LuizAlbertoDaSilvaAbreu

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ABORDAGEM BAYESIANA PARA IDENTIFICAÇÃO DE FALHAS EM 
COMPÓSITOS LAMINADOS ATRAVÉS DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
 
 
 
Luiz Alberto da Silva Abreu 
Dissertação de Mestrado apresentada ao 
Programa de Pós-graduação em Engenharia 
Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do 
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos 
necessários à obtenção do título de Mestre em 
Engenharia Mecânica. 
Orientador: Hélcio Rangel Barreto Orlande 
 
 
 
Rio de Janeiro 
Março de 2011 
 
ABORDAGEM BAYESIANA PARA IDENTIFICAÇÃO DE FALHAS EM 
COMPÓSITOS LAMINADOS ATRAVÉS DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
 
Luiz Alberto da Silva Abreu 
 
 
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO 
LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA 
(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE 
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE 
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
Examinada por: 
 
________________________________________________ 
Prof. Hélcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D. 
 
 
________________________________________________ 
Profª. Carolina Palma Naveira Cotta, D.Sc. 
 
 
________________________________________________ 
Prof. Marcelo José Colaço, D.Sc. 
 
 
________________________________________________ 
Prof. Rodrigo Otávio de Castro Guedes, Ph.D. 
 
 
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL 
MARÇO DE 2011 
iii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Abreu, Luiz Alberto da Silva 
Abordagem Bayesiana para Identificação de Falhas 
em Compósitos Laminados Através da Transferência de 
Calor/ Luiz Alberto da Silva Abreu. – Rio de Janeiro: 
UFRJ/COPPE, 2011. 
XVIII, 138 p.: il.; 29,7 cm. 
Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande 
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de 
Engenharia Mecânica, 2011. 
 Referencias Bibliográficas: p. 116-118. 
1. Problemas Inversos. 2. Detecção de falhas em 
Compósitos Laminados. 3. Transformada Integral 
Generalizada. 4. Metropolis-Hastings. I. Orlande, Helcio 
Rangel Barreto. II. Universidade Federal do Rio de 
Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III. 
Titulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iv 
 
 
“Amor com amor se paga...” 
Sta. Teresinha do Menino Jesus 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico este trabalho à Deus, 
à minha família e 
 aos meus amigos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AGRADECIMENTOS 
 
DEUS, 
Autor da minha vida e de tudo o que foi criado, 
 pela sua presença real e perceptível. 
 
MINHA ESPOSA MILENA 
Pelo carinho e paciência. Uma pessoa realmente especial. 
Pela disponibilidade de ajudar, Amor com Amor se paga... 
 
 
 
MEUS PAIS E FAMILIARES: 
que souberam dividir os momentos difíceis 
neste ano de chuvas incomuns, 
 
 
AOS AMIGOS DA REPÚBLICA 
Gustavo, Alisson, Vanessa e Joyce, pela ajuda e paciência logo no início de tudo, 
Quando ainda estava me adaptando ao Rio. 
 
 
ALUNO DE MESTRADO DIEGO 
Pelas incansáveis discussões teóricas, 
durante todo o curso foi um amigo com quem pude contar 
 
 
MEU ORIENTADOR PROF. HELCIO 
Pela sua constante participação no trabalho, incentivando e acompanhando de perto. 
Sua ajuda foi fundamental para que tudo fosse realizado. 
 
 
 
 
DEMAIS AMIGOS 
Agradeço ainda à todos os amigos que fiz neste período,entre eles: 
Prof. Renato Cotta, Prof. João Nazareno a Profª. Carolina Naveira Cotta 
os alunos de mestrado: Karol, Milena, Guilherme, Marcelo. 
 
vi 
 
Resumo da Dissertação de Mestrado apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos 
requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) 
ABORDAGEM BAYESIANA PARA IDENTIFICAÇÃO DE FALHAS EM 
COMPÓSITOS LAMINADOS ATRAVÉS DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
Luiz Alberto da Silva Abreu 
 
Março/2011 
Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande 
Programa: Engenharia Mecânica 
 
 
Atualmente, materiais compósitos são comumente utilizados na engenharia, com 
muitas aplicações práticas. Um típico exemplo envolvendo o uso de compósitos 
formados por camadas de diferentes materiais é a indústria aeronáutica, devido à sua 
grande força e rigidez, bem como sua densidade. Geralmente, tal tipo de compósito é 
formado por camadas de diferentes materiais. A qualidade da adesão entre as camadas 
tem um papel fundamental no desempenho e na vida útil da estrutura do compósito. 
Desta forma, a detecção não destrutiva de falhas na ligação das camadas adjacentes é 
extremamente importante para o monitoramento da saúde estrutural. Neste trabalho, foi 
resolvido um problema inverso de condução de calor para a identificação do coeficiente 
de troca térmica no contato, que pode ser diretamente associado à qualidade da adesão 
entre as camadas. O problema físico envolve o aquecimento da superfície superior de 
um compósito de duas camadas. A formulação do problema direto é solucionada com 
um método hibrido que combina a Técnica da Transformada Integral Generalizada 
(GITT) com diferenças-finitas. Medidas simuladas de temperatura na superfície 
aquecida são usadas na análise do problema inverso para identificar a variação espacial 
do coeficiente de troca térmica no contato na interface. O problema inverso é resolvido 
através de Inferência Bayesiana, com o Método de Monte Carlo e Cadeia de Markov, 
implementado através do Algoritmo Metropolis-Hastings. O resultado obtido revela que 
a metodologia proposta é capaz de estimar quantitativamente e qualitativamente as 
falhas de junções entre placas de diferentes tamanhos. 
 
vii 
 
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the 
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) 
BAYESIAN APPROACH FOR FAILURES IDENTIFICATION ON LAMINATED 
COMPOSITES THROUGH HEAT TRANSFER 
 
Luiz Alberto da Silva Abreu 
 
March /2011 
 
Advisors: Helcio Rangel Barreto Orlande 
Department: Mechanical Engineering 
 
Composite materials are commonly used in engineering nowadays, with many 
practical applications. One typical example involves the use of composites formed by 
layers of different materials in the airplane industry, because of its greater strength and 
stiffness. Generally, such kind of laminated composites is formed by layers of different 
materials. The quality of the adhesion between layers plays a fundamental role for the 
performance and lifetime of the composite structure. As a result, the non-destructive 
detection of failures in the bonding of adjacent layers is extremely important for 
structural health monitoring. In this paper, we solve an inverse heat conduction problem 
for the identification of the interface thermal contact conductance, which can be directly 
associated to the quality of the adhesion between layers. The physical problem involves 
the heating of the external surface of a composite with two layers. The direct problem 
formulation is solved with a hybrid method that combines the Generalized Integral 
Transform Technique (GITT) and finite-differences. Simulated temperature 
measurements taken at this heated surface are used in the inverse analysis to identify the 
spatially varying interface contact conductance. Such measurements are assumed to be 
taken with an infrared camera, which allows for high spatial resolution and high data 
acquisition frequency. The present inverse problem is solved within the Bayesian 
statistical paradigm, with a Markov chain Monte Carlo method implemented through 
Metropolis-Hastings’ algorithm. The results obtained reveal that the proposed 
methodology is capable of estimating quite well bonding failures of different sizes. 
viii 
 
