Introdução ao Cálculo

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MARCELO COUTO BRAGA
MARIO LUIZ ALVES LIMA
MARCOS JOSÉ MACHADO DA COSTA
ORGANIZAÇÃO 
MAGDA MARIA VENTURA
DENISE CANDAL
1ª edição
rio de janeiro 2014
Introdução 
ao Cálculo
Comitê editorial externo fernanda maria pereira raupp e luziane ferreira de mendonça 
Comitê editorial interno denise candal e magda maria ventura
Organizadores do livro magda maria ventura e denise candal
Autores dos originais marcelo couto braga (capítulos 1 e 2), marcos josé machado da costa 
(capítulos 3 e 4) e mario luiz alves lima (capítulos 5 e 6)
Projeto editorial roberto paes
Coordenação de produção rodrigo azevedo de oliveira
Projeto gráfico paulo vitor fernandes bastos
Diagramação paulo vitor fernandes bastos
Supervisão de revisão aderbal torres bezerra
Redação final e desenho didático jarcélen ribeiro
Revisão linguística jarcélen ribeiro e aderbal torres
Capa thiago lopes amaral
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por quais-
quer meios (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou 
banco de dados sem permissão escrita da Editora. Copyright seses, 2014.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (cip)
I61 Introdução ao Cálculo
 Magda Maria Ventura [organizador].
 — Rio de Janeiro: Editora Universidade Estácio de Sá, 2013.
 192 p
 isbn: 978-85-60923-13-7
 1. Cálculo. 2. Função. 3. Logaritmo. 4. Trigonometria. 5. Limite. I. Título.
cdd 510
Diretoria de Ensino – Fábrica de Conhecimento
Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa
Rio Comprido – Rio de Janeiro – rj – cep 20261-063
Sumário
Epígrafe 9
Prefácio 11
1. Função Afim ou Polinomial do Primeiro Grau 13
Aplicações matemáticas 	 14
Origem da Matemática 	 15
Função afim ou função polinomial do primeiro grau 	 15
Casos particulares de uma função afim 	 16
Função constante 	 16
Função linear 	 16
Função Identidade 	 17
Determinação de uma função afim a partir de duas coordenadas 	 17
Gráfico de uma função afim 	 18
O gráfico de toda função afim é uma reta 	 18
Interseção do gráfico de uma função afim com o eixo 0x 	 19
Intersecção do gráfico de uma função afim com o eixo 0y 	 19
Coeficientes angular e linear de uma função afim 	 20
Propriedade importante 	 22
Função afim crescente e decrescente 	 22
Estudo do sinal de uma função afim 	 23
2. Função quadrática ou polinomial do segundo grau 39
A função quadrática 	 40
Importância da função quadrática 	 40
Parábola 	 41
Gráfico de uma função quadrática 	 41
Concavidade 	 42
Forma canônica 	 42
Raízes ou zeros 	 43
Determinação algébrica das raízes da equação do segundo grau 	 44
Os três casos de discriminante 	 44
Caso1: ∆>0 	 44
Caso 2: ∆=0 	 45
Caso 3: ∆<0 	 45
Interseção com o eixo dos y 	 46
Máximo e mínimo 	 47
Vértice 	 49
Imagem 	 51
Soma e produto das raízes 	 53
Fatoração do trinômio do segundo grau 	 55
Estudo dos sinais da função quadrática 	 57
Função modular 	 59
Interpretação geométrica do módulo 	 59
Propriedades de módulo 	 60
Equações modulares 	 64
Inequações modulares 	 65
3. Função exponencial 77
Importância das funções exponenciais e suas aplicações 	 78
Gráfico de uma função exponencial 	 79
Esboços gráficos de função exponencial 	 80
Propriedades 	 81
Equação exponencial 	 82
Inequação exponencial 	 86
4. Logaritmos e funções logarítmicas 97
Logaritmo 	 98
Propriedades imediatas dos logaritmos 	 99
Propriedades com operações de logaritmos 	 101
Sistemas de logaritmos na base a 	 104
I - Sistema de logaritmo decimal 	 105
II - Sistema de logaritmo natural ou logaritmo neperiano 	 105
Função logarítmica 	 106
Gráfico de uma função logarítmica 	 106
Equação logarítmica 	 110
Inequação logarítmica 	 112
5. Trigonometria 119
Ângulo e Trigonometria 	 120
Razões trigonométricas no triângulo retângulo 	 120
Relação fundamental e relação entre seno, cosseno, tangente e cotangente 	 121
Relação Fundamental 	 121
Relações entre seno, cosseno, tangente e cotangente 	 122
Ângulos notáveis 	 123
Ângulo de 45º 	 123
Ângulo de 30º e 60º 	 123
Razões trigonométricas na circunferência 	 125
As razões trigonométricas 	 125
Seno e Cosseno 	 125
Tangente e Cotangente 	 126
Corolário 	 127
Arcos Côngruos 	 129
Redução ao 1º quadrante 	 130
Outras relações entre arcos e quadrantes 	 131
Transformações 	 135
Cosseno da soma e diferença de dois arcos 	 135
Seno da soma e diferença de dois arcos 	 135
Tangente da soma e diferença de dois arcos 	 136
Funções circulares de 2a 	 136
Transformação em produto 	 136
Resolução de equações e inequações trigonométricas 	 136
Funções trigonométricas 	 143
Função seno 	 143
Função cosseno 	 144
Função tangente 	 145
6. Limites 151
A evolução do estudo do conceito de limites 	 152
Noção intuitiva de limite 	 152
Formalizando a aproximação 	 154
Definição formal de limite 	 155
Teoremas da unicidade do limite e da conservação do sinal 	 157
Teorema 1: unicidade do limite 	 157
Teorema 2: conservação do sinal 	 158
Propriedades de limites 	 159
Função Identidade 	 159
Função Constante 	 160
Multiplicação por Escalar 	 160
Soma ou Subtração 	 160
Produto 	 160
Quociente 	 161
Potência 	 161
Radiciação 	 161
Função Polinomial 	 162
Função Composta 	 162
Limites laterais e continuidade 	 162
Limites infinitos 	 165
Propriedades dos limites infinitos 	 166
Limite da Soma 	 166
Limite do Produto 	 167
Limite do Quociente 	 167
Teorema 	 169
Limites no infinito 	 170
Propriedades dos limites no infinito 	 174
Limite da soma 	 174
Limite do produto 	 174
Limite do quociente 	 175
Limites especiais 178
Demonstração de R3 	 178
Complementos sobre o estudo de limites 	 180
Função Limitada 	 180
Teorema do Confronto 	 181
Limites Trigonométricos 	 182
Limites de Funções Exponenciais 	 184
Limites de Funções Logarítmicas 	 185
9
Epígrafe
Ninguém	aprende	Matemática	ouvindo	o	professor	em	sala	de	aula,	por	mais	organiza-
das	e	claras	que	sejam	suas	preleções,	por	mais	que	se	entenda	tudo	o	que	ele	explica.	
Isso	ajuda	muito,	mas	é	preciso	estudar	por	conta	própria	logo	após	as	aulas,	antes	que	
o	benefício	delas	desapareça	com	o	tempo.	Portanto,	você,	leitor,	não	vai	aprender	Ma-
temática	porque	assiste	aulas,	mas	porque	estuda.	E	este	estudo	exige	muita	disciplina	
e	concentração:	estuda-se	sentado	à	mesa,	com	lápis	e	papel	à	mão,	prontos	para	serem	
usados	a	qualquer	momento.	Você	tem	que	interromper	a	leitura	com	frequência,	para	
ensaiar	a	sua	parte:	fazer	um	gráfico,	um	diagrama,	escrever	alguma	coisa	ou	simples-
mente	rabiscar	uma	figura	que	o	ajude	a	seguir	o	raciocínio	do	livro,	seguir	ou	testar	
uma	ideia.	Às	vezes,	você	tem	que	escrever	uma	fórmula,	resolver	uma	equação	ou	fazer	
um	 cálculo	 que	 verifique	 se	 alguma	 afirmação	 do	 livro	 está	 mesmo	 correta.	 Por	 isso	
mesmo,	não	espere	que	o	livro	seja	completo,	sem	lacunas	a	serem	preenchidas	pelo	
leitor;	 do	 contrário,	 este	 leitor	 será	 induzido	 a	 uma	 situação	 passiva,	 quando	 o	 mais	
importante	é	desenvolver	as	habilidades	para	o	trabalho	independente,	despertando	a	
capacidade	de	iniciativa	individual	e	criatividade.	Você	estará	fazendo	progresso	real-
mente	significativo	quando	sentir	que	está	conseguindo	aprender	sozinho,	sem	a	ajuda	
do	professor,	quando	sentir	que	está	realmente	aprendendo	a	aprender.
geraldo ávila 
(ÁVILA,	Geraldo.	Análise matemática para licenciatura.	3.	ed.	São	Paulo:	Edgard	Bucher,	2006.)
11
Prefácio
Introdução	ao	cálculo	diferencial	é	um	livro	didático	elaborado	para	auxiliá-lo	em	sua	principal	
missão	como	aluno:	estudar.	São	seis	capítulos	elaborados	por	professores	experientes	e	cada	
um	deles	traz	a	definição	e	o	desenvolvimento	acerca	de	um	tópico	de	Introdução	ao	Cálculo	Di-
ferencial,	todos	envolvendo	noçõesde	função,	com	exemplos,	esquemas,	gráficos	e	exercícios.
Muitas	vezes,	mesmo	sem	que	percebamos,	estamos	lidando	com	problemas	cotidia-
nos	que	envolvem	funções.	Quando	lemos	um	jornal,	uma	revista,	assistimos	a	um	tele-
jornal	ou	vemos	notícias	pela	internet,	com	frequência	nos	deparamos	com	gráficos	de	re-
lações	ou	funções,	comparando	grandezas,	fornecendo	informações,	pois	as	funções	são	
ferramentas	poderosas	para	descrever	o	mundo	real.	A	análise	destes	gráficos	e	das	funções	
que	os	originaram	é	extremamente	importante	e,	para	que	esta	seja	feita	de	forma	precisa,	
é	necessário	estudar	as	funções,	de	maneira	geral.
No	primeiro	capítulo,	definiremos	a	Função	Afim,	ou	Função	Polinomial	de	Primeiro	
Grau,	estudando	as	suas	particularidades,	identificando	os	pontos	notáveis,	o	domínio	e	a	
imagem	e	esboçando,	então,	seu	gráfico.		Resolveremos	ainda	equações	e	inequações	en-
volvendo	funções	afins.
Estudaremos,	no	segundo	capítulo,	a	Função	de	Segundo	Grau	ou	Quadrática,	definindo	
uma	parábola	e	determinando	seus	pontos	notáveis,	a	partir	dos	quais	esboçamos	e	analisa-
mos	os	gráficos.	Resolveremos	também	situações-problema	envolvendo	funções	quadráticas.	
Como	complemento	aos	dois	primeiros	capítulos,	ao	final	do	capítulo	2,	abordaremos	
a	definição	de	módulo	e	Função	Modular,	analisando	e	construindo	estes	gráficos	e	resol-
vendo	equações	e	inequações	modulares.		
No	terceiro	capítulo,	trataremos	das	Funções	Exponenciais,	analisando	seus	gráficos,	
resolvendo	problemas	que	envolvam	estas	funções	e	equações	e	inequações	exponenciais.	
Definiremos	Logaritmo	no	quarto	capítulo,	estudando	as	suas	propriedades.	Identificare-
mos	uma	Função	Logarítmica,	analisaremos	o	seu	gráfico	e	resolveremos	problemas	que	en-
volvam	Função	Logarítmica.	Além	disso,	resolveremos	equações	e	inequações	Logarítmicas.	
No	quinto	capítulo,	abordaremos	noções	de	Trigonometria.	Identificaremos	as	razões	
trigonométricas	 no	 triângulo	 retângulo,	 relacionaremos	 estas	 razões	 trigonométricas	 ao	
círculo	 trigonométrico,	 bem	 como	 estudaremos	 as	 relações	 e	 fórmulas	 trigonométricas.	
Neste	capítulo	também	faremos	um	breve	estudo	das	funções	trigonométricas	básicas.
Finalizando	este	livro,	no	sexto	capítulo,	estudaremos	o	conceito	de	limite	de	uma	fun-
ção,	aplicando	suas	propriedades	básicas	para	resolver	limites,	envolvendo	funções	polino-
miais,	exponenciais,	logarítmicas	e	trigonométricas.	Abordaremos	também,	as	noções	de	
limites	laterais	e	de	continuidade	de	uma	função.	Resolveremos,	ainda,	limites	de	funções	
envolvendo	indeterminações	e	alguns	limites	especiais.
Acreditamos	que	este	livro	sirva	como	uma	boa	ferramenta	para	que	você	exerça	sua	tarefa	e	
compreenda	facilmente	os	tópicos	nele	apresentados.	É	fato	que	os	temas	aqui	abordados	não	
esgotam	a	complexidade	da	análise	de	tais	noções,	mas	procuram	sedimentar	a	sua	formação	
da	forma	mais	eficaz	e	prazerosa	possível.	Convém	ressaltar	que	é	importante	que	sejam	prati-
cados	exercícios	para	que	se	forme	uma	base	sólida	de	conhecimento	sobre	o	assunto.
Bons	estudos!
denise candal
Função afim ou 
polinomial do 
primeiro grau
marcelo couto
11
14 • capítulo 1
OBJETIVOS
1. Definir uma função afim e estudar suas particularidades;
2. Esboçar o gráfico de uma função afim;
3. Identificar os pontos notáveis do gráfico de uma função afim;
4. Identificar o domínio e a imagem de uma função afim;
5. Resolver equações e inequações envolvendo funções afins. 
Aplicações matemáticas
Assim	como	outros	conteúdos	da	Matemática,	inúmeras	são	as	aplica-
ções	interessantes	e	úteis	das	funções	de	maneira	geral.
É	por	meio	dessas	aplicações	que	conseguimos	empregar	as	noções	
e	 teorias	da	Matemática	para	obter	resultados,	conclusões	e	previsões	
em	situações	comuns	do	nosso	dia	a	dia,	e	também	em	questões	cientí-
ficas,	tecnológicas	e	até	sociais.
APLICAÇÕES DAS NOÇÕES E TEORIAS DA MATEMÁTICA
RESULTADOS CONCLUSÕES PREVISÕES
REFLEXÃO
“Como as entendemos, as aplicações do conhecimento matemático in-
cluem a resolução de problemas, essa arte intrigante que, por meio de de-
safios, desenvolve a criatividade, nutre a autoestima, estimula a imaginação 
e recompensa o esforço de aprender.” (LIMA, 1999)
Para Elon Lages Lima, as aplicações representam a parte mais atraente da Mate-
mática, e, se forem ligadas aos fatos e questões da vida, justificam seu estudo e 
descaracterizam o aspecto de complicação que muitas vezes a disciplina apresenta.
1
AUTOR
Elon Lages Lima
Elon Lages Lima 
(1929) é um ma-
temático brasileiro, 
mestre e doutor 
(PhD) pela Universidade de Chicago, 
autor de vinte e cinco livros sobre Ma-
temática. Duas vezes ganhou o Prêmio 
Jabuti da Câmara Brasileira do Livro e 
recebeu também o prêmio Anísio Teixei-
ra do Ministério da Educação.
 
