Edinardo-mestrado

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA APLICADA
Fórmula de
Lichnerowicz-Weitzenböck aplicada a
supercondutores de uma e duas
componentes
Edinardo Ivison Batista Rodrigues
Dissertação de Mestrado
Recife
26 de Julho de 2013
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Fórmula de
Lichnerowicz-Weitzenböck aplicada a
supercondutores de uma e duas
componentes
Edinardo Ivison Batista Rodrigues
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em F́ısica Aplicada
do Departamento de F́ısica da Universidade Federal Rural de Pernambuco
como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em F́ısica.
Orientador:
Prof. Dr. Antonio Rodrigues de Castro Romaguera
Co-orientador:
Prof. Dr. Mauro Melchiades Doria
Recife
26 de Julho de 2013
Rodrigues, Edinardo Ivison Batista
R Fórmula de Lichnerowicz-Weitzenböck aplicada a
supercondutores de uma e duas componentes Edinardo Ivison Batista
Rodrigues - Pernambuco: UFRPE / DF, 2013
xvii, 133f.: il.; 31 cm.
Orientador: Antonio Rodrigues de Castro Romaguera
Co-Orientador: Mauro Melchiades Doria
Dissertação (Mestrado) - UFRPE / Departamento de F́ısica /
Programa de Pós-graduação em F́ısica Aplicada, 2013
Referências Bibliográficas: f. 127-133
1. Supercondutividade. 2. Energia cinética. 3. Lichnerowicz-Weitzenböck
I. Romaguera, Antonio Rodrigues de Castro. II. Universidade
Federal Rural de Pernambuco, Departamento de F́ısica, Programa de
Pós-graduação em F́ısica Aplicada. III. Fórmula de Lichnerowicz-Weitzenböck
aplicada a supercondutores de uma e duas Componentess
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
PRÓ REITORIA DE PESQUISA E PÓS GRADUAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA APLICADA
Fórmula de Lichnerowicz-Weitzenböck aplicada a supercondutores de uma e
duas componentes
Edinardo Ivison Batista Rodrigues
Dissertação julgada adequada para obtenção do t́ıtulo de
mestre em F́ısica, defendida e aprovada por unanimidade
em 26 de Julho de 2013 pela Comissão Examinadora.
Orientador: Prof. Dr. Antonio Rodrigues de Castro Romaguera
Departamento de F́ısica - UFRPE
Co-orientador: Prof. Dr. Mauro Melchiades Doria
Instituto de F́ısica - UFRJ
Prof. Dr. Marco Cariglia
Departamento de F́ısica - UFOP
Prof. Dr. Daniel Gustavo Barci
Instituto de F́ısica - UERJ
Prof. Dr. Anderson Luiz da Rocha e Barbosa
Departamento de F́ısica - UFRPE
Dedicatória
A minha famı́lia,
em especial minha avó Josefa Rodrigues
Agradecimentos
• A todos os meus familiares por terem me dado suporte e dicas ao longo dessa vitória,
em especial minha avó Josefa Rodrigues pelos conselhos, pela luta e pela alegria que
ela sempre teve, muito obrigado por todos os ensinamentos.
• Agradeço imensamente a minha amada noiva Maŕılia Leite pela paciência e apoio
em toda essa jornada.
• Ao professor e Orientador Antonio R. de C. Romaguera pela dedicação, compre-
ensão, cofiança e a oportunidade que me foi cedida para trabalhar junto do mesmo.
• Ao professor e Co-orientador Mauro Doria pela dedicação, compreensão, cofiança e
pela recepção nas minhas idas ao Rio de Janeiro.
• Ao professor Pedro Hugo, pelos excelentes cursos de F́ısica-matemática e Mecânica
Quântica.
• Ao professor José Adauto, pelo excelente curso de Teoria Eletromagnética.
• Aos grandes amigos de batalha, Jandrews (jean), Renata (LG), Carlos Eduardo
(cabelinho), Wellington (fly).
• A todos que estiveram presentes no laboratótio de F́ısica Teórica durante o desen-
volvimento dese trabalho.
• Finalmente a UFRPE, Facepe e ao CNPq.
Resumo
Nesta dissertação apresentamos um estudo anaĺıtico da energia cinética para os super-
condutores de uma e duas componentes, na presença de um campo magnético constante
aplicado. Nos supercondutores de uma componente os pares de Cooper apresentam uma
única excitação eletrônica, ou seja, a supercondutividade é descrita por um parâmetro
de ordem. Para os supercondutores de duas componentes (spinor), existem dois grupos
de pares de Cooper cada um apresentando uma excitação eletrônica diferente, neste caso
temos a supercondutividade descrita por dois parâmetros de ordem.
Este trabalho apresenta três conjuntos de contribuições principais. O primeiro con-
junto consiste no estudo da energia cinética para um sistema supercondutor bidimensi-
onal com anisotropia de massa, aqui consideramos uma abordagem do estado quântico
macroscópico descrito por uma componente como na teoria convencional de Ginzburg-
Landau. Este estudo nos levou a uma indentidade chamada fórmula de Lichnerowicz-
Weitzenböck (LW), esta fórmula é uma relação matemática entre um operador de Dirac,
a derivada covariante e a curvatura. Aqui, a curvatura é apenas determinada pelo campo
magnético local. A fórmula LW proporcionou uma formulação dupla da energia cinética
do supercondutor, e através dela obtivemos também uma formulação dupla para as super-
correntes. Extraordinariamente, isso levou a uma solução direta da lei de Ampère através
de equações diferenciais de primeira ordem, que foram centrais para a nossa abordagem.
No segundo conjunto, temos o estudo da energia cinética para um sistema super-
condutor tridimensional com anisotropia de massa. Dividimos este estudo em duas eta-
pas: na primeira etapa estudamos o caso de uma camada supercondutora e na segunda
etapa estudamos uma multicamada supercondura, em ambos os casos o estudo foi reali-
vii
zado na presença de um campo magnético constante e a supercondutividade foi descrita
por um spinor. Assim como o modelo de uma componente, obtivemos aqui uma vi-
sualização dupla para a energia cinética e as supercorrentes com o uso da fórmula de
Lichnerowicz-Weitzenböck, e consequetemente obtivemos uma solução direta da lei de
Ampère através de equações diferenciais de primeira ordem. Na solução da lei de Ampère
impomos uma condição de estado fundamental, esta condição foi primeiramente obser-
vada por A.A. Abrikosov no seu tratamento fundamental da teoria de Ginzburg-Landau,
com esta condição determinamos o parâmetro de ondem e seus aspectos mais relevantes,
tal como a rede de vórtice.
O terceiro conjunto, consiste de um estudo baseado na energia livre de Ginzburg-
Landau e de propriedades magnéticas na multicamada supercondutora. Essa proposta de
energia livre junto a formulação dupla da energia cinética para uma e duas componen-
tes, nos levaram a uma nova formulação para a primeira equação de Giznburg-Landau.
Sobre as propriedades magnéticas, dividimos o estudo em duas partes: a primeira parte
consistiu em estudarmos a magnetização ao longo da multicamada e a segunda parte estu-
damos a magnetização em uma única camada supercondutora. Obtemos como resultado
a existência de uma magnetização superficial no plano, e perpendicular a camada a média
da magnetização é nula. A magnetização superficial existe devido a descontinuidade da
componente do campo local paralelo ao plano supercondutor. No caso da multicamada,
obtivemos que a média da magnetização no plano é nula e a média da magnetização per-
pendicular a multicamada é diferente de zero.
Palavras-chave: Supercondutividade, Energia cinética, Lichnerowicz-Weitzenböck, uma
componente, duas compontens, Magnetização
Abstract
In this master dissertation, we present a theoretical study of the vortex lattice based
on the expression of the kinetic energy of the free energy functional for superconductors
with one and two-components in presence of an applied magnetic field. In the one-
component superconductors, the Cooper-pairs have a single electronic excitation, i.e.,
the superconductivity is described by a single order parameter. For the two-components
superconductors, there are Cooper-pairs steam from two different electronic excitations,
i.e., the superconductivity is describedby two order parameters.
The current work presents three sets of main contributions. The first set consists of the
study of kinetic energy study for two-dimensional superconductor with mass anisotropy.
We consider an approach to macroscopic quantum state described by single component,
as is the standard Ginzburg-Landau theory. This study led us to an indentity called
Lichnerowicz-Weitzenböck (LW) formula. This formula is a mathematical relationship
between the Dirac operator, the covariant derivative and the curvature of the studied
system. In our investigations, the curvature is simply determined by the local magnetic
field. The LW formula provided a dual formulation of the superconductor kinetic energy
and consequently we also obtained a dual formulation for supercurrents. Remarkably,
this led us to a direct solution of Ampère’s law through first order differential equations,
which were central to the present approach.
In the second set, we study the kinetic energy of a three-dimensional superconductor
system with mass anisotropy. This study was divided into two steps. In the first step we
studied a single superconducting layer and in the second step we studied a multilayered
ix
superconducting system. Tn both steps, the superconductivity was described by a two-
component spinor order parameter. Similar to the first set, where the one-component
were used, we obtained a dual formulation to the kinetic energy and the supercurrents
using the formula of Lichnerowicz-Weitzenböck. We also obtained a direct solution of
the Ampère’s law through first order differential equations. In the solution of Ampére’s
law we imposed to the system be at the ground state. This condition was first observed
by A. A. Abrikosov in his fundamental treatment of the Ginzburg-Landau theory, with
this condition we determine the spinor and the most relevant aspects, such as the vortex
lattice.
In the third set we study the magnetic properties of the multilayered superconductors.
The study was divided into two parts: the first part we investigated the magnetization
along of the multilayer direction and in the second part we studied the magnetization in a
single superconducting layer. We observed the appearance of superficial magnetizations.
Those magnetizations exist due to the discontinuity of the local field component parallel
to the superconducting planes. We calculated that the average of the magnetization in
the plane is zero and the average perpendicular to it is nonzero.
