Jose-Hugo-Capella-Elsas

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FÍSICA
Efeitos do Campo Eletromagnético na Dinâmica
Coletiva em Colisões de Íons Pesados Relativ́ısticos
realizadas no RHIC e LHC
José Hugo Capella Gaspar Elsas
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em F́ısica do Instituto de F́ısica da Uni-
versidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do t́ıtulo de Mestre
em Ciências (F́ısica).
Orientador: Tomoi Koide
Co-Orientador: Takeshi Kodama
Rio de Janeiro
Março de 2014
iii
E49 Elsas, José Hugo Capella Gaspar
Efeitos do Campo Eletromagnético na Dinâmica Coletiva em Colisões
de Íons Pesados Relativ́ısticos realizadas no RHIC e LHC/
José Hugo Capella Gaspar Elsas - Rio de Janeiro, 2014.
115 f. : Il. ; 30 cm.
Orientador: Dr. prof. Tomoi Koide
Co-orientador: prof. Takeshi Kodama
Bibliografia : f. 84-88.
Dissertação (Mestrado em F́ısica) - Programa de Pós-
graduação em F́ısica, Instituto de F́ısica, Universidade Federal do Rio
de Janeiro
1. Introdução, Hidrodinâmica Relativ́ıstica, Campo-Eletromagnético,
Colisões de Íons-Pesados, QGP F́ısica-Teses.
iv
Resumo
Efeitos do Campo Eletromagnético na Dinâmica
Coletiva em Colisões de Íons Pesados Relativ́ısticos
realizadas no RHIC e LHC
José Hugo Capella Gaspar Elsas
Orientador: Takeshi Kodama
Coorientador: Tomoi Koide
Resumo da Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em F́ısica do Instituto de F́ısica da Universidade Federal do Rio de
Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do t́ıtulo de
Mestre em Ciências (F́ısica).
É sabido que os aspectos básicos do movimento coletivo da matéria formada nas co-
lisões de Íons Pesados Relativ́ısticos são considerados como indicação de formação de
um novo estado da matéria, conhecido como Plasma de Quarks e Gluons (QGP). Vários
observáveis associados à dinâmica coletiva são bem descritos através de modelos hidro-
dinâmicos. A descrição das part́ıculas com baixos momentos transversos, incluindo seu
espectro, as razões de suas multiplicidades e sua distribuição angular, na forma do fluxo
eĺıptico, compreende alguns dos principais observáveis que a abordagem hidrodinâmica
procura descrever, com base nas previsões teóricas sobre as propriedades do QGP, ob-
tidas, por exemplo, nos cálculos de QCD na Rede. As estimativas recentes dos campos
magnéticos presentes em uma subclasse dessas colisões, as chamadas colisões periféricas,
despertaram um interesse crescente nos efeitos que esses campos poderiam ter, tanto
sobre a condição inicial da matéria formada, como sobre sua evolução temporal, pois o
v
campo eletromagnético previsto deve ser extremamente intenso. Neste trabalho, desenvol-
vemos um modelo simplificado da hidrodinâmica acoplada a um campo eletromagnético
externo, procurando estimar o efeito que o campo eletromagnético tem sobre a evolução
hidrodinâmica, com base nas estimativas dos campos previstos para os aceleradores RHIC
e LHC. Mostramos que, dentro da descrição idealizada da hidrodinâmica sendo sem visco-
sidade, é posśıvel que haja efeitos mensuráveis dos campos magnéticos iniciais. Contudo,
existe também uma contribuição importante da condição inicial para o efeito que o campo
magnético terá sobre os observáveis finais, tanto pelas inhomogeneidades como pela pre-
sença de um campo de velocidades não-nulo no ińıcio da colisão. Para estudar esse efeito
sistematicamente, calculamos parâmetros coletivos com diferentes distribuições de carga,
incluindo situações extremas, assim procurando colocar um limite superior na contribuição
do campo eletromagnético para estes parâmetros.
Palavras-chave: Hidrodinâmica Relativ́ıstica, Campo-Eletromagnético, Colisões de
Íons-Pesados, QGP
vi
Abstract
Study of the Effect of the Magnetic Field in the
Hydrodynamic Modelling of Relativistic Heavy-Ion
Collisions
José Hugo Capella Gaspar Elsas
Orientador: Takeshi Kodama
Coorientador: Tomoi Koide
Abstract : Resumo da Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em F́ısica do Instituto de F́ısica da Universidade Federal do
Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do
t́ıtulo de Mestre em Ciências (F́ısica).
It’s known that the basic aspects of the collective motion of the matter formed on
Relativistic Heavy Ions Collisions are considered as signs of formation of a new state of
matter, known as Quark-Gluon Plasma (QGP). Several observables associated with these
aspects are well described through hydrodynamical models. The description of low trans-
verse momenta particles, including their spectra, multiplicity ratios, angular distribution,
in the form of elliptical flow, comprises some of the main observables that hydrodynamical
models seek to explain, based on theoretical predictions on the proprieties of the QGP,
obtained, e.g., through lattice QCD calculations. Recent estimates on the magnetic fields
present in a subclass of those collisions, called periferic collisions, awakened a growing
interest on the effects that these fields might have, not only on the initial condition of
the formed matter, but also on its evolution in time, since this electromagnetic field is
estimated to be very strong. In this work, we develop a simplified model for hydrody-
vii
namics coupled with an external electromagnetic field, seeking to estimate the effect of
this electromagnetic field on the evolution of the hydrodynamics, with the use of previous
estimates for the fields present at RHIC and LHC. We show that, within an idealized
non-viscous hydrodynamics description, it is possible that there are measurable effects
due to the initial magnetic fields. Nonetheless, there is also an important contribution
of the initial condition to the impact that the magnetic fields will have over the final
observables, due to the inhomogeneities as well as to a non-zero initial velocity field. To
study this effect systematically, we calculated collective parameters with different initial
charge distributions, including extreme situations, as an attempt to establish an upper
limit for the contribution of the electromagnetic field to those parameters.
Keywords: Relativistic Hydrodynamics, Electromagnetic Field, Heavy Ion Collisi-
ons, QGP
viii
Dedico esta Dissertação aos meus avós,
Euclydes Duarte Gaspar e Ignez Capella
Gaspar, os quais me acompanharam nesta
jornada chamada, vida desde quando eu a
iniciei.
ix
Agradecimentos
Este trabalho foi o resultado do esforço de 5 anos da minha vida, os quais compartilhei
com mais pessoas do que é posśıvel agradecer nessas páginas. O produto expresso neste
texto é, portanto, não apenas função da minha atividade dentro da academia, mas da
história da minha vida, profissional e pessoal, durante todo este peŕıodo. Obrigado a
todos que, direta ou indiretamente me ajudaram nesta jornada de vida.
Primeiramente, gostaria de agradecer aos meus orientadores e chefes, Tomoi Koide e
Takeshi Kodama, os quais me guiaram e acreditaram em mim, e os quais me deram a
oportunidade de concretizar este trabalho. Agradeço ao Programa de Pós-Graduação em
F́ısica, pelo apoio neste peŕıodo do Mestrado, e ao programa de Graduação em F́ısica antes
deste. Gostaria de agradecer, em especial, ao prof. Kodama, que me orientou durante a
maior parte da graduação, e em cujo grupo eu continuei para o mestrado.
Agradeço às Agências CNPQ e Faperj, pela bolsa que me permitiu a dedicação ne-
cesária para a execução deste trabalho, e acrescento à pós Gradução pela infra-estrutura.
Agradeço também pela oportunidade de ter participado do 62o Encontro dos Laureados
do Nóbel em Lindau (“2012 Lindau Nobel Laureate Meeting”) às seguintes instituições:
à “The Council for the Lindau Nobel Laureate Meetings”, à “FoundationLindau Nobel
Laureate Meetings”, à Academia Brasileira de Ciências e à Baden-Wüttemberg Interna-
tional, uma oportunidade distinta de crescimento em um ambiente Internacional.
Agradeço pela minha formação, não apenas ao Instituto de F́ısica e à UFRJ, como
um todo, mas àqueles que participaram diretamente da minha formação, não apenas
profissional, em especial prof. Eduardo Fraga, Luca Moriconi, Wania Wolff, Eduardo
Marino, Gregório Malajovich e Marco Cabral.
x
Aos amigos e colegas de trabalho, gostaria de agradecer a equipe com quem convivi a
maior parte desses anos, Mauŕıcio Hippert, Elvis Soares, Anderson Kendi, Philipe Motta,
Daniel Kroff, Let́ıcia Palhares, Bruno Mintz e mais recentemente Rafael Derradi, pelo
apoio, pelas inúmeras discussões, frut́ıferas ou não, mas que deixavam sempre o dia mais
rico. Ainda há muitos outros à quem eu devo momentos de alegria nas horas de labora,
mas é imposśıvel fazer justiça a todos que merecem.
Agradeço profundamente à minha famı́lia, sem a qual seria imposśıvel eu estar aqui
para agradeçe-los, e quem apenas me desejam o bem, que sorriram comigo os momentos
de alegria, e me botaram de pé nos momentos de dificuldades. Palavras não expressão o
que sinto por vocês, mãe Maria Ignez, pai Pedro Paulo, a meus avós Euclydes e Ignez, que
estão comigo desde antes de eu ser gente, e que viram e contribuiram, tudo que puderam,
para que eu chegasse aonde eu estou. Agradeço também à minhas tias Lourdes Valéria e
Maria da Glória, as quais, por falta de palavras, agradeço pelo carinho ao longo de todos
esses anos.
Gostaria de agradecer a todos os amigos que me acompanharam nesta e em outras
jornadas, e que me deram ajudaram vezes a perder de vista, e que me fizeram uma pessoa
melhor. A aqueles que aturaram como eu sou, e me ensinaram como eu poderia ser
diferente, gostaria de agradecer, em especial, a Bernardo Cid, Suzani Figueira, Alvaro
Pimentel, Jéssica Pereira, Thiago Almeida, Iruatã Souza, Luis Eduardo Assef, Daniel
Radetic, Rodrigo Motta, Giovanna Killer, Pedro Taam, Flávia Glück, Carolina Henrique,
Rodrigo Sampaio, Vanessa Grisolia, Lucas Merquior, Luis Longo, Iam Palatnik e inúmeros
outros aos quais eu tenho certeza que eu não farei justiça aqui. A todos vocês, muito
obrigado por tudo, pois vocês são parte da minha vida, e deixaram ela melhor.
Por fim, gostaria de agradecer a todos os quais eu sei ou não sei o nome, que eu tenha
visto ou não me ajudar, mas que ainda assim foram importantes para esta realização.
Tenho certeza que eu não conheço todos aqueles que me ajudaram chegar a este momento,
no entanto, acredito ser importante agradecê-los mesmo assim.
xi
Sumário
Sumário xi
Lista de Figuras xiv
Lista de Tabelas xxi
1 Colisões de Íons Pesados Relativ́ısticos 1
1.1 Interação Forte e Matéria Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Observáveis Experimentais e Esquema da Colisão . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Hidrodinâmica Relativ́ıstica 16
2.1 Hidrodinâmica Ideal Não-Relativ́ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Coordenadas Eulerianas e Lagrangeanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Principio Variacional da Hidrodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Hidrodinâmica Relativ́ıstica Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Leis de Conservação e Hidrodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Hidrodinâmica com Campo Eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Métodos Cinéticos 29
3.1 Equação de Boltzmann Relativ́ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Hidrodinâmica a partir da Equação de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Sistemas com Múltiplas Componentes e Acoplamento com Campo Eletro-
magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
xii
3.4 Aproximação de Tempo de Relaxação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Equação de Estado e Freeze-out 43
4.1 Equação de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Produção de Part́ıculas Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Resultados e Discussão 46
5.1 Verificação do Código . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 C.I. de Disco Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.1 Disco Circular - Campo de Velocidade Nulo . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.2 Disco Circular - Campo de velocidades não nulo . . . . . . . . . . . 52
5.3 C.I. Disco Oval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4 Exemplo de Evolução Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5 C.I. Disco Oval - Outras Elipticidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.6 C.I. Disco Oval - Outras distribuições de Carga . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.6.1 C.I. Disco Oval - Densidade de Carga positivas e negativas unifor-
memente distribuidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.6.2 C.I. Disco Oval - Densidade de Carga positivas e negativas aleatóriamente
distribuidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.6.3 C.I. Disco Oval - Densidade de Cargas positivas e negativas sepa-
radas horizontalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.6.4 C.I. Disco Oval - Densidade de Carga positivas e negativas separa-
das verticalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.7 C.I. Oval - Cálculo alternativo da densidade de carga . . . . . . . . . . . . 71
5.7.1 Densidade Uniformemente Positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.7.2 Separação Horizontal de Cargas Positivas e Negativas . . . . . . . . 73
5.8 Distribuição Angular no Plano Transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
xiii
6 Conclusões e Perspectivas 79
6.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Referências Bibliográficas 84
A Código Hidrodinâmico 89
B Testes: Hidrodinâmica + Poeira 93
xiv
Lista de Figuras
1.1 Ilustração do Processo de Colisão[10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Esquema do plano transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Figura retirada de Adams et. al. 2005 [12]. Razões de multiplicidade de
hádrons produzidos no RHIC. γs é o fator de correção de estranheza. O
ajuste é de um modelo térmico para emissão de part́ıculas, citado mas não
discutido em [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Figura retirada de Adams et. al. 2005[12]. Espectros de part́ıculas produ-
zidas em rapidez central. Acima mT =
√
m2 + p2T , também chamada de
massa transversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Plano da Reação, Campo Magnético e Separação de Carga[14] . . . . . . . 10
1.6 Esquema da geração de v2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Figura retirada de Adams et. al. 2005 [12]. Dados de v2 dependente de
momento, para rapidez central, no RHIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8 Figura retirada de Adams et. al. 2005 [12], fenômeno de “Constituent
Quark Scaling”no RHIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9 Dados da colaboração STAR (RHIC): Valores medidos da correlação dos
ângulos azimutais de emissão de part́ıculas carregadas, para part́ıculas de
mesma carga e de carga oposta, em função do momento transverso. O
gráfico mostra que existe uma forte anti-correlação entre part́ıculas de car-
gas opostas. Gráfico extráıdo de Abelev et. al.2009 [15] . . . . . . . . . . . 13
xv
1.10 Estimativa do Campo feita pelo modelo PHSD, em Voronyuk et. al. [17] . 14
1.11 Estimativa do Campo magnético feita pelo modelo UrQMD, em Skokovet
al. [16] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1 Ilustração do Processo de Colisão, como modelado na Equação de Boltzmann 31
5.1 Solução de Khalatnikov para Hidrodinâmica em 1D. O eixo x é a distância
com relação ao centro, e o eixo y é a densidade própria de entropia, e
diferentes curvas representam diferentes instantes da evolução temporal.
Todas as quantidades estão normalizadas pelos respectivos valores iniciais . 47
5.2 Ilustração do processo de colisão, incluindo as direções envolvidas. A
direção z coincide com a direção do feixe, e sendo e mostrado o plano
de reação. Figura extraida de [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Part́ıcula no Campo Magnético: Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 Part́ıcula no Campo Magnético: ~u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.5 Esquema da Força de Lorentz. Na Ilustração acima, temos a direção da
Força de Lorentz coincidindo com a direção do vetor ~v × ~B . . . . . . . . . 50
5.6 Disco Circular - t = 0.0 - P. Reação y = 0.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.7 Disco Circular- t = 0.0 - P. Transverso z = 0.0 . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.8 Disco Circular - eB0 = 0 m
2
π,t = 2.5fm - P. Reação . . . . . . . . . . . . . . 51
5.9 Disco Circular - eB0 = 4m
2
π,t = 2.5fm - P. Reação . . . . . . . . . . . . . . 51
5.10 Disco Circular - eB0 = 0 m
2
π,t = 2.5fm - P. Transverso . . . . . . . . . . . . 51
5.11 Disco Circular - eB0 = 4m
2
π, t = 2.5fm - P. Transverso . . . . . . . . . . . . 51
5.12 Perfil de Velocidades. z0 e α0 representam a meia largura longitudinal e a
rapidez máxima da condição inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.13 Disco Circular - t = 0.0 fm - P. Reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.14 Disco Circular - t = 0.0 fm - P. Transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.15 Disco Circular - eB0 = 0, t = 2.5fm - P. Reação . . . . . . . . . . . . . . . 53
xvi
5.16 Disco Circular - eB0 = 4 m
2
π, t = 2.5fm - P. Reação . . . . . . . . . . . . . 53
5.17 Disco Circular - eB0 = 0, t = 2.5fm - P. Transverso . . . . . . . . . . . . . 53
5.18 Disco Circular - eB0 = 4m
2
π, t = 2.5fm - P. Transverso . . . . . . . . . . . . 53
5.19 Diagrama da Condição Inicial - R = 3 fm. e1 = 2.0 e e2 = 1.0 . . . . . . . 54
5.20 Densidade de carga de disco oval Positivamente Carregado, em t = 0.0 . . . 55
5.21 Densidade de carga de disco oval Positivamente Carregado, em t = 0.0 . . . 55
5.22 Disco Oval - eB0 = 0 , t = 0.0 fm - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.23 Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t = 0.0 fm - P. Transverso . . . . . . . . . . . . . 55
5.24 Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t = 2.5fm - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . 55
5.25 Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π, t = 2.5fm - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . 55
5.26 Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t = 2.5fm - P. Transverso . . . . . . . . . . . . . 56
5.27 Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t = 2.5fm - P. Transverso . . . . . . . . . . . . . 56
5.28 Diferença entre 5.24 e 5.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.29 Diferença entre 5.26 e 5.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.30 Disco Oval - eB0 = 0 , t = 0.0 fm - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.31 Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π , t = 0.0 fm - P. de Reação . . . . . . . . . . . . 58
5.32 Disco Oval - eB0 = 0 , t = 1.25 fm - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . . 58
5.33 Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π , t = 1.25 fm - P. de Reação . . . . . . . . . . . . 58
5.34 Disco Oval - eB0 = 0 , t = 2.5 fm - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.35 Disco Oval - eB0 = 4m
2
π , t = 2.5 fm - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . 59
5.36 Disco Oval - eB0 = 0 , t = 3.75 fm - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . . 59
5.37 Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π , t = 3.75 fm - P. de Reação . . . . . . . . . . . . 59
5.38 Disco Oval - eB0 = 0 , t = 5.0 fm - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.39 Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π , t = 5.0 fm - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . 59
5.40 Disco Oval - eB0 = 0 , t = 0.0 fm - P. Transversal . . . . . . . . . . . . . . 60
5.41 Disco Oval -eB0 = 4 m
2
π , t = 0.0 fm - P. Transversal . . . . . . . . . . . . 60
5.42 Disco Oval - eB0 = 0 , t = 1.25 fm - P. Transversal . . . . . . . . . . . . . 60
xvii
5.43 Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π , t = 1.25 fm - P. Transversal . . . . . . . . . . . 60
5.44 Disco Oval - eB0 = 0 , t = 2.5 fm - P. Transversal . . . . . . . . . . . . . . 60
5.45 Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π , t = 2.5 fm - P. Transversal . . . . . . . . . . . . 60
5.46 Disco Oval - eB0 = 0 , t = 3.75 fm - P. Transversal . . . . . . . . . . . . . 61
5.47 Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π , t = 3.75 fm - P. Transversal . . . . . . . . . . . 61
5.48 Disco Oval - eB0 = 0 , t = 5.0 fm - P. Transversal . . . . . . . . . . . . . . 61
5.49 Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π , t = 5.0 fm - P. Transversal . . . . . . . . . . . . 61
5.50 Diagrama da Condição Inicial - R = 3 fm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.51 Densidade de carga de disco oval com distribuição uniforme de cargas po-
sitivas e negativas, em t = 0.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.52 Densidade de carga de disco oval com distribuição uniforme de cargas po-
sitivas e negativas, em t = 0.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.53 Disco Oval - eB0 = 0, t = 2.5fm, distribuição uniforme de cargas positivas
e negativas - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.54 Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π, t = 2.5fm, distribuição uniforme de cargas
positivas e negativas - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.55 Disco Oval - eB0 = 0, t = 2.5fm, distribuição uniforme de cargas positivas
e negativas - P. Transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.56 Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t = 2.5fm, distribuição uniforme de cargas posi-
tivas e negativas - P. Transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.57 Diferença entre 5.53 e 5.54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.58 Diferença entre 5.55 e 5.56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.59 Densidade de carga de disco oval com distribuição randômica de cargas
positivas e negativas, em t = 0.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.60 Densidade de carga de disco oval com distribuição randômica de cargas
positivas e negativas, em t = 0.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
xviii
5.61 Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t = 2.5fm, distribuição aleatória de cargas
positivas e negativas - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.62 Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π, t = 2.5fm, distribuição aleatória de cargas
positivas e negativas - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.63 Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t = 2.5fm, distribuição aleatória de cargas
positivas e negativas - P. Transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.64 Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t = 2.5fm, distribuição aleatória de cargas posi-
tivas e negativas - P. Transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.65 Diferença entre 5.61 e 5.62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.66 Diferença entre 5.63 e 5.64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.67 Densidade de carga de disco oval, dist. de cargas pos. e neg. separadas
horizontalmente, em t = 0.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.68 Densidade de carga de disco oval, dist. de cargas pos. e neg. separadas
horizontalmente, em t = 0.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.69 Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t = 2.5fm, ddist. de cargas pos. e neg. separadas
horizontalmente - P. de Reação . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 68
5.70 Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t = 2.5fm, dist. de cargas pos. e neg. separadas
horizontalmente - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.71 Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t = 2.5fm, dist. de cargas pos. e neg. separadas
horizontalmente - P. Transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.72 Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t = 2.5fm, dist. de cargas pos. e neg. separadas
horizontalmente - P. Transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.73 Corte da figura (5.69), no P. Transverso em z = −2.1 fm . . . . . . . . . . 68
5.74 Corte da figura (5.69), no P. Transverso em z = 2.1 fm . . . . . . . . . . . 68
5.75 Densidade de carga de disco oval com dist. de cargas pos. e neg. separadas
verticalmente, em t = 0.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
xix
5.76 Densidade de carga de disco oval com dist. de cargas pos. e neg. separadas
verticalmente, em t = 0.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.77 Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t = 0.0 fm, dist. de cargas pos. e neg. separadas
verticalmente - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.78 Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t = 0.0 fm, dist. de cargas pos. e neg. separadas
verticalmente - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.79 Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t = 0.0 fm, dist. de cargas pos. e neg. separadas
verticalmente - P. Transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.80 Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t = 0.0 fm, dist. de cargas pos. e neg. separadas
verticalmente - P. Transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.81 Corte da figura (5.79), no P. Transverso em y = −1.7 fm . . . . . . . . . . 70
5.82 Corte da figura (5.79), no P. Transverso em y = 1.7 fm . . . . . . . . . . . 70
5.83 Disco Oval uniformemente positivo, em t = 0.0 . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.84 Disco Oval uniformemente positivo, em t = 0.0 . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.85 Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t = 0.0 fm, uniformemente positivo - P. de Reação 72
5.86 Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t = 0.0 fm, uniformemente positivo - P. de Reação 72
5.87 Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t = 0.0fm, uniformemente positivo - P. Transverso 73
5.88 Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t = 0.0fm, uniformemente positivo - P. Transverso 73
5.89 Densidade de Carga: Disco Oval com cargas positivas e negativas separadas
horizontalmente, em t = 0.0 - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.90 Densidade de Carga: Disco Oval com cargas positivas e negativas separadas
horizontalmente, em t = 0.0 - P. Transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.91 Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t = 0.0 fm, distribuição uniforme de cargas
positivas - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.92 Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t = 0.0 fm, distribuição uniforme de cargas
positivas - P. de Reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
xx
5.93 Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t = 0.0fm, distribuição uniforme de cargas
positivas - P. Transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.94 Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t = 0.0fm, distribuição uniforme de cargas posi-
tivas - P. Transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
B.1 Termalização - v = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
B.2 Termalização - v = 1√
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
xxi
Lista de Tabelas
5.1 Tabela de vn usando o cálculo direto da densidade de carga elétrica, com
densidades uniformes de carga positiva, para diferentes elipticidades. O
caso circular corresponde a e1 = 1.0, e o caso e1 = 2.0 corresponde ao
primeiro exemplo de condição inicial oval mencionado no texto . . . . . . . 76
5.2 Tabela de vn dos Cálculos com Diferentes Distribuições de Carga Elétrica.
Todos os casos tem como condição inicial o caso oval com e1 = 2.0. . . . . 77
5.3 Tabela de vn dos cálculos com diferentes distribuições de carga elétrica,
utilizando o cálculo da densidade de carga como uma média local da den-
sidade de carga. Todos os casos tem como condição inicial o caso oval com
e1 = 2.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
xxii
1
Caṕıtulo 1
Colisões de Íons Pesados
Relativ́ısticos
1.1 Interação Forte e Matéria Nuclear
Um dos desafios da f́ısica é compreender a natureza básica da matéria, assim como
as interações nela presentes. Históricamente, foram descobertas 4 interações, conhecidas
como Interação Eletromagnética, Interação Nuclear Forte, Interação Nuclear Fraca e In-
teração Gravitacional, cuja origem é uma das principais questões fundamentais ainda em
aberto. Na década de 1960, foi demonstrado que a interação eletromagnética e a interação
fraca são unificadas dentro de um formalismo chamado de Teoria de Calibre, sendo este
caso espećıfico hoje conhecido como Interação Eletro-Fraca.
