ÁLGEBRA LINEAR - APRESENTAÇÃO

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Operadores Auto-Adjuntos (ou Simétricos)
M. Elizabete Gildisnara Tatiane J. Rufino
Álgebra Linear II
Licenciatua em Matemática
15 de fevereiro de 2022
M. Elizabete, Gildisnara Tatiane, J. Rufino Operadores Auto-Adjuntos (ou Simétricos) 1
Conteúdo programado
A Adjunta (relembrar)
Definição
Algumas propriedades
Operadores Auto-Adjuntos
Definição
Demonstração de alguns Teoremas
Resolução de questões
M. Elizabete, Gildisnara Tatiane, J. Rufino Operadores Auto-Adjuntos (ou Simétricos) 2
Bibliografia I
AXLER, Sheldon. Linear algebra done right, Editora Springer, New
York, 2015.
BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear, Editora Harbra-Harper
Row do Brasil, São Paulo, 1984.
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A Adjunta
Definição
Suponha que T ∈ L(V ,W ). A adjunta de T é a transformação linear
T ∗ : W → V tal que
〈Tv ,w〉 = 〈v ,T ∗w〉
para todo v ∈ V a todo w ∈ W .
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A Adjunta
Exemplo: Seja T : R3 → R2 definida por
T (x1, x2, x3) = (x2 + 3x3, 2x1).
Encontre uma fórmula para T ∗.
Solução: T ∗ vai ser um transformação de R2 em R3. Para calcular T ∗,
fixamos um ponto (y1, y2) ∈ R2. Assim, para cada (x1, x2, x3) ∈ R3 tem-se
〈(x1, x2, x3),T ∗(y1, y2)〉 = 〈T (x1, x2, x3), (y1, y2)〉
= 〈(x2 + 3x3, 2x1), (y1, y2)〉
= x2y1 + 3x3y1 + 2x1y2
= 〈(x1, x2, x3), (2y2, y1, 3y1)〉
Logo,
T ∗(y1, y2) = (2y2, y1, 3y1)
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A Adjunta
Exemplo: Seja T : R3 → R2 definida por
T (x1, x2, x3) = (x2 + 3x3, 2x1).
Encontre uma fórmula para T ∗.
Solução: T ∗ vai ser um transformação de R2 em R3. Para calcular T ∗,
fixamos um ponto (y1, y2) ∈ R2. Assim, para cada (x1, x2, x3) ∈ R3 tem-se
〈(x1, x2, x3),T ∗(y1, y2)〉 = 〈T (x1, x2, x3), (y1, y2)〉
= 〈(x2 + 3x3, 2x1), (y1, y2)〉
= x2y1 + 3x3y1 + 2x1y2
= 〈(x1, x2, x3), (2y2, y1, 3y1)〉
Logo,
T ∗(y1, y2) = (2y2, y1, 3y1)
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A Adjunta
Exemplo: Seja T : R3 → R2 definida por
T (x1, x2, x3) = (x2 + 3x3, 2x1).
Encontre uma fórmula para T ∗.
Solução: T ∗ vai ser um transformação de R2 em R3. Para calcular T ∗,
fixamos um ponto (y1, y2) ∈ R2. Assim, para cada (x1, x2, x3) ∈ R3 tem-se
〈(x1, x2, x3),T ∗(y1, y2)〉 = 〈T (x1, x2, x3), (y1, y2)〉
= 〈(x2 + 3x3, 2x1), (y1, y2)〉
= x2y1 + 3x3y1 + 2x1y2
= 〈(x1, x2, x3), (2y2, y1, 3y1)〉
Logo,
T ∗(y1, y2) = (2y2, y1, 3y1)
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A Adjunta
Exemplo: Seja T : R3 → R2 definida por
T (x1, x2, x3) = (x2 + 3x3, 2x1).
Encontre uma fórmula para T ∗.
