O que eu preciso saber da álgebra

Prévia do material em texto

O que eu preciso saber da álgebra 
I. Assimetria de Informação 
Trata-se de um problema Agente – Principal, em que este último se preocupa com os lucros dados 
pelas condições de receita. Contrata um agente. 
Se o agente se esforçar muito, há 80% de chances da receita ser $100, e 20% de ser $50. 
Com muito esforço, a utilidade do agente é dada por 
𝑢(𝑎𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑚𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜) = √𝑤 − 4 
Sendo w o nível de salário, e (-4) o custo do esforço alto. 
Se o agente se esforçar pouco, há 40% de chances da receita ser $100, e 60% de chances de ser $50. 
A utilidade do agente é dada por 
𝑢(𝑎𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑝𝑜𝑢𝑐𝑜 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜) = √𝑤 
O agente também tem uma possibilidade alternativa que lhe gera uma utilidade (u´) de 1. 
O esforço não é observável apenas o nível de vendas. 
 
a) O custo, para o principal, de induzir o vendedor a esforçar-se menos será 1. 
O item é verdadeiro pois para induzir a esforçar menos, o principal apenas tem que oferecer uma 
remuneração fixa que represente a condição em que: w(x) – c(x) = u´, ou seja, que lhe gere a mesma 
utilidade de um trabalho alternativo. 
O agente, no caso de ter um esforço baixo, não tem custo, do contrário do alto esforço, com um custo 
de 4. 
Dessa forma, sendo u´ = 1, e w(x) = √𝑤, e, c(x) = 0, para baixo esforço, logo: 
𝑤(𝑥) − 𝑐(𝑥) = 𝑢´ = 1 
√𝑤 − 0 = 1 → 𝑤 = 1 
 
b) Se o principal quiser induzir o vendedor a esforçar-se mais e obter lucro máximo, os salários 
correspondentes aos dois resultados de venda serão estritamente positivos. 
Se o objetivo do principal é maximizar os lucros (utilidade), deve-se respeitar as três restrições 
colocadas. Tendo por função objetivo 
𝑚𝑎𝑥𝑤ℎ/𝑤𝑙[0,8(100 − √𝑤ℎ) + 0,2(50 − √𝑤𝑙)] 
Restrição de participação: 𝑢 = [0,8(√𝑤ℎ) + 0,2(√𝑤𝑙)] − 4 ≥ 1 
Restrição de compartilhamento de incentivos: 
[0,8(100 − √𝑤ℎ) + 0,2(50 − √𝑤𝑙)] − 4 ≥ [0,4√𝑤ℎ + 0,6√𝑤𝑙] – 0 
Restrição de responsabilidade: 𝑤ℎ ≥ 0; 𝑤𝑙 ≥ 0 
Resolvendo pela restrição de compartilhamento de incentivos: 
[0,4√𝑤ℎ − 0,4√𝑤𝑙] = 4 
0,4(√𝑤ℎ − √𝑤𝑙) = 4 
(√𝑤ℎ − √𝑤𝑙) = 
4
0,4
→ √𝑤ℎ = √𝑤𝑙 + 10 
Substituindo na restrição de participação: 
[0,8(√𝑤𝑙 + 10) + 0,2(√𝑤𝑙)] − 4 ≥ 1 
√𝑤𝑙 + 8 ≥ 5 → √𝑤𝑙 ≥ −3 
É um resultado não factível tendo em vista a restrição de responsabilidade. Dessa forma a questão é 
falsa sendo os salários representados por: (wh; wl) = (100, 0). 
 
c) O custo, para o principal, de induzir o vendedor a esforçar-se mais é 90. 
Custo: 0,8wh + 0,2wl = 0,8.100 + 0,2.0 = 80. 
Logo o item é falso. 
 
d) A receita total esperada correspondente à ação de maior esforço do vendedor é maior que a 
correspondente à ação de menor esforço. 
Receita esperada para esforço alto: 0,8.100 + 0,2.50 = 90 
Receita esperada para esforço baixo: 0,4.100 + 0,6.50 = 70 
 
Logo, o item é verdadeiro. 
 
e) Os lucros do principal são menores quando o vendedor trabalha menos. 
Lucro quando induz o trabalhador a se esforçar mais: 0,8(100 – 100) + 0,2(50 – 0) = 10 
Lucro quando induz o trabalhador a se esforçar menos: 0,4(100 – 1) + 0,6(50 – 1) = 68 
 
