CÁLCULO CONCEITOS 3

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CÁLCULO – CONCEITOS 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof Ricardo Zanardini 
 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá! Seja bem-vindo à nossa aula. Nela, iremos abordar um tema muito importante e 
constantemente presente em nossas vidas: as funções. Nesta aula e nas próximas 
discutiremos sobre o que são funções e como as funções podem ser utilizadas na 
resolução de diversos problemas práticos. 
Para começarmos, vamos assistir ao vídeo do professor Ricardo sobre os conteúdos 
dessa aula no material on-line! 
CONTEXTUALIZANDO 
As funções estão presentes nas mais diversas situações. Quando vamos ao mercado 
fazer compras, o total a ser pago é dado em função dos produtos comprados, preços 
e quantidades. 
As funções podem servir de inspiração para construções dos mais diversos tipos. A 
água que sai da mangueira ou de um chafariz descreve um movimento com a forma 
de uma parábola, curva associada a uma função quadrática, por exemplo. 
As funções podem descrever também a trajetória de objetos. Uma bola de futebol, por 
exemplo, muitas vezes descreve um movimento que acompanha uma parábola. 
As funções logarítmicas são utilizadas no estudo da intensidade de terremotos, pois 
são muito adequadas a problemas que envolvem grandezas com uma grande 
amplitude de valores. 
As intensidades dos terremotos têm uma amplitude de valores muito grande. Na 
escala Richter, a magnitude M de um terremoto é igual ao logaritmo da razão entre 
sua intensidade física I e a intensidade física Io de um terremoto tomado como padrão. 
Logo: M = log(I/Io) 
Na química, podemos utilizar funções logarítmicas para medirmos a acidez de 
soluções que está relacionada com a concentração do íon hidrogênio. 
A concentração do íon hidrogênio [H+] pode variar desde 100 mol/L até 10-14 mol/L. 
O pH é o logaritmo decimal do inverso da [H+]. Logo: pH = log (1 / [H+]) 
 
 
3 
TEMA 1 – FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES 
As funções estão presentes em diversos problemas do nosso cotidiano. Desde 
situações simples, tais como a compra de alguns produtos, até problemas mais 
específicos, como, por exemplo, um estudo sobre o crescimento populacional ou até 
mesmo a estimativa do tempo da morte de uma pessoa. 
Antes de começarmos as nossas explicações, vamos assistir a um vídeo sobre a 
importância das funções: https://www.youtube.com/watch?v=84VbUs8GNfg. Acesso 
em: 2 set. 2019. 
Funções 
Diversas relações entre grandezas podem ser descritas por meio de funções. Uma 
função de uma variável é uma relação que existe entre elementos x e y pertencentes 
a dois conjuntos distintos, um chamado de domínio e o outro de contradomínio. 
Essa relação não é uma relação qualquer, pois existe uma característica importante 
para que tenhamos uma função. A condição é que cada elemento do domínio, o 
conjunto dos possíveis valores da variável independente x esteja relacionado a um 
único elemento do contradomínio, conjunto das variáveis dependentes. 
Todos os elementos do contradomínio que estão relacionados aos elementos do 
domínio formam um conjunto imagem. O conjunto imagem é um subconjunto do 
contradomínio, ou seja, os elementos do conjunto imagem também são elementos do 
contradomínio. Em alguns casos podemos ter a imagem igual ao contradomínio. 
A variável y é chamada de variável dependente, pois é uma consequência do valor de 
x, ou seja, y depende de x. 
A figura a seguir ilustra o que é o domínio e o que é o contradomínio de uma função. 
 
 
 
4 
Já sabemos que para que uma relação entre elementos de dois conjuntos seja uma 
função, cada elemento do domínio deve estar associado a um único elemento do 
contradomínio. A figura a seguir mostra isso. 
 
 
No entanto, muitas vezes podemos ter relações que não são classificadas como 
funções. Isso ocorre quando um valor da variável independente x está associado a 
dois ou mais valores. A figura abaixo ilustra isso. 
 
Mas, de fato, que problemas podem ser representados por funções? A resposta é bem 
simples. Na prática, temos diversas situações envolvendo funções. Vamos apresentar 
algumas aplicações. 
Primeiro, vamos imaginar a situação onde uma pessoa vai até um supermercado para 
comprar algumas frutas. Essa pessoa pega 1 quilo de maçã, dois quilos de banana e 
uma dúzia de laranjas. O total a ser pago pela compra é função da quantidade 
comprada de cada produto e, para que possamos determinar o total da compra, 
precisamos também saber qual é o preço cobrado pelas frutas adquiridas. 
Vamos organizar essas informações em uma tabela para facilitar a resolução do 
problema: 
 
 
5 
 
 Produto Qua Quantidade Preço Total Total 
 Maçã 1 kg R$ 5,00 por quilo 1x5=5,00 
 Banana 2 kg R$ 2,00 por quilo 2x2=4,00 
 Laranja 1 dúzia R $ 4,00 por dúzia 1x4=4,00 
 Total da compra --- --- 5+4+4 =13,00 
 
Nesse caso, conhecendo o preço das frutas e as quantidades que foram compradas, 
podemos determinar o total da compra a partir da soma dos valores que serão pagos 
pelos produtos adquiridos em função das quantidades de cada um deles. Logo, no 
caso dessa compra, o total a ser pago é dado em função das quantidades adquiridas 
de cada produto. Essas quantidades são as variáveis do nosso problema. Nos nossos 
estudos, vamos nos concentrar em funções de uma variável. 
Como exemplo, podemos relacionar a alta do preço da gasolina em função do tempo 
ou também o lucro de uma empresa em função da quantidade vendida do seu produto. 
Nessa aula e nas próximas veremos muitas aplicações das funções nas mais diversas 
áreas do conhecimento. 
O vídeo a seguir apresenta importantes tópicos relacionados às funções: 
https://www.youtube.com/watch?v=OcYB_B0IISg&list=PLf4asln_6hSeN868g8mXhA
AQfQV6L1nsc&index=33. Acesso em: 2 set. 2019. 
Domínio e imagem 
Inicialmente é interessante falarmos sobre o domínio de uma função, ou seja, os 
possíveis valores que podem ser atribuídos à variável independente. Mas por que é 
importante conhecermos o domínio de uma função? 
Por um motivo bem simples: muitas vezes podemos calcular os valores de uma função 
para quaisquer valores de x, mas, em outras situações, há restrições em relação aos 
possíveis valores dessa variável. Para entendermos melhor, vamos analisar alguns 
exemplos: 
 
 
6 
Vamos considerar, inicialmente, a função 
 
x
xf
1

. Observe que nesse caso a variável 
x pode assumir qualquer valor, exceto o zero, pois não é possível efetuarmos uma 
divisão por zero. Logo, o domínio da função 
 
x
xf
1

 consiste em todos os valores de 
x pertencentes ao conjunto dos reais tal que x é diferente de zero. Matematicamente 
podemos escrever o domínio da função como 
 0,  xRxD f . 
Quanto mais próximo de zero estiver x, mais próximo de  ou de  estará f(x). O 
gráfico a seguir apresenta o comportamento da função. 
 
