calc4-2010-2-listas

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Cálculo IV - Prof Gregorio - Listas de exerćıcios
1 Números complexos e séries
Exerćıcio 1. Mostre que
√
2 6∈ Q. Dica: assuma que
√
2 = p/q, eleve ao
quadrado. 2 divide p ?
Exerćıcio 2. Defina os números reais (R) como todas as expressões da forma
x = a+
∑
j=1∞
bj2
−j
com a ∈ Z e bj ∈ {0, 1}. Convencionamos que x = 0 se limk→∞ a +∑k
j=1 bj2
−j = 0, e que x = y se x − y = 0. Quantas maneiras posśıveis
existem de se representar o número 3 ? Quais são elas ? E para o número√
2?
Exerćıcio 3. Seja S ⊂ R. Uma cota superior para C é um número real c
tal que, para todo x ∈ S, x ≤ c. Mostre que existe uma menor cota superior
de S, denotada por supS (supremo de S).
Exerćıcio 4. Seja S ⊂ R. Uma quase cota superior para C é um número real
c tal que {x ∈ S : x > c} é finito. Mostre que existe uma menor quase-cota
superior de S, denotada por lim supS.
Exerćıcio 5. Uma sequência (xj)j∈N de números reais é dita sequência de
Cauchy se e somente se, para todo � > 0, existe n ∈ N com a seguinte
propriedade: se j, k > n, então |zj − zk| < �. Mostre que a sequência
xj =
b10j
√
2c
10j
é uma sequência de Cauchy.
Exerćıcio 6. Mostre que todo número real é limite de uma sequência de
Cauchy
Exerćıcio 7. Seja (xj)j∈N uma sequência de Cauchy, e defina S = {xj :
j ∈ N}. Seja x = lim supS. Mostre que limj→∞ xj = x. Deduza que toda
sequência de Cauchy é convergente.
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Exerćıcio 8. Um número complexo z é uma expressão da forma x+yi, onde
x, y ∈ R e vale a regra de multiplicação: i2 = −1. Mostre que a soma e o
produto de números complexos é um número complexo. O que acontece com
a divisão?
A partir de agora, denotamos por C o corpo dos números complexos.
Exerćıcio 9. Defina |x + yi| =
√
x2 + y2. Mostre que valem as seguintes
propriedades: Se z, w são racionais Gaussianos, então
• |z| ≥ 0, com igualdade se e somente se z = 0.
• |wz| = |w||z|.
• |w + z| ≤ |w|+ |z|.
Uma função satisfazendo os axiomas acima é chamada de valor absoluto ou
valor absoluto arquimediano.
Exerćıcio 10. Mostre que o módulo definido acima satisfaz a propriedade
de Arquimedes: para todo � > 0, existe um complexo z com 0 < |z| < �.
Exerćıcio 11. Seja z ∈ C fixo. Mostre que
ej = 1 + z +
z2
2!
+ · · ·+ z
j
j!
é uma sequência de Cauchy. ez = limj→∞ é chamada de exponencial de z.
Exerćıcio 12. Seja (aj)j∈N uma sequência em C. Escrevemos sj =
∑→n
k=1 aj.
A série s é definida pelo limite de sj quando j → ∞, se este existir. Nesse
caso, escreve-se
s = a1 + a2 + · · ·
Mostre que se s é finito, então limj→∞ aj = 0.
Exerćıcio 13. Mostre que a rećıproca não é verdadeira.
Exerćıcio 14. Mostre que se a sequência (Ak)k∈n definida por Ak = |ak| +
|ak+1| + · · · é convergente, então a série s = a1 + a2 + · · · é convergente.
Nessa situação, a série s é dita absolutamente convergente. A rećıproca é
verdadeira ?
2
Exerćıcio 15. Agora vamos tentar definir a seguinte função de z:
f(z) = a0 + a1z + a2z
2 + · · ·
Seja R = 1/ lim sup j
√
|aj|. Mostre que se |z| < R, então a série f(z) é
convergente.
Exerćıcio 16. Mostre a rećıproca. O número R é chamado de raio de con-
vergência da série f(z).
Exerćıcio 17. Mostre que se f(z) = a0 + a1z + a2z
2 + · · · é convergente
para |z| < R, então a sua derivada formal f ′(z) = a1 + 2a2z + · · · também é
convergente para |z| < R. Qual é o raio de convergência da derivada?
Exerćıcio 18. Mostre que ea+b = eaeb.
Exerćıcio 19. Mostre que se t ∈ R, então |eit| = 1.
Exerćıcio 20. Sejam cos t = re(eit) e sen t = im(eit). Mostre que cos2 t +
sen 2t = 1.
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