Função afim ou polinomial 
do primeiro grau
capítulo 1 • 15
Origem da Matemática
Acredita-se	 que	 a	 Matemática	 é	 anterior	 à	 escrita	 e,	 por	 isso,	 não	 há	
provas	 históricas	 precisas.	 Porém,	 alguns	 registros	 arqueológicos,	
como	o	Plimpton	322,	 indicam	que	a	Matemática	sempre	esteve	pre-
sente	na	atividade	humana.	
Esses	 registros	 apontam	 justamente	 a	 aplicabilidade,	 como,	 por	
exemplo,	a	contagem	do	tempo.	Isso	mostra	que	a	Matemática	vem	nos	
auxiliando	na	resolução	de	problemas	desde	os	primórdios	da	civilização,	
mantendo	sua	importância	válida	e	útil	até	hoje.	E,	devido	ao	seu	desen-
volvimento	contínuo,	tudo	indica	que	será	indispensável	no	futuro.	
Função afim ou função polinomial 
do primeiro grau
Para	compreendermos	bem	as	aplicações,	devemos,	a	princípio,	domi-
nar	a	teoria	que	embasa	o	estudo	das	funções	e	seus	gráficos.
Vamos	 começar	 com	 a	 função	 afim	 ou	 função	 polinomial	 do	 pri-
meiro	grau.
CONCEITO
No estudo das funções matemáticas, toda função do tipo f(x)=ax+b, com a,b ∈ ℝ e 
a ≠ 0, é denominada função afim ou função polinomial do 1º grau. 
Podemos, ainda, expressar f por:
f:ℝ→ℝ
x ↦ f(x)=ax+b
Note que a,b são parâmetros e x é variável, enquanto que f(x) é o valor da função 
afim na variável x.
Não esqueça que podemos usar qualquer letra para representar parâmetros, 
variáveis e valores da função.
EXEMPLO
a) y=6x+9 é uma função afim, em que a=6 e b=9.
b) y=5x é uma função afim, em que a=5 e b=0.
c) y=2x-4 é uma função afim, em que a=2 e b=-4.
d) y=-0,8x-0,7 é uma função afim, em a=-0,8 e b=-0,7.
IMAGEM
Plimpton 322
Plimpton 322 é uma tableta de argila 
em escrita cuneiforme, provavelmente 
do século XVIII a.C., com registros da 
Matemática babilônica.
 
REFLEXÃO
Função
O próprio significado da palavra “função” 
faz uma analogia às situações do nos-
so cotidiano, estabelecendo claramen-
te a relação de dependência entre os 
fenômenos.
É comum ouvirmos construções do tipo:
 “Em função dos resultados das avalia-
ções, teremos ou não aulas extras.”
“O aumento de preço se deu em função 
da escassez do produto.”
16 • capítulo 1
ATIVIDADE
Agora vamos fazer a primeira atividade deste capítulo. Veja se você consegue resol-
ver este problema:
Uma empresa da área de vendas paga um salário fixo de R$900,00 mais 
uma comissão de R$4,00 por cada produto vendido. 
Como você pode representar esta situação através de uma função afim?
Resolução 
Podemos representar a situação apresentada da seguinte forma:
y=4x+900
Neste caso, podemos dizer que o salário recebido pelo empregado y depende da 
variação de x (quantidade de produto vendida).
Casos particulares de uma função afim
Função constante
Função	constante	é	a	fun-
ção	 f:ℝ→ℝ,	 definida	 por	
f(x)=b,	onde	a=0.
Observe	 o	 gráfico	 da	
função	constante		f(x)=-3:
Função linear
Função	 linear	 é	 a	 fun-
ção	 f:ℝ→ℝ,	 definida	 por	
f(x)=ax,	onde	b=0.
Observe	 o	 gráfico	 da	
função	f(x)=4x:
IDEIA
Função Constante
Pesquise na internet materiais sobre 
função afim. A Khan Academy (http://
pt.khanacademy.org), por exemplo, uma 
ONG educacional bem conceituada, dis-
ponibiliza vários vídeossobre o assunto.
 
2
y
1
1-1-2-3-4 2 3 4 5
0
0
-1
-2
-3
-4
x
y
-2 0
0
2
-2
x
-4
-6
-4-6
4
6
42 6
capítulo 1 • 17
Função Identidade
Função	Identidade	é	a	função	f:ℝ→ℝ,	definida	
por	f(x)=x,	onde	a=1	e	b=0.
Observe	o	gráfico	da	função	f(x)=x:
Determinação de uma função afim a partir de duas 
coordenadas
Uma	função	afim	f(x)=ax+b	pode	ser	determinada	através	de	duas	coordenadas	(x1 , y1 )	e	
(x2 , y2 )	quaisquer,	com	x1 ≠ x2 .		
Lembre-se	que	uma	função	afim	é	determinada	pelos	valores	de	seus	parâmetros.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Determine a função afim sabendo que f(2)=5 e f(3)=7:
Resolução 
Sabe-se que as coordenadas são (2,5) e (3,7). Então, substituindo esses valores diretamente na função 
f(x)=ax+b, obtemos o seguinte sistema:
(2,5) →
(3,7) →{ 2a+b=53a+b=7
Nele os parâmetros precisam ser determinados.
Da primeira equação do sistema, temos que b=5-2a. Inserindo este resultado na segunda equação, temos 
que: 3a+b=3a+(5-2a)=1a+5=7 ⇒ a=7-5=2
Lembre-se que o símbolo “⇒” significa “implica em”.
Substituindo agora a=2 na primeira equação, verifica-se que: 
2a+b=2(2)+b=5 ⇒ b=5-4=1
Assim, a função afim é dada por f(x)=2x+1.
y
-2 0
0
2
-2
x
-4
-6
-4-6
4
6
42 6
18 • capítulo 1
Gráfico de uma função afim
De	acordo	com	a	tabela	a	seguir,	vamos	construir	um	
gráfico	correspondente	aos	valores	registrados.	
Observe	 que	 para	 cada	 valor	 na	 coluna	 de	 tempo	
em	 x	 existe	 um	 valor	 correspondente	 na	 coluna	 de	
temperatura	em	y.
Agora,	 podemos	 construir	 o	 gráfico	 interligando	
os	pontos	no	eixo	das	abscissas	(0x)	aos	pontos	corres-
pondentes	nas	ordenadas (0y).	
Percebemos, deste modo, que para esta 
tabela o gráfico correspondente é de uma 
semirreta, pois somente os valores não 
negativos são considerados para o tempo 
e a temperatura.
O gráfico de toda função afim é uma reta
Note	que	a	variação	dos	valores	de	y,	que	indicaremos	por	Δy,	é	diretamente	proporcional	à	
variação	dos	valores	correspondentes	de	x,	indicada	por	Δx.	
Portanto,	quando	x	varia	de	0	a	4,	a	variação	correspondente	para	y	é	de	15	a	75,	isto	é,	
Δy = 75 – 15 = 60			e		 Δx = 4 – 0 = 4,	sendo	Δy/Δx = 60/4 = 15.	
Assim,	a	cada	variação	de	1	minuto	em	x	corresponderá	a	uma	variação	de	15	graus	
Celsius	em	y.
Se,	em	uma	função	y=f(x),	as	variações	de	x	e	y	são	diretamente	proporcionais,	então	po-
demos	concluir	que	o	gráfico	da	função	sempre	será	uma	reta	e	postular	o	seguinte	resultado:	
o	gráfico	de	toda	função	afim	é	uma	reta.
Observações
• Como consequência do resultado anterior, para construir o gráfico de uma função afim, precisamos 
representar dois pontos distintos da função, no plano cartesiano, e traçar a reta que passa por eles.
• Devemos observar que, se b=0, a função será definida por y=ax, e, portanto, o gráfico será 
uma reta que passará sempre pelo ponto (0,0) dos eixos das abscissas (0x) e ordenadas (0y), 
pois quando x=0, temos que y=0.
Tempo (min) Temperatura (ºC)
x y
0 15
1 30
2 45
3 60
4 75
y(ºC)
10 2 3 4
x(min)
15
30
45
60
75
capítulo 1 • 19
Interseção do gráfico de uma função afim com o eixo 0x
Seja	a	função	afim	y=ax+b	com	a,b ∈ ℝ, a≠0	e	sendo	o	gráfico	de	toda	função	afim	uma	reta,	
teremos	sempre	a	reta	cruzando	o	eixo	0x	em	um	único	ponto.	
Para	determinar	a	abscissa	desse	ponto,	substituiremos	y=0	na	expressão	da	reta,	
obtendo:	0=ax+b	⇒	ax=-b	⇒	x=- ba
Logo,	o	ponto	de	interseção	da	reta	associada	à	função	afim	com	o	eixo	0x	é	(-	 ba 
, 0).	
Este	ponto	também	é	conhecido	por	raiz	ou	zero	da	função	afim.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Determine a abscissa do ponto de interseção da reta y=2x-6 com o eixo 0x:
Resolução
Se a reta cruza o eixo 0x, significa que o ponto de interseção tem y=0. 
Substituindo esse resultado, na expressão da reta, obtemos: 0 = 2x − 6 ⇒ x = 62 
= 3.
Veja o gráfico da função afim y=2x-6:
y
3
x
-6
Portanto, a abscissa do ponto de interseção é 3.
Intersecção do gráfico de uma função afim com o eixo 0y
Seja	a	função	afim	y=ax+b	com	a,b ∈ ℝ,a≠0	e	sendo	o	gráfico	da	função	uma	reta,		esta	cru-
zará	o	eixo	0y	em	um	único	ponto.	
Para	determinar	a	ordenada	deste	ponto,	substituiremos	x=0,	na	expressão	da	reta,	ob-
tendo:	y=a0+b ⇒ y=b.
Logo,	o	ponto	de	interseção	da	reta	associada	à	função	afim	com	o	eixo	0y	é	(0,b).
20 • capítulo 1
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Determine a ordenada do ponto de intersecção da reta y=-5x+15 com o eixo 0y:
Resolução
Se a reta cruza o eixo 0y, significa que o ponto de interseção tem x=0.
Substituindo esse resultado, na expressão da reta, obtemos: y=-5(0)+15 ⇒ y=15.
Portanto, a reta corta o eixo 0y no ponto (0,15). 
Veja, a seguir, o gráfico da função y=-5x+15:
y
3
x
15
Logo, a ordenada do ponto de interseção é 15.
 