SUMÁRIO 
 
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO .................................................................................. 1 
CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................ 3 
2.1 Materiais Compósitos ............................................................................. 3 
2.2 Solução de Problemas de Condução de Calor ........................................6 
2.3 Problemas Inversos em Transferência de Calor...................................... 8 
2.4 Problema Inverso via Inferência Bayesiana ............................................ 8 
CAPÍTULO 3 - PROBLEMA FÍSICO ....................................................................... 10 
3.1 Modelo Físico ....................................................................................... 10 
3.2 Formulação Matemática Geral .............................................................. 11 
3.3 Formulação Matemática Adimensional ................................................ 12 
3.4 Formulação Matemática particular com duas camadas ........................ 14 
CAPÍTULO 4 - SOLUÇÃO DO PROBLEMA DIRETO ........................................... 16 
4.1 Aplicando GITT nas Direções Longitudinais da Placa ........................ 16 
4.2 Aplicando Diferenças Finitas na Direção Transversal da Placa ........... 21 
4.3 Implementação Numérica ..................................................................... 25 
4.4 Reordenando os autovalores ................................................................. 26 
CAPÍTULO 5 - PROBLEMA INVERSO ................................................................... 28 
5.1 Formulação do problema inverso.......................................................... 28 
5.2 Solução do Problema Inverso ............................................................... 29 
5.3 O Algoritmo Metropolis-Hastings ........................................................ 31 
CAPÍTULO 6 - RESULTADOS E DISCUSSÕES .................................................... 34 
6.1 Verificação da Solução do Problema Direto ......................................... 35 
6.2 Problema Direto com falha de contato entre as placas ......................... 67 
6.3 Solução do Problema Inverso ............................................................... 77 
CAPÍTULO 7 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES ................................................... 114 
CAPÍTULO 8 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................ 116 
APÊNDICE A - Teste I em regime permanente ........................................................ 119 
ix 
 
APÊNDICE B - Teste I em regime transiente ........................................................... 121 
APÊNDICE C - Teste II em regime transiente .......................................................... 125 
APÊNDICE D - Teste III em regime transiente ........................................................ 129 
APÊNDICE E - Teste IV em regime transiente ........................................................ 133 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 3.1 - Meio compósito laminado constituído por ‘ MaxI ’ camadas. ....................... 10 
Figura 4.1 - Discretização por diferenças finitas ao longo do eixo Z. ............................ 22 
Figura 5.1 - Representação esquemática da obtenção de medidas experimentais.......... 28 
Figura 6.1 - Esquema do problema geral. ....................................................................... 34 
Figura 6.2 - Representação esquemática do teste 1, em regime permanente. ................ 38 
Figura 6.3 - Gráfico de temperatura versus posição para um valor dech alto, em regime 
permanente...................................................................................................................... 39 
Figura 6.4 - Distribuição de temperatura na superfície, no tempo final t = 100s. .......... 40 
Figura 6.5 - Gráfico de temperatura versus posição para um ch muito baixo, em regime 
permanente...................................................................................................................... 41 
Figura 6.6 - Gráfico demonstrando a diminuição da descontinuidade do valor das 
temperaturas na interface à medida que o ch →∞ . ......................................................... 42 
Figura 6.7 - Representação esquemática do primeiro teste em regime transiente. ......... 44 
Figura 6.8 - Gráfico de temperatura versos tempo para o teste 1, em regime transiente.
 ........................................................................................................................................ 46 
Figura 6.9 - Posição z versus temperatura para o teste 1, em regime transiente. ........... 47 
Figura 6.10 - Distribuição de temperatura na superfície, para o teste 1 em regime 
transiente. ........................................................................................................................ 48 
Figura 6.11 - Representação esquemática do segundo teste em regime transiente. ....... 50 
Figura 6.12 - Gráfico de temperatura versos tempo para o teste 2, em regime transiente.
 ........................................................................................................................................ 52 
Figura 6.13 - Posição z versus temperatura para o teste 2, em regime transiente. ......... 53 
Figura 6.14 - Distribuição de temperatura na superfície, para o teste 2 em regime 
transiente. ........................................................................................................................ 54 
Figura 6.15 - Representação esquemática do terceiro teste em regime transiente ......... 54 
Figura 6.16 - Temperatura versus tempo para o problema teste 3, em regime transiente.
 ........................................................................................................................................ 57 
Figura 6.17 - Posição z versus temperatura para o teste 3, em regime transiente. ......... 58 
Figura 6.18 - Distribuição de temperatura na superfície, para o teste 3 em regime 
transiente. ........................................................................................................................ 59 
Figura 6.19 - Representação esquemática do quarto teste em regime transiente. .......... 59 
xi 
 
Figura 6.20 - Temperatura versus tempo para o problema teste 4, em regime transiente.
 ........................................................................................................................................ 63 
Figura 6.21 - Posição z versus temperatura para o teste 4, em regime transiente .......... 64 
Figura 6.22 - Distribuição de temperatura na superfície para o teste 4 em regime 
transiente. ........................................................................................................................ 64 
Figura 6.23 - Analise da solução de T x x ...................................................................... 65 
Figura 6.24 - Analise da solução de T x y ...................................................................... 65 
Figura 6.25 - Variação espacial do Biot de contato,cBi , com Titânio exposto ao fluxo de 
calor com malha em x e y, 11x11. .................................................................................. 68 
Figura 6.26 - Variação espacial do Biot de contato,cBi , com Titânio exposto ao fluxo de 
calor com malha em x e y, 11x11. .................................................................................. 68 
Figura 6.27 - Gráfico de distribuição de temperatura no tempo com Titânio exposto ao 
fluxo de calor com malha em x e y, 11x11. .................................................................... 70 
Figura 6.28 - Distribuição de temperatura adimensional na superfície, na posição 
adimensional Z=1, onde o fluxo de calor foi imposto, no tempo final 6. ...................... 70 
Figura 6.29 - Distribuição de temperatura adimensional na superfície, na posição 
adimensional Z=1, onde o fluxo de calor foi imposto, no tempo final 0.065 ................ 71 
Figura 6.30 - Distribuição de temperatura adimensional na superfície, na posição 
adimensional Z=1, onde o fluxo de calor foi imposto, no tempo final 0.13. ................. 72 
Figura 6.31 - Distribuição de temperatura adimensional na superfície,na posição 
adimensional Z=1, onde o fluxo de calor foi imposto, no tempo final 0.065. ............... 73 
Figura 6.32 - Distribuição de temperatura adimensional na superfície, na posição 
adimensional Z=1, onde o fluxo de calor foi imposto, no tempo final 0.13. ................. 74 
Figura 6.33 - Gráfico de variação espacial do biot de contato, cBi , com Titânio exposto 
ao fluxo de calor com malha em x e y, 21x21. ............................................................... 75 
Figura 6.34 - Gráfico de variação espacial do Biot de contato, cBi , com malha em x e y, 
21x21. ............................................................................................................................. 75 
Figura 6.35 - Distribuição de temperatura adimensional na superfície, na posição 
adimensional Z=1, para 441 sensores, no tempo 0.065. ................................................. 76 
Figura 6.36 - Distribuição de temperatura adimensional na superfície, na posição 
adimensional Z=1, para malha em x e y = 21 x 21, no tempo 0.13. ............................... 77 
Figura 6.37 - Biot exato comparado com o Biot estimado. ............................................ 80 
Figura 6.38 - Biot exato à esquerda comparado com o Biot estimado à direita. ............ 81 
xii 
 