Sabe-se empiricamente que as interações nucleares, tanto forte quanto fraca, são in-
terações de curto alcance, só sendo sondáveis diretamente em escalas presentes no núcleo
atômico, 10−15m. Isto é consideravelmente diferente do que ocorre com as interações
eletromagnética e gravitacional, que são interações de longo alcance, e portanto se manis-
festam mais facilmente em escalas macroscópicas.
Experimentalmente, sabe-se que nem todas as part́ıculas interagem fortemente: os
férmions que não interagem fortemente são chamados de Leptons (como, por exemplo, o
elétron); já as part́ıculas, tanto bósons quanto férmions, que interagem fortemente, são
chamadas de Hádrons.
2
Os primeiros Hádrons conhecidos foram o próton e o nêutron, descobertos, respectiva-
mente, por Rutherford em 1919 e por Chadwick em 1931. Posteriormente, os ṕıons, pre-
vistos por Yukawa em 1935 como os mediadores das interações fortes, foram descobertos
por Lattes, Muirhead, Occhialini e Powell [1] em 1947. Esses foram os primeiros exemplos
descobertos das duas subclasses de hádrons: os Bárions, como prótons e nêutrons, e os
Mésons, com os ṕıons.
Com o advento de aceleradores de part́ıculas e o avanço nas pesquisas com raios
cósmicos, foram descobertas diversas novas part́ıculas, como K, Λ, ∆, Ω, etc. Assim, na
década de 1960, uma das maiores preocupações da comunidade de part́ıculas elementares
era a natureza dessas part́ıculas elementares, que tornava necessário um modelo capaz
de explicar a grande variedade de part́ıculas que interagem fortemente. A primeira for-
mulação de classificação das part́ıculas elementares, e da espectroscopia associada, foi
feita, em 1956, por S. Sakata e seu grupo [2], sendo subsequentemente ampliada pelo
modelo de Nagoya. Entre as principais contribuições desses modelos está o fato de terem
incentivado a busca por modelos de f́ısica mais fundamental do que a f́ısica de hádrons.
Em 1964, o modelo de Quarks, criado por Gell-Mann e Zweig, introduziu a noção
de que hádrons são estados ligados de part́ıculas mais fundamentais, os quarks, estes
inicialmente concebidos como pertencentes a 3 espécies, denominadas up, down e strange,
ou, abreviadamente, u, d, s respectivamente. Os quarks são férmions de spin 1/2, de
carga elétrica fracionária, e que carregariam iso-spin e estranheza, de forma a compor
corretamente as part́ıculas conhecidas até aquele momento.
A existência de part́ıculas como ∆++, que seria uuu, e o Ω−, que seria sss, trouxe a
necessidade da existência de um número quântico adicional. O motivo disto é que eles
seriam, internamente, compostos por 3 férmions, identicos, e se não houvessem graus de li-
berdade adicionais, estariam no mesmo estado quântico, o que seria proibido pelo prinćıpio
da exclusão de Pauli. Este número quântico adicional foiintroduzido por Greenberg[3],
Han e Nambu [4] sob o nome de “carga de cor”.
3
Dentro da idéia de ”cor”como um número quântico, os quarks seriam objetos ”colori-
dos”, e os hádrons seriam objetos cuja soma das cores seria nula, ou seja, “branca”, no
sentido de um singleto para o grupo de simetria de cor. Em consequência do modelo de
quarks, foram realizadas inúmeras buscas experimentais por quarks livres, e como tais
buscas não tiveram sucesso, surgiu o conceito de “confinamento”, em que apenas estados
com cor nula seriam viśıveis como part́ıculas livre. Portanto, dentro desta visão, os quarks
não poderiam ser observados diretamente. Esta ausência de observação experimental de
quarks livres levou, por um peŕıodo, a que essas entidades fossem tratadas apenas como
construções matemáticas, e não como entidades f́ısicas reais.
Paralelamente a esses avanços teóricos, 2 grupos de experimentos estavam sendo rea-
lizados: Medição de Jatos e Espalhamento Inelástico Profundo.
O espalhamento inelástico profundo (Deep Inelastic Scattering, DIS) é o uso de leptons
como elétron, múons e neutrinos, para sondar a estrutura dos prótons e núcleos. Nesses
experimentos foi verificado um comportamento posteriormente conhecido como “Escalo-
namento de Bjorken”[5]. Esses experimentos foram realizados na década de 70[6], e seu
sucesso resultou na aceitação dos quarks como entidades f́ısicas reais.
As medições de Jatos, como no experimento PETRA[6], em especial detecções de 3
jatos, estabeleceram a existência do gluon, constituindo outro marco na compreensão da
interação forte.
A junção do modelo de Quarks com uma teoria de calibre com um grupo não-abeliano,
como introduzido na teoria de Yang-Mills [7], associada à simetria de cor, levou em 1973 ao
modelo atual das interações fortes, conhecido como Cromodinâmica Quântica (QCD), que
prevê não somente a existência de quarks, mas também a existência de glúons, mediadores
da interação forte, ambos possuindo cargas de cor.
Paralelamente a esses avanços experimentais, houve avanços teóricos importantes na
compreensão da estrutura da QCD. Estudando o comportamento do acoplamento da
QCD, Gross, Wilczek e Politzer descobriram que este diminui para altas energias (equiva-
4
lente a pequenas distâncias), e essa propriedade foi posteriormente chamada de liberdade
assintótica. Essa descoberta permitiu a realização de cálculos perturbativos para QCD no
regime de altas energias, as quais foram progressivamente atingidas. Em contrapartida
não foi posśıvel utilizar cálculos perturbativos em baixas energias.
Juntamente com o DIS, foi realizado outro grupo de experimentos, especialmente em
colisores de elétron-pósitron, que revelaram a existência de jatos de part́ıculas hadrônicas
altamente colimadas. À luz da QCD, colisões altamente energéticas elétron-pósitron cri-
ariam pares de quark-antiquark, os quais se comportariam como part́ıculas quase-livres,
devido à liberdade assintótica, uma vez que estão em um regime de alta energia. Ao
se distanciarem, as interações ficariam mais intensas, criando cascatas colimadas de pa-
res quark-antiquark e glúons, que se transformariam em cascatas, ou jatos, de part́ıculas
hadrônicas, colimadas e bastante energéticas.
O sucesso na descrição da distribuição angular desses jatos de part́ıculas altamente
colimados é um dos grandes motivos para consolidar a QCD como teoria fundamental
das interações fortes; esta descrição forma, junto com o DIS, um conjunto de testes de
precisão para a QCD.
Apesar da elegância teórica e do sucesso experimental nos regimes perturbativos, a
QCD ainda tem dificuldade em fazer previsões nos regimes não perturbativos da teoria,
que incluem os regimes de baixas energias, nos quais se encontram a maior parte dos
núcleos atômicos. Por outro lado, tratar a matéria dominada pela QCD, na forma de
sistemas de temperatura e/ou densidade finita, como ocorreu no universo primitivo, ou em
sistemas astrof́ısicos, está, em geral, fora do alcance de tratamentos perturbativos. Esses
são exemplos de sistemas nos quais existe rica aplicação de modelos não-perturbativos e
de métodos computacionais, como QCD na rede.
Sistemas nucleares são sistemas muito complexos; pela dificuldade em estudá-los, eles
despertaram, por muito tempo, pouco interesse, em comparação com sistemas elétron-
pósitron, elétron-elétron ou mesmo próton-próton. Houve um interesse renovado em co-
5
lisões de ı́ons pesados depois de previsões sobre o comportamento da matéria nuclear no
regime de altas temperaturas.
Em conjunto, a propriedade da liberdade assintótica, e o estudo das propriedades
termodinâmicas de sistemas de hádrons, sugeriram a possibilidade de novos estados da
matéria em temperaturas muito altas, ou em densidades acima das densidades nuclea-
res. Isto se origina na mudança de um regime de acoplamento forte (como é o caso das
condições usuais da matéria nuclear) para um estado de gás quase livre, em que os graus
de liberdade termodinâmicos não seriam mais os hádrons, e sim os quarks e glúons [8], o
chamado plasma de quarks e glúons (QGP). Uma situação semelhante é prevista no caso
de grande potencial qúımico bariônico, esperado no interior de estrelas de nêutrons. Para
estudar a matéria nuclear nessas condições, é necessário produzir sistemas com grande
número de part́ıculas e com uma densidade de energia extremamente alta, reacendendo o
interesse no uso de ı́ons pesados.
A busca de uma compreensão do comportamento da matéria nuclear em altas energias
pode ser retraçada até o Bevalac (em 1970), no qual ocorreram algumas das primei-
ras colisões de Íons pesados relativ́ısticos, atingindo, pela primeira vez, 1 GeV/nucleon.
Atualmente, o principal objetivo de colisões Núcleo-Núcleo ultra-relativ́ısticas é o estabe-
lecimento das propriedades coletivas desse plasma, compreendendo sua equação de estado,
seu grau de termalização, a presença de fenômenos dissipativos e a interação desse plasma
com campos eletromagnéticos externos e com jatos.
O ponto de interesse no estudo de Íons Pesados Relativ́ısticos é o comportamento da
matéria nuclear em condições de alta temperatura e densidade. Muito esforço tem sido
investido na busca de um regime de baixo potencial qúımico bariônico, como nos casos
do RHIC e LHC, mas outros projetos, como o FAIR, irão estudar também os regimes de
potencial qúımico maior.
Recentemente, houve uma varredura em diversas faixas de energia em sistemas Núcleo-
Núcleo no RHIC, que recebeu o nome de “Beam Energy Scan”[9], com o objetivo de
6
estudar de forma mais extensa a estrutura da matéria nuclear, e procurar por sinais de
uma transição para uma fase desconfinada.
Assim como ocorre com jatos, não se observa diretamente o sistema formado, pois são
detectadas part́ıculas emitidas ao fim da evolução. Vários observáveis finais que indicam o
surgimento de uma nova fase da matéria, criada nos processos de colisões nucleares, foram
estudados, como a supressão de J/ψ, supressão de jatos, produção excessiva de estranheza,
entre outros. Entre outros observáveis, a descoberta de escoamento coletivo desta matéria
recebeu grande atenção, permitindo a possibilidade de estudar a dinâmica desta matéria
utilizando uma modelagem hidrodinâmica. Em vários aspectos, esta abordagem foi muito
bem sucedida, levando a certas espectativas sobre a descrição detalhada da dinâmica desta
matéria, como condição inicial e valores dos coeficientes de transporte. Entretanto, ainda
existem muitas questões a serem esclarecidas.
1.2 Observáveis Experimentais e Esquema da Co-
lisão
O processo de colisão de Íons pesados relativ́ısticos pode ser visualizado na figura
(1.1). Antes da colisão, os núcleons incidentes aparecem como discos, devido a contração
de Lorentz,parecendo discos no referencial do laboratório. Após a colisão é formada
“matéria quente”na região de sobreposição entre os 2 núcleos, posteriormente expandindo,
esfriando, e se tornando part́ıculas que são medidas no detector.
Figura 1.1: Ilustração do Processo de Colisão[10]
7
Os observáveis presentes em colisões de ı́ons pesados relativ́ısticos refletem, portanto,
informações sobre o estado final de part́ıculas produzidas durante a colisão. As proprieda-
des do plasma formado, sua evolução temporal, sua equação de estado e sua composição
são inferidas a partir de part́ıculas emitidas que chegam ao detector. Atualmente, já existe
uma grande quantidade de dados, acumulada de experimentos anteriores, como AGS e
SPS [11], e também dados mais recentes gerados pelo RHIC[12] e LHC[13].
A energia total envolvida nas colisões centrais Ouro-Ouro realizadas pelo RHIC chega
a 38 TeV, correspondendo à energia no centro de massa por par de nucleons
√
sNN =
200 GeV; sendo que as colisões realizadas pelo LHC com Chumbo-Chumbo chegam a
uma ordem de grandeza acima na escala de energia. Em eventos centrais no RHIC, o
número total de part́ıculas carregadas pode chegar a 5000 [12], podendo o número total
ser estimado em 7500.
O número de part́ıculas (ou, equivalentemente, de part́ıculas carregadas) é chamado de
multiplicidade da colisão. O valor da multiplicidade é utilizado para estimar o parâmetro
de impacto da colisão, e, portanto, a energia total do sistema, assim como sua geometria
inicial.
Muito da f́ısica de interesse se passa no plano tranverso da colisão, perpendicular
ao eixo do feixe incidente, uma vez que esses processos de produção de part́ıculas são
processos inelástios. A parametrização usual para o momento transverso é apresentado
na figura (1.2), assim como a diferença entre participantes, espectadores, e a sua relação
com o parâmetro de impacto.
Apenas os núcleons que estão presentes na região de superposição contribuem para a
formação do plasma, os participantes. Quanto maior a superposição (equivalentemente
menor parâmetro de impacto), maior a energia depositada, e, portanto, maior o número de
posśıveis part́ıculas finais produzidas. Como, mesmo quando se tem um mesmo parâmetro
de impacto, ocorrem flutuações no número de part́ıculas finais produzidas, o tratamento
dos dados é feito por intervalos de multiplicidade. O ângulo azimutal φ é determinado a
8
partir do vetor de parâmetro de impacto, ~b.
~b
x
y
~pT
Participantes
Espectadores
φ
Figura 1.2: Esquema do plano transverso
Apresentamos aqui apenas 2 exemplos associados ao aspecto global da colisão, o pri-
meiro se refere à multiplicidade de diferentes espécies de part́ıculas produzidas, como
mostrado na figura 1.3. Nesta também está o resultado do ajuste de modelo térmico, re-
produzindo bem resultados experimentais. Este sucesso de uma descrição térmica indica
uma boa saturação do espaço de fase para este ensemble de dados.
Figura 1.3: Figura retirada de Adams et. al. 2005 [12]. Razões de multiplicidade de
hádrons produzidos no RHIC. γs é o fator de correção de estranheza. O ajuste é de um
modelo térmico para emissão de part́ıculas, citado mas não discutido em [12]
9
Figura 1.4: Figura retirada de Adams et. al. 2005[12]. Espectros de part́ıculas produzidas
em rapidez central. Acima mT =
√
m2 + p2T , também chamada de massa transversa.
Na figura 1.4 apresentamos espectros dos hádrons produzidos, em rapidez central,
para baixo momento transverso, i.e. abaixo de 4 GeV, como π±, K±, p/p̄ e Λ/Λ̄. O
comportamento qualitativo foi descrito modelos hidrodinâmicos, os quais conseguem uma
concordância com os dados na faixa de baixo momento, abaixo de 2 - 3GeV.
Outro dado relacionado ao nosso trabalho é o comportamento da distribuição angular
dos momentos das part́ıculas finais, para diferentes part́ıculas produzidas. A análise da
distribuição angular é feita utilizando como variáveis a rapidez1, a energia depositada E, e
o momento transverso ~pT . Os dados experimentais são expressos na forma da distribuição
de part́ıculas, parametrizada pela expressão (1.2):
E
d3N
d3~p
=
dN
pTdpTdydφ
=
1
2π
d2N
pTdpTdy
(
1 +
∞∑
n=1
2vn cos(n(φ− ψR))
)
(1.1)
ψR corresponde ao ângulo do plano de reação, com relação à orientação plano trans-
verso. Experimentalmente, o que é determinado não é o plano de reação; no entanto, a
1A rapidez é definida por y = 12 log
E+pz
E−pz , em que pz = pL é o momento na direção do feixe.
10
noção de plano de reação é útil do ponto de vista teórico, principalmente se não houver
tanto interesse em se discutir flutuações na condição inicial.
A distribuição de part́ıculas finais refletiria tanto aspectos da condição inicial quanto
da evolução temporal. Uma ilustração da geometria do processo de colisão está na figura
(1.5). Nesta, observa-se uma das fontes da anisotropia de energia na condição inicial, que
vem da forma da região na qual é formado o plasma.
Vê-se também o plano de reação, que corresponde ao plano XZ com y = 0, formado
pelo eixo do feixe incidente e pelo parâmetro de impacto entre os núcleos. Também estão
indicados o sentido da parte principal do campo magnético, do momento angular, e uma
posśıvel separação de carga elétrica, a ser comentada posteriormente.
Figura 1.5: Plano da Reação, Campo Magnético e Separação de Carga[14]
A análise da distribuição angular é feita nas componentes de Fourier da distribuição
azimutal de part́ıculas finais. Os coeficientes de Fourier são chamados de escoamento
(flow), sendo os primeiros chamados de “escoamento direto” v1, “escoamento eĺıptico” v2
e “escoamento triangular” v3.
11
A presença de coeficientes vn não-nulos representa alguma anisotropia, oriunda seja
da condição inicial, seja da evolução temporal. Um dos principais sucessos dos modelos
hidrodinâmicos está na reprodução do escoamento eĺıptico v2, em função do parâmetro de
impacto na região, na região de baixo momento, como visto na figura 1.7. Estes resultados
foram confirmados tanto no RHIC [12] quanto no LHC [13].
Do ponto de vista hidrodinâmico, a existência de escoamento eĺıptico, é entendida
como a conversão de uma anisotropia de energia na condição inicial para uma anisotropia
no momento, como ilustrado na figura 1.6, sendo essa conversão movida pelos gradientes
de pressão.
Em colisões periféricas, a região de superposição dos núcleos colidentes teria uma
forma oval, como ilustrado em (1.5). A existência de eixos diferentes criaria gradientes de
pressão na direção do eixo menor, a direção do parâmetro de impacto.
Figura 1.6: Esquema da geração de v2
12
Outro aspecto que fala a favor da existência de um plasma cujos graus de liberdade
sejam quarks e glúons é a existência de um escalonamento (scaling) de Quarks Consti-
tuintes, que foi medido no RHIC, como mostrado na figura 1.8. O fato de que todos os v2
em termos de graus de liberdade de quarks degeneram em uma curva indicam que, para
os quarks, o gradiente de pressão atua de mesma forma. Ou seja, a formação de v2 é feita
na fase de plasma de quarks e glúons.
Figura 1.7: Figura retirada de Adams
et. al. 2005 [12]. Dados de v2 depen-
dente de momento, para rapidez central,
no RHIC
Figura 1.8: Figura retirada de Adams et.
al. 2005 [12], fenômeno de “Constituent
Quark Scaling”no RHIC
Recentemente, a colaboração STAR [15] descobriu correlações angulares dependentes
de carga e energia para as part́ıculas produzidas em colisões Ouro-Ouro no RHIC, como
ilustrado no gráfico 1.9. Essas correlações dependentes de energias e de carga indica-
riam uma emissão preferencial de cargas em um sentido diferente, dependendo de sua
carga, sendo consideradas como indicação de um efeito relacionado à presença de campos
magnéticos intensosdurante a colisão.
Uma das posśıveis explicações está ilustrada na figura (1.5): As correlações viriam de
uma separação de cargas existente no plasma quente. Segundo alguns modelos, esta se-
paração de carga estaria relacionada ao campo magnético presente durante a colisão. Este
campo magnético seria, primariamente, gerado pelos espectadores, e atuaria no plasma
gerado pelos participantes.
13
Figura 1.9: Dados da colaboração STAR (RHIC): Valores medidos da correlação dos
ângulos azimutais de emissão de part́ıculas carregadas, para part́ıculas de mesma carga
e de carga oposta, em função do momento transverso. O gráfico mostra que existe uma
forte anti-correlação entre part́ıculas de cargas opostas. Gráfico extráıdo de Abelev et.
al.2009 [15]
Esta relação é sustentada por estimativas do campo magnético, como feito em Skokov
et. al. 2009 [16] Voronyuk et. al. 2011 [17], para as colisões Ouro+Ouro do RHIC, em
que o campo magnético seria da ordem de eB ≈ m2π.
Como referência, valores de eB ∼ 1m2π correspondem a campos magnéitcos de B ≈
1018 Gauss ≈ 1014 T . Para efeito de comparação, campos magnéticos estimados entre
108 − 1011 T , sendo, portanto, os mais intensos conhecidos.
Há também modelos como os de em Hongo et. al 2013 [18], que prevêem a separação
de cargas na presença de campos magnéticos, apresentando assim uma posśıvel explicação
para esse conjunto de dados.