Coeficientes angular e linear de uma função afim
Sabendo	que	a	função	afim	y=ax+b	com	a,b ∈ ℝ, a≠0,	vamos	voltar	ao	tópico	já	menciona-
do	sobre	taxa	de	variação	de	uma	função	afim.	
Começaremos	observando	o	gráfico	a	seguir:
y
x1 x2 x3
x
y1
y2
y3
capítulo 1 • 21
Considere	2	pontos	(x1 , y1) e	(x2 , y2) quaisquer,	nesta	reta,	sabendo	que	y1=ax1+b	
e	y1 = ax1+b. 
Observe	que,	isolando	b,	nas	duas	igualdades,	temos:
b = y1-ax1 = y2-ax2 ⇒ ax2-ax1 = y2-y1 ⇒ a = 
y2-y1
x2-x1
Isso	significa	que,	em	uma	função	afim,	a	taxa	de	variação	é	constante	e	igual	ao	parâ-
metro	a,	ou	seja:
a=
∆y
∆x =
y3-y2
x3-x2
=
y2-y1
x2-x1
=
y3-y1
x3-x1
Em uma função afim, a taxa de variação 
é constante e igual ao parâmetro a.
ATENÇÃO
Geometricamente, o parâmetro a é chamado de coeficiente angular, enquanto que o parâmetro b é cha-
mado de coeficiente linear.
Convém observar que o coeficiente angular é a tangente do ângulo de inclinação: a=
∆y
∆x
EXERCÍCIO RESOLVIDO
1) Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (-1,3) e (-2,4)?
Resolução
Temos que calcular a taxa de variação dada por estes dois pontos. Assim:
a=
∆y
∆x =
4-3
-2-(-1)= -1
Note que alcançamos o mesmo resultado se fizermos:
a=
∆y
∆x =
3-4
-1-(-2)= -1
2) Considere a função y=4x+12. Indique a raiz e a taxa de variação:
Resolução
Sabendo que a raiz da função afim é o valor x correspondendo a y=0, fazemos:
0 = 4x+12 ⇒ 4x=-12 ⇒ x=-3
Para calcularmos a taxa de variação devemos ter, pelos menos, dois pontos da reta. 
Vamos calculá-los:
22 • capítulo 1
1) Se escolhemos x1=1, teremos o respectivo valor de y1=4(1)+12=16. Portanto, (x1 , y1)=(1,16).
2) Se escolhemos x2=3, teremos o respectivo valor de y2=4(3)+12=24. Portanto, (x2 , y2 )=(3,24).
Então, fazemos:
∆y
∆x =
y2-y1
x2-x1
=
24-16
3-1 =
8
2 = 4
Isso era esperado, pois já sabíamos que a taxa de variação era a=4. Esse valor nos é informado na própria 
expressão da função afim.
 
Propriedade importante
Se	duas	ou	mais	funções	afins	têm	a	mesma	taxa	de	variação	a,	então	suas	retas	correspon-
dentes	são	paralelas.
Na	figura,	a	seguir,	encontramos	as	retas	paralelas	y=x+3,	y=x-1	e	y=x-4,	com	a=1.
y
-3 1 4
x
3
-1
-4
Função afim crescente e decrescente
Seja	a	função	afim	y=ax+b	com	a,b ∈ ℝ, a≠0.		
Dizemos	que	uma	função	afim	é:
Crescente se, e somente se, o valor de a for positivo (a>0).
Decrescente se, e somente se, o valor de a for negativo (a<0). 
capítulo 1 • 23
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Determine se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes:
a) y=7x-12
b) y=-6x+9
Resolução
a) Como o valor de a é igual a 7, esta função é denominada crescente.
b) Como o valor de a é igual a -6, esta função é denominada decrescente.
Estudo do sinal de uma função afim
Para	estudarmos	o	sinal	de	uma	função	afim f(x)=ax+b,	teremos	que	determinar	os	valores	
de	x	para	os	quais	f(x)		se	anula,	é	positiva	ou	é	negativa.	
Este	estudo	pode	ser	realizado	através	do	gráfico	ou	da	raiz	da	função.	
EXERCÍCIO RESOLVIDO
1) Estude o sinal da função f(x)=4x-8
Resolução
Vamos calcular primeiramente a raiz da função, ou seja, queremos determinar x tal que o valor da função se anule: 
f(x)=4x-8=0 ⇒ x= 84 =2
Agora, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta valores negativos,ou seja: 
f(x)=4x-8<0 ⇒ 4x<8 ⇒ x<2
Finalmente, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta valores positivos, ou seja:
f(x)=4x-8>0 ⇒ 4x>8 ⇒ x>2
Observe:
Graficamente, temos a semirreta que se origina em 
x=2 e vai a -∞ , indicando o intervalo de x em que a 
função apresenta valores negativos e a semirreta que 
se origina em x=2 e vai a +∞, indicando o intervalo de 
x em que a função apresenta valores positivos. Já na 
raiz, x=2, temos que a função se anula.
y
2
x
-8
– +
24 • capítulo 1
2) Estude o sinal da função f(x)=-5x+15:
Resolução
Vamos calcular primeiramente a raiz da função, ou seja, queremos determinar x tal que o valor da função se anule: 
f(x)=-5x+15=0 ⇒ 5x=15 ⇒ x=3
Agora, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta valores negativos, ou seja: 
f(x)=-5x+15<0 ⇒ -5x<-15 ⇒ x>3
Finalmente, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta valores positivos, ou seja:
f(x)=-5x+15>0 ⇒ -5x>-15 ⇒ x<3
Observe:
Graficamente, temos a semirreta que tem origem 
em x=3 e se prolonga a -∞, indicando o intervalo de 
x em que a função apresenta valores negativos e a 
semirreta que possui origem em x=3 e se prolonga 
a +∞, indicando o intervalo de x em que a função 
apresenta valores positivos. Já na raiz, x=3, temos 
que a função se anula.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
1) Construa o gráfico da função f(x)=2x-4:
Resolução
Como podemos observar f(x)=2x-4 é uma função afim, cujo gráfico é uma reta. 
Para traçar uma reta precisamos escolher pelo menos dois pontos. Neste caso, vamos atribuir dois valores 
arbitrários para x e calcular os respectivos valores de y, da seguinte forma:
Escolha
x=0 ⇒ f(0)=2(0)-4=0 ⇒ (0,-4) é um ponto da reta
x=2 ⇒ f(2)=2(2)-4=0 ⇒ (2,0) é outro ponto da reta
Passamos, então, para a construção do gráfico, marcando 
os pontos obtidos no plano cartesiano e traçando a reta 
que une esses dois pontos. Veja a figura ao lado:
y
3
x
-15
++ – –
y
2
x
-4
capítulo 1 • 25
2) Determine a raiz da função f(x)=-3x+9 e construa seu gráfico:
Resolução
Para calcular o zero ou a raiz da função afim, substituímos f(x)=0 na expressão da função, ou seja, fazemos: 
0=-3x+9 ⇒ 3x=9 ⇒ x=3
Agora, precisamos de dois pontos para traçar o gráfico da função afim que é uma reta. Já sabemos que 
(3,0) é um ponto da reta, agora vamos escolher o outro ponto. 
Por exemplo, para x=0, temos: f(0)=-3(0)+9 ⇒ f(0)=9. Isso significa que (0,9) é o outro ponto da reta. 
Marcando esses dois pontos, no plano cartesiano, e traçando a reta que os une, obtemos o seguinte gráfico:
y
3
x
9
3) Determine a raiz da função f(x)=5x+7 e construa seu gráfico:
Resolução
Vamos primeiramente calcular a raiz da função, determinando x tal que f(x)=0, ou seja:
0=5x+7 ⇒ 5x=-7 ⇒ x=-1,4
Já sabemos que (-1,4 , 0) é um ponto da reta. Para determinar o segundo ponto, fazemos, por exemplo: 
f(0)=5(0)+7 ⇒ f(0)=7
Isso significa que (0 , 7) é o outro ponto da reta. 
Marcando esses dois pontos, no plano cartesiano, e traçando a reta que os une, obtemos o seguinte gráfico:
y
1,4
x
7
26 • capítulo 1
4) Sabendo que o gráfico a seguir é de uma função polino-
mial do 1° grau (afim) do tipo y=ax+b, representada pela reta 
que passa pelos pontos M e N, determine os valores de a e b:
Resolução
Tendo em vista que os pontos M e N estão sobre a reta que representa a função afim, queremos determinar 
o coeficiente angular a e o coeficiente linear b. 
Para isso, montamos o seguinte sistema com as variáveis a e b:
(0,6) → 6=a(0)+b b=6
(4,-2) → -2=a(4)+b 4a+b=-2{ ⇒ ⇒ a=-2,b=6
Com isso, a expressão da função afim representada pela reta que passa nos pontos M e N é: y=-2x+6.
y
4
x
6 M=(0,6)
N=(4,-2)-2
capítulo 1 • 27
ATIVIDADES
1) (UERJ 2014) O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório 
B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, 
em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em função do tempo, em horas, representado no eixo x.
y
x
720 B
A
60
x0
Determine o tempo x0 em horas, indicado no gráfico.
2) (Unicamp 2013) A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No Brasil, 
essa numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos, a numeração varia 
de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres.
a) Considere a tabela abaixo.
Numeração brasileira (t) Comprimento do calçado (x)
35 23,8 cm
42 27,3 cm
Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira 
e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da expressão 
que permite obter a numeração dos calçados brasileiros, em termos do comprimento, ou os valores dos 
parâmetros c e d da expressão que fornece o comprimento em termos da numeração.
b) A numeração dos calçados femininos, nos Estados Unidos, pode ser estabelecida de maneira aproxima-
da pela função real f definida por f(x) = 5(x–20) 
3 
, em que x é o comprimento do calçado em centímetros. 
Sabendo que a numeração dos calçados nk forma uma progressão aritmética de razão 0,5 e primeiro termo 
n1 = 5, em que nk = f (ck ), com k natural, calcule o comprimento c5.
3) (UFRN 2013) Uma empresa de tecnologia desenvolveu um produto do qual, hoje, 60% das peças são 
fabricadas no Brasil, e o restante é importado de outros países. Para aumentar a participação brasileira, 
essa empresa investiu em pesquisa, e sua meta é, daqui a 10 anos (considere que o ano de partida seja o 
de 2012), produzir, no Brasil, 85% das peças empregadas na confecção do produto.
Com base nesses dados e admitindo-se que essa porcentagem varie linearmente com o tempo contado 
em anos, o percentual de peças brasileiras, na fabricação desse produto, será superior a 95% a partir de:
a) 2027 
b) 2026 
c) 2028 
d) 2025 
28 • capítulo 1
4) (UFMG 2013) A fábula da lebre e da tartaruga do, escritor grego Esopo, foi recontada com uso do 
gráfico abaixo para descrever os deslocamentos dos animais.
Distância (m)
Tempo (min.)
200
150
100
50
5 240 245
Suponha que, na fábula, a lebre e a tartaruga apostam uma corrida, em uma pista de 200 metros de 
comprimento. As duas partem do mesmo local no mesmo instante. A tartaruga anda sempre com velo-
cidade constante. A lebre corre por 5 minutos, para, deita e dorme por certo tempo. Quando desperta, 
volta a correr com a mesma velocidade constante de antes, mas, quando completa o percurso, percebe 
que chegou 5 minutos depois da tartaruga.
Considerando essas informações,
a) Determine a velocidade média da tartaruga durante esse percurso, em metros por hora.
b) Determine após quanto tempo da largada a tartaruga alcançou a lebre.
c) Determine por quanto tempo a lebre ficou dormindo.
5) (UEL 2013) Na cidade A, o valor a ser pago pelo consumo de água é calculado pela companhia de 
saneamento, conforme mostra o quadro a seguir.
Quantidade de água consumida (em m³) Valor a ser pago pelo consumo de água (em R$)
Até 10 R$18,00
Mais do que 10 R$18,00 + R$2,00 por m³ que excede 10m³
Na cidade B, outra companhia de saneamento determina o valor a ser pago pelo consumo de água por 
meio da função cuja lei de formação é representada algebricamente por:
 17 se x ≤ 10
2,1x-4 se x > 10{B(x) = 
Aqui x representa a quantidade de água consumida (em m³) e B(x) representa o valor a ser pago (em reais).
a) Represente algebricamente a lei de formação da função que descreve o valor a ser pago pelo consumo 
de água na cidade A.
b) Para qual quantidade de água consumida, o valor a ser pago será maior na cidade B do que na cidade A? 
capítulo 1 • 29
6) (UFSM 2013 - Adaptado) Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600 mil 
turistas estrangeiros, estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil. Em grande partedos aeroportos, estão sendo realizadas obras para melhor receber os visitantes e atender a uma forte de-
manda decorrente da expansão da classe média brasileira.
Passageiros (em milhões)
Ano
2010
4,0
6,7
7,2
8,0
2014
C
D
O gráfico mostra a capacidade (C), 
a demanda (D) de passageiros/ano, 
em 2010, e a expectativa/projeção 
para 2014 do Aeroporto Salgado 
Filho (Porto Alegre, RS), segundo 
dados da lnfraero — Empresa Bra-
sileira de lnfraestrutura Aeronáutica.
De acordo com os dados fornecidos 
no gráfico, o número de passagei-
ros/ano, quando a demanda (D) for 
igual à capacidade (C) do terminal, 
será, aproximadamente, igual a:
 
