Encontre T : R^3 -> R^3; tal que Im(T) = [(1; 0;-1); (1; 2; 2)].

Para de terminar T precisamos escrever (usando a base canônica):
(x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)

Com isso iguale os Ts feitos com a base canônica com os vetores da imagem, assim:
T(1,0,0) = (1,0,-1), T(0,1,0) = (1,2,2) e T(0,0,1) = (0,0,0), e para encontrar os valores de x, y e z
T(x,y,z) = x(1,0,-1) + y(1,2,2) + z(0,0,0)
= (x+y, 2y, -x+2y)

Você deve lembrar que a imagem de um R qualquer é formada pelos valores de x, y e z que os vetores dados possuem ;)

Para resolver este exercício, o processo é bem simples. Temos o conjunto imagem de uma transformação linear no R3, e queremos encontrar a expressão que caracteriza essa transformação. Para isso, devemos realizar os seguintes cálculos abaixo:

\(\begin{align} & T=\left[ \left( 1,0,-1 \right);\left( 1,2,2 \right) \right] \\ & {{e}_{1}}=(1,0,-1) \\ & {{e}_{2}}=(1,2,2) \\ & T(v)={{x}_{1}}{{e}_{1}}+{{x}_{2}}{{e}_{2}} \\ & T(v)=\left( {{x}_{1}},0,-{{x}_{1}} \right)+\left( {{x}_{2}},2{{x}_{2}},2{{x}_{2}} \right) \\ & T(v)=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}},2{{x}_{2}},-{{x}_{1}}+2{{x}_{2}} \right) \end{align} \)

Portanto, a transformação será \(\boxed{T(v) = \left( {{x_1} + {x_2},2{x_2}, - {x_1} + 2{x_2}} \right)}\).