14
Figura 1.10: Estimativa do Campo feita pelo modelo PHSD, em Voronyuk et. al. [17]
Figura 1.11: Estimativa do Campo magnético feita pelo modelo UrQMD, em Skokov et
al. [16]
Nesta dissertação, utilizamos hidrodinâmica para estimar o efeito que o campo magné
-tico teria numa abordagem puramente clássica, procurando estudar de forma sistemática
várias condições iniciais e distribuições de carga elétrica, com a finalidade de definir o real
impacto do campo magnético no nosso modelo. Um estudo similar ao nosso foi feito no
contexto da busca por “Efeito Magneto-Quiral”, por Hongo et. al 2013 [18].
Partindo daqui, faremos, em sequência: uma apresentação dos principais aspectos rele-
vantes na f́ısica de Íons pesados relativ́ısticos; uma revisão de hidrodinâmica relativ́ıstica;
uma revisão da teoria cinética dos gases, utilizada para escolher as equações que foram
resolvidas numéricamente; e uma apresentação dos resultados obtidos.
15
Recentemente, a medição de v2 em colisões centrais, assim como a medição de outros
coeficientes da expansão de Fourier, como v3 e v4 em Gu 2012 [19], ganhou interesse, por
permitir sua utilização no estudo flutuações e inhomogenidades na condição inicial das
colisões de ı́ons pesados. Flutuações no escoamento eĺıptico, assim como modificações no
espectro de part́ıculas, como em Schenke et. al. 2012 [20], também seriam indicações de
inhomogenidades nas condições inciais.
16
Caṕıtulo 2
Hidrodinâmica Relativ́ıstica
O objetivo da Hidrodinâmica é servir como teoria efetiva para tratar sistemas com
muitos graus de liberdade, fazendo uso de prinćıpios genéricos, como a conservação de
energia, de momento e de cargas, e explorando aspectos cinemáticos como uma forma de
extrair dados relevantes.
Há duas abordagens principais para a modelagem de fenômenos hidrodinâmicos. A
primeira se baseia na análise das leis de conservação vigentes no sistema, e, a partir
dessas, faz uma parametrização que captura os principais graus de liberdade do sistema.
Também se utilizam equações de estado para conectar diferentes variáveis do sistema,
como densidade de entropia, pressão e densidade de energia.
A segunda abordagem parte de um tratamento microscópico, como a teoria cinética
dos gases, e evolui para a hidrodinâmica, a partir de algum processo de médias sobre
os graus de liberdade microscópicos. Esta abordagem é a utilizada para extração das
equações da hidrodinâmica a partir da Equação de Boltzmann.
Neste caṕıtulo, recaptitularemos conceitos básicos de Hidrodinâmica, necessários ao
entendimento da modelagem feita nesta dissertação, bem como o método numérico de
Hidrodinâmica de Part́ıculas Suavizada, que foi utilizado para obter os resultados.
17
2.1 Hidrodinâmica Ideal Não-Relativ́ıstica
Este tratamento hidrodinâmico tem como ponto de partida as simetrias do sistema
em questão. Um sistema com muitos graus de liberdade, pode ser abordado como um
sistema de campos, tendo como suposição inicial que o sistema seja descrito por campos
φ1, φ2,...,φn, os quais podem depender da posição e do tempo , isto é φi(t, ~x).
Quando o sistema é conservativo, a prinćıpio podemos associar a ele uma lagrangeana,
sobre a qual escreveŕıamos a seguinte ação:
S =
∫
dtd3~x L(t, ~x, φi, ∂tφi,∇φi) (2.1)
Se não houver nesta lagrangeana uma dependência expĺıcita nas coordenadas (o que
equivale, neste caso, ao sistema não estar submetido a interações externas), torna-se
posśıvel escrever equações de continuidade que expressam a conservação das diferentes
quantidades no sistema.
Uma lei de conservação genérica pode ser escrita como se segue:
∂A
∂t
+∇ · ~J = 0 (2.2)
No caso de Mecânica da Fluidos não-relativ́ıstica, temos que a massa, o momento
linear e a energia são quantidades conservadas. Portanto, teŕıamos 3 densidades, ρ, ρ~p e
ρE, com as correspondentes equações de continuidade:
∂tρ+∇ ·~j = 0 (2.3)
∂tρ~p +∇ ·~j~p = 0 (2.4)
∂tρE +∇ ·~jE = 0 (2.5)
Para cada quantidade conservada, há 1 densidade e 3 componentes da corrente asso-
ciada, portanto, 4 campos associados a cada quantidade conservada. Existe 1 densidade
para a massa, 1 para a energia, e 1 para cada componente do momento.
18
Assim, teŕıamos 1 + 3 + 3 + 9 + 1 + 3 = 20 campos e apenas 5 equações. Na prática,
nem todos esses campos são independentes, e neste momento é que se torna importante
o papel da parametrização.
A parametrização é usualmente feita da seguinte maneira: escolhe-se a velocidade do
fluido como sendo a velocidade associada à corrente de massa, o que quer dizer que ~j = ρ~v,
e, a partir dáı, dá-se ińıcio às necessárias modificações. A corrente de massa é identificada
com a densidade de momento, ~ρ~p = ρ~v, e, portanto, ficaŕıamos com:
∂ρ
∂t
+∇ · (ρ~v) = 0 (2.6)
∂
∂t
(ρ~v) +∇ · Σ = 0 (2.7)
A corrente de momento, Σ é uma matriz, que corresponde ao transporte de momento
do fluido. A velocidade associada à corrente de momento não é necessariamente igual à
velocidade associada à corrente de massa, e, portanto, não precisamos ter Σij = ρvivj.
Contudo, uma das contribuições vem deste termo, logo pomos Σij = ρvivj + σij, e temos
uma situação similar para a densidade de energia.
∂ρ
∂t
+∇ · (ρ~v) = 0 (2.8)
∂
∂t
(ρ~v) +∇ · (ρ~v ⊗ ~v + σ) = 0 (2.9)
∂
∂t
(
1
2
ρ~v2 + u
)
+∇ ·
(
1
2
ρ~v2~v + ~h
)
= 0 (2.10)
Desta forma, chegamos à formulação usual das equações da Hidrodinâmica. As equaçẽs
de Euler e Navier-Stokes podem ser recuperadas com a escolha apropriada de σ e ~h. Como
exemplo, temos que a escolha σij = pδij = p(ρ)δij nos conduz a:
ρ
[
∂
∂t
+ ~v · ∇
]
~v = −∇p (2.11)
19
2.2 Coordenadas Eulerianas e Lagrangeanas
A apresentação feita acima utiliza o sistema Euleriano de coordenadas, no qual o fluido
é descrito como campos fixos no espaço e observado partir de um referencial externo. Nesse
sentido, o fluido é tratado da mesma maneira que o campo eletromagnético costuma ser.
Nesta formulação, os graus de liberdade do fluido são expressos em termos das coor-
denadas usadas para as suas medições. Desta forma, não se define o que seria a posição
do fluido, ou de um elemento de fluido, como normalmente é posto.
Nesta abordagem, a velocidade do fluido é encarada como uma variável independente,
no mesmo sentido que a sua densidade. Assim sendo, cada um deles possui sua própria
equação de movimento. Os v́ınculos são postos como equaçõesacessórias. Este foi o ponto
de vista desenvolvido na seção anterior.
Uma abordagem alternativa, importante para o presente trabalho, é chamado sistema
de coordenadas Lagrangeano. Neste, os graus de liberdade do fluido são expressos em
termos da sua configuração inicial, e o que fazemos é expressar as quantidades relevantes
em termos das posições dos elementos de fluido.
Nessa abordagem, os graus de liberdade são as posições das células do fluido, ~r, que são
expressos em termos das suas posições iniciais e do tempo, t e ~R. A derivada temporal
nesse sistema, D/Dt é chamado de derivada material, ou derivada total no tempo. A
velocidade é definida a partir da posição, similarmente ao que é feito com mecânica de
uma part́ıcula: ~v(t, ~R) = D~r
Dt
.
O mapeamento é suposto suave e bijetivo, de tal forma que a derivada ∂~r/∂ ~R está
bem definida. Localmente, a dilatação ou contração no volume do fluido seria então me-
dida pelo determinante dessa transformação. Assim, teŕıamos o inverso do determinante
jacobiano, det(∂~r/∂ ~R), fazendo o papel da densidade de referência do fluido.1. No caso
não-relativ́ıstico, a densidade de referência é a densidade de massa.
1Isso decorre de 1/J = 1/ det(∂~r/∂ ~R) automaticamente satisfazer uma equação de continuidade
20
Assim sendo, as únicas variáveis do problema são as posições das células de fluido.
Portanto, o que é necessário é definir a evolução temporal das posições dessas células.
Adiantando os resultados da próxima seção, temos as seguintes identificações:
∂
∂t
+ ~v · ∇� D/Dt (2.12)
ρ(t, ~r) � ρ0/J = ρ0/ det(∂~r/∂ ~R) (2.13)
Nesta, ρ0 é uma densidade inicial do fluido, a qual funciona como uma constante para
consertar a dimensão das equações, uma vez que J é adimensional, e independe de t ou
~R. A equação de estado fica sendo p = p(ρ0/J), e as equações anteriores são expressas
como:
Dρ
Dt
= −ρ(∇~r · ~v) (2.14)
ρ0
J
D~v
Dt
= −∇~rp (2.15)
2.3 Principio Variacional da Hidrodinâmica
A formulação variacional de um sistema hidrodinâmico se faz escrevendo a ação do
sistema em questão, como foi feito em Elze et. al. [21]. Esta é apenas uma extensão para
a ação para um sistema de N part́ıculas, sendo a interação entre as part́ıculas substituida
por um potencial efetivo, o qual depende da densidade local.
Como o sistema é um sistema de campos, a Lagrangeana L é escrita como L =
∫
d3~r L,
e a densidade lagrangeana é escrita como a diferença de um termo cinético ρ~v
2
2
e um termo
potencial ε(ρ) dada pela energia interna do fluido. Assim sendo, utilizando coordenadas
lagrangeanas, a ação associada à Equação de Euler é:
S =
∫
dt
∫
d3~r
(
ρ~v2 − �(ρ)
)
=
∫
dt
∫
d3 ~R
(
ρ0
[
D~r
Dt
]2
− J�(ρ0/J)
)
(2.16)
21
Como anteriormente, J = det(∂~r/∂ ~R). Utilizando essas coordenadas, L = ρ0
[
D~r
Dt
]2 −
J�(ρ0/J), uma vez que os graus de liberdade sobre os quais minimizaremos a ação são
~r(t, ~R) e suas derivadas. A equação de Euler-Lagrange para esse sistema fica sendo:
D
Dt
∂L
∂(D~r/Dt)
+∇~R ·
∂L
∂(∂~r/∂ ~R)
=
∂L
∂~r
= 0 (2.17)
∇~R ·
∂L
∂(∂~r/∂ ~R)
= J∇~r
[
∂L
∂J
]
(2.18)
O calculo de ∂L/∂J resulta em:
∂L
∂J
= −ε− J ∂ε
∂ρ
ρ0
(−1)
J2
= −ε+ ρ0
J
ε+ p
ρ
= p (2.19)
O resultado final fica sendo:
ρ0
D2r
Dt2
= ρ0
D~v
Dt
= −ρ0
ρ
∇~rp (2.20)
Existem dois pontos relevantes na formulação hidrodinâmica, de um ponto de vista
variacional. Em primeiro lugar, esta é a maneira mais simples de obtermos equações
da hidrodinâmica relativ́ıstica ideal. Em segundo lugar, do ponto de vista numérico,
a utilização da ação da Hidrodinâmica como ponto de partida para achar as equações
discretizadas apresenta vantagens sobre discretizações diretas das equações de movimento.
2.4 Hidrodinâmica Relativ́ıstica Ideal
No caso relativ́ıstico, não existe uma separação tão clara das contribuições cinética
e potencial para a energia. O que ocorre é que a ação tem de ser um escalar para
transformações de Lorentz, o que, na prática, acarreta que a lagrangeana tenha que ser
escalar para transformações de Lorentz. Segundo Elze et. al. [21], o prinćıpio variacional
é feito diretamente sobre a energia interna própria, a qual, por definição, é escalar de
Lorentz:
22
S = −
∫
d4x ε = −
∫
dt
∫
d3 ~R Jε
(
ρ0
Jγ
)
(2.21)
Temos, por analogia:
∇~R ·
∂L
∂(∂~r/∂ ~R)
= J∇~r
[
∂L
∂J
]
= J∇~rp (2.22)
Para esta lagrangeana, a primeira parcela correspondente à equação (2.17), fazemos:
∂L
∂~v
= −J ∂ε
∂ρ
ρ0
J
∂γ
∂~v
= −ε+ p
ρ
ρ0√
1− v2
(−~v) = ρ0
ε+ p
ρ
γ~v (2.23)
Isto resulta na versão relativ́ıstica da equação de Euler da Mecânica de Fluidos:
D
Dt
[
ε+ p
ρ
γ~v
]
= − 1
ργ
∇~rp (2.24)
Nesta, ρ é a densidade de referência própria, e ρ∗ = ργ é a densidade medida no
referencial do laboratório. Adotaremos esta convenção no resto do texto, salvo exceções
devidamente assinaladas. É posśıvel que (2.24) corresponde a:
∂µ(ρu
µ) = 0 (2.25)
∂µ ((ε+ p)u
µuν − pgµν) = 0 (2.26)
Nesta formulação, uµ = (γ, γ~v) é identificado com a 4-velocidade do fluido. Esta é a
forma usual das equações de hidrodinâmica relativ́ıstica, nas quais o tensor (ε+ p)uµuν −
pgµν = T µν é identificado com o tensor de energia-momento do sistema.
Esse ponto de vista, que envolve a análise direta das equações de conservação do
sistema, e a busca de uma parametrização apropriada para o mesmo, será discutido na
próxima seção, cabendo aqui o seguinte reparo:
A maneira mais direta de garantir a conservação de alguma quantidade em um sistema
é encontrar uma transformação associada àquela quantidade, e escrever uma lagrangeana
que seja invariante por essa transformação, o que assegura, automaticamente, que as
23
equações de movimento respeitarão essa quantidade conservada. Embora exista grande
motivação para a busca de uma descrição da evolução de um sistema f́ısico através de
um prinćıpio variacional, nem sempre existe uma maneira direta de fazê-lo, o que torna
necessário tentar modelar diretamente as equações de movimento.
2.5 Leis de Conservação e Hidrodinâmica
Como mencionado acima, uma abordagem da Hidrodinâmica envolve a análise das leis
de conservação do sistema em questão, e a utilização de uma parametrização apropriada
para capturar as caracteŕısticas mais relevantes do mesmo.
No caso relativ́ıstico, as principais leis de conservação são associadas ao tensor de
energia-momento do sistema, T µν , e a quantidades conservadas por algum tipo de simetria,
como correntes associadas à carga elétrica e ao número bariônico:
∂µT
µν = 0 (2.27)
∂µj
µ
c = 0 (2.28)
∂µj
µ
b = 0 (2.29)
Dado um campo uµ satisfazendo uµuµ = 1, podemos utilizá-lo para decompor esse
sistema de equações de forma conveniente. uµ será, posteriormente, interpretado como a
4-velocidade do fluido. Diferentes escolhas para uµ levam a diferentes hipóteses sobre a
estrutura das equações. Utilizando uµ temos 3 variáveis independentes. Podemos definir
projetores paralelos e perpendiculares à velocidade, como sendo P µν‖ = u
µuν e P µν⊥ =
gµν − uµuν = ∆µν , o que nos permite definir componentes de vetores e tensores paralelas
e perpendiculares a velocidade.
Se o sistema é isolado, o tensor de energia-momento tem que ser simétrico, o que nos
deixa 10 componentes para lidar. Para uma corrente jµ, podemos escrever:
jµ = (P µν‖ + P
µν
⊥ )jν = (uνj
ν)uµ + ∆µνjν = nu
µ + ιµ (2.30)
24
Nesta formulação, a primeira parcela é proporcional à velocidade, enquanto a segunda
parcela é perpendicular no sentido que ιµu
µ = 0. Para um Tensor simétrico Mµν , uma
decomposição similar é feita pondo:
Mµν =
[
P µρ‖ P
νλ
‖ + (P
µρ
⊥ P
νλ
‖ + P
µρ
‖ P
νλ
⊥ ) + P
µρ
⊥ P
νλ
⊥
]
Mρλ (2.31)
A densidade própria de energia é definida como sendo a contração dada pela 1a parcela
de (2.31), ou seja, pela parte totalmente perpendicularà velocidade:
ε = uµuνT
µν (2.32)
Sendo a corrente de energia definida como jµε = uνT
µν , o fluxo de calor é definido
como a parte perpendicular a uµ da corrente de energia, e o Tensor de Stress é definido
como sendo a parte de T µν perpendicular à velocidade:
qµ = ∆µρuνT
ρν (2.33)
Y µν = ∆µρ∆νλTρλ (2.34)
Assim, o procedimento para decompor as quantidades relevantes envolve escrever as
correntes e o tensor de Energia-Momento do sistema em partes paralelas e perpendiculares:
T µν = εuµuν + (uµqν + qµuν) + Y µν (2.35)
Nesta formulação, temos os novos termos satisfazendo qµuµ = 0 e Y
µνuν = 0 . No
referencial de repouso do fluido, teŕıamos uµ = (1,~0) e:
T µν =
[
ε ~q T
~q Y
]
(2.36)
Neste referencial, ε é identificado como a componente T 00, ~q com as componentes T 0i
e o tensor de stress com as componentes T ij, i ∈ {1, 2, 3}
25
Havendo outras correntes conservadas, como carga elétrica jµc ou número bariônico j
µ
b ,
obteŕıamos decomposições similares segundo (2.30):
jµc = ncu
µ + ιµc (2.37)
jµb = nbu
µ + ιµb (2.38)
Em prinćıpio, existem duas prescrições de como proceder com a parametrização, que
são chamadas de “Referencial de Landau”e “Referencial de Eckhart”. A diferença prin-
cipal entre elas é a definição da velocidade preferencial do fluido como seguindo a energia
do sistema, ou seguindo alguma carga conservada. Neste texto, apresentaremos apenas o
desenvolvimento do referencial de Landau.
A escolha associada ao referencial de Landau é fazer qµ = 0, ou seja, no referencial do
fluido, não há fluxo de calor no sistema, portanto toda a produção de entropia vem de
termos viscosos ou de termos de correntes de difusão de carga. Isto equivale a definir a
4-velocidade do fluido como sendo o (único) auto-vetor tipo-tempo do tensor T µν :
T µνuν = εu
µ (2.39)
Para definirmos a pressão do sistema, analizamos o traço de T µν :
τ = T µµ = ε+ Y
µ
µ (2.40)
Escrevemos a pressão dinâmica do sistema como pd =
1
3
(ε − τ), o que nos conduz à
decomposição usual do tensor de energia-momento:
T µν = εuµuν − pd∆µν + πµν (2.41)
A pressão dinâmica, a prinćıpio, é uma soma pd = p + Π da pressão termodinâmica
p, a qual é calculada a partir de uma equação de estado, e de um termo de viscosidade
volumar Π, que vem de uma contribuição fora de equiĺıbrio.
26
Nesta, πµνuν = 0 e π
µ
µ = 0 . Temos, portanto, muito mais variáveis independentes do
que equações que as vinculam. A forma exata de cada um desses termos depende da esco-
lha de equações, chamadas de equações constitutivas, e também de hipóteses relacionadas
ao equiĺıbrio local do sistema, as quais diminuem o número de variáveis independentes,
ou suprem equações restantes para a determinação da evolução temporal do sistema. Es-
tas são dadas à parte das equações de conservação de energia e momento descritas acima.
Grande parte do trabalho associado a modelagem do sistema envolve encontrar o conjunto
apropriado de equações constitutivas.
Se supusermos que existe equiĺıbrio termodinâmico local no referencial em que o fluido
está localmente em repouso, ε se identifica com a energia interna desse sistema, e, por-
tanto, deve depender apenas das densidades associadas a quantidades conservadas, ou
seja, ε = ε(ρ, nc, nb) e essa equação de estado seria dada à parte. A pressão p estaria
relacionada com ε, segundo as leis da Termodinâmica, portanto p = ρ ∂ε
∂ρ
− ε.
Supondo a validade local das relações da Termodinâmica, é posśıvel mostrar que as
quantidades πµν ,ιµc e ι
µ
b estão associadas à produção de entropia do sistema, e, portanto,
a processos fora do equiĺıbrio termodinâmico. Existe grande interesse em se modelar
o comportamento de sistemas fora de equiĺıbrio, principalmente para Colisões de Íons
Pesados Relativ́ısticos, nas quais o tempo de vida do sistema é extremamente curto,
tornando relevante considerar fenômenos fora de equiĺıbrio.
O tratamento apropriado dessas correntes Fora-de-Equiĺıbrio é bastante sofisticado, e
ultrapassa o escopo desta dissertação. O que faremos aqui é estudar o comportamento de
sistemas ideais, e quase ideais, na presença de campos eletromagnéticos externos, tratando
de uma abordagem fenomenológica para os momentos iniciais da colisão, detalhada, abaixo
em outro caṕıtulo.
27
2.6 Hidrodinâmica com Campo Eletromagnético
A conservação de Energia e Momento de um sistema isolado é normalmente escrita
como uma equação de continuidade para o tensor de energia-momento conrrespondente.
Se o sistema possui mais de uma componente, não é necessáriamente verdade que uma
determinada parte do sistema possua uma equação de continuidade independente.
O que ocorre é que podemos escrever uma equação de continuidade para uma parte,
mas utilizando uma fonte que depende da outra parte do sistema, tendo sido este o
procedimento adotado em nosso trabalho. A força de Lorentz pode ser encarada como
sendo fonte de momento do sistema, a qual não depende diretamente da velocidade do
fluido, mas da corrente de carga do mesmo, e, portanto é proporcional a jµc .
Assim, escrevemos a equação de movimento para o fluido como sendo:
∂µT
µν = ∂µ (εu
µuν − p(gµν − uµuν)) = ρuµ∂µ
[
ε+ p
ρ
uν
]
− ∂νp = eF µνjcµ (2.42)
Nesta formulação, e é a carga do elétron, ejcµ é a corrente de carga elétrica, e
F µν = ∂µAν − ∂νAµ é o tensor de campo eletromagnético. Portanto, o campo eletro-
magnético acopla o setor carregado com a setor hidrodinâmico durante a evolução tem-
poral. Escrevendo em coordenadas cartesianas, e identificando jµc = ncu
µ, temos que a
equação de movimento fica sendo:
ργ
D
Dt
[
ε+ p
ρ
γ~v
]
= −∇p+ enc
(
γ ~E + γ~v × ~B
)
(2.43)
A descrição do sistema, na presença de campo eletromagnético, só estaria completa se
fosse dada a evolução temporal do campo eletromagnético em função das outras variáveis
do sistema. Para tal, teŕıamos as equações de Maxwell como sendo:
∂µF
µν = Jµc (2.44)
28
Note-se que, não necessáriamente Jµc = ej
µ
c . O caso de interesse nessa dissertação é re-
presentado pelas colisões nucleares periféricas, cuja maior contribuição supomos originada
dos núcleons espectadores, e não do plasma formado na colisão.