O item é falso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trata-se de um problema entre agente e principal. Um contrato de aluguel, em que se estabelece uma 
quantia fixa a ser paga pelo agente ao principal pela utilização de um fator de produção. 
A função de produção é dada por: 
𝑦 = 8√𝑥 
Em que x é a quantidade de esforço do agente na produção. 
O preço do produto é 1. 
O agente tem um custo de c(x) = 0,25x² em caso de muito esforço. 
O aluguel é dado por r. 
O excedente do agente é dado por s = y – r; e a utilidade em função do excedente e do esforço: 
𝑢𝑎 = 𝑢(𝑠; 𝑥) = 𝑠 − 𝑐(𝑥) 
Se o principal busca maximizar os lucros: L = y – s 
Considerando que há restrição de participação e participação de incentivo. 
Resolve-se entendendo que, no aluguel, o agente é quem assume o risco. Tem de fazer o fator de 
produção ser produtivo para pagar o aluguel e ainda ter um excedente para si. Logo o esforço é 
máximo (x* máximo). 
O principal, então, não precisa se preocupar com as restrições de participação e incentivo, pois 
percebe que o aluguel independe do esforço (x). 
Logo, a resolução se restringe à maximizar a utilidade do agente e determinar um valor x* para o 
esforço ótimo que resulte em um r* para um valor de aluguel ótimo. Dessa forma: 
𝑚𝑎𝑥𝑥 𝑢(𝑠; 𝑥) = 𝑠 − 𝑐(𝑥) = (𝑦 − 𝑟) − 𝑐(𝑥) 
𝑚𝑎𝑥𝑥8√𝑥 − 𝑟 − 0,25𝑥² 
Tendo por condição de primeira ordem: 
4. 𝑥−0,5 − 0,5𝑥 = 0 → 𝑥 ∗= 4 
Assim, o principal estabelece um valor ótimo de aluguel visando extrair o máximo do excedente do 
agente, isto é, o menor valor em que u = 0. 
8√𝑥 − 𝑟 − 0,25𝑥2 ≥ 0 
8.2 − 𝑟 − 4 → 𝑟 ∗= 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trata-se de um problema de Agente-Principal 
O valor da empresa é v´ = 10 com probabilidade de 𝜋(𝑒) e v = 4 com probabilidade de 1 − 𝜋(𝑒), 
sendo “e” o nível de esforço do agente, em que: e = 0 (baixo esforço); e = 1 (alto esforço). Se o 
esforço é baixo, 𝜋(0) = 0,25; se o esforço é alto 𝜋(1) = 0,75. 
O custo de se esforçar é de 1 para o alto esforço e 0 para o baixo esforço, e a utilidade de uma atividade 
alternativa pelo agente é de 0. 
O salário é condicionado ao valor da empresa de maneira que, se v = 4 o salário é w, e se v = 10 o 
salário é w´. 
Se a empresa busca induzir o agente à se esforçar muito, para maximizar o lucro esperado tem-se que 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜: 𝜋(1)(𝑣´ − 𝑤´) + 𝜋(0)(𝑣 − 𝑤) 
𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜: max [ 𝜋(1)(𝑣´ − 𝑤´) + [(1 − 𝜋(1)(𝑣 − 𝑤)] 
As restrições 
0,75𝑤´ + 0,25𝑤 − 1 ≥ 0 
0,75𝑤´ + 0,25𝑤 − 1 ≥ 0,25𝑤´ + 0,75𝑤 − 0 
(𝑤´; 𝑤) ≥ (0; 0) 
Resolvendo pela restrição de compartilhamento de incentivos 
0,5𝑤´ = 0,5𝑤 + 1 → 𝑤´ = 𝑤 + 2 
Substituindo na restrição de participação 
0,75(𝑤 + 2) + 0,25𝑤 − 1 ≥ 0 
0,75𝑤 + 1,5 + 0,25𝑤 = 1 
𝑤 = −0,5 
𝑤 = 0 (𝑛ã𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒) 
Substituindo, 
𝑤´ = 0 + 2 = 2 
Substituindo na função objetivo: 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 ∗ = 0,75(10 − 2) + [(0,25(4 − 0)] = 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. Bem Público: 
 
Cidade com 1000 habitantes: n = 1000. 
Bem privado: cerveja = xi 
Preço de xi = 1 
Bem publico: praça (tamanho G). 
Preço m² G = 100 
Todos os i habitantes possuem a mesma função utilidade dada por 𝑢(𝑥; 𝐺) = 𝑥𝑖 − 
10
𝐺
 