a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos 
b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos 
c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil 
d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos 
e) sete milhões, cento e oitenta e seis mil
7) (Unicamp 2013) Em 14 de outubro de 2012, Felix Baumgartner quebrou o recorde de velocidade em 
queda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos estão expressos de modo aproximado 
na tabela e no gráfico abaixo.
Tempo (segundos) 0 1 2 3 4
Velocidade (km/h) 0 35 70 105 140
Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da tabela, encontre o valor da 
velocidade, em km/h, no 30º segundo.
8) (ESPCEX AMAN 2013) Na figura abaixo, está representado o gráfico de uma função real do 1º grau f(x).
y
1
2
x
A expressão algébrica que define a função inversa de f(x) é:
a) y= x
2
+1
b) y=x+ 1
2
c) y=2x-2
d) y=-2x+2
e) y=2x+2
30 • capítulo 1
9) (Unioeste 2013) Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para seus clientes optarem 
entre um deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$27,00 e mais R$0,50 por minuto de qualquer 
ligação. No plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de R$35,00 e mais R$0,40 por minuto de qualquer ligação. 
É correto afirmar que, para o cliente:
a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. 
b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. 
c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B. 
d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos sejam cobrados. 
e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos sejam cobrados. 
10) (G1 - CFTMG 2013) Os preços dos ingressos de um teatro, nos setores 1, 2 e 3, seguem uma função 
polinomial do primeiro grau crescente com a numeração dos setores. Se o preço do ingresso no setor 1 é 
de R$120,00 e no setor 3 é de R$400,00, então o ingresso no setor 2, em reais, custa:
a) 140 
b) 180 
c) 220 
d) 260
11) (G1 - CFTMG 2013) Um experimento da área de Agronomia mostra que a temperatura mínima da 
superfície do solo t(x), em °C, é determinada em função do resíduo x de planta e biomassa, na superfície, 
em g/m2, conforme registrado na tabela seguinte.
x (g/m²) 10 20 30 40 50 60 70
t(x) (°C) 7,24 7,30 7,36 7,42 7,48 7,54 7,60
Analisando os dados acima, é correto concluir que eles satisfazem a função:
 
a) y = 0,006x + 7,18
b) y = 0,06x + 7,18
c) y = 10x + 0,06
d) y = 10x + 7,14
12) (UPE 2013) Um dos reservatórios d’água de um condomínio empresarial apresentou um vazamento 
a uma taxa constante, às 12h do dia 1º de outubro. Às 12h dos dias 11 e 19 do mesmo mês, os volumes 
d´água no reservatório eram, respectivamente, 315 mil litros e 279 mil litros. Dentre as alternativas seguin-
tes, qual delas indica o dia em que o reservatório esvaziou totalmente? 
a) 16 de dezembro 
b) 17 de dezembro 
c) 18 de dezembro 
d) 19 de dezembro 
e) 20 de dezembro
capítulo 1 • 31
13) (G1 - IFSP 2013) Andando de bicicleta a 10,8 km/h, Aldo desloca-se da livraria até a padaria, enquan-
to Beto faz esse mesmo trajeto, a pé, a 3,6 km/h. Se ambos partiram no mesmo instante, andando em velo-
cidades constantes, e Beto chegou 10 minutos mais tarde que Aldo, a distância, em metros, do percurso é:
 
a) 720
b) 780
c) 840
d) 900
e) 960
14) (Insper 2013) Num restaurante, localizado numa cidade do nordeste brasileiro, são servidos diversos 
tipos de sobremesas, dentre os quais sorvetes. O dono do restaurante registrou, numa tabela, as tempe-
raturas médias mensais, na cidade, para o horário do jantar e a média diária de bolas de sorvete servidas 
como sobremesa no período noturno.
Mês JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
Temperatura 
média mensal 
(graus Cel-
sius)
29 30 28 27 25 24 23 24 24 28 30 29
Bolas de 
sorvete
980 1000 960 940 900 880 860 880 880 960 1000 980
Ao analisar as variáveis da tabela, um aluno de Administração, que fazia estágio de férias, no restaurante, per-
cebeu que poderia estabelecer uma relação do tipo sendo x a temperatura média mensal e y a média diária 
de bolas vendidas no mês correspondente. Ao ver o estudo, o dono do restaurante fez a seguinte pergunta:
“É possível, com base nessa equação, saber o quanto aumentam as vendas médias diárias de 
sorvete caso a temperatura média do mês seja um grau maior do que o esperado?”
Das opções abaixo, a resposta que o estagiário pode dar, baseando-se no estudo que fez é:
 
a) Não é possível, a equação só revela que quanto maior a temperatura, mais bolas são vendidas.
b) Não é possível, pois esse aumento irá depender do mês em que a temperatura for mais alta. 
c) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de a na equação. 
d) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de b na equação. 
e) Serão 400 bolas, pois esse é o valor de a na equação. 
32 • capítulo 1
GABARITO COMENTADO
1) De acordo com as informações do problema, temos:
yA=720-10x
yB=60+12x
Lembre-se que a representa a taxa de variação.
O valor x0 indicado, no gráfico, é o valor de x quando yA = yB , ou seja:
720-10x=60+12x
-22x=-660
x=30
Logo, x0 = 30 horas
2)
a) t(x) = ax + b
27,3a + b = 42
23,8a + b = 35{
Resolvendo o sistema, temos: a = 2 e b = –12,6.
Logo t(x) = 2x – 12,6.
Agora escrevendo x em função de t, temos:
x(t) = 0,5t + 6,3, portanto c = 0,5 e t = 6,3.
b) f(x)= 5(x–20) 
3
n1 = 5, n2 = 5,5, n3 = 6, n4 = 6,5 e n5 = 7
Fazendo 7= 5(c5-20)
3
, temos:
5c5 – 100 = 21
5 c5 = 121
c5= 24,2 cm
3) Partindo do ano de 2012 (t=0) e sabendo que a variação do percentual com o tempo é linear, considere 
a função definida por p(t)=at+b em que p(t) afere o percentual de peças fabricadas, no Brasil, daqui a t anos.
A taxa de variação da função p é dada por:
a= 85-60
10-0
=
5
2
Logo, p(t)=5/2 t+60
capítulo 1 • 33
Os valores de t para os quais o percentual de peças brasileiras, na fabricação do produto, é superior a 95% 
são tais que:
5
2
 t + 60 > 95 ⇔ t > 14
Portanto, o percentual de peças produzidas, no Brasil, superará 95% a partir do ano de 2012+15=2027
 
Logo, a resposta é alternativa A.
4)
a) Velocidade média da tartaruga é o coeficiente angular da reta que representa seu deslocamento.
Como essa velocidade deve ser dada em metros por hora, temos que 240min = 4h, então fazemos:
 
a = 200 – 04 – 0 = 2004 = 50
b) A posição y da tartaruga (m) em função do tempo x (minutos) é:
T(t)=50t
 A tartaruga se encontra com a lebre quando ambas estão na posição a 50m da origem:
T(t)=50
Isso significa que:
50=50t ⇒ t=1h
Portanto, a lebre e a tartaruga se encontrarão 1 hora após o início da corrida.
c) As velocidades, nos trechos em que a lebre corre, são iguais, portanto os coeficientes angulares das 
duas retas são iguais:
200-50
245-t
= 50-0
5-0
 ⇒ 150
245-t 
= 10 ⇒ t = 230min
(Instante em que a lebre voltou a correr depois que acordou.)
Portanto, a lebre ficou dormindo 230 – 5 = 225 min = 3 horas e 45 min. 
34 • capítulo 1
5)
a) De acordo com a descrição do enunciado:
A(x)=
18, x ≤ 10
18+2(x-10), x > 10{
Já o gráfico é dado por:
A(x)
x
22
18
1012
b)
2,1x - 4 > 18 + (2x-10)
2,1x - 4 > 2x - 2
0,1x > 2
x > 20
O valor a ser pago será maior na cidade B para quantidadessuperiores a 20m³.
6) A função da demanda é dada por:
D(x)= 7,2 - 6,7
2014 - 2010 
x + bD = 
1
8 
x + bD
Temos que bD ficará determinado quando a reta D(x) passar por um ponto conhecido, por exemplo, (2014, 7,2). 
Neste caso, temos:
7,2=
 
 1
8
(2014) + bD ⇒ bD = -244,55
Portanto:
D(x)= 1
8 
x - 244,55
Função da capacidade é dada por: 
C(x) = 8 – 42014 – 2010 x + bC = x + bC
Temos que bC ficará determinado quando a reta C(x) passar por um ponto conhecido, por exemplo, (2014, 8). 
capítulo 1 • 35
Neste caso, temos:
8 = x + bC ⇒ bC= -2006
Portanto:
C(x) = x - 2006
Queremos que C(x) = D(x). Para isso, temos que calcular primeiramente x, como:
1
8
x - 244,55 = x - 2006 ⇒ x = 2013,085
Agora, substituindo x em C(x) ou em D(x) , obtemos:
C(2013,085) = 2013,085 - 2006 = 7,085
Isso significa que o número de passageiros é igual a 7,085 milhões.
Cuidado para não tomar bD=6,7 em D(x), nem bC=4 em C(x). 
Lembre-se que coeficientes lineares têm sempre abscissa igual a zero!
A resposta é a alternativa B.
7) A partir dos pontos que estão sobre a reta, (0,1) e (-2,0), montamos a expressão da função afim 
y = x/2 + 1, e sua inversa é tal que:
x = y
2 
+ 1 ⇔ y = 2(x-1) ⇔ f -1(x) = 2x - 2
A resposta é a alternativa C.
8) Preço da ligação do plano A: PA = 27 + 0,5t
 Preço da ligação do plano B: PB = 35 + 0,4t em que t é o tempo da ligação em minutos.
Fazendo PA = PB , temos: 27+0,5t=35+0,4t ⇒ 0,1t=8 ⇒ t=80min
Graficamente temos:
y
x
67
35
27
80
PA PB
Analisando o gráfico, concluímos que a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. 
Logo, a resposta é alternativa B.
36 • capítulo 1
9) Taxa de variação do preço: 
400-120
3-1 
=140
Temos que o preço do ingresso em cada setor x é dado pela função y = 140 x + b.
Para obter o valor de b, substituímos na expressão da função um ponto, por exemplo, (1, 120), e obtemos 
120 =140(1) + b, o que implica que b=-20.
Portanto, a expressão será y = 140x - 20. Nesse caso, o preço de um ingresso, no setor 2, tem valor y = 260.
Logo, a resposta é alternativa D.
10) Considere t(x) = ax + b. Calculando taxa de variação, temos:
a = 7,30-7,24
20-10 
= 0,006 e t(0) = 7,24 - 10(0,006) = 7,18
Logo, t(x)=0,006x+7,18
Logo, a resposta é alternativa A.
11) Seja o volume de água (em milhares de litros), no reservatório, dado pela função definida por V(t)=at+b 
após t dias. 
Sabendo que o gráfico de V passa pelos pontos (11 , 315) e (19 , 279) segue que :
a= 279-315
19-11
= - 9
2
Logo,
V(11)=315 ⇔ - 9
2 
∙ 11 + b = 315 ⇔ b = 729
2
 
Queremos calcular t de modo que V(t) = 0. Portanto:
-9
2
 t + 729
2 
= 0 ⇔ t = 81
 