Keywords: Superconductivity, kinetic energy, Lichnerowicz-Weitzenböck, one-component,
two-compontens, magnetization
Sumário
Folha de rosto i
Ficha catalográfica ii
Folha de aprovação iii
Dedicatória iv
Agradecimentos v
Resumo vi
Abstract viii
Lista de Figuras xiv
Lista de Tabelas xv
Glossário xvi
1 Introdução 2
1.1 Aplicações em Pequena Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Aplicações em Grande Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Descrição e Organização do Trabalho de
Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Teoria de Ginzburg-Landau e a Rede de Vórtice de Abrikosov 9
2.1 Teoria de Ginzburg-Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Escalas de Comprimento Caracteŕıstico . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1.a Comprimento de Coerência . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1.b Comprimento de Penetração . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Quantização do Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 Supercondutores do Tipo I e do Tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.4 O Campo Cŕıtico Superior Hc2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Rede de Vórtice de Abrikosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
SUMÁRIO xi
3 Os Supercondutores Descritos em Camadas 24
3.1 Modelo Anisotrópico de Ginzburg-Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Modelo de Lawrence-Doniach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Cupratos e Pnict́ıdeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Modelo de Uma Componente 40
4.1 Energia Ćınetica e a Fórmula de Lichnerowicz-Weitzenböck . . . . . . . . . 41
4.2 As supercorrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Equações de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 O Estado Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 A Energia Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.6 Principais resultados e conclusões desse caṕıtulo . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Modelo de Duas Componentes 58
5.1 Energia Ćınetica e a Fórmula de Lichnerowicz-Weitzenböck . . . . . . . . . 59
5.2 As Supercorrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Equações de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 O Estado Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4.1 Primeira Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4.2 Segunda Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4.2.a Equação para ψ̃u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4.2.b Equação para ψ̃d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.5 Solução para o spinor abaixo e acima de um camada supercondutora . . . 73
5.5.1 Plotagem dos ψn nos Nı́veis de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5.1.a Rede Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5.1.b Rede Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.6 Principais resultados e conclusões desse caṕıtulo . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Multicamadas Compostas de Planos Supercondutores 83
6.1 Aplicação do modelo 2COP em uma multicamada supercondutora . . . . . 83
6.2 Modelo de 2COP próximo do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3 Valores Médios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3.1 Valores Médios para a Multicamada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3.2 Valores Médios Próximo do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.4 A Energia Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.5 Principais resultados e conclusões desse caṕıtulo . . . . . . . . . . . . . . . 101
7 Magnetização 103
7.1 Magnetização na multicamada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2 Magnetização Superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2.1 Primeiro Caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2.2 Segundo Caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2.3 Terceiro Caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3 Principais resultados e conclusões desse caṕıtulo . . . . . . . . . . . . . . . 112
A Produção Cient́ıfica 113
A.1 Resumos em Congressos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.2 Artigos Submetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
A.3 Artigos Aceitos para Publicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
SUMÁRIO xii
B Cálculo Para a Energia Cinética com Duas Componentes 115
C Propriedades 118
C.1 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
C.2 Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
D Determinação dos ψn 122
D.1 Oscilador Harmônico Quântico (OHQ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
D.2 Nosso Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Referências bibliográficas 133
Lista de Figuras
1.1 Medidas da resistividade do Mercúrio (Hg) em função da temperatura feitas
por H. K. Onnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Efeito Meissnerem uma esfera supercondutora em um campo magnético
constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Descoberta da temperatura cŕıtica Tc(K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Estrutura cristalina do La2CuO4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Diagrama de uma única junção Josephson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Desenho esquemático da magnetoencefalografia usando detectores SQUID. 6
1.7 Protótipo do Maglev-Cobra, instalado em laboratório do Coppe. . . . . . . 6
2.1 Dependência radial do parâmetro de ordem ψ e o campo magnético H na
interface supercondutor/normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Estado misto de um supercondutor do tipo II. O gráfico mostra a variação
da densidade de portadores de carga em função da posição. . . . . . . . . . 20
2.3 Curvas de ńıvel no plano x− y para |ψ|2 segundo a solução de Abrikosov. . 22
2.4 Curvas de ńıvel para |ψ|2 segundo a solução de W.H. Kleiner, L. M. Roth
and S. H. Autler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Diagrama esquemático das redes de vórtices quadrada e triangular. . . . . 23
3.1 Célula unitária de YBCO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Diagrama de fase do pseudogap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Estrutura cristalina esquemática de: (a) LaFeAsO, (b) BaFe2As2, (c) LiFeAs
e (d) α-FeSe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1 Esquema para imposição de periodicidade na rede. . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Solução anaĺıtica de |ψ|2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1 Solução anaĺıtica de |ψn|2 para o caso de m1 = m2 numa rede quadrada. . . 76
5.2 Solução anaĺıtica de |ψn|2 para o caso de m1 = 2m2 numa rede quadrada. . 77
5.3 Solução anaĺıtica de |ψn|2 para o caso de m1 = 0.2m2 numa rede quadrada. 78
5.4 Solução anaĺıtica de |ψn|2 para o caso de m1 = m2 numa rede triangular. . 79
5.5 Solução anaĺıtica de |ψn|2 para o caso de m1 = 2m2 numa rede triangular. . 80
5.6 Solução anaĺıtica de |ψn|2 para o caso de m1 = 0.2m2 numa rede triangular. 81
LISTA DE FIGURAS xiv
6.1 Esquema da multicamada composta por planos supercondutores. . . . . . . 84
6.2 Região de interesse para as somas das séries de Su e Sd. . . . . . . . . . . . 85
6.3 Análise para o decaimento exponencial associado ao Ψ de acordo com a
posição r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4 Região de interesse para encontrarmos o spinor próximo ao plano r = 0. . . 87
7.1 Esquema do campo magnético sendo aplicado perpendicularmente em um plano
supercondutor em x3 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2 Magnetização no plano supercondutor, (a) numa rede quadrada e (b) numa
rede triangular para o caso n = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3 Magnetização no plano supercondutor, (a) numa rede quadrada e (b) numa
rede triangular para o caso n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.4 Magnetização no plano supercondutor, (a) numa rede quadrada e (b) numa
rede triangular para a soma, em Ψ, de n = 1 até n = 2. . . . . . . . . . . . 111
Lista de Tabelas
2.1 Comprimento de penetração λ(0), comprimento de coerência ξ(0) e tem-
peratura cŕıtica Tc para alguns supercondutores. . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1 Os valores de κ dos supercondutores cerâmicos (κ� 1). . . . . . . . . . . . 56
Glossário
ξc(T ) - Comprimento de coerência, indica as variações t́ıpicas do parâmetro de ordem.
λ(T ) - Comprimendo de penetração, indica as variações t́ıpicas do campo magnético.
κ - Parâmetro que define o tipo de supercondutor: em um supercondutor tipo-I κ <
1/
√
2 e para os de tipo-II κ > 1/
√
2..
Tc - Temperatura cŕıtica que define a transição Supercondutor/Normal.
φ0 - Fluxo magnético quantizado cuja expressão é φ0 = hc/q.
Hc2(T ) - Campo cŕıtico superior à temperatura T . Seu valor define a intensidade do
campo magnético capaz de destruir a supercondutividade no interior de um super-
condutor tipo-II.
Hc2‖ - Campo cŕıtico superior orientado paralelamente a um plano simétrico.
Hc2⊥ - Campo cŕıtico superior orientado perpendicularmente a um plano simétrico.(←→
1
m
)
- Tensor de massa do modelo anisotrópico de Ginzburg-Landau.(←→
1
η
)
- Tensor de massa do modelo de duas componentes.
J‖n+1,n - Corrente de tunelamento de Lawrence-Doniach entre os planos superconduto-
res.
J⊥ - Corrente de Lawrence-Doniach em um plano supercondutor.
LISTA DE TABELAS 1
JLWi - Supercorrente encontrada com o uso da fórmula de Lichnerowicz-Weitzenböck,
com i = 1, 2 e 3.
H - Campo magnético aplicado.
h - Campo magnético local.
σ - Matriz de Pauli.
Mmut - Magnetização calculada na multicamada supercondutora.
Msup - Magnetização superficial calculada no plano supercondutor.
ms - Média da magnetização superficial calculada no plano supercondutor.
1COP - Modelo de uma componente.
2COP - Modelo de duas componentes.
LW - Fórmula de Lichnerowicz-Weitzenböck.
CAṔITULO 1
Introdução
A supercondutividade surge a partir da condensação de elétrons próximos do ńıvel de
Fermi em pares de Cooper1 que se comportam em um estado quântico coletivo. A quebra
dos pares de Cooper ocorre a uma temperatura cŕıtica (Tc), acima do qual o material
apresenta o estado normal [1].
A caracteŕıstica mais conhecida dos supercondutores é desaparecimento da resistência
elétrica. Esta caracteŕıstica foi primeiramente observada no Mercúrio (ver figura 1.1)
em 1911 na Holanda, pelo f́ısico H. K. Onnes, quando estudava o comportamento da
resistência elétrica de metais em temperaturas muito baixas [2].
Figura 1.1: Medidas da resistividade do
Mercúrio (Hg) em função da temperatura feitas
por H. K. Onnes. À temperatura Tc = 4, 2K a
resistividade cai abruptamente para zero, dando
lugar a supercondutividade, como o Onnes se
referiu a esse novo estado. Figura extráıda da
Ref. [3].
1Pares de Cooper são elétrons que associam em pares enquanto se deslocam no material supercondutor,
com o aux́ılio de fônons. Um fônon é uma excitação mecânica que se propaga pela rede cristalina de um
sólido. Essa modificação causa uma concentração de carga positiva no local, assim atraindo outro elétron
formando os pares de Cooper.
Introdução 3
Uma outra caracteŕıstica fundamental para os supercondutores foi descoberta em
1933 por W. Meissner e R. Ochsenfeld [4]. Eles descobriram que quando um material
supercondutor na presença de um campo magnético era resfriado até T < Tc, a distri-
buição do campo magnético no seu interior era sempre nulo, ou seja, abaixo da tempe-
ratura de transição para o estado supercondutor as amostras se tornavam perfeitamente
diamagnéticas, eliminando todos os fluxos magnéticos internos (ver figura 1.2). Este
fenômeno é conhecido como efeito Meissner [5].
Figura 1.2: Efeito Meissner em uma esfera su-
percondutora com campo magnético constante
aplicado. Para a esfera (a) quando T > Tc o
material comporta-se como um condutor nor-
mal. Para a esfera (b) quando T < Tc a esfera
torna-se supercondutora.
Portanto, a supercondutividade possui duas caracteŕısticas fundamentais: (i) desapa-
recimento da resistência elétrica abaixo de Tc e (ii) expulsão do campo magnético aplicado
(efeito Meissner), também abaixo de Tc.
A supercondutividade também é limitada por campos magnéticos cŕıticos (HC) e den-
sidades de corrente (JC) em temperaturas abaixo de Tc [6]. A temperatura cŕıtica é deter-
minada principalmente pela composição e estrutura qúımica do material [7, 8], enquanto
que os campos e correntes cŕıticas são também fortemente influenciadas pela microestru-
tura [9].
Após a descoberta da supercondutividade em 1911, a pesquisa na área cresceu bas-
tante. Como consequência,houve uma busca por materiais supercondutores com tempe-
ratura cŕıtica cada vez mais elevadas, embora sendo ainda muito baixa [10]. A figura 1.3
apresenta, no eixo vertical, a descoberta de temperaturas cŕıticas para seus respectivos
materiais supercondutores e no eixo horizontal mostra o ano em que os materiais foram
descobertos.
As descobertas fizeram com que as pesquisas se dividem-se em duas etapas: a dos
supercondutores de “baixa-Tc” no peŕıodo de 1911 até os dias atuais e a dos supercondu-
tores de “alta-Tc” apartir de 1986 quando foi observada a supercondutividade em óxidos
cerâmicos por A. Müller e G. Bednorz [11]. Logo após essa descoberta, P. W. Ander-
Introdução 4
Figura 1.3: Descoberta da temperatura cŕıtica Tc(K), no eixo vertical, ao longo dos anos
ilustrado eixo horizontal. A tarja em azul apresenta o limite máximo para a temperatura cŕıtica
estabelecido pela teoria BCS. Figura extráıda da Ref. [10].
son publicou um artigo na Science no qual identificou caracteŕısticas essenciais dos novos
supercondutores [12].
De acordo com P. W. Anderson, (i) os materiais supercondutores são quasibidimensi-
onais, ou seja, existem planos supercondutores; a estrutura cristalina essencial é o plano
CuO2 (Fig. 1.4), e o acoplamento interplanar é muito fraco; (ii) a supercondutividade
de alta Tc é criada por dopamento através da adição de portadores de carga na estrutura
cristalina do material.
Figura 1.4: Estrutura cristalina do La2CuO4.
A estrutura fundamental é o plano de Cu-O2,
que se estende na direção ab. Acoplamentos
eletrônicos no interplano, direção c, são muito
fracos. Na famı́lia de materiais La2CuO4, a do-
pagem é realizada pela substituição de ı́ons de
Estrôncio para alguns dos ı́ons de La, ou pela
adição de oxigênio. Figura extráıda da Ref. [13].
