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Prof. Jaime E. Muñoz Rivera
E-mail rivera@lncc.br
Fax 00 55 24 231-5595
Primeira Lista de Análise Funcional: Curso de Verão
1. De um exemplo de um exemplo de um conjunto totalmente ordenado que não seja induc-
tivo.
2. Seja E um espaço vetorial e G um subespaço. Seja g : G ⊂ E → R. Denote por Pg a
familia de funções lineares dada por
Pg =
{
h : D(h) ⊂ E → R; G ⊂ D(h) ⊂ E, h|G = g, h(x) ≤ p(x), ∀x ∈ D(h)
}
Onde D(h) é um subespaço de E que denota o domineo de h. Verifique se Pg é um conjunto
totalmente ordenado. Mostre que Pg é indutivo. Mostre que o elemento maximal f de Pg
(Lema de Zorn) verifica:
f : E → R, f(x) ≤ p(x)
3. Encontre um hiperplano que separe de forma estrita os conjuntos
A1 = B(0, 1), A2 = {(x + 2, 2y); (x, y) ∈ B(0, 1)}
onde B(h,R) =
{
(x, y); (x − h1)
2 + (x − h2)
2 < R2
}
. Com h = (h1, h2).
4. Mostre que se um hiperplano separa dois conjuntod de forma estrita, então separa de
forma ampla. o exercicio anterior encontre um hiperplano que separe de forma ampla os
conjuntos A1 e A2 pero não de forma estrita.
5. Seja B(0, r) a bola com centro na origem do plano R2 e raio r. Encontre uma função F
convexa F de tal forma que seja válida a seguinte igualdade
C = {(x + 1, 3y); (x, y) ∈ B(0, r)} = {(x, y); F (x, y) ≤ 0}
6. Encontre o funcional de Minkowski da Bola B(0, R).
7. Mostre que o espaço gerado pelos vetores {(1, 2, 3), (3, 2, 1), (2, 0,−2)} não é denso em R3
8. Seja E um espaço métrico completo. SejaA ⊂ X um conjunto fechado com interior vazio.
Mostre que seu complementário em E é um aberto denso em E.
9. Seja E um espaço normado completo com as normas ‖ · ‖1 e ‖ · ‖2. Se existe uma constante
positiva tal que ‖x‖1 ≤ c‖x‖2 para todo elemento x de E. Mostre que existe uma constante
C > 0 tal que
‖x‖2 ≤ C‖x‖1
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10. De um exemplo de uma função que converja pontualmente mais não converga uniforme.
11. De um exemplo de uma função que converja fraco mais não converja pontualmente.
12. seja E um espaço normado completo. Mostre que E é reflexivo se e somente se seu dual
E∗ é também reflexivo.
13. Mostre através de um exemplo que os conjuntos fechados e limitados em geral não são
compactos em espaços de dimensão infinita.
14. Seja E um espaço de Banach uniformemente convexo. Suponha que a seqüência xn ∈ E
converge fraco para x ∈ E verificando
lim sup ‖xn‖ ≤ ‖x‖.
Mostre que xn converge forte para x.
15. Mostre que todo espaço de Hilbert é Uniformemente convexo.
16. Seja H um espaço de Hilbert. Denotemos for K um conjunto fechado e convexo. Denote-
mos por PK a projeção de H sobre K. Mostre que PK ◦ PK = I. Mostre que PK é uma
contração.
17. Seja E um espaço normado completo, com norma ‖ · ‖. Suponhamos que se verifique
‖x + y‖2 + ‖x − y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2.
Então E é um espaço de Hilbert.
18. Seja H um espaço de Hilbert. Suponha que a seqüência xn ∈ H converge fraco para x ∈ E
e converge em norma, isto é ‖xn‖ → ‖x‖. Estão xn converge forte.
19. Seja E um espaço uniformemente convexo. Suponha que a seqüência xn ∈ H converge
fraco para x ∈ E e converge em norma, isto é ‖xn‖ → ‖x‖. Estão xn converge forte.
20. Seja E um espaço normado. Mostre que sua norma é um funcional semicontinuo inferior-
mente com relação a topoloǵıa fraca.
21. Seja J um funcional convexo definido num espaço de Hilbert H e com valores reais. Que
tipo de hipótese devemos assumir para que exista solução para o problema:
J(u) = inf {J(v); v ∈ K} , u ∈ K
Para todo convexo fechado K ⊂ H.
22. Seja H um espaço de Hilbert com produto interno (u, v)H . Mostre que existe uma única
solução do problema
J(u) = inf {J(v); v ∈ K} , u ∈ K
Para
J(v) = α(v, v)H + (f, v)H
para α > 0 e f ∈ H.
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23. Diz-se que H é um espaço de Hilbert se ele é um espaço completo e sua norma é definida
através de um produto interno. Isto é
‖v‖ =
√
(v, v).
Mostre que todo espaço de Hilbert é reflexivo.
24. Mostre que se J é um funcional convexo semicont́ınuo inferiomente, definido num espaço
H, tal que
‖v‖H → ∞ ⇒ J(v) → ∞
Então para todo subconjunt K ⊂ H convexo e fechado, sempre existe solução para o
problema u ∈ K verificando
J(u) ≤ J(v), ∀v ∈ K
25. Seja H um espaço de Hilbert. Mostre que toda sequencia limitada em H possui uma
subsequencia convergente.
26. Seja H um espaço de Hilbert. Considere o espaço dual H ∗, quantos tipos de convergência
diferentes existem neste espaço. Considere os casos de dimensão finita e infinita.
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