Qual é o valor de G (tamanho da praça) que é pareto eficiente? E dividir o resultado por 10. 
O problema se trata de 
𝑚𝑎𝑥𝑢(𝑥; 𝐺) = 𝑥𝑖 − 
10
𝐺
 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 à 𝑥𝑖 + 100𝐺 − 𝑌 
Para 1000 pessoas. 
𝐿 = 𝑥𝑖 − 100 − 𝜆(𝑥𝑖 + 100𝐺 − 𝑌) 
𝐶𝑃𝑂: 
𝑑𝐿
𝑑𝑥𝑖
= 0; 1 − 𝜆 = 0 → 𝜆 = 1 
𝐶𝑃𝑂: 
𝑑𝐿
𝑑𝐺
= 0; 𝑛. (10𝐺−2) + 100𝜆 = 0 
1000. (
10
𝐺2
) = 100 → 100𝐺2 = 10000 → 𝐺 = 10 
Dividindo o resultado por 10, tem-se 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dois agentes e um bem público e um bem privado. 
Bem público (G) = g1 + g2, sendo g1 e g2 as contribuições dos agentes para o bem público. 
Utilidade dos agentes é dada por: 
𝑢1(𝐺; 𝑥1) = 3√𝐺 + 𝑥1 
𝑢2(𝐺; 𝑥2) = 5√𝐺 + 𝑥2 
Sendo x1 e x2 os consumos privados de cada agente. 
A questão é encontrar o G* ótimo, ou a quantidade de bem público pareto eficiente. 
O problema de maximização é dado por: 
𝑢1(𝐺; 𝑥1) 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 à 
𝑢2(𝐺; 𝑥2) = 𝑢2∗ ; 𝑒; 𝑥1 + 𝑥2 + 𝐺 = 𝑤1 + 𝑤2 
Sendo w1 e w2 as dotações iniciais, ou a renda dos agentes 1 e 2 respectivamente. 
O lagrangeano é dado por: 
𝐿 = 𝑢1(𝐺; 𝑥1) − 𝜆[𝑢2(𝐺; 𝑥2) − 𝑢2∗] − 𝜇(𝑥1 + 𝑥2 + 𝐺 − 𝑤1 − 𝑤2) 
𝐿 = 3√𝐺 + 𝑥1 − 𝜆[5√𝐺 + 𝑥2 − �̅�2∗] − 𝜇(𝑥1 + 𝑥2 + 𝐺 − 𝑤1 − 𝑤2) 
Sendo �̅�2∗ a restrição dada pelo agente 2. 
𝐶𝑃𝑂: 
𝑑𝐿
𝑑𝑥1
= 0; 1 − 𝜇 = 0 → 𝜇 = 1 
𝐶𝑃𝑂: 
𝑑𝐿
𝑑𝑥2
= 0; −𝜆 − 𝜇 = 0 → 𝜆 = −1 
𝐶𝑃𝑂: 
𝑑𝐿
𝑑𝐺
= 0; 
3
2
1
√𝐺
− 𝜆
5
2√𝐺
− 𝜇 = 0 
Para encontrar o G*: 
𝑇𝑚𝑔𝑆1 + 𝑇𝑚𝑔𝑆2 = 𝐶𝑚𝑔 
3
2
1
√𝐺
−𝜆
5
2√𝐺
= 1 →
8
2√𝐺
= 1 → √𝐺 = 4 → 𝐺∗ = 16. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo a função utilidade dada por: 
𝑢𝑖(𝑦; 𝑥𝑖) = ln(𝑦) + 0,5𝑥𝑖 
E que y = ln(g1 + g2) -> é o bem público, sendo g1 e g2 as contribuições de cada agente. 
São dois agentes que possuem dotação inicial w1 e w2 igual a dois (2). 
Qual a quantidade eficiente do bem público? 
Maximizar a solução para um nível socialmente ótimo: 
𝑚𝑎𝑥𝑙𝑛(𝑦) + 0,5𝑥1 𝑆𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 à 
𝑢2(𝑦; 𝑥2) = ln(𝑦) + 0,5𝑥2 ≥ �̅�2 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦 = 𝑤1 + 𝑤2 
Isto é, restrito à função utilidade do individuo 2, de tal forma que seja maior ou igual a uma dada 
utilidade �̅�2, e ao custo de consumir os bens privados mais a contribuição com a provisão do bem 
publico, não podendo este, exceder as dotações iniciais. 
Resolvendo o problema de maximização sob essas restrições: 
𝐿 = [ln(𝑦) + 0,5𝑥1] − 𝜆[ln(𝑦) + 0,5𝑥2 − �̅�2] − 𝜇[(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦 − (𝑤1 + 𝑤2)] 
Sendo w1 = 2 e w2 = 2; w1 + w2 = 4. 
𝐶𝑃𝑂: 
𝑑𝐿
𝑑𝑥1
= 0; 0,5 − 𝜇 = 0 → 0,5 = 𝜇 
𝐶𝑃𝑂: 
𝑑𝐿
𝑑𝑥2
= 0; −0,5𝜆 − 𝜇 = 0 → −1 = 𝜆 
𝐶𝑃𝑂: 
𝑑𝐿
𝑑𝑦
= 0; 
1
𝑦
− 
𝜆
𝑦
− 𝜇 = 0 
Logo: 
1
𝑦
− 
𝜆
𝑦
− 0,5 = 0 → 0,5 = 
2
𝑦
→ 𝑦∗ = 
2
0,5
= 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. Recurso Comum. 
Recurso comum: mina de ouro. 