Introdução 5
Os estudos em materiais supercondutores são certamente as investigações mais impor-
tantes para viabilizar economicamente todas as aplicações práticas da supercondutividade.
Essas aplicações podem ser agrupadas em dois grupos: (a) as aplicações em pequena escala
e (b) as aplicações em grande escala [14].
1.1 Aplicações em Pequena Escala
São aplicações que envolvem pequenas quantidades de energia e/ou campos magnéticos
fracos. A maioria das aplicações dos materiais supercondutores em pequena escala está
nos dispositivos eletrônicos que desempenham funções como detectores, geradores, filtros,
microondas, antenas e outros [6].
As principais aplicações dos supercondutores em dispositivos eletrônicos estão basea-
dos no efeito Josephson [15]. Este é o efeito no qual os pares de Cooper tunelam através
de uma fina barreira isolante colocada entre dois supercondutores [16], ou seja, aparece
uma corrente elétrica que flui através dos dois supercondutores fracamente interligados.
Esta disposição é conhecida como uma junção Josephson (ver figura 1.5) e a corrente que
atravessa a barreira é chamada de corrente Josephson [1].
Figura 1.5: Diagrama de uma única junção
Josephson. A e B representam os supercondu-
tores, e C, uma fina barreira isolante colocada
entre os supercondutores.
Uma aplicação importante das junções Josephson é encontrada em um SQUID (Super-
conductor QUantum Interferometric Device). Um SQUID é um dispositivo que tem uma
grande sensibilidade para variações de fluxo magnético. É formado por um anel super-
condutor contendo pelo menos uma junção Josephson [17, 18]. O dispositivo SQUID é
utilizando na magnetoencefalografia (ver figura 1.6), que é uma técnica médica utilizada
para detectar campos magnéticos fracos gerados por correntes elétricas produzidas em
eventos no cérebro [5]. Para mais informações sobre este e outros intrumentos de precisão
fabricados com dispostivo SQUID consultar as referências [5, 14,19].
Introdução 6
Figura 1.6: Desenho es-
quemático da magnetoen-
cefalografia usando detecto-
res SQUID. Este sistema
é extremamente senśıvel ao
fluxo magnético, o que per-
mite um mapeamento do
campo magnético produzido
por qualquer atividade neu-
rológica do cerébro humano.
Figura extráıda da Ref. [5].
1.2 Aplicações em Grande Escala
São aplicações que envolvem grandes quantidades de energia e/ou campos magnéticos
fortes. Aplicações desse tipo consistem em fios, magnetos, motores, reservatório de energia
e outros [5]. Podemos destacar aqui uma das mais charmosas aplicações da superconduti-
vidade em transportes: o trem MAGLEV (sigla para magnetic levitation) que se desloca
sem contato com o trilho e recebe impulsão magnética através de bobinas superconduto-
ras [14]. O Japão e a Alemanha são os páıses que mais têm pesquisado esta tecnologia,
no Brasil existe o projeto Maglev-Cobra (ver figura 1.7).
Figura 1.7: Protótipo do
Maglev-cobra, instalado em
laboratório do Coppe. Fi-
gura extráıda da Ref. [20].
O projeto Maglev-Cobra consiste em um trem de levitação magnética projetado na
Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) pelo Instituto Alberto Luiz Coimbra de
Pós-Graduação e Pesquisa em Engenharia (Coppe) e pela Escola Politécnica através do
Introdução 7
Laboratório de Aplicações de Supercondutores (LASUP) [20]. Este projeto começou a ser
testado em 1998 nos laboratórios da Coppe. Ele é baseado na formação de um campo
magnético de repulsão entre os trilhos e os módulos de levitação, formados por pastilhas
supercondutoras que substituem as rodas e são compostas de Ítrio, Bário e Cobre.
As aplicações práticas dos materiais supercondutores é uma realidade cuja relevância
social e econômica cresce a cada ano. Com os avanços nas pesquisas teóricas e experimen-
tais em supercondutividade, é esperado que muitas aplicações que hoje se encontram em
estágio de protótipos sejam incorporadas ao uso industrial com significativos e variados
benef́ıcios sociais.
1.3 Descrição e Organização do Trabalho de
Dissertação
A proposta dessa dissertação é apresentar um estudo teórico da rede de vórtice que foi
realizado em supercondutores com anisotropia de massa e com campo magnético aplicado.
Nosso objetivo principal é contribuir para um entendimento maior do comportamento da
supercondutividade nos materiais supercondutores com anisotropia de massa. Neste es-
tudo a supercondutividade foi descrita por um parâmetro de ordem denominado de modelo
de uma componente (1COP) e por dois parâmetro de ordem denominado de modelo duas
componentes (2COP). Através desse estudo foi posśıvel obter informações sobre as redes
de vórtices e propriedades magnéticas em supercondutores mono e multicamadas. Para
tal estudo, essa dissertação foi estruturada da seguinte forma:
• O caṕıtulo 2 traz uma discussão sobre a teoria de Ginzburg-Landau (GL) e a rede
de vórtice de Abrikosov. Na teoria GL, faremos uma revisão sobre a proposta
de sua energia livre e explicar a importância de dois comprimentos caracteŕısticos
(comprimento de coerência e comprimento de penetração) que surge nessa teoria.
Em relação a rede de vórtice de Abrikosov será feita uma análise sobre a formação
das redes de vórtice e qual tipo de rede favorece o mı́nimo da energia.
• No caṕıtulo 3, estudaremos os supercondutres descritos em camadas com anisotro-
pia de massa. Discutiremos dois modelos que podem explicar a existência dessa
anisotropia, um desses é o modelo anisotrópico de massa de Ginzburg-Landau e
Introdução 8
outro é o modelo de Lawerence-Doniach. Ainda nesse caṕıtulo, faremos também
uma abordagem sobre os supercondutores de alta temperatura cŕıtica em especial
os cupratos e pnict́ıdeos.
• No caṕıtulo 4, descreveremos um modelo teórico para os supercondutores com ani-
sotropia de massa, cuja a supercondutividade será descrita por um parâmetro de
ordem ou uma componente (1COP). Vamos aplicar este modelo a um sistema bi-
dimensional analisando apenas a energiacinética supercondutora. Apartir dela ob-
teremos uma nova formulação à própria energia cinética supercondutora e por sua
vez também nos levará a uma formulação dupla para as supercorrentes.
• Apresentaremos no caṕıtulo 5 um modelo teórico para os supercondutores com ani-
sotropia de massa, cuja a supercondutividade será descrita por um parâmetro de
ordem spinorial de duas componentes, Ψ. Este modelo ajudará a entender como se
comporta a supercondutividade nas camadas e também irá fornecer uma estrutura
matemática para determinarmos o Ψ em uma camada supercondutora e um sistema
composto por várias camadas.
• No caṕıtulo 6 estudaremos o caso em que temos um supercondutor em multica-
madas. Calcularemos o parâmetro de ordem que descreve sua supercondutividade.
Todo cálculo será feito na presença de um campo magnético externo constante apli-
cado perpendicularmente as multicamadas. Com base na teoria fenomenológica de
Ginzburg-Landau, iremos propor uma energia livre com anisotropia de massa para
o caso de 2COP.
• No caṕıtulo 7 será apresentado um estudo sobre a magnetização nas multicama-
das e em um plano supercondutor. Apartir dela mostraremos a existência de uma
magnetização superficial no plano.
CAṔITULO 2
Teoria de Ginzburg-Landau e a Rede de Vórtice de Abrikosov
2.1 Teoria de Ginzburg-Landau
Vitaly L. Ginzburg e Lev Landau desenvolveram uma teoria fenomenológica, em 1950
[21], que descreve a transição de fase em segunda ordem de um supercondutor, teoria
anteriormente desenvolvida por Landau [22]. A teoria GL descreve a energia livre da
transição supercondutor/normal por uma função de onda, ψ(r), como um parâmetro de
ordem complexo que é nulo quando T > Tc e não nulo quando T < Tc e está relacionado
com a densidade dos elétrons supercondutores pela expressão |ψ(r)|2 = ns
2
.
A hipótese básica da teoria GL é que se ψ é pequeno e varia lentamente, a densidade
de energia livre pode ser expandida em uma série da forma
fs = fn + α(T )|ψ(r)|2 +
1
2
β(T )|ψ(r)|4 + 1
2m∗
∣∣∣∣∣
(
~
i
∇− e
∗
c
A(r)
)
ψ(r)
∣∣∣∣∣
2
+
h(r)2
8π
, (2.1)
onde fs é a densidade de energia livre por unidade de volume do estado supercondutor,
fn é a densidade de energia livre por unidade de volume do estado normal, α(T ) e β(T )
são os parâmetros fenomenológicos espećıficos do material, A(r) é o potencial vetor, h(r)
é o campo magnético, m∗ e e∗ se referem a massa e a carga dos pares de Cooper.
Em um sistema onde não exista campo magnético aplicado (ou o potencial vetor é
constante) e não há variação do parâmetro de ordem, podemos obter as grandezas que
Teoria de Ginzburg-Landau e a Rede de Vórtice de Abrikosov 10
caracterizam o estado supercondutor, assim a eq. (2.1) toma a forma abaixo
fs = fn + α(T )|ψ|2 +
1
2
β(T )|ψ|4 + 1
2m∗
(
e∗A
c
)2
|ψ|2, (2.2)
que pode ser visto como uma expansão em série de potências de |ψ|2. O mı́nimo da
densidade de energia ocorre quando
∂fs
∂ψ
= 0, dessa forma temos
|ψ′|2 = −α(T )
β(T )
, (2.3)
onde foi definido que |ψ′|2 ≡ |ψ|2/[1 + 1
2m∗α
(
e∗A
c
)2
]. Substituindo a eq. (2.3) na eq. (2.2)
obtemos que
fs − fn = −
α(T )2
2β(T )
, (2.4)
esta expressão descreve a diferença de densidade de energia entre os estados normal e
supercondutor apenas dependendo dos parâmetros α(T ) e β(T ). Existem apenas duas
soluções para ψ:
• Para o caso de α(T ) > 0, a energia livre mı́nima ocorre quando |ψ|2 = 0 que
corresponde ao estado normal, isso acontece quando T > Tc;
• Para o caso de α(T ) < 0, a energia livre mı́nima ocorre conforme a descrição da eq.
(2.3), correspondente ao estado supercondutor em T < Tc.
O parâmetro β(T ) é positivo e independente da temperatura, ou seja, β(T ) > 0 tanto
para T > Tc quanto para T < Tc. Logo os parâmetros α(T ) e β(T ) podem ser reescritos,
respectivamente, de forma que suas dependências expĺıcitas com a temperatura seja a
seguinte
α(T ) = αo(T − Tc) e β(T ) = βo, (2.5)
com αo > 0 e βo > 0.
O ponto central da teoria GL é encontrar as funções ψ e A que minimizem a energia
livre descrita pela integral em todo volume da eq. (2.1). Dessa forma, escrevemos a
energia livre como
Teoria de Ginzburg-Landau e a Rede de Vórtice de Abrikosov 11
F =
∫
d3r
V
α(T )|ψ(r)|2 + 12β(T )|ψ(r)|4 + 12m∗
∣∣∣∣∣
(
~
i
∇− e
∗
c
A(r)
)
ψ(r)
∣∣∣∣∣
2
+
h(r)2
8π
 ,
(2.6)
perceba que F = F [ψ(r), ψ∗(r),A(r)] é um funcional dependente das funções ψ(r),
ψ∗(r) e A(r), em todos os pontos r do supercondutor. Devemos encontrar ψ(r) e A(r)
que minimize F . Esse resultado pode ser encontrado formalmente através do cálculo
variacional, minimizando a eq. (2.6) em relação a ψ(r) ou ψ∗(r), e A(r), obtendo desta
forma, a primeira e segunda equação de GL, respectivamente.
