Lista 4

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MA046 – Álgebra Linear 1 – 2021.2
Lista de Exercícios 4
1. Para cada operador linear T abaixo, calcule seus autovalores reais. Para cada auto-
valor real λ, ache uma base para o autoespaço Vλ. Decida se T é diagonalizável e,
sendo o caso, encontre uma base B que diagonaliza T .
(a) T : R3 → R3, T
( xy
z
) =
 −x+ 3y − 3z−3x+ 7y − 3z
−6x+ 6y − 2z
.
(b) T : P2 → P2, T
(
a0+a1t+a2t
2
)
= −a0+2a1− 4a2+(4a0+a1+16a2)t+9a2t2.
2. A matriz A =
 3 0 0−2 4 2
−2 1 5
 é diagonalizável? Em caso afirmativo, encontre uma
matriz diagonal D e uma matriz inversível P tal que A = P ·D · P−1.
3. Seja Refπ : R3 → R3 a reflexão em torno do plano pela origem π. Este operador é
diagonalizável? Se sim, encontre uma base de R3 que o diagonaliza, no caso em que
π é o plano x− 2y + z = 0.
4. Se A é uma matriz quadrada tal que a soma dos elementos de cada coluna é igual a
1, mostre que 1 é autovalor de A. (Dica: Observe que a soma das linhas da matriz
A− In dá o vetor nulo)
5. Considere a matiz
A =
 5/6 −1/6 −1/6−1/6 5/6 −1/6
−1/6 −1/6 5/6
 .
Dado o vetor x = (1,−3,−4)T , a sequência de vetores Ax, A2x, A3x, ... , Akx, ...,
converge para um vetor x∗ = (x1, x2, x3)T . Determine x∗.
6. Julgue verdadeiro ou falso:
(a) Se λ = 0 é autovalor de um operador linear L : V → V (com dimV < ∞),
então devemos ter det(L) = 0.
(b) O operador diferencial L : C∞(R;R) → C∞(R;R) dado por
L(f(x)) = f (3)(x)− 3f (2)(x) + 3f (1)(x) + f(x),
tem f(x) = e2x como autofunção correspondente ao autovalor λ = 4.
1
(c) Existe operador linear L : R3 → R3 que admite λ1 = 2 e λ2 = −2 como au-
tovalores e cujos autoespaços correspondentes são, respectivamente, os planos
de equações X1 +X2 +X3 = 0 e X1 − 2X2 +X3 = 0.
(d) Existe operador linear L : R3 → R3 que tem λ1 = 3 e λ2 = 1 como autovalores
e cujos autoespaços correspondentes são Vλ1 = ger[(1, 0, 1)T ] e Vλ2 = plano de
equação X1 +X2 +X3 = 0.
(e) Seja L : R4 → R4 um operador linear cujos autovalores são λ1 = 1, λ2 = 1/2
e λ3 = 1/3, e cujos autoespaços associados são Vλ1 = ger[v1] , Vλ2 = ger[v2],
Vλ3 = ger[v3,v4], onde v1 = (1, 1, 1, 1)T , v2 = (0, 1, 1, 1)T , v3 = (0, 0, 1, 1)T ,
v4 = (0, 0, 0, 1)
T . Se v é o vetor v = v1 + v2 + v3 + v4, então a sequência de
vetores L(v), L2(v), L3(v), ..., Lk(v), ... converge para o vetor v1.
7. Considere uma Web formada por 4 (quatro) páginas P1, P2, P3, P4 e com estrutura
de hiperlinks dada pelo grafo dirigido que se encontra abaixo.
Seja G a matriz do Google desta Web correspondente ao fator (ou parâmetro) de
amortecimento α = 1
2
.
(a) Determine a matriz 24 ·G (matriz G multiplicada pelo número 24).
(b) Calcule o vetor de importância I que o método do PageRank (com fator de
amortecimento α = 1
2
) atribuirá a essa Web.
8. Calcule a potência A2012 da matriz A =
[
4 3
1 2
]
.
2