidez do solo não significa fl influenciar o significado dos 
resultados fi timidamente. Para o casco com uma grande proporção, sua rigidez é
comparável com a rigidez do solo, e K s v é um ff afetado por ambas as conchas
e a rigidez do solo. O valor limite para a relação comprimento / raio pequena e 
relação comprimento / raio grande depende do módulo de elasticidade da casca. 
Para uma concha de aço, sugerimos l = 4 uma e para a concha concretada eu
= 2 uma.
s
K v
p
6. conclusões
Este estudo investiga o problema de um o ff fundação do tipo concha de costa 
vibrando verticalmente em um fundo do mar arenoso, a teoria do potencial e o 
método da equação integral são usados. O problema se mostra redutível a 
algumas equações de Cauchy e equações de Fredholm. A partir da análise teórica, 
nós fi E que tanto a parte superior quanto a inferior da concha possuem 
concentrações de tensões do tipo Cauchy, relaciona-se ao coeficiente de Poisson 
drenado do solo e mantém-se igual para todos os solos na parte superior e 
inferior, respectivamente. Resolvendo o equa de Fredholm ti ons
numericamente, nós fi e o coeficiente de impedância não dimensional ffi eficiente K s v é
altamente relacionado a quatro quantidades adimensionais: relação comprimento / raio l 
/ a, frequência não dimensional ω, relação entre espessura e raio h / a
e relação do módulo de elasticidade E p E. Os resultados detalhados são:/
R. He et al. Dinâmica do solo e engenharia de terremotos 95 (2017) 138-152
150
1)
2)
A água do mar tem apenas algum e ff ect on Eu estou( v
Quando h / a é escolhido corretamente, as propriedades dinâmicas de uma casca de aço
e uma concha de concreto são semelhantes para conchas com uma pequena l 
/ a. O di ff erência entre eles aumenta com o aumento l / a.
Quando h / a é escolhido corretamente, para o shell com um pequeno l / a ( aço
concha com eu ≤ 4 uma, e casca de concreto com eu ≤ 2 a), K s v são principalmente
relacionado a l / a e ω e podem ser tratados independentemente dos tipos de solo.
Quando l / a é escolhido, K v
exceto quando h / a é muito pequeno. Um muito pequeno h / a irá induzir um bastante
pequeno K v
Quando l / a e h / a são escolhidos, K v
da casca, exceto quando uma é muito pequeno, então K v
o teste do modelo em pequena escala pode ser usado diretamente no caso real quando uma é
devidamente escolhidos (as propriedades mecânicas do solo no teste do modelo e 
no caso realdevem ser as mesmas).
3)
4)
5)
K)s.
s não é sensível a variações h / a da concha,
s.
s não é sensiti v e em raio variável
s obtido de um
6) Quando l / a e h / a são escolhidos, variando a permeabilidade κ, drenado
Coeficiente de Poisson ν , e coeficiente de Poisson não drenado ν você da areia tem um
e pequeno ff ect on K v
7) Quando h / a é escolhido corretamente, K s v o f a concha com pequeno l / a não é
sensível a E do solo, enquanto K s v da concha com um grande l / a é
sensível a E.
s.
Reconhecimentos
O fi O primeiro autor gostaria de agradecer o apoio do Grant No. 51509082 da 
National Natural Science Foundation da China, o Grant No. BK20150804 da Natural 
Science Foundation da província de Jiangsu, e agradecer o China Scholarship 
Council que o apoiou para estudar na Universidade de Colorado, Boulder. O 
quarto autor gostaria de agradecer a concessão de apoio 51209183 da National 
Natural Science Foundation of China.
