A2 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

Prévia do material em texto

2  Código: 29479 - Enunciado: O resultado de produtos entre vetores pode ser um número
real ou um vetor, e a cada produto se pode associar uma interpretação geométrica
distinta. Sobre o vetor que é resultado de , podemos afirmar que:
 a) Forma ângulo obtuso com e com .
 b) É ortogonal a e a .
 c) Possui módulo igual a 1.
 d) É paralelo a e a .
 e) É igual a (2, 3, 1).
Alternativa marcada:
b) É ortogonal a e a .
Justificativa: Resposta correta:É ortogonal a e a . Esta é uma propriedade do produto
vetorial: o vetor resultado de um produto vetorial é ortogonal a cada um dos
vetores. Distratores:É paralelo a e a . Errada. É ortogonal, ou seja, forma ângulo de 90 graus,
simultaneamente, com os vetores u e v.É igual a (2, 3, 1). Errada. Não há dados para realizar
o cálculo.Possui módulo igual a 1. Errada. Não há dados para realizar o cálculo.Forma
ângulo obtuso com e com . Errada. O ângulo é de 90 graus.
0,50/ 0,50
3  Código: 29474 - Enunciado: Considere o paralelepípedo a seguir. Considerando os
vetores , podemos concluir que: 
 a) são vetores paralelos, porque têm o mesmo sentido.
 b) são vetores paralelos, porque têm a mesma direção.
 c) são vetores opostos, porque estão sobre arestas distintas.
 d) são vetores ortogonais, porque têm sentidos opostos.
 e) são vetores iguais, porque estão sobre arestas distintas.
Alternativa marcada:
b) são vetores paralelos, porque têm a mesma direção.
Justificativa: Resposta correta: são vetores paralelos, porque têm a mesma direção. Os três
vetores têm a mesma direção, pois estão sobre arestas paralelas de um
paralelepípedo. Distratores: são vetores paralelos, porque têm o mesmo sentido.
Errada. Eles serem paralelos não depende do sentido, e sim da direção. são vetores
ortogonais, porque têm sentidos opostos. Errada. Não são ortogonais. são vetores opostos,
porque estão sobre arestas distintas. Errada. Esse não é o conceito de oposto. são vetores
iguais, porque estão sobre arestas distintas. Errada. Não têm as mesmas coordenadas
cartesianas.
2,00/ 2,00
4  Código: 29972 - Enunciado: As equações paramétricas do plano explicitam as três
coordenadas cartesianas e introduzem dois parâmetros associados aos vetores diretores do
plano. Assim, considere que o ponto está no plano , e seus vetores diretores, não
pararalelos, podem ser representados por . Marque a alternativa que apresenta as equações
paramétricas desse plano.
 a) 
 b) P = (1, 1, 4) + (1, 1, 2) . h + (–2, –1, –2) . t.
 c) 
 d) 
 e) P = (1, 1, 4) + (1, 0, 2) . h + (–2, –1, –2) . t
Alternativa marcada:
d) 
Justificativa: Resposta correta: Essas são as equações paramétricas do plano, com as
coordenadas x, y e z explícitas, as coordenadas do ponto A (1, 1, 4) e as coordenadas dos
vetores associadas (multiplicadas) aos parâmetros h e t. Distratores:Errada. Não apresenta
o segundo vetor diretor.P = (1, 1, 4) + (1, 0, 2) . h + (–2, –1, –2) . t. Errada. Essa é a equação
vetorial do plano.P = (1, 1, 4) + (1, 1, 2) . h + (–2, –1, –2) . t. Errada. Além de ser essa a equação
vetorial do plano, o vetor diretor associado ao parâmetro h está com a ordenada
errada. Errada. Na segunda equação, faltou a ordenada do ponto.