Algo parecido acontece com a função 
 
3
1


x
xf
. Nesse caso, a condição de 
existência da função é que o denominador seja diferente de zero, ou seja, 03 x . 
Nesse caso, temos 3x . Logo, o domínio dessa função é 
 3,  xRxD f . 
Graficamente podemos observar o comportamento da função em torno do ponto x=-
3. 
 
 
 
7 
Vamos agora analisar o domínio da função   xxf  . Como sabemos, não é 
possível, dentro do conjunto dos reais, calcularmos a raiz quadrada de um número 
negativo. Logo, x deve ser maior ou igual a zero. Nesse caso, o domínio da função 
consiste em todos os números reais maiores ou igual a zero, ou seja, 
 0,  xRxD f . 
Graficamente, temos: 
 
Em relação à função   5 xxf , o domínio consiste em 05 x ou,equivalentemente, 5x . 
A imagem abaixo mostra o gráfico da função   5 xxf . 
 
Além do domínio, temos também a possibilidade de analisarmos a imagem de uma 
função. Em algumas situações, a imagem de uma função consiste em todos os 
números reais. Em outros casos, o conjunto imagem consiste em um subconjunto dos 
reais. 
 
 
8 
Se considerarmos, como exemplo, a função f(x)=2x, o conjunto imagem (Im) de f 
consiste em todos os números reais. Podemos escrever, então, que Im=R. O gráfico 
a seguir ilustra esse fato. 
 
Em relação à função y=x2, o conjunto imagem consiste em todos os números reais 
não negativos. Isso ocorre por que qualquer número elevado ao quadrado é igual a 
zero ou positivo e nunca menor do que zero. Logo,  0/RIm  yy . 
O gráfico ilustra o comportamento da função quadrática e, com isso, fica fácil de 
visualizar a imagem da função. 
 
Veja como os gráficos podem ser úteis para que possamos analisar melhor o 
comportamento das funções. 
O vídeo a seguir apresenta como os diversos tipos de gráficos podem ser úteis para 
nós: https://www.youtube.com/watch?v=Dox-
 
 
9 
GTZVEhA&list=PLf4asln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc&index=38]. Acesso em: 
2 set. 2019. 
 
Continuidade de Funções 
De acordo com as suas características, podemos classificar as funções como 
contínuas ou descontínuas. Uma função é dita contínua quando o seu gráfico não 
possui interrupções. A imagem a seguir apresenta uma função contínua. 
 
Por outro lado, quando há qualquer tipo de interrupção na função, dizemos que a 
função é descontínua. O tipo de descontinuidade da função e pode ser classificado 
como descontinuidade de salto, removível ou infinita. 
A descontinuidade de salto, como o nome diz, apresenta um salto no ponto de 
descontinuidade. O gráfico abaixo ilustra esse tipo de descontinuidade. 
 
 
 
10 
A descontinuidade removível consiste em uma interrupção da função no ponto de 
descontinuidade. 
 
E, finalmente, a descontinuidade infinita ocorre quando, no ponto de descontinuidade, 
a função tende a infinito. 
 
O vídeo a seguir ilustra a relação entre funções descontínuas e problemas do 
cotidiano: 
https://www.youtube.com/watch?v=Axalqv09SpE&index=15&list=PLf4asln_6hSeN86
8g8mXhAAQfQV6L1nsc Acesso em: 2 set. 2019. 
Funções Crescentes 
Sempre que, ao aumentarmos o valor da variável independente, a variável 
dependente tem um acréscimo no valor, temos uma função crescente. Uma função 
pode ser crescente para todo o domínio ou em um determinado intervalo. De um modo 
geral, uma função é dita crescente quando 1212 yyxx  . O gráfico a seguir ilustra 
esse fato. 
 
 
11 
 
O preço total referente à compra de uma certa quantidade de garrafas de água é um 
exemplo de uma função crescente. Quanto maior o número de garrafas compradas, 
maior é o total a ser pago por elas. 
Funções Decrescentes 
Se ao aumentarmos o valor da variável independente temos uma redução no valor da 
variável dependente, a função é dita decrescente. Assim como no caso de uma função 
crescente, uma função pode ser decrescente em todo o domínio ou em um certo 
intervalo. E uma função é decrescente, temos que 1212 yyxx  . 
 
Uma função decrescente representa, por exemplo, o tempo para a realização de uma 
determinada atividade. Quanto maior o número de pessoas envolvidas, menor o 
tempo total para a realização desse trabalho. 
Funções Constantes 
Se há alteração no valor da variável independente, mas mesmo assim não há 
alteração no valor da variável dependente, a função é dita constante. Para as funções 
constantes, temos que 1212 yyxx  . 
 
 
12 
 
Para entendermos o que é uma função constante, podemos imaginar o salário mínimo 
que, em um determinado intervalo de tempo, não se altera com o passar do tempo. 
Extremos de Funções (Máximos e Mínimos) 
Em muitas aplicações do cotidiano, queremos o maior lucro possível, a maior 
audiência possível... por outro lado, também queremos minimizar custos ou a 
utilização de matérias-primas. Nesse caso, as funções podem ser muito úteis. Com o 
auxílio das funções podemos determinar máximos e mínimos de problemas práticos. 
No gráfico abaixo, o ponto x1 indica um máximo local da função, ou seja, em torno do 
ponto x1 a função assume o maior valor exatamente em x1. O ponto x2 indica um 
mínimo local. Note que em torno desse ponto, a função assume o menor valor no 
ponto x2. 
 
Mais adiante estudaremos diversos problemas envolvendo máximos e mínimos de 
funções. 
Simetria 
Para finalizarmos, vamos abordar a simetria de funções. O que é simetria? A simetria 
é a correspondência em forma, grandeza e posição de partes situadas em lugares 
 
 
13 
opostos de uma reta ou plano ou também em torno de um centro ou de um eixo. No 
caso das funções, temos a simetria em relação ao eixo y e também a simetria em 
relação à origem do sistema de eixos coordenados. 
Quanto à simetria em relação ao eixo y, a função é dita função par, pois    xfxf 
. O gráfico abaixo ilustra bem isso. 
 