Figura 6.39 - Desvio padrão dos resultados para a estimativa do Biot de contato ......... 81 
Figura 6.40 - Estabilização da Cadeia de Markov para um ponto com falha e para um 
ponto com contato. ......................................................................................................... 81 
Figura 6.41 - Biot exato comparado com o Biot estimado. ............................................ 83 
Figura 6.42 - Biot exato à esquerda comparado com o Biot estimado à direita. ............ 83 
Figura 6.43 - Desvio padrão dos resultados para a estimativa do Biot de contato ......... 83 
Figura 6.44 - Estabilização da Cadeia de Markov para um ponto com falha e para um 
ponto com contato. ......................................................................................................... 84 
Figura 6.45 - Biot exato comparado com o Biot estimado. ............................................ 85 
Figura 6.46 - Biot exato à esquerda comparado com o Biot estimado à direita. ............ 86 
Figura 6.47 - Desvio padrão dos resultados para a estimativa do Biot de contato ......... 86 
Figura 6.48 - Estabilização da Cadeia de Markov para um ponto com falha e para um 
ponto com contato. ......................................................................................................... 86 
Figura 6.49 - Biot exato comparado com o Biot estimado. ............................................ 88 
Figura 6.50 - Biot exato à esquerda comparado com o Biot estimado à direita. ............ 88 
Figura 6.51 - Desvio padrão dos resultados para a estimativa do Biot de contato ......... 88 
Figura 6.52 - Estabilização da Cadeia de Markov para um ponto com falha e para um 
ponto com contato. ......................................................................................................... 89 
Figura 6.53 - Biot exato comparado com o Biot estimado. ............................................ 90 
Figura 6.54 - Biot exato à esquerda comparado com o Biot estimado à direita. ............ 91 
Figura 6.55 - Desvio padrão dos resultados para a estimativa do Biot de contato ......... 91 
Figura 6.56 - Estabilização da Cadeia de Markov para um ponto com falha e para um 
ponto com contato. ......................................................................................................... 91 
Figura 6.57 - Biot exato comparado com o Biot estimado. ............................................ 93 
Figura 6.58 - Biot exato à esquerda comparado com o Biot estimado à direita. ............ 93 
Figura 6.59 - Desvio padrão dos resultados para a estimativa do Biot de contato ......... 93 
Figura 6.60 - Estabilização da Cadeia de Markov para um ponto com falha e para um 
ponto com contato. ......................................................................................................... 94 
Figura 6.61 - Biot exato comparado com o Biot estimado. ............................................ 96 
Figura 6.62 - Biot exato à esquerda comparado com o Biot estimado à direita. ............ 96 
Figura 6.63 - Desvio padrão dos resultados para a estimativa do Biot de contato ......... 96 
Figura 6.64 - Estabilização da Cadeia de Markov para um ponto com falha e para um 
ponto com contato. ......................................................................................................... 97 
Figura 6.65 - Biot exato comparado com o Biot estimado. ............................................ 99 
xiii 
 
Figura 6.66 - Biot exato à esquerda comparado com o Biot estimado à direita. ............ 99 
Figura 6.67 - Desvio padrão dos resultados para a estimativa do Biot de contato ......... 99 
Figura 6.68 - Estabilização da Cadeia de Markov para um ponto com falha e para um 
ponto com contato. ....................................................................................................... 100 
Figura 6.69 - Biot exato comparado com o Biot estimado. .......................................... 101 
Figura 6.70 - Biot exato à esquerda comparado com o Biot estimado à direita. .......... 102 
Figura 6.71 - Desvio padrão dos resultados para a estimativa do Biot de contato ....... 102 
Figura 6.72 - Estabilização da Cadeia de Markov para um ponto com falha e para um 
ponto com contato. ....................................................................................................... 102 
Figura 6.73 - Biot exato comparado com o Biot estimado. .......................................... 104 
Figura 6.74 - Biot exato à esquerda comparado com o Biot estimado à direita. .......... 104 
Figura 6.75 - Desvio padrão dos resultados para a estimativa do Biot de contato ....... 105 
Figura 6.76 - Estabilização da Cadeia de Markov para um ponto com falha e para um 
ponto com contato. ....................................................................................................... 105 
Figura 6.77 - Biot exato comparado com o Biot estimado. .......................................... 107 
Figura 6.78 - Biot exato à esquerda comparado com o Biot estimado à direita. .......... 107 
Figura 6.79 - Desvio padrão dos resultados para a estimativa do Biot de contato ....... 108 
Figura 6.80 - Estabilização da Cadeia de Markov para um ponto com falha e para um 
ponto com contato. ....................................................................................................... 108 
Figura 6.81 - Biot exato comparado com o Biot estimado. .......................................... 109 
Figura 6.82 - Biot exato à esquerda comparado com o Biot estimado à direita. .......... 110 
Figura 6.83 - Desvio padrão dos resultados para a estimativa do Biot de contato ....... 110 
Figura 6.84 - Estabilização da Cadeia de Markov para um ponto com falha e para um 
ponto com contato. ....................................................................................................... 110 
Figura 6.85 – Biot exato comparado com o Biot estimado. ......................................... 112 
Figura 6.86 - Biot exato à esquerda comparado com o Biot estimado à direita. .......... 113 
Figura 6.87 - Desvio padrão dos resultados para a estimativa do Biot de contato ....... 113 
Figura 6.88 - Estabilização da Cadeia de Markov para um ponto com falha e para um 
ponto com contato térmico perfeito. ............................................................................. 113 
Figura A.1 – Desenho esquemático do teste 1, em regime permanente ....................... 119 
Figura B.1 – Desenho esquemático do teste 1, em regime transiente ........................... 121 
Figura C.1 – Desenho esquemático do teste 1, em regime permanente ........................ 125 
Figura D.1 – Desenho esquemático doteste 1, em regime permanente ........................ 129 
Figura E.1 – Desenho esquemático do teste 1, em regime permanente ........................ 133 
xiv 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 6.1 - Dimensões do material compósito ............................................................. 34 
Tabela 6.2 - Temperatura dos meios externos e temperatura inicial da placa ................ 35 
Tabela 6.3 - Propriedades Termofísicas dos Materiais utilizados .................................. 35 
Tabela 6.4 - Parâmetros de entrada do teste 1, em regime permanente. ........................ 38 
Tabela 6.5 - Tabela de temperatura versus posição para um ch muito alto, em regime 
permanente...................................................................................................................... 40 
Tabela 6.6 - Tabela de temperatura versus posição para um ch muito baixo, em regime 
permanente...................................................................................................................... 41 
Tabela 6.7 - Análise de convergência da série em X e Y, para o teste 1 em regime 
permanente...................................................................................................................... 43 
Tabela 6.8 - Parâmetros de entrada do teste 1 em regime transiente ............................. 46 
Tabela 6.9 - Tabela de valores de temperatura versos tempo para o teste 1, em regime 
transiente. ........................................................................................................................ 47 
Tabela 6.10 - Análise de convergência da série em X e Y, para o teste 1 em regime 
permanente...................................................................................................................... 48 
Tabela 6.11 - Parâmetros de entrada do teste 1 em regime transiente ........................... 52 
Tabela 6.12 - Tabela de valores de temperatura versos tempo para o teste 2, em regime 
transiente . ....................................................................................................................... 53 
Tabela 6.13 - Parâmetros de entrada do teste 1 em regime transiente ........................... 57 
Tabela 6.14 - Tabela de valores de temperatura versos tempo para o teste 3, em regime 
transiente ......................................................................................................................... 57 
Tabela 6.15 - Parâmetros de entrada do teste 1, em regime permanente. ...................... 62 
Tabela 6.16 - Tabela de valores de temperatura versos tempo para o teste 4, em regime 
transiente ......................................................................................................................... 63 
Tabela 6.17 - Análise de convergência da série em X e Y, para o teste 1 em regime 
permanente...................................................................................................................... 66 
Tabela 6.18 - Parâmetros de entrada do teste 1, em regime permanente. ...................... 69 
Tabela 6.19 - Análise de convergência da série em X e Y, para o teste 1 em regime 
permanente...................................................................................................................... 72 
Tabela 6.20 - Parâmetros de entrada para o problema inverso ....................................... 78 
Tabela 6.21 - Resultados obtidos para titânio exposto ao fluxo de calor. ...................... 80 
Tabela 6.22 - Resultados obtidos para epóxi exposto ao fluxo de calor. ....................... 82 
xv 
 