Seguindo essa idéia, não foi feito nenhum tratamento aprofundado da evolução do
campo eletromagnético durante a colisão, este sendo posto como um campo externo for-
necido à parte da evolução hidrodinâmica. Em um tratamento posterior, o tratamento
de como o campo magnético responde às correntes produzidas no meio deve ser relevante,
principalmente para o cálculo da distribuição de fótons.
Essa abordagem possui vantagens e desvantagens, as quais precisam ser levadas em
conta ao tirarmos conclusões sobre os resultados obtidos. A principal desvantagem é que
ela superestima o efeito do campo eletromagnético, pois ignora o efeito da reação do meio
ao mesmo, a qual existe no sistema real. A vantagem é que é posśıvel ter um maior
controle sobre o efeito da contribuição de cada parte do sistema, o que é especialmente
importante durante os testes do código numérico.
29
Caṕıtulo 3
Métodos Cinéticos
Procedemos aqui com as ferramentas utilizadas para tratar fenômenos coletivos. A
grande motivação para incluir esse tratamento na presente dissertação não foi o trata-
mento de viscosidade, mas o tratamento de fenômenos eletromagnéticos. Como comen-
tado anteriormente, os campos magnéticos previstos são intensos, da mesma forma que o
são suas posśıveis assinaturas.
A principal assinatura é a existência de correlações angulares de momento diferentes
para cargas positivas e negativas. Sob o ponto de vista hidrodinâmico, correlações de
momento se originam da distribuição inicial de energia do sistema; portanto, isso indicaria
uma separação inicial de cargas positivas e negativas, seja no ińıcio da evolução temporal,seja no seu curso.
A abordagem que escolhemos aqui foi modelar separadamente as correntes iniciais, que
seriam correntes fortemente fora de equiĺıbrio, de forma separada da corrente de equiĺıbrio,
que seria o fluido termalizado. Para conseguir construir um modelo sistemático, utilizamos
a equação de Boltzmann, com um Ansatz para as soluções de cada parte.
Neste caṕıtulo, reveremos sucintamente as equações de Boltzmann não-relativ́ıstica e
relativ́ıstica, e a maneira pela qual se extraem as equações de Hidrodinâmica das mesmas.
Em seguida, apresentaremos a aproximação de tempo de relaxação, e a forma de introduzir
múltiplas componentes na equação de Boltzmann. Ao final, apresentaremos as equações
com as quais procuraremos soluções numéricas no restante do trabalho.
30
3.1 Equação de Boltzmann Relativ́ıstica
O ponto de partida do tratamento cinético dos fenômenos hidrodinâmicos é a Equação
de Boltzmann. Nesta, é feita uma modelagem baseada no pressuposto de que lidamos
com um sistema de part́ıculas de massa m fracamente interagente, no qual há uma baixa
taxa de colisão, e que, portanto, tem seu comportamento dominado por colisões binárias.
Neste contexto, a evolução temporal seria totalmente determinada pela evolução tem-
poral da densidade de 1 part́ıcula no espaço de fase. Essa distribuição é denotada f(t, ~x, ~p),
dando a densidade de probabilidade de se encontrar uma part́ıcula desse material na
posição ~x com momento ~p, sendo essa distribuição normalizada pelo número total de
part́ıculas N .
∫
d3~x d3~p f(t, ~x, ~p) = N (3.1)
Ou seja, 1
N
f(t, ~x, ~p)d3~xd3~p denota a probabilidade de se encontrar, nesse sistema, uma
part́ıcula num volume de fase d3~xd3~p com momento na região em volta de ~x com momento
aproximadamente ~p.
A equação de Boltzmann entra como uma equação fenomenológica para essa densidade
f(t, ~x, ~p), de tal forma que tenhamos uma equação similar à equação de Liouville, mas
com um termo que captura o efeito da interação entre as partćiuals, o qual é chamado de
Núcleo de Colisão. A equação de Boltzmann Não Relativ́ıstica é dada por (3.2).
∂f
∂t
+
~p
m
· ∂f
∂~r
+ ~F · ∂f
∂~p
=
∫
d3~p1dΩ gσ(g,Ω)(f
′ f ′1 − f f1) (3.2)
Os ı́ndices ′, 1 e ′1 denotam os momentos das part́ıculas que entram no núcleo de colisão.
g = 1
m
|~p− ~p1| é a velocidade relativa entre ~p e ~p1, e σ(g,Ω) é a seção de choque diferencial
do tipo de colisão binária que se acredita que ocorra entre as part́ıculas do sistema. Assim
o termo do lado direito da equação (3.2) é dado por:
(f ′f ′1 − ff1) = f(t, ~x, ~p′)f(t, ~x, ~p′1)− f(t, ~x, ~p)f(t, ~x, ~p1) (3.3)
31
Os momentos ~p, ~p1, ~p
′ e ~p′1 podem ser entendidos com base na ilustração (3.1). Uma
part́ıcula 0, da qual suprimimos o ı́ndice, colide com uma outra part́ıcula 1, a colisão é
suposta de curto alcance, e em uma região muito menor que o volume total ocupado pelo
sistema, assim sendo, desprezamos, como hipótese, qualquer efeito de separação espacial
na região de colisão.
Figura 3.1: Ilustração do Processo de Colisão, como modelado na Equação de Boltzmann
As part́ıculas 0 e 1 tem, antes da colisão, momentos ~p e ~p1, adiquirindo posteriormente
momentos ~p′ e ~p′1, os quais estão vinculados devido a conservação de energia e momento,
que são pressupostos válidos em todas as colisões binárias.
A seção de choque é, essencialmente, a probabilidade de uma colisão binária acontecer,
dado que temos momentos incidentes ~p e ~p1. Portanto ela entra no termo que age como
fonte, que também é o termo que permite, fenomenologicamente, introduzir informação
microscópica na modelagem do sistema. Assim, é natural esperar que haja um termo
proporcional a σ(~g,Ω) no qual Ω é a direção de sáıda de ~p′.
Colisões alteram a evolução temporal; supomos um sistema rarefeito e fracamente
interagente, espera-se que a contribuição das colisões binárias seja porporcional ao qua-
drado da densidade de probabilidade de 1 part́ıcula. É neste sentido que introduzimos
um fator com a forma (f ′f ′1 − ff1), que equivale a supor que as colisões binárias são
32
decorrelacionadas.
~F é a força externa ao aplicada no sistema, e é através deste termo que se introduz a
dependência em relação ao campo eletromagnético. O tratamento básico da equação de
Boltzmann é feito em Kremer 2005 [22]. Seguindo o tratamento apresentado em de Groot
et. al. [23], substituimos ~p
m
→ ~p
p0
e d3~p→ d3~p
p0
= dp e escrevemos a equação de Boltzmann
relativ́ıstica sem interação externa:
pµ∂µf(x
µ, pµ) = C[f ] =
1
ν
∫
dp′dP ′dP ′ Wpp′→PP ′ ×
(
fPfP ′ f̃pf̃p′ − fpfp′ f̃P f̃P ′
)
(3.4)
Nesta, Wpp′→PP ′ , a amplitude de transição invariante, faz o papel da seção de choque,
e os termos de correção f̃ estão associados ao fato de podermos lidar com part́ıculas
ind́ıstigúıveis. A partir deste ponto, há duas opções de tratamento, sendo a primeira
delas resolver de forma exata, ou aproximada, a equação acima.
A segunda é utilizar a equação de Boltzmann, integrando os graus de liberdade de
momento e, portanto, produzindo equações apenas em t e ~r. Esse processo é chamado de
“Cálculo de Momentos”da equação de Boltzmann, sendo descrito na próxima seção.
3.2 Hidrodinâmica a partir da Equação de Boltzmann
Como mencionado acima, as equações da Hidrodinâmica, podem ser vistas como
equações de continuidade, com ou sem fonte, para quantidades conservadas do sistema,
juntamente com equações adicionais vinculando a equação de estado e a dinâmica dos
termos de viscosidade. A partir dáı, faz-se uma parametrização que conecta as diferentes
equações de continuidade.
Partindo da equação de Boltzmann, são geradas Equações de Continuidades, inte-
grando a equação de Boltzmann multiplicada por potências de pµ. A parametrização
requerida entre as diferentes quantidades do sistema é dada pela reação entre f(t, ~x, ~p) e
33
o que será, posteriormente, identificado com quantidades hidrodinâmicas.
O ponto central deste método é que
∫
dp C[f ] = 0 e
∫
dp pν C[f ] = 0. Essas igualdades
são a maneira pela qual leis de conservação microscópicas são introduzidas na equação de
Boltzmann. Com algum cálculo, é posśıvel mostrar:
∫
d3~p
p0
pνC[f ] =
∫
d3~p
p0
1
4
(pν′ + pν′1 − pν − pν1)C[f ] (3.5)
Portanto, como pµ é conservado em cada colisão binária, a expressão acima é = 0.
Essa é a consequência macroscópica da conservação de energia-momento microscópica, o
que significa que o núcleo de colisão não possui 1o momento em pµ.
Integrando a equação de Boltzmann com relação a d
3~p
p0
, obtemos:
∫
d3~p
p0
pµ∂µf = ∂µ
[∫
d3~p
p0
pµf
]
= ∂µj
µ =
∫
d3~p
p0
C[f ] = 0 (3.6)
Multiplicando por pν e integrando, obtemos:∫
d3~p
p0
pνpµ∂µf = ∂µ
[∫
d3~p
p0
pµpνf
]
= ∂µT
µν =
∫
d3~p
p0
pνC[f ] = 0 (3.7)
E, portanto, identificamos:
jµ =
∫
d3~p
p0
pµf (3.8)
T µν =
∫
d3~p
p0
pνpµf (3.9)
Estas são, respectivamente, a corrente e o tensor de energia-momento do sistema. A
validade dessa identificação, assim como o motivo para esta forma espećıfica para o tensor
de energia momento. Dependendo da forma de f(t, ~x, ~p), podemos recuperar a forma do
tensor de Energia-Momento para diferentes casos, incluido o de gás sem pressão (apenas
densidade de energia), Hidrodinâmica Ideal (Densidade de Energia e Pressão) e correções
viscosas. Estes resultados estão discutidos em de Groot et. al. [23]. Procedendo como
fizemos no caṕıtulo (2), definimos a velocidade como dada pela relação:
34
uµ =
T µνuν√
uρuτT ρσTτσ
(3.10)
E a definção de densidade de energia e pressão vem da mesma forma:
ε = uµuνT
µν =
∫
d3~p
p0
(uµp
µ)2f (3.11)
(p+ Π)∆µν + πµν = ∆µρ∆
ν
σT
ρσ =
∫
d3~p
p0
∆µρ∆
ν
σp
ρpσf (3.12)
(3.13)
Diferentes versões da Hidrodinâmica são obtidas com diferentes soluções para f , sendo
portantode interesse prático a busca de soluções para f . Cabe ressaltar que o uso das
funções de distribuição é relevante também no cálculos da prescrição de freeze-out, que
é utilizada para conectar os resultados de Hidrodinâmica com os observáveis finais. Isto
é feito com o uso de uma prescrição de produção térmica de part́ıculas, como discutido
em Cooper and Frye [24]. O uso de funções de distribuição fora de equiĺıbrio é um tema
recente, e está, por exemplo, discutido em [25].
A identificação de equiĺıbrio local se faz utilizando o termo colisional: Se C[f ] = 0,
o sistema é considerado como estando em equiĺıbrio termodinâmico local. Este critério
pode ser mostrado equivalente, no contexto presente, ao critério mais usual, no qual, há
equiĺıbrio termodinâmico local se não há produção de entropia.
Na ausência de campos externos, a solução de equiĺıbrio global, ∂µf = 0, é chamada
de “Distribuição de Jüttner ”, pondo µ como o potencial qúımico do sistema, T sua
temperatura e uµ = (γ, ~u) sua 4-velocidade, nenhum desses dependendo da posição ou do
tempo, a distribuição de Jüttner se escreve:
f eq(p) = A exp
(
µ− pµuµ
T
)
(3.14)
A solução de equiĺıbrio local é construida a partir da distribuição de Jüttner, per-
mitindo que µ, uµ e T possam depender da posição e do tempo. Assim, é a solução
35
de equiĺıbrio local para uma temperatura T (t, ~x), potencial qúımico µ(t, ~x) e campo de
velocidades uµ(t, ~x). Sua evolução fica sendo, portanto, dada pelas equações descritas
acima.
Podemos calcular T µν em (3.8) utilizando (3.14) como função de distribuição, e o
resultado que obtemos é:
T µν = (ε+ p)uµuν − pgµν (3.15)
ε = 3p (3.16)
Este resultado mostra que a hidrodinâmica ideal, com uma equação de gás ideal re-
lativ́ıstico sem massa, como havia sido discutido no caṕıtulo (2), pode ser recuperada
dentro desta formulação.
Outra solução que será relevante para o nosso trabalho vale para C[f ] = 0 idênticamente.
(o que equivale a dizer que o sistema é visto como um gás não interagente) Sendo conhe-
cida como “poeira”(“dust”). Nesta, fdust(xµ, ~p) é proporcional à densidade própria de
part́ıculas n e à Delta de Dirac no momento, indicando que não existe, localmente, ne-
nhuma dispersão na velocidade:
fdust(~p) =
p0
m
nδ(~p− ~p0) (3.17)
O tensor de energia-momento associado é dado por T µν = mnuµuν ; portanto, inter-
pretamos a ”poeira”como sendo um gás sem um termo de pressão, no qual a densidade de
energia é interpretada como sendo a densidade de massa associada às part́ıculas presentes
apenas. Neste sentido, o núcleo de colisão é visto como a origem de todos os processos
não triviais no fluido, seja de equiĺıbrio ou seja fora de equiĺıbrio.
No restante do nosso trabalho, esses serão os dois modelos de solução para as equações
de transporte. Utilizaremos essas soluções para obter as formas das equações de hidro-
dinâmica que serão resolvidas posteriormente.
36
3.3 Sistemas com Múltiplas Componentes e Acopla-
mento com Campo Eletromagnético
Seguindo de Groot et. al. [23], o caso em que há misturas de várias componentes, mas
sem interação, é tratado alterando o núcleo de colisão. Assim, se tivermos N componentes,
cada componente satisfará uma equação de transporte similar a (3.1), mas com termos
cruzados que são os termos de interação de uma espécie com a outra.
pµk∂µfk(x, pk) =
N∑
l=1
C[fk, fl] (3.18)
Nesta expressão, C[fk, fl] cumpre um papel similar a C[f ], apresentado na equação
(3.4). A forma exata não é relevante, porque, no tratamento que faremos, será utili-
zada a aproximação de tempo de relaxação discutida na próxima seção. Repetindo o
procedimento da seção anterior, obtemos:
∂µj
µ
k =
∑
l 6=k
∫
d3~pk
p0k
C[fk, fl] (3.19)
∂µT
µν
k =
∑
l 6=k
∫
d3~pk
p0k
pνkC[fk, fl] (3.20)
Os termos cruzados acoplam as equações de Hidrodinâmica das diferentes espécies, e
é isto que será utilizado como modelo simplificado para o processo de termalização. O
próximo passo é introduzir a interação com campo eletromagnético externo.
O procedimento que seguiremos aqui será aquele feito na equação de Vlasov, na qual
se mantém a forma f(t, ~x, ~p), e a interação com o campo externo é vista como a força
de Lorentz no coeficiente associado à derivada no momento. Isto faz com que a equação
não seja manifestamente covariante. No entanto, quando são calculados os momentos
da mesma, obtemos equações covariantes para as transformações de Lorentz. Para uma
única espécie, temos que essa equação é dada por:
37
pµ∂µf + q
(
p0 ~E + ~p× ~B
)
· ∂f
∂~p
= C[f ] (3.21)
Dentro do objetivo de estudar o efeito do Campo Eletromagnético sobre os observáveis
finais, e levando em conta que o principal efeito deve ocorrer nos momentos iniciais da
colisão, devido ao rápido decaimento do campo, a imagem conceitual da colisão que será
testada aqui é a seguinte:
• O processo de colisão produz matéria fortemente fora de equiĺıbrio, a qual possui
uma dinâmica complexa, mas com pouco ou nenhum fluxo transverso, sendo quase
todo o fluxo concentrado na direção do eixo de colisão. O fluxo no plano transverso
seria gerado a partir da geometria da matéria inicial, durante sua evolução.
• Em algum momento posterior, t ≈ 1fm, a maior parte do sistema deve ter atingido
algum grau de equiĺıbrio térmico, mas ainda retendo informação quanto à geometria
e às inhomogeneidades da condição inicial; a partir deste ponto, sua evolução seria
dominada por gradientes de pressão e por outros aspectros hidrodinâmicos.
• Durante o processo de colisão, os momentos iniciais possuem uma dinâmica bastante
complicada, devido aos processos relacionados à interação forte, e a uma posśıvel
transição de fase, o que torna dif́ıcil fazer uma estimativa precisa da contribuição
de cada parte do sistema. No entanto, se desejamos, apenas, estimar um limite
superior para a contribuição vinda do campo magnético, podemos começar supondo
que não haja nenhuma dinâmica além do próprio campo eletromagnético, tratando
o sistema como sendo um gás não-interagente, portanto, um sistema de poeira.
• A conexão com a fase fora de equiĺıbrio é feita como um termo cruzado, que trans-
forma ”poeira“ fora de equiĺıbrio em fluido (carregado) em equiĺıbrio. Inhomoge-
neidades de carga seriam criadas por diferenças na evolução inicial das poeiras de
diferentes tipos de carga.
38
Portanto, supondo que haja 3 espécies qúımicas, tratadas como poeira, uma elétricamente
positiva, outra negativa e a última neutra, as quais não interagem consigo mesmas ou en-
tre si, e uma quarta componente que é suposta em equiĺıbrio termodinâmico local, com
densidade fm. A parte de equiĺıbrio, fm, é modelada como uma distribuição que é lo-
calmente de Jüttner, o que quer dizer que é igual a (3.14), permitindo-se que T , µ e uµ
dependam de t e ~x.
O resultado que obtemos são equações de tipo-Vlasov para a parte fora de equíıbrio,
mas com o termo colisional apenas com o material em equiĺıbrio. A evolução da parte de
equiĺıbrio será feita à parte.
pµ+∂µf+ + e
(
p0+ ~E + ~p+ × ~B
)
· ∂f+
∂~p+
= C[f+, fm] (3.22)
pµ−∂µf− − e
(
p0− ~E + ~p− × ~B
)
· ∂f−
∂~p−
= C[f−, fm] (3.23)
pµ0∂µf0 = C[f0, fm] (3.24)
Deve-se notar que não há termo de colisão entre uma espécie e ela mesma, e portanto
soluções do tipo “poeira”são posśıveis para este sistema. O que ocorrerá é que, inserindo
fdust(~p) = p
0
m
nδ(~p − ~p0), se obtém equações para n e para ~p0. Na prática, estas corres-
pondem à equação de continuidade para n, com a velocidade do fluido identificada com
~p0/m, e a uma equação de movimento para ~u = ~p0/m, que não depende da densidade,
mas depende da força externa. Isto é o comportamento esperado para a poeira.
Devido à presençado termo de colisão com a matéria equilibrada, haverá um termo
de fonte ou sorvedouro na equação de continuidade da densidade.
Essas 3 espécies qúımicas são vistas como sendo correntes fora de equiĺıbrio, formadas
no ińıcio da colisão, e algum processo irá depletá-las, fazendo com que, após um tempo,
apenas a corrente de equiĺıbrio seja relevante. Neste sentido, queremos que com o passar
do tempo, fk → 0, pois isso representaria o processo de termalização.
39
3.4 Aproximação de Tempo de Relaxação
A aproximação de tempo de relaxação consiste em substituir o Núcleo de Colisão por
um termo que funciona como um termo de decaimento exponencial para um estado de
equiĺıbrio (“fict́ıcio”na medida em que o sistema não é obrigado a estar exatamente neste
estado, mas que corresponde à solução de equiĺıbrio mais próxima do sistema).
A grande vantagem desta aproximação é que é muito mais simples de trabalhar com ela
do que com o Núcleo completo de colisão; ela se presta a uma abordagem fenomenológica
como a que estamos realizando neste trabalho, pois permite um parâmetro livre, facilmente
ajustável. Essa simplicidade de manipulação é que atende às necessidades do presente
trabalho.
A aproximação de tempo de relaxação para uma única espécie de fluido é escrita:
pµ∂µf = −
1
τR
(f − f eq) (3.25)
Nesta formulação, f eq, tem localmente, a forma da distribuição de Jüttner (3.14), a
qual é identificada com o estado de equiĺıbrio próximo do sistema em questão. O impor-
tante é que são mantidas as caracteŕısticas relevantes da equação de Boltzmann, ou seja,
a forma das correntes conservadas, o fato que f eq é uma solução neste regime aproximado,
como era na equação de Boltzmann original, e sendo o decaimento exponencial da parte
fora de equiĺıbrio δf = f − f eq.
feq é entendido como o estado de equiĺıbrio local mais próximo da distribuição do
sistema, e, portanto, δf é entendida como desvios com relação ao equiĺıbrio local. f = feq
independentemente de t e ~x corresponde a equiĺıbrio termodinâmico global.
Supondo que uµ descreva a 4-velocidade do fluido equilibrado, desejamos escrever
uma equação de relaxação para as correntes de equiĺıbrio como sendo, no referencial de
repouso do sistema termalizado, no qual uµ = (1, 0, 0, 0), da forma de uma equação de
continuidade com um sorvedouro que provoque um decaimento exponencial:
40
pµk∂µfk + qk(p
0
k
~E + ~pk × ~B) = −
1
τR
p0kfk (3.26)
Para assegurar que o produto seja relativ́ısticamente covariante, colocamos o coefici-
ente do termo de relaxação como sendo pµkuµ, ao invés de p
0
k.
Note que que não há nenhum termo da forma f eqk , pois fk funciona como uma flutuação,
assim f eqk = 0. A forma final para a parte fora de equiĺıbrio é escrita:
pµ+∂µf+ + e
(
p0+ ~E + ~p+ × ~B
)
· ∂f+
∂~p+
= − 1
τR
(uµp
µ
+)fk (3.27)
pµ−∂µf− − e
(
p0− ~E + ~p− × ~B
)
· ∂f−
∂~p−
= − 1
τR
(uµp
µ
−)f− (3.28)
pµ0∂µf0 = −
1
τR
(uµp
µ
0)f0 (3.29)
Este é o ponto de partida para a dedução das equações de hidrodinâmica, acoplando
hidrodinâmica ideal em adição a um termo de poeira fora de equiĺıbrio.
