Algebra linear aula 2

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ÁLGEBRA LINEAR 
AULA 02
Prof.ª Luana Fonseca Duarte Fernandes 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Olá, seja bem-vindo. Nosso objetivo, neste encontro, é reconhecer, interpretar, 
classificar, elaborar, relacionar, calcular e aplicar conceitos de espaços vetoriais 
e subespaços vetoriais, dependência linear e base. 
O nosso tema central serão os espaços vetoriais, que são conjuntos importantes 
para os estudos de Álgebra Linear, pois com eles descrevemos e estudamos 
propriedades que envolvem vetores, objeto principal da disciplina. 
Aprenderemos o que é um espaço vetorial e seus elementos, para podermos 
definir, descrever, identificar, montar e classificar os espaços vetoriais e 
subespaços vetoriais. 
Aprenderemos dependência linear, classificando em linearmente independente 
ou linearmente dependente. Também estudaremos um conjunto especial 
chamado base, que são conjuntos formados por vetores que dizem sobre como 
é o espaço vetorial associado a ele. Vamos finalizar com a dimensão de um 
espaço vetorial, utilizando as bases. 
CONTEXTUALIZANDO 
O conteúdo desta aula é o início do principal conjunto da disciplina de Álgebra 
Linear, o conjunto formado por vetores com algumas condições, formando o que 
chamamos de espaço vetorial. Com os espaços vetoriais estudamos a base, um 
conjunto que descreve o espaço a ele associado. As transformações lineares 
são funções que associam espaços vetoriais e demais assuntos da nossa 
disciplina. 
Um exemplo de espaço vetorial é o conjunto formado por todos os quadrados 
mágicos de ordem n. O que é um quadrado mágico? É uma matriz de ordem 
nxn, tal que a soma dos elementos de cada uma de suas linhas e cada uma de 
suas colunas são iguais. Essa soma chama-se constante mágica. O quadrado 
mágico pode ser trabalhado com os alunos de qualquer período escolar, em 
diversos assuntos, desde soma de inteiros até progressão aritmética, por 
exemplo. 
Você já deve ter visto e completado um quadrado mágico. Veja a seguir alguns 
exemplos de quadrados mágicos de ordem 3: 
 
 
3 
 
Fonte: <http://praticadamatematica.blogspot.com.br/p/o-quadrado-magico.html>.
 
Fonte: Prática da Matemática, 2019. 
O que significa o conjunto formado por quadrados mágicos ser um espaço 
vetorial? Conseguimos identificar uma base? E a dimensão? Vamos responder 
a essas e outras perguntas ao longo das nossas aulas. 
Por enquanto, nos links a seguir, você pode jogar on-line o quadrado mágico. 
Acessos em: 19 ago. 2019. 
http://nautilus.fis.uc.pt/mn/quadrado/ 
http://flashdejogoseducativos.blogspot.com.br/2012/12/quadrado-magico.html 
 
 
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TEMA 1 – ESPAÇOS VETORIAIS 
Espaço vetorial é um conjunto formado por elementos que chamamos de 
vetores, e nele estão definidas duas operações: adição e multiplicação por 
escalar. Essas operações devem seguir oito regras (listadas a seguir e também 
no capítulo 2 do livro da disciplina). 
1. Comutativa: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 
2. Associativa1: (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) 
3. Associativa 2: (𝛼𝛽)𝑢 = 𝛼(𝛽𝑢) 
4. Elemento neutro da adição: existe o vetor nulo 0, tal que 𝑢 + 𝟎 = 𝟎 +
𝑢 = 𝑢, para todo 𝑢 pertencente a V 
5. Inverso da adição: para cada vetor 𝑢 em V, existe um vetor – 𝑢, chamado 
de inverso ou simétrico de 𝑢, tal que 𝑢 + (−𝑢) = −𝑢 + 𝑢 = 𝟎 
6. Distributiva 1: 𝛼(𝑢 + 𝑣) = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 
7. Distributiva 2:(𝛼 + 𝛽)𝑢 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢 
8. Multiplicação por 1: 1. 𝑢 = 𝑢 
Leitura obrigatória 
A Álgebra Linear no Ensino Básico, de Jesse Carvalho da Silva: 
https://sucupira.capes.gov.br/sucupira/public/consultas/coleta/trabalhoConclusa
o/viewTrabalhoConclusao.jsf?popup=true&id_trabalho=1295842. Acesso em: 
19 ago. 2019. 
Espaços vetoriais podem ser conjuntos formados por matrizes, n-uplas reais, 
funções e polinômios. Enfim, uma variedade de objetos matemáticos, por isso, 
não se engane sobre o que pode ser ao falar em espaços vetoriais ou vetores 
de espaços vetoriais. No problema dos quadrados mágicos, quais seriam as 
operações de adição e multiplicação? 
Os quadrados mágicos de ordem n são matrizes quadradas de ordem nxn. Logo, 
as operações são a da soma de matrizes e da multiplicação de uma matriz por 
um escalar. Um espaço vetorial é, então, um conjunto com duas operações 
definidas, adição e multiplicação por escalar, e que satisfaz oito regras. Um 
subconjunto não vazio de um espaço vetorial é dito subespaço vetorial se a soma 
https://sucupira.capes.gov.br/sucupira/public/consultas/coleta/trabalhoConclusao/viewTrabalhoConclusao.jsf?popup=true&id_trabalho=1295842
https://sucupira.capes.gov.br/sucupira/public/consultas/coleta/trabalhoConclusao/viewTrabalhoConclusao.jsf?popup=true&id_trabalho=1295842
 