Solução: T ∗ vai ser um transformação de R2 em R3. Para calcular T ∗,
fixamos um ponto (y1, y2) ∈ R2. Assim, para cada (x1, x2, x3) ∈ R3 tem-se
〈(x1, x2, x3),T ∗(y1, y2)〉 = 〈T (x1, x2, x3), (y1, y2)〉
= 〈(x2 + 3x3, 2x1), (y1, y2)〉
= x2y1 + 3x3y1 + 2x1y2
= 〈(x1, x2, x3), (2y2, y1, 3y1)〉
Logo,
T ∗(y1, y2) = (2y2, y1, 3y1)
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A Adjunta
Exemplo: Seja T : R3 → R2 definida por
T (x1, x2, x3) = (x2 + 3x3, 2x1).
Encontre uma fórmula para T ∗.
Solução: T ∗ vai ser um transformação de R2 em R3. Para calcular T ∗,
fixamos um ponto (y1, y2) ∈ R2. Assim, para cada (x1, x2, x3) ∈ R3 tem-se
〈(x1, x2, x3),T ∗(y1, y2)〉 = 〈T (x1, x2, x3), (y1, y2)〉
= 〈(x2 + 3x3, 2x1), (y1, y2)〉
= x2y1 + 3x3y1 + 2x1y2
= 〈(x1, x2, x3), (2y2, y1, 3y1)〉
Logo,
T ∗(y1, y2) = (2y2, y1, 3y1)
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A Adjunta
Exemplo: Seja T : R3 → R2 definida por
T (x1, x2, x3) = (x2 + 3x3, 2x1).
Encontre uma fórmula para T ∗.
Solução: T ∗ vai ser um transformação de R2 em R3. Para calcular T ∗,
fixamos um ponto (y1, y2) ∈ R2. Assim, para cada (x1, x2, x3) ∈ R3 tem-se
〈(x1, x2, x3),T ∗(y1, y2)〉 = 〈T (x1, x2, x3), (y1, y2)〉
= 〈(x2 + 3x3, 2x1), (y1, y2)〉
= x2y1 + 3x3y1 + 2x1y2
= 〈(x1, x2, x3), (2y2, y1, 3y1)〉
Logo,
T ∗(y1, y2) = (2y2, y1, 3y1)
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A Adjunta
Exemplo: Seja T : R3 → R2 definida por
T (x1, x2, x3) = (x2 + 3x3, 2x1).
Encontre uma fórmula para T ∗.
Solução: T ∗ vai ser um transformação de R2 em R3. Para calcular T ∗,
fixamos um ponto (y1, y2) ∈ R2. Assim, para cada (x1, x2, x3) ∈ R3 tem-se
〈(x1, x2, x3),T ∗(y1, y2)〉 = 〈T (x1, x2, x3), (y1, y2)〉
= 〈(x2 + 3x3, 2x1), (y1, y2)〉
= x2y1 + 3x3y1 + 2x1y2
= 〈(x1, x2, x3), (2y2, y1, 3y1)〉
Logo,
T ∗(y1, y2) = (2y2, y1, 3y1)
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A Adjunta
Exemplo: Seja T : R3 → R2 definida por
T (x1, x2, x3) = (x2 + 3x3, 2x1).
Encontre uma fórmula para T ∗.
Solução: T ∗ vai ser um transformação de R2 em R3. Para calcular T ∗,
fixamos um ponto (y1, y2) ∈ R2. Assim, para cada (x1, x2, x3) ∈ R3 tem-se
〈(x1, x2, x3),T ∗(y1, y2)〉 = 〈T (x1, x2, x3), (y1, y2)〉
= 〈(x2 + 3x3, 2x1), (y1, y2)〉
= x2y1 + 3x3y1 + 2x1y2
= 〈(x1, x2, x3), (2y2, y1, 3y1)〉
Logo,
T ∗(y1, y2) = (2y2, y1, 3y1)
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A adjunta
Algumas propriedades:
(S + T )∗ = S∗ + T ∗ para todo S,T ∈ L(V ,W );
(λT )∗ = λ̄T ∗ para todo λ ∈ K ;
(T ∗)∗ = T para todo T ∈ L(V ,W ).