Minimizando a eq. (2.6) em relação a ψ∗(r), obtemos a primeira equação GL abaixo
α(T )ψ(r) + β(T )ψ(r)|ψ(r)|2 − ~
2
2m∗
(
∇− ie
∗
~c
A(r)
)2
ψ(r) = 0, (2.7)
Minimizando a eq. (2.6) em relação a A(r), obtemos a segunda equação GL abaixo
∇× h = 4π
c
J , (2.8)
que é exatemente a lei de Ampère, onde a corrente é dada por
J = − ie
∗~
2m∗
[ψ∗(r)∇ψ(r)− ψ(r)∇ψ∗(r)]− e
∗2
m∗c
|ψ(r)|2A(r). (2.9)
A condição de contorno associada a segunda equação GL é dada por
n̂ ·
(
−i~∇− e
∗
c
A
)
ψ(r) = 0. (2.10)
Esta condição expressa que supercorrentes não circulam perpendicularmente pela su-
perf́ıcie da amostra. Na eq. (2.10), n̂ é um versor normal à superf́ıcie da amostra
supercondutora.
Vemos portanto que a teoria GL é representada por duas equações diferenciais aco-
pladas (2.7) e (2.9), envolvendo o potencial vetor e o parâmetro de ordem, que podem ser
resolvidas para determinar as propriedades do estado supercondutor.
Teoria de Ginzburg-Landau e a Rede de Vórtice de Abrikosov 12
2.1.1 Escalas de Comprimento Caracteŕıstico
A teoria de Ginzburg-Landau introduz duas importantes escalas de comprimento: o
comprimento de penetração λ(T ) e o comprimento de coerência ξ(T ) como é mostrado
na figura (2.1).
Figura 2.1: Dependência radial do
parâmetro de ordem ψ e o campo magnético
H na interface supercondutor/normal. O
campo magnético H vai diminuindo até se
anular no estado supercondutor. A intensi-
dade do módulo quadrático do parâmetro de
ordem ψ vai aumentando até chegar a um
valor máximo no estado supercondutor e no
estado normal temos que |ψ|2 = 0.
2.1.1.a Comprimento de Coerência
O comprimento de coerência ξ indica as variações do parâmetro de ordem ψ(r) (ver
figura 2.1) e está relacionado com o parâmetro fenomenológico α(T ). Para encontrarmos
esta relação, vamos considerar um caso simplificado em que os campos não estão presentes
(A = 0) porém admitindo que ∇ψ 6= 0. Sendo assim a eq. (2.7) torna-se,
α(T )ψ(r) + β(T )ψ(r)|ψ(r)|2 − ~
2
2m∗
∇2ψ(r) = 0. (2.11)
Vamos analisar um caso unidimensional supondo que ψ(r) = ψ0f(x), onde f(x) é uma
função real. Portanto podemos reescrever a eq. (2.11) da seguinte forma
~2
2m∗|α(T )|
d2f
dx2
− f 3 + f = 0. (2.12)
Definimos o comprimento de coerência ξ como sendo
ξ(T ) =
√
~2
2m∗|α(T )| . (2.13)
Teoria de Ginzburg-Landau e a Rede de Vórtice de Abrikosov 13
A dependência de ξ com a temperatura é da seguinte forma
ξ(T ) ∝ (Tc − T )−1/2 . (2.14)
2.1.1.b Comprimento de Penetração
O comprimento de penetração λ(T ) indica as variações do campo magnético, ou seja,
está relacionado com a variação espacial do campo magnético local (ver figura 2.1) e das
supercorrentes, H(r) e J(r) respectivamente. Para se determinar o comprimento de
penetração, vamos escrever a eq. (2.9) supondo que o sistema está sujeito a aplicação
de um campo magnético, porém, o parâmetro de ordem não varia com a posição. Sendo
assim podemos escrever que
J(r) = − e
∗2
m∗c
|ψ|2A(r), (2.15)
aplicando o rotacional a ambos os lados da eq. (2.15),
∇× J(r) = − e
∗2
m∗c
|ψ|2∇×A(r), (2.16)
utilizando a Lei de Ampère ∇ ×H = 4πJ/ce utilizando a definição do potencial vetor
a eq. (2.16) passa a ser
∇×∇×H = −4πe
∗2|ψ|2
m∗c2
H , (2.17)
utilizando a identidade vetorial ∇ × ∇ × H = −∇2H + ∇(∇ · H) e sabendo que
∇ ·H = 0, obtemos que
∇2H − λ−2H = 0, (2.18)
analisando a eq. (2.18) para o caso unidimensional, H = H(x)ẑ, temos
d2H
dx2
− 1
λ2
H = 0, (2.19)
que é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Queremos encontrar uma
solução do tipo
H = H0e
mx, (2.20)
Teoria de Ginzburg-Landau e a Rede de Vórtice de Abrikosov 14
substituindo (2.20) em (2.19), obtemos
H(x) = H0e
−x/λ, (2.21)
significando que o campo decai com o comprimento de penetração λ sendo igual a
λ =
√
m∗c2
4πe∗2|ψ|2
, (2.22)
substituindo a eq. (2.3) em (2.22) escrevemos o comprimento de penetração dependente
da temperatura, assim
λ(T ) =
√
m∗c2β
4πe∗2|α(T )| . (2.23)
Utilizando a eq. (2.5) determinamos o comportamento do comprimento de penetração
em função da temperatura, correspondendo à seguinte forma:
λ(T ) ∝ (Tc − T )−1/2 . (2.24)
A tabela 2.1 apresenta valores para λ(0), ξ(0) e Tc para alguns materiais supercondutores.
Tabela 2.1: Comprimento de penetração λ(0), comprimento de coerência ξ(0) e tempe-
ratura cŕıtica Tc para alguns supercondutores. Tabela retirada da Ref. [23].
Elementos Tc(K) λ(0)(nm) ξ(0)(nm)
Al 1.18 1550.00 45.00
Sn 3.72 180.00 42.00
Pb 7.20 87.00 39.00
Nb 9.25 39.00 52.00
Nb3Ge 23.20 3.00 90.00
YNi2B2C 15.00 8.10 103.00
K3C60 19.40 2.80 240.00
YBa2Cu3O7−δ 91.00 1.65 156.00
2.1.2 Quantização do Fluxo
A segunda equação GL (2.9) é uma relação entre a corrente no interior de um super-
Teoria de Ginzburg-Landau e a Rede de Vórtice de Abrikosov 15
condutor, o parâmetro de ordem e o potencial vetor. Estamos interessados em calcular
o fluxo magnético em um supercondutor utilizando a eq. (2.9), para isso vamos escrever
que ψ(r) = |ψ|eiθ(r), onde θ é a fase que descreve a coerência do estado supercondutor, a
eq.(2.9) toma a seguinte forma
J = − ie
∗~
2m∗
{
ψ∗(r)∇
[
|ψ|eiθ
]
− ψ(r)∇
[
|ψ∗|e−iθ
]}
− e
∗2
m∗c
|ψ(r)|2A(r),
J = − ie
∗~
2m∗
{
iψ∗(r)|ψ|eiθ∇θ + iψ(r)|ψ∗|e−iθ∇θ
}
− e
∗2
m∗c
|ψ(r)|2A(r),
J = − ie
∗~
2m∗
{
i|ψ∗|e−iθ|ψ|eiθ∇θ + i|ψ|eiθ|ψ∗|e−iθ∇θ
}
− e
∗2
m∗c
|ψ(r)|2A(r),
J =
e∗~
2m∗
{
2|ψ|2∇θ
}
− e
∗2
m∗c
|ψ(r)|2A(r),
J =
[
e∗~
m∗
∇θ − e
∗2
m∗c
A(r)
]
|ψ(r)|2, (2.25)
multiplicando eq.(2.25) por m∗/(e∗2|ψ(r)|2) em ambos os lados e organizando os termos
encontramos que
~
e∗
∇θ = m
∗
e∗2|ψ(r)|2
J +
1
c
A(r), (2.26)
integrando em um caminho fechado temos
~
e∗
∮
l
∇θ · dl = m
∗
e∗2
∮
l
J · dl
|ψ(r)|2
+
1
c
∮
l
A(r) · dl, (2.27)
utilizando o teorema de Stokes no terceiro termo na eq.(2.27) temos que
1
c
∮
l
A(r) · dl = 1
c
∫
s
[∇×A(r)] · dS, (2.28)
substituindo a eq.(2.28) na eq.(2.27) chegamos à seguinte expressão:
~c
e∗
∮
l
∇θ · dl = m
∗c
e∗2
∮
l
J · dl
|ψ(r)|2
+ Φ, (2.29)
onde Φ =
∫
s
B · dS =
∫
s
[∇ ×A(r)] · dS é fluxo magnético. Para que ψ seja uńıvoco, a
integral da fase no caminho fechado deve ser um múltiplo inteiro de 2π, ou seja,
∮
l
∇θ · dl = 2nπ, (2.30)
Teoria de Ginzburg-Landau e a Rede de Vórtice de Abrikosov 16
sendo assim a eq.(2.29) toma a seguinte forma
Φ +
m∗c
e∗2
∮
l
J · dl
|ψ(r)|2
= nΦo. (2.31)
Esta equação demonstra que em um meio supercondutor, o campo magnético penetra no
seu interior de maneira quantizada, sendo que a soma do fluxo magnético do seu interior,
Φ, com a integral de linha envolvendo a densidade de corrente cŕıtica, é um múltiplo inteiro
de uma quantidade fundamental de fluxo magnético, esta quantidade é denominada de
quantum de fluxo magnético e é dado por
Φo =
hc
e∗
= 2, 07 · 10−15Wb (webers) . (2.32)
Vemos então que o quantum de fluxo magnético é o análogo macroscópico para a
quantização do momento angular para um sistema atômico. Portanto, não é surpreendente
que ele fornece uma ferramenta poderosa para tratar muitos problemas de supercondutores
penetrados pelo fluxo magnético.
2.1.3 Supercondutores do Tipo I e do Tipo II
Podemos observar que ξ(T ) e λ(T ) possuem o mesmo comportamento para T → Tc.
Com isto pode-se introduzir um novo parâmetro espećıfico de cada material, o chamado
parâmetro κ de GL definido pela razão do comprimento de penetração e o comprimento
de coerência, o qual independe da temperatura, sendo seu valor importante para definir
o tipo de supercondutor. Assim
κ =
λ(T )
ξ(T )
. (2.33)
Combinando as equações (2.13) e (2.23) com (2.33) obtemos
κ =
m∗c
~e∗
[
β
2π
]1/2
. (2.34)
Os diferentes valores para o parâmetro κ resultam em dois tipos de comportamento
para os supercondutores. Os supercondutores do tipo I correspondendo aos materiais que
possuem κ < 1/
√
2 e os do tipo II correspondendo aos que possuem κ > 1/
√
2.
Os supercondutores do tipo I são formados principalmente por metais e por algumas
Teoria de Ginzburg-Landau e a Rede de Vórtice de Abrikosov 17
ligas, possuindo uma Tc extremamente baixa. Quando um material deste tipo é submetido
a um campo magnético relativamente fraco, ou seja, para campos H menores que o
campo cŕıtico termodinâmico Hc, observa-se o aparecimento do efeito Meissner [4], ou
seja, o supercondutor tende a expelir completamente o fluxo magnético de seu interior.
