Exercícios de Matemática I

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Exerćıcios de Complementos de Matemática I
29 de Novembro de 2018
Semana I-II-III
Do Leithold: Exercicios 1.1: ex. 1 até 56. Exercicios de revisão do cap. 1., pag 52-53: ex 1 até ex 20.
Exerc̀ıcio 1. Sejam a, b P R, a ă b. Provar que
a ă
a` b
2
ă b .
Deduizir que, dados, a, b P R com a ă b existe sempre γ P R tal que a ă γ ă b.
Exerc̀ıcio 2. Sejam a P R tais que a ě 0. Provar que se a ă ε por cada ε P R, ε ą 0, então a “ 0.
Deduzir que se a, b P R, tais que |a´ b| ă ε por cada ε P R, ε ą 0, então a “ b.
Exerc̀ıcio 3. Resolver as inequações:
• x2 ´ 3x` 1 ě ´1;
• 1
x´ 2
´
2
1´ 3x
ď 4;
• |x´ 4| ě 5;
• ||x´ 1| ´ 2| ď 3;
• |x´ 1| ` |x´ 2| ě 3;
Exerc̀ıcio 4. Provar que, em R,
• se x ě 3, y ď ´2, então x` y2 ě 7;
• se ´1 ď x ď 2, 2 ď y ď 3, então 1 ě 1
x` y
ě
1
5
• se 2 ď x ď 4, ´3 ď y ď ´2, então 8
97
ď
xy2
x2 ` y4
ď
9
5
• se 1 ď y ď 2, ´9 ď x ď ´7, então 1
8
ď
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1
x` y
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
1
5
• se 10 ď |x| ď 20, 1 ď |y| ď 2, então 7
121
ď
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
3x´ y
x2 ´ y2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
31
32
1
Exerc̀ıcio 5. Resolver as seguintes inequações.
2x´ 1 ď
a
1´ x2 ,
?
2x´ 1 ď
a
1´ x2,
?
x´ x ď 1, 2
a
x2 ´ 14 ě x` 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
2x´ 1
1´ x
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ě 2,
x2px´ 1q
x2 ´ 3x` 2
ą 0,
x2 ´ 4x` 1
´x2 ` 12x´ 3
ą 0 , x2 ´ 3|x| ` 2 ą 0
Exerc̀ıcio 6. Dar, quando necessário, as condições para as seguintes expressões e simplifica-las.
3
5
3 3
7
2 5´
2
5
5´
4
7 3
1
6
px9y6q´
1
3
px6y2q´
1
2
a
16y8z2 5
a
x15y10, x ¨
x2 ` 3x
x3 ´ x2
Exerc̀ıcio 7. Fatorar os seguintes polinômios:
8x3 ´ 27, 16x4 ´ 25, 27x3 ` 8, x2 ´ 5x` 6, 2x2 ´ 3x´ 8, x3 ´ x2 ` x´ 1
Dica: para o último, observar que tem uma raiz igual a ...e que então é diviśıvel por ...; depois dividir.
2
Semana IV
Leithold: exercicios 1.2.
Exerc̀ıcio 8. Sejam P “ pxP , yP q, Q “ pxQ, yQq dois pontos distintos do plano cartesiano. Provar que a
única reta que passa por P e Q tem equação pxQ ´ xP qpy ´ yP q “ pyQ ´ yP qpx´ xP q.
Exerc̀ıcio 9. Sejam P “ pxP , yP q, Q “ pxQ, yQq dois pontos distintos do plano cartesiano. Provar que o
ponto M de coordenadas M “ pxM , yM q, definidas por
xM “
xP ` xQ
2
yM “
yP ` yQ
2
pertence à reta que passa por P e Q e satisfaz à
dpM,P q “ dpM,Qq
ou seja, é a igual distancia de P e de Q. Em outras palavras, M é o ponto medio do segmento PQ.
Exerc̀ıcio 10. Seja P “ pxP , yP q um ponto do plano cartesiano. Seja y “ mx` q uma reta r. Provar que
a distancia entre P e r é
dpP, rq “
|mxP ` q ´ yP |
?