Para que possamos entender melhor, vamos observar, por exemplo, a função 
2xy 
. A tabela a seguir apresenta os valores funcionais para alguns valores de x. 
x y=x2 
-3 9 
-2 4 
-1 1 
0 0 
1 1 
2 4 
3 9 
 
Observe que tanto f(1) como f(-1) são iguais a 1, f(2) e f(-2) são iguais a 4, f(3) e f(-3) 
são iguais a 9 e assim por diante, ou seja, a função 
2xy  é um exemplo de função 
par e, consequentemente, é simétrica em relação ao eixo y. O gráfico a seguir ilustra 
esse fato. 
14 
Quando uma função é simétrica em relação à 
origem, ela é dita função ímpar. No caso de uma 
função ímpar, temos a relação    xfxf  .
Como exemplo, vamos considerar a função 
3xy  . A relação entre os valores de x e 
de y pode ser analisada na tabela a seguir. 
x y=x3 
-3 -27
-2 -8
-1 -1
0 0 
1 1 
2 8 
3 27 
Como    xfxf  para todo x pertencente ao domínio, a função 
3xy  é uma
função ímpar e, nesse caso, simétrica em relação à origem. A figura a seguir mostra 
o gráfico da função
3xy  . 
 
 
15 
1) Nas funções abaixo, determine o domínio de cada uma. 
a) 𝑦 = 3𝑥2 + 5𝑥 + 2 
b) 𝑦 = 2𝑥 − 3 
c) 𝑦 = 
5
𝑥
 +3 
d) 𝑦 = 𝑥2 +
𝑥
5
 
e) 𝑦 = √𝑥 + 3 
f) 𝑦 =
4
√𝑥
− 5 
g) 𝑦 =
√𝑥
3
4
 
h) 𝑦 =
4
√𝑥
4 
i) 𝑦 =
3
5−𝑥
+
2
𝑥−3
 
j) 𝑦 =
3𝑥−5
√5−2𝑥
 
Resolução: 
a) Neste caso o domínio é o conjunto dos Reais, pois não ocorre nenhuma situação 
de restrição, ou (−∞; +∞). 
b) Para esta função linear, o domínio é o conjunto dos reais devido não haver 
restrições presentes, ou (−∞; +∞). 
c) Para esta situação, observa-se que a função 𝑦 = 
5
𝑥
 +3 apresenta denominador, 
onde não é aceito valor nulo, ou seja, o denominador deve ser diferente de zero, ou 
ainda 𝑥 ≠ 0. O domínio será 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≠ 0} ou (−∞; 0) ∪ (0; +∞). 
d) Para esta situação, ocorre um denominador, porém neste aparece uma 
constante, o que não é uma restrição para domínio. Tem-se como solução o conjunto 
dos Reais, ou (−∞; +∞). 
e) Na função 𝑦 = √𝑥 + 3 observa-se a ocorrência de raiz de índice par, o que 
implica no radicando ser maior ou igual a zero. Tem-se 𝑥 ≥ 0, com valores aceitos 
para x, ou 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅 |𝑥 ≥ 0} ou [0; +∞). 
f) Na função 𝑦 =
4
√𝑥
− 5 ocorre uma raiz de índice par no denominador, sendo uma 
dupla restrição, ou seja, o radicando somente pode ser positivo. Para o domínio tem-
se 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅 | 𝑥 > 0} ou (0; +∞). 
 
 
16 
g) Para a função 𝑦 =
√𝑥
3
4
 não há restrições pois a raiz apresenta índice ímpar, e as 
restrições ocorrem para raízes de índice par. Domínio é o conjunto dos Reais, ou 
(−∞; +∞). 
h) Na função 𝑦 =
4
√𝑥
4 tem-se ocorrência de raiz de índice par (4) (deve-se ter o 
radicando maior ou igual a zero) no denominador (deve ser diferente de zero), 
restando os valores maiores que zero para a variável x. 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅 | 𝑥 > 0}, ou 
(0; +∞). 
i) Para a função 𝑦 =
3
5−𝑥
+2
𝑥−3
 ocorrem duas frações, onde os denominadores não 
podem ser nulos. Para o primeiro denominador tem-se 5 − 𝑥 ≠ 0 ou 𝑥 ≠ 5. Para o 
segundo denominador tem-se 𝑥 − 3 ≠ 0 ou 𝑥 ≠ 3. O domínio para esta função é 𝐷 =
 {𝑥 ∈ 𝑅 | 𝑥 ≠ 3 𝑒 𝑥 ≠ 5} ou (−∞; 3) ∪ (3 ; 5) ∪ (5; +∞). 
Na função 𝑦 =
3𝑥−5
√5−2𝑥
 observa-se a ocorrência de uma raiz de índice par no 
denominador. Desta forma 5 − 2𝑥 > 0 ou 5 > 2𝑥 ou 
5
2
> 𝑥 ou 𝑥 <
5
2
. Para o domínio 
tem-se 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅 | 𝑥 <
5
2
} ou (−∞;
5
2
). 
2) Trace os gráficos das funções dadas, e classifique quanto a continuidade e 
descontinuidade. Em caso de funções descontínuas, identifique o tipo da 
descontinuidade (salto, removível ou infinita). 
a) 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 + 3. 
b) 𝑦 =
𝑥2+5𝑥+6
𝑥+2
 
c) 𝑦 =
3
𝑥−1
 
d) 𝑦 =
𝑥−1
3
 
e) 𝑦 =
𝑥+2
𝑥2+5𝑥+6
 
Resolução: Uma função é contínua quando o traçado de seu gráfico pode ser feito 
sem retirarmos o lápis do papel, ou seja, sem interrupções no traçado. 
As descontinuidades podem ser de três tipos: salto, removível ou infinita. 
As descontinuidades por salto podem ocorrer em funções que sejam definidas por 
equações diferentes para cada região do domínio real 
 
 
17 
As descontinuidades removíveis e infinitas ocorrem devido a presença da variável (x) 
no denominador da equação de definição da função. 
As descontinuidades removíveis ocorrem em funções onde o numerador pode ser 
fatorado e permita simplificação com a expressão do denominador. 
As descontinuidades infinitas ocorrem quando não há possibilidade de fatoração de 
numerador ou denominador e posterior simplificação da equação. À esquerda do valor 
de x (que não pertence ao domínio), a função tende a infinito (negativo ou positivo) e 
à direita do valor de x (que não pertence ao domínio), a função tende a infinito (positivo 
ou negativo). 
a) A função 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 + 3 é contínua porque não apresenta denominador. 
 