Os próximos passos consistem em deduzir as equações de continuidade provenientes
do sistema acima, utilizar o Ansatz de “poeira”para extrair uma forma precisa para
essas equações, e completar a equação de movimento para a parte termalizada, exigindo
conservação da carga elétrica e do momento e energia.
Fazendo o mesmo cálculo de momentos que na seção 3.2, obtemos:
∫
d3~pk
p0k
pµk∂µfk = ∂µ
[∫
d3~pk
p0k
pµkfk
]
= ∂µj
µ
k (3.30)∫
d3~pk
p0k
1
τR
pµkuµfk =
1
τR
uµ
[∫
d3~pk
p0k
pµkfk
]
=
1
τR
uµj
µ
k (3.31)∫
d3~pk
p0k
(p0k ~E + ~pk × ~B) · ∇~pkfk = 0 (3.32)
O que leva a:
∂µj
µ
k = −
1
τR
uµj
µ (3.33)
41
O correspondente para o tensor de energia momento é:
∂µT
µν
k = qkF
νµjµ −
1
τR
uµT
µν
k (3.34)
Nesta expressão, F µν é o tensor de campo eletromagnético dado abaixo:
F µν = ∂µAν − ∂νAµ =

0 Ex Ey Ez
−Ex 0 Bz −By
−Ey −Bz 0 Bx
−Ez By −Bx 0
 (3.35)
A corrente de carga total do sistema, composto de flúido termalizado em adição à
poeira, JµC = nCu
µ + e [jµ+ − jµ−], tem que ser conservada, i.e. ∂µJµC = 0. Isto nos fornece
a equação para nC :
∂µ(nCu
µ) =
e
τR
uµ(j
µ
+ − jµ−) (3.36)
A conservação de energia e momento nos diz que o 4-divergente do tensor de energia
momento do sistema, fluido + poeira, tem que ser igual à força externa aplicada a ele.
Escrevendo T µν = T µνm +T
µν
+ +T
µν
− +T
µν
0 , e supondo que T
µν
m = (ε+p)u
µuν−pgµν , teŕıamos
∂µT
µν = F νµJCµ, o que nos supre a seguinte equação para o tensor de energia-momento
do fluido:
∂µT
µν
m = nCuµF
νµ +
1
τR
uµ (T
µν
+ + T
µν
− + T
µν
0 ) (3.37)
Da mesma forma que temos uma parametrização para T µνm , que corresponde a um fluido
ideal, precisamos de uma parametrização para T µνk , na qual k = +,−, 0. A parametrização
é obtida escrevendo-se:
fk(x
µ, ~p) =
p0k
mk
nk(x
µ)δ(~p−mk~uk(xµ)) (3.38)
Isto resulta nas seguintes formas para as correntes associadas:
jµk = nku
µ
k (3.39)
T µνk = mknku
µ
ku
ν
k (3.40)
42
Assim, as equações utilizadas na modelagem que fizemos neste trabalho são:
∂µ(nku
µ
k) = −
1
τR
nkuµu
µ
k (3.41)
∂µ(nku
µ
±u
ν
±) = ±en±F νµu±µ −
mk
τR
n±uµu
µ
±u
ν
± (3.42)
∂µ(nku
µ
0u
ν
0) = −
mk
τR
n0uµu
µ
0u
ν
0 (3.43)
∂µ(nCu
µ) =
e
τR
uµ(j
µ
+ − jµ−) (3.44)
∂µT
µν
m = encuµF
νµ +
1
τR
uµ (T
µν
+ + T
µν
− + T
µν
0 ) (3.45)
Essas equações modelam processos de relaxação das correntes fora de equiĺıbrio jun-
tamente com evolução da pressão. A abordagem escolhida neste trabalho foi resolver
numéricamente estas equações utilizando o método de Hidrodinâmica de Part́ıculas Sua-
vizada, explicado resumidamente no apêndice A. Foi desenvolvido um código para resolver
o sistema (3.41), mas encontramos problemas durante os testes.
Estes problemas estão relacionados à necessidade de um passo temporal muito menor
do que o necessário apenas para resolver equações de hidrodinâmica ideal. A origem desta
dificuldade está nos termos de relaxação de (3.41). Esse passo temporal reduzido impõe
um esforço computacional muito maior do que conseguimos completar nesta Dissertação,
e para contornar este problema, precisaŕıamos realizar uma abordagem alternativa na
implementação do código. Provavelmente esta alternativa envolveria a escolha de um
integrador diferente para o nosso sistema de EDOs acopladas que surge do Método SPH.
Modelar como “poeira”a matéria formada no ińıcio da colisão pode parecer, à primeira
vista, contraditório. No entanto, o objetivo do trabalho é obter estimativas, em especial a
estimativa de um limite superior para o efeito do campo magnético. A escolha de poeira
é deliberada, por ser o modelo mais simples para este processo, e também por maximizar
o efeito do campo magnético externo. Na visão deste trabalho, se não houver efeito do
campo magnético desta forma, será necessário um tratamento muito diferente para chegar
a produzir algum efeito.
43
Caṕıtulo 4
Equação de Estado e Freeze-out
Neste caṕıtulo apresentaremos, alguns aspectos necessários para a Dissertação, mas
que não foram o foco principal do nosso trabalho. Discutiremos a equação de estado
utilizada neste trabalho, assim como a prescrição para obter a distribuição de part́ıculas
finais partindo dos dados de hidrodinâmica.
4.1 Equação de Estado
Aqui apresentaremos a equação de estado utilizada no nosso trabalho, nos baseando em
Elze et. al. 2002 [26] e Florkowski 2010 [27]. Em termos de quantidades termodinâmicas,
que são a pressão p, densidade de energia ε, densidade de entropia s e densidade média
de número de part́ıculas n para um gás de part́ıculas relativ́ısticas sem massa, podemos
escrever:
p = g
π2
90(~c)3
T 4 (4.1)
ε = 3p = g
π2
30(~c)3
T 4 (4.2)
s =
1
3
∂ε
∂T
=4
3
ε
T
= 4g
π2
90(~c)3
T 3 (4.3)
Nestas equações, g é o fator de degenerescência, e está relacionado ao número de graus
de liberdade do sistema. No caso de um gás de ṕıons de massa nula, g = 3, e no nosso
44
caso usamos g = 37, que é o caso de um gás de bósons e férmions livres e sem massa,
contabilizado como glúons, possuindo 8 gluons, cada um com 2 polarizações de spin, e 2
quarks, com 3 cores e 2 polarizações de spin. Esse fator é calculado como sendo:
gqg = ggluon +
7
8
(gquarks + ganti−quarks) = 8× 2 +
7
8
2× 2× 2× 3 = 37 (4.4)
Todos os resultados dessa Dissertação foram feitos utilizando esta equação de estado.
Posteriormente, usaŕıamos equações de estado mais realistas, sejam essas equações de
estado de gás de quark e glúon ideal, sem massa mas com potencial qúımico, equação
de estado tipo Modelo de Sacolas junto com transição de fase [28], ou equações de es-
tado inspiradas em QCD na Rede [29], mas isto não foi realizado no âmbito do presente
trabalho.
4.2 Produção de Part́ıculas Finais
A comparação dos resultados de hidrodinâmica com os dados experimentais se fez pela
distribuição de part́ıculas finais, d3N/d3~p. No nosso trabalho, utilizamos a prescrição de
Cooper-Frye [24] para produção térmica de part́ıculas em um tempo fixo, que seria o
tempo final da evolução do fluido. Esta expressão é dada por:
E
d3N
d3~p
=
d3N
pTdpTdydφ
=
∫
Σ
dσµp
µf(xµ, pµ) =
g
(2π)3
∫
Ed3V
exp (pµuµ)/T ∓ 1
∣∣∣∣
t=tf
(4.5)
Nesta formulação, pµ = (E, ~p) é o 4-momento da part́ıcula emitida, e as quantidades
T = T (tf , ~x) e u
µ = uµ(t, ~x) são calculadas sobre a região aonde há o fluido. Escolhendo
Σ definida por t = tf , temos dσµ = (d
3V, 0, 0, 0).
Nesta visão, a emissão de part́ıculas é devida ao resfriamento do fluido, o qual acarreta
um aumento do livre caminho médio, de tal forma que este se tornaria comparável ao ou
maior do que o tamanho do sistema, provocando a sáıda dessas part́ıculas para fora do
plasma. A prescrição do cálculo de emissão em tempo constante, em que há grandes
45
diferenças de temperatura, pode parecer inadequada, mas mesmo assim, é utilizada em
Hongo et. al. [18], portanto foi utilizada neste trabalho para obtermos a distribuição de
part́ıculas finais.
Para calcular a distribuição angular no plano transverso, usamos a parametrização
usual do momento final:
p0 =
√
m2 + p2T cosh y (4.6)
p1 = pT cosφ (4.7)
p2 = pT sinφ (4.8)
p3 =
√
m2 + p2T sinh y (4.9)
A decomposição usual feita para comparação dos dados experimentais, é feita em
termos da expansão de Fourier em φ da expressão (4.5):
E
d3N
d3~p
=
d2N
pTdpTdy
1
2π
[
1 +
∞∑
n=0
2vn(pT , y) cos(n(φ− ψRP ))
]
(4.10)
Nesta formulação, ψRP é o ângulo do plano de reação do sistema, que corresponde ao
ângulo entre o eixo x e a direção do parâmetro de impacto. A prinćıpio, vn pode depender
de pT e de y, mas o calculo de dN/dφ que utilizamos foi feito integrando em y e em pT :
dN
dφ
=
∫
pTdpT
∫
dy
d3N
pTdpTdydφ
=
N0
2π
[
1 +
∞∑
n=0
2vn cos(n(φ− ψRP ))
]
(4.11)
Portanto, os valores que aparecem na discussão da Dissertação correspondem a valores
médios de vn, e servem para dar uma noção qualitativa do efeito discutido.
46
Caṕıtulo 5
Resultados e Discussão
O primeiro resultado obtido foi a criação de um código para resolver numericamente as
equações da hidrodinâmica relativ́ıstica ideal, na presença de campos eletromagnéticos,
em 3 dimensões espaciais, utilizando coordenadas cartesianas.
Este código numérico utiliza o método de Hidrodinâmica de Part́ıculas Suavizada
(Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH) para resolver numericamente as equações de
que precisamos. Sobre o método SPH, nos baseamos em Gingold & Monaghan 1997 [30];
quanto à aplicação do método SPH para simular colisões de ı́ons pesados relativ́ısticos,
seguimos Aguiar et. al. 2000 [31] e a Hama et. al. 2004 [32].
Após verificarmos a qualidade do código, aplicamos o mesmo ao estudo do efeito do
do campo magnético no plasma formado em colisões de ı́ons pesados relativ́ısticos.
5.1 Verificação do Código
Como nós desenvolvemos e escrevemos o código, não aproveitando diretamente nenhum
código préviamente existente, é especialmente importante verificar a sua execução. Além
de pequenas verificações de seções do programa, é necessário saber se ele é capaz de
reproduzir resultados préviamente conhecidos, como por exemplo resultados anaĺıticos.
O que apresentaremos aqui foram 2 testes comparando o resultado do nosso código com
resultados conhecidos da literatura.
47
No caso de hidrodinâmica 1D relativ́ıstica, existe uma solução exata, devida a Kha-
latnikov [27], com equação de estado de gás ideal sem massa, com condição inicial com
campo de velocidades nulo, e com densidade de entropia uniformemente distribuida. Esta
situação foi calculada pelo nosso código, e o resultado está mostrado na figura 5.1, que
está representada no gráfico junto à solução exata.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
D
en
si
da
de
P
ro
pr
ia
de
E
nt
ro
pi
a
x
Analitico (t=0.0)
Analitico (t=2.0)
Analitico (t=4.0)
Analitico (t=6.0)
Analitico (t=8.0)
Numerico (t=0.0)
Numerico (t=2.0)
Numerico (t=4.0)
Numerico (t=6.0)
Numerico (t=8.0)
Figura 5.1: Solução de Khalatnikov para Hidrodinâmica em 1D. O eixo x é a distância
com relação ao centro, e o eixo y é a densidade própria de entropia, e diferentes cur-
vas representam diferentes instantes da evolução temporal. Todas as quantidades estão
normalizadas pelos respectivos valores iniciais
O resultado acima foi prsto em gráfico utilizando-se dt = 0.025 e 5001 part́ıculas,
e conservou energia dentro do erro numérico. A diferença entre o resultado obtido e o
anaĺıtico diminui conforme o número de nodos de integração aumenta e o passo temporal
diminui. No exemplo acima, a diferença não ultrapassa 4% com relação ao valor exato.
Uma ilustração do processo de colisão, e das direções dos diferentes campos, está na
figura (5.2). A principal contribuição do Campo Magnético está na direção ŷ, perpendicu-
lar ao plano de reação. A ilustração mostra a matéria formada na colisão, em vermelho,
os núcleons espectadores, em azul, o plano de reação, e a direções dos eixos utilizados
para a análise.
48
Figura 5.2: Ilustração do processo de colisão, incluindo as direções envolvidas. A direção
z coincide com a direção do feixe, e sendo e mostrado o plano de reação. Figura extraida
de [10]
Para verificar o setor do código que calculava o efeito do campo eletromagnético,
calculamos a trajetória de uma part́ıcula livre em um campo magnético ~B = B0ŷ constante
no tempo e espaço. Para este fim, desligamos o efeito da pressão dentro do mesmo código,
introduzimos o campo magnético e acompanhamos a trajetória de cada elemento de fluido.
O resultado está mostrado na figura 5.3 e 5.4 para um único elemento de fluido, tendo
sido o campo magnético posto na direção y, com módulo eB = 4 m2π. Nessa simulação,
um elemento de fluido corresponde a uma part́ıcula de massa efetiva meff = 1 mπ =
0.139 GeV, com uma velocidade inicial ~u = (0.0, 0.42,−0.32). Sobrepusemos a solução
obtida com o nosso código à solução anaĺıtica.
0.74
0.75
0.76
0.77
0.78
0.79
0.8
0.81
0.82
0.83 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
z (fm)
Numerico
Analitico
x (fm)
y (fm)
z (fm)
Figura 5.3: Part́ıcula no Campo
Magnético: Posição
0.72
0.74
0.76
0.78
0.8
0.82
0.84 -1 -0.5 0
0.5 1 1.5
2 2.5
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
z (fm)
4-velocidade
x (fm)
y (fm)
z (fm)
Figura 5.4: Part́ıcula no Campo
Magnético: ~u
49
Os resultados das figuras 5.3, 5.4 e 5.1 nos mostram que o código desenvolvido se
comporta como esperado, tanto para o cálculo da hidrodinâmica sozinha, quantopara o
cálculo da força de Lorentz. Os valores escolhidos para as figuras 5.3 e 5.4 refletem valores
t́ıpicos encontrados para essas quantidades. eB = 4 m2π é a amplitude máxima do campo
magnético utilizado em Hongo et al [18]. Os eixos estão em fm, que é a escala de tamanho
de colisões nucleares.
5.2 C.I. de Disco Circular
O comportamento do campo eletromagnético estimado por Skokov et. al [16], é de
um campo magnético com um pico inicial intenso e que decai rapidamente com o tempo.
No trabalho de Hongo et. al [18], encontra-se uma parametrização do campo magnético
como apresentando um decaimento exponencial no tempo, | ~B| = B0e−t/τ , sendo B0 e τ
constantes, dependendo do parâmetro de impacto, da energia no centro de massa e dos
núcleos em colisão.
A direção do campo ~B(t) = B0ŷe
−t/τ é perpendicular ao plano de reação. Estimamos
o Campo Elétrico, na região da colisão, somente como o campo de indução, sendo dado
por ~E = 1
2.0τ
[
~r × ŷe−t/τ
]
, assim respeitando ∇× ~E = −∂t ~B .
Para investigar uma situação extrema de efeito de campo eletromagnético, supomos
que todas as part́ıculas constituintes são positivamente carregadas, e com mesma carga, as-
sim sendo a densidade de número de part́ıculas carregadas é igual à densidade de part́ıculas
do fluido, a qual é proporcional à densidade de entropia no caso de massa nula, ou seja
|nc| = n = 0.185× s.
Primeiramente, apresentaremos os resultados para uma condição inicial suave, em que
a energia está distribúıda em um cilindro de base circular no eixo z. Compararemos os
casos com campo de velocidade nulo, e com a rapidez1 uniformemente distribúıda, com a
direção sendo a direção z, correspondendo à direção do feixe.
1Rapidez α é definida como γ = cosh(α) sendo o fator de Lorentz.
50
Em cada um dos casos, compararemos os resultados com eB0 = 0 e com eB0 = 4 m
2
π,
com τ = 1fm, que são valores estimados para colisões Ouro-Ouro periféricas no RHIC.
5.2.1 Disco Circular - Campo de Velocidade Nulo
Primeiro, vamos estudar o caso com campo de velocidade inicial nulo, como mostrado
na figura 5.6 e 5.7.
O esperado deste sistema, na ausência do campo magnético, é uma expansão “Ra-
dial”no sentido em que a velocidade surgirá devido aos gradientes de energia, tanto no
plano transverso quanto na direção longitudinal, e espera-se que a expansão nesta última
seja mais rápida, pelo sistema ser menor nesta direção.
Na presença do campo magnético, espera-se adicionalmente que o sistema gire no
sentido anti-horário com relação ao plano de reação, que resulta da contribuição da força
de Lorentz, e está ilustrado na figura (5.5).
Figura 5.5: Esquema da Força de Lorentz. Na Ilustração acima, temos a direção da Força
de Lorentz coincidindo com a direção do vetor ~v × ~B
Os dois aspectos acima podem ser vistos na evolução temporal do sistema, que é
mostrada nas figuras 5.8 a 5.11. Nestes, mostramos o desenvolvimento temporal até
2.5 fm, comparando com campo magnético, e sem campo magnético. A distribuição de
energia não uniforme em (5.6) e (5.7) é devida ao método numérico de suavização, em
que se introduz uma escala de suavização h, que foi escolhida como sendo h = 0.5 fm.
51
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
0.003
0.0035
0.004
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.6: Disco Circular - t = 0.0 - P.
Reação y = 0.0
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
0.003
0.0035
0.004
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.7: Disco Circular- t = 0.0 - P.
Transverso z = 0.0
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
0.0006
0.0007
0.0008
0.0009
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.8: Disco Circular - eB0 = 0 m
2
π,t =
2.5fm - P. Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
0.0006
0.0007
0.0008
0.0009
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.9: Disco Circular - eB0 = 4m
2
π,t =
2.5fm - P. Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
0.0006
0.0007
0.0008
0.0009
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.10: Disco Circular - eB0 =
0 m2π,t = 2.5fm - P. Transverso
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
0.0006
0.0007
0.0008
0.0009
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.11: Disco Circular - eB0 = 4m
2
π,
t = 2.5fm - P. Transverso
Neste caso o efeito é apreciável, de forma que há clara diferença entre os dois casos.
52
5.2.2 Disco Circular - Campo de velocidades não nulo
Seguindo um argumento fenomenológico presente em f́ısica de ı́ons pesados, supusemos
que α ∝ z, sendo que ~u = sinhα ẑ e α2 é chamada de rapidez. Nesta seção, investigamos
o efeito de um campo de velocidades finito na condição inicial do fluido.
Para a condição Inicial 3, t = 0, obtivemos os gráficos 5.13 e 5.14 para a densidade de
energia, e o gráfico (5.12) para o perfil de velocidades. Os gráficos 5.15 e 5.17 são com
eB0 = 0 e os gráficos 5.16 e 5.18 são com eB0 = 4m
2
π. Em ambos os casos, t = 2.5 fm.
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
|~v
|
α0(z/z0)
Perfil da Velocidade
Figura 5.12: Perfil de Velocidades. z0 e α0 representam a meia largura longitudinal e a
rapidez máxima da condição inicial.
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.13: Disco Circular - t = 0.0 fm - P.
Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.14: Disco Circular - t = 0.0 fm - P.
Transverso
2α é definido satisfazendo coshα = γ, sendo γ o fator de Lorentz
3A normalização dos gráficos gráficos 5.7 e 5.14 não é a mesma, mas isto não é um problema, pois o
que queremos comparar é a diferença relativa entre os gráficos 5.7 e 5.10 com a diferença entre 5.14 e
5.10
53
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
2e-05
4e-05
6e-05
8e-05
0.0001
0.00012
0.00014
0.00016
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.15: Disco Circular - eB0 = 0, t =
2.5fm - P. Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
2e-05
4e-05
6e-05
8e-05
0.0001
0.00012
0.00014
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.16: Disco Circular - eB0 = 4 m
2
π,
t = 2.5fm
- P. Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
1e-05
2e-05
3e-05
4e-05
5e-05
6e-05
7e-05
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.17: Disco Circular - eB0 = 0, t =
2.5fm - P. Transverso
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
1e-05
2e-05
3e-05
4e-05
5e-05
6e-05
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.18: Disco Circular - eB0 = 4m
2
π,
t = 2.5fm - P. Transverso
O efeito esperado do campo magnético é essencialmente o mesmo do caso anterior, no
qual haveria um campo de velocidades nulo, que corresponde a uma rotação no sentido
anti-horário no plano de reação y = 0.0. O observador é menor que o presente nas figuras
5.16 e 5.9, correspondendo uma assimetria entre a parte superior direita e a parte inferior
esquerda da figura (5.16).
O motivo de ser menor a diferença entre o caso sem campo de velocidades (5.9 e
5.8) e o caso com campo de velocidades inicial (5.15 e 5.16) é que o campo magnético é
mais importante nos momentos iniciais da colisão, e o raio ćıclotron depende do fator de
Lorentz, sendo é senśıvel ao módulo da velocidade, e não só à sua componente transversa.
54
Nas figuras (5.15) e (5.16) percebem-se duas ”bolhas”quentes, avançadas na direção z,
se movendo em direções opostas, com a região central esfriando mais rápido do que essas
regiões exteriores. Isto contrasta com a figura 5.8, em que há uma região quente central,
o que é devido ao campo de velocidades presente em (5.15) mas ausente em (5.8).
Tanto no caso com campo de velocidade nulo (5.11) quanto no caso com campo develocidades (5.18), a distribuição de energia fica anisotrópica no plano transverso, mesmo
com a condição inicial sendo isotrópica, com o efeito em si dependendo do campo de
velocidades. A principal conclusão é que, se a hidrodinâmica na presença do campo
eletromagnética for utilizada para tentar compreender o efeito do campo eletromagnético,
é importante ter uma descrição também do campo de velocidades longitudinal.