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Operadores Auto-Adjuntos
Definição
Um operador T ∈ L(V ) é chamado de auto-adjunto se T = T ∗. Em
outros termos, T ∈ L(V ) é auto-adjunto se, e somente se
〈Tv ,w〉 = 〈v ,Tw〉
para todo v ,w ∈ V .
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Operadores Auto-Adjuntos
Exemplo:
Suponha que T é um operador em K2, em que sua matriz é(
2 b
3 7
)
.
Encontre todos os números b tais que T é auto-adjunta.
Solução:
O operador T é auto-adjunto se e somente se b = 3, pois
M(T ) = M(T ∗).
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Operadores Auto-Adjuntos
Exemplo:
Suponha que T é um operador em K2, em que sua matriz é(
2 b
3 7
)
.
Encontre todos os números b tais que T é auto-adjunta.
Solução:
O operador T é auto-adjunto se e somente se b = 3, pois
M(T ) = M(T ∗).
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Operadores Auto-Adjuntos
Exemplo:
Suponha que T é um operador em K2, em que sua matriz é(
2 b
3 7
)
.
Encontre todos os números b tais que T é auto-adjunta.
Solução:
O operador T é auto-adjunto se e somente se b = 3, pois
M(T ) = M(T ∗).
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Operadores Auto-Adjuntos
Soma de dois operadores auto-adjuntos e o produto de um escalar, real,
por um operador auto-adjunto.
Se A,B ∈ L(V ) são operadores auto-adjuntos e α ∈ R, então:
(A + B)∗ = A∗ + B∗ = A + B
(αA)∗ = αA∗ = αA
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Operadores Auto-Adjuntos
Soma de dois operadores auto-adjuntos e o produto de um escalar, real,
por um operador auto-adjunto.
Se A,B ∈ L(V ) são operadores auto-adjuntos e α ∈ R, então:
(A + B)∗ = A∗ + B∗ = A + B
(αA)∗ = αA∗ = αA
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Operadores Auto-Adjuntos
Soma de dois operadores auto-adjuntos e o produto de um escalar, real,
por um operador auto-adjunto.
Se A,B ∈ L(V ) são operadores auto-adjuntos e α ∈ R, então:
(A + B)∗ = A∗ + B∗ = A + B
(αA)∗ = αA∗ = αA
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Operadores Auto-Adjuntos
Soma de dois operadores auto-adjuntos e o produto de um escalar, real,
por um operador auto-adjunto.
Se A,B ∈ L(V ) são operadores auto-adjuntos e α ∈ R, então:
(A + B)∗ = A∗ + B∗ = A + B
(αA)∗ = αA∗ = αA
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Operadores Auto-Adjuntos
Soma de dois operadores auto-adjuntos e o produto de um escalar, real,
por um operador auto-adjunto.
Se A,B ∈ L(V ) são operadores auto-adjuntos e α ∈ R, então:
(A + B)∗ = A∗ + B∗ = A + B
(αA)∗ = αA∗ = αA
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Operadores Auto-Adjuntos
Soma de dois operadores auto-adjuntos e o produto de um escalar, real,
por um operador auto-adjunto.
Se A,B ∈ L(V ) são operadores auto-adjuntos e α ∈ R, então:
(A + B)∗ = A∗ + B∗ = A + B
(αA)∗ = αA∗ = αA
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Operadores Auto-Adjuntos
Soma de dois operadores auto-adjuntos e o produto de um escalar, real,
por um operador auto-adjunto.
Se A,B ∈ L(V ) são operadores auto-adjuntos e α ∈ R, então:
(A + B)∗ = A∗ + B∗ = A + B
(αA)∗ = αA∗ = αA
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Operadores Auto-Adjuntos
Soma de dois operadores auto-adjuntos e o produto de um escalar, real,
por um operador auto-adjunto.