b) A função 𝑦 =
𝑥2+5𝑥+6
𝑥+2
 é descontínua, porque no denominador tem-se o fator 
 𝑥 + 2 , ou seja, com a variável x. Este denominador nunca poderá ser nulo, pois não 
é possível realizar divisão por zero. Deve-se fazer 𝑥 + 2 ≠ 0 ou 𝑥 ≠ −2. 
O domínio são todos os valores reais, com exceção de 𝑥 = −2. Observando o 
numerador 𝑥2 + 5𝑥 + 6 é possível reescrever por fatoração (𝑥 + 2). (𝑥 + 3). Pode-se 
escrever a equação original como 𝑦 =
𝑥2+5𝑥+6
𝑥+2
=
(𝑥+2).(𝑥+3)
𝑥+2
 e simplificar o fator 𝑥 + 2 
do numerador e do denominador, resultando 𝑦 = 𝑥 + 3 . Quando ocorre a 
simplificação ocorre a remoção da descontinuidade. 
 
O Wimplot apresenta o gráfico após a remoção da descontinuidade. Antes da remoção 
da descontinuidade o gráfico seria uma reta com o ponto (-2,1) em aberto. 
 
 
18 
 
c) A função 𝑦 =
3
𝑥−1
 apresenta a variável x no denominador, fazendo com que 𝑥 −
1 ≠ 0 ou 𝑥 ≠ 1. O domínio será o conjunto dos reais com exceção de 𝑥 = 1. No 
numerador não é possível realizar fatoração, logo não haverá possibilidade de 
simplificação e remoção da descontinuidade. Observa-se que à esquerda de x = 1, o 
traçado do gráfico mostra que o valor de y tende a menos infinito (−∞) e à direita de 
x = 1, o valor de y tende a mais infinito (+∞). A descontinuidade é infinita. 
 
d) A função 𝑦 =
𝑥−1
3
 é contínua, porque não ocorre a variável x no denominador 
da equação. Tem-se apenas o valor 3 no denominador (que é uma constante). 
 
 
 
19 
e) A função 𝑦 =
𝑥+2
𝑥2+5𝑥+6
 é descontínua, com duas descontinuidades. A equação 
pode ser reescrita por fatoração, como 𝑦 =
𝑥+2
𝑥2+5𝑥+6
=
𝑥+2
(𝑥+2).(𝑥+3)
 . As descontinuidades 
ocorrem em 𝑥 = −2 e 𝑥 = −3. É possível simplificar a expressão resultando 𝑦 =
𝑥+2
(𝑥+2).(𝑥+3)
=
1
𝑥+3
 . Quando ocorre uma simplificação, uma descontinuidade é removida 
( em 𝑥 = −2). Resta uma descontinuidade (infinita) em 𝑥 = −3. 
 
3) Classifique as funções abaixo em relação a paridade (função par, função ímpar, ou 
função nem par nem ímpar). 
a) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5 
b) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 
c) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 3 
d) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥2 − 2. 
e) 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
4
𝑥
 
f) 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
5
𝑥2−3
 
g) 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
2
𝑥3−𝑥2
 
Resolução: 
a) Para a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5 verificando: 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2 + 5 = 𝑥2 + 5 = 𝑓(𝑥). 
Função PAR 
b) Para a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 verificando: 
𝑓(−𝑥) = 3(−𝑥) + 5 = −3𝑥 + 5 ≠ 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑑𝑒 − 𝑓(𝑥). 
Função NEM PAR NEM ÍMPAR. 
 
 
 
20 
c) Para a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 3 verificando: 
 𝑓(−𝑥) = 2(−𝑥)2 + 4(−𝑥) − 3 = 2𝑥2 − 4𝑥 − 3 ≠ 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑑𝑒 − 𝑓(𝑥) FUNÇÃO NEM 
PAR NEM ÍMPAR. 
 
d) Para a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥2 − 2 testando: 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)4 + 3(−𝑥)2 − 2 = 𝑥4 + 3𝑥2 − 2 = 𝑓(𝑥). 
FUNÇÃO PAR. 
 
e) Para 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
4
𝑥
 testando 𝑓(−𝑥) =
4
−𝑥
= −
4
𝑥
= −𝑓(𝑥). 
FUNÇÃO ÍMPAR. 
 
f) Para a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
5
𝑥2−3
 verificando: 
𝑓(−𝑥) =
5
(−𝑥)2−3
=
5
𝑥2−3
= 𝑓(𝑥). 
FUNÇÃO PAR. 
 
g) Considerando a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
2
𝑥3−𝑥2
 testando: 
𝑓(−𝑥) =
2
(−𝑥)3−(−𝑥)2
=
2
−𝑥3−𝑥2
≠ 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑑𝑒 − 𝑓(𝑥). 
FUNÇÃO NEM PAR NEM ÍMPAR. 
 
Acessando o material on-line, assista ao vídeo do Prof. Ricardo sobre funções e suas 
propriedades! 
TEMA 2 – FUNÇÕES LINEARES 
Agora que já sabemos o que é uma função e que também conhecemos diversas 
propriedades, vamos estudar algumas das mais importantes funções de uma variável. 
Vamos começar com as funções lineares, também conhecidas como função do 
primeiro grau. Mas o que é uma função linear e onde podemos utilizar esse tipo de 
função? É isso o que vamos aprender a seguir. 
Vamos, inicialmente, assistir a um vídeo bem interessante sobre funções lineares, 
também conhecidas como funções afim. 
https://www.youtube.com/watch?v=DPDUdPEu-
 
 
21 
IA&list=PLf4asln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc&index=56. Acesso em: 2 set. 
2019. 
Função do primeiro grau 
Uma função é dita função linear ou função do primeiro grau quando essa função tem 
a forma baxy  onde a e b são constantes e 0a . 
O termo a é o coeficiente angular e indica a taxa de crescimento ou de decrescimento 
da função é o termo b é o coeficiente linear que indica o ponto no qual o gráfico da 
função linear intercepta o eixo y. 
Para que possamos entender melhor o que é uma função linear e onde essas funções 
podem ser utilizadas, vamos considerar uma panificadora que vende pães de queijo 
por R$ 0,50 cada. Nesse caso, o valor a ser pago por uma certa quantidade de pães 
de queijo é dado em função do número de pães de queijo comprados. Como cada pão 
de queijo custa R$ 0,50, a função que relaciona o preço P com a quantidade x de pães 
de queijo é P=0,5x. 
Sendo assim, a tabela abaixo apresenta o total a ser pago em função da quantidade 
comprada. 
Quantidade Total (R$) 
0 0,00 
1 0,50 
2 1,00 
3 1,50 
4 2,00 
5 2,50 
 
Podemos ilustrar essa situação através de um gráfico. 
 