Se o campo H for aumentado para valores maiores que o campo cŕıtico Hc, este efeito
desaparece e a supercondutividade do material é destrúıda. Estes tipos de supercondutores
não possuem nenhum estado intermediário, ou seja, apresentam apenas o estado Meissner.
Neste estado, não pode haver penetração do campo magnético surgindo correntes que
blindam o material.
Os supercondutores do tipo II apresentam dois campos cŕıticos. O estado Meissner
que persiste até um campo cŕıtico inferior Hc1. Acima desse campo, o fluxo penetra
parcialmente na amostra até um campo cŕıtico superior Hc2. Este estado é chamado de
estado misto ou estado de vórtice.
2.1.4 O Campo Cŕıtico Superior Hc2
Para casos em que |ψ| � 1, ou seja, quando a densidade de vórtices seja alta podemos
aplicar a primeira equação de Ginzburg-Landau transformando-a em uma equação linea-
rizada. Para esses casos, incluem-se filmes finos de espessura d� ξ(T ) e supercondutores
em geral que estejam a uma temperatura e campo magnético muito próximos da transição
Tc(H). Neste caso, temos que todos os efeitos de blindagem devido ás supercorrentes são
despreśıveis, uma vez que todos eles são proporcionais a |ψ|2.
Próximo à transição do estado supercondutor para o estado normal, quando ψ → 0,
podemos considerar que o campo magnético aplicado H não será expelido do interior da
amostra, sabendo que ψ se aproxima de zero podemos assumir que o termo βψ(r)|ψ(r)|2
é muito pequeno comparado com os termos lineares em ψ(r) na eq. (2.7) e portanto
podemos negligenciá-lo, e que A = Aext. Assim podemos escrever a eq. (2.7) da seguinte
forma
α(T )ψ(r)− ~
2
2m∗
(
∇− ie
∗A
~c
)2
ψ(r) = 0, (2.35)
reorganizando os termos obtemos que
(
∇
i
− e
∗A
~c
)2
ψ(r) =
[
2m∗α(T )
~2
]
ψ(r), (2.36)
Teoria de Ginzburg-Landau e a Rede de Vórtice de Abrikosov 18
relacionando a eq. (2.36) com o comprimento de coerência (2.13), encontramos
(
∇
i
− ie
∗A
~c
)2
ψ(r) =
1
ξ2(T )
ψ(r), (2.37)
utilizando o quantum de fluxo magnético Φo = (hc/e
∗) na eq. (2.37) e sabendo que
~ =
h
2π
após algumas manipulações temos
(
∇
i
− 2πA
Φ0
)2
ψ(r) =
1
ξ2(T )
ψ(r), (2.38)
esta é a equação de Ginzburg-Landau linearizada.
Em particular, podemos determinar os campos onde a soluçãos da equação linearizada
GL existem. Os valores dos campos determinados, correspondem aos campos cŕıticos para
transições de fase de primeira ordem na ausência de campo ou transição de fase de segunda
ordem com campo aplicado, para o campo de nucleação que estabelece um limite para a
extensão do super-resfriamento.
A partir da linearização das equações de GL, vamos resolver o problemada nucleação
de supercondutividade em uma amostra na presença de um campo constante H ao longo
do eixo z. Para isso vamos escolher convenientemente A como
A = xHŷ. (2.39)
A origem das coordenadas é irrelevante, uma vez que estamos considerando uma amostra
infinita. Expandindo o termo esquerdo de (2.38) e utilizando (2.39) temos
[
−∇2 + 4πi
Φ0
Hx
∂
∂y
+
(
2πH
Φ0
)2
x2
]
ψ =
1
ξ2
ψ. (2.40)
O potencial efetivo depende apenas de x, é razoável então procurar uma solução da forma
ψ = eiyKyeizKzf(x), (2.41)
substituindo (2.41) em (2.40), encontramos
−f ′′(x) +
(
2πH
Φ0
)2
(x− x0)2f(x) =
(
1
ξ2
−K2z
)
f(x), (2.42)
Teoria de Ginzburg-Landau e a Rede de Vórtice de Abrikosov 19
onde
x0 =
KyΦ0
2πH
. (2.43)
Multiplicando (2.42) por ~2/2m∗ e reorganizando os termos, obtemos que
− ~
2
2m∗
f ′′(x) +
1
2
m∗ω2c (x− x0)2f(x) =
~2
2m∗
(
1
ξ2
−K2z
)
f(x). (2.44)
Esta equação (2.44) é semelhante a equação de Schrödinger para o oscilador harmônico
quântico com ω2c =
(
2πH~
m∗Φ0
)2
=
(
|e∗|H
m∗c
)2
Podemos obter soluções para (2.44), observando que este problema é, formalmente,
o mesmo que o de encontrar os estados quantizados de uma part́ıcula carregada em um
campo magnético, o que leva a chamados ńıveis de Landau1. O resultado dos autovalores
para o oscilador harmônico quântico é:
En =
(
n+
1
2
)
~ωc, (2.45)
sunstituindo ωc em (2.45), temos
En =
(
n+
1
2
)
~|e∗|H
m∗c
, (2.46)
analisando a eq. (2.44), podemos igualar (2.46) com ~
2
2m∗
(ξ−2 −K2z ), assim(
n+
1
2
)
~|e∗|H
m∗c
=
~2
2m∗
(
1
ξ2
−K2z
)
, (2.47)
o que nos leva a uma expressão para o campo H dada por
H =
Φ0
2π(2n+ 1)
(
1
ξ2
−K2z
)
. (2.48)
Evidentemente, este tem o seu valor mais alto se Kz = 0 e n = 0. Dessa forma o valor
1A quantização de Landau é a quantização das órbitas ciclotron de part́ıculas carregadas em campos
magnéticos. Como resultado, as part́ıculas carregadas só pode ocupar órbitas com valores de energia
discretos, chamados ńıveis de Landau. Os ńıveis de Landau são degeneradas, com o número de elétrons
por ńıvel diretamente proporcional à intensidade do campo magnético aplicado.
Teoria de Ginzburg-Landau e a Rede de Vórtice de Abrikosov 20
correspondente, definido como campo cŕıtico superior Hc2, é
Hc2 =
Φ0
2πξ2(T ) . (2.49)
A solução para f(x) é dada por
f(x) = exp
[
−(x− x0)
2
2ξ2
]
, (2.50)
2.2 Rede de Vórtice de Abrikosov
Abrikosov em 1957, com base na teoria de GL, descreveu como ocorre a distribuição
do campo magnético no interior de um supercondutor no estado misto [24]. Ele mostrou
que neste estado, ocorre a formação de um arranjo de filamentos ciĺındricos, cujo caroço
tem raio igual ao comprimento de coerência ξ. Este arranjos se ordenam para minimizar a
energia do sistema. Os filamentos são paralelos ao campo magnético aplicado, no interior
dos quais a supercondutividade é suprimida. A figura 2.2 mostra o estado misto em um
supercondutor.
Figura 2.2: Estado misto
de um supercondutor do tipo
II. O gráfico mostra a va-
riação da densidade de por-
tadores de carga em função
da posição. Figura adaptada
ver Ref. [25] página 340.
As correntes de blindagem surgem ao redor dos caroços normais. O fluxo magnético
no interior do vórtice decai gradualmente na direção radial até se anular, enquanto que a
densidade dos superelétrons aumenta a partir do interior.
Por cada vórtice passa exatamente um quantum de fluxo magnético, dado por Φ =
hc/2e. Este fluxo é garantido por correntes circulando ao seu redor que, naturalmente,
decaem em um comprimento caracteŕıstico igual a λ. A distância que separa os vórtices
é de d ≈ 1/
√
n, onde n é o número de vórtices presente na amostra [26]. Se tomarmos
Teoria de Ginzburg-Landau e a Rede de Vórtice de Abrikosov 21
campos maiores que campo cŕıtico inferior, d é grande pois há poucos vórtices e estes
não estão interagindo uns com os outros. Ao aumentarmos o valor do campo aplicado,
cresce o número de vórtices no material e a separação entre eles torna-se comparável ao
comprimento de penetração de London (λL) [27]. A partir deste momento, a interação
entre eles se torna importante de modo que se d ≈ ξ, os caroços que estão na fase normal
começam a se sobrepor acabando gradualmente com a fase supercondutora.
Na seção anterior fizemos uma análise para o campo campo cŕıtico superior Hc2
usando a teoria GL linear e encontramos que a a utofunção para a eq.(2.44) é f(x) =
exp
[
− (x−x0)
2
2ξ2
]
. Portanto a solução completa, eq.(2.41), da eq.(2.40) que fornece o parâmetro
de ordem em H = Hc2 é dada por
ψk = e
iyk exp
[
−(x− x0)
2
2ξ2
]
, (2.51)
uma vez que Kz = 0 para este valor máximo de campo. O parâmetro Ky = k é
arbitrário, porém ligado a eq.(2.43). Cada uma das soluções em (2.51) corresponde
a uma fatia gaussiana de supercondutividade, de meia largura ξ e centrada no ponto
x = x0 = (KyΦ0)/(2πH). É razoável supor que a solução para ψ que minimize a energia
livre GL seja uma combinação linear das funções de ψk, ou seja
ψL =
∑
k
Ckψk =
∑
k
Cke
iyk exp
[
−(x− x0)
2
2ξ2
]
. (2.52)
Como as funções ψk mostram que a supercondutividade é nucleada em torno de certos
pontos no plano x − y, podemos supor que o parâmetro de ordem em (2.52) tem uma
estrutura periódica neste plano. Assim, devemos considerar que a solução geral tem a
seguinte forma
ψL =
∑
n
Cne
inqy exp
[
−(x− xn)
2
2ξ2
]
, (2.53)
onde o valor de k = nq é discreto com n inteiro, caso em que haverá uma periodicidade
em y com o peŕıodo ∆y = (2π)/q e xn = (nqΦ0)/(2πH). A periodicidade em x é dada
por
∆x =
qΦ0
2πH
=
Φ0
H∆y
, (2.54)
Teoria de Ginzburg-Landau e a Rede de Vórtice de Abrikosov 22
o que nos leva para
Φ0 = H∆y∆y, (2.55)
significa dizer que cada célula unitária é atravessada exatamente por um quantum de fluxo.
A eq.(2.53) é a solução da equação linear GL em Hc2, periódica em y por construção. Ela
será periódica também em x se os coeficientes Cn são funções periódicas de n tal que
Cn+ν = Cn, para o mesmo ν. Por exemplo, a rede quadrada de Abrikosov surge se todos
os Cn são iguais de modo que ν = 1, este é o caso que nos leva a eq.(2.54). Por outro
lado, uma rede triangular resulta se ν = 2 e C1 = iC0 [3].
Todas as soluções da forma (2.53) são posśıveis em Hc2. Para determinar qual deles
dever realmente ser observado, é necessário considerar os termos não lineares e realizar
alguns cálculos númericos. Como notado por Abrikosov, o parâmetro que determina a
preferência relativa de várias soluções posśıveis é
βA =
< |ψ|4 >
< |ψ|2 >2
. (2.56)
Este parâmetro é obviamente independente da normalização de ψ. A solução de Abri-
kosov para a rede de vórtices está mostrada na figura 2.3(a).
(a) (b)
Figura 2.3: (a) Curvas de ńıvel no plano x−y para |ψ|2 segundo a solução de Abrikosov para
a rede de vórtices quadrada, para este caso temos βA = 1.18. Figura extráıda da Ref. [28] (b)
Ilustração em cores para |ψ|2 na rede quadrada.
Um pequeno erro numérico levou Abrikosov a concluir que o arranjo da figura 2.3(a),
uma rede quadrada, seria o mais estável. Em 1964 W.H. Kleiner, L. M. Roth and S.