5.3 C.I. Disco Oval
Em colisões não centrais, não há simetria ao redor do eixo de colisão, sendo formado
um sistema com forma eĺıptica. Simulamos, portanto, uma condição inicial de um disco
eĺıptico, seguindo a ilustração da figura (5.19). As figuras 5.20 a 5.23 se referem, respec-
tivamente, à condição inicial às densidades de carga elétrica e energia, no instante inicial.
Utilizamos um perfil de velocidades, longitudinal, igual ao de (5.12).
As figuras 5.24 e 5.26 correspondem ao sistema em t = 2.5 fm no caso de eB0 = 0 e
as figuras 5.25 e 5.27 se referem ao caso eB0 = 4m
2
π.
e1
e2
e1x
2 + e2y
2 ≤ R2
Figura 5.19: Diagrama da Condição Inicial - R = 3 fm. e1 = 2.0 e e2 = 1.0
55
-10 -5 0 5 10
x (fm)
-10
-5
0
5
10
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
n
c
(f
m
−
3
)
Figura 5.20: Densidade de carga de disco
oval Positivamente Carregado, em t = 0.0
-10 -5 0 5 10
x (fm)
-10
-5
0
5
10
y
(f
m
)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
n
c
(f
m
−
3
)
Figura 5.21: Densidade de carga de disco
oval Positivamente Carregado, em t = 0.0
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
1
2
3
4
5
6
7
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.22: Disco Oval - eB0 = 0 , t =
0.0 fm - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
1
2
3
4
5
6
7
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.23: Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t =
0.0 fm - P. Transverso
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.24: Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t =
2.5fm - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.25: Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π, t =
2.5fm - P. de Reação
56
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.26: Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t =
2.5fm - P. Transverso
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.27: Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t =
2.5fm - P. Transverso
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.28: Diferença entre 5.24 e 5.25
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
-0.0015
-0.001
-0.0005
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
0.003
0.0035
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.29: Diferença entre 5.26 e 5.27
O que observamos é uma diminuição do efeito do campo magnético comparando as
figuras 5.27 e 5.18, o que pode ser atribuido ao fato de termos uma condição inicial não-
circular, e, portanto, havendo gradientes de pressão competindo com o efeito do campo
magnético. Os gráficos 5.28 e 5.29 são as diferencas, em t = 2.5fm, dos casos sem campo
magnético e com campo magnético. Na figura (5.28), vemos que o efeito da presença do
campo magnético no plano de reação é da ordem de 7 %.
O gráfico 5.25 mostra que ocorre um giro, similar ao que se encontra em 5.16, mas em
menor escala. Isto é coerente com o que se espera do efeito da força de Lorentz, dado o
sentido da velocidade e do campo magnético. Esta rotação pode ser vista diretamente na
figura (5.25) ou através da subtração de (5.24) e (5.25) na figura (5.28).
57
Vemos o aparecimento de uma linha central na figura (5.29), mas como esta linha
corresponde a uma alteração de ≈ 2 %, e este valor diminui conforme se aumenta o
número de nodos de integração, acreditamos que seja apenas uma limitação da precisão
da nossa simulação atual.
Portanto, mesmo super estimando o valor da densidade de carga elétrica, vemos que
a competição com os gradientes de pressão em uma condição inicial assimétrica, pelo fato
de ser eĺıpitca e não circular no plano transverso, provocam uma diminuição do impacto
do campo eletromagnético na evolução temporal do sistema.
A segunda conclusão que pode ser tirada é que a competição com os gradientes de
pressão é um fator relevante. Como os gradientes de pressão se originam tanto da geome-
tria quanto da inomogeneidade da condição inicial, é necessário um modelo que leve em
conta tanto aspectos de dinâmica microscópica quanto os do campo eletromagnético, no
cálculo da condição inicial para hidrodinâmica.
Isto é especialmente verdade no LHC [16], onde se espera que o tempo de decaimento
do campo eletromagnético seja menor que 0.1 fm, e, portanto, seria relevante na definição
das condições iniciais dos modelos hidrodinâmicos, mas não tanto em sua evolução.
Dentro de um contexto de condições iniciais flutuantes, do tipo de Monte-Carlo Glau-
ber, o que esperamos do efeito do campo magnético esperado seria, qualitativamente, um
desvio do campo de velocidades inicial no plano de reação, mas sem expectativa de um
efeito relevante na densidade de energia inicial.
5.4 Exemplo de Evolução Temporal
Para ilustrar o tipo de resultado obtido, apresentaremos aqui um exemplo de evolução
temporal completa de um caso espećıfico, utilizando uma condição inicial igual à (5.22)
e (5.23), que corresponde aos parâmetros e1 = 2.0, e2 = 1.0 e R = 3 fm, e campo de
velocidades de (5.12).
Apresentaremos os casos com campo magnético nulo e com campo magnético ~B =
58
B0ŷe
−t/τ , continuamos mantendo eB0 = 4 m2π e τ = 1 fm; em ambos os casos, temos
densidade de carga uniformemente positiva proporcional à densidade de entropia.
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
1
2
3
4
5
6
7
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.30: Disco Oval - eB0 = 0 , t =
0.0 fm - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
1
2
3
4
5
6
7
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.31: Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π ,
t = 0.0 fm - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.32: Disco Oval - eB0 = 0 , t =
1.25 fm - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.33: Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π ,
t = 1.25 fm - P. de Reação
59
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.34: Disco Oval - eB0 = 0 , t =
2.5 fm - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.35: Disco Oval - eB0 = 4m
2
π , t =
2.5 fm - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.36: Disco Oval - eB0 = 0 , t =
3.75 fm - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.37: Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π ,
t = 3.75 fm - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.38: Disco Oval - eB0 = 0 , t =
5.0 fm - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.39: Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π ,
t = 5.0 fm - P. de Reação
60
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
1
2
3
4
5
6
7
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.40: Disco Oval - eB0 = 0 , t =
0.0 fm - P. Transversal
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
1
2
3
4
5
6
7
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.41: Disco Oval -eB0 = 4 m
2
π , t =
0.0fm - P. Transversal
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.42: Disco Oval - eB0 = 0 , t =
1.25 fm - P. Transversal
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.43: Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π ,
t = 1.25 fm - P. Transversal
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.44: Disco Oval - eB0 = 0 , t =
2.5 fm - P. Transversal
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.45: Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π ,
t = 2.5 fm - P. Transversal
61
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.46: Disco Oval - eB0 = 0 , t =
3.75 fm - P. Transversal
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.47: Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π ,
t = 3.75 fm - P. Transversal
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.48: Disco Oval - eB0 = 0 , t =
5.0 fm - P. Transversal
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.49: Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π ,
t = 5.0 fm - P. Transversal
Observamos que a maior parte do efeito do campo magnético é relacionado com al-
terações no plano de Reação (XZ). As alterações presentes num instante de tempo
bastante avançado, na figura (5.49) são limitações do número de nodos de integração
empregados, e desaparecem conforme cresce este número.
5.5 C.I. Disco Oval - Outras Elipticidades
Os cálculos da seção 5.3 foram feitas utilizando-se e1x
2 + e2y
2 <= R2, seguindo a
ilustração da figura (5.50), com R = 3 fm, uniforme em z, com e1 = 2.0 e e2 = 1.0. Para
estudar o efeito que o parâmetro de impacto da colisão, aqui posto de forma efetiva na
62
forma de e1/e2, fazemos os casos com e1 = 1.25, e1 = 1.5 e e1 = 1.75, mantendo e2 = 1
fixo.
e1
e2
e1x
2 + e2y
2 ≤ R2
Figura 5.50: Diagrama da Condição Inicial - R = 3 fm
Observamos um comportamento intermediário entre os casos de disco circular e de
disco oval, que é o esperado, já que estamos variando a elipticidade da condição incial,
os gráficos eram similares aos apresentados antes, e não trazem nenhuma conclusão nova
em si. Apesar dos gráficos não apresentarem nenhuma informação nova, estudar outras
elipticidades será interessante quando forem discutidos o coeficientes de anisotropia na
seção (5.8)
5.6 C.I. Disco Oval - Outras distribuições de Carga
A carga elétrica total é conservada e corresponde à carga dos nucleons incidentes. Ex-
perimentalmente, a maior parte dos núcleons, nas energias t́ıpicas do RHIC, não participa
diretamente do plasma formado, portanto a carga elétrica total, principalmente na região
central, é nula ou próxima de nula. O próximo aspecto que exploramos foi calcular o
efeito de uma distribuição uniforme de carga. Na nossa abordagem, cada elemento de
fluido teve uma “etiqueta”que indicasse o tipo de carga, positiva, negativa ou neutra, e o
cálculo da densidade de carga seria mantido.
63
5.6.1 C.I. Disco Oval - Densidade de Carga positivas e negativas
uniformemente distribuidas
Esta escolha foi feita de duas formas, a primeira delas sendo uma distribuição que
homogeiniza localmente a densidade de carga total, e a segunda foi sorteando-se quais
elementos de fluido teriam que tipo de carga. Nas seções anteriores, foram feitos cálculos
com distribuição uniforme de carga positiva, em que todo o sistema possuia densidade de
carga positiva. O que apresentaremos agora são cálculos em que a densidade de carga
total do sistema é nula, e, portanto, temos densidades de cargas positivas e negativas.
A densidade de energia da condição inical foi mantida igual ao da seção anterior, ou
seja, igual a (5.22) e (5.23), e mesmo perfil de velocidades, mas alterando-se a distribuição
de carga elétrica.
O resultado foi similar, mas não idêntico ao que obtivemos antes, já que as correntes
de sinais diferentes sofrem forças em sentidos contrários. Os resultados estão apresentados
nas figuras 5.54 a 5.58
-10 -5 0 5 10
x (fm)
-10
-5
0
5
10
z
(f
m
)
-0.0025
-0.002
-0.0015
-0.001
-0.0005
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
n
c
(f
m
−
3
)
Figura 5.51: Densidade de carga de disco
oval com distribuição uniforme de cargas po-
sitivas e negativas, em t = 0.0
-10 -5 0 5 10
x (fm)
-10
-5
0
5
10
y
(f
m
)
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
n
c
(f
m
−
3
)
Figura 5.52: Densidade de carga de disco
oval com distribuição uniforme de cargas po-
sitivas e negativas, em t = 0.0
64
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.53: Disco Oval - eB0 = 0, t =
2.5fm, distribuição uniforme de cargas posi-
tivas e negativas - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.54: Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π,
t = 2.5fm, distribuição uniforme de cargas
positivas e negativas - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.55: Disco Oval - eB0 = 0, t =
2.5fm, distribuição uniforme de cargas posi-
tivas e negativas - P. Transverso
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.56: Disco Oval - eB0 = 4m
2
π,
t = 2.5fm, distribuição uniforme de cargas
positivas e negativas - P. Transverso
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.57: Diferença entre 5.53 e 5.54
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
-0.003
-0.002
-0.001
0
0.001
0.002
0.003
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.58: Diferença entre 5.55 e 5.56
65
O que esperamos é que haja uma superposição dos 2 casos com carga elétrica de um
mesmo sinal uniformemente distribúıda, o que quer dizer que, apesar de não haver clara-
mente um sentido de rotação preferencial no plano de reação (XZ), haja uma mudança
no plano transverso (XY ) que corresponde ao efeito do campo eletromagnético, similar
ao que ocorre no caso com carga uniforme. Estes efeitos são menores do que os casos com
apenas cargas elétricas positivas, como visto nas figuras (5.57) e (5.58).
5.6.2 C.I. Disco Oval - Densidade de Carga positivas e negativas
aleatóriamente distribuidas
O caso seguinte foi com carga total nula, mas sorteando quais elementos de fluido teŕıam
qual tipo de carga elétrica. Abaixo, um exemplo correspondente a um sorteio espećıfico,
com condição inicial igual a (5.22) e (5.23), com flutuação de carga em (5.59) e (5.60).
Os gráficos 5.62 e 5.64 correspondem ao valor da densidade de energia em t = 2.5 fm.
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
n
c
(f
m
−
3
)
Figura 5.59: Densidade de carga de disco
oval com distribuição randômica de cargas
positivas e negativas, em t = 0.0
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
n
c
(f
m
−
3
)
Figura 5.60: Densidade de carga de disco
oval com distribuição randômica de cargas
positivas e negativas, em t = 0.0
66
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.61: Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π,
t = 2.5fm, distribuição aleatória de cargas
positivas e negativas - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
24
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.62: Disco Oval - eB0 = 4 m
2
π,
t = 2.5fm, distribuição aleatória de cargas
positivas e negativas - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.63: Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π,
t = 2.5fm, distribuição aleatória de cargas
positivas e negativas - P. Transverso
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.64: Disco Oval - eB0 = 4m
2
π,
t = 2.5fm, distribuição aleatória de cargas
positivas e negativas - P. Transverso
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.65: Diferença entre 5.61 e 5.62
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.66: Diferença entre 5.63 e 5.64
67
Similarmente ao que ocorre no caso de cargas positivas e negativas, espera-se que o
comportamento básico, da densidade de energia, seja uma superposição de 2 casos com
carga de mesmo tipo, com cada um girando em sentido oposto. Ademais, espera-se que
surja uma anisotropia adicional na densidade de energia durante a evolução temporal,
devido a uma distribuição inicial não-uniforme de carga, como pode ser visto na figura
5.60.
Esta anisotropia posterior na densidade de energia pode ser vista na figura 5.66, que
ocorre mesmo tendo sido escolhida uma densidade de energia homogênea como condição
inicial.
5.6.3 C.I. Disco Oval - Densidade de Cargas positivas e negati-
vas separadas horizontalmente
Em seguida estudamos a distribuição de cargas positivas e negativas, separadas hori-
zontalmente, como mostrado nas figuras 5.67 e 5.68. O que se espera é que, inicialmente,
a metade esquerda gire no sentido anti-horário e a metade direita gire no sentido horário
no plano de Reação, e que mais tarde a massa formada se expanda diferentemente no
sentido do eixo Z positivo do que ocorre no eixo Z negativo.
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
n
c
(f
m
−
3
)
Figura 5.67: Densidade de carga de disco
oval, dist. de cargas pos. e neg. separadas
horizontalmente, em t = 0.0
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
n
c
(f
m
−
3
)
Figura 5.68: Densidade de carga de disco
oval, dist. de cargas pos. e neg. separadas
horizontalmente, em t = 0.0
68
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.69: Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π,
t = 2.5fm, ddist. de cargas pos. e neg.
separadas horizontalmente - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.70: Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t =
2.5fm, dist. de cargas pos. e neg. separadas
horizontalmente - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.71: Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t =
2.5fm, dist. de cargas pos. e neg. separadas
horizontalmente - P. Transverso
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.72: Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t =
2.5fm, dist. de cargas pos. e neg. separadas
horizontalmente - P. Transverso
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
1e-05
2e-05
3e-05
4e-05
5e-05
6e-05
7e-05
8e-05
9e-05
0.0001
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.73: Corte da figura (5.69), no P.
Transverso em z = −2.1 fm
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
5e-05
0.0001
0.00015
0.0002
0.00025
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.74: Corte da figura (5.69), no P.
Transverso em z = 2.1 fm
69
Este comportamento, que apresenta uma evolução diferente para os eixos Z positivo e
Z negativo, é de fato observado na figura 5.70, como esperado para esta condição inicial.
O efeito no plano transverso, que é menos marcante que no plano de reação, está mostrado
na figura 5.72.
5.6.4 C.I. Disco Oval - Densidade de Carga positivas e negativas
separadas verticalmente
O último caso que analisamos com diferentes distribuições de carga elétrica na condição
inicial foi o caso com separação vertical de carga elétrica, como mostrado nas figuras 5.75
e 5.76. O comportamento esperado é que haja uma rotação diferente para cargas positivas
e negativas no plano de reação, mas sem que haja uma compressão na região superior do
plano de reação.
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
n
c
(f
m
−
3
)
Figura 5.75: Densidade de carga de disco
oval com dist. de cargas pos. e neg. sepa-
radas verticalmente, em t = 0.0
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
n
c
(f
m
−
3
)
Figura 5.76: Densidade de carga de disco
oval com dist. de cargas pos. e neg. sepa-
radas verticalmente, em t = 0.0
70
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.77: Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t =
0.0 fm, dist. de cargas pos. e neg. separadas
verticalmente - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.78: Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t =
0.0 fm, dist. de cargas pos. e neg. separadas
verticalmente - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.79: Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t =
0.0 fm, dist. de cargas pos. e neg. separadas
verticalmente - P. Transverso
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.80: Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t =
0.0 fm, dist. de cargas pos. e neg. separadas
verticalmente - P. Transverso
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
2e-05
4e-05
6e-05
8e-05
0.0001
0.00012
0.00014
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.81: Corte da figura (5.79), no P.
Transverso em y = −1.7 fm
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
2e-05
4e-05
6e-05
8e-05
0.0001
0.00012
0.00014
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.82: Corte da figura (5.79), no P.
Transverso em y = 1.7 fm
71
O resultado é bem similar ao que se vê no caso de densidade uniforme de cargas
positivas e negativas. O fato de não haver uma compressão devido ao encontro de duas
seções do fluido, como ocorre quando a separação é horizontal, faz com que este caso
apresente pouca diferença em relação ao caso em que só se tem densidade uniformemente
positiva. Vemos nas figuras (5.81) e (5.82) que o efeito é o de rotacionar, separadamente,
os hemisférios superior e inferior do sistema, de forma independente.
5.7 C.I. Oval - Cálculo alternativo da densidade de
carga
Os resultados acima foram obtidos utilizando-se um cálculo direto da densidade de
carga, no qual o cálculo em uma dada célula de fluido é feito como sendo proporcional
à densidade de entropia local do sistema. Isto, de certa forma, reflete uma imagem em
que se permite uma movimentação de correntes fora-de-equiĺıbrio, no sentido de que a
densidade de carga não reflete uma média com relação à vizinhança local dessa célula.
O próximo passo foi refazermos os cálculos acima, realizando uma média com relação
às células próximas, e, portanto, refletindo uma visão mais próxima de um sistema em
equiĺıbrio termodinâmico local. O esperado é que, nos casos em que se tem uma dis-
tribuição quase uniforme de cargas positivas e negativas, exista um desaparecimento do
efeito da força de Lorentz, pois a densidade de carga que é vista por um dado elemento
de fluido é uma média com relação aos elementos de fluidoem volta, sendo, portanto,
próxima de zero no caso em que existe uma superposição grande de elementos com cargas
de sinais diferentes.
Em contrapartida à diminuição do efeito esperado, no caso de superposição de cargas
de sinais diferentes, esperamos uma amplificação do efeito do campo magnético no caso em
que existe uma grande superposição de cargas com o mesmo sinal, como os casos apenas
com densidade de carga positiva, ou os casos com separação horizontal ou vertical.
72
Tanto a diminuição do impacto do campo magnético, no caso de superposição de
cargas positivas e negativas, quanto a ampliação, no caso de superposição de cargas do
mesmo sinal, são observadas nos nossos cálculos. Como os casos com distribuição próxima
de uniforme nos casos com densidade de cargas positivas e negativas ficam com o efeito
quase nulo, não mostraremos aqui o resultado, pois fica próximo do caso em que não
há campo magnético. Portanto, prosseguiremos mostrando 2 exemplos em que ocorreu
amplificação: Uniformemente Positiva, e com Separação Horizontal.
5.7.1 Densidade Uniformemente Positiva
Espera-se um aumento do efeito do campo magnético, visto comparando 5.27 e 5.88
-10 -5 0 5 10
x (fm)
-10
-5
0
5
10
z
(f
m
)
0
1
2
3
4
5
6
n
c
(f
m
−
3
)
Figura 5.83: Disco Oval uniformemente po-
sitivo, em t = 0.0
-10 -5 0 5 10
x (fm)
-10
-5
0
5
10
y
(f
m
)
0
1
2
3
4
5
6
n
c
(f
m
−
3
)
Figura 5.84: Disco Oval uniformemente po-
sitivo, em t = 0.0
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.85: Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π,
t = 0.0 fm, uniformemente positivo - P. de
Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.86: Disco Oval - eB0 = 4m
2
π,
t = 0.0 fm, uniformemente positivo - P. de
Reação
73
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.87: Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π, t =
0.0fm, uniformemente positivo - P. Trans-
verso
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.88: Disco Oval - eB0 = 4m
2
π, t =
0.0fm, uniformemente positivo - P. Trans-
verso
Como esperado, o efeito é similar ao obtido com o cálculo anterior da densidade de
carga; no entanto, o efeito é mais pronunciado para os casos em que se tem sobreposição
de cargas do mesmo sinal.
5.7.2 Separação Horizontal de Cargas Positivas e Negativas
Como havia sido comentado anteriormente, espera-se um aumento do efeito do efeito
do campo magnético, o que pode ser visto comparando 5.72 e 5.94
-10 -5 0 5 10
x (fm)
-10
-5
0
5
10
z
(f
m
)
-6
-4
-2
0
2
4
6
n
c
(f
m
−
3
)
Figura 5.89: Densidade de Carga: Disco
Oval com cargas positivas e negativas sepa-
radas horizontalmente, em t = 0.0 - P. de
Reação
-10 -5 0 5 10
x (fm)
-10
-5
0
5
10
y
(f
m
)
-6
-4
-2
0
2
4
6
n
c
(f
m
−
3
)
Figura 5.90: Densidade de Carga: Disco
Oval com cargas positivas e negativas se-
paradas horizontalmente, em t = 0.0 - P.
Transverso
74
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.91: Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π,
t = 0.0 fm, distribuição uniforme de cargas
positivas - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
z
(f
m
)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.92: Disco Oval - eB0 = 4m
2
π,
t = 0.0 fm, distribuição uniforme de cargas
positivas - P. de Reação
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.93: Disco Oval - eB0 = 0 m
2
π,
t = 0.0fm, distribuição uniforme de cargas
positivas - P. Transverso
-4 -2 0 2 4
x (fm)
-4
-2
0
2
4
y
(f
m
)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
ε
(G
eV
/f
m
3
)
Figura 5.94: Disco Oval - eB0 = 4m
2
π,
t = 0.0fm, distribuição uniforme de cargas
positivas - P. Transverso
Novamente, observa-se um efeito mais pronunciado pelo fato de haver sobreposição de
cargas de mesmo sinal. Isto é coerente com os resultados das seções anteriores, e com o
esperado da segunda forma do cálculo a densidade de carga, como sendo uma média local.
75
5.8 Distribuição Angular no Plano Transverso
Como comentado na Introdução, os observáveis experimentais não são densidades de
energia presentes na colisão, mas a distribuição de part́ıculas. A conexão dos cálculos de
hidrodinâmica é feita utilizando-se a prescrição de Copper-Frye, descrita no caṕıtulo 4.