Tabela 6.23 - Resultados obtidos para titânio exposto ao fluxo de calor. ...................... 85 
Tabela 6.24 - Resultados obtidos para epóxi exposto ao fluxo de calor. ....................... 87 
Tabela 6.25 - Resultados obtidos para titânio exposto ao fluxo de calor. ...................... 90 
Tabela 6.26 - Resultados obtidos para epóxi exposto ao fluxo de calor. ....................... 92 
Tabela 6.27 - Resultados obtidos para titânio exposto ao fluxo de calor. ...................... 95 
Tabela 6.28 - Resultados obtidos para titânio exposto ao fluxo de calor. ...................... 98 
Tabela 6.29 - Resultados obtidos para epóxi exposto ao fluxo de calor. ..................... 101 
Tabela 6.30 - Resultados obtidos para titânio exposto ao fluxo de calor ..................... 104 
Tabela 6.31 - Resultados obtidos para titânio exposto ao fluxo de calor ..................... 107 
Tabela 6.32 - Resultados obtidos para epóxi exposto ao fluxo de calor. ..................... 109 
Tabela 6.33 - Resultados obtidos para titânio exposto ao fluxo de calor. .................... 112 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xvi 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
SÍMBOLOS LATINOS 
 
a - Comprimento dimensional do material compósito, em [ ]m . 
A - Comprimento adimensional do material compósito. 
b - Largura dimensional do material compósito, em [ ]m . 
B - Largura adimensional do material compósito. 
(...)Bi - Número de Biot, adimensional. 
c - Espessura dimensional do material compósito, em [ ]m . 
1mat
c - Espessura do material 1 que compõe o compósito laminado, em [ ]m . 
2mat
c - Espessura do material 2 que compõe o compósito laminado, em [ ]m . 
C - Espessura adimensional do material compósito. 
gradx - Número de sensores na direção x, na superfície do compósito laminado. 
grady - Número de sensores na direção y, na superfície do compósito laminado. 
(...)h - Coeficiente de transferência de calor, em 
2W m K   . 
(...)k - Condutividade térmica dos materiais que formam o compósito 
laminado, em [ ]W mK . 
IJF - Número máximo de autovalores reordenados. 
n - Tempo discretizado, na malha de diferenças finitas. 
tn - Posição discretizada referente ao tempo, no vetor de medidas 
realizadas. 
medN - Número máximo de medidas realizadas. 
máxN - Número de nós na malha de diferenças finitas para o tempo 
discretizado. 
,(...)Nψ - Integral de normalização para a direção x. 
,(...)Nϕ - Integral de normalização para a direção y. 
,(...)ZN - Integral de normalização para a direção z. 
P - Vetor de parâmetros, no problema inverso. 
q - Fluxo de calor imposto à superfície superior do compósito laminado. 
xvii 
 
t - Tempo dimensional, em [ ]s 
iT - Temperatura nas camadas do compósito laminado, em 
oC   
T∞ - Temperatura do fluido em que a superfície inferior do compósito 
laminado esta em contato, em oC   . 
*T∞ - Temperatura do fluido em que a superfície superior do compósito 
laminado esta em contato, em oC   . 
v - Matriz de covariância dos parâmetros no problema inverso. 
W - Inversa da matriz de covariância dos erros de medição. 
x - Variável independente para a direção x, em [ ]m 
X - Variável independente adimensional, para a direção x. 
y - Variável independente para a direção y, em [ ]m . 
Y - Variável independente adimensional, para a direção y. 
Y - Vetor contendo as todas as temperaturas medidas na superfície do 
compósito laminado em diferentes tempos. 
z - Variável independente para a direção z, em [ ]m . 
cz - Posição dimensional da interface entre as camadas do compósito 
laminado particular com duas camadas, em [ ]m . 
cZ - Posição adimensional da interface entre as camadas do compósito 
laminado particular com duas camadas. 
Z - Variável independente adimensional, para a direção z 
 
SÍMBOLOS GREGOS 
 
(...)α - Difusividade térmica dos materiais que formam o compósito laminado, 
em 2m s   . 
(...)β - Autovalores para a direção x. 
(...)γ - Autovalores para a direção y. 
(...)η - Autovalores para a direção z. 
xviii 
 
iθ - Temperaturas adimensionais nas camadas do compósito laminado. 
θɶ - Temperatura transformada 
(...)λ - Autovalores reordenados. 
µ - Média dos parâmetros, da informação a priori gaussiana, no problema 
inverso. 
σ - Desvio padrão das medidas.Biσ - Desvio padrão da informação a priori gaussiana. 
τ - Tempo adimensional. 
ϕ - Autofunções para a direção x. 
ψ - Autofunções para a direção y. 
 
 
1 
 
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 
A análise de falhas em compósitos laminados constitui uma importante área do 
conhecimento em engenharia, devido à sua crescente aplicação em diversos campos da 
indústria. Muitas razões contribuem para este crescimento, dentre os quais se destacam: 
a necessidade de materiais mais leves, fáceis de instalar e transportar, mais resistentes e 
com propriedades termofísicas, acústicas e mecânicas cada vez mais específicas para 
uma determinada aplicação (AMITECH, 2010). 
Atualmente existem diversas aplicações para os compósitos laminados, com 
destaque para as indústrias de defesa, hidráulica, naval, aeronáutica e petrolífera. Nesta 
última, tais materiais vêm sendo usados, por exemplo, em tubulações e tanques, por 
serem leves e resistentes à corrosão. Assim, investimentos vêm sendo feitos para evitar 
os inúmeros problemas que podem ser causados por falhas internas e externas nestes 
materiais (AMITECH, 2010). 
Desta forma, a caracterização e análise do comportamento destes novos 
materiais vêm se tornando fundamental para sua correta aplicação. Destaca-se neste 
trabalho a grande importância em avaliar e qualificar o surgimento de falhas internas 
dos compósitos laminados, especialmente nas juntas entre as placas que formam estes 
materiais. 
Este trabalho tem como principal objetivo analisar, do ponto de vista térmico, a 
existência de possíveis falhas entre as camadas de um material compósito laminado. 
Esta análise será realizada em duas etapas, a saber: a solução do problema direto; e a 
solução do problema inverso de transferência de calor de detecção de falhas na adesão 
entre placas de materiais compósitos laminados. A solução do problema inverso será 
obtida com o método de Monte Carlo com Cadeias de Markov (MCMC) (KAIPIO e 
SOMERSALO, 2004). Devido à complexidade da solução do problema direto, que será 
detalhado adiante, propõe-se aqui uma solução do mesmo através de uma técnica 
híbrida que faz uso da Transformada Integral Generalizada (GITT) (COTTA, 1993) e de 
diferenças finitas (PLETCHER e ANDERSON, 1997), considerando um coeficiente de 
troca térmica no contato dependente da posição na superfície, ����, ��. 
No capítulo 2 é apresentada uma revisão bibliográfica sobre os assuntos 
referentes à elaboração deste trabalho. Buscou-se focar nesta revisão: os conhecimentos 
básicos sobre compósitos laminados, bem como as técnicas existentes para a solução de 
problemas diretos e inversos em condução de calor através de meios compostos por 
2 
 
mais de uma camada. Desta forma, pode-se situar o presente trabalho no atual contexto 
dos estudos existentes na literatura. 
No capítulo 3 propõe-se um modelo físico e matemático para o problema direto 
de condução de calor tridimensional transiente através de um meio composto com 
coeficiente de transferência de calor no contato, ����, ��, variando na seção transversal 
do material. Inicialmente, propõe-se uma formulação geral dimensional e adimensional. 
Em seguida, no capítulo 4, o problema direto é solucionado para um caso particular 
(envolvendo duas camadas de um compósito laminado) através de um método híbrido 
(analítico/numérico) utilizando para isto a técnica de transformada integral generalizada 
e o método de diferenças finitas. 
No capítulo 5 é apresentada a solução do problema inverso de transferência de 
Calor, utilizando o método de Monte Carlo com Cadeia de Markov (MCMC). No 
problema inverso utilizaram-se medidas de temperatura realizadas na superfície do 
material, onde se aplicou um fluxo de calor conhecido. Com estas medidas e 
conhecendo as propriedades de cada material que compõe o compósito laminado, 
estimou-se o coeficiente de transferência de calor no contato. Desta forma, pode-se não 
apenas quantificar locais onde existam falhas nas interfaces entre os compósitos, mas 
também qualificar estas falhas. 
No Capítulo 6 são apresentados e discutidos os resultados obtidos. Inicialmente 
buscou-se verificar a solução do problema direto. Para isto, foram usados quatro testes 
cujas soluções analíticas são apresentadas nos apêndices deste trabalho. Utilizando a 
solução do problema direto, foram simuladas medidas de temperatura com erros 
controlados para gerar resultados de alguns casos da solução do problema inverso, 
envolvendo materiais utilizados na indústria aeronáutica. Considerou-se diferentes 
informações a priori (informativa e não-informativa) e avaliou-se diferentes níveis de 
erros das medidas, assim como a convergência das cadeias de Markov. 
O capítulo 7 apresenta as conclusões do trabalho, contendo um balanço daquilo 
que foi realizado aqui. Neste capítulo também são apresentadas sugestões para trabalhos 
futuros. 
 