H. Autler retificaram este erro ao mostrarem que o arranjo triangular é de fato o mais
favorável dentre todas as posśıveis soluções periódicas [29], ver figura 2.4(a). Portanto
Teoria de Ginzburg-Landau e a Rede de Vórtice de Abrikosov 23
a rede de vórtices quadrada de Abrikosov não corresponde ao estado de menor energia
posśıvel.
(a) (b)
Figura 2.4: (a) Curvas de ńıvel para |ψ|2 segundo a solução de W.H. Kleiner, L. M. Roth
and S. H. Autler para a rede de vórtices, para este caso temos βA = 1.16. Figura extráıda da
Ref. [29] (b) Ilustração em cores para |ψ|2 na rede triangular.
Perceba que este resultado está em acordo com um argumento simples baseado no fato
de que na rede triangularcada vórtice está cercado por seis outros vórtices (ver figura
2.5b), de modo que a distância entre os primeiros vizinhos é a4 =
(
4
3
)1/4(
Φo
B
)1/2
=
1.075
(
Φo
B
)1/2
, enquanto que para a rede quadrada a� =
(
Φo
B
)1/2
. Portanto, para uma
dada densidade de fluxo a4 > a�.
Figura 2.5: Diagrama esquemático das redes de vórtices quadrada (a) e triangular (b). A
célula unitária básica está assinalada pelas linhas tracejadas. Figuras extráıda da Ref. [3].
CAṔITULO 3
Os Supercondutores Descritos em Camadas
Uma das caracteŕısticas dos supercondutores de alta temperatura é possuir uma estru-
tura em camadas [7,8], que são preenchidas alternadamente com material supercondutor
e materiais não (ou fracamente) supercondutores [3]. Em cada um dos planos, o mate-
rial apresenta isotropia enquanto que ao longo da direção perpendicular aos planos as
propriedades supercondutoras podem ser bastante diferentes.
A teoria convencional proposta por GL tornou-se aceita como um modelo macroscópico
para a supercondutividade em supercondutores isotrópicos [21]. No entanto, a mesma
não pode explicar a existência da anisotropia dos supercondutores em camadas. Em seu
lugar, foram propostos alguns modelos alternativos. Um desses é o modelo anisotrópico
de massa de Ginzburg-Landau [3, 30]. Neste modelo, os efeitos da estrutura em camadas
são calculados de modo que a natureza anisotrópica da matéria só aparece sob a forma
de um tensor de massa efetivo. Este modelo é uma generalização do modelo convencional
de Ginzburg-Landau. Este modelo será visto na seção 3.1.
Outro modelo de supercondutores em camadas é o modelo de Lawerence-Doniach,
onde no qual o material é tratado como uma pilha de planos supercondutores, cada par
dos quais é separado por um material isolante [31–33]. Além disso, neste modelo, o
acoplamento entre os planos supercondutores é semelhante ao que ocorre em uma Junção
Josephson [16]. Este modelo será discutido na seção 3.2.
Os Supercondutores Descritos em Camadas 25
Os supercondutores com estrutura em camadas bidimensionais ganharam destaque
após a descoberta da supercondutividade de alta temperatura cŕıtica, os famosos Hi-Tc
(high-temperature superconductors). Essa descoberta foi feita por Bednorz e Müller em
1986 [11], o que foi surpreendente pois revelou que os óxidos formava uma nova classe de
materiais supercondures [13, 34].
3.1 Modelo Anisotrópico de Ginzburg-Landau
O modelo convencional de GL não consegue explicar a existência da anisotropia de
massa nos supercondutores em camadas. Para tal explicação é preciso incorporar a aniso-
tropia simplesmente por introdução de um “tensor de massa efetivo”,
(←→
1
m
)
, na primeira
equação de GL, podendo então ser reescrita da seguinte forma
αψ + βψ|ψ|2 + 1
2
{
−i~
(
∇− ie
∗
~c
A
)}(←→
1
m
){
−i~
(
∇− ie
∗
~c
A
)}
ψ = 0, (3.1)
Em um sistema que pode ser considerado como uniaxial, o tensor de massa efetivo pode
ser escrito como
(←→
1
m
)
=

1
mx
0 0
0 1
mx
0
0 0 1
mz
 , (3.2)
onde o eixo z é a direção simétrica.
Para campos próximos de Hc2 e T próximo de Tc o parâmetro de ordem é pequeno o
suficiente para desprezarmos o termo não linear. Sendo assim a eq. (3.1) toma a forma
abaixo
−~
2
2
(
∇− ie
∗
~c
A
)(←→
1
m
)(
∇− ie
∗
~c
A
)
ψ = −αψ, (3.3)
esta equação é formalmente idêntica a equação de Schrödinger de uma part́ıcula com carga
e∗ e um tensor de massa
(←→
1
m
)
e um campo magnético uniforme H .
Estamos interessados em encontrar uma expressão para o campo cŕıtico Hc2 em um
supercondutor com anisotropia de massa, para isso vamos considerar o caso em que um
campo H sendo aplicado em uma camada supercondutora fina forma um ângulo ar-
Os Supercondutores Descritos em Camadas 26
bitrário, θ, com a mesma. Sendo assim temos o potencial vetor, A = Ayŷ, da seguinte
forma
Ay = H(x cos θ − zsenθ), (3.4)
esta escolha foi utilizada por K. Yamafuji, E. Kusayanagi and F. Irie que propuseram
uma simples fórmula anaĺıtica para descrever a dependência angular do campo cŕıtico
utilizando a equação GL linearizada [35].
Manipulando a eq.(3.3) obtemos
αψ − ~
2
2
(←→
1
m
)
∇2ψ + 1
2mx
(
e∗2
c2
A2y −
2~e∗
ic
Ay
∂
∂y
)
ψ = 0, (3.5)
onde foi utilizado o gauge de Coulomb ∇ · A = 0. Supondo que ψ = eiKyyϕ(x, z) e
utilizando (3.4) em (3.5) obtemos uma equação diferencial acoplada da seguinte forma
αϕ − ~
2
2mx
d2ϕ
dx2
+
K2y~2
2mx
ϕ− ~
2
2mz
d2ϕ
dz2
+
+
1
2mx
{
e∗2
c2
H2(x cos θ − zsenθ)2 − 2~e
∗KyH
c
(x cos θ − zsenθ)
}
ϕ = 0. (3.6)
Para desacoplar esta equação diferencial vamos utilizar uma mudança de variável dada
pela seguinte relação x′
z′
 =
 cos θ −senθ
asenθ b cos θ
x
z
 , (3.7)
onde a e b são constantes multiplicativas. As derivadas primeiras para x e z são
d
dx
= cos θ
(
d
dx′
)
+ asenθ
(
d
dz′
)
,
d
dz
= −senθ
(
d
dx′
)
+ b cos θ
(
d
dz′
)
,
(3.8)
e as derivadas segundas
d2
dx2
= cos2 θ
(
d2
dx′2
)
+ 2asenθ cos θ
(
d2
dz′dx′
)
+ a2sen2θ
(
d2
dz′2
)
,
d2
dz2
= sen2θ
(
d2
dx′2
)
− 2bsenθ cos θ
(
d2
dz′dx′
)
+ b2 cos2 θ
(
d2
dz′2
)
.
(3.9)
Os Supercondutores Descritos em Camadas 27
Comparando (3.9) com as derivadas segundas na expressão (3.6) percebe-se que a = 1 e
b = mz/mx para que os termos de derivadas segundas cruzadas sejam eliminados. Dessa
forma a expressão (3.6) pode ser reescrita como
αϕ − ~
2
2mx
{
cos2 θ
d2ϕ
dx′2
+ a2sen2θ
d2ϕ
dz′2
}
+
K2y~2
2mx
ϕ− ~
2
2mz
{
sen2θ
d2ϕ
dx′2
+ b2 cos2 θ
d2ϕ
dz′2
}
+
+
1
2mx
{
e∗2
c2
H2x′2 − 2~e
∗KyH
c
x
}
ϕ = 0. (3.10)
Supondo agora que ϕ = eiK
′
zz
′
ϕ′(x′) e substituindo o mesmo em (3.10) obtemos que
−
(
cos2 θ +
mx
mz
sen2θ
)
d2ϕ′
dx′2
+
1
~2
(
e∗H
c
x′ −Ky~
)2
ϕ′ = −2mxα
~2
ϕ′ +
− K ′2z
(
sen2θ +
mz
mx
cos2 θ
)
ϕ′,
(3.11)
multiplicando ambos os lados por ~2/2mx e usando que ξ2x(T ) = (~2/2mx|α(T )|) e Φo =
(2π~c/e∗) na eq.(3.11), obtemos após algumas manipulações que
− ~
2
2mx
d2ϕ′
dx′2
+
1
2
mxω
2
c (θ)(x
′ − xo)2ϕ′ = Eϕ′ , (3.12)
onde 
xo =
Ky~c
e∗H
ωc(θ) =
|e∗|H
mxc
(
cos2 θ + mx
mz
sen2θ
)−1/2
E =
~2
2mx
 1
1ξ2x
(
cos2 θ + mx
mz
sen2θ
) − K ′2z mz
mx

.
Pereceba que a eq.(3.12) é semelhante a equação do oscilador harmônico quântico
(OHQ), logo podemos obter soluções para a eq.(3.12) utilizando o mesmo formalismo do
Os Supercondutores Descritos em Camadas 28
OHQ cujo os autovalores resultantes são En = (n+ 1/2)~ωc(θ), o que nos leva a
H =
~c
e∗(n+ 1/2)
(
cos2 θ +
mx
mz
sen2θ
)1/2  1
2ξ2x
(
cos2 θ + mx
mz
sen2θ
) − mz
2mx
K ′2z
 , (3.13)
esta é a condição para o campo magnético aplicado. Para o caso de n = 0 e K ′z = 0 temos
o campo mais alto dado por
Hc2 =
Φo
2πξ2x
(
cos2 θ + mx
mz
sen2θ
)1/2 , (3.14)
onde Hc2 é denominado de campo cŕıtico superior, que é a solução procurada. Em parti-
cular, para campos paralelo e perpedicular ao plano simétrico, temos, respectivamente
Hc2‖ =
Φo
2πξx(T )ξz(T ) (3.15)
e
Hc2⊥ =
Φo
2πξ2x(T ) , (3.16)
utilizando (3.15) e (3.16) em (3.14) temos
H2c2
H2c2⊥
cos2 θ +
H2c2
H2c2‖
sen2θ = 1, (3.17)
que é a equação para uma elipse. Esta equação relaciona o campo cŕıtico Hc2 em qualquer
direção do campo magnético e a dependência angular de Hc2 esta caracterizada pelos
parâmetros ξx e ξz. Uma revisão desse assunto pode ser encontrada nas referências [1,3,25]
3.2 Modelo de Lawrence-Doniach
Certos compostos intermetálicos (Diboreto de Magnésio MgB2, Nióbio-Estanho Nb3Sn)
tem uma estrutura de camadas em que a condutividade no plano excede a condutividade
normal nas camadas. Isso aplica-se para a maioria dos supercondutores de alta tempera-
tura. Cada estrutura pode ser feita artificialmente por depósito de camadas alternadas
Os Supercondutores Descritos em Camadas 29
de um supercondutor e um material de baixa condutividade.O modelo simplesmente é assumir que as camadas supercondutoras de espessura ds
são acopladas pelo tunelamento do parâmetro de ordem (acoplamento Josephson) através
de camadas isolante de espessura dN . Para essa descrição a energia livre proposta por
Lawrence e Doniach é da seguinte forma
F =
∑
n
N
∫
d2r
 ~22m∗
∣∣∣∣∣
(
∇− ie
∗
~c
A⊥
)
ψn
∣∣∣∣∣
2
+ α|ψn|2 +
1
2
β|ψn|4 +
+
~2
2m∗zN
2
∣∣∣∣∣ψn+1 exp
(
− ie
∗
~c
ĀzN
)
− ψn
∣∣∣∣∣
2
+ 18π
∫
H2d3r, (3.18)
com Āz =
1
N
∫ (n+1)N
nN
Azdz. Pereceba que existe um termo a mais quando comparado
esta energia livre com a energia livre da teoria GL, este termo (primeiro termo da segunda
linha na eq. (3.18)) é justamente o termo de acoplamento entre os planos.