 
22 
 
Uma função do tipo y=ax+b é chamada de linear, pois o gráfico é uma linha reta. Se 
o coeficiente de x for positivo, a função é crescente e se o coeficiente de x for negativo, 
a função é decrescente: 
se a>0, a função é crescente 
se a<0, a função é decrescente. 
1) Para as funções a seguir, identifique as lineares (ou de primeiro grau), 
determinando o ponto de intersecção com o eixo das abcissas, se a função é 
crescente ou decrescente e traçando seu gráfico. 
a) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 1 
b) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 5 − 𝑥2 
c) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 
d) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3 
e) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 5 − 2𝑥 
f) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 4 + 𝑥 + 𝑥2 
g) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 
Resolução: 
a) Função linear. Para o ponto de intersecção faz-se 4𝑥 + 1 = 0 e isolando x vem 
4𝑥 = −1 e 𝑥 =
−1
4
 . O ponto de intersecção é 𝑃(
−1
4
; 0). A função é crescente pois o 
valor de “a” é positivo (a>0). 
 
 
23 
 
b) Função não linear, devido ao termo 𝑥2. 
c) Funçãolinear. Ponto de Intersecção obtido por 1 − 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 1 . As 
coordenadas do ponto de intersecção são 𝑃(1; 0). Função decrescente devido ao 
valor de “a” ser negativo (-1). 
 
d) Função linear. Para o ponto de intersecção faz-se 4𝑥 − 3 = 0 e isolando x vem 
4𝑥 = 3 e 𝑥 =
3
4
 . O ponto de intersecção é 𝑃(
3
4
; 0). A função é crescente devido o valor 
de “a” ser positivo (a = 4). 
 
 
 
24 
e) Função linear. Ponto de Intersecção obtido por 5 − 2𝑥 = 0 ou 𝑥 =
5
2
 . As 
coordenadas do ponto de intersecção são 𝑃 (
5
2
; 0). Função decrescente devido ao 
valor de “a” ser negativo (-2). 
 
f) A função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 4 + 𝑥 + 𝑥2 é não linear devido ao termo 𝑥2 
g) A função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 é não linear devido ao termo √𝑥 . 
Assista ao vídeo do Prof. Ricardo sobre funções lineares acessando o material on-
line! 
TEMA 3 – FUNÇÕES QUADRÁTICAS 
Um outro tipo muito comum de função é o que conhecemos como sendo função 
quadrática, também chamada de função do segundo grau. 
Vamos assistir a um vídeo bastante interessante sobre funções 
quadráticas:https://www.youtube.com/watch?v=8DaCpxRstYQ&index=115&list=PLf4
asln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc. Acesso em: 2 set. 2019. 
Função do segundo grau 
Uma função da forma: 
cbxaxy  2 
Onde a, b e c são constantes e 0a é conhecida como função quadrática ou função 
do segundo grau. 
As funções quadráticas estão presentes nas mais variadas situações. Podemos 
pensar em uma função quadrática como sendo a função que relaciona a variação do 
preço de um produto com o lucro referente à venda desse produto. 
 
 
25 
Por outro lado, uma pessoa que salta sobre uma poça de água para não se molhar ou 
um cavalo que salta sobre um obstáculo descrevem no ar um movimento muito 
próximo do gráfico de uma função quadrática, que é uma parábola. Na física, esses 
movimentos são conhecidos como movimentos parabólicos. 
Quando lidamos com problemas envolvendo funções quadráticas, muitas vezes 
trabalhamos com a função toda. Outras vezes, precisamos apenas dos coeficientes 
a, b e c. Para que possamos identificar corretamente os coeficientes a, b e c, vamos 
ver alguns exemplos. 
a) 842
2  xxy onde a = 2, b = -4 e c = 8 
1175 2  xxy onde a = -5, b = 7 e c = -11 
xxy 103 2  onde a = -3, b = 10 e c = 0 
1002  xy onde a = 1, b = 0 e c = 100. 
Quando pensamos em uma função quadrática, sabemos que o gráfico é uma 
parábola. No entanto, essa parábola pode ter a concavidade para cima ou para baixo 
e isso depende apenas do sinal do coeficiente de x2, ou seja, depende apenas de a. 
Se 0a , a parábola tem concavidade voltada para cima. 
 
Se 0a , a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
 
 
26 
 
A relação entre a concavidade do gráfico de uma parábola e um determinado 
problema é bastante útil. Se pensarmos, por exemplo, em uma bola de futebol que foi 
chutada pelo goleiro de um determinado time em direção ao meio de campo, a função 
quadrática que descreve o movimento descrito por essa bola tem como gráfico uma 
parábola com a concavidade voltada para baixo. Logo, o coeficiente do termo em x2 
é negativo. 
Podemos também pensar assim: se a parábola tem concavidade para baixo, então 
essa função quadrática tem um ponto de máximo e se a parábola tem a concavidade 
voltada para cima, então a função tem um ponto de mínimo. E, para determinarmos 
qual é o valor de x que implica no ponto de máximo ou ponto de mínimo da função, 
basta considerarmos a fórmula do x referente ao vértice, chamado, de xv. Podemos 
dizer que: a
b
xv
2


. 
Antes de falarmos mais sobre as coordenadas do vértice, vamos assistir a um vídeo 
sobre esse assunto: 
https://www.youtube.com/watch?v=QwryQbKvaqM&list=UUWhuro_dMp3wVDloVCba
pDQ. Acesso em: 2 set. 2019. 
As coordenadas do vértice podem ser obtidas pelas fórmulas: 
a
b
xv
2


 e 
acb
a
yv 4 onde 
4
2 


 
Observe a figura a seguir. O vértice de uma parábola coincide com a extremidade da 
função que, como já vimos, pode ser um ponto de máximo ou um ponto de mínimo 
dessa função. 
 
 
27 
 
Uma aplicação bastante interessante sobre as coordenadas do vértice pode ser vista 
a seguir. 
Exemplo: 
Sabendo que o lucro referente à venda de rádios FM é dado pela função 
L(x) = -400x2+6800x+12000 
 
Onde x é o preço de venda de cada rádio, determine: 
a) O preço que maximiza o lucro 
b) O lucro máximo 
 
Resolução: 
a) O preço que maximiza o lucro é o valor de x referente ao vértice, que pode ser 
facilmente calculado utilizando-se a fórmula do xv. 
a
b
xv
2


 
Em primeiro lugar, precisamos dos coeficientes a e b da função: 
a = -400 
b = 6800 
O próximo passo é substituirmos esses coeficientes na fórmula. 
 4002
6800


vx
 
800
6800


vx
 
50,8vx 
Nesse caso, R$ 8,50 é o preço que maximiza o lucro. 
 