 
 
 
 
3 
 
CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
2.1 Materiais Compósitos 
Segundo a literatura, um material “composto”, ou “compósito” é definido como 
o resultado da combinação de dois ou mais materiais distintos em suas propriedades 
físicas. Trata-se de uma classe de um meio heterogêneo cujo objetivo é a obtenção de 
um material que, combinando as características de seus componentes, apresente um 
desempenho mecânico, acústico, térmico, etc, desejado (JONES, 1975). 
Os materiais compósitos têm sido utilizados cada vez mais em substituição dos 
materiais convencionais, devido à carência dos mesmos em atender às crescentes 
exigências do mercado (FARO, 2008). De acordo com o tipo dos materiais constituintes 
e dos processos de fabricação, há diferentes classificações de materiais compósitos, tais 
como: Compósitos Fibrosos; Compósitos Particulados; Compósitos Laminados 
(GIBSON, 1994). 
Os Compósitos Laminados apresentam-se pela laminação de diferentes camadas, 
de materiais distintos (como fibra de vidro, resinas, etc) a combinação destas diferentes 
camadas resulta num material cujas características são melhoradas de acordo com a 
expectativa de aplicação do mesmo (GIBSON, 1994). Nas indústrias aeronáutica, naval 
ou petrolífera, algumas características são freqüentemente encontradas como: aumento 
da resistência mecânica, durabilidade, resistência à corrosão, menor peso, maior 
facilidade na instalação, etc (AMITECH, 2010). 
Em geral muitos consideram que materiais compósitos são a última palavra em 
tecnologia de materiais para uso aeronáutico (ZANATTA, 2010), por reunirem 
especificamente duas propriedades de suma importância para este setor: baixo peso e 
alta resistência. Existem vários métodos de fabricação de compósitos laminados, a 
saber: (i) Laminação manual; (ii) Laminação a vácuo ; (iii) Métodos automatizados; 
entre outros. 
Na laminação manual, o método mais comum, consiste em banhar as fibras de 
material escolhido com a matriz sobre um molde (esta matriz pode ser de alguma resina, 
por exemplo epóxi) camada por camada, retirando o excesso de resina com uma 
espátula e um rolo. Na laminação a vácuo o processo é semelhante, com a diferença que 
o compósito é selado em uma bolsa plástica que por sua vez é conectada através de 
tubos e válvulas, a uma bomba de vácuo. Neste processo existe uma maior compactação 
da peça e assim, menos chances de formação de falhas internas. Nos processos 
4 
 
automáticos todo o processo automatizado tem temperatura e pressão controladas de 
maneira a evitar que falhas internas ocorram. Este métodos de fato são os mais 
utilizados pela indústria, embora não garantam que possam haver falhas nas junções 
entre as resinas e as fibras. Um dos tipos de compósito mais comum é aquele formado 
por estruturas em sanduíche. A idéia de sanduíche se deve ao fato de que um 
componente apresenta duas camadas externas feitas, no caso, em laminados de 
materiais compostos, e um núcleo, normalmente feito com alguma forma de espuma 
expansível (poliestireno,poliuretano) ou o famoso “honeycomb”, ou “colméia” 
(ZANATTA, 2010). 
Algumas camadas constituintes de meios compósitos laminados são reforçadas 
com fibras e outros materiais, que vistos microscopicamente são meios heterogêneos 
(REDDY, 1997). Porém, espera-se tratar estas camadas neste trabalho como meios 
homogêneos do ponto de vista macroscópico, ou seja, as propriedades em cada camada 
do material não homogêneo serão analisadas através de seus valores efetivos. Ambos os 
casos estão largamente analisados na literatura (ÖZIŞIK, 1993, MIKHAILOV e 
ÖZIŞIK, 1984, COTTA, 1993), destaca-se que do ponto de vista macroscópico, o 
tratamento dado para os compósitos laminados pode-se dar a qualquer material 
composto, constituído por várias placas. 
Conforme (DA SILVA, et al., 2008), através de um estudo comparativo das 
propriedades mecânicas em flexão de um laminado hibrido e de dois outros laminados, 
um apenas com fibras de vidro e um apenas com fibras de curauá, obteve-se um 
resultado excelente para o novo laminado híbrido. 
Segundo (CÂNDIDO, et al., 2000), a técnica de fabricação de laminados de 
material pré-impregnado com bordas moldadas é uma opção interessante para a 
industrialização da produção de compósitos poliméricos avançados por laminação a 
vácuo e cura em autoclave, porque reduz custos de fabricação e não há perda de peças 
por delaminação de borda devido ao corte. Entretanto, deve-se atentar para o fato de que 
há uma predisposição para o surgimento de bolsas de resina no material. Portanto é 
preciso que seja escolhida uma seqüência de empilhamento que não favoreça tal 
desvantagem. 
Existem inúmeras razões para o surgimento de falhas em compósitos laminados. 
As mais comuns são: danos provenientes do processo de fabricação e presença de 
tensões internas entre as camadas do compósito ou nas fibras que estas contêm em sua 
construção (LIU, 1988). Desta forma, uma grande parte dos danos encontrados em 
5 
 
compósitos laminados estão presentes internamente no material e são observados 
externamente apenas em situações extremas (MORAES, 1999). 
Segundo a literatura (SCHÖNTAG, 2009), encontram-se diferentes 
classificações para os tipos de danos em materiais compósitos laminados, de maneira 
geral os principais termos são: “delaminations” ou “disbonds”, “ debonds” e “kissing 
bonds”. 
Delaminação (delamination) ou disbonds refere-sem ao descolamento de uma 
lâmina ou uma parte de uma lâmina que compõe o material compósito laminado, 
debonds é o termo utilizado quando esta falha ocorre numa região onde já havia sido 
realizado um reparo, e finalmente kissing bonds é o termo utilizado para falhas 
ocorridas por falta de material aderente entre as interfaces (SCHÖNTAG, 2009). 
Entretanto existem inúmeras outras nomenclaturas utilizadas para diferentes casos de 
falhas em compósitos laminados, cita-se aqui apenas os mais utilizados e comuns. 
Neste contexto, conclui-se que é de grande importância conhecer, quantificar e 
qualificar estas falhas internas na indústria como as delaminações internas, devido às 
diversas aplicações envolvendo grandes custos, transporte de materiais com alto risco 
para o meio ambiente (como na indústria petrolífera) e outros. Para detectar falhas em 
compósitos laminados, existem diversos métodos dentre os quais destacam-se os 
ensaios não-destrutivos (END), de grande interesse no mercado, entre eles: Exames 
ultrasonografia do tipo “C-Scanning”, de radiografia, inspeção visual, exame por 
transmissão de luz, microscopia, termografia de infravermelho, (MORAES, 1999). 
De acordo com (FRANCO, et al., 2006), a caracterização de fraturas de 
laminados de tecidos de fibras de vidro-epoxi , através de técnicas de investigação e 
análise de falhas, permite estabelecer o início da falha e qual a seqüência de falhas no 
laminado. Através do ensaio de cisalhamento interlaminar, observaram-se múltiplos 
cisalhamentos, além de cisalhamento intralaminar nos compósitos analisados. A 
microscopia eletrônica de varredura não pode determinar a direção ou modo da falha. 
De acordo com (SCHÖNTAG, 2009), existem muitos métodos para adetecção 
de falhas em compósitos laminados, através de diversos tipos de END’s, entretanto 
poucos são eficientes aos detectar delaminações. Em seu trabalho (SCHÖNTAG, 2009) 
propos um estudo para caracterizar a profundidade em que se localizam defeitos 
internos em materiais compósitos, apresentando um estudo sobre shearografia associado 
ao carregamento vibracional. 
6 
 