Preço do grama do ouro = 1 
Quantidade de ouro que é produzida expressa uma função do número de trabalhadores 
𝑞 = 40𝑛 − 2𝑛² 
Custo individual: 12n 
Livre entrada. 
Qual a diferença entre o numero efetivo e ótimo de garimpeiros? 
Em problemas de recurso comum, para o número ótimo, deve-se resolver como um planejador central 
ou monopolista (único proprietário). 
A solução para ótimo neste caso é: 
L = p.q – ct = r – ct 
𝐿 = 1. (40𝑛 − 2𝑛2) − 12𝑛 
𝐿 = −2𝑛2 + 28𝑛 
𝑃𝑎𝑟𝑎 ó𝑡𝑖𝑚𝑜: 𝑅𝑚𝑔 = 𝐶𝑚𝑔 
𝐶𝑃𝑂: 
𝑑𝐿
𝑑𝑛
= 0; −4𝑛 + 28 = 0; 𝑛∗ = 7 
Este é o número ótimo de garimpeiros. 
Entretanto, como o acesso é livre, sem um planejador central ou um único proprietário, cada 
trabalhador olha apenas a sua própria perspectiva, entrando até que 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
𝐶𝑚𝑔 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎. 
Se todos pensam iguais, haverá entrada até o lucro ser igual a zero, ou o ponto em que a Receita 
média = Cmg. 
𝐿 = 1. (40𝑛 − 2𝑛2) − 12𝑛 = 0 
40𝑛 − 2𝑛2 − 12𝑛 = 0 
28𝑛 = 2𝑛2 
𝑛 = 14 
Este é o numero efetivo de garimpeiros, sendo então a diferença dada por: 14-7=7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área para exploração de madeira com livre acesso. 
Preço do m³ da madeira = 1. 
Função de produção da madeira: 𝑓(𝑛) = 40𝑛 − 2𝑛² ; sendo n o numero de madeireiros. 
O custo unitário é de 4n. 
A questão é a diferença entre o número efetivo e o número ótimo de madeireiros. 
Resolve-se pelas duas situações: com um planejador central/único dono e por acesso livre (cada um 
pensando em si). 
Logo, para o primeiro caso tem-se que maximizar o excedente, isto é, o valor da madeira dado pela 
receita [1(40n – 2n²)], e o custo de extração ser 4n. 
A maximização ocorre quando a Rmg = Cmg. 
𝐶𝑃𝑂: 
𝑑𝐿
𝑑𝑛
= 0 → 40 − 4𝑛 = 4; 𝑛∗ = 9. 
Este é o número ótimo. 
O numero efetivo é dado quando a Rmédia iguala ao Custo marginal, isto é: 
40𝑛 − 2𝑛2
𝑛
= 4 → 40 − 2𝑛 = 4 → 𝑛 = 18. 
Logo, a diferença é de: 18 – 9 = 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV. Externalidades: 
Sendo 𝑈𝑎(𝑓; 𝑚𝑎) = 
4
3
√𝑓 + 𝑚𝑎; 𝑈𝑏 (𝑓; 𝑚𝑏) = ln(1 − 𝑓) + 𝑚𝑏, em que f é a poluição gerada pelo 
consumo de cigarro por A (entre 0 e 1) e m representa o gasto do indivíduo i com aquisição de outros 
bens (i = A ou B). 
O indivíduo B tem direito ao ar puro e há um mercado para que possa abrir mão e vender, pelo preço 
p, ao indivíduo A. 
No equilíbrio, A paga X unidades ao indivíduo B. 
Precisa achar quanto é 36X. 
Primeiro passo para a solução é armar de que forma os indivíduos lidam com a situação. 
Sendo o individuo A aquele que polui, e que deseja comprar o direito de poluir, 
Tem-se que: 
𝐼𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜 𝐴 𝑚𝑎𝑥𝑓 (
4
3
√𝑓 − 𝒑𝒇 + 𝑚𝑎) 
A condição de primeira ordem: 
𝜕𝑢𝑎
𝜕𝑓
= 
4
3
1
2
𝑓−
1
2 − 𝑝 = 0 → 𝑝 = 
4
6√𝑓
 