 
 
28 
b) Para determinarmos o lucro máximo, podemos utilizar a fórmula referente ao yv ou 
também podemos substituir o valor do x encontrado no item anterior na função L(x) = 
-400x2+6800x+12000. 
 
Fazendo então a substituição de x por 8,5 na função quadrática, temos: 
L(8,5) = -400(8,5)2+6800(8,5)+12000 
L(8,5) = -400(72,25)+6800(8,5)+12000 
L(8,5) = -28900+57800+12000 
L(8,5) = 40.900,00 
Portanto, o lucro máximo corresponde a R$ 40.900,00.Além das coordenadas do 
vértice, podemos também determinar as raízes de uma função quadrática utilizando a 
fórmula quadrática: 
acb
a
b
x 4 onde 
.2
2 


. 
 
Graficamente, as raízes de uma função quadrática correspondem aos valores de x 
tais que y seja igual a zero. 
 
Uma aplicação do cálculo das raízes de uma função quadrática consiste em 
determinarmos quais são os preços mínimo e máximo para que a empresa do exemplo 
anterior tenha lucro. 
Nesse caso, o primeiro passo é determinarmos as raízes da função L(x) = -400x2 + 
6800x + 12000 e, em seguida, considerarmos o intervalo entre as raízes. Veja como 
é fácil! 
Primeiro, vamos determinar os coeficientes a, b e c: 
a = -400 
b = 6800 
c = 12000 
 
 
29 
Agora precisamos calcular o valor de  : 
65440000
1920000046240000
)12000)(400(4)6800(
4
2
2



 acb
 
 
Calculando as raízes, temos: 
a
b
x
.2


 
)400.(2
65440000)6800(


x
 
 























61,18
800
50,14889
800
50,80896800
61,1
800
50,1289
800
50,80896800
800
50,80896800
222
111
xxx
xxx
x
 
Nesse caso, para essa empresa, os preços que fazem com que o lucro seja maior do 
que zero estão entre -1,61 e 18,61. Logo, -1,61<x<18,61. 
1) Para as funções a seguir, identifique as quadráticas (ou de segundo grau), 
determinando os pontos de intersecção com o eixo das abcissas, as coordenadas do 
vértice, a concavidade (para cima ou para baixo), o intervalo de crescimento e de 
decrescimento, e trace o gráfico correspondente. 
a) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥 + 5 
b) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 − 6 
c) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
d) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4 
e) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 
f) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 + 16 
g) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 25 − 𝑥2 
h) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 4𝑥 + 4 
i) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 + 8 
 
 
30 
Resolução: 
a) A função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥 + 5 não é quadrática devido ao termo 𝑥3 . 
b) A função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 − 6 é quadrática com a = 1, b = -5, e c = -6. 
Pontos de intersecção faz-se 𝑥2 − 5𝑥 − 6 = 0 que pode ser resolvido por fatoração 
como sendo (𝑥 − 6). (𝑥 + 1) = 0. 
Usando a regra do fator zero, vem 𝑥 − 6 = 0 resultando 𝑥1 = 6 e também 𝑥 + 1 = 0 
resultando 𝑥 = −1. Os pontos de intersecção são 𝑃1(6; 0) e 𝑃2(−1; 0). 
Coordenadas do vértice: 𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
=
5
2.1
=
5
2
 e: 
 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
=
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
=
4.1.(−6)−(−5)2
4.1
=
−24−25
4
= −
49
4
= −12,25. 
O vértice tem coordenadas (
5
2
; −
49
4
) 
 
Concavidade para cima, devido ao coeficiente a >0 (a =1). 
À esquerda do vértice,a parábola é decrescente ou seja no intervalo (−∞; 
5
2
) e é 
crescente à direita do vértice, no intervalo (
5
2
; ∞). 
c) A função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 é quadrática: 
a = 1, b = -5, e c = 6 
 
 
31 
 
Pontos de intersecção faz-se 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 que pode ser resolvido por fatoração 
como sendo (𝑥 − 3). (𝑥 − 2) = 0. Usando a regra do fator zero, vem 𝑥 − 3 = 0 
resultando 𝑥1 = 3 e também 𝑥 − 2 = 0 resultando 𝑥 = 2. Os pontos de intersecção são 
𝑃1(2; 0) e 𝑃2(3; 0). 
Coordenadas do vértice: 𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
=
5
2.1
=
5
2
 e: 
 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
=
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
=
4.1..6−(−5)2
4.1
=
24−25
4
= −
1
4
. 
O vértice tem coordenadas (
5
2
; −
1
4
) 
Concavidade para cima, devido ao coeficiente a >0 (a =1). 
À esquerda do vértice, a parábola é decrescente ou seja no intervalo (−∞; 
5
2
) e é 
crescente à direita do vértice, no intervalo (
5
2
; ∞). 
d) A função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4 é quadrática, a = 1, b = 0 e c = 4. 
 
 
 
32 
Pontos de intersecção faz-se 𝑥2 + 4 = 0 que pode ser resolvido por fórmula de 
Bhaskara como sendo: 
 𝑥1,2 =
−𝑏±√𝑏2−4.𝑎.𝑐
2𝑎
=
−0±√02−4.1.4
2.1
=
±√−16
2
=
±√16.(−1)
2
=
±√16.√−1
2
=
±4.𝑖
2
= ±2𝑖 
A solução resultou valores complexos, significando que a parábola NÃO intercepta o 
eixo das abcissas. 
Coordenadas do vértice: 
𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
=
0
2.1
=
0
2
= 0 e 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
=
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
=
4.1.4−(0)2
4.1
=
16
4
= 4. 
O vértice tem coordenadas (0; 4) 
Concavidade para cima, devido ao coeficiente a >0 (a =1). 
À esquerda do vértice, a parábola é decrescente ou seja no intervalo (−∞; 0) e é 
crescente à direita do vértice, no intervalo (0; ∞). 
e) A função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 é quadrática, a = 1, b = 0 e c = -4. 
 