A prescrição que utilizamos aqui foi fazer o Freeze-Out em tempo constante, escolhendo
tfo = 5 fm, que é um valor razoável e próximo do usado em [18]. Nosso código foi
escrito em coordenadas cartesianas, e não em cordenadas {τ, ~rT , η} [32], como ainda não
completamos o código de freeze-out, esta foi a escolha mais simples de implementar.
Os valores das tabelas correspondem à escolha de ṕıons, portantom = mπ = 0.139GeV
em (4.6), g = 3 para o fator de degenerescência em (4.5), e a integração na expressão (5.1)
é feita em pT ∈ [0, 5 GeV] e y ∈ [−0.5, 0.5].
dN
dφ
=
∫ 5GeV
0
pTdpT
∫ 0.5
−0.5
dy
d3N
pTdpTdydφ
=
N0
2π
[
1 +
∞∑
n=1
2vn cos(n(φ− ψRP ))
]
(5.1)
O primeiro passo de nossa análise corresponde aos primeiros grupos de gráficos, que
são os com densidade uniforme e positiva de carga elétrica, mas variando a geometria
da condição inicial, uma vez que temos, como condição inicial, um disco de densidade
uniforme de energia na região zmin ≤ z ≤ zmax, com e1x2 + e2y2 <= R2, utilizamos o e1
para variar a forma da geometria inicial. Os valores que escolhemos para este trabalho
foram zmax = −zmin = 0.25 fm e R = 3 fm. Em todos os casos dessa seção, temos campo
de velocidades não-nulo, com a rapidez satisfazendo α ∝ z.
76
Caso eB0
m2π
v1 v2 v3 v4 v5
1 e1 = 1.0 0 0.000 0.000 0.001 0.000 0.000
2 e1 = 1.0 4 0.000 0.317 0.001 0.061 0.000
3 e1 = 1.25 0 0.000 0.100 0.000 0.008 0.000
4 e1 = 1.25 4 0.000 0.374 0.000 0.093 0.000
5 e1 = 1.50 0 0.000 0.185 0.001 0.023 0.000
6 e1 = 1.50 4 0.000 0.424 0.000 0.123 0.000
7 e1 = 1.75 0 0.000 0.255 0.002 0.046 0.001
8 e1 = 1.75 4 0.000 0.466 0.001 0.154 0.001
9 e1 = 2.0 0 0.000 0.316 0.001 0.070 0.002
10 e1 = 2.0 4 0.000 0.503 0.000 0.183 0.001
Tabela 5.1: Tabela de vn usando o cálculo direto da densidade de carga elétrica, com
densidades uniformes de carga positiva, para diferentes elipticidades. O caso circular
corresponde a e1 = 1.0, e o caso e1 = 2.0 corresponde ao primeiro exemplo de condição
inicial oval mencionado no texto
Os dados da 2a coluna corroboram a nossa visão de que o campo magnético aumenta a
elipticidade, aumentando a anisotropia da distribuição de momentos de part́ıculas finais.
Observando a segunda coluna, vê-se que os valores correspondentes de v2 são sempre
maiores quando há campo magnético, mostrando que a presença de campos magnéticos
contrubui para criar anisotropia, somando-se ao à contribuição vinda da geometria inicial.
A diferença entre os v2 com e sem campo magnético diminui com o aumento de e1,
o que interpretamos como sendo uma diminuição da importância do campo magnético
à proporção que aumenta a contrbuição da geometria inicial. Essa diminuição da im-
portância do campo magnético viria, principalmente, da competição com gradientes de
pressão, que se tornariam mais relevantes conforme se aumenta e1.
O valor esperado para vn usando condição inicial circular, sem campo magnético é
vn = 0. No caso que estamos mostrando, não é exatamente zero devido a erros numéricos,
que são, pelo menos, da ordem associada ao erro de integração angular. Como utilizamos
método dos trapézios, o erro associado é da ordem de (∆θ)2 ≈ (2π90
)2 ≈ 4.5 × 10−3,
mostrando que os valores de vn, para o caso mencionado, são compat́ıveis com 0.
77
O próximo ponto da nossa análise foi manter uma geometria fixa, no caso o corres-
pondente a uma geometria eĺıptica com e1 = 2.0. Mantendo a geometria, alteramos a
maneira que distribuimos as cargas elétricas, que correspondem a 5 casos: Densidade
Uniforme de Carga Positiva, Superposição Uniforme de Cargas Positivas e Negativas, Su-
perposição Randômica de Cargas Pos. e Neg., Separação Horizontal de Cargas Pos. e
Neg. e Separação Vertical de Cargas Pos. e Neg.. Os resultados estão reunidos na tabela
5.2.
Caso eB0
m2π
v1 v2 v3 v4 v5
1 Unif. positiva 0 0.000 0.315 0.001 0.070 0.002
2 Unif. positiva 4 0.000 0.503 0.000 0.183 0.001
3 Unif. positiva e nega-
tiva
4 0.002 0.417 0.004 0.141 0.004
4 Rand. positiva e nega-
tiva
4 0.008 0.412 0.007 0.135 0.003
5 Pos. e neg. Sep. hori-
zontalmente
4 0.002 0.380 0.001 0.163 0.001
6 Pos. e neg. Sep. ver-
ticalmente
4 0.006 0.494 0.004 0.179 0.002
Tabela 5.2: Tabela de vn dos Cálculos com Diferentes Distribuições de Carga Elétrica.
Todos os casos tem como condição inicial o caso oval com e1 = 2.0.
Podemos observar a dependência em relação f̀orma em que se distribui a densidade
de carga elétrica no valor de v2; no entanto, esta dependência é menos intensa entre os
casos das linhas 3 e 4 da tabela (5.2), que tem grande sobreposição de cargas positivas e
negativas. Existe, também, um aumento em v4, que é senśıvel à distribuição de carga, já
que há casos em que v2 diminui enquanto v4 aumenta.
Essa dependência diferente para v2 e v4 pode ser interessante como forma de sondar a
estrutura da condição inicial a partir dos dados experimentais.
Prosseguimos com o cálculo da mesma geometria, e para os mesmos casos de distri-
buição de carga elétrica, mas trocando-se a maneira com que é calculada a densidade de
carga elétrica no código numérico, seguindo o método utilizado na seção (5.7). O que
78
se espera é um aumento do efeito do campo magnético, no caso em que temos concen-
tração de cargas da mesma espécie, e diminuição, no caso onde há superposição de cargas
positivas e negativas. Os resultados estão compilados na tabela 5.3.
Caso eB0
m2π
v1 v2 v3 v4 v5
1 Unif. positiva 0 0.000 0.315 0.001 0.070 0.002
2 Unif. positiva 4 0.000 0.578 0.000 0.247 0.001
3 Unif. positiva e negativa 4 0.001 0.315 0.001 0.007 0.001
4 Rand. positiva e negativa 4 0.000 0.312 0.000 0.069 0.000
5 Pos. e neg. Sep horizontal-
mente
4 0.000 0.330 0.000 0.187 0.001
6 Pos. e neg. Sep. vertical-
mente
4 0.003 0.546 0.002 0.222 0.002
Tabela 5.3: Tabela de vn dos cálculos com diferentes distribuições de carga elétrica, uti-
lizando o cálculo da densidade de carga como uma média local da densidade de carga.
Todos os casos tem como condição inicial o caso oval com e1 = 2.0
Os resultados são compat́ıveis com o esperado, especialmente nos da linha 2 e linha
3 da tabela . Esses resultados, junto com os resultados presentes na tabela (5.3). Isto
mostra que existe uma ambiguidade presente nos nossos cálculos da densidade de carga,
a qual possui um impacto relevante no cálculo de observáveis, sendo, portanto, necessário
eliminá-la para chegarmos a uma conclusão.
79
Caṕıtulo 6
Conclusões e Perspectivas
6.1 Conclusões
Como mencionamos na introdução, o objetivo principal dessa Dissertação é investigar
o efeito do campo eletromagnético nos processos de colisões de ı́ons pesados. Para estudar
o real efeito do campo eletromagnético nesses processos, é fundamental compreender a
formação do estado inicial do sistema hidrodinâmico, pois o campo eletromagético é mais
intenso nessa fase. Este tipo de processo pode ser analisado em termos da equação de
Vlasov, como foi desenvolvido nessa Dissertação para a dinâmica da colisão de núcleos.
Por outro lado, o processo fora de equiĺıbrio de muitas part́ıculas é extremamente
complicado, mesmo de um ponto de vista numérico, o que extrapola o escopo desta
Dissertação. Para este fim, desenvolvemos um código de hidrodinâmica relativ́ıstica ideal
com presença de campo eletromagnético externo, o qual é um dos principais resultados
deste trabalho. Tanto o tratamento do cálculo de cargas elétricas, como o tratamento do
campo eletromagnético foram feitos de forma simplificada.
• O código desenvolvido foi testado, e verificamos o setor hidrodinâmico utilizando
uma solução unidimensional (modelo de Landau). Utilizamos uma part́ıcla num
campo magnético constante para checar o setor da força de Lorentz.
Utilizando este código, estudamos o desenvolvimento temporal do material criado
na colisão, supondo várias formas de condição inicial, tanto na sua geometria, na
80
distribuição do campo de velocidades inicial, e também diferentes formas de calcular
a carga elétrica dentro do formalismo SPH, o qual reflete, não apenas o efeito do
campo eletromagnétrico, mas também o grau de termalização das part́ıculas carre-
gadas. A seguir, resumimos os principais resultados obtidos neste trabalho.
• Para ressaltar o efeito, utilizamos um valor super estimado da densidade de
carga elétrica, possivelmente por mais do que uma ordem de grandeza. Estudamos
diversas distribuições de carga elétrica e diferentes formas de se fazer o cálculo da
força de Lorentz.
• Usando condições iniciais suaves, na forma de discos com densidade de energia
homogênea, mas com diferentes distribuições de carga elétrica e velocidades iniciais,
procuramos estudar de forma sistemática a diferença dos casos com e sem presença
do campo magnético na evolução temporal do sistema.
Observamos uma mudança no campo de velocidades, devido à força de Lorentz, a
qual curva a trajetória das part́ıculas, no plano perpendicular ao campo magnético.
Esta alteração ocorre de forma diferente para cargas de sinal oposto, e, portanto, a
alteração depende do tipo sinal da densidade de carga presente.
Esta mudança na velocidade leva a uma alteração na densidade de energia, e desta
forma altera a emissão de part́ıculas finais. Esta rotação introduz uma componente
transversal adicional com relação ao eixo da colisão, portanto espera-se um aumento
na anisotropia adicional na distribuição de part́ıculas finais.
Além disto, esta alteração depende fortemente do campo de velocidades inicial,
o que indica que é necessária uma descrição do campo de velocidades inicial, assim
como da densidade de carga e energia do sistema.
• Utilizando a análise usualmente feita, via prescrição de Cooper-Frye, as principais
mudanças observadas são no 2o e 4o coeficientes de Fourier, correspondendo a v2 e
81
v4. As comparações sendo sempre da mesma condição inicial, com e sem presença
de campo magnético.
– No caso de v2, observa-se sempre um aumento do caso com campo magnético
com relação ao caso sem campo magnético. Interpretamos como devido ao
efeito do campo magnético, o qual curva as trajetórias dos elementos de fluido,
aumentando assim a anisotropia da distribuição de momentos finais.
Esta mudança foi da ordem de 40% a 60% do valor inicial de v2 (novamente
lembrando que utilizamos um valor bastante super-estimado para a densidade
de carga elétrica).
Nos casos uniformemente positivo, e no caso de separação vertical, observa-
se um aumento de v2 com relação aos demais casos. Isto não altera demais
as nossas conclusões, isto porque os casos de maior interesse são os com maior
superposição de cargas positivas e negativas.
– Observa-se também um aumento de v4, mas este aumento depende da ma-
neira com que está sendo distribúıda a densidade de carga elétrica na condição
incial do sistema, sendo este aumento da ordem de 2× a 3× o valor na ausência
do campo magnético.
Espera-se que estes efeitos decresçam por um fator de 101 a 102, quando forem
postosvalores realistas de densidade de carga elétrica, para a condição inicial do
sistema, portanto, diminuindo para 0.4% a 6%.
Esta estimativa é feita baseando-se no fato que o campo eletromagnético é calcu-
lado como sendo externo, e, portanto, a força de Lorentz é linear na carga elétrica.
Com isto, esperamos que o efeito final escale linearmente, ou abaixo, caso a força
de Lorentz não seja mais dominante sobre a pressão.
• Alterando a forma de calcular a densidade de carga (vide sec. (5.7)), notamos
82
diferenças quantitativas no impacto do campo magnético, mas o efeito qualitativo
continua essencialmente o mesmo.
As diferenças quantitativas se refletem em um aumento, quando há superposição
de cargas de mesmo sinal, enquanto ocorre uma diminuição do efeito quando existe
superposição de cargas com sinais contrários. Isto reflete uma visão mais próxima de
densidade de carga do fluido como sendo uma propriedade não das suas part́ıculas
constiuintes, mas como uma propriedade média dos elementos de fluido que estão
em equiĺıbrio termodinâmico local.
Observamos também uma diferença nos resultados de v2, com relação ao cálculo
feito anteriormente, para as diferentes distribuições de carga. Isto quer dizer que
existe uma ambigüidade na forma de definir carga elétrica, nos nossos cálculos, e
isto é um dos problemas a serem resolvidos.
Numa visão geral, observamos que é posśıvel introduzir efeitos provenientes de campos
eletromagnéticos externos em um modelo de Hidrodinâmica Relativ́ıstica Ideal. Esses fei-
tos aparecem em observáveis finais, utilizando valores sobreestimados para as densidades
de carga elétrica e campos eletromagnéticos.
Com as presentes estimativas de campos magnéticos para o LHC e RHIC, tanto em
magnitude quanto em duração, não esperamos que eles afetem diretamente a evolução
temporal do sistema, pois a duração em que o campo magnético mantém-se suficiente-
mente intenso é, t́ıpicamente, insuficiente para causar um efeito apreciável. No entanto,
havendo algum mecanismo para estender a duração dos campos magnéticos, podeŕıamos
mudar esta visão.
Mesmo não havendo um grande efeito direto na evolução temporal, podeŕıamos es-
perar encontrar efeitos do campo magnético viśıveis como uma alteração do campo de
velocidades na condição inicial, portanto próprio para ser investigado por modelos mi-
croscópicos. Outra possibilidade seria obtermos avanços em medições experimentais, que
83
permitiriam sondar pequenos desvios, abaixo de 1 %, nos dados experimentais, como foi
feito, por exemplo, em Abelev et. al.2009[15].
6.2 Perspectivas
Dados os resultados obtidos nessa Dissertação, e as conclusões acima apresentadas, os
principais perspectivas de mudança visando a melhorar e refinar os resultados do trabalho
são:
• Melhorar o cálculo da densidade de carga, o que envolve não só uma redefinição
da forma de cálculo, mas também uma melhor escolha da equação de estado, assim
como o uso de valores mais realistas para a densidade de carga elétrica.
• Introduzir correntes fora do equiĺıbrio, criando a possibilidade de corrente de carga
migrar de forma diferente da velocidade do fluido, assim como introduzir viscosidade
no sistema.
• Melhorar a estimativa da condição inicial, utilizando condições iniciais flutuantes,
permitindo assim uma análise evento-a-evento do sistema, que foi mostrada relevante
como discutido em [33] e em [34]. Isto requer a criação ou uso de algum gerador
de condições iniciais que envolva ou Monte-Carlo ou algum modelo de dinâmica
microscópica.
• Calcular outros observáveis experimentais, como v2 de part́ıculas positivas e nega-
tivas separadamente.
84
Bibliografia
[1] C.M.G. Lattes et al. “Processes Involving Charged Mesons”. Nature 159 (1947),
pp. 694–7. doi: 10.1038/159694a0.
[2] Kent W. Staley. “Lost Origins of the Third Generation of Quarks: Theory, Philo-
sophy, and Experiment”. English. Physics in Perspective 3.2 (2001), pp. 210–229.
doi: 10.1007/PL00000530.
[3] O. W. Greenberg. “Spin and Unitary-Spin Independence in a Paraquark Model of
Baryons and Mesons”. Phys. Rev. Lett. 13 (20 1964), pp. 598–602. doi: 10.1103/
PhysRevLett.13.598.
[4] M.Y. Han e Y. Nambu. “Three-Triplet Model with Double SU(3) Symmetry”. Phys.
Rev. 139 (1965), B1006–B1010.
[5] J.D. Bjorken. “Asymptotic Sum Rules at Infinite Momentum”. Phys. Rev. 179
(1969), p. 1547.
[6] Ahmed Ali e Gustav Kramer. “Jets and QCD: A Historical Review of the Discovery
of the Quark and Gluon Jets and its Impact on QCD”. Eur.Phys.J. H36 (2011),
pp. 245–326. doi: 10.1140/epjh/e2011-10047-1. arXiv: 1012.2288 [hep-ph].
[7] Chen-Ning Yang e Robert L. Mills. “Conservation of Isotopic Spin and Isotopic
Gauge Invariance”. Phys.Rev. 96 (1954), pp. 191–195. doi: 10.1103/PhysRev.96.
191.
[8] Edward V. Shuryak. “Quark-Gluon Plasma and Hadronic Production of Leptons,
Photons and Psions”. Phys.Lett. B78 (1978), p. 150. doi: 10.1016/0370-2693(78)
90370-2.
[9] Lokesh Kumar. “STAR Results from the RHIC Beam Energy Scan-I”. Nucl.Phys.
A904-905.issue (2013), pp. 256c–263c. doi: 10.1016/j.nuclphysa.2013.01.070.
arXiv: 1211.1350 [nucl-ex].
[10] Raimond Snellings. “Elliptic flow: a brief review”. New Journal of Physics 13.5
(2011), p. 055008.
[11] Hannah Petersen e Marcus Bleicher. “Ideal hydrodynamics and elliptic flow at SPS
energies: Importance of the initial conditions”. Phys.Rev. C79 (2009), p. 054904.
doi: 10.1103/PhysRevC.79.054904. arXiv: 0901.3821 [nucl-th].
http://dx.doi.org/10.1038/159694a0
http://dx.doi.org/10.1007/PL00000530
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.13.598
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.13.598
http://dx.doi.org/10.1140/epjh/e2011-10047-1
http://arxiv.org/abs/1012.2288
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.96.191
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.96.191
http://dx.doi.org/10.1016/0370-2693(78)90370-2
http://dx.doi.org/10.1016/0370-2693(78)90370-2
http://dx.doi.org/10.1016/j.nuclphysa.2013.01.070
http://arxiv.org/abs/1211.1350
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevC.79.054904
http://arxiv.org/abs/0901.3821
85
[12] John Adams et al. “Experimental and theoretical challenges in the search for the
quark gluon plasma: The STAR Collaboration’s critical assessment of the evidence
from RHIC collisions”. Nucl.Phys. A757 (2005), pp. 102–183. doi: 10.1016/j.
nuclphysa.2005.03.085. arXiv: nucl-ex/0501009 [nucl-ex].
[13] K Aamodt et al. “Elliptic flow of charged particles in Pb-Pb collisions at 2.76 TeV”.
Phys.Rev.Lett. 105 (2010), p. 252302. doi: 10.1103/PhysRevLett.105.252302.
arXiv: 1011.3914 [nucl-ex].
[14] http://physics.aps.org/articles/v2/104.
[15] B.I. Abelev et al. “Observation of charge-dependent azimuthal correlations and
possible local strong parity violation in heavy ion collisions”. Phys.Rev. C81 (2010),
p. 054908. doi: 10.1103/PhysRevC.81.054908. arXiv: 0909.1717 [nucl-ex].
[16] V. Skokov, A. Yu. Illarionov e V. Toneev. “Estimate of the magnetic field strength
in heavy-ion collisions”. Int.J.Mod.Phys. A24 (2009), pp. 5925–5932. doi: 10.1142/
S0217751X09047570. arXiv: 0907.1396 [nucl-th].
[17] V. Voronyuk et al. “(Electro-)Magnetic field evolution in relativistic heavy-ion col-
lisions”. Phys.Rev. C83 (2011), p. 054911. doi: 10.1103/PhysRevC.83.054911.
arXiv: 1103.4239 [nucl-th].
[18] Masaru Hongo, Yuji Hirono e Tetsufumi Hirano. “First Numerical Simulations of
Anomalous Hydrodynamics” (2013). arXiv: 1309.2823 [nucl-th].
[19] Yi Gu. “PHENIX Measurements of Higher-order Flow Harmonics for Identified
Charged Hadrons in Au+Au collisions at
√
sNN = 39 − 200 GeV”. Nucl.Phys.
A904-905 (2013), pp. 353c–356c. doi: 10.1016/j.nuclphysa.2013.02.022. arXiv:
1211.4009 [nucl-ex].
[20] Bjoern Schenke, Prithwish Tribedy e Raju Venugopalan. “Fluctuating Glasma ini-
tial conditions and flow in heavy ion collisions”. Phys.Rev.Lett. 108 (2012), p. 252301.
doi: 10.1103/PhysRevLett.108.252301. arXiv: 1202.6646 [nucl-th].
[21] Hans-Thomas Elze et al. “VariationalPrinciple for Relativistic Fluid Dynamics”.
J.Phys. G25 (1999), pp. 1935–1957. doi: 10.1088/0954-3899/25/9/312. arXiv:
hep-ph/9910208 [hep-ph].
[22] Gilberto Kremer. Uma Introdução à equação de Boltzmann. Ed. por Editora da
Universidade de São Paulo. 2005.
[23] Ch. G. van Weert S.R. de Groot W.A. van Leeuwen. Relativistic Kinectic Theory.
1980.
[24] Fred Cooper e Graham Frye. “Single-particle distribution in the hydrodynamic and
statistical thermodynamic models of multiparticle production”. Phys. Rev. D 10 (1
1974), pp. 186–189. doi: 10.1103/PhysRevD.10.186.
[25] Jacquelyn Noronha-Hostler et al. “Bulk Viscosity Effects in Event-by-Event Relati-
vistic Hydrodynamics”. Phys.Rev. C88 (2013), p. 044916. doi: 10.1103/PhysRevC.