1`m2
.
(Dica: encontrar a reta r1 perpendicular a r passante por P . Seja Q o ponto de interseção entre r e r1;
calcular Q; calcular dpP,Qq. )
Exerc̀ıcio 11. Escrever as seguintes expressões como px´ αq2 `D, onde D é uma constante (não depende
de x).
x2 ´ 3x` 1, x2 ` 4x´ 7, x2 ´ 2x´ 2, , x2 ´ 5x` 9
Escrever as seguintes expressões como apx´ αq `D, onde a P R e D não depende de x (é uma constante.
5x2 ´ 3x` 1, ´3x2 ` 9x´ 1, 7x2 ´ 7x´ 15, 2x2 ´ 3x´ 4, ,´6x2 ` 9x´ 9
Exerc̀ıcio 12. Seja y “ ax2 ` bx ` c a equação de uma parabola π (a ‰ 0). Seja y “ mx ` q uma reta r.
Dizemos que a reta r é tangente à parabola π se a reta r intersecta π em um único ponto. Isto explicado,
resolver os seguintes pontos.
• Consideramos a parabola y “ ´3x2 ` 2x´ 1. Consideramos o ponto P “ p0, 2q. Calcular as tangentes
à parabola passantes por P . Desenhar parabola e tangentes.
• Consideramos a parabola y “ x2{4 ´ 8x ` 1. Encontrar uma reta paralela à y “ 2x ` 5 e tangente a
π. Desenhar parabola e tangentes.
Exerc̀ıcio 13. Seja x2`y2´2ax´2by` c “ 0 a equação de um circulo γ (a2` b2´ c ą 0). Seja y “ mx` q
uma reta r. Dizemos que a reta r é tangente ao circulo γ se a reta r intersecta γ em um único ponto. Isto
explicado, resolver os seguintes pontos.
• Consideramos o circulo γ de equação x2 ` y2 ´ 2x ´ 4y ` 4 “ 0. Calcular as retas tangentes a γ
passantes por P “ p´1, 0q. Desenhar circulo e tangentes.
• Consideramos o circulo γ de equação x2 ` y2 ` 4x ´ 3y ` 3 “ 0. Encontrar as retas perpendicular a
y “ ´3x` 5 que seja tangente a γ. Desenhar circulo e tangentes.
3
Semana V Leithold: todos os exercicios do capitulo 1 até 1.5. Começar a fazer os exerćıcios de revisão do
capitulo 1.
Exerc̀ıcio 14. Quais das seguintes são funções?
1. Sejam A “ tx P N | 1 ď x ď 10u. B “ tx P N | 1 ď x ď 20u. f : A - B é definida por fpxq é tal
que fpxq ´ 3 é múltiplo de 20´ x2.
2. Seja A “ B “ R. f : A - B é definida por
fpxq “
#
número de 7 no desenvolvimento decimal de x, se este número for finito
- π no caso contrario
3. f : R - R definida por fpxq “ x
2
´x
2x3´2x2
4. f : R - R definida por fpxq “ x
3
´x2
2x2´2x
5. f : Qą0 - R definida por fpxq “ p`q
?
2p3q se x “ p{q, com p ą 0, q ą 0.
6. Seja f : p0, πq - R definida por fpxq é tal que o angulo A pPB, onde A “ p´2, 0q, P “ p0, fpxqq,
B “ p0, 2q é, em radiantes, igual a x.
Exerc̀ıcio 15. Por cada par de funçòes f, g : Q - Q calcular f ˝ g e g ˝ f .
1. f “ 1´ 3x, g “ x´ 2;
2. f “ x2 ` 1, g “ 1{px2 ` 1q;
3. f “ x` a, g “ x´ a;
4. f “ 3x` 2, g “ 4x` 3.
Exerc̀ıcio 16. Encontrar uma parabola, com eixo vertical, que passa para o ponto p´2, 3q e tangente no
ponto p1, 0q à reta de equação y “ ´2x` 2.
