Viga método de cross 1

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Questão 4 
 
O método de solução adotado foi o Método de Cross, a sequência de pontos a se 
considerar será em ordem alfabética, começando da esquerda para a direita, partindo de 
A o primeiro ponto, e H o último ponto. 
Os apoios intermediários (C), e (E), serão grampeados temporariamente para aplicação 
do método. 
 
 
 
Cálculo do coeficiente de rigidez á rotação (k), para a barra C-A, considerando o 
produto (EI) constante: 
𝑘 =
3𝐸𝐼
𝐿
=
3𝐸𝐼
3
 
Para a barra C-E, e E-C: 
𝑘 =
4𝐸𝐼
𝐿
=
4𝐸𝐼
4
 
Para a barra E-H: 
𝑘 =
3𝐸𝐼
𝐿
=
3𝐸𝐼
5
 
 
Cálculo do fator de distribuição de momento (Fd), para a barra C-A: 
𝐹𝑑 =
3𝐸𝐼
3
3𝐸𝐼
3 +
4𝐸𝐼
4
= 0,5 
 
 
 
Para a barra C-E: 
𝐹𝑑 =
4𝐸𝐼
4
3𝐸𝐼
3 +
4𝐸𝐼
4
= 0,5 
Para a barra E-C: 
𝐹𝑑 =
4𝐸𝐼
4
4𝐸𝐼
4 +
3𝐸𝐼
5
= 0,63 
Para a barra E-H: 
𝐹𝑑 =
3𝐸𝐼
5
4𝐸𝐼
4 +
3𝐸𝐼
5
= 0,37 
 
Cálculo dos momentos de engastamento perfeito (MEP), para a barra C-A, 
considerando carga distribuída (20kN/m): 
𝑀𝑐 = −
𝑞𝐼2
8
= −
20.3²
8
= −22,5𝑘𝑁.𝑚 
 
Considerando carga momento (7kN.m): 
𝑀𝑐 = −
𝑀
2
(
3. 𝑎2
𝐿2
− 1) = −
7
2
(
3. 1,52
32
− 1) = 0,88𝑘𝑁.𝑚 
 
Momento à esquerda de C: 
𝑀𝑐 = −22,5 + 0,88 = −21,63𝑘𝑁.𝑚 
 
Para a barra C-E, considerando carga distribuída (15kN/m): 
𝑀𝑐 =
𝑞𝐼2
12
=
15.4²
12
= 20𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑒 = −
𝑞𝐼2
12
= −
15.42
12
= −20𝑘𝑁.𝑚 
 
Para a barra C-E, considerando carga concentrada (17kN): 
𝑀𝑐 =
𝑃𝑎𝑏²
𝐿²
=
17.3,09.0,91²
4²
= 2,72𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑒 = −
𝑃𝑎2𝑏
𝐿2
= −
17.3,092. 0,91
42
= −9,23𝑘𝑁.𝑚 
 
Momento à direita de C: 
𝑀𝑐 = 20 + 2,72 = 22,72𝑘𝑁.𝑚 
 
Momento à esquerda de E: 
𝑀𝑒 = −20 − 9,23 = −29,23𝑘𝑁.𝑚 
 
Para a barra E-H, considerando carga distribuída (10kN/m): 
𝑀𝑒 =
𝑞𝐼2
8
=
10.5²
8
= 31,25𝑘𝑁.𝑚 
 
Para a barra E-H, considerando carga momento (7kN.m): 
𝑀𝑒 = −
𝑀
2
(
3. 𝑏2
𝐿2
− 1) = −
7
2
(
3. 3,82
52
− 1) = −2,56𝑘𝑁.𝑚 
 
Para a barra E-H, considerando carga concentrada (12,5kN): 
𝑀𝑒 =
𝑃𝑎𝑏
2𝐿2
(𝐿 + 𝑏) =
12,5.4.1
2. 52
. (5 + 1) = 6𝑘𝑁.𝑚 
 
Momento à direita de E: 
𝑀𝑒 = 31,25 − 2,56 + 6 = 34,69𝑘𝑁.𝑚 
 
 
 
Cálculo da distribuição dos momentos 
Nó A C E H 
Barra A-C C-A C-E E-C E-H H-E 
Fd 0 0,5 0,5 0,63 0,37 0 
MEP 0 -21,63 22,72 -29,23 34,69 0 
 -3,44 -2,02 
 -1,72 
 0,31 0,31 
 0,16 
 -0,10 -0,06 
 -0,05 
 0,03 0,03 
 0,02 
 -0,01 -0,01 
 -0,00 
 0,00 0,00 
 0,00 
Σ 0 -21,29 21,29 -32,6 32,6 0 
 
Cálculo das reações de apoio 
Considerando o segmento A-C: 
∑𝑀𝑐 = 0 
𝑉𝐴. 3 − 7 − (20.3.1,5) + 21,29 = 0 
𝑉𝐴. 3 = 75,71 
𝑉𝐴 = 25,24𝑘𝑁 
𝑉𝐶´ = 34,76𝑘𝑁 
 
Cálculo do momento máximo positivo 
25,24. 𝑋 −
20𝑋²
2
= 𝑀 
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉 ↔ 𝑉 = 0 ∴ 𝑀 = 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 
𝑉 = 25,24 − 20𝑋 
25,24 − 20𝑋 = 0 ∴ 𝑋 = 1,26𝑚 
𝑀 = 25,24. (1,26) −
20. (1,262)
2
= 15,93𝑘𝑁.𝑚 
20kN/m 
7kN.m 
1,5m 1,5m 
21,29kN.m 
VA VC 
A C 
Considerando o segmento C-E: 
∑𝑀𝑒 = 0 
𝑉𝐶´´. 4 − (15.4.2) − 17.0,91 − 
21,29 + 32,6 = 0 
𝑉𝐶´´. 4 = 124,16 
𝑉𝐶´´ = 31,04 
𝑉𝐶 = 𝑉𝐶´ + 𝑉𝐶´´ = 65,8𝑘𝑁 
𝑉𝐸´ = 45,96𝑘𝑁 
 
Considerando o segmento E-H: 
∑𝑀ℎ = 0 
𝑉𝐸´´. 5 − (10.5.2,5) − 12,5.1 − 
7 − 32,6 = 0 
𝑉𝐸´´. 5 = 
𝑉𝐸´´ = 35,42 
𝑉𝐸 = 𝑉𝐸´ + 𝑉𝐸´´ = 81,38𝑘𝑁 
𝑉𝐻 = 27𝑘𝑁 
 
Diagrama de Esforço Cortante 
 
15kN/m 
3,09m 0,91m 
21,29kN.m 
VC VE 
C E 
17kN 
32,6kN.m 
10kN/m 
1m 
32,6kN.m 
VE VH 
E H 
12,5kN 
7kN.m 
2,8m 
1,2m 
Diagrama de Momento Fletor