Da mesma forma que foi feito na teoria convencional GL, podemos encontrar equações
para o parâmetro ψn e a corrente J utilizando prinćıpio de minimização de energia.
Para obtermos o mı́nimo devemos fazer δF = 0 ou δF/δψn = δF/δψ
∗
n = δF/δA⊥ =
δF/δĀz = 0. Sendo assim, primeiramente vamos minimizar a eq.(3.18) em relação a ψ
∗
n
onde representaremos por δψ∗nF . Sabendo que |ψn|2 = ψnψ∗n e |ψn+1|2 = ψn+1ψ∗n+1, temos
δψ∗nF =
∑
n
N
∫
d2r
{
αψnδψ
∗
n + βψn|ψn|2δψ∗n+
+
~2
2m∗
(
∇− ie
∗
~c
A⊥
)
ψnδ
(
∇+ ie
∗
~c
A⊥
)
ψ∗n
}
+
+
∑
n
N
∫
d2r
~2
2m∗zN
2
δ
{[
ψn+1 exp
(
−ie
∗
~c
ĀzN
)
− ψn
]
×
×
[
ψ∗n+1 exp
(
ie∗
~c
ĀzN
)
− ψ∗n
]}
= 0, (3.19)
simplificando os cálculos vamos definir queR =
(
∇− ie
∗
~c
A⊥
)
ψn e φ = exp
(
− ie
∗
~c
ĀzN
)
,
Os Supercondutores Descritos em Camadas 30
assim podemos reescrever a expressão (3.19) da seguinte forma
δψ∗nF =
∑
n
N
∫
d2r
{
αψnδψ
∗
n + βψn|ψn|2δψ∗n +
~2
2m∗
δ
[
R ·
(
∇+ ie
∗
~c
A⊥
)
ψ∗n
]}
+
+
∑
n
N
∫
d2r
~2
2m∗zN
2
δ
{
ψn+1ψ
∗
n+1 − ψ∗nψn+1φ− ψnψ∗n+1φ∗ + ψnψ∗n
}
= 0, (3.20)
utilizando a identidade vetorial ∇ · (δψ∗nR) = R · (∇δψ∗n) + δψ∗n(∇ ·R) no termo entre
colchetes da primeira linha na expressão (3.20) obtemos
δψ∗nF =
∑
n
N
∫
d2r
{
~2
2m∗
[
∇ · (δψ∗nR)− δψ∗n(∇ ·R) +
ie∗
~c
R ·A⊥δψ∗n
]}
+
+
∑
n
N
∫
d2r
{
αψnδψ
∗
n + βψn|ψn|2δψ∗n
}
+
+
∑
n
N
∫
d2r
~2
2m∗zN
2
δ
{
ψn+1ψ
∗
n+1 − ψ∗nψn+1φ− ψnψ∗n+1φ∗ + ψnψ∗n
}
= 0, (3.21)
organizando os termos na expressão (3.21) vamos obter que
δψ∗nF =
∑
n
N
∫
d2r
{
~2
2m∗
[
∇ · (δψ∗nR) + δψ∗n
(
∇− ie
∗
~c
A⊥
)
·R
]}
+
+
∑
n
N
∫
d2r
{
αψnδψ
∗
n + βψn|ψn|2δψ∗n
}
+
+
∑
n
N
∫
d2r
~2
2m∗zN
2
δ {ψn+1δn,n+1 − ψn+1φ− ψnδn,n+1φ∗ + ψn} δψ∗n
= 0, (3.22)
lembrando que R = (∇ − ie∗~cA⊥)ψn e φ = exp(−
ie∗
~c ĀzN) temos que a expressão (3.22)
torna-se
δψ∗nF =
∑
n
N
∫
d2r
{
αψn + βψn|ψn|2 −
~2
2m∗
(
∇− ie
∗
~c
A⊥
)2
ψn
}
δψ∗n +
−
∑
n
N
∫
d2r
~2
2m∗zN
2
{
ψn+1 exp
(
−ie
∗
~c
ĀzN
)
− 2ψn+
+ ψn−1 exp
(
ie∗
~c
ĀzN
)}
δψ∗n +
∑
n
∫
d3r
~2
2m∗
[∇ · (δψ∗nR)]
= 0, (3.23)
Os Supercondutores Descritos em Camadas 31
utilizando o teorema da divergência podemos escrever que
∫
d3r
~2
2m∗
[∇ · (δψ∗nR)] =
~2
2m∗
∮
A
(δψ∗nR) · n̂d2r (3.24)
onde R · n̂ = 0, assim obtemos da expressão (3.23) a equação de Lawrence-Doniach dada
por
− ~
2
2m∗
(
∇− ie
∗
~c
A⊥
)2
ψn + αψn + βψn|ψn|2+
− ~
2
2m∗zN
2
[
ψn+1 exp
(
− ie
∗
~c
ĀzN
)
− 2ψn + ψn−1 exp
(
ie∗
~c
ĀzN
)]
= 0
. (3.25)
Vamos agora minimizar a expressão (3.18) em relaçãoA⊥, para isso vamos reescrevê-la
da forma abaixo
F =
∑
n
F0 + F1 +N
∫
d2r
 ~2
2m∗
∣∣∣∣∣
(
∇− ie
∗
~c
A⊥
)
ψn
∣∣∣∣∣
2
+ 18π
∫
H2d3r, (3.26)
onde
F0 = N
∫
d2r
[
α|ψn|2 +
1
2
β|ψn|4
]
e
F1 = N
∫
d2r
 ~22m∗zN2
∣∣∣∣∣ψn+1 exp
(
−ie
∗
~c
ĀzN
)
− ψn
∣∣∣∣∣
2
 .
Minimizando (3.26) em relação a A⊥
δ[F ]
δA⊥
=
∑
n
δ[F0]δA⊥ + δ[F1]δA⊥ +N
∫
d2r
δ
δA⊥
 ~2
2m∗
∣∣∣∣∣
(
∇− ie
∗
~c
A⊥
)
ψn
∣∣∣∣∣
2
+
+
1
8π
∫
d3r
δ
δA⊥
H2 = 0, (3.27)
Os Supercondutores Descritos em Camadas 32
analisando cada termo em (3.27), obtemos que para o primeiro e segundo termo
δ[F0]
δA⊥
=
δ[F1]
δA⊥
= 0, (3.28)
para a integral que está entre colchetes em (3.27) temos
I =
δ
δA⊥
[
~2
2m∗
(
∇− ie
∗
~c
A⊥
)
ψn
(
∇+ ie
∗
~c
A⊥
)
ψ∗n
]
, (3.29)
o qual nos leva a
I =
ie∗~
2m∗c
[
−ψn
(
∇+ ie
∗
~c
A⊥
)
ψ∗n + ψ
∗
n
(
∇− ie
∗
~c
A⊥
)
ψn
]
,
=
ie∗~
2m∗c
(ψ∗n∇ψn − ψn∇ψ∗n) +
e∗2
m∗c2
A⊥|ψn|2, (3.30)
e finalmente analisando o último termo em (3.27) obtemos que
1
8π
∫
d3r
δ
δA⊥
H2 =
∫
d3r
δ
δA⊥
[
|(∇×A⊥)|2
8π
]
,
=
1
4π
∫
d3r(∇×∇×A⊥), (3.31)
substituindo (3.28), (3.29) e (3.31) em (3.27)
δ[F ]
δA⊥
=
∑
n
∫
d3r
{
ie∗~
2m∗c
(ψ∗n∇ψn − ψn∇ψ∗n) +
e∗2
m∗c2
A⊥|ψn|2+
+
1
4π
(∇×∇×A⊥)
}
= 0, (3.32)
portanto
1
4π
(∇×∇×A⊥) = −
ie∗~
2m∗c
(ψ∗n∇ψn − ψn∇ψ∗n)−
e∗2
m∗c2
A⊥|ψn|2, (3.33)
utilizando a lei de Ampère ∇ ×H = 4π
c
J na eq.(3.33) encontramos uma equação para
J⊥ dada por
J⊥ = −
ie∗~
2m∗
(ψ∗n∇ψn − ψn∇ψ∗n)−
e∗2
m∗c
A⊥|ψn|2
, (3.34)
Os Supercondutores Descritos em Camadas 33
onde esta equação é semelhante a equação da corrente (2.9) na teoria convencional de GL.
Minimizando (3.26) em relação a Āz, temos
δ[F ]
δĀz
=
∑
n
N
∫
d2r
δ
δĀz
 ~22m∗zN2
∣∣∣∣∣ψn+1 exp
(
−ie
∗
~c
ĀzN
)
− ψn
∣∣∣∣∣
2
+ 18π
∫
d3r
δ
δĀz
H2,
=
∑
n
N
∫
d2r
~2
2m∗zN
2
δ
δĀz
[
ψn+1 exp
(
−ie
∗
~c
ĀzN
)
− ψn
]
×
×
[
ψ∗n+1 exp
(
ie∗
~c
ĀzN
)
− ψ∗n
]
+
1
4π
∫
d3r(∇×∇× Āzẑ),
=
∑
n
∫
d3r
{
ie∗~
2m∗zcN
[
ψn+1 exp
(
− ie
∗
~c
ĀzN
)
ψ∗n − ψ∗n+1 exp
(
ie∗
~c
ĀzN
)
ψn
]}
+
+
1
4π
∫
d3r(∇×∇× Āzẑ)
= 0, (3.35)
utilizando novamente a lei de Ampère chegamos a
J‖n+1,n = −
ie∗~
2m∗zcN
[
ψn+1 exp
(
−ie
∗
~c
ĀzN
)
ψ∗n − ψ∗n+1 exp
(
ie∗
~c
ĀzN
)
ψn
]
, (3.36)
esta é a equação para corrente de tunelamento entre os planos n e n + 1. Em resumo
temos abaixo as equações de Lawrence-Doniach:
− ~
2
2m∗
(
∇− ie
∗
~c
A⊥
)2
ψn + αψn + βψn|ψn|2+
− ~
2
2m∗zN
2
[
ψn+1 exp
(
− ie
∗
~c
ĀzN
)
− 2ψn + ψn−1 exp
(
ie∗
~c
ĀzN
)]
= 0,
J⊥ = −
ie∗~
2m∗
(ψ∗n∇ψn − ψn∇ψ∗n)−
e∗2
m∗c
A⊥|ψn|2,
J‖n+1,n = −
ie∗~
2m∗zcN
[
ψn+1 exp
(
−ie
∗
~c
ĀzN
)
ψ∗n − ψ∗n+1 exp
(
ie∗
~c
ĀzN
)
ψn
]
.