0,00/ 1,50
5  Código: 29982 - Enunciado: Há distintas posições relativas entre retas e planos, entre as
quais estão o paralelismo e a concorrência. Para determinar se dois planos são concorrentes
ou paralelos, é necessário verificar algumas de suas características, por exemplo,
algebricamente por meio de suas equações. Considere a reta e o plano descritos a
seguir: Diante disso, marque a alternativa que apresenta uma afirmativa correta sobre a
reta r e o plano . 
 a) r e são paralelos, e o ponto de intersecção é P(–3, 2, 4).
 b) r e são concorrentes, e o ponto de intersecção entre eles é P(2, 3, –1). 
 c) r e são concorrentes, e o ponto de intersecção entre eles é P(–3, 2, 4).
 d) r e são concorrentes, e o ponto de intersecção entre eles é P(1, 5, 3). 
 e) r e são concorrentes, e não há nenhum ponto de intersecção entre eles.
Alternativa marcada:
c) r e são concorrentes, e o ponto de intersecção entre eles é P(–3, 2, 4).
Justificativa: Resposta correta:r e são concorrentes, e o ponto de intersecção é P(–3, 2, 4).
Qualquer ponto de r é da forma (x, y, z) = (–1 + 2t, 5 + 3t, 3 – t). Se um deles é comum com o
plano , suas coordenadas verificam a equação de 2(–1 + 2t) – (5 + 3t) + 3(3 – t) – 4 =
0; daí resulta t = –1. Substituindo esse valor nas equações de r, obtém-se X = –1 + 2(–1) = –3 y
= 5 + 3(–1) = 2z = 3 – (–1) = 4. Logo, a interseção de r e é o ponto (–3, 2, 4). Distratores: r
e são paralelos, e o ponto de intersecção entre eles é P(–3, 2, 4). Errada. Se fossem
paralelos, não haveria ponto de intersecção.r e são concorrentes, e não há nenhum ponto
de intersecção entre eles. Errada. Sendo concorrentes, obrigatoriamente haveria ponto de
intersecção.r e são concorrentes, e o ponto de intersecção entre eles é P(1, 5, 3). Errada.
Esse P é um dos pontos da reta, e não necessariamente o ponto de intersecção com o
plano.r e são concorrentes, e o ponto de intersecção entre eles é P(2, 3, –1). Errada. Esse P é
um vetor diretor da reta, não é nem mesmo ponto.
1,50/ 1,50
6  Código: 29950 - Enunciado: Ponto, reta e plano são chamados de entes primitivos da
matemática. Não há definição para eles; são ideias aceitas por todos e que representamos
graficamente. Na geometria analítica, há equações diferentes para representar uma reta,
por exemplo, com intuito tanto gráfico quanto algébrico. Diante disso, marque a alternativa
que apresenta corretamente a equação vetorial da reta.
 a) , em que A e P são pontos pertencentes a uma reta paralela à r, e 
 é o vetor diretor da reta r.
 b) , em que A e P são pontos da reta r, e é o vetor diretor da reta r.
 c) , em que A e P são pontos sempre conhecidos da reta r, e é o
vetor diretor da reta r.
 d) , em que A é uma reta paralela à reta r, e é o vetor diretor
da reta r.
 e) , em que A e P são pontos da reta r, e é o vetor ortogonal à reta
r.
Alternativa marcada:
b) , em que A e P são pontos da reta r, e é o vetor diretor da reta r.
Justificativa: Resposta correta:, em que A e P são pontos da reta r, e é o vetor diretor
da reta r.Essa é a definição para equação vetorial da reta r, que passa pelo ponto A e tem
direção dada pelo vetor v. Distratores:, em que A e P são pontos da reta r, e é o vetor
ortogonal à reta r. Errada. O vetor v é paralelo à reta r., em que A e P são pontos
pertencentes a uma reta paralela à r, e é o vetor diretor da reta r. Errada. A e P pertencem à
reta r., em que A e P são pontos sempre conhecidos da reta r, e é o vetor diretor da reta
r. Errada. P representa um ponto qualquer da reta r, usado para que se possa determinar um
ponto de reta pela equação., em que A é uma reta paralela à reta r , e é o vetor diretor
da reta r. Errada. A é um ponto de r.