O individuo B se situa na seguinte condição: 
𝐵𝑚𝑎𝑥𝑓(ln(1 − 𝑓) + 𝑝𝑓 + 𝑚𝑏 
A condição de primeira ordem: 
𝜕𝑢𝑏
𝜕𝑓
= −
1
1 − 𝑓
+ 𝑝 = 0 → 𝑝 = 
1
1 − 𝑓
 
Deve-se substituir p em algumas das condições de primeira ordem por ser o fator comum. 
Substituindo na condição de primeira ordem do individuo A, tem-se que: 
4
6√𝑓
=
1
1 − 𝑓
= 0 
Resolvendo: 
(
2
3√𝑓
)2 = (
1
1 − 𝑓
)2 = 0 → 𝑓2 − 
17
4
𝑓 + 1 = 0 
𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓 = 0,25 𝑜𝑢 𝑓 = 4 
Se f está entre 0 e 1, logo f = 0,25. 
Portanto, o indivíduo A tem de pagar ao indivíduo B 
𝑋 = 𝑝𝑓 = (
1
1 − 𝑓
) 𝑓 = (
1
1 −
1
4
)
1
4
= 
1
3
 
Logo, 
36. 𝑋 = 36𝑥
1
3
= 12 
 
 
 
Duas firmas (1 e 2), produzem o mesmo bem com as seguintes funções custo 
Firma 1: c1(x1) = 0,5x1² / Firma 2: c2(x2) = 0,5x2² 
A firma 1 é a emissora da externalidade negativa sobre a firma 2, que tem a seguinte função lucro: 
L2 = p2x2 – c2(x2) – e(x1); 
Sendo e(x1) = 0,5x1² -> externalidade negativa da firma 1 sobre a firma 2. 
O preço do produto produzido é igual a 1. 
A diferença entre a solução privada e socialmente ótima na produção de bens da firma um, emissora 
da externalidade é dada reescrevendo a função lucro: 
L2 = p2x2 – c2(x2) – e(x1) -> x2 – 0,5x2² - 0,5x1² 
A solução privada com a firma 1 não considerando a externalidade é: 
maxL1 em termos de x1 = p1x1 – 0,5x1² 
 
Com condição de primeira ordem dada por: p1 –x1 = 0 -> p1 = x1. 
Sendo p1 = 1 -> x1 = 1 
 
A solução socialmente ótimo leva em consideração o lucro em conjunto das firmas, assim como seus 
custos totais, incluindo a externalidade (é uma solução que internaliza a externalidade). 
Max(L1 + L2) em termos de x1 = p1x1 – 0,5x1² + p2x2 – 0,5x1² - 0,5x2² 
Condição de primeira ordem: p1 – x1 – x1 = 0 -> p1 – 2x1 = 0 
Sendo p = 1, x1 = 0,5. 
A solução privada é dada por 1 
A solução socialmente ótima é dada por 0,5. 
Logo, a resposta é 0,5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando dois agentes com o salário de 100, e que A emite externalidade negativa para B. 
Ambos compartem 8 horas de convivência que é dividido entre horas de estudos e horas tocando 
bateria para o agente A, e horas de estudos e horas de silêncio/meditação, para o agente B. 
As funções utilidades são: 
𝑢𝑎(𝑥1
𝑎; 𝑥2
𝑎) = 𝑥1
𝑎 + 𝑙𝑛𝑥2
𝑎 
𝑢𝑏(𝑥1
𝑏; 𝑥2
𝑏) = 𝑥1
𝑏 + √𝑥2
𝑏 
Sendo x1 a dotação inicial de cada agente (a) e (b), e 𝑥2
𝑎 as horas de estudos, e 𝑥2
𝑏 as horas de silêncio, 
em que ambos estudam, mas há diferenças quanto ao silencio (e daí a externalidade). 
 