88.044916. arXiv: 1305.1981 [nucl-th].
http://dx.doi.org/10.1016/j.nuclphysa.2005.03.085
http://dx.doi.org/10.1016/j.nuclphysa.2005.03.085
http://arxiv.org/abs/nucl-ex/0501009
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.105.252302
http://arxiv.org/abs/1011.3914
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevC.81.054908
http://arxiv.org/abs/0909.1717
http://dx.doi.org/10.1142/S0217751X09047570
http://dx.doi.org/10.1142/S0217751X09047570
http://arxiv.org/abs/0907.1396
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevC.83.054911
http://arxiv.org/abs/1103.4239
http://arxiv.org/abs/1309.2823
http://dx.doi.org/10.1016/j.nuclphysa.2013.02.022
http://arxiv.org/abs/1211.4009
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.108.252301
http://arxiv.org/abs/1202.6646
http://dx.doi.org/10.1088/0954-3899/25/9/312
http://arxiv.org/abs/hep-ph/9910208
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevD.10.186
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevC.88.044916
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevC.88.044916
http://arxiv.org/abs/1305.1981
86
[26] H.T. Elze et al. “New states of matter in hadronic interactions. Proceedings, Pan-
American Advanced Study Institute, PASI 2002, Campos do Jordao, Sao Paulo,
Brazil, January 7-18, 2002” (2002). Ed. por H.T. Elze.
[27] Wolciech Florkowski. Phenomenology of Ultra-Relativistic Heavy-Ion Collisions. 2010.
[28] B. M. Tavares e T. Kodama. “Estudo Hidrodinâmico das Colisões Ultra-Relativ́ısticas
de Íons pesados”. Tese de Doutorado. Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2006.
[29] Pasi Huovinen e Pter Petreczky. “QCD Equation of State and Hadron Resonance
Gas”. Nucl.Phys. A837 (2010), pp. 26–53. doi: 10.1016/j.nuclphysa.2010.02.
015. arXiv: 0912.2541 [hep-ph].
[30] R. A. Gingold e J. J. Monaghan. “Smoothed particle hydrodynamics: Theory and
application to non-spherical stars”. Mon.Not.Roy.Astron.Soc. 181 (1977), p. 375.
[31] C.E. Aguiar et al. “Smoothed particle hydrodynamics for relativistic heavy ion
collisions”. J.Phys. G27 (2001), pp. 75–94. doi: 10.1088/0954-3899/27/1/306.
arXiv: hep-ph/0006239 [hep-ph].
[32] Yogiro Hama, T. Kodama e Jr. Socolowski O. “Topics on hydrodynamic model
of nucleus-nucleus collisions”. Braz.J.Phys. 35 (2005), pp. 24–51. doi: 10.1590/
S0103-97332005000100003. arXiv: hep-ph/0407264 [hep-ph].
[33] T. Osada et al. “Event by event analysis of ultrarelativistic heavy ion collisions in
smoothed particle hydrodynamics” (2001). arXiv: nucl-th/0102011 [nucl-th].
[34] Zhi Qiu e Ulrich W. Heinz. “Event-by-event shape and flow fluctuations of relativis-
tic heavy-ion collision fireballs”. Phys.Rev. C84 (2011), p. 024911. doi: 10.1103/
PhysRevC.84.024911. arXiv: 1104.0650 [nucl-th].
[35] Y. Nambu. “A Systematics of Hadrons in Subnuclear Physics” ().
[36] M. Y. Han e Y. Nambu. “Three-Triplet Model with Double SU(3) Symmetry”.
Phys. Rev. 139 (4B 1965), B1006–B1010. doi: 10.1103/PhysRev.139.B1006.
[37] M. Gell-Mann. “A schematic model of baryons and mesons”. Physics Letters 8.3
(1964), pp. 214 –215. doi: http://dx.doi.org/10.1016/S0031-9163(64)92001-
3.
[38] Hongwei Ke. “Charge asymmetry dependency of π+/π− elliptic flow in Au + Au
collisions at
√
sNN = 200 GeV”. J.Phys.Conf.Ser. 389 (2012), p. 012035. doi: 10.
1088/1742-6596/389/1/012035. arXiv: 1211.3216 [nucl-ex].
[39] Ulrich W. Heinz e Huichao Song. “Causal relativistic hydrodynamics for viscous
fluids”. J.Phys. G35 (2008), p. 104126. doi: 10.1088/0954-3899/35/10/104126.
arXiv: 0806.0352 [nucl-th].
[40] Ulrich W. Heinz. “Early collective expansion: Relativistic hydrodynamics and the
transport properties of QCD matter” (2009). arXiv: 0901.4355 [nucl-th].
[41] Gabriel S. Denicol et al. “Origin of the Relaxation Time in Dissipative Fluid Dy-
namics”. Phys.Rev. D83 (2011), p. 074019. doi: 10.1103/PhysRevD.83.074019.
arXiv: 1102.4780 [hep-th].
http://dx.doi.org/10.1016/j.nuclphysa.2010.02.015
http://dx.doi.org/10.1016/j.nuclphysa.2010.02.015
http://arxiv.org/abs/0912.2541
http://dx.doi.org/10.1088/0954-3899/27/1/306
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0006239
http://dx.doi.org/10.1590/S0103-97332005000100003
http://dx.doi.org/10.1590/S0103-97332005000100003
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0407264
http://arxiv.org/abs/nucl-th/0102011
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevC.84.024911
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevC.84.024911
http://arxiv.org/abs/1104.0650
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.139.B1006
http://dx.doi.org/http://dx.doi.org/10.1016/S0031-9163(64)92001-3
http://dx.doi.org/http://dx.doi.org/10.1016/S0031-9163(64)92001-3
http://dx.doi.org/10.1088/1742-6596/389/1/012035
http://dx.doi.org/10.1088/1742-6596/389/1/012035
http://arxiv.org/abs/1211.3216
http://dx.doi.org/10.1088/0954-3899/35/10/104126
http://arxiv.org/abs/0806.0352
http://arxiv.org/abs/0901.4355
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevD.83.074019
http://arxiv.org/abs/1102.4780
87
[42] Zhi Qiu e Ulrich Heinz. “Event-by-event hydrodynamics for heavy-ion collisions”.
AIP Conf.Proc. 1441 (2012), pp. 774–776. doi: 10.1063/1.3700676. arXiv: 1108.
1714 [nucl-th].
[43] Zhi Qiu e Ulrich Heinz. “Hydrodynamic event-plane correlations in Pb+Pb collisi-
ons at
√
s = 2.76ATeV”. Phys.Lett. B717 (2012), pp. 261–265. doi: 10.1016/j.
physletb.2012.09.030. arXiv: 1208.1200 [nucl-th].
[44] Yadav Pandit. “Beam Energy Dependence of First and Higher Order Flow Har-
monics from the STAR Experiment at RHIC”. Nucl.Phys.A904-905 2013 (2013),
pp. 357c–360c. doi: 10.1016/j.nuclphysa.2013.02.023. arXiv: 1210.5315
[nucl-ex].
[45] Ulrich Heinz e Raimond Snellings. “Collective flow and viscosity in relativistic
heavy-ion collisions”. Ann.Rev.Nucl.Part.Sci. 63 (2013), pp. 123–151. doi: 10.1146/
annurev-nucl-102212-170540. arXiv: 1301.2826 [nucl-th].
[46] L. McLerran e V. Skokov. “Comments About the Electromagnetic Field in Heavy-
Ion Collisions” (2013). arXiv: 1305.0774 [hep-ph].
[47] E.S. Fraga. “QCD under extreme conditions: an informal discussion” (2013). arXiv:
1310.6656 [hep-ph].
[48] S.A. Voloshin. “Anisotropic flow at RHIC: Constituent quark scaling”. J.Phys.Conf.Ser.
9 (2005), pp. 276–279. doi: 10.1088/1742-6596/9/1/052.
[49] M.B. Liu et al. “Computer simulation of high explosive explosion using smoothed
particle hydrodynamics methodology”. Computers & Fluids 32.3 (2003), pp. 305
–322. doi: http://dx.doi.org/10.1016/S0045-7930(01)00105-0.
[50] K. Adcox et al. “Formation of dense partonic matter in relativistic nucleus-nucleus
collisions at RHIC: Experimental evaluation by the PHENIX collaboration”. Nucl.Phys.
A757 (2005), pp. 184–283. doi: 10.1016/j.nuclphysa.2005.03.086. arXiv: nucl-
ex/0410003 [nucl-ex].
[51] Ulrich W. Heinz. “Hydrodynamics at RHIC - How well does it work, where and
how does it break down?” J.Phys. G31 (2005), S717–S724. doi: 10.1088/0954-
3899/31/6/012. arXiv: nucl-th/0412094 [nucl-th].
[52] Larry McLerran. “Summary Talk for ISMD 06”. Braz.J.Phys. 37 (2007), pp. 861–
866. doi: 10.1590/S0103-97332007000500048. arXiv: hep-ph/0702017 [hep-ph].
[53] T. Koide et al. “Relativistic dissipative hydrodynamics: A Minimal causal theory”.
Phys.Rev. C75 (2007), p. 034909. doi: 10.1103/PhysRevC.75.034909. arXiv:
hep-ph/0609117 [hep-ph].
[54] G.S. Denicol et al. “Extensivity of irreversible current and stability in causal dis-
sipative hydrodynamics”. J.Phys. G36 (2009), p. 035103. doi: 10.1088/0954-
3899/36/3/035103.
[55] Ph. de A. Mota e T. Kodama. “Ondas de Choque em Colisões de Íons PesadosRelativ́ısticos e Hidrodinâmica Relativ́ıstica Dissipativa”. Tese de Mestrado. Uni-
versidade Federal do Rio de Janeiro, 2008.
http://dx.doi.org/10.1063/1.3700676
http://arxiv.org/abs/1108.1714
http://arxiv.org/abs/1108.1714
http://dx.doi.org/10.1016/j.physletb.2012.09.030
http://dx.doi.org/10.1016/j.physletb.2012.09.030
http://arxiv.org/abs/1208.1200
http://dx.doi.org/10.1016/j.nuclphysa.2013.02.023
http://arxiv.org/abs/1210.5315
http://arxiv.org/abs/1210.5315
http://dx.doi.org/10.1146/annurev-nucl-102212-170540
http://dx.doi.org/10.1146/annurev-nucl-102212-170540
http://arxiv.org/abs/1301.2826
http://arxiv.org/abs/1305.0774
http://arxiv.org/abs/1310.6656
http://dx.doi.org/10.1088/1742-6596/9/1/052
http://dx.doi.org/http://dx.doi.org/10.1016/S0045-7930(01)00105-0
http://dx.doi.org/10.1016/j.nuclphysa.2005.03.086
http://arxiv.org/abs/nucl-ex/0410003
http://arxiv.org/abs/nucl-ex/0410003
http://dx.doi.org/10.1088/0954-3899/31/6/012
http://dx.doi.org/10.1088/0954-3899/31/6/012
http://arxiv.org/abs/nucl-th/0412094
http://dx.doi.org/10.1590/S0103-97332007000500048
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0702017
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevC.75.034909
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0609117
http://dx.doi.org/10.1088/0954-3899/36/3/035103
http://dx.doi.org/10.1088/0954-3899/36/3/035103
88
[56] Reinhard Stock. “Relativistic nucleus-nucleus collisions: from the BEVALAC to
RHIC”. Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics 30.8 (2004), S633.
[57] V.D. Toneev et al. “Theoretical analysis of a possible observation of the chiral
magnetic effect in Au + Au collisions within the RHIC beam energy scan program”.
Phys.Rev. C85 (2012), p. 034910. doi: 10.1103/PhysRevC.85.034910. arXiv:
1112.2595 [hep-ph].
[58] V.D. Toneev et al. “Event-by-event background in estimates of the chiral magnetic
effect”. Phys.Rev. C86 (2012), p. 064907. doi: 10.1103/PhysRevC.86.064907.
arXiv: 1208.2519 [nucl-th].
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevC.85.034910
http://arxiv.org/abs/1112.2595
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevC.86.064907
http://arxiv.org/abs/1208.2519
89
Apêndice A
Código Hidrodinâmico
O uso de métodos numéricos é normalmente necessário para o estudo de sistemas
realistas, e aqui apresentaremos brevemente o método utilizado para essa dissertação,
chamado Hidrodinâmica de Part́ıculas Suavizada (Smoothed Particle Hydrodynamics,
SPH). Originalmente desenvolvido para lidar com problemas de Astrof́ısica, em Gingold
et. al. 1977[30], e ter sido utilizado na simulação de detonações de explosivos como em
Liu et Al. 2003[49], o método foi posteriormente foi adaptado para uso em simulações de
hidrodinâmica relativ́ıstica, em Aguiar et. al. 2000[31], em especial para a hidrodinâmica
de colisões de ı́ons pesados relativ́ısticos e hidrodinâmica relativ́ıstica dissipativa, como,
por exemplo, em Noronha-Hostler et. al.2013[25].
O método SPH possui diversas vantagens, dentre elas a capacidade de lidar com sis-
temas sem fronteira fixa, e naturalmente acomodar-se a grandes variações de volume no
sistema. Outro ponto positivo é o que o método SPH converte um sistema de EDPs
acopladas em um sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) acopladas, com isto
o uso de integradores usuais de EDO, no lugar de um sistema matricial ou sistema de
equações de diferenças, como ocorre com o método de diferenças finitas.
O ponto de partida conceitual do método SPH passa por expandir a densidade de
alguma quantidade extensiva como uma interpolação sobre nodos, em que tanto os pesos
quanto a posição dos nodos podem variar no tempo:
90
a∗(t, ~x) =
N∑
i=0
Ai(t)W (~x− ~xi(t), h) (A.1)
Nesta formulação, Ai são chamados pesos SPH, e os conjuntos {~xi, Ai, ...} são chama-
dos de “Part́ıculas SPH”. A função W é chamada de núcleo(kernel) de suavização, e tem
que satisfazer algumas condições de consistência, como ser positivo-definida e ter integral
1. A função utilizada no nosso trabalho foi o B-Spline, que é uma função polinomial
cúbica por partes. No caso de alguma quantidade conservada, na forma de uma equação
de continuidade, a escolha Ai = cte garante a conservação da versão discretizada dessa
mesma quantidade, e esse é uma das vantagens de se utilizar o método SPH. Normal-
mente se escolhe alguma quantidade, positiva, do sistema como referência, se colocando
ρ(t, ~x) =
∑N
i=0 νiW (~x − ~xi, h), e as outras quantidades em questão são expressas em
função dessa densidade de referência, como ilustrado abaixo:
b∗(t, ~x) =
N∑
i=0
νi
Bi
ρi
W (~x− ~xi, h) (A.2)
No caso em que se tenha fluido ideal, i.e. sem produção de entropia, pode-se utilizar
a densidade de entropia como densidade de referência. No caso geral, o que se utiliza é
o inverso do volume próprio, que em coordenadas lagrangeanas corresponde a ρ∗ = 1
J
=
1
det ∂~r/∂ ~R
, e a densidade de entropia é escrita s = ρS = S/J . Fazendo as identificações
~vi =
d~xi
dt
, γi =
1√
1−~v2i
, ~ui = γi~vi e ai = ai = a
∗
i /γi, e chamando W (~xi − ~xj, h) = Wij, a
equações de movimento para hidrodinâmica relativ́ıstica ideal são escritas:
νi
d
dt
[
εi + pi
ρi
~ui
]
= −
N∑
j=1
νiνj
[
pi
(ρ∗i )
2
+
pj
(ρ∗j)
2
]
∇Wij (A.3)
εi e pi são, respectivamente, a densidade de energia e a pressão do sistema, e são
calculados a partir de ρi e si = ρiSi, usando como informação adicional uma equação de
estado, dada independentemente. Como νi e Si são definidos como constantes neste caso,
não é necessário escrever equações de movimento deles. Os casos de ε = 3Cs4/3 e ε = mρ
91
(m = cte), que correspondem, respectivamente, a gás sem massa e a gás sem pressão,
foram ambos usados nessa dissertação para diferentes resultados.
Para as equações (3.41), a versão SPH delas será apresentada abaixo. A escolha foi
por múltiplas equações SPH, correspondendo a várias espécies qúımicas, portanto ao invés
de apenas 1 conjunto de “part́ıculas SPH”, há 1 conjunto para um fluido “termalizado”e
1-3 conjuntos, indexados pela letra k, para a parte correspondendo a “poeira fora de
equiĺıbrio”. A equação de estado do fluido termalizado utilizada é a ε = 3Cs4/3, enquanto
a da poeira é a ε = mρ. Os termos que acoplam as equações correspondem aos termos
que depletam a poeira e transformam em fluido equilibrado. Como existe produção de
entropia, não é posśıvel usa-la como densidade de referência.
As densidades de referência em questão são os “inversos dos volumes próprios”correspondente
a cada parte:
ρ∗i =
∑
j
νiW (xi − xj, h) (A.4)
ρk∗ik =
∑
jk
νkikW (x
k
ik
− xkjk , h) (A.5)
Além da densidade de entropia, existe a necessidade de se incluir uma densidade
“Numérica”para a poeira, nk, uma densidade de carga elétrica para o fluido termalizado,
nc, e modificar as equações de evolução para ~u e ~uk, os resultados são as equações abaixo:
νkik
d
dt
[
nk∗ik
ρk∗ik
]
= − 1
τR
∑
i
νiν
k
ik
ρ∗i ρ
k∗
ik
γin
k∗
ik
(1− ~vi · ~vkik)W (xi − x
k
ik
, h) (A.6)
νi
d
dt
[
(n∗c)i
ρ∗i
]
= +
1
τR
∑
ik,k
sgnk
νiν
k
ik
ρ∗i ρ
k∗
ik
γin
k∗
ik
(1− ~vi · ~vkik)W (xi − x
k
ik
, h) (A.7)
92
νi
d
dt
[
�i + Pi
ρi
γi~vi
]
= −
∑
j
νiνj
[
Pi
(ρ∗i )
2
+
Pj
(ρ∗j)
2
]
∇W (xi − xj, h) (A.8)
+ νi
e(nc)i
ρ∗i
γi
(
~Ei + ~vi × ~Bi
)
(A.9)
+
mk
τR
∑
k,ik
νiν
k
ik
ρ∗i ρ
k∗
ik
γi(γ
k
ik
)2(nkik)(1− ~vi · ~v
k
ik
)~vkikWiik (A.10)
νkik
d
dt
[
mkn
k
ik
ρkik
γkik~v
k
ik
]
= +qkν
k
ik
nkik
ρk∗ik
γkike
(
~Eik + ~v
k
ik
× ~Bik
)
(A.11)
− mk
τR
∑
i
νiν
k
ik
ρ∗i ρ
k∗
ik
γi(γ
k
ik
)2(nkik)(1− ~vi · ~v
k
ik
)~vkikWiki (A.12)
νi
σi
ρ∗i
= +
∑
k,ik
1
TiτR
νkikνi
ρk∗ik ρ
∗
i
mknkγ
2
i (γ
k
ik
)2(1− ~vi · ~vkik)
2W (xi − xkik , h) (A.13)
σi acima é o termo que corresponde à produção de entropia do sistema. As equações
acima já incluem os termos correspondentes à força de Lorentz, que são importantes nos
cálculos envolvendo o campo eletromagnético. É importante lembrar que não usamos
equações demovimento para os campos ~E e ~B porque utilizamos como sendo campos ex-
ternos, portanto colocamos diretamente a forma esperada dos mesmos nos nossos cálculos,
ao invés de computa-los dinâmicamente.
Por fim, utilizamos principalmente o método de Runge-Kutta de 2a ordem, para re-
solver essas equações diferenciais, ocasionalmente utilizando método de Runge-Kutta de
4a ordem em algum casos. A menos que explicitado, as escolhas dos parâmetros foram
h = 0.5 fm e o passo temporal ∆t = 0.25 fm.
Infelizmente não conseguimos resolver, para esta Dissertação, as equações de (A.6)-
(A.13), pois tivemos problemas durante o acoplamento das equações associadas ao fluido
com as equações associadas à poeira. Todos os resultados apresentados no caṕıtulo 5
Dissertação foram obtidos utilizando a equação (A.8), utilizando apenas os primeiros 2
termos, portanto sem incluir acoplamento com a poeira.
93
Apêndice B
Testes: Hidrodinâmica + Poeira
Na parte de termalização, aonde tentamos resolver as equações (3.41), primeiro começamos
com um caso simplificado, aonde tentamos resolver para apenas 1 part́ıcula SPH de poeira
e 1 part́ıcula SPH de fluido, o que resultava em equaçẽos diretas de relaxação. Nas figuras
(B.1) e (B.2), os resultados obtidos.
Figura B.1: Termalização - v = 0 Figura B.2: Termalização - v =
1√
2
O gráfico acima se refere à quantidade n0
ρ0
, já que só calculamos com uma espécie
qúımica. Este resultado mostra que, seria posśıvel resolver numéricamente esse resultado;
no entanto, ao invés de usarmos um passo temporal de ∆t = 0.25 fm, precisamos de
um passo temporal de ∆t = 0.05 fm, que é consideravelmente menor. Ao se adicionar
um número grande de part́ıculas, esta situção só se agravou e não conseguimos chegar a
uma solução, até o presente momento, devido a requisição de um passo proibitivamente
pequeno, as equações conjuntas de fluido em adição a poeira.
	Sumário
	Lista de Figuras
	Lista de Tabelas
	Colisões de Íons Pesados Relativísticos
	Interação Forte e Matéria Nuclear
	Observáveis Experimentais e Esquema da Colisão
	Hidrodinâmica Relativística
	Hidrodinâmica Ideal Não-Relativística 
	Coordenadas Eulerianas e Lagrangeanas
	Principio Variacional da Hidrodinâmica
	Hidrodinâmica Relativística Ideal
	Leis de Conservação e Hidrodinâmica
	Hidrodinâmica com Campo Eletromagnético
	Métodos Cinéticos 
	Equação de Boltzmann Relativística
	Hidrodinâmica a partir da Equação de Boltzmann
	Sistemas com Múltiplas Componentes e Acoplamento com Campo Eletromagnético
	Aproximação de Tempo de Relaxação
	Equação de Estado e Freeze-out
	Equação de Estado
	Produção de Partículas Finais
	Resultados e Discussão
	Verificação do Código
	C.I. de Disco Circular
	Disco Circular - Campo de Velocidade Nulo
	Disco Circular - Campo de velocidades não nulo
	C.I. Disco Oval
	Exemplo de Evolução Temporal
	C.I. Disco Oval - Outras Elipticidades
	C.I. Disco Oval - Outras distribuições de Carga
	C.I. Disco Oval - Densidade de Carga positivas e negativas uniformemente distribuidas
	C.I. Disco Oval - Densidade de Carga positivas e negativas aleatóriamente distribuidas
	C.I. Disco Oval - Densidade de Cargas positivas e negativas separadas horizontalmente
	C.I. Disco Oval - Densidade de Carga positivas e negativas separadas verticalmente
	C.I. Oval - Cálculo alternativo da densidade de carga
	Densidade Uniformemente Positiva
	Separação Horizontal de Cargas Positivas e Negativas
	Distribuição Angular no Plano Transverso
	Conclusões e Perspectivas
	Conclusões
	Perspectivas
	Referências Bibliográficas
	Código Hidrodinâmico 
	Testes: Hidrodinâmica + Poeira