Pontos de intersecção faz-se 𝑥2 − 4 = 0 que pode ser resolvido por fatoração como 
sendo (𝑥 + 2). (𝑥 − 2) = 0. Usando a regra do fator zero, vem 𝑥 + 2 = 0 resultando 
𝑥1 = −2 e também 𝑥 − 2 = 0 resultando 𝑥 = 2. Os pontos de intersecção são 𝑃1(−2; 0) 
e 𝑃2(2; 0). 
Coordenadas do vértice: 
𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
=
0
2.1
= 0 e 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
=
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
=
4.1.(−4)
4.1
=
−16
4
= −4. 
O vértice tem coordenadas (0; −4) 
 
 
33 
Concavidade para cima, devido ao coeficiente a >0 (a =1). 
À esquerda do vértice, a parábola é decrescente ou seja no intervalo (−∞; 0) e é 
crescente à direita do vértice, no intervalo (0; ∞). 
f) A função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 + 16 é quadrática, sendo a = 1, b = -8 e c= 16. 
 
Pontos de intersecção faz-se 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 0 que pode ser resolvido por fatoração 
como sendo (𝑥 − 4). (𝑥 − 4) = 0. Usando a regra do fator zero, vem 𝑥 − 4 = 0 
resultando 𝑥1,2 = 4 . 
Ocorreram dois valores iguais para as raízes. Há somente um ponto de intersecção 
com o eixo das abcissas que é 𝑃(4; 0) . 
Coordenadas do vértice: 
𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
=
8
2.1
= 4 e 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
=
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
=
4.1.16−(−8)2
4.1
=
64−64
4
=
0
4
= 0. 
O vértice é o coincidente com o ponto de intersecção com o eixo x. 
Concavidade para cima, devido ao coeficiente a >0 (a =1). 
À esquerda do vértice, a parábola é decrescente ou seja no intervalo (−∞; 4) e é 
crescente à direita do vértice, no intervalo (4; ∞). 
 
g) A função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2 é quadrática, com a = -1, b = 0 e c=4. 
 
 
34 
 
Para os pontos de intersecção faz-se 4 − 𝑥2 = 0 que pode ser resolvido por fatoração 
como sendo (2 − 𝑥). (2 + 𝑥) = 0. 
Usando a regra do fator zero, vem 2 − 𝑥 = 0 resultando 𝑥1 = 2 e também 2 + 𝑥 = 0 
resultando 𝑥 = −2. Os pontos de intersecção são 𝑃1(−2; 0) e 𝑃2(2; 0). 
Coordenadas do vértice: 
 𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
=
0
2.1
= 0 e 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
=
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
=
4.1.4−02
4.1
=
16
4
= 4. 
Concavidade para baixo, devido ao coeficiente a <0 (a = -1). 
À esquerda do vértice, a parábola é crescente ou seja no intervalo (−∞; 0) e é 
decrescente à direita do vértice, no intervalo (0; ∞). 
h) A função quadrática 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 4𝑥 + 4 tem a = -3, b = 4 e c = 4. 
 
 
Para os pontos de intersecção faz-se −3𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 0 que pode ser resolvido por 
fórmula de Bhaskara como sendo: 
 
 
35 
 𝑥1,2 =
−𝑏±√𝑏2−4.𝑎.𝑐
2𝑎
=
−4±√42−4.(−3).4
2.(−3)
=
−4±√16+48
−6
=
−4±√64
−6
=
−4±8
−6
 . Tomando o sinal 
positivo tem-se 𝑥1 =
−4+8
−6
=
4
−6
= −
2
3
 . 
Tomando o sinal negativo tem-se 𝑥2 =
−4−8
−6
=
−12
−6
= 2 . 
Os pontos de intersecção são 𝑃1(−
2
3
; 0) e 𝑃2(2; 0). 
Coordenadas do vértice: 
 𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
=
−4
2.(−3)
=
−4
−6
=
2
3
 e 
𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
=
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
=
4.(−3).4−42
4.(−3)
=
−48−16
−12
=
−64
−12
=
16
3
 
Concavidade para baixo, devido ao coeficiente a <0 (a = -3). 
À esquerda do vértice, a parábola é crescente ou seja no intervalo (−∞; 
2
3
) e é 
decrescente à direita do vértice, no intervalo (
2
3
; ∞). 
i) A função quadrática 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 + 8 tem a = -1, b = 4 e c = 8. Para os 
pontos de intersecção faz-se −𝑥2 + 4𝑥 + 8 = 0 que pode ser resolvido por fórmula de 
Bhaskara como sendo: 
 𝑥1,2 =
−𝑏±√𝑏2−4.𝑎.𝑐
2𝑎
=
−4±√42−4.(−1).8
2.(−1)
=
−4±√16+32
−2
=
−4±√48
−2
=
−4±4√3
−2
 . Tomando o sinal 
positivo tem-se: 
 𝑥1 =
−4+4√3
−2
=
−4
−2
+
4√3
−2
= 2 − 2√3 ≅ −1,46. 
Tomando o sinal negativo tem-se: 
 𝑥2 =
−4−4√3
−2
=
−4
−2
−
4√3
−2
= 2 + 2√3 ≅ 5,46 . 
Os pontos de intersecção são 𝑃1(−1,46; 0) e 𝑃2(5,46; 0). 
Coordenadas do vértice: 
 𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
=
−4
2.(−1)
=
−4
−2
= 2 e: 
 
 
36 
𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
=
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
=
4.(−1).8−42
4.(−1)
=
−32−16
−4
=
−48
−4
= 12 
Concavidade para baixo, devido ao coeficiente a <0 (a = -1). 
À esquerda do vértice, a parábola é crescente ou seja no intervalo (−∞; 2) e é 
decrescente à direita do vértice, no intervalo (2; ∞). 
No material on-line, confira o vídeo do Prof. Ricardo sobre funções quadráticas! 
TEMA 4 – GRÁFICOS DAS FUNÇÕES USANDO O WINPLOT 
Durante essa aula, fizemos vários gráficos de funções. Esses gráficos podem ser 
feitos manualmente, atribuindo-se valores quaisquer para x e calculando, com base 
na função a ser representada graficamente, os respectivos valores de y. 
Depois é só desenhar esses pontos em um sistema de eixos coordenados e ligá-los 
para que, finalmente, possamos ver o gráfico da função. Mas também é possível fazer 
o uso de um programa de computador para isso. Por se tratar de um software gratuito 
e de fácil uso, escolhemos o Winplot para ser utilizado na construção do gráfico de 
funções. O Winplot é um software com vários recursos e possui uma versão em 
português. 
Para podermos utilizar o Winplot, o primeiro passo é fazermos o download. 
Fazendo isso, irá aparecer a seguinte janela: 
 
 
37 
 
Agora é só clicarmos em “Download”. Vamos escolher agora o local onde o arquivo 
será salvo. Geralmente o padrão é a pasta “Downloads”, mas esse local pode ser 
modificado ou não. 
Após o download, o próximo passo é descompactar o arquivo que é o próprio Winplot. 
O Winplot não precisa ser instalado no computador, mas apenas descompactado para 
que ele possa ser utilizado. 
Para descompactar o arquivo, vamos clicar duas vezes sobre o arquivo “wppr32z” que 
acabamos de salvar. 
 