Como 81=31+30+20 o reservatório esvaziou totalmente no dia 20 de dezembro.
Logo, a resposta é alternativa E.
capítulo 1 • 37
12) De acordo com os dados do problema, temos:
Distância percorrida por Aldo: dA = 10,8t
Distância percorrida por Beto: dB = 3,6(t + 
9
2
), pois 10min equivale a 1
6
 da hora.
Fazendo dA= dB, obtemos 10,8t = 3,6t + 0,6 ⇒ t = 
1
12
 .
Portanto: dA = dB = 10,8 
1
12 
= 0,9 km = 900 m
Logo, a resposta é alternativa D.
13) Da tabela, temos que:
JAN FEV
29 30
980 1000
a = ∆y
∆x
 = 1000-980
30-29
= 20 bolas por °C.
Logo, a resposta é alternativa B.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1: Conjuntos e Funções. 9. ed. São Paulo: 
Atual, 2013.
LIMA, Elon Lages. Conceituação, Manipulação e Aplicações: Os três componentes do ensino da Matemática. 
Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/20082/pdf/rpm41.pdf. 
Acesso em: 04 de abr. 2014.
PAIVA, Manoel Rodrigues. Moderna Plus Matemática 1. Parte 1. São Paulo: Moderna, 2013. 
IMAGENS DO CAPÍTULO
p. 12 Elon Lages Lima 
impa. · Wikimedia . dp
p. 13 Plimpton 322 
Autor desconhecido · Wikimedia . dp
 
2
Função 
quadrática ou 
polinomial do 
segundo grau
marcelo couto
2
40 • capítulo 2
OBJETIVOS
1. Identificar uma função de segundo grau ou quadrática;
2. Definir uma parábola e determinar seus pontos notáveis;
3. Esboçar e analisar o gráfico de uma função quadrática;
4. Identificar o domínio e a imagem de uma função quadrática; 
5. Resolver situações-problema envolvendo funções quadráticas;
6. Resolver inequações quadráticas. 
A função quadrática
Estudamos	função	quadrática	desde	o	Ensino	Fundamental,	mas,	geral-
mente,	neste	segmento,	o	conteúdo	é	apresentado	como	simples	aplica-
ção	de	fórmulas.	Por	isso,	chegou	o	momento	de	compreender	quais	as	
características	de	uma	relação	entre	duas	grandezas	de	uma	situação	faz	
com	que	ela	possa	ser	modelada	por	uma	função	quadrática.
Importância da função quadrática
A	 função	 quadrática	 modela	 problemas	 em	 muitas	 áreas,	 por	 isso	 ela	
ganha	tanto	destaque.	É	muito	comum,	por	exemplo,	o	seu	estudo	na	
Geometria,	na	Física	e	no	Esporte.
Dentre	as	suas	aplicações	encontramos	o	lançamento	de	projéteis,	
antenas	parabólicas	e	radares,	o	formato	de	um	farol	de	automóvel	e	até	
de	um	forno	solar.	
CONCEITO
Dizemos que uma função f de ℝ em ℝ é uma função do segundo grau ou quadrática 
quando associa a cada número real x o número real ax²+bx+c, em que a, b e c são 
números reais dados, com a≠0. 
Ainda podemos expressar f por: 
f:ℝ→ℝ
x ↦f(x)=ax²+bx+c.
2
IMAGEM
No esporte
Na imagem, vemos a análise do movi-
mento curvilíneo de uma bola. Estudos 
como este aproximam a Matemática do 
esporte e nos ajudam a compreender 
com mais facilidade o conceito de fun-
ção quadrática.
 
Função quadrática ou 
polinomial do segundo grau
capítulo 2 • 41
EXEMPLO
Analise estes exemplos:
1. f(x)= – 13 x² + 
4
3 x + 
5
3 , em que a= – 
1
3 , b=
4
3 e c=
5
3 ;
2. f(x)= –2x²+x, em que a= –2, b=1 e c=0;
3. f(x)=x²– 4, em que a=1, b=0 e c= –4;
4. f(x)=x²-4x+3, em que a=1 b=-4 e c=3.
Parábola
Uma	parábola	é	o	lugar	geométrico	dos	pontos	do	plano	que	são	equidis-
tantes	de	uma	reta	r	e	de	um	ponto	F,	não	pertencente	à	reta,	no	plano	dado.	
Por	exemplo,	na	figura,	podemos	observar	que	qualquer	ponto	P	da	
parábola	dista	igualmente	da	reta	r	e	do	ponto	F.
r
P
FL
	
Gráfico de uma função quadrática
O	gráfico	de	uma	função	de	
segundo	grau	ou	quadrática	
é	uma	parábola.	
Podemos	 visualizar	 de	
forma	 concreta	 uma	 pará-
bola,	 por	 exemplo,	 dirigin-
do	um	jato	de	água	de	forma	
oblíqua	para	cima.	
CURIOSIDADE
Parábola
A palavra “parábola” provém do grego e 
significa “lançar ao longe” e foi o grego 
Apolônio que descobriu que a parábola é 
um caso especial de curvas obtidas sec-
cionando um cone por um plano, sendo, 
por isso, chamadas de seções cônicas, 
incluindo as hipérboles e as elipses.
 
42 • capítulo 2
Concavidade
A	parábola	pode	ter	concavidade	para	cima	ou	para	baixo.	
Na	prática,	para	determinarmos	a	concavidade	observamos	a	expres-
são	 da	 função	 de	 segundo	 grau.	 Para	 isso,	 basta	 identificar	 o	 sinal	 do	
coeficiente	do	termo	x2,	ou	seja,	o	valor	de	a	na	expressão	f(x)=ax2+bx+c.
a>0
Se a>0, a parábola possui 
concavidade para cima.
a<0
Se a<0, a parábola possui 
concavidade para cima.
EXEMPLO
Veja estes exemplos:
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
f(x)=x²-3x+2
0.5–0.5–1.0–1.5 1.0 1.5
-2
-2
-4
-6
f(x)=-3x²+6
Forma canônica
Podemos	escrever	a	função	quadrática	de	uma	forma	diferente,	chama-
da	forma	canônica,	que	nos	será	muito	útil	para	a	determinação	das	raí-
zes	da	função	do	segundo	grau.	
Partindo	da	expressão	de	f,	obtemos:
f(x) = ax² + bx + c = a(x² + b
a
x + c
a
) = a(x² + b
a
x + b
2
4a2 
– b
2
4a2 
+ c
a
)
a[(x² + ba x + b24a2 ) – ( b24a2 – ca )]= a[(x + b2a )² – ( b² – 4ac4a² )]
COMENTÁRIO
Forma canônica
Em Matemática, a forma canônica é 
uma forma simples de apresentar algum 
objeto matemático, podendo ser uma 
matriz, uma equação ou uma fórmula.
 
capítulo 2 • 43
Fazendo	∆ = b² – 4ac,	dito	discriminante	do	trinômio	do	segundo	
grau,	obtemos	então	a	forma	canônica:
f(x) = a[(x + b2a )² – ( ∆ 4a2)]
Raízes ou zeros 
As	 raízes	 ou	 zeros	 da	 função	 de	 segundo	 grau	 são	 os	 valores	 de	 x 
que	 anulam	 a	 função	 f	 ou,	 ainda,	 são	 os	 valores	 reais	 de	 x	 tais	 que:	
f(x)=ax²+bx+c=0
Graficamente,	as	raízes	são	os	pontos	onde	a	parábola	corta	o	eixo	dos	x.	
EXEMPLO
Seja a função quadrática f(x) = x² – 4x + 3. 
Pelo gráfico podemos perceber que a função possui duas raízes: x=1 e x=3.
1-1 2
2
4
6
8
3 4 5
COMENTÁRIO
Discriminante
Não deixe de pesquisar os vídeos da 
Khan Academy sobre discriminante. Com 
certeza, eles contribuirão muito para o 
seu entendimento sobre o assunto.
 
44 • capítulo 2
Determinação algébrica das raízes da 
equação do segundo grau
Algebricamente,	para	determinarmos	as	raízes	da	equação	do	segundo	
grau,	utilizamos	a	forma	canônica	e	o	fato	de	que	a≠0:
ax²+bx+c=0
a[(x + b2a )² – ( ∆ 4a² )]= 0
(x + b
2a 
)²
 
– ( ∆ 
4a² 
) = 0
(x + b
2a 
)²
 
= ( ∆ 
4a² 
)
x + b
2a 
= ± ∆ 
4a²
x + b
2a 
= ± ∆ 
2a
x= – b
2a 
± ∆ 
2a
x= b ± ∆2a
Esta	fórmula	é	conhecida	por	Fórmula	de	Bhaskara.	
Os três casos de discriminante
A	existência	de	raízes	reais	da	função	quadrática	depende	da	existência	
da	raiz	quadrada	do	discriminante.		Dessa	forma,	podemos	identificar	
três	casos:	∆>0,	∆=0	ou	∆<0.	
Caso1: ∆>0
Nesse	caso,	a	raiz	do	discriminante	existe,	e	assim	a	função	quadrática	
tem	duas	raízes	reais	e	distintas,	a	saber:
a>0 e Δ>0
x
x1=
b + ∆
2a
a<0 e Δ>0
x
x2=
–b – ∆
2a
Observamos	que	a	parábola	corta	o	eixo	dos	x	em	dois	pontos	distintos.
CURIOSIDADE
Bhaskara
Bhaskara II (1114–1185) nasceu na 
Índia e seguiu a tradição profissional 
da família de astrólogos, mas com uma 
mais orientação científica, dedicando-
se à parte Matemática e Astronomia. É 
reconhecido como o mais importante 
matemático do século XII e último ma-
temático medieval importante da Índia. 
 
capítulo 2 • 45
Caso 2: ∆=0
Como	a	raiz	quadrada	de	zero	é	zero,	neste	caso,	a	função	quadrática	tem	duas	raízes	reais	
e	iguais,	a	saber:
a>0 e Δ=0
x
x= –b ± ∆2a
a<0 e Δ=0
x
x1 = x2 =
–b
2a
Observamos	que	a	parábola	apenas	tangencia	o	eixo	dos	x.	
Caso 3: ∆<0
Como	a	raiz	quadrada	de	um	número	negativo	não	é	um	número	real,	neste	caso,	dizemos	
que	a	função	quadrática	não	tem	raízes	reais,	já	que	 ∆ ∉ ℝ.
a>0 e Δ<0
x
a<0 e Δ<0
x
Observamos	que,	a	parábola	não	corta	o	eixo	dos	x.	
EXERCÍCIO RESOLVIDO
1. Determine as raízes reais de f(x) = x² – 3x + 4:
Resolução 
Primeiramente, calculamos: ∆ = b² – 4ac = (–3)² – 4(1)(4) = 9 – 16 = –7
Como ∆<0, f não tem raízes reais. 
2. Determine as raízes reais de f(x) = x² – 3x + 2: 
Resolução
Temos ∆ = b² – 4ac = (–3)² – 4(1)(2) = 9 – 8 = 1.
Usando a Fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes:
x=
–b ± ∆
2a =
3 ± 1
2
={21
46 • capítulo 2
3. Determine os valores de m para que a função de segundo grau f(x) = (m–1) x² + (2m + 3)x + m 
possua dois zeros reais e distintos: 
Resolução
Para que a função quadrática possua dois zeros reais e distintos, é necessário que ∆>0.
Partindo desta condição, temos:
∆ = b² – 4ac = (2m+3)² – 4(m – 1)(m) > 0
4m² + 6m + 9 – 4m² + 4m > 0
10m + 9 > 0
10m > –9
m > – 9
10 
Precisamos, além disso, nos assegurar que a função realmente seja de segundo grau. Para isso, o coefi-
ciente do termo x² precisa ser diferente de zero (a≠0). 
Logo, é preciso verificar que m–1 ≠ 0 ⇒ m ≠ 1.
Não se esqueça de que o símbolo matemático “⇒” significa “implica em”.
Assim, os valores de m procurados são: m > – 9
10 
e m≠1.
Interseção com o eixo dos y
Uma	vez	que	todo	ponto	localizado	em	cima	do	eixo	dos	y	possui	abscissa	igual	a	zero,	para	
determinarmos	o	ponto	de	interseção	da	parábola	com	o	eixo	dos	y	precisamos	fazer	x=0	
na	função	quadrática	f(x) = ax² + bx + c,	ou	seja:
f(0) = a0² + b0 + c = c
Assim,	a	parábola	interceptará	o	eixo	y	em	c.	
EXEMPLO
Seja f(x) = x² – 4x + 3. 
Como c=3, verifica-se que esta parábola intercepta o eixo y em y=3, conforme o gráfico a seguir.
1
1
-1
2
3
4
5
6
7
8
-1 2 3 4 5
capítulo 2 • 47
Máximo e mínimo
Teorema
Se a<0, a função quadrática y=ax²+bx+c admite valor máximo yM= – 
∆ 
2a
, para xM= – 
b
2a 
. 
Prova
Considere	a	forma	canônica	da	função	quadrática:
y = a[(x + b2a )² – ( ∆ 4a² )]
Queremos	determinar	o	valor	de	x	para	que	y	tenha	valor	máximo.
Como	a<0,	temos	que	quanto	menor	for	o	valor	de	(x + b
2a 
)²
 