 
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de dois elementos deste conjunto ainda for um elemento deste conjunto e se o 
resultado da multiplicação de um escalar por um vetor deste conjunto for também 
um elemento deste conjunto. 
TEMA 2 – COMBINAÇÃO LINEAR 
Quando dizemos que um determinado vetor �⃗� é combinação linear de outros 
vetores 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, . . . , 𝑢𝑛, significa dizer que v pode ser escrito como a soma dos 
vetores 𝛼1𝑢1, 𝛼𝑢2, … , 𝛼𝑢𝑛, que são múltiplos dos vetores 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, . . . , 𝑢𝑛. Não há 
nada melhor que alguns exemplos para elucidar este assunto: 
Exemplo1 
Considere o espaço ℝ², sejam os vetores 𝑣 = (2,1) e 𝑢1 = (1,1) e 𝑢2 = (0,1). O 
vetor v é combinação linear de 𝑢1 e 𝑢2, pois 𝑣 = 2𝑢1 − 𝑢2. 
Observe que quando falamos de combinação linear e dizemos que podemos 
escrever um vetor como soma dos múltiplos de outros vetores, podemos 
encontrar a operação de subtração, como no exemplo 1, o vetor−𝑢2 é a 
multiplicação de -1 por 𝑢2, ou seja, 𝑣 = 2𝑢1 + (−1𝑢2), soma de múltiplos dos 
vetores 𝑢1 e 𝑢2. 
Exemplo 2 
No espaço vetorial das matrizes M(2x2), será que o vetor 𝑣 = [
8 3
5 13
] é 
combinação linear dos vetores 𝑢 = [
1 0
1 2
] e 𝑤 = [
2 1
1 3
]? Se v for combinação 
linear de u e w, então, existem números reais a e b, tais que v = au + bw, ou seja, 
[
8 3
5 13
] = 𝑎 [
1 0
1 2
] + 𝑏 [
2 1
1 3
] 
Assim, temos o sistema: 
{
𝑎 + 2𝑏 = 8
𝑏 = 3
𝑎 + 𝑏 = 5
2𝑎 + 3𝑏 = 13
 
 
Resolvendo encontramos a = 2 e b = 3. Logo, v é combinação linear de u e w, 
pois v = 2u + 3w. 
 
 
6 
Leitura complementar 
Para saber mais, não deixe de ler o capítulo 3 da obra Introdução à Álgebra 
Linear, no link a seguir. http://moodle.profmat-
sbm.org.br/MA33/2012/AL_PROFMAT_cap03.pdf. Acesso em: 19 ago. 2019. 
No primeiro exemplo, vimos que v = (2,1) pode ser escrito como combinação 
linear dos vetores 𝑢1 = (1,1) e 𝑢2 = (0,1). Porém, v não é o único vetor que pode 
ser escrito como combinação linear de 𝑢1 e 𝑢2, qualquer vetor (x,y) do espaço 
ℝ² pode ser escrito como combinação linear destes dois vetores, pois (x,y) = 
x(1,1) + (x-y)(0,1), tais que x e y são números reais quaisquer. 
Desta maneira, podemos escrever ℝ² = [(1,1), (1,0)], que significa que o ℝ² é 
gerado pelos vetores (1,1) e (1,0), ou seja, estamos dizendo que qualquer vetor 
de ℝ² pode ser escrito como combinação linear de (1,1) e (1,0). Assim, um 
subespaço vetorial gerado ou subespaço gerado é o subespaço vetorial formado 
por todas as combinações lineares de um determinado conjunto de vetores. 
TEMA 3 – BASE 
Para estudarmos o assunto base, precisamos entender alguns requisitos, como 
dependência e independência linear. Portanto, vamos considerar conjuntos de 
vetores e compará-los em termos de combinação linear. Faça as leituras 
obrigatórias, pois lá se encontram vários exemplos e exercícios resolvidos. Após 
as leituras, assista ao vídeo sobre conjuntos linearmente independente e 
linearmente dependente. 
Agora iremos definir o que é uma base. Uma base B de um espaço vetorial V é 
um conjunto formado por vetores linearmente independentes e que geram o 
espaço vetorial V. Através da base, podemos identificar a dimensão do espaço 
vetorial, que é o número de elementos que a base B contém. 
Leitura complementarMétodo prático para extrair uma base de um conjunto de geradores 
de um subespaço de Rn 
http://www.ime.usp.br/~tausk/texts/MetodoBase.pdf. Acesso em: 19 ago. 2019. 
No exemplo dos quadrados mágicos Q_3, ou seja, quadrados mágicos de ordem 
3, temos que qualquer elemento em Q_3 pode ser escrito como combinação 
http://moodle.profmat-sbm.org.br/MA33/2012/AL_PROFMAT_cap03.pdf
http://moodle.profmat-sbm.org.br/MA33/2012/AL_PROFMAT_cap03.pdf
http://www.ime.usp.br/~tausk/texts/MetodoBase.pdf
 
