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F́ısica III-A - 2019/2
Lista 1: Carga Elétrica e Campo Elétrico
1. (F) Duas part́ıculas de cargas positivas q e 3q são fixadas nas extremidades de um bastão isolante de comprimento
d. Uma terceira part́ıcula carregada pode se mover livremente ao longo do comprimento do bastão.
(a) Em que posição ao longo do bastão a terceira part́ıcula estará em equiĺıbrio?
(b) Discuta a estabilidade do equiĺıbrio dessa part́ıcula em função do sinal de sua carga. (Dica: considere
pequenos deslocamentos a partir da posição de equiĺıbrio)
2. (F) Duas esferas idênticas, cada uma com massa m, são suspensas por fios ideais e isolantes de comprimento l,
como indicado na figura abaixo. Elas possuem cargas de mesmo módulo e sinais opostos ±q e estão sob a ação
de um campo elétrico uniforme ~E, de direção horizontal e intensidade desconhecida, e do campo gravitacional
~g. Quando o sistema está em equiĺıbrio, o ângulo que os fios fazem com a vertical vale θ. Nessas condições,
determine:
(a) A tensão no fio
(b) A intensidade do campo elétrico.
3. (F) Duas part́ıculas idênticas de carga q > 0 são fixadas sobre o eixo Y de um sistema de coordendas, como
mostrado na figura abaixo. Cada uma encontra-se a uma distância d/2 da origem. Uma terceira part́ıcula de
carga −Q (Q > 0) encontra-se sobre o eixo X, a uma distância x da origem, e pode se mover livremente sobre
este eixo.
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(a) Determine o vetor força resultante sobre a part́ıcula de carga −Q.
(b) Suponha que a part́ıcula de carga −Q é abandonada do repouso em um ponto x = a. Descreva qualitati-
vamente o movimento dessa part́ıcula. O que acontece quando ela ultrapassa a origem?
4. (F) Três cargas puntiformes −q, −q e +q (q > 0) são posicionadas sobre os vértices de um triângulo equilátero
de lado a, como indicado na figura abaixo.
(a) Determine o vetor campo elétrico no ponto P indicado na figura.
(b) Determine o vetor campo elétrico no centro do triângulo.
(c) Determine o vetor força elétrica resultante sobre uma das cargas −q.
5. (M) Em um modelo clássico para o átomo de Hidrogênio, um elétron de carga −e e massa m descreve um
movimento circular uniforme de raio a0 em torno de um próton de carga +e, fixo na origem. Considerando a
força de atração gravitacional entre o próton e o elétron despreźıvel em confronto com a força elétrica, determine:
(a) A aceleração do elétron (módulo, direção e sentido).
(b) A velocidade escalar do elétron.
(c) O peŕıodo de revolução.
(d) Por que podemos desprezar a força gravitacional nessa situação?
6. (M) Uma part́ıcula de massa m e carga q penetra na região entre as placas metálicas de um capacitor, como
indicado na figura abaixo. As placas estão separadas por uma distância d e produzem um campo elétrico uniforme
~E em seu interior. Ao entrar nessa região, a part́ıcula possui uma velocidade inicial ~v0 paralela às placas e está a
uma mesma distância delas. Considere ainda que os efeitos da força gravitacional são despreźıveis em confronto
com os da força elétrica. Utilizando o sistema de coordenadas indicado na figura, determine:
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(a) O vetor aceleração da part́ıcula.
(b) O vetor velocidade da part́ıcula como função do tempo t.
(c) O vetor posição da part́ıcula como função do tempo t.
(d) A equação da trajetória, isto é, y como função de x. Que curva corresponde a essa equação?
(e) O vetor velocidade da part́ıcula ao sair da região das placas, supondo que elas possuem um comprimento
L. Qual será a sua deflexão, isto é, o ângulo que este vetor faz com a horizontal?
7. (D) Uma barra isolante e fina de comprimento 2a é posicionada sobre o eixo X de um sistema de coordenadas,
de modo que suas extremidades estão em x = ±a. Ela possui uma carga total Q uniformemente distribúıda
sobre seu comprimento.
(a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) produzido pela barra em um ponto P sobre o eixo
X, localizado a uma distância x > a da origem.