– ( ∆ 
4a² 
),	maior	será	o	valor	de	y.	
Observamos	que	– ( ∆ 
4a² 
) é	constante	em	relação	aos	valores	de	x,	uma	vez	que	depende	so-
mente	dos	valores	dos	coeficientes	a,	b	e	c,	e	não	da	variável	x.	Além	disso,	(x + b
2a 
)² ≥0,∀x∈ℝ.	
Assim,	precisamos	determinar	o	menor	valor	que	(x + b
2a 
)²
 
– ( ∆ 
4a² 
)	pode	assumir.	Isso	
acontecerá	quando	(x + b
2a 
)² =	0,	ou	ainda,	quando:
x + b
2a 
= 0 ⇒ x=– b
2a
Este	valor	é,	portanto,	o	valor	de	x	para	o	qual	o	valor	da	função	y	é	o	maior	possível,	o	
máximo.	Vamos	denotar	esse	valor	de	x	por	xM.
Para	determinar	qual	o	valor	máximo	da	função,	yM ,	basta	substituirmos	xM=– 
b
2a
	na	
forma	canônica	da	função	quadrática:
y = a[(x + b2a )² – ( ∆ 4a² )]
yM = f(xM ) = a[(– b2a + b2a )² – ( ∆ 4a² )]
yM = a[0 – ( ∆ 4a² )]
yM = a[– ∆ 4a² ]
yM = – 
∆ 
4a
■
O	 gráfico	 a	 seguir	 ilustra	 o	 ponto	 de	 máximo	 da	 parábola,	XM ,	 e	 o	 valor	 máximo	
correspondente	YM.
XM
YM
Valor Máximo
Ponto de
Máximo
x
y
V
48 • capítulo 2
Teorema
Se a>0, a função quadrática y=ax²+bx+c admite valor mínimo yM=– 
∆ 
4a
, para xM=– 
b 
2a
.
Prova
Considere	a	forma	canônica	da	função	quadrática:
y = a[(x + b2a )² – ( ∆ 4a² )]
Como	a>0,	temos	que	quanto	menor	for	o	valor	de	(x + b
2a 
)²
 
– ( ∆ 
4a² 
),	menor	será	o	valor	de	y.	
Observamos	que	– ( ∆ 
4a² 
)	 	é	constante,	uma	vez	que	depende	somente	dos	valores	dos	
coeficientes		a,	b	e	c,	e	não	da	variável	x.		Além	disso,	(x + b
2a 
)² ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ.
Assim,	precisamos	determinar	o	menor	valor	que	(x + b
2a 
)²
 
– ( ∆ 
4a² 
)	pode	assumir.	Isso	
acontecerá	quando	(x + b
2a 
)²=0,	ou	ainda,	quando:
x + b
2a 
= 0 ⇒ x=– b
2a
Este	valor	é,	portanto,	o	valor	de	x	para	o	qual	o	valor	da	função	y	é	o	menor	possível,	o	
mínimo.	Vamos	denotar	esse	valor	por	xM.
Para	determinar	qual	o	valor	mínimo	da	função,	basta	substituirmos	xM=– 
b
2a
	na	forma	
canônica	da	função	quadrática:
y = a[(x + b2a )² – ( ∆ 4a² )]
yM = f(xM ) = a[(– b2a + b2a )² – ( ∆ 4a² )]
yM = a[0 – ( ∆ 4a² )]
yM = a[– ∆ 4a² ]
yM = – 
∆ 
4a
■
O	 gráfico	 a	 seguir	 ilustra	 o	 ponto	 de	 mínimo	 da	 parábola	 XM	 e	 o	 valor	 mínimo	
correspondente	YM.
XM
YMValor Mínimo
Ponto de
Mínimo
x
y
V
capítulo 2 • 49
EXERCÍCIO RESOLVIDO
(ENEM 2000) Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapi-
dez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente 
proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez 
de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: R(x) = kx(P–x), 
em que k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o 
público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for 
conhecido por um número de pessoas igual a:
(a) 11000
(b) 22000
(c) 33000
(d) 38000
(e) 44000
Resolução
Como o público-alvo é de 44000 pessoas, temos P=44000.
Substituindo o valor de P em R(x) = kx (P–x), temos R(x) = kx(44000–x) = –kx² + 44000kx.
Como k é uma constante positiva, o coeficiente de x² em R é negativo. Portanto, o valor máximo de propa-
gação R será alcançado quando o número de pessoas x corresponder ao ponto de máximo de R. 
Assim, sabemos que o ponto de máximo é:
xM = – 
b
2a
	 = – 44000k
2(–k)
	= 22000
Logo, a resposta é a letra b. 
Vértice
Você	 deve	 ter	 notado	 no	 exercício	 resolvido	 que	 o	 ponto	 de	
máximo	 tem	 a	 mesma	 fórmula	 do	 ponto	 de	 mínimo,	 assim	
como	a	fórmula	do	valor	máximo	é	igual	à	fórmulado	valor	
mínimo.	Vamos	ver	a	explicação	para	isso	a	seguir.
Chamamos	por	vértice	da	parábola	o	ponto	V=(– b
2a
	,– ∆
2a
) 
associado	à	função	quadrática	y=ax²+bx+c. 
O	gráfico	da	função	quadrática	possui	um	eixo	de	sime-
tria	que	passa	pelo	vértice	da	parábola	e	é	perpendicular	ao	
eixo	dos	x.	O	eixo	de	simetria	funciona	como	um	espelho,	di-
vidindo	a	parábola	em	duas	partes.
O ponto de máximo 
tem a mesma 
fórmula do ponto 
de mínimo, assim 
como a fórmula do 
valor máximo é igual 
à fórmula do valor 
mínimo.
50 • capítulo 2
Analise	os	gráficos:
x
y Eixo de
Simetria
∆ 
4a
b
2a
V
0
x
y
Eixo de
Simetria
∆ 
4a
b
2a
V (
0
, )
EXERCÍCIO RESOLVIDO
1. Determine os intervalos onde a função f(x)=–x²+x+2 é crescente e decrescente:
Resolução
Como a = –1, sabemos que a concavidade de f é para baixo, sendo o vértice o ponto que delimitará a 
mudança da inclinação da parábola:
xV = – 
b
2a
	= – 1
2(–1)
	= 0,5
Esboçando o gráfico da função, percebemos que a função é crescente para os valores de x menores que 
0,5 e será decrescente para os valores de x maiores de 0,5.
1
1
2
3
V (0,5 , 2,25)
Intervalo de crescimento
y
x
–1
–1
–2
–3
–2–3 2 1
1
2
3
V (0,5 , 2,25)
Intervalo de crescimento
y
x
–1
–1
–2
–3
2 3 4
capítulo 2 • 51
2. (ENEM 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do 
instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T(t)= – t
2
4
	+ 400, com t em minutos. 
Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a 
temperatura de 39°C.
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?
(a) 19,0
(b) 19,8 
(c) 20,0
(d) 38,0 
(e) 39,0
Resolução
Lembre-se que a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°C. As-
sim, o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno será quando a temperatura atingir os 39°C. 
Substituindo T = 39 na expressão da temperatura do forno, temos:
T(t) = – t
2
4
	+ 400
39 = – t
2
4
	+ 400
t2
4
	= – 39	+ 400 = 361
t² = 361 . 4 = 1444
t = 38
Portanto, a resposta é a letra d.
Imagem
Seja	a	função	quadrática	f(x) = ax²+bx+c.	Se	a	concavidade	da	parábola	é	para	cima,	ou	seja,	
a>0,	o	menor	valor	de	y	corresponde	à	ordenada	do	vértice	da	parábola.
A	imagem	da	função,	quando	a>0,	será	Im(f)=[– ∆ 4a² , + ∞ [
Analogamente,	no	caso	em	que	a<0,	o	maior	valor	de	y	corresponde	à	ordenada	do	vér-
tice	da	parábola,	e,	portanto,	a	imagem	da	função	será:
Im(f)=]– ∞ , – ∆ 4a² ]
52 • capítulo 2
EXEMPLO
Seja f(x) = x² – 4x + 3. Como a=1>0, o menor valor de y é dado por:
yV=– 
∆ 
4a²
 = – b² - 4ac 
4a
= 
(-4)² - 4(1)(3) 
4(1)
 = –1
Nesse caso, Im(f) = [–1,+∞[, como vemos no gráfico:
1
1
–1
2
3
2 3 4
∆ =
4a
Seja f(x)=– 13 x²+ 
4
3 x + 
5
3 . Temos que a=–
1
3 <0, então o menor valor de y é dado por:
yV=– 
∆ 
4a²
 = – 
( 4
3
)² – 4(– 1
3
)( 5
3
) 
4(– 1
3
)
= 3
Portanto, Im(f)= ]– ∞ , 3], como pode ser visto no gráfico:
1
–1
–2
2
3
2–2 4 6
∆ =
4a
capítulo 2 • 53
Soma e produto das raízes
Como	vimos,	as	raízes	da	função	de	segundo	grau	f(x)=ax²+bx+c	são:
x1=
–b + ∆
2a
 e x2=
–b – ∆
2a
A	soma	das	raízes	desta	função	de	segundo	grau	é	dada	por:
S = x1 + x2 =
–b + ∆
2a
+
–b – ∆
2a
 = 
–b + ∆ –b – ∆
2a
 = 
–2b 
2a
 = – 
b 
a
 
ou
S = – 
b 
a
 
Já	o	produto	das	raízes	desta	função	de	segundo	grau	é	dado	por:
P = x1.x2 =(
–b + ∆
2a
).(
–b – ∆
2a
)=
(–b + ∆).(–b – ∆)
4a² = 
(–b)² – ∆
4a² = 
b²–b²+4ac 
4a²
 = 
4ac 
4a²
 = 
c
a
 
ou
P = 
c
a
EXEMPLO
(ENEM 2010) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos ca-
pazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura 
deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. 
Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de 
acordo com a função em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o 
tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado.
T(t)={
7
5
t + 20
2
125
t²– 
16
5
t + 320
 