Exerc̀ıcio 17. Consideramos a função f : R - R definida por
fpxq “
$
’
’
&
’
’
%
´x2 ´ 2x` 2 se x ď ´1{2
x{2` 3 se ´1{2 ď x ď 4
4{px´ 1q se x ą 5
Traçar o grafico da função. A função admite tangente para x “ ´1{2?
Exerc̀ıcio 18. Resolver a inequação
?
1` x2 ď |x| e dar uma interpretação geometrica.
Exerc̀ıcio 19. Resolver as seguintes inequações, e, se posśıvel, dar uma interpretação geometrica.
2x´ 1 ď
a
1´ x2 ,
?
2x´ 1 ď
a
1´ x2,
?
x´ x ď 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
2x´ 1
1´ x
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ě 2,
x2px´ 1q
x2 ´ 3x` 2
ą 0,
x2 ´ 4x` 1
´x2 ` 12x´ 3
ą 0
x2 ´ 3|x| ` 2 ą 0,
Exerc̀ıcio 20. Desenhar o grafico da função
fpxq “
x
1` |x|
.
Exerc̀ıcio 21. Qual é o dominio de fpxq “ xx?
4
Semana VI
Leithold: Exercicios da seção 1.6 e todos os exercicios de revisão do capitulo 1. Exercicios da seção 2.1.
Exerc̀ıcio 22. Uma função f : I - R, definida num intervalo1 de R, é crescente se para todo x1, x2 P I,
com
Encontrar o máximo intervalo I de R onde a função fpxq “ x2{4 ´ 2x ´ 1 é crescente. Provar que a
imagem J “ Imf
ˇ
ˇ
I
é um intervalo de R. Encontrar explicitamente uma inversa g : J - I da restrição de
f ao intervalo I.
Exerc̀ıcio 23. Provar que a função fpxq “ x3 ` 3 de R - R é inversivel. Encontrar a sua inversa.
Exerc̀ıcio 24. Desenhar o grafico das funções
fpxq “
$
’
’
&
’
’
%
x se x ă 1
x2 se 1 ď x ă 4
b
x2
4 ´ 4` 16 se x ě 4
gpxq “
$
’
’
&
’
’
%
´4´ x se ´2 ď x ă ´1
x se ´1 ď x ď 1
4´ x se ´1 ă x ď 2
Por cada uma das funções dizer se é ou não monotóna (crescente ou descrescente), injetiva, encontrar a sua
imagem.
Exerc̀ıcio 25. Encontraro o ”dominio”das funções seguintes e traçar o grafico delas, estudando crescimento,
sinal, etc, com metodos elementares.
1. y “
?
x´ 3;
2. y “ ´
?
4´ 2x` 3.
Exerc̀ıcio 26. Mostrar que a função f : Rě0 - Rě´4 definida por fpxq “ x4`x2´4 é bijetiva. Encontrar
a inversa.
Exerc̀ıcio 27. Consideramos a função f : r0,`8q - r0,`8q definida por fpxq “ x`
?
x. É injetiva? É
sobrejetiva? É inverśıvel? Se sim, encontrar a sua inversa.
Exerc̀ıcio 28. Consideramos a função fpxq “ 2 ´ 1?
x´4
. Qual o seu dominio? Qual é a sua imagem? É
injetiva? É sobrejetiva? Seja D o seu dominio e I a sua imagem. Encontrar, se existe uma função inversa
g : I - D.
Exerc̀ıcio 29. Consideramos o conjunto dos px, yq P R2 que satisfazem a equação F px, yq “ y2´2y`3`x “
0. É posśıvel encontrar uma função y “ fpxq tal que fpxq satisfaça a equação F px, fpxqq “ 0 por cada x?
Quantas tais funções se podem encontrar (definidas em intervalos maximais?) Seja f uma tal função.
Encontrar, eventualmente, uma sua inversa g.
Exerc̀ıcio 30. Consideramos a função f : p´8,´1q - p2,`8q, definida por fpxq “
?
´x ` 1?
´x
. É
sobrejetiva?É injetiva? Encontrar, se posśıvel, uma sua inversa g.