Apêndice A. Funções verdes para o fi concha superior fixa
1) Para carga de anel vertical em z = c
C = ( - p e kcp
e 2 p
e kcp
e kl
ν e p e p e 2 p
e klc
e klc k p eu c e + 4 p
kc) - 4 4 p
e + 2 p
kc) + 4 2 (+
c
e kl
e kl
e 2 p e 2 (+
e kc
e 4 p
e klc)
e 2 p e kl
kc) - 4 p
kc S v
e k ( 2 + kl
k p eu c k p eu c e 2 p kc) + 2 p
C = ( - p ν e p
k p
ν e p
* pecado( k p ( 2 -)) + ( kl
- (1 + 2 p
e p e 2 p e klc k p eu c
kc) + 2 p
k p
c)) / S v,) pecado( k p
) cos ( k p c) + 2 p
e kc e 2 (+ kc) + 4 p e k ( 2 + kl
eu c e 2 (+ k p eu
cos (2 kl) - ( kl
+ 2 kl
) ( kl
c e kl
e klc
- 2 e 2 k (l + c)
e kc kc S v
) cos ( k p c) - 2 pC = 4 C = ( - pe kcp
+ e 2 k (l + c)
e kc 2 p
e 2 p + 2 (+)
e p e 2 p
- e 2 kpc
- e 2 kpc
2
) * cos ((2 eu -)) + ( kc e kl k ppecado (2 (2 eu -))c
eu c e 4 p e 2 p
e kl e 2 pC = -4 ( - p
+ ( kl
ν ( - p e kc
e klc
e p
) pecado( p
e k ( 2 + pecado (2 kl) - ( kle 2 p + e 2 k (l + c) k p) pecado ((2 eu -))c
kc)) / S, C 6 = 1 / [ G 1 ( -1 + p ν),
(4 kc
sin ((2 -)) + 2 (+)
+ ( kl
pecado ((2 -)) - 3 klc) sin ((2 -)) - 4 p
+ 4 k ( 2 + + ( kl + 2 (+) ) cos ((2 -)) + (2 kl
pecado ((2 -)) - 4 kl pecado( p
) cos ((2 -)) + ( −2 kl
pecado( p pecado( p
- 3 kc
pecado( p
- 2 klc) ) cos ( p
pecado( p)) /,
) cos ( p
)) /,
pecado (2)
+ 3 kl
(4 k ( 2 + + 4 k ( 4 + + 2 (+) - 3 kl + 2 klc) pecado (2)
- 2 p pecado( p
(4 k ( 2 + + 4 k ( 4 + + 2 (+) + 4 p
+ k ( 4 +
lc) lc)
p
lc) lc) lc)
p
lc) lc)
p
lc) lc)
p
v
1
2
3
5
p p p
p
p p p
p p
p
pp
p
p
(A-1)
P = ( - p
e p
P = - ( 2 p
e p
P = - ( - p
e kcp ν e p e p
kl
ν ( -4
kl
ν ( -4 p
k p
ν ( -4
c
p
p
e klc k p
c
eu c e + 3 2 p
eu c
e kc e 2 (+
e kc
e klc
e kc
kc) - 2 p
kc) + 2 p
kc) + 2 p
eu c S v
e kl
e kl
e kc
k p eu c
e 2 p k p eu e klc k p k p eu c S v
e klkcp e kc e p k p eu c e 2 p
e klc
e kc
e 2 (+
e 2 p k p eu c
e 2 p k p eu
kl
c e 2 p kc) + 2 p
c
k p
e kcp
e klc
e klkcp
e k ( 2 + e p e kl
e kc
k p
kc) + 2 p
c
eu e 2 p e kc kc) + 2 p e kl k p eu c
eu c e 2 p e kl
e 2 p
k p eu c S v
P = - ( 2 p e kc e p kl e 2 p
e klc
k p
) pecado( k p c) - 2 p
cos (2 kl)) k p c + ( p
) pecado ((2 eu - c)) - ( kl
eu e 2 p e klc kc) + 2 p e kc k p eu c
k p
e (( p
+ sin ((2 eu -)) - (2 + 2 p e kl e 2 p e kc
e kc
e 2 p
k p
e p
pecado ((2 eu -))) /,c S v
) + (1 + 2 p
)) /,
P = 4 ( kc
e p
e kc
- 2 k ( 2 l + c) 2
+ 4 e 2 k (l + c)
p
e p
kl) + ( 2 p
e p ν p
) ν p pecado( p
e kl e 2 p - e 2 kpc ν p) cos ( k p c)
ν pecado (2 p e kl + e 2 k (l + c) ν p k p + e 2 k (l + c) kc S v
P = 0
(4 kc
sin (2) + 2 kl
+ 4 k ( 2 + + 2 (+) cos ((2 -)) - (1 + 2 kl
sin ((2 -)) + 2 (+) sin ((2 -)) + (1 + 2 p