 
7 
linear dos elementos {[
2 7 6
9 5 1
4 3 8
] , [
4 9 2
3 5 7
8 1 6
] , [
8 3 4
1 5 9
6 7 2
]}, e eles formam um 
conjunto linearmente independente, ou seja, formam uma base para os 
quadrados mágicos de ordem 3. Logo, a dimensão de Q_3 é 3. 
Na leitura a seguir, você pode acompanhar todos os cálculos e também os 
cálculos para determinar uma base e a dimensão do Q_4. 
http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/5319. Acesso em: 19 ago. 2019. 
TEMA 4 – COORDENADAS 
Agora que conhecemos espaços vetoriais e bases, vamos escrever nossos 
vetores em termos de coordenadas. Sabemos que uma base de um espaço 
vetorial V é um conjunto de vetores linearmente independente e que gera V, ou 
seja, qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear dos 
elementos da base. 
Exemplo (Lay, 2013, p. 40): 
Em cristalografia, a descrição de um reticulado cristalino é auxiliada pela escolha 
de uma base {u,v,w} para ℝ³ que corresponda as três arestas adjacentes de uma 
“unidade celular” do cristal. Um reticulado inteiro é construído empilhando muitas 
cópias de uma célula. Existem 14 tipos de unidades celulares básicas, três estão 
ilustradas na figura a seguir: 
 
As coordenadas dos átomos no interior do cristal são dadas em relação à base 
do reticulado. Por exemplo, (
1
2
,
1
2
, 1) refere-se ao átomo no centro da face superir 
da figura c. 
http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/5319
 
 
8 
 
TROCANDO IDEIAS 
Para completarmos nossa aula, responda as seguintes questões: 
1. Onde encontramos espaços vetoriais nos conteúdos do Ensino 
Fundamental e Médio? 
2. E podemos encontrar o assunto base? 
SÍNTESE 
Nesta aula, pudemos conhecer e identificar espaços vetoriais e seus elementos, 
subespaços vetoriais e bases. Conseguimos determinar, identificar e calcular 
combinação linear de vetores e sobre dependência e independência linear. 
Identificamos e classificamos conjuntos de vetores em bases ou não, em 
conjuntos geradores ou não. Pudemos relacionar os conceitos de combinação 
linear, geradores, base e dimensão. 
 
 
 
 
 
9 
REFERÊNCIAS 
LAY, David. Álgebra Linear e suas aplicações. 4. ed. Tradução de Valéria de 
Magalhães Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 
MACHADO, José S. Quadrados mágicos com Aplicações. Disponível em: 
<http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/5319/1/2013_dis_jsmachado.pdf>. 
Acesso em: 19 ago. 2019. 
NOTAS de aula. Disponível em: 
<http://www.icmc.usp.br/~regilene/SMA304/notas.pdf>. Acesso em: 19 ago. 
2019. 
SILVA, Antônio A. Introdução à Álgebra Linear. Disponível em: 
<http://www.mat.ufpb.br/jorge/arquivos/disciplinas/listas/LivroIAL>. Acesso em: 
19 ago. 2019. 
TÉCNICO DE PETRÓLEO. Álgebra Linear. Disponível em: 
<http://www.tecnicodepetroleo.ufpr.br/apostilas/matematica/algebra_linear.pdf>. 
PRÁTICA de matemática. Disponível em: 
<http://praticadamatematica.blogspot.com.br/p/o-quadrado-magico.html>. 
Acesso em: 19 ago. 2019.