Lista 01 Álgebra Linear Uece - Prof. Eduardo Garcez

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ
CCT - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
1ª Lista de Exerćıcios de Álgebra Linear
Prazo de entrega 06/09/2022
Prof. Eduardo Garcez
Instruções:
• É permitido que os alunos conversem sobre as soluções da lista,
mas cópias são proibidas;
• A entrega dessa lista de exerćıcios é opcional;
• Essa é a 1ª de 3 listas que irão compor a média das listas de exerćıcio;
• A média das listas irá ajudar na menor das primeiras duas notas;
• Listas entregues fora do prazo receberão nota zero (sem exceções).
1. Marque V para verdadeiro e F para falso. Justifique sua resposta.
• (V) A interseção de subespaços vetoriais é um subespaço vetorial;
Demonstração. Sejam A,B ⊂ V subespaços vetorias do R−espaço
vetorial V . Mostraremos que A ∩B é subespaço vetorial.
(i) A ∩ B ̸= ∅, pois 0 ∈ A e 0 ∈ B, pois A e B são subespaços
vetoriais. Portanto, 0 ∈ A ∩B.
(ii) A ∩ B é fechado para soma, pois tomando a, b ∈ A ∩ B, implica
que a, b ∈ A e a, b ∈ B. Como A e B são subespaços vetoriais temos
que (a+ b) ∈ A e (a+ b) ∈ B, portanto (a+ b) ∈ A ∩B.
(iii) A ∩ B é fechado para multiplicação por escalar de V , pois
tomando α ∈ R e a ∈ A ∩ B, temos que αa ∈ A e αa ∈ B pois
A e B são subespaços vetoriais. Dáı decorre que αa ∈ A ∩B.
• (F) A união de subespaços vetoriais é um subespaço vetorial.
Considere o seguinte contra exemplo:
Faça V = R3 , A = {(x, y, z) ∈ R3; y = z = 0} e B = {(u, v, w) ∈
R3;u = v = 0}. Tome a = (x, 0, 0) ∈ A e b = (0, 0, w) ∈ B note que
a+ b = (x, 0, 0) + (0, 0, u) = (x, 0, u) ̸∈ A ou B e portanto ̸∈ A ∪B.
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2. Sejam W1,W2 ⊂ V subespaços vetoriais do R−espaço vetorial V .
(a) Mostre que o conjunto abaixo é um subespaço de V :
W1 +W2 := {u1 + u2 ∈ V | u1 ∈ W1 e u2 ∈ W2}
Demonstração.
(i) W1 +W2 ̸= ∅, pois 0 = 0 + 0 ∈ W1 +W2 com 0 ∈ W1 e 0 ∈ W2.
(ii) W1+W2 é fechado para soma, pois tomando u, v ∈ W1+W2, tal
que u = (a+ b) e v = (a1 + b2) implica que a, a1 ∈ W1 e b, b2 ∈ W2.
Como W1 e W2 são subespaços vetoriais temos que:
(u+ v) = (a+ b) + (a1 + b2) = (a+ a1) + (b+ b2).
Dáı decorre que (a + a1) ∈ W1 e (b + b2) ∈ W2, portanto (u + v) ∈
W1 +W2. como queŕıamos
(iii) W1 + W2 é fechado para multiplicação por escalar de V , pois
tomando α ∈ R e u, v ∈ W1 + W2, tal que u = (a + b) implica que
a ∈ W1 e b,∈ W2. Como W1 e W2 são subespaços vetoriais temos
que:
αu = α(a+ b) = αa+ αb
Dáı decorre que αa ∈ W1 e αb ∈ W2, portanto αu ∈ W1 +W2, como
queŕıamos
(b) Mostre que todo v ∈ V é escrito de maneira única v = u1 + u2, com
u1 ∈ W1 e u2 ∈ W2 se, e somente se, V = W1+W2 e W1∩W2 = {0}.
Demonstração.
(⇒) ∀v ∈ V é escrito de forma única v = u + u1 com u1 ∈ W1 e
u2 ∈ W2, então V = W1 +W2 e W1 ∩W2 = {0}
(i) V = W1 +W2, é evidente, pois ∀u = u1 + u2 ∈ V ⇐⇒ u1 ∈ W1 e
u2 ∈ W2 ⇐⇒ u ∈ W1 +W2.
(ii) W1∩W2 = {0}. Como W1∩W2 é subespaço vetorial 0 ∈ W1∩W2.
Suponha que ∃u ̸= 0 ∈ W1 ∩W2. Assim,
u = 0 + u = u+ 0 ∈ W1 ∩W2
é absurdo, pois u se escreve de maneira única. Dáı decorre que a
igualdade acima só ocorre se u = 0.
(⇐) Se V = W1 +W2 e W1 ∩W2 = {0}, então ∀v ∈ V é escrito de
forma única v = u+ u1 com u1 ∈ W1 e u2 ∈ W2
Tome u ∈ V tal que u = x + x1 e u = y + y1 com x, y ∈ W1 e
x1, y1 ∈ W2, assim
x+ x1 = y + y1 ⇒ x− y = y1 − x1
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Dáı, (x−y) = (y1−x1) ∈ W1∩W2, mas por hipótese W1∩W2 = {0},
então
(x− y) = 0 ⇒ x = y
(x1 − y1) = 0 ⇒ x1 = y1
Portanto, v ∈ V é escrito de maneira única com u1 ∈ W1 e u2 ∈ W2.