- cos ((2 -)) + (2 + 3 kl + 2 kc
) sin ((2 -)) + ( kl ) pecado( p
cos (2) + 2 p ( 2 + 2 p) cos ((2 -)) + (1 + 4 kl
sin ((2 -)) + (1 + 2 kl ) pecado( p sin ((2 +))) /,
- 4 kc cos (2) + (1 + 2 kc) cos ((2 -)) - ( kl - 4 kc
+ 2 kc
+ 2 klc) ) cos ( p
) pecado( p
) cos ( p
sin ((2 +))) /,
) cos ( p
cos ((2 +))
sin ((2 +))) /, cos ((2 +))- 4 k ( 2 +
- 4 k ( 2 + + 2 (+)
- 4 kc sin (2) + (1 + 2 kl + 2 (+)
- 4 k ( 2 + - 2 p cos ((2 +))
- 2 (+) + 2 p + 2 klc)
- 2 (+) ) cos ( p cos ((2 +))
+ 2 (+)
+ 2 k ( 2 l + c)
p 2
+ k ( 4 + - k ( 4 +
p
) ( kl
lc)
lc)
p
lc)
p
lc) lc)
p
p
lc)
p
lc)
1
2
- p
3
4
- p
5
2 2
2
6
p p p
p
p
p
p p
p
p
p p
Onde ，
S = 4 G 1 k ( -1 + p ν) ( 1 + 4 2 pe kl + e 4 kpl e 2 p cos (2 kl)).+ 2 klv p p2
2) Para carga de anel radial em z = c
C = ( - p
C = ( - p
C = C 4 = (- p
C = -2 ( - p ν ((e 2 kpl
+ ( kl ) pecado( p
e kc
e kc
e 2 p
e 2 (+
e kc e 2 p
e kcp
e 4 p - 2 p
k p eu c e 2 p
e 2 p
e kl
e kl
e kc
e kc
e kl
e 2 p
e klc
e 2 (+
e kc
+ e 4 kpl
kc) - ( 2 p
kc) + ( 2 p
) cos ( k p c) - (1 + 2 p
) cos ( p
e kl
e kl
e kl
e klc
e klc
e 2 p
k p eu c e 2 p
e 2 p
e 2 p
e 4 p
e klc
e klc
kc S r
kc S rk p eu c k p eu
) pecado( k p c))) / r
) sin ((2 -))
c
e klc
+ e 2 k (l + c)
k p
) cos ( k p ( 2 -)) + (2 kl
) cos ((2 eu -)) - 2 pc
c
e kc
e kl
S,
eu + e 2 kpc + 2 e 2 k (l + c) kc) + + ( 2 p - e 2 k (l + c) k p eu c
e kc kc S r
C = 0,
(-2 kl
(( kl
cos ((2 -)) - (3 kl
cos ((2 -)) + ( kl
+ 4 p
+ 4 p
+ 2 p
+ 2 p
+ 2 (+)
+ 3 klc)
) cos ( p
) cos ( p
- 2 (+)
- 2 (+)
+ 2 p
) sin ((2 -)) + ( kl
) sin ((2 -)) + ( kl
+ 2 kc
+ 2 kl
+ 2 (+)
+ 2 (+)
) pecado( p
) pecado( p
)) /,
)) /,(2 klc)
- 2 (+) (-1 + 2 p ) ( kl
)) /,
1
2
3
5
6
p p p
p p p p
p
p p p
(A-2)
R. He et al. Dinâmica do solo e engenharia de terremotos 95 (2017) 138-152
151
P = ( - p
P = ( - p
P = ( - p
P = ( 2 p
P = -2 ( - p
+ ( kl
e kc
e kc
e kc
e klkc
e kcp
e 2 p - 2 (+)
e 2 p
e 2 p
e 2 p
k p
k p
eu c
c
e kl
e kl
e kc
e kc
kc) - ( 2 p
kc) - ( 2 p
) cos ( k p c) - ( −1 - 3 2 p
) cos ( k p c) + ( -1 - 2 p + 3
cos (2 kl) + ( kl
) pecado( k p c)) / S, P 6 = 0,
kc
e kl
e kl
e klc
e klc
e kl
e 2 p
k p
k p
eu c
c
e 2 p
e 2 p
e 2 p
e 2 p
e klc
e klc
kc
kc
kc S r
kc)) / S r,
e p
S r
S reu eu
e klc
e kc
- 4 e 2 k (l + c)
k p
) cos ( k p ( 2 -)) - ( −1 + 2 p
) sin ((2 -)) + ( kl
) cos ((2 eu -)) - 2 pc
c
e kl e kc e kc
+ e 2 k (l + c)
e klc e 2 p cos (2 kl)) pecado( p
cos (2)) sin ( peu
e p
e kc
lc)
e kl
+ e 2 kp (l + c)
e 2 p
e 2 p
kl
ν ( - pe kc
e klc
e p e 2 p k p) cos ((2 eu -)) + (2 klc + e 4 kpl + e 2 kpc ) cos ( k p c)
k p eu c e 4 p - e 2 kpc
(- kl
(- kl
(( kl
(- (- 1 + 2 p