para 0≤t<100
para t≥100
Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48°C e retirada quando a tem-
peratura for 200°C. 
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a:
(a) 100
(b) 108
(c) 128
(d) 130
(e) 150
54 • capítulo 2
Resolução
Temos duas situações:
(I) Para 0≤t<100, a função a ser considerada é T(t)= 
7
5
 + 20
Determinamos a temperatura T para t=0 e T=100, fazendo:
T(0) = 
7
5
0 + 20 = 20
T(100) = 
7
5
100 + 20 = 140 + 20 = 160
Dessa forma, quando 0≤t<100 , teremos 20≤T<160.
(II) Para t≥100, a função a ser considerada é T(t)=
2
125
t²– 
16
5
t + 320.
Precisaremos determinar o valor de t quando a peça for colocada e retirada do forno, de modo que consi-
gamos precisar o tempo de permanência dessa peça dentro dele. 
Quando a temperatura for 48°C, a peça entra no forno. Neste caso, determinamos o valor de t corres-
pondente, fazendo:
T(t) = 
7
5
t + 20
48 = 
7
5
t + 20
7
5
t = 48 – 20 = 28
7t=28∙5
t=4∙5=20 min
Quando a temperatura for 200°C, determinamos o valor de t, fazendo:
T(t)=
2
125
t²– 
16
5
t + 320
200=
2
125
t²– 
16
5
t + 320
0 =
2
125
t²– 
16
5
t + 320 – 200
2
125
t²– 
16
5
t + 120 = 0
2t²-(16∙25)t+(120∙125)=0
2t²-400t+15000=0
t²-200t+7500=0
Podemos resolver esta equação de segundo grau utilizando a Fórmula de Bhaskara. 
Temos que ∆ = (200)² – 4(1)(7500) = 40000 – 30000 = 10000. Então, as raízes são:
–(–200) – 10000
2(1)
 = 200 – 100
2
 = 50min
–(–200)+ 10000
2(1)
 = 200 + 100
2
 = 150min
capítulo 2 • 55
Uma vez que estamos trabalhando com uma temperatura de 200°, sabemos que t≥100. Assim, a peça é 
retirada do forno no tempo t=150 min. 
Logo, o tempo de permanência da peça no forno será: 150 – 20 = 130 minutos.
A resposta, portanto, é a letra d.
Fatoração do trinômio do segundo grau
Considerando	a	função	quadrática	f(x)=ax²+bx+c,	esta	pode	ser	fatorada	com	o	auxílio	de	
suas	raízes:	f(x)=a(x–x1 )(x–x2 ).
De	fato,	dada	f(x)=ax²+bx+c,	colocando	o	coeficiente	a	em	evidência,	obtemos:
f(x)=a(x²+ b 
a
 x+ c 
a
) (I)
Se	x1	e	x2	são	as	raízes	desta	função	quadrática,	sabemos	que:
S=x1+x2=– 
b 
a
P=x1∙x2=
c 
a
Então,	podemos	fatorar	f	como	f(x)=a(x²–Sx+P).
Agora,	vamos	ver	outro	modo	de	fatorar	f :
f(x)=a(x²–(x1+x2)x+(x1∙x2))
f(x)=a(x²–x1 x–x2 x+x1 x2)
Colocando	x	e	depois	x2	em	evidência,	obtemos	f(x)=a(x(x–x1 )+x2 (x–x1 )).
Agora,	colocando	(x-x1)	em	evidência,	decompomos	o	trinômio	do	segundo	grau	em	fa-
tores	de	primeiro	grau,	utilizando	as	raízes	da	equação:
f(x)=a(x-x1 )(x-x2 )
ATENÇÃO
Podemos ainda escrever a função f(x)=a(x²+
b 
a
 x+
c 
a
) (I) como:
f(x)=a(x²+
b 
a
 x+
c 
a
 ) (I)
f(x)=a(x²–(x1+x2 )x+(x1∙x2 ))
f(x)=a(x²–Sx+P)
Aqui S é a soma das raízes e P o produto. 
56 • capítulo 2
EXEMPLO
Determine a forma fatorada da função quadrática f(x)=2x²–6x+4:
Resolução
Precisamos encontrar primeiramente as raízes de f:
∆=b²-4ac=(-6)²-4(2)(4)=36-32=4
x=
–b ± ∆
2a =
6 ± 2
4 ={21
A forma fatorada será, então, f(x)=2(x-2)(x-1).
RESUMO
Construção do gráfico de uma função de segundo grau
1. Concavidade da parábola: coeficiente a;
2. Onde a parábola corta o eixo dos y: coeficiente c;
3. Pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x: raízes;
4. Ponto de mínimo (a > 0), ou máximo (a < 0): vértice V;
5. Eixo de simetria da parábola: reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y.
EXEMPLO
Esboce o gráfico da função f(x)=-x²-4x-3:
Resolução
1. Concavidade da parábola - coeficiente a:
Como a=-1<0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.
2. Onde a parábola corta o eixo dos y - coeficiente c:
Como c=-3, a parábola corta o eixo dos y em (0,-3).
3. Pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x– raízes:
∆=b²-4ac=(-4)²-4(-1)(-3)=16-12=4
x=
–b ± ∆
2a =
4 ± 2
-2 ={-3-1
4. Como a=-1<0, teremos um ponto de máximo, sendo o vértice:
V=−b2a, −∆4a=−(−4)2(−1), −44(−1)=−2, 1
capítulo 2 • 57
Desse modo, o gráfico de f é dado por:
–2
–1–2–3–4–5 1
–2
–6
–8
Estudo dos sinais da função quadrática
Estudar	o	sinal	de	uma	função	consiste	em	determinar	os	 intervalos	de	x	nos	quais	esta	
função	possui	imagem	positiva	(f(x)>0),	imagem	negativa	(f(x)<0)	e	imagem	nula	(f(x)=0).	
O	estudo	do	sinal	de	uma	função	quadrática	depende	da	concavidade	desta	função	e	
a	mudança	de	sinal	da	função	quadrática	está	intimamente	ligada	às	raízes	desta	função.		
RESUMO
Podemos resumir o estudo dos sinais de uma função quadrática com o auxílio dos seguintes gráficos: 
∆>0
a>0
a<0
∆<0 ∆=0
y
y>0 y>0
y<0 x0 x2x1
y
y>0
x0
y
y>0y>0
x0 x1=x2
y
y<0 x
0
y
y<0y<0
x
0 x1=x2y
y<0 y<0
y>0 x
0
x2x1
58 • capítulo 2
EXEMPLO
Estude o sinal da função quadrática f(x)=x²-4x+3:
Resolução
Ao montar o gráfico de f, apresentado abaixo, determinamos suas raízes x1=1 e x2=3. Então, verificamos 
de imediato que f(x)=0, quando x=x1 e x=x2.
A imagem de f é positiva, ou seja, f(x)>0, no intervalo x<1 ou x>3. 
Já a imagem de f é negativa, ou seja, f(x)<0, no intervalo 1<x<3. 
1
1
-1
2
3
4
5
6
7
8
-1 2 3 4 5
Repare que, entre as raízes x1=1 e x2=3, o 
valor da função é negativo (está abaixo do 
eixo dos x), enquanto para valores de x me-
nores e maiores do que as raízes, o valor da 
função é positivo.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Resolva a inequação (x²-11x-24)
(x²-11x-24) 
≥0:
Resolução
Para resolver esta inequação precisamos estudar o sinal de cada uma das funções envolvidas. 
São elas:
(I) f(x)=x²-6x+5
Temos que a=1>0 e suas raízes são x=1 e x=5.
Podemos agora identificar o sinal de imagem de f no esquema a seguir, que tem como orientação o eixo dos x.
x2 - 6x + 5
raízes 1 5
+ – – – + +
(II) g(x)=(x-4) 
Sabemos que g é uma função linear crescente com raiz x=4.
x-4
raízes 4
– – – + + +
(III) h(x)=x²-11x-24
Temos que a=1>0 e suas raízes são x=3 e x=8.
x2 - 11x + 24
raízes 3 8
+ + – – – +
capítulo 2 • 59
Como a função h está no denominador, ela não pode assumir valor zero. Assim, as raízes desta equação 
não podem pertencer à solução. 
Para analisar a inequação, montamos um quadro com os sinais da imagem das funções f, g e h, e estuda-
mos o sinal do produto do numerador junto com o sinal do denominador, lembrando-se de excluir as raízes 
de h, já que o denominador não pode ser nulo.
x2 - 6x + 5
raízes 1 3 4 5 8
+ – – – + +
x-4 – – – + + +
x2 - 11x + 24 + + – – – +
inequação – + – + – +
Representamos a solução da inequação por:
S={x∈ℝ| 1≤x<3}∪{x∈ℝ| 4≤x≤5}∪{x∈ℝ| x>8}
Função modular
CONCEITO
Módulo de um número real
Definimos módulo ou valor absoluto de um número real x como: 
|x| = {-x, x<0 x, x≥0
EXEMPLO
1. |-5|=5
2. |
5 
2
|=
5 
2
Interpretação geométrica do módulo
Na	reta	numérica,	|a|		representa	a	distância	do	ponto	a	ou	do	número	a	até	a	origem	0.
EXEMPLO
|4| é a distância do número 4 até a origem e |-4| é a distância 
do número -4 até a origem. Note que as distâncias coincidem. 
-4 0 +4
4 4
60 • capítulo 2
Propriedades de módulo
Para	todo	x,y ∈ ℝ,	são	válidas	as	seguintes	propriedades	de	módulo:
I. |x| ≥ 0
Prova
Como	x ∈ ℝ,	podemos	ter	x>0,	x=0	ou	x<0.	
Vamos	examinar	cada	um	dos	casos:	
•	 Para	x>0,	pela	definição	de	módulo,	temos	que	|x|=x>0.
•	 Para	x=0,	pela	definição	de	módulo,	temos	que	|x|=x=0.
•	 Para	x<0,	pela	definição	de	módulo,	temos	que	|x|=-x>0.
Assim,	|x|≥0,	para	todo	x ∈ R.
■
II. |x|=0⇔x=0
Prova
Para	provarmos	um	“se	e	somente	se”	(⇔),	precisaremos	provar	a	“ida”	(⇒)	e	a	“volta”	(⇐).	
•	 (⇒)	Provando	que	|x|=0 ⇒ x=0.
Se	|x|=0,	temos	que	o	ponto	x	tem	distância	zero	da	origem,	ou	seja,		x=0.
•	 (⇐)	Provando	que	x=0 ⇒|x|=0.
Se	x=0,	pela	definição	de	módulo,	temos	que	|x|=x=0.	
■
III. |x||y|=|xy|
Prova
Vamos	considerar	todos	os	casos	possíveis	de	sinais	de	x	e	y.
•	 Se	x≥0	e	y≥0,	temos	que	xy≥0.	
Portanto,	da	definição	de	módulo,	temos	que	|x|=x,	|y|=y	e	|xy|=xy.	Assim,	|x||y|=xy=|xy|.
•	 Se	x>0	e	y<0,	temos	que	xy<0.	
Portanto,	da	definição	de	módulo,	temos	que	|x|=x,	|y|=-y	e	|xy|=-xy.	Assim,	|x||y|=-xy=|xy|.
•	 Se	x<0	e	y<0,	temos	que	xy>0.	
Portanto,	da	definição	de	módulo,	|xy|=xy>0,|x|=-x>0	e	|y|=-y>0.	Assim,	|x||y|=(-x)(-y)=xy=|xy|.
•	 Se	x<0	e	y>0,	temos	que	xy<0.	
Portanto,	da	definição	de	módulo,	|xy|=-(xy)>0,|x|=-x>0	e	|y|=y>0.	Assim,	|x||y|=(-x)y=-(xy)=|xy|.
•	 Se	x≠0	e	y=0,	temos	que	|y|=0	e	xy=0.	
Portanto,	|x||y|=0∙|x|=0=|xy|.
■
capítulo 2 • 61
IV. |x|² = x²
Prova
Da	propriedade	(III),	temos	que	|x||x|=|x.x|⇒|x|²=|x² |=x²,	pois	x² ≥ 0.
■
V. -|x| ≤ x ≤ |x|
Prova
•	 Se	x≥0,	temos	que	|x| = x ≥ 0	e	-|x| ≤ 0.	
Assim,	-|x| ≤ x = |x| ≤ |x|.
•	 Se	x<0,	temos	que	|x| = -x ≥ 0	e	-|x| ≤ 0.	
Assim,	-|x| ≤ x ≤ -x = |x| ≤ |x|.
■
VI. |x+y|≤|x|+|y|
Prova
Da	propriedade	(IV),	temos	que	|x|²=x².	Assim,	|x+y|²=(x+y)².
Desenvolvendo	o	produto	notável	quadrado	da	soma,	obtemos:
|x+y|²=(x+y)²=x²+2x∙y+y²
Da	mesma	propriedade	(IV),	sabemos	que	|x|²=x²e	|y|²=y².	Logo:	
|x+y|²=(x+y)²=x²+2x∙y+y²=|x|²+2x∙y+|y|²
No	entanto,	da	propriedade	(V),	sabemos	que	x≤|x|, y≤|y|.	Ficamos,	então,	com:
|x+y|²=(x+y)²=x²+2xy+y²=|x|²+2x∙y+|y|²≤|x|²+2|x|∙|y|+|y|²=(|x|+|y|)²
Assim, |x+y|²≤(|x|+|y|)² ⇒ |x+y|≤|x|+|y|.
■
VII. |x-y| ≥ |x|-|y|
Prova
Da	propriedade	(IV),	temos	que	|x|²=x².	Assim,	|x-y|²=(x-y)².	
Desenvolvendo	o	produto	notável	quadrado	da	diferença,	obtemos:
|x-y|²=(x-y)²=x²-2x∙y+y²
Da	mesma	propriedade	(IV),	|x|²=x²	e	|y|²=y².	Logo:	
|x-y|²=(x-y)²=x²-2x∙y+y²=|x|²-2x∙y+|y|²
No	entanto,	da	propriedade	(V),	sabemos	que	-|x|≤x e -|y|≤y.	Ficamos	então	com:
|x-y|²=(x-y)²=x²-2xy+y²=|x|²-2x∙y+|y|²≥|x|²-2|x|∙|y|+|y|²=(|x|-|y|)²
Assim,	|x-y|²≥(|x|-|y|)² ⇒|x-y|≥|x|-|y|.
■
62 • capítulo 2
CONCEITO
Definição de função modular
Dizemos que uma função f de ℝ em ℝ é uma função modular quando associa, a cada número real x, o 
elemento |x|∈ℝ. 
Ou ainda:
f:R→R
f(x)=|x|
O gráfico da função modular f(x)=|x|, mostrado a seguir, é traçado com o auxílio da definição de módulo 
de um número real: 
y = |x| = {-x, x<0 x, x≥0
1
0.5
1
2
1.5
-2-2 2
x
y
EXEMPLO
1. Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x+2|:
Processo 1
Utilizando a definição de módulo de um número real: 
|x+2| = {-(x+2), x+2 < 0 x+2, x+2 ≥ 0 |x+2| = {-x-2, x < -2 x+2, x ≥ -2
1
2
4
5
3
-4 -2-6 2
y
x
Trata-se de uma função definida por duas 
sentenças de acordo com o domínio:
I. y=-x-2 para x<-2 
II. y=x+2 para x≥-2
ou
capítulo 2 • 63
Processo 2
Utilizando rebatimento.
Podemos esboçar o gráfico sem o módulo e depois rebater a parte negativa, utilizando o eixo x como 
um “espelho”.
1
-1
-2
-3
-4
2
4
5
3
-4 -2-6 2
y
x
1
-1
-2
-3
-4
2
4
5
3
-4 -2-6 2
y
x
1
-1
-2
-3
-4
2
4
5
3
-4 -2-6 2
y
x
2. Esboce o gráfico da função real definida por f(x)=x+|x+1|:
Da definição de módulo, temos:
|x+1| = { x+1 se x+1 ≥ 0-(x+1) se x+1 < 0 |x+1| = {x+1 se x ≥ -1-x-1 se x < -1
A função ficará, então:
y = x + |x+1| = {x+x+1 se x ≥ -1x-x-1, se x < -1
y = x + |x+1| = {2x+1 se x ≥ -1 -1, se x < -1
Agora, podemos montar o gráfico da função observando as expressões em cada intervalo.
-1
1
2
3
-2 -1-3 1
y
x
ou
64 • capítulo 2
Equações modulares
Vamos	apresentar	dois	resultados	importantes	com	relação	a	equações	com	funções	modulares.
Resultado 1
Para b≥0, temos que |x|=b se, e somente se, x=b ou x=-b.
Prova 
•	 (⇒)	Provando	que,	para		b≥0	,	|x|=b	⇒	x=b	ou	x=-b.
Para	b≥0,	suponha	que	|x|=b.
Se	x≥0,	temos	b=|x|=x⇒x= b.	
Se	x<0,	temos	b=|x|=-x ⇒x= -b.	
Assim,	x=b	ou	x=-b.
•	 (⇐)	Provando	que:	para	b≥0,	x=b	ou	x=-b	⇒|x|=b.
Para		b≥0,	suponha	que	x=b	ou	x=-b.
Se	x=b≥0,	então	|x|=|b|=b.		
Se	x=-b≤0,	então	|x|=|-b|=b.	
Ou	seja,	|x|=b.
■
EXEMPLO
Resolva, em ℝ, a equação modular |2x-1|=7:
Do resultado 1 acima, temos que:
2x-1=7 ou 2x-1=-7
2x=7+1 ou 2x=-7+1
2x=8 ou 2x=-6
x=4 ou x=-3
S={-3,4}Resultado 2
Para a,b∈ℝ, |a|=|b| ⇔ a=b ou a=-b.
Prova 
•	 (⇒)	Provando	que,	para	a,b∈ℝ,|a|=|b|	⇒	a=b	ou	a=-b.
Para	a,b∈ℝ,	suponha	que	|a|=|b|.
Consideremos	os	casos	possíveis	para	a	e	b.	
I.	 a=0⇒ |a|=|b|=0 ⇒ b=0	e	a=0 ⇒ a=b
II.	 b=0 ⇒ |a|=|b|=0 ⇒ a=0 e b=0 ⇒ a=b
III.	 a>0,b>0	e	|a|=|b| ⇒ a=b
capítulo 2 • 65
IV.	 a>0 e b<0	⇒	|a|=|b|	⇒	a=-b
V.	 a<0 e b>0	⇒	|a|=|b|	⇒	- a=b	⇒	a=-b
VI.	 a<0 e b<0	e	|a|=|b|	⇒	- a=-b ⇒ a=b
Pudemos	verificar	que:	|a|=|b|	⇒	a=b	ou	a=-b
•	 (⇐)	Provando	que,		para	a,b∈ℝ,	a=b	ou	a=-b	⇒	|a|=|b|.
Para	a,b∈ℝ,	suponha	que	a=b	ou a=-b.
Se	a=b,	então	temos	que	|a|=|b|.
Se	a=-b	,	então	temos	que	|a|=|-b|=|(-1)b|=|-1|.|b|=1.|b|=|b|.
Note	que	usamos	acima	a	propriedade	(III)	do	módulo.
■
EXEMPLO
Resolva, em R, a equação modular |3x-1|=|2x+3|:
Do resultado 2 acima, temos que:
3x-1=2x+3 ou 3x-1=-(2x+3)
3x-1=2x+3 ou 3x-1=-2x-3
3x-2x=3+1 ou 3x+2x=-3+1
x=4 ou 5x=-2
x=4 ou x=-2/5
S={-
2 
5
,4}
Inequações modulares
Vamos	agora	ver	dois	resultados	importantes	sobre	inequações	que	en-
volvem	funções	modulares.
Resultado 1
|x|<a e a>0 ⇔ -a<x<a 
Prova 
Considere	a>0.	
Da	definição	de	módulo,	temos	que	 |x|=x	e	 |x|=-x,	pois	depende	do	
sinal	de	x.	Então,	segue	que:
|x|<a	⇔	x<a	e	-x<a	⇔	x<a	e	x>-a	⇔	-a<x<a
■
Geometricamente,	|x|<a,	significa	que	estamos	procurando	os	valo-
res	reais	x	cuja	distância	até	a	origem	é	menor	que	a,	que	estão	localiza-
dos	no	intervalo	indicado	em	preto.
-a 0 -a
IDEIA
Inequações
Não deixe de pesquisar os vídeos da 
Khan Academy sobre Inequação Modular. 
Com certeza, eles contribuirão muito para 
o seu entendimento sobre o assunto.
 