Segundo (HUNG, et al., 2007), existe a possibilidade de detectar profundidade 
da falha de maneira inversa, quando é conhecida a temperatura do material e as 
propriedades do mesmo (o que é proposto neste trabalho). Entretanto, encontrou-se 
nesta pesquisa apenas a metodologia direta, onde aplica-se calor uniformemente sobre a 
superfície do material a ser avaliado e monitora-se as alterações na distribuição de 
temperaturas por um determinado período de tempo (SKF, 2011, JARRETA NETO, 
2009, PREDMESKY e ZALUZEC, 2000). 
Nestes métodos diretos, aplica-se uma fonte uniforme de calor numa superfície e 
a utilizando uma câmera termográfica monitora-se a mesma, desta forma, quando uma 
estrutura está livre de falhas, a distribuição de temperaturas não muda conforme a 
superfície se aquece e se resfria, mas permanece uniforme. Entretanto, as áreas com 
falha se aquecem mais em comparação com áreas bem coladas, devido à um baixo 
coeficiente de troca térmica de contato entre estes materiais. Nestas abordagens, a 
região superficial onde existe falha é determinada, mas a profundidade onde esta falha 
ocorre não é mensurada, diferente do que ocorre na abordagem através do problema 
inverso (SKF, 2011). Assim de maneira simplificada, conhecer a profundidade onde a 
falha se encontra significa determinar a posição exata onde a mesma ocorre e assim 
todas as suas dimensões. 
2.2 Solução de Problemas de Condução de Calor 
Soluções analíticas para problemas de difusão de calor, inclusive em meios 
compostos, são encontradas na literatura (ÖZIŞIK, 1993) para diversos casos de 
equações diferenciais parciais (homogêneas e não homogêneas) que regem estes 
problemas, utilizando para isto as técnicas de separação de variáveis e a Técnica da 
Transformada Integral Clássica (CITT). 
Foram obtidas soluções para o caso composto por um único material para 
diversas classes de problemas, com modelos transientes uni, bi e tridimensionais com 
condições de contorno homogêneas e não-homogêneas (ÖZIŞIK, 1993), inclusive para 
alguns casos onde o meio é considerado heterogêneo e suas propriedades termofísicas 
variam em seu interior. 
Foram obtidas ainda (ÖZIŞIK, 1993) soluções para meios compostos por várias 
camadas, de materiais diferentes, cujas propriedades são constantes dentro de cada uma 
destas (abordagem a ser utilizada aqui para o problema de difusão de calor em 
compósitos laminados). Entretanto, para este caso, as soluções devido à complexidade 
7 
 
do mesmo são mais restritas, sendo encontradas soluções apenas unidimensionais, com 
a existência de uma resistência de contato constante ou problemas tridimensionais onde 
considerou-se a hipótese de contato térmico perfeito. 
Em princípio, não foram encontrados na literatura soluções analíticas 
envolvendo um problema tridimensional que se considerasse uma resistência térmica de 
contato entre os meios, que pudesse variar espacialmente. Esta suposição é essencial 
para a formulação do problema direto que se pretende resolver aqui, para a análise de 
falhas em compósitos laminados. 
Soluções analíticas para problemas de difusão de calor estão compiladas 
considerando sete classes de formulações (MIKHAILOV e ÖZIŞIK, 1984). As soluções 
obtidas para os materiais compostos são considerados como um caso especial do 
problema de classe II, definido e solucionado por (MIKHAILOV e ÖZIŞIK, 1984). 
Nestes casos existe a necessidadeda solução de um problema de autovalor associado e 
de uma busca por seus autovalores. Este trabalho é de grande complexidade, pois 
envolve equações transcendentais que dificultam muito a busca por estes autovalores 
(COTTA, 1993). Nestes casos precisa-se de uma técnica mais acurada para encontrar 
estes autovalores, como a contagem de sinais ou a Transformada Integral Generalizada 
(COTTA, 1993), que constitui um avanço na solução de problemas de Sturm-Liouville. 
A técnica por trás da solução utilizando contagem de sinais para a determinação 
destes autovalores foi expandida e encontram-se na literatura alguns tópicos sobre este 
assunto (COTTA e NOGUEIRA, 1988, MULHOLLAND e COBBLE, 1972). 
A técnica da Transformada Integral Clássica posteriormente foi acrescida de 
uma abordagem híbrida dando origem à Técnica da Transformada Integral Generalizada 
(GITT), oferecendo assim a possibilidade de resolver problemas antes tratados como 
não transformáveis através de uma abordagem numérico-analítica (COTTA, 1993). 
Problemas de autovalor envolvendo meios heterogêneos, com propriedades internas do 
meio variáveis , foram resolvidos, (NAVEIRA COTTA, 2009), inclusive expandindo as 
propriedades termofísicas do meio em autofunções, permitindo uma abordagem 
totalmente analítica do sistema transformado. 
Soluções puramente numéricas são encontradas na literatura para casos 
envolvendo transferência de calor tridimensional ou em meios compostos. Observou-se 
que o custo computacional destas técnicas é alto (WANG, et al., 2003), mesmo quando 
são usadas técnicas relativamente modernas (Método ADI-3D). Tal custo 
computacional torna difícil a solução do problema inverso através do método MCMC 
8 
 
(KAIPIO e SOMERSALO, 2004), o qual necessita da solução do problema direto 
milhares de vezes durante sua execução. 
2.3 Problemas Inversos em Transferência de Calor 
Nos problemas diretos, tradicionalmente conhecidos, as causas são dadas e os 
efeitos das mesmas são determinados. Por outro lado nos problemas inversos os efeitos 
(como distribuição de temperaturas numa placa) são dados, e as causas são estimadas 
(ÖZIŞIK e ORLANDE, 2000). 
Problemas inversos são encontrados em diversas áreas da ciência e engenharia. 
Cientistas e engenheiros de diversas áreas, assim como físicos matemáticos etc estão 
interessados em solucionar problemas inversos por diferentes razões (ÖZIŞIK, 1993). 
Este trabalho está focado na solução de um problema inverso em condução de 
calor (Inverse heat Conduction Problems - IHCP) com o objetivo de utilizar os 
resultados para determinar qualitativamente falhas em compósitos laminados. Como já 
foi dito anteriormente, a solução particular deste problema inverso é de grande interesse 
para as indústrias de materiais, petrolífera, aeroespacial, entre outras. 
Existem diversas obras literárias sobre problemas inversos em transferência de 
calor, destacam-se inicialmente alguns trabalhos pioneiros, os quais venceram as 
primeiras grandes dificuldades impostas pela instabilidade e caráter mal posto típico 
desta classe de problemas. Entre os cientistas pioneiros pode-se citar: A. N. Tikhonov, 
O.M. Alifanov e J. V. Beck (ÖZIŞIK e ORLANDE, 2000). 
Os conceitos fundamentais sobre IHCP podem ser encontrados em (ÖZIŞIK e 
ORLANDE, 2000), juntamente com quatro técnicas de solução de problemas inversos 
em transferência de Calor, tanto para estimativa de parâmetros como para estimativa de 
funções. Além de soluções de interesse prático na engenharia envolvendo problemas de 
condução, convecção e radiação. 
2.4 Problema Inverso via Inferência Bayesiana 
Na abordagem estatística Bayesiana tenta-se utilizar toda a informação 
disponível a priori a fim reduzir a quantidade de incerteza em um problema. Ou seja, 
enquanto a informação nova é obtida, nela está combinada toda a informação 
precedente, dando a base para procedimentos estatísticos. O mecanismo formal usado 
para combinar a informação nova com a informação previamente disponível é 
9 
 
