aula9-2009

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Aprendizagem em Física 
Aula 9 - 05 de maio de 2009
Movimentos em mais de uma dimensão
Referência:
Arons – cap. 4
Vetores
- muitas (a maior parte?) das grandezas utilizadas em física, e em 
particular na física básica, são vetoriais;
- o conceito de vetor, portanto, é um dos conceitos básicos no ensino;
- no entanto, a experiência dos professores relata dificuldades de 
aprendizagem.
Arons:
vetores em geral são associados a deslocamentos; a adição de vetores é
apresentada como a adição (sequência) de deslocamentos, ou 
deslocamentos sucessivos
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Vetores
- problema: a subtração de vetores
sugestão: deslocamento invertido de forma a reverter à posição 
original – em outras palavras, gerar o inverso da adição, a partir do 
elemento neutro da adição, o vetor nulo
- problema: a transição (sem distinção) entre diferentes grandezas 
vetoriais (deslocamento, posição, velocidade, força, ...)
sugestão: discussão cuidadosa a cada novo tipo de grandeza vetorial 
encontrada
- problema: multiplicação de vetor por escalar
sugestão: cuidado, explorando escalares maiores e menores que 1,
repetindo exemplos, fazendo casos em que o escalar é negativo
- problema: a “mobilidade” dos vetores
(acarreta problemas conceituais posteriormente; exemplo: construção 
do hodógrafo no movimento circular)
Expectativa: uso de materiais fortemente apoiados em ferramentas de 
visualização e interatividade (computadores, internet) 
Definindo vetores
- talvez não seja necessária nenhuma definição mais elaborada além de 
“algo que possui módulo, direção e sentido”
- se esta for a opção, porém, surgem problemas conceituais (por exemplo, 
definição de grandezas angulares – rotações finitas e infinitesimais, 
velocidade angular como vetor, ...)
- a utilização de pares ordenados para caracterização de vetores permite 
uma conexão com a noção de coordenadas cartesianas
- definição matemática de vetores: elemento de um espaço vetorial, 
operação de adição fechada e com propriedades, operação de 
multiplicação por escalar fechada e com propriedades, etc
- definição de vetor: objeto que se comporta de uma maneira pré-
determinada sob rotações de eixos cartesianos (distinção entre vetores e 
pseudo-vetores, questões do produto vetorial)
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Componentes de vetores
- o conceito que permite operar com vetores – o de coordenadas 
(cartesianas, inicialmente) parece tão simples e óbvio que as dificuldades 
não são percebidas pelos professores
• componentes de vetores possuem sinal, ao contrário de módulos, e 
exigem a apresentação clara dos eixos envolvidos
• projetar um vetor não é uma operação óbvia, e antes de se trabalhar 
com formulações trigonométricas é necessário concretizá-la (visual, 
experimentalmente) 
• as dificuldades com a trigonometria devem ser abordadas 
cuidadosamente
g
r
y z
ga
ga
z
y
+=
−=
Galileu e o movimento de projéteis
Nas páginas anteriores, discutimos as propriedades do movimento 
uniforme e do movimento naturalmente acelerado. (...) Eu agora 
proponho demonstrar as propriedades que pertencem a um corpo cujo 
movimento é composto de dois outros movimentos, especificamente, um 
uniforme e outro naturalmente acelerado. (...) Este é o tipo de movimento 
visto num projétil movendo-se; sua origem eu concebo como sendo: 
Imagine qualquer partícula projetada ao longo de um plano horizontal sem 
atrito. (...) Esta partícula vai se mover ao longo deste plano com um 
movimento que é uniforme e perpétuo, desde que o plano não tenha 
limites. Mas se o plano tiver limites e for elevado, então a partícula em 
movimento, que imaginamos ser pesada, irá, ao passar pela borda do 
plano, adquirir, além de seu movimento prévio e perpétuo, uma 
propensidade para baixo, devida a seu próprio peso. de forma que o 
movimento resultante (...) é composto de um que é uniforme e horizontal e 
outro que é vertical e naturalmente acelerado.
primeira colocação clara da independência (Arons: superposição) dos 
movimentos
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para a compreensão do movimento de projéteis:
- indicar vetores que representam a força em todos os pontos da trajetória
- indicar vetores que representam a aceleração em todos os pontos da 
trajetória
- indicar vetores que representam as componentes da velocidade em cada 
ponto da trajetória
- indicar vetores que representam a velocidade em cada ponto da trajetória
deve-se fazer o mesmo para outros problemas (por exemplo: pêndulo com o 
fio que se rompe, objeto lançado do final de uma rampa ou superfície, etc.)
Duas novas ciências:
A força das demonstrações rígidas, como as que aparecem apenas na 
matemática, enchem-me de maravilha e deleite. A partir de relatos de 
atiradores, eu já sabia que no uso de canhões e morteiros o alcance 
máximo (...) é obtido quando o ângulo de elevação é 45º. (...) mas 
entender porque isso ocorre ultrapassa muito a mera informação obtida 
através do testemunho de outros, ou mesmo por experimentos repetidos.
- questões epistemológicas e filosóficas
- o sentido do porque em ciência
- ...
a demonstração matemática da independência dos 
movimentos:
- vetores unitários, bases, etc – numa linguagem 
de ensino médio...
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Pensamento e raciocínio fenomenológico
Voltamos à discussão anterior (capítulo 3, aula 5): trabalhar com problemas 
em dinâmica em geral envolve um tipo de pensamento e raciocínio 
fenomenológico (= baseado na análise dos fenômenos observados!) não 
trivial e que precisa ser desenvolvido
Movimentos rotacionais e vetores
aplicativo: movimento em duas dimensões
problemas: vetores
conceito de velocidade (taxa de variação)
conceito de aceleração (taxa de variação da velocidade)
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QUESTÕES PARA DISCUSSÃO
- força centrípeta
- resultante das forças em movimentos circulares (ou curvilíneos)
- aplicação: pêndulo, loop (montanha russa)
- sistemas de referência e forças de inércia
- torque de uma força