66 • capítulo 2
EXEMPLO
Resolva em ℝ a inequação modular |3x-2|<:
Do resultado 1 de inequações modulares, temos que:
-4<3x-2<4
-4+2<3x-2+2<4+2
-2<3x<6
-
2 
3
<x<
6 
3
-
2 
3
<x<2
S={x∈R | - 2 
3
<x<2}
Resultado 1
|x|>a e a>0 ⇔ x<-a ou x>a
Prova 
Considere	a>0
Segue	que:
|x|>a>0 ⇔ x>a ou	-x>a ⇔ x>a	ou	x<-a ⇔ x<-a	ou	x>a
■
Geometricamente,	note	que	|x|>a	significa	que	estamos	procurando	os	valores	reais	x	cuja	
distância	até	a	origem	é	maior	que	a,	que	estão	localizados	nos	intervalos	indicados	em	preto.
-a 0 -a
EXEMPLO
Resolva em ℝ a inequação modular |2x-1|>3:
Do resultado 2 de inequações modulares, temos que:
2x-1<-3 ou 2x-1>3
2x<-3+1 ou 2x>3+1
2x<-2 ou 2x>4
x<-1 ou x>2
S={x∈ℝ | x<-1,x>2 }
capítulo 2 • 67
ATIVIDADE
1. (UERJ 2009) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A 
e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais:
y(m)
x(m)
0
C
D
A 35 B
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D.
A equação de uma dessas parábolas é y=
-x²
75
+
2x
5
 .
Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a:
(a) 38
(b) 40
(c) 45
(d) 50
2. (UERJ 2008) Os gráficos I e II representam as posições S de dois corpos em função do tempo t.
0 t1
V1h
S 
(m
et
ro
s)
t (segundos) 0 2t1
V2h
S 
(m
et
ro
s)
t (segundos)
No gráfico I, a função horária é definida pela equação S=a1t² + b1t e, no gráfico II, por S=a2t² + b2t.
Admita que V1 e V2 são, respectivamente, os vértices das curvas traçadas nos gráficos I e II.
Assim, a razão 
a1
a2
 é igual a:
(a) 1
(b) 2
(c) 4
(d) 8
68 • capítulo 2
3. (UERJ 2001) A figura mostra um anteparo parabólico que é representado pela função
f(x)=-
3
3
x² + 2 3x. 
Uma bolinha de aço é lançada da origem e segue uma trajetória retilínea. Ao incidir no vértice de anteparo 
é refletida e a nova trajetória é simétrica à inicial, em relação ao eixo da parábola. 
f(x)
x
0
α
O valor do ângulo de incidência corresponde a:
(a) 30º 
(b) 45º 
(c) 60º 
(d) 75º
4. (PUC–SP) Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em relação 
ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h=-25t²+625. 
Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo?
5. (PUC–Campinas) A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesiano por y=
-x²
64
+
x
16
, com 
uma unidade representando um quilômetro. Determine a altura máxima que o projétil atingiu.
6. (UERJ 2007) A foto abaixo mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base AB = 8m 
e altura central OC = 5,6m. Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo 
horizontal Ox é tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola.
y
xA B
C
d
x1
2,45
0
Ao entrar no túnel, um caminhão 
com altura AP igual a 2,45m, 
como ilustrado a seguir, toca sua 
extremidade P em um determi-
nado ponto do arco parabólico.
Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical 0y:
A
P
2,
45
m
capítulo 2 • 69
7. (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente so-
bre o gramado, o jogador “Chorão” chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. 
A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e quando 
começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol.
x
y
9m
16m
2,3m
Após o chute de “Chorão”, nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representação 
gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura. A equação da parábola era do tipo 
S=-
x²
36
+c. 
O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi:
(a) na baliza
(b) atrás do gol
(c) dentro do gol
(d) antes da linha do gol
8. (ENADE 2011) Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. A falta é 
batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola seja uma parábola, 
com ponto de máximo em Q, exatamente acima da barreira, a 3 metros do chão, como ilustra a figura abaixo.
x
y
0
3
QGol Posição da FaltaParábola
Barreira
8 12
P
Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?
9. (UFRJ 2005) Durante o ano de 1997 uma empresa teve seu lucro diário L dado pela função L(x)=50(|x
-100|+|x-200|), em que x=1,2,…,365 corresponde a cada dia do ano e L é dado em reais. Determine em 
que dias (x) do ano o lucro foi R$10.000,00.
70 • capítulo 2
GABARITO
1. As raízes de y=
-x²
75
+
2x
5
 são x=0 e x=30. 
Podemos resolver utilizando a Fórmula de Bhaskara ou fatorando a expressão:
y=0 ⇒ -x²
75
+
2x
5
 = 0 ⇒ -x
5
(
x
15
-2) = 0 
Assim, temos que:
-x
5
= 0 ⇒ x = 0 ou x
15
-2 = 0 ⇒ x
15
 = 2 ⇒ x = 30
Isso implica que a equação dada se refere à parábola de raízes em 0 e em A, sendo a abscissa do ponto 
A igual a 30.
Sabemos que os pontos A e B são simétricos em relação ao eixo que passa no vértice D. Como a distância 
do ponto A à abscissa do vértice D mede 5m, então a abscissa do ponto B será igual a 40m.
Logo, a resposta é a letra b.
2. Podemos escrever as funções S1(t) = a1t² + b1t e S2(t) = a2t² + b2t em suas formas fatoradas. 
Sabemos que as raízes de S1 são 0 e t1, enquanto que as raízes de S2 são 0 e 2t1:
S1(t) = a1t² + b1t = a1t(t-t1)
S2(t) = a2t² + b2t = a2t(t-2t1)
Lembrando que a abscissa do vértice de uma quadrática está sobre o eixo de simetria da parábola, segue que 
as abscissas de V1 e V2 são, respectivamente, 
t1
2
 e t1, e ambos os vértices possuem a mesma ordenada h. 
Dessa forma, podemos dizer que:
S1 (
t1
2
) = S2 (t1) = h
a1
t1
2
(
t1
2
-t1 ) = a2t1 (t1-2t1)
a1 (
t1
2
)(-
t1
2
) = a2(t1)(-t1)
a1 (
t1
2
)² = a2 (t1)²
a1
4
 = a2 ⇒ a1
a2
 = 4
Logo, a resposta é a letra c.
capítulo 2 • 71
3. Repare que o coeficiente c na função f é nulo. Precisamos determinar as coordenadas do vértice da 
parábola (xV, yV):
xV = 
-b
75
 = -
2 3
2(-
3
3
)
= (- 3)(-
3
3
) = 3
yV= 
-∆
4
 =-
(2 3)² – 4(-
3
3
) (0)
4(-
3
3
)
= –
(2 3)² 
4(-
3
3
)
 =–
12
4(-
3
3
)
= 3(–
3
3
)= 9 3
3 3
 =3 3
Da figura: 
tgα = 
cateto oposto
cateto adjacente
 = 
xV
yV
 = 
3
3 3
 = 
1
3
 =