Se A,B ∈ L(V ) são operadores auto-adjuntos e α ∈ R, então:
(A + B)∗ = A∗ + B∗ = A + B
(αA)∗ = αA∗ = αA
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Operadores Auto-Adjuntos
Proposição 1
Se T ∈ L(V ) é auto-adjunto, então os autovalores de T , caso existam,
são reais
Prova: Suponha que T é um operador auto-adjunto em V . Seja λ um
autovalor de T e v um vetor não nulo de V tal que Tv = λv . Então,
λ‖v‖2 = λ〈v , v〉= 〈λv , v〉 = 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉= λ̄〈v , v〉 =
= λ̄‖v‖2 ⇒ λ‖v‖2 = λ̄‖v‖2.
Ou seja,
λ = λ̄.
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Operadores Auto-Adjuntos
Proposição 1
Se T ∈ L(V ) é auto-adjunto, então os autovalores de T , caso existam,
são reais
Prova: Suponha que T é um operador auto-adjunto em V . Seja λ um
autovalor de T e v um vetor não nulo de V tal que Tv = λv . Então,
λ‖v‖2 = λ〈v , v〉= 〈λv , v〉 = 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉= λ̄〈v , v〉 =
= λ̄‖v‖2 ⇒ λ‖v‖2 = λ̄‖v‖2.
Ou seja,
λ = λ̄.
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Proposição 1
Se T ∈ L(V ) é auto-adjunto, então os autovalores de T , caso existam,
são reais
Prova: Suponha que T é um operador auto-adjunto em V . Seja λ um
autovalor de T e v um vetor não nulo de V tal que Tv = λv . Então,
λ‖v‖2 = λ〈v , v〉= 〈λv , v〉 = 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉= λ̄〈v , v〉 =
= λ̄‖v‖2 ⇒ λ‖v‖2 = λ̄‖v‖2.
Ou seja,
λ = λ̄.
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Proposição 1
Se T ∈ L(V ) é auto-adjunto, então os autovalores de T , caso existam,
são reais
Prova: Suponha que T é um operador auto-adjunto em V . Seja λ um
autovalor de T e v um vetor não nulo de V tal que Tv = λv . Então,
λ‖v‖2 = λ〈v , v〉= 〈λv , v〉 = 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉= λ̄〈v , v〉 =
= λ̄‖v‖2 ⇒ λ‖v‖2 = λ̄‖v‖2.
Ou seja,
λ = λ̄.
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Proposição 1
Se T ∈ L(V ) é auto-adjunto, então os autovalores de T , caso existam,
são reais
Prova: Suponha que T é um operador auto-adjunto em V . Seja λ um
autovalor de T e v um vetor não nulo de V tal que Tv = λv . Então,
λ‖v‖2 = λ〈v , v〉= 〈λv , v〉 = 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉= λ̄〈v , v〉 =
= λ̄‖v‖2 ⇒ λ‖v‖2 = λ̄‖v‖2.
Ou seja,
λ = λ̄.
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Operadores Auto-Adjuntos
Proposição 1
Se T ∈ L(V ) é auto-adjunto, então os autovalores de T , caso existam,
são reais
Prova: Suponha que T é um operador auto-adjunto em V . Seja λ um
autovalor de T e v um vetor não nulo de V tal que Tv = λv . Então,
λ‖v‖2 = λ〈v , v〉= 〈λv , v〉 = 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉= λ̄〈v , v〉 =
= λ̄‖v‖2 ⇒ λ‖v‖2 = λ̄‖v‖2.
Ou seja,
λ = λ̄.
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Proposição 1
Se T ∈ L(V ) é auto-adjunto, então os autovalores de T , caso existam,
são reais
Prova: Suponha que T é um operador auto-adjunto em V . Seja λ um
autovalor de T e v um vetor não nulo de V tal que Tv = λv . Então,
λ‖v‖2 = λ〈v , v〉= 〈λv , v〉 = 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉= λ̄〈v , v〉 =
= λ̄‖v‖2 ⇒ λ‖v‖2 = λ̄‖v‖2.