 
Ao clicarmos duas vezes sobre esse arquivo, vamos ver a seguinte janela. 
 
 
 
 
38 
Para que possamos escolher o local onde o Winplot será descompactado, vamos 
clicar em “Browse” e, em seguida, vamos determinar o local de destino desse 
programa. Escolheremos a Área de Trabalho. 
 
Agora é só clicarmos em “OK”. 
 
Finalmente, para que possamos concluir esses passos, vamos clicar em “Unzip”. 
Fazendo isso, temos a seguinte janela informando que o Winplot foi descompactado 
com sucesso. É só clicar em “OK”. 
 
Agora, para podermos desfrutar de todos os recursos do Winplot, é só clicarmos no 
ícone a seguir que o Winplot irá abrir. 
39 
A tela inicial do Winplot é bastante simples. 
O primeiro passo é clicarmos no menu “Janela”e, em 
seguida, em “2-dim”. Isso por que iremos trabalhar 
com funções de uma variável, logo, com funções que 
estão em duas dimensões. 
Após clicarmos e “2-dim”, o Winplot irá nos apresentar uma tela contendo um plano 
cartesiano. 
Vamos ver agora como podemos representar graficamente algumas funções. Primeiro 
vamos clicar no menu “Equação” e, em seguida, na opção “1. Explícita ...”. 
40 
Fazendo isso, temos uma tela onde é possível 
digitarmos a função que queremos representar 
graficamente. Inicialmente, a função trigonométrica 
x.sen(x) já está escrita, mas podemos substituir
essa função por uma outra. 
Vamos fazer o gráfico da função linear y=x+3. Por 
isso, no lugar de xsin(x) vamos digitar x+3. 
Agora é só clicarmos em “OK” que teremos o gráfico da função y=x+3. 
Vamos agora representar graficamente a função y=x2-5x+6. Podemos fechar a janela 
contendo o gráfico da função que acabamos de representar. Ao fazermos isso, irá 
aparecer uma janela perguntando se queremos salvar o arquivo semnome1.wp2. 
Vamos clicar em “não”. 
 
 
41 
Agora é só repetirmos os passos anteriores. Vamos clicar em “Janela” e, em seguida, 
em “2-dim”. Depois em “Equação” e, em seguida, na opção “1. Explícita ...”. Vamos 
digitar agora a expressão x^2-5x+6. É importante ressaltar que o símbolo “^” indica a 
potenciação. 
 
Clicando em “OK”, temos o gráfico da função y=x2-5x+6. 
 
Se quisermos afastar o gráfico, podemos clicar na tecla “PageDown” e se quisermos 
aproximar o gráfico, clicamos na tecla “PageUp”. 
Utilizando o Winplot, faça o gráfico das seguintes funções: 
a) y=5x+1 
b) y=-5x+1 
c) y=2x2+3x+1 
d) y=-2x2+3x+1 
e) y=2x2-3x+1 
Respostas: 
a) 
42 
b)
c) 
d) 
e)
 
 
43 
 
Assista no material on-line ao vídeo do professor Ricardo sobre o uso do Winplot para 
a construção do gráfico de funções! 
NA PRÁTICA 
Vamos colocar em prática alguns dos conhecimentos adquiridos. A figura a seguir 
mostra a trajetória da água que sai de um chafariz colocado no nível do chão que é 
horizontal e não apresenta irregularidades. 
 
 
 
Resolução 
Primeiro precisamos calcular o valor de xv que está associado à altura máxima. Para 
isso vamos utilizar a fórmula: 
a
b
xv
2


 
Os coeficientes a e b da função são: 
a = -0,5 
b = 3 
Agora é só substituirmos esses coeficientes na fórmula. 
 5,02
3


vx
 
Sabe-se que a equação que descreve 
essa trajetória é: y=-0,5x2+3x 
 
Determine a altura máxima atingida pela 
água e a distância entre o ponto de onde 
sai a água e o ponto onde ela atinge o 
solo. 
 
 
 
44 
1
3


vx
 
3vx 
Vamos agora substituir na função y=-0,5x2+3x o valor encontrado para determinarmos 
a altura máxima da água: 
y=-0,5x2+3x 
y=-0,5(3)2+3(3) 
y=-0,5(9)+9 
y=-45+9 
y=4,5 
 
Portanto, a altura máxima atingida foi de 4,5 metros. 
 
 
Vamos agora calcular as raízes da função para termos os pontos correspondentes ao 
local de onde sai a água e o local onde a água atinge o solo. 
 
Primeiro, vamos determinar os coeficientes a, b e c: 
 
a = -0,5 
b = 3 
c = 0 
 
Vamos agora calcular o valor de : 
9
09
)0)(5,0(4)3(
4
2
2



 acb
 
 
 
45 
 
Calculando as raízes, temos: 
a
b
x
.2


 
)5,0.(2
9)3(


x
 





















6
1
6
1
33
0
1
0
1
33
1
33
222
111
xxx
xxx
x
 
 
Como a água partiu do ponto onde x é igual a zero e tocou o solo no ponto onde x é 
igual a 6, a distância total percorrida foi de 6-0=6, ou seja, de 6 metros. 
 
SÍNTESE 
Chegamos ao final da aula! 
Vimos o que são funções e suas propriedades. Funções contínuas e descontinuidade 
de funções também foram abordadas nessa aula. Vimos que é possível identificar 
quando uma função é crescente, decrescente ou constante. Estudamos diversos 
aspectos relacionados às funções lineares e também às funções quadráticas. 
Aprendemos a utilizar o software gratuito Winplot para a construção do gráfico de 
funções. 
E sempre é possível aprendermos mais. Por isso, a sugestão é a leitura dos capítulos 
7 e 8 da obra Pré-Cálculo dos autores Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D. 
Foley e Daniel Kennedy, 2a edição, editora Pearson. 
Até a próxima! 
 
 
 
46 
REFERÊNCIA 
DEMANA, F.D.; WAITS, B.K.; FOLEY, G.D.; KENNEDY, D. Pré-Cálculo. 2a Ed, São 
Paulo, Pearson, 2013.