O preço de 1 é 1, e o preço de 2 é P. 
 
a) Na ausência de custos de transação, a quantidade de barulho gerada neste caso não depende 
da forma como se define os direitos de propriedade, desde que estes sejam claramente 
estabelecidos 
O teorema de Coase estabelece que na ausência de custos de transação, sendo os direitos de 
propriedade bem definidos, os agentes negociam até o equilíbrio eficiente. A alocação interior 
eficiente em termos da renda e do tempo de silêncio e estudo é dada pela igualdade entre as taxas 
marginais de substituição dos agentes A e B, de maneira que: 
𝑇𝑚𝑆𝑎 = 
𝑑𝑢𝑎
𝑑𝑥1
𝑎
𝑑𝑢𝑎
𝑥2
𝑎
= 
1
1
𝑥2
𝑎
= 𝑥2
𝑎 
𝑇𝑚𝑆𝑏 = 
𝑑𝑢𝑏
𝑑𝑥1
𝑏
𝑑𝑢𝑏
𝑥2
𝑏
= 
1
1
2√𝑥2
𝑏
= 2√𝑥2
𝑏 
Organizando as restrições, tem-se que: 
Restrição (1): 𝑇𝑚𝑆𝑎 = 𝑇𝑚𝑆𝑏 → 𝑥2
𝑎 = 2√𝑥2
𝑏 
Restrição (2): 𝑥2
𝑎 + 𝑥2
𝑏 = 8 
Resolvendo em 𝑥2
𝑎 = 8 − 𝑥2
𝑏 
8 − 𝑥2
𝑏 = 2√𝑥2
𝑏 → 64 − 16𝑥2
𝑏 + (𝑥2
𝑏)
2
= 4𝑥2
𝑏 
𝑥2
𝑏 = 
20−
+√400 − 256
2
→ 16; 4. 
16 excede a restrição, logo, 𝑥2
𝑏 = 4. 
Substituindo, 
𝑥2
𝑏 + 𝑥2
𝑎 = 8 → 4 + 𝑥2
𝑎 = 8 → 𝑥2
𝑎 = 4 = 𝑥2
𝑏 
 
 
 
 
 
b) Coase afirma que, nas mesmas condições listadas noitem anterior, A e B terão a mesma 
utilidade caso seja proibido ou permitido tocar bateria 
Pelas taxas marginais de substituição, sem silêncio, A venderia silencio ao B (aumenta a renda de A). 
Com silencio, A compra o direito ao barulho (redução da renda de A). A tem mais utilidade quando 
o direito é o barulho. B tem mais utilidade quando o direito é o silêncio. 
Logo, o item é falso. 
 
c) O preço P de equilíbrio geral nessa situação será unitário 
Pelo primeiro teorema do bem estar, o equilíbrio geral é a solução eficiente dada pela igualdade entre 
a taxa marginal de substituição e a razão de preços. 
Se p1 = 1, tem-se que: 
𝑇𝑀𝑆𝑎 = 𝑇𝑀𝑆𝑏 → 𝑇𝑀𝑆 = 
𝑝1
𝑝2
→ 
1
𝑝2
= 4 → 𝑝2 = 0,25. 
Logo, não é unitário. O item é falso. 
 
d) Caso B detenha o direito ao silêncio, ele venderá por uma unidade monetária quatro horas de 
silêncio para A. 
No equilíbrio: 𝑥2
𝑏 = 𝑥2
𝑎 = 4. 
Se p2 = 0,25, tem-se que; 4 x 0,25 = 1 unidade monetária. 
Verdadeiro. 
 
e) Caso A detenha o direito a fazer barulho, a demanda por silêncio de B é expressa por 
 𝑥2
𝑏 = 
1
4𝑃²
 
A condição de equilíbrio é tal que: 
𝑇𝑀𝑆𝑏 = 
𝑝1
𝑝2
 
Sendo 𝑥2
𝑏 = 2√𝑥2
𝑏 , logo 
2√𝑥2
𝑏 = 
1
𝑝2
→ 4𝑥2
𝑏 = 
1²
(𝑝2)²
→ 𝑥2
𝑏 = 
1
4(𝑝2)²
 
Verdadeiro.