cos ((2 -)) - (1 + 2 p
cos ((2 -)) - (1 + 2 p
) (-1 + 2 p
) (-1 + 2 p
) cos ( p
) cos ( p
(-1 + 2 p
- 2 (+)
- 2 (+)
) sin ((2 -)) + ( kl
) sin ((2 -)) + ( kl
- 2 kl
+ 2 kl
+ 2 kc
+ 2 kc
+ 2 (+)
+ 2 (+)
) pecado( p
) pecado( p
)) /,
)) /,
)) /,
- 2 (+) + 2 p + 2 (+)
- k ( 4 + - 2 k ( 2 + + 2 k ( 2 +
p
p
lc)
p
lc)
r
1
2
3
4
5
- p
p p
p p
p p
p
p
p
Onde ，
S = 8 aGk ( 1 + 4 2 pe kl + e 4 kpl e 2 p cos (2 kl)).+ 2 klr p p4
Apêndice B. As variáveis de fi ned nas Eqs. (24) e (25)
k
Ω
β
R
Δ
Δ
= η - η, k 2 = 1 2
= Γ - η 2 Ω Ω = η 1 Γ 2 + 2 1
= 2 μβ 2 λk + A s k s ρ ω R
= s (Ω 1 + Ω + Ωk) + 2 ξ ( - βΓ 3 Ω 3 +
s Γ Ω -2 βξΓ Ω -2 ξk 3 Ω Δ = - 1 2
= s (Ω 7 + Ω 5 β 2 + Ω β) -2 ξ (βΓ 3 Ω 3 k Ω +
= - αΓ 2 Ω 4 + βη (Γ + β 1 Ω) + ββ Ω, Δ 9 = 1
s ΓΩ + 2 ξ (Γ 1 η 1 k 3 + αΓ Ω + k 4 Γ 2 η 1), Δ 11 = 2 ( 2 2 4
η β η β k = 2
η Γ Ω = 1
QR Ω = ϑ / C
αΓ Ω + 3 5
s Γ + 2 βξΓ + 1 2
αΓ Ω + 4 9
s ( - Γ 1 Ω 4 + 2 3
ξ Γ η k +
βγμξ k = 2
Γ + η 1 Ω Ω = 2
ρ ω N = 2 2 1
k Ω k Ω), Δ 1 = (7
s η Ω, Δ 4 = 1 1 3
k Ω), Δ 6 = - s 1 Γ 1 + 2
Γ Ω + Ωk) -2 (- 3 3
βΓ Ω k Γ η) - 1 2 0
αγμξ Ω = 1 2
Γ + η 2 Ω
μξ
β η β η Ω = β 1 Γ 2 β Γ Ω = η 1 Γ 2 η Γ Ω = 1
s = γ 2 + ξ, β 1 = 2 μα λk + A f k f ρ ω R
kk N = k (s - 2 ξ 2),
s Ω + Ω 8 + Ω 6 β 1) -2 ξ (βΓ 3 Ω 3 +
s ΓΩ -2 αξΓ Ω -2 η 1 k 4 Ω,
αξΓ + s 1 η 1 Ω Δ = βΓ
ξ βΓ Ω k Ω + αΓ Ω + k Ω
s Γ Ω Δ = - s 1 Ω 2 + 2 3 ( - 2
3 8
Ω αη Γ
Γ ξ βη αη).
4 6),
β + η, Ω = 2
QR
β + η, Ω = - 1 Γ η Ω,
k Ω + αΓ Ω k Ω),
(+ β 2 Ω) - αβ 1 Ω 6,
Δ 2 = 1 2 4
5 1
8
Δ 10 = 1 1 0
- 2 1 , 3 , 4 , - 2 1 , 1 - 2 1 , - 2 1 ,
, , , , 1
-,
- f (+) /,
-s (+) /, ,
- 4 6 - 4 6
,
- 3 5
2 5
, - 1 2
- 3 5
, 12- 3 1 2
∼
∼
1 1
2
2 0 2 3 1 4 2 5 1
6 7 8 9
2 2 2 2
22
2
1
2 2
22
2
1 2 2 1 1
1 2 2 3 4 1 3 4
3 4 3 3 3 3
9 1 3 4 3 7
3 4
1 3
2 1 2
3 0 3 0 1
(B-1)
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	Vertical elastic dynamic impedance of a large diameter and thin-walled cylindrical shell type foundation
	Introduction
	Governing equations
	Governing equations for the fluid
	Governing equations for the shell
	Governing equations for soil
	Ring load Green's function
	Green's functions for a shell
	Green's functions for layered fluid-soil half-space
	The coupled dynamic vibration problem
	Numerical results
	Comparison with existing solutions
	Dynamic responses of the shell
	Numerical results for the dynamic impedance
	Numerical results for K¯vs
	The influence of a and h on K¯vs
	The influence of k, ν, νu and E of the soil on K¯vs
	Conclusions
	Acknowledgements
	Green functions for the fixed top shell
	The variables defined in Eqs. (24) and (25)
	References