conhecido como o teorema de Bayes (WINKLER, 2003, PLETCHER e ANDERSON, 
1997). 
O algoritmo de Metropolis-Hastings é um dos Métodos MCMC (KAIPIO e 
SOMERSALO, 2004). A cadeia de Markov é um caso particular de um processo 
estocástico com estados discretos e apresenta a propriedade Markoviana (uma 
homenagem ao matemático Andrei A. Markov). Esta propriedade, também chamada de 
memória Markoviana, define que os estados anteriores são irrelevantes para a predição 
dos estados seguintes, desde que o estado atual seja conhecido. Desta forma o processo 
Markoviano depende apenas do estado atual (ORLANDE, 2009). 
Técnicas Bayesianas foram utilizadas para identificar simultaneamente a 
condutividade térmica, a capacidade térmica e um fluxo de calor, num problema inverso 
unidimensional não-linear de transferência de calor. Utilizou-se para isto o algoritmo 
Metropolis-Hastings, citado anteriormente (MOTA, et al., 2008). 
Dois filtros Bayesianos foram utilizados, um linear e outro não-linear, com 
sucesso para estimar o perfil transiente de temperaturas num problema de transferência 
de calor linear e em outro não-linear. Especificamente os filtros utilizados foram os 
Filtro de Kalman e Filtro de Partículas (ORLANDE, et al., 2008). 
Na identificação de propriedades e parâmetros termofísicos variáveis, utilizando 
técnicas bayesianas de estimativa de parâmetros e funções, a utilização da técnica de 
termografia por infravermelho é de grande interesse, fornecendo uma quantidade 
representativa de medidas, tanto no espaço quanto no tempo, criando assim novos 
horizontes na análise da condução de calor em meios heterogêneos (FUDYM, 2006 , 
FUDYM, et al., 2007]. 
A técnica da transformada integral generalizada (GITT) foi aplicada na análise dos 
problemas direto e inverso de condução de calor em meios heterogêneos, incluindo uma 
abordagem inovadora de análise inversa no campo transformado, realizando a 
transformação integral dos dados experimentais (NAVEIRA COTTA, et al., 2009). 
 
 
 
 
10 
 
CAPÍTULO 3 - PROBLEMA FÍSICO 
3.1 Modelo Físico 
O objetivo deste trabalho é a detecção e qualificação de falhas de contato na 
interface de placas de compósitos laminados, através da identificação da distribuição 
espacial da resistência de contato e fazendo uso da solução de um problema inverso de 
transferência de calor. Desta forma, considera-se neste trabalho um meio compósito 
laminado com máxI camadas, resultando em uma espessura total c . Todas as placas são 
consideradas com os mesmos comprimentos e larguras dados por a e b , 
respectivamente, tal como ilustrado na Figura 3.1. 
 
 
 
Figura 3.1 - Meio compósito laminado constituído por ‘ MaxI ’ camadas. 
Assume-se a existência de uma resistência de contato, modelada através de um 
coeficiente de transferência de calor de contato ( ),cih x y , entre cada uma destas 
camadas, o subscrito max1,2, ,i I= … corresponde ao número da camada, neste capítulo. 
Tal coeficiente é muito pequeno nas posições onde houver falha e muito grande onde 
houver contato térmico perfeito entre as camadas. Por simplicidade, será utilizado o 
sistema cartesiano de coordenadas retangulares e serão consideradas propriedades 
térmicas constantes dentro de cada camada que constitui o compósito laminado. As 
superfícies laterais perda de calor desprezível e as superfícies superior e inferior estarão 
submetidas à troca de calor por convecção, sendo na superfície inferior com um meio à 
uma temperatura ambiente T∞ e na superfície superior, com um meio à uma temperatura 
diferente *T∞ . Um fluxo de calor ( ), ,q x y t é considerado imposto sobre a superfície 
superior, conforme indicado na figura 3.1. 
11 
 
3.2 Formulação Matemática Geral 
 
A equação de condução de calor para o caso tridimensional transiente com 
multicamadas pode ser escrita para as regiões 0 x a< < ,0 y b< < e 1i iz z z− < < , para 
um tempo 0t > , da seguinteforma, (ÖZIŞIK, 1993). 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2
, , , , , , , , , , ,1 ,i i i i
i
T T T T
t x y z
x y z t x y z t x y z t x y z t
α
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
 (3.1) 
 
onde neste capítulo o subscrito max1,2, ,i I= … corresponde ao número da camada e iα
corresponde a difusividade térmica do material ‘i ’. 
 
A condição de contorno em 0 0z z= = para 0 x a< < ,0 y b< < e 0t > pode ser 
escrita como: 
 
 
( ) ( )1 0 11 0
, , ,
, , ,
T
h
x y z t
k x y z t hT
z
T∞− =
∂
+
∂
 (3.2) 
 
onde ( )k corresponde a condutividade térmica nas diferentes camadas e ( )h é o 
coeficiente de troca térmica, nos índices 0 e máxI entre os meios fluidos e as superfícies 
inferior e superior do compósito, os demais índices referem-se ao coeficiente de troca 
térmica entre as placas, cih . 
Na interface entre as placas, para 0 x a< < ,0 y b< < , iz z= , para 0t > e 
considerando ( )max1,2, , 1i I= −… escrevemos: 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1
, , , , , ,
, , ,
, , , , ,, ,
i i
i
ci i i
i i
i
T T
z z
T
h x y T
x y z t x y z t
k k
x y z t
k x y z T
z
t x y z t
+
+
+

=

 − 
∂ ∂
∂ ∂
∂
=∂ 
 (3.3) 
 
12 
 
No contorno em 
maxI
z z c= = para0 x a< < , 0 y b< < e 0t > temos: 
 
 
( ) ( ) ( )max
max max max max
*
, , ,
, , , , ,II I I I
x y z tT
hk x y z t h T q
z
y tT x∞
∂
+ = +
∂
 (3.4) 
 
Nos contornos 0x = , x a= e 0 y b≤ ≤ para 0 z c< < e 0t > considerou-se a 
hipótese de perda de calor desprezível, ou seja: 
 
( ), , ,
0i
T x y x t
x
∂
=
∂
 (3.5) 
 
Da mesma maneira, nos contornos 0y = , y b= e0 x a≤ ≤ para 0 z c< < e 0t > 
considerou-se a hipótese de perda de calor desprezível, ou seja: 
 
 
( ), , ,
0i
T x y x t
y
∂
=
∂
 (3.6) 
 
Considerando a condição inicial para 0 x a< < ,0 y b< < ,0 z c< < , para 0t = 
como temperatura uniforme, dada pela temperatura do meio em contato com a 
superfície superior da placa, isto é, 
 
 
( )
max
*,
1,
,
2, ,
,i x y z t T TT
i I
∞
=
= =
…
 (3.7) 
onde *T é a temperatura inicial do compósito laminado. 
 