Como no modelo anisotrópico GL nos restringimos a avaliar o campo Hc2, em que caso
poderiamos negligenciar o termo não linear, vamos fazer a mesma análise aqui. Nesse
caso vamos considerar o campo magnético no plano xz, e aproveitando a periodicidade
Os Supercondutores Descritos em Camadas 34
da camada escolhemos um gauge para que o potencial vetor não tenha dependência de Z:
A⊥ + Āzẑ = Hx(cos θŷ − senθẑ). (3.37)
Procuramos uma solução da forma
ψn = e
i(KznN+Kyy)un(x). (3.38)
Desprezando o termo não linear na eq. de Lawrence-Doniach (3.25), a mesma toma a
seguinte forma
~2
2m∗
(
∇− ie
∗
~c
A⊥
)2
ψn︸ ︷︷ ︸
(I)
+
~2
2m∗zN
2
[
ψn+1 exp
(
−ie
∗
~c
ĀzN
)
− 2ψn + ψn−1 exp
(
ie∗
~c
ĀzN
)]
︸ ︷︷ ︸
(II)
= αψn (3.39)
vamos analisar os termos I e II separadamente em (3.39) com uso da eq.(3.38).
Para o primeiro termo temos
~2
2m∗
(
∇− ie
∗
~c
A⊥
)2
ψn =
~2
2m∗
[
∇2ψn −
2ie∗
~c
A⊥ · (∇ψn)−
e∗2
~2c2
A2⊥ψn
]
, (3.40)
onde utilizamos a identidade ∇ · (A⊥ψn) = ψn(∇·A⊥)+A⊥ · (∇ψn) com ∇ ·A⊥ = 0 que
é o gauge de Coulomb. Substituindo (3.37) e calculando as derivadas de ψn em (3.40),
obtemos para o primeiro termo de (3.39) que
~2
2m∗
(
∇− ie
∗
~c
A⊥
)2
ψn =
[
− ~
2
2m∗
d2
dx2
+
m∗ω2c
2
(x− xo)2 cos2 θ
]
ei(KznN+Kyy)un(x),(3.41)
onde definimos ω2c =
(
|e∗|H
m∗c
)
e xo =
~cKy
e∗H cos θ
.
Definimos no ińıcio dessa seção que Āz =
1
N
∫ (n+1)N
nN
Azdz e tendo em vista a escolha
feita em (3.37) podemos obter então que Āz = −Hxsenθ. Sendo assim o segundo termo
em (3.39) torna-se igual a
2
[
cos
(
KzN +
e∗NH
~c
xsenθ
)
− 1
]
ei(KznN+Kyy)un(x). (3.42)
Os Supercondutores Descritos em Camadas 35
Com o uso das eqs. (3.41) e (3.42) a eq.(3.39) toma a seguinte forma
{
− ~
2
2m∗
d2
dx2
+
1
2
m∗ω2c (x− xo)2 cos2 θ+
− ~
2
m∗zN
2
[
cos
(
KzN +
e∗NH
~c
xsenθ
)
− 1
]
+ α
}
un(x) = 0. (3.43)
Para o casode H perpendicular as camadas, temos novamente um problema do oscilador
harmônico quântico idêntico ao que tratamos na seção anterior. Já para o caso de H
paralelo as camadas, a eq.(3.43) torna-se
{
− ~
2
2m∗
d2
dx2
− ~
2
m∗zN
2
[
cos
(
KzN +
e∗NH
~c
x
)
− 1
]
+ α
}
un(x) = 0, (3.44)
mudar o valor de Kz em (3.44) é o mesmo efeito que deslocar a origem no eixo x. Inicial-
mente vamos fixar a origem de tal forma que o argumento do cosseno desapareça quando
x = 0, sendo assim Kz = 0. Definindo que
V (x) =
~2
m∗zN
2
[
1− cos
(
e∗NH
~c
x
)]
, (3.45)
e expandindo V (x) até a segunda ordem, obtemos um potencial para o oscilador harmônico
que com a substituição de (3.45) em (3.44) encontramos
− ~
2
2m∗
d2u
dx2
+
[
1
2
m∗ω2cx
2 + α
]
un(x) = 0, (3.46)
onde ωc = (|e∗|H/c
√
m∗m∗z). O menor autovalor para eq.(3.46) é −α = ~ωc/2, o que nos
fornece um campo cŕıtico Hc2‖ dado por
Hc2‖ =
Φ0
2πξ(T )ξz(T ) , (3.47)
que é o mesmo encontrado para Hc2 em (3.15), com ξ
2(T ) = (~2/2m∗|α(T )|) e ξ2z (T ) =
(~2/2m∗z|α(T )|). Para mais detalhes sobre o modelo de Lawrence-Doniach consultar re-
ferências [3, 30–32]
Os Supercondutores Descritos em Camadas 36
3.3 Cupratos e Pnict́ıdeos
Até 1986, os cientistas acreditavam que a teoria BCS não permitia a existência da
supercondutividade acima de temperaturas de 30K [36]. A essa temperatura, a energia
térmica era capaz de quebrar o par de Cooper, responsável pela supercondutividade.
Neste ano, foi observada a supercondutividade em óxidos cerâmicos, especialmente nos
chamados cupratos. Essa descoberta foi realizada pelo f́ısico súıço Alexander Müller e
o alemão Georg Bednorz, sendo esta a primeira observação dos supercondutores de alta
temperatura cŕıtica.
A denominação alta temperatura vem do fato de que a temperatura cŕıtica, embora
ainda muito baixa, está acima da temperatura de liquefação do Nitrogênio, um gás muito
utilizado na refrigeração.
Bednorz e Müller observaram que o cuprato com uma estrutura de perovskita1 baseado
em Lantânio se tornou supercondutor em uma temperatura de transição de 35K [11], com
essa descoberta eles ganharam o prêmio Nobel em 1987.
Muitos materiais com estruturas em camadas foram descobertos, em destaque temos
o material YBa2Cu3O7−x (́Itrio, Bário, Cobre) que foi descoberto por M. K. Wu et al.
em 1987 [37] e desde então tornou-se um dos materiais supercondutores mais estudado
na área [38–40]. Existem uma série de vantagens de se trabalhar com YBCO, pois esse
composto não possui elementos tóxicos e nem compostos voláteis, é fácil de ser fabricado
como policristal e é menos anisotrópico que os outros materiais supercondutores. A célula
unitária de YBCO (ver figura 3.1) é composta por três células cúbicas de perovskita.
Cada célula contém um átomo de Ítrio ou de Bário. Dessa forma são organizados na
sequência [Ba-Y-Ba] ao longo do eixo-c. Todos os sitios no canto de cada célula unitária
são ocupadas por um cobre, que tem duas coordenações diferentes, Cu (1) e Cu (2), em
relação ao Oxigênio. A presença de duas camadas de CuO2 é uma das caracteŕısticas
chave da célula unitária de YBCO. O plano do Ítrio tem o papel de servir como um
espaçador entre dois planos de CuO2.
A produção do YBCO pode ser feita de diferentes formas, o que resulta em amos-
tras monocristalinas e policristalinas. As amostras monocristalinas são formadas por um
1A Perovskita é um mineral relativamente raro ocorrendo na forma de cristais ortorrômbicos (pseu-
docúbicos). Em geral são materiais cerâmicos que combinam elementos metálicos com não metálicos,
freqüentemente oxigênio, possuindo um arranjo atômico particular. Muitas cerâmicas supercondutoras
têm a estrutura da perovskita.
Os Supercondutores Descritos em Camadas 37
Figura 3.1: Célula unitária de YBCO. Figura extráıda da Ref. [36].
arranjo periódico da estrutura cristalina do YBCO enquanto as amostras policristalinas
podem ser produzidas através de diversas técnicas resultando em policristalinas conven-
cionais e texturizadas [41].
Uma das caracteŕıstica mais interessante dos cupratos é a presença de um pseudogap
que aparece no estado normal permanecendo até a fase supercondutora. Este apareci-
mento acontece acima de Tc fazendo com que exista formação de pares acima de Tc [42].
O pseudogap é definido como uma abertura parcial na densidade de estados que ocorre
numa temperatura caracteŕıstica T ∗ acima de Tc (ver figura 3.2). A primeira observação do
pseudogap foi através de Ressonância Magnética Nuclear [43]. A magnitude do pseudogap
é grande na região chamada de subdopada e diminui quando o ńıvel de dopagem aumenta
numa região chamada superdopada, chegando a zero na dopagem ótima do supercondutor
[44].
A procura por outros materiais supercondutores de alta temperatura, levou à desco-
berta de uma nova classe desses supercondutores. Essas nova classe foi descoberta em
compostos de arsênio em camadas de ferro, os chamados pnict́ıdeos. Esta nova descoberta
tem gerado um grande interesse na comunidade cient́ıfica, pois abriu um novo caminho
para a pesquisa de supercondutividade a alta temperatura cŕıtica.
Em fevereiro de 2008, H. Hossono e sua equipe de pesquisadores anunciaram o pri-
Os Supercondutores Descritos em Camadas 38
Figura 3.2: Diagrama de fase do pseudo-
gap. O equiĺıbrio entre as diferentes fases é
controlado pela temperatura e os portadores
de carga pela dopagem. O material não do-
pado é antiferromagnético, após a dopagem
esta fase desaparece rapidamente e a fase su-
percondutora aparece. O Tc é a temperatura
cŕıtica máxima obtida na dopagem. O regime
superdopado é definido como a região do di-
agrama de fases em que a dopagem é maior
do que dopagem ótima. Neste regime as pro-
priedades eletrônicas são consideradas como
aquelas de um ĺıquido de Fermi. O regime
subdopado é definido para dopagens abaixo
da dopagem ótima, a magnitude do pseudo-
gap é grande.
meiro material supercondutor com óxido de Ferro, LaFeAsO1−xFx, com temperatura de
transição igual a 26K [45]. Alguns meses depois, uma equipe da China publicou os re-
sultados obtidos com um material supercondutor com óxido de Ferro, com uma pequena
modificação que foi a troca o Lantânio (La) pelo Samário (Sa) - SaFeAsO1−xFx - com
temperatura de transição igual a 43K [46].
Uma outra equipe chinesa, na mesma epóca, anunciaram a identificação de outro
material supercondutor com óxido de Ferro, desta vez trocando o Samário (Sa) pelo
Cério (Ce) - CeFeAsO1−xFx - cuja temperatura de transição é 41K [47].
Com a descobertas de vários compostos de ferro e arsênio, os pnict́ıdeos foram divididos
em diferentes famı́lias. O composto LnFeAsO é conhecido como famı́lia 1111, o composto
BaFe2As2 representa a famı́lia 122, o composto LiFeAs representa a famı́lia 111 e por
último o coposto α-FeSe conhecido como famı́lia 11 [10]. A estrutura cristalina dessas
famı́lias estão ilustrada na figura 3.3:
O material cristalino LaOFeAs, figura 3.3a, tem uma estrutura formada em camadas
bidimensionais devido as diferenças entre a natureza iônica da ligação do La-O (óxido
de Lantânio) e a ligação covalente de Fe-As (arseneto de Ferro). O composto BaFe2As2,
figura 3.3b, contém praticamente camadas idênticas de tetraedros FeAs4/4, mas são sepa-
rados por átomos de Bário em vez de folhas LaO. A figura 3.3c mostra a estrutura do
LiFeAs que se cristaliza em uma estrutura de Cu2Sb tipo tetragonal contendo FeAs. O
cristal de FeSe é composto por uma pilha de tetraedros FeSe4 camada por camada [48],
Os Supercondutores Descritos em Camadas 39
Figura 3.3: Estrutura cristalina esquemática de: (a) LaFeAsO, (b) BaFe2As2, (c) LiFeAs e
(d) α-FeSe. Figura extráıda da Ref. [10].
como mostrado esquematicamente na figura 3.3d. Para mais detalhes dessas e/ou outras
estruras cristalinas tantos dos cupratos