(Quando isso acontece, dizemos que V é soma direta de W1 e W2 e
escrevemos V = W1 ⊕W2).
3. Defina os vetores u, v, w ∈ R3 usando o seu número de matŕıcula da
seguinte maneira: o Nº de matŕıcula a1a2a3a4a5a6a7 gera os vetores u =
(a1, a2, a3), v = (a4, a5, a6) e w = (a1, a4, a7).
Exemplo: o número de matŕıcula 1234567 daria u = (1, 2, 3),
v = (4, 5, 6) e w = (1, 4, 7).
Após definir os vetores u, v e w, responda se é posśıvel escrever w como
combinação linear de u e v. Em outras palavras, temos w ∈ [u, v]?
u = (1, 5, 7), v = (5, 6, 9) e w = (1, 7, 6). Queremos verificar se
w = αu+ βv
Assim, temos.
(1, 7, 6) = α(1, 5, 7) + β(5, 6, 9)
= (α+ 5β, 5α+ 6β, 7α+ 9β)
Portanto,  α+ 5β = 15α+ 6β = 7
7α+ 9β = 6
Da 2ª e 3ª equação decorre que e α =
9
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e β = − 2
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que evidentemente
não é solução do sistema acima. Dessa forma, não é posśıvel escrever w
como combinação linear de u e v.
4. Fixe W ⊂ V subespaço. Dados x, y ∈ V , defina x ∼ y ⇐⇒ (x− y) ∈ W .
(a) Nas condições acima, prove que ”∼” é uma relação de equivalência.
Em outras palavras, prove que:
• u ∼ u, ∀u ∈ V ;
Demonstração. u ∼ u, pois u− u = 0 e 0 ∈ W como queŕıamos.
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• u ∼ x ⇒ x ∼ u;
Demonstração. u ∼ x ⇐⇒ (u − x) ∈ W . Como W é subespaço
vetorial existe −(u − x) = (−u + x) = (x − u) ∈ W ⇐⇒ x ∼ u
como queŕıamos.
• u ∼ x e x ∼ y ⇒ u ∼ y.
Demonstração. u ∼ x ⇐⇒ (u−x) ∈ W e x ∼ y ⇐⇒ (x−y) ∈ W .
Como W é subespaço vetorial temos que (u − x) + (x − y) =
(u− y) ∈ W ⇐⇒ u ∼ y como queŕıamos.
Chamamos u = {x ∈ V / u ∼ x} = {x ∈ V / u− x ∈ W} a classe de
equivalência de u.
Defina V/W := {u / u ∈ V } conjunto das classes de equivalência.
(b) Prove que x+ y = x+ y está bem definida;
Demonstração. Basta mostrar que se x = x1 e y = y1, então x+ y =
x1 + ȳ1.
Como ” ∼ ” é uma relação de equivalência em V , temos que
x = x1 ⇐⇒ x ∼ x1 ⇐⇒ (x− x1) ∈ W.
De forma análoga, temos
y = y1 ⇐⇒ y ∼ y1 ⇐⇒ (y − y1) ∈ W
Como W é subespaço vetorial, decorre que
(x− x1) + (y − y1) = (x+ y)− (x1 + y1) ∈ W
Assim,
(x+ y) ∼ (x1 + y1) ⇐⇒ x+ y = x1 + y1
como queŕıamos.
(c) Prove que dado α ∈ R, α.ū = αu está bem definida;
Demonstração. Basta mostrar que dado α ∈ R e x = x1, então
αx = αx1.
Como ” ∼ ” é uma relação de equivalência em V temos que,
x = x1 ⇐⇒ x ∼ x1 ⇐⇒ (x− x1) ∈ W.
Como W é subespaço vetorial, decorre que
α(x− x1) = (αx− αx1) ∈ W
Assim,
(αx) ∼ (αx1) ⇐⇒ αx = αx1
como queŕıamos
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(d) Prove que o conjunto V/W , munido das operações definidas acima,
é um R-espaço vetorial.
Demonstração.
Mostraremos que ∀x, y, z ∈ V/W e α, β ∈ R, valem as condições abaixo:
(i) x+ y = y + x (Comutatividade)
x+ y = x+ y = y + x = y + x.
(ii) (x+ y) + z = y + (x+ z) (Associatividade da adição)
(x+ y) + z = x+ y + z = x+ (y + z).
(iii) ∃01 ∈ W/V ; 01 + x = x, ∀x ∈ W/V (Elemento neutro da Adição)
Tome 01 = 0, assim
01 + x = 0 + x = x.
(iv) ∃x1 ∈ W/V ;x1 + x = 01,∀x ∈ W/V (Inverso aditivo)
Tome x1 = −x, assim
x1 + x = −x+ x = 0 = 01.
(v) α(x+ y) = αx+ αy. (Distributividade)
α(x+ y) = α(x+ y) = αx+ αy = αx+ αy.
(vi) (α+ β)x = αx+ βx. (Distributividade)
(α+ β)x = (α+ β)x = αx+ βx = αx+ βx.
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(vii) α(βx) = (αβ)x. (Associatividade do produto por escalar)
α(βx) = αβx = (αβ)x.
(viii) 1x = x. (Multiplicação por 1)
1x = 1x = x.
Portanto, V/W é um espaço vetorial como queŕıamos
Chamamos o espaço vetorial acima de espaço quociente de
V por W .
Bons Estudos.
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