0,50/ 0,50
7  Código: 29973 - Enunciado: A construção de uma equação geral do plano pode ser um
processo tão mais direto quanto for a qualidade dos dados que coletamos sobre ele. Se
forem conhecidos um vetor normal, esse plano e um ponto deste, o processo será mais
rápido, porém há momentos em que a solicitação de um projeto é a equação na sua forma
geral de um plano, que deve passar por três pontos conhecidos, e esses são os únicos dados
disponíveis. Considere que seja necessário realizar o seccionamento de um bloco
retangular passando pelos vértices I, J e K, de modo que resulte em duas peças em forma de
rampa, conforme mostra a figura a seguir. Na elaboração do projeto de corte, um bloco
retangular foi posicionado com o centro de sua base sobre a origem do sistema de eixos
cartesianos, sendo que suas arestas medem quatro metros. Considere os vértices do bloco I
(2, 2, 0), J (–2, 2, 4) e K (–2, –2, 4). Diante disso, marque a alternativa que apresenta uma
equação geral do plano seccionador, considerando os vetores diretores do plano com
origem em I e extremidades em J e K.
 a) 16x + 16z – 32 = 0.b) 16x + 16z + 32 = 0.
 c) –4x + 4z – 32 = 0.
 d) 16x + 16y – 32 = 0.
 e) –4x – 4y + 4z + 16 = 0.
Alternativa marcada:
a) 16x + 16z – 32 = 0.
Justificativa: Resposta correta:16x + 16z – 32 = 0. são vetores do plano seccionador, não
paralelos, e o produto vetorial entre eles gera um vetor nomal ao plano , que é necessário
para construir a equação geral do plano; aplicando o ponto I na equação obtida, 16x + 16z +
d = 0, temos como resultado o valor d = –32; portanto 16x + 16z – 32 = 0. Distratores: –4x +
4z – 32 = 0. Errada. (–4, 0, 4) é vetor do plano, e não normal ao plano, como é necessário
para construir a equação geral.–4x – 4y + 4z + 16 = 0. Errada. (–4, –4, 4) é vetor do plano, e
não normal ao plano, como é necessário para construir a equação geral.16x + 16z + 32 =
0. Errada. O valor de d é –32.16x + 16y – 32 = 0. Errada. A ordenada do vetor normal é zero, e
não a cota.
2,00/ 2,00
8  Código: 29477 - Enunciado: Os produtos entre vetores apresentam propriedades
importantes para aplicações práticas, como a possibilidade de determinar o ângulo entre
vetores, resultado que pode definir alguma decisão em um projeto de peça, por exemplo. Se
o produto escalar entre dois vetores é igual a zero, podemos afirmar que: 
 a) Os vetores são concorrentes entre si.
 b) Os vetores são, obrigatoriamente, perpendiculares entre si.
 c) Os vetores são opostos entre si.
 d) Os vetores são ortogonais entre si.
 e) Os vetores são paralelos entre si.
Alternativa marcada:
b) Os vetores são, obrigatoriamente, perpendiculares entre si.
Justificativa: Resposta correta: Os dois vetores são ortogonais entre si. Se o produto
escalar entre dois vetores for igual a zero, eles são ortogonais. Distratores: Os vetores são
paralelos entre si. Errada. São ortogonais.Os vetores são concorrentes entre si. Errada. Não
se pode afirmar que sejam concorrentes, somente ortogonais.Os vetores são,
obrigatoriamente, perpendiculares entre si. Errada. Podem ser ortogonais sem serem
concorrentes ou perpendiculares.Os vetores são opostos entre si. Errada. A ortogonalidade
tem a ver com direção, e não com sentidos opostos.
0,00/ 0,50