(b) Uma segunda barra, idêntica à primeira e com a mesma carga total Q uniformemente distribúıda sobre seu
comprimento, é posicionada sobre o eixo X com suas extremidades em x = b ± a (b > 2a). Determine a
força elétrica (módulo, direção e sentido) que a primeira barra exerce sobre a segunda. Sugestão: Divida
a segunda barra em elementos infinitesimais de carga e considere a interação entre estes elementos e a
primeira barra.
8. (M) Uma linha isolante de cargas tem a forma de um semićırculo de raio R, como indicado na figura abaixo.
Sua densidade linear de carga é dada por λ(θ) = λ0 sin θ, onde λ0 é uma constante positiva e θ é o ângulo polar
medido a partir do eixo X .
(a) Determine a carga total contida na linha.
(b) Determine o vetor campo elétrico no centro do semićırculo.
(c) Repita os dois itens acima, mas supondo agora que λ(θ) = λ0 cos θ.
9. (D) Um disco circular isolante e fino, de raio R, tem uma densidade superficial de carga dada por σ(r) = σ0(R/r),
onde σ0 é uma constante positiva e r é a distância ao centro do disco.
(a) Determine a carga total contida no disco.
(b) Determine o vetor campo elétrico em um ponto localizado sobre o eixo perpendicular ao plano do disco e
que passa pelo seu centro, a uma distância z do mesmo.
Sugestão: divida o disco em aneis infinitesimais concêntricos e use o resultado obtido em aula para o
campo elétrico produzido por um anel uniformemente carregado (por que podemos fazer isto?).
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(c) Considere agora que este ponto está muito longe do disco, de forma que z � R. Determine uma expressão
assintótica para o resultado do item anterior neste limite e interprete o resultado.
Dado (verifique!): ∫
dx
(x2 + a2)3/2
=
x
a2
√
x2 + a2
+ const
10. (D) Uma casca isolante ciĺındrica de raio R e altura h possui uma carga Q uniformemente distribúıda sobre sua
área.
(a) Determine a densidade superficial de carga do cilindro.
(b) Determine o vetor campo elétrico a uma distância d do lado direito do cilindro, como indicado na figura.
Sugestão: Divida o cilindro em aneis infinitesimais coaxiais como indicado na figura e use o resultado obtido
em aula para o campo elétrico produzido por um anel uniformemente carregado. A integral resultante pode
ser resolvida por substituição simples.
(c) Discuta o comportamento da expressão obtida no item anterior no limite d� R, h.
11. (D) Um cilindro sólido, isolante, de raio R e altura h possui uma carga total Q uniformemente distribúıda sobre
seu volume.
(a) Determine a densidade volumétrica de carga do cilindro.
(b) Utilizando o resultado do problema anterior, determine o vetor campo elétrico a uma distância d do lado
direito do cilindro. Dica: A integral resultante pode ser resolvida por substituição simples.
12. (M) Considere o dipolo elétrico mostrado na figura abaixo.
(a) Determine o vetor campo elétrico produzido pelo dipolo em um ponto sobre o eixo Y , localizado a uma
distância y > 0 da origem.
(b) Determine o vetor campo elétrico produzido pelo dipolo em um ponto sobre o eixo X, localizado a uma
distância x > a da origem.
(c) Obtenha expressões assintóticas para os dois resultados acima nos limites y � a e x � a. Interprete os
resultados.
Dado: Para |x| � 1, (1 + x)n ≈ 1 + nx.
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13. (M) Três cargas puntiformes +q, +q e −2q são posicionadas ao longo do eixo X de um sistema de coordenadas,
como indicado na figura abaixo. A separação entre duas cargas adjacentes vale a.
(a) Determine o vetor campo elétrico em um ponto P localizado sobre o eixo Y , a uma distância y da origem,
como indicado na figura.
(b) Obtenha uma expressão assintótica para o resultado acima no limite y � a, ou seja, quando P está muito
distante das cargas. Compare o seu resultado com os casos de um monopolo e de um dipolo elétrico e
discuta as diferenças.
(c) Utilizando o prinćıpio da superposição, discuta como essa distribuição de cargas pode ser entendida como
uma composição de dipolos elétricos. Qualé a intensidade do momento de dipolo elétrico total desta
distribuição?
Dado: Para |x| � 1, (1 + x)n ≈ 1 + nx.
Curiosidade: Uma distribuição de cargas como essa é conhecida como um quadrupolo elétrico.
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