1Um intervalo I de R é um subconjunto I tal que se x, y P I, e se x ă z ă y, então z P I.
5
Semana VII
Leithold: Exercicios 2.1, Exercicios 2.2
Semana VIII
Seção 2.3: exerćıcios: 1 - 33, 35, 36
Semana VIII
Seção 2.4: exerćıcios: 13 - 44.
Seção 2.5: exerćıcos: 11 - 48;
Exerćıcios facultat́ıvos: 57 - 66.
Exerc̀ıcio 31. Calcular limxÑ`8
?
x` 1´
?
x
Exerc̀ıcio 32. Calcular limxÑ`8
?
xp
?
x` 1´
?
xq.
Exerc̀ıcio 33. Calcular limxÑ´8 3
?
xp 3
?
x` 1´ 3
?
xq
Exerc̀ıcio 34. Calcular lim
xÑ˘8
sinx
x
. Dica: Calcular antes de tudo lim
xÑ˘8
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
sinx
x
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
usando o teorema dos dois
policiais.
Exerc̀ıcio 35. Calcular lim
xÑ˘8
sin2 x` 3 cos 3x` 10x3
x3
.
Exerc̀ıcio 36. Calcular lim
xÑ˘8
sin2 x` 3 cos 3x´ 5
?
x6
7x3
.
Exerc̀ıcio 37. Encontrar as assintotas horizontais e verticais da função fpxq “
px´ 2qpx` 1q
px2 ´ 5x` 6qpx2 ` 3x` 2q
e dar um esboço da função perto das assintotas.
Semana IX
Leithold: Seção 2.6: exerćıcios 1 - 42, 46, 47, 48, 49
Seção 2.7: exerćıcios 1 - 24, 35 - 38
Seção 2.8: exerćıcios 1 - 34.
Semana X-XI-XII
Leithold: Seção 3.1: exercicios 1 Ñ 38. 43 Ñ 64.
Seção 3.2: exerćıcios 1 Ñ 36.
Seção 3.3: todos os exerćıcios.
Seção 3.4: 17 Ñ 20, 23 Ñ 28, 33 Ñ 36.
Seção 3.5: 1 Ñ 42, 51 Ñ 60
Seção 3.6: 1 Ñ 42, 48 Ñ 52
Seção 3.7: 1 Ñ 44, 51 Ñ 56
Seção 3.9: 1 Ñ 28, 38, 39, 40, 41, 44.
Seção 3.10: 1 Ñ 54
Exercicios de revisão do capitulo 3: 1 Ñ 49, 71, 73 Ñ 81.
Seção 4.1: 1 Ñ 33
6
Semana XIII: Leithold: Exercicios 4.3: 1 - 20
Exercicios 4.4: 1 - 40, 43 - 45
Exercicios 4.5: 1 - 28
Exercicios 4.6: 1 - 58
Exercicios 4.8 17 - 28, 32 - 48
Exercicios de revisão do capitulo 4: 1 - 90. (sem o 60 e o 65, 66, 67).
Semana XIV
Leithold: Exercicios 5.1: 1 - 42
Exercicios 5.2: 1 - 58, 63, 64, 66, 67, 68.
Semana XV Exercicios 5.3: 1 - 20, 33 - 49
Exercicios 5.5: 10 - 18
Exercicios 5.7: 1 - 16
Exercicios 5.8 1 - 56
Exercicios 5.9 1 - 54
Exercicios de revisão do capitulo 5: 1 - 60, 67 - 111.
Exerc̀ıcio 38. Desenhar os graficos das seguintes funções:
2x
x2 ` 1
,
x2 ` 2
px` 2q2
, x3 ´ 3x` 4 ,
Exerc̀ıcio 39. Calcular os seguintes integrais indefinidos/definidos:
ż
3x2 sinpx3 ` 1qdx,
ż 3
0
x2
?
1` x
dx,
ż
cosx
p2` sinxq2
,
ż 1
0
1
x2 ´ 9
dx,
ż 2
0
x
a
4´ x2dx
7