Ou seja,
λ = λ̄.
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Proposição 1
Se T ∈ L(V ) é auto-adjunto, então os autovalores de T , caso existam,
são reais
Prova: Suponha que T é um operador auto-adjunto em V . Seja λ um
autovalor de T e v um vetor não nulo de V tal que Tv = λv . Então,
λ‖v‖2 = λ〈v , v〉= 〈λv , v〉 = 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉= λ̄〈v , v〉 =
= λ̄‖v‖2 ⇒ λ‖v‖2 = λ̄‖v‖2.
Ou seja,
λ = λ̄.
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Proposição 1
Se T ∈ L(V ) é auto-adjunto, então os autovalores de T , caso existam,
são reais
Prova: Suponha que T é um operador auto-adjunto em V . Seja λ um
autovalor de T e v um vetor não nulo de V tal que Tv = λv . Então,
λ‖v‖2 = λ〈v , v〉= 〈λv , v〉 = 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉= λ̄〈v , v〉 =
= λ̄‖v‖2 ⇒ λ‖v‖2 = λ̄‖v‖2.
Ou seja,
λ = λ̄.
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Proposição 1
Se T ∈ L(V ) é auto-adjunto, então os autovalores de T , caso existam,
são reais
Prova: Suponha que T é um operador auto-adjunto em V . Seja λ um
autovalor de T e v um vetor não nulo de V tal que Tv = λv . Então,
λ‖v‖2 = λ〈v , v〉= 〈λv , v〉 = 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉= λ̄〈v , v〉 =
= λ̄‖v‖2 ⇒ λ‖v‖2 = λ̄‖v‖2.
Ou seja,
λ = λ̄.
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Proposição 1
Se T ∈ L(V ) é auto-adjunto, então os autovalores de T , caso existam,
são reais
Prova: Suponha que T é um operador auto-adjunto em V . Seja λ um
autovalor de T e v um vetor não nulo de V tal que Tv = λv . Então,
λ‖v‖2 = λ〈v , v〉= 〈λv , v〉 = 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉= λ̄〈v , v〉 =
= λ̄‖v‖2 ⇒ λ‖v‖2 = λ̄‖v‖2.
Ou seja,
λ = λ̄.
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Se T ∈ L(V ) é auto-adjunto, então os autovalores de T , caso existam,
são reais
Prova: Suponha que T é um operador auto-adjunto em V . Seja λ um
autovalor de T e v um vetor não nulo de V tal que Tv = λv . Então,
λ‖v‖2 = λ〈v , v〉= 〈λv , v〉 = 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉= λ̄〈v , v〉 =
= λ̄‖v‖2 ⇒ λ‖v‖2 = λ̄‖v‖2.
Ou seja,
λ = λ̄.
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Proposição 1
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são reais
Prova: Suponha que T é um operador auto-adjunto em V . Seja λ um
autovalor de T e v um vetor não nulo de V tal que Tv = λv . Então,
λ‖v‖2 = λ〈v , v〉= 〈λv , v〉 = 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉= λ̄〈v , v〉 =
= λ̄‖v‖2 ⇒ λ‖v‖2 = λ̄‖v‖2.
Ou seja,
λ = λ̄.
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Se T ∈ L(V ) é auto-adjunto, então os autovalores de T , caso existam,
são reais
Prova: Suponha que T é um operador auto-adjunto em V . Seja λ um
autovalor de T e v um vetor não nulo de V tal que Tv = λv . Então,
λ‖v‖2 = λ〈v , v〉= 〈λv , v〉 = 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉= λ̄〈v , v〉 =
= λ̄‖v‖2 ⇒ λ‖v‖2 = λ̄‖v‖2.
Ou seja,
λ = λ̄.
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