3.3 Formulação Matemática Adimensional 
Utilizando os seguintes grupos adimensionais: 
 
 
( )
( ) ( )
* *
* * *
* *
2
; ; ; ;
; ; ; ; ;
,
; , ;
ref i i
ref i i
ref ref ref
ref ci
ci
ref
k T T kT T q
q q k
c q kT T
yx z a b
X Y Z A B
c c c c c
t h X Y c
Bi X Y
kc
α
θ α
α
α
τ
∞∞
∞
−−
= = = = =
−
= = = = =
= =
 (3.8) 
13 
 
onde o subscrito ref indica que são parâmetros de referência, estes serão definidos 
numericamente na apresentação dos resultados, os sobrescritos * indicam propriedades 
ou parâmetros adimensionais. 
Com estes grupos adimensionais pode-se reescrever as equações (3.1) até (3.7), 
inicialmente em 0 X A< < ,0 Y B< < , 1i iZ Z Z− < < , para 0τ > e considerando 
max1,2, ,i I= … : 
 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
* 2 2 2
, , , , , , , , , , , ,1 i i i i
i
X Y Z X Y Z X Y Z X Y
Z
Z
X Y
τ τ τθ τθ θ θ
α τ
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
 (3.9) 
 
no contorno 0 0Z Z= = para 0 Z A< < ,0 Y B< < e 0τ > : 
 
 
( ) ( )1*1 0 1
, , ,
, , , 0k Bi
Z
X Y Z
X Y Z
θ
θ
τ
τ
∂
− + =
∂
 (3.10) 
 
na interface entre as placas, para 0 X A< < ,0 Y B< < , iZ Z= , para 0τ > e 
considerando ( )max1,2, , 1i I= −… : 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1* *
1
*
1
, , , , , ,
, , ,
, , , , ,, ,
i i
i i
i
i ci i i
X Y Z X Y Z
X Y Z
k k
Z Z
k Bi X Y X Y Z X Y Z
Z
τ τθ θ
θ
θ τθ
τ
τ
+
+
+
=
  
∂ ∂
 ∂ ∂

∂ = −
 ∂
 (3.11) 
 
 
no contorno em 
max
1IZ Z= = para 0 X A< < , 0 Y B< < e 0τ > : 
 
 ( )max
max max max max
* * *, ,II I I Ik Bi q X Y BiZ
θ
θ τ θ∞
∂
+ = +
∂
 (3.12) 
 
onde *
* * *
* *
1
T T
T
T
T T T
Tθ ∞ ∞∞
∞ ∞
∞
∞
∞= =
−
− = −
−
−
 
14 
 
nos contornos 0X = , X A= e 0 Y B≤ ≤ : 
 
 
( ), , ,
0i
X Y Z
X
θ τ∂
=
∂
 (3.13) 
 
nos contornos 0Y = , Y B= e 0 X A≤ ≤ : 
 
 
( ), , ,
0i
X Y Z
Y
θ τ∂
=
∂
 (3.14) 
 
considerando a condição inicial para 0 X A< < ,0 Y B< < ,0 1Z< < , para 0τ = e 
considerando max1,2, ,i I= … 
 *
*
*
* * *
0i
TT T T
T T T T
θ θ ∞ ∞ ∞
∞ ∞
−
− −
−= = = = (3.15) 
 
3.4 Formulação Matemática particular com duas camadas 
Nesta seção, particulariza-se a formulação geral dada pelas equações (3.9-3.15) 
para o caso envolvendo apenas duas camadas, o qual será abordado neste estudo. O 
subscrito i deixará de ser necessário para representar as diferentes camadas do material 
compósito, desta maneira será reutilizado daqui para frente para representar os 
autovalores na direçãoX . Para 0 X A< < ,0 Y B< < e 0τ > temos: 
 
 
2 2 2
1 1 1 1
* 2 2 2
1
2 2 2
2 2 2 2
* 2 2 2
2
1
Para 0 1
1
X Y Z
Z
X Y Z
θ θ θ θ
α τ
θ θ θ θ
α τ
∂ ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂  < <
∂ ∂ ∂ ∂ = + +
∂ ∂ ∂ ∂ 
 (3.16) 
 
Lembrando que ( )* *, ,q X Y qτ = , ( )1 1, , ,X Y Z τθ θ= e ( )2 2, , ,X Y Z τθ θ= no 
contorno 0 0Z Z= = para 0 Z A< < ,0 Y B< < e 0τ > 
 
 * 11 0 1 0k BiZ
θ θ+− ∂ =
∂
 (3.17) 
15 
 
na interface entre as placas, para 0 X A< < ,0 Y B< < , cZ Z= , para 0τ > : 
 
 
( )[ ]
* *1 2
1 2
* 1
1 2 1,c
k k
Z Z
k Bi X Y
Z
θ θ
θ θ θ
∂ ∂
 ∂ ∂
 ∂
=
 = −
 ∂
 (3.18) 
 
no contorno em 
max
1IZ Z= = para 0 X A< < , 0 Y B< < e 0τ > : 
 
 * * *22 2 2 2k Bi q BiZ
θ θ θ∞
∂ + = +
∂
 (3.19) 
 
nos contornos 0,X X A= = e0 Y B≤ ≤ : 
 
 
( ) ( )1 2, , , , , , 0
X
X Y Z X Y
X
Zθ θτ τ∂ ∂
=
∂
=
∂
 (3.20) 
 
nos contornos 0,Y Y B= = e0 X A≤ ≤ : 
 
 
( ) ( )2 1, , 0, , , ,
Y
X Y Z X Y
Y
Zθ θτ τ∂ ∂
∂
= =
∂
 (3.21) 
 
para a condição inicial: 
 
 * *1 2 * * * *
*
0
T T T
T T
T
T T
θ θ ∞ ∞ ∞
∞ ∞
= = = −
−
− =
−
 (3.22) 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
CAPÍTULO 4 - SOLUÇÃO DO PROBLEMA DIRETO 
Neste capítulo apresenta-se a técnica de solução do problema direto, envolvendo 
a formulação do problema físico dado pelas equações (3.16-3.22). A partir deste 
capítulo o subscrito i será utilizado para representar o índice dos diferentes autovalores 
na direção adimensional X. 
Para o problema direto, são consideradas conhecidas a geometria das placas, as 
propriedades termofísicas do meio, as condições de contorno e as condições iniciais. O 
objetivo do problema direto é determinar o campo de temperaturas nas placas. A 
solução do problema direto é obtida aqui utilizando-se um método híbrido, aplicando-se 
a Transformada Integral Generalizada (GITT) (COTTA, 1993) nas direções 
longitudinais da placa (direções X e Y) e diferenças finitas na direção transversal da 
placa (direção z), conforme descrito a seguir. 
 
4.1 Aplicando GITT nas Direções Longitudinais da Placa 
Definindo um par, transformada-inversa, para X e Y (ÖZIŞIK, 1993, COTTA, 
1993): 
 
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
, , , , , ,
, , , , , ,
A B
i j i j
X Y
i j i j
i j
Z X Y Z dYdX
X Y Z Z
θ β γ τ ψ ϕ θ τ
θ τ ψ ϕ θ β γ τ
= =
∞ ∞
= =

=


 =

∫ ∫
∑∑
ɶ
ɶ
 (4.1) 
 
onde as autofunções normalizadas são definidas como: 
 
, ,
 jii j
i jN Nψ ϕ
ϕψψ ϕ= = (4.2) 
 
e podem ser obtidas diretamente de (ÖZIŞIK, 1993), ou seja, solucionando os 
problemas auxiliares: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
0;0 0;0
0; 0 ; 0; 0
0; 0;
X Y
X X A Y Y B
X Y
X Y
X Y
X A Y B
X Y
ψ ϕ
β ψ γ ϕ
ψ ϕ
ψ ϕ
 ∂ ∂
+ = < < + = < < ∂ ∂ 
∂ ∂ = = = = ∂ ∂ 
∂ ∂ = = = = ∂ ∂ 
 (4.3) 
17 
 
ou seja: 
 
( )
( )
0
0 ,0 0
,0 ,0
,
, ,
1
onde para 0
cos
onde para 0
2
ii
i i i
i i
N A
N N
X A
N
N N
ψ
ψ ψ
ψ
ψ ψ
ψψ β
βψψ β
= = = =
 = = = ≠ 
 
 (4.4) 
e 
 
( )
( )
0
0 ,0 0
,0 ,0
,
, ,
1
onde = para 0
cos
onde para 0 
2
jj
j j j
j j
N B
N N
Y B
N
N N
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕϕ γ
γϕ
ϕ γ
 = = =


  = = = ≠   
 (4.5) 
 
onde ( ) ( ) 2,
0
,
A
i i iN X dXψ β ψ β=   ∫ e ( ) ( )
2
, ,
0
,
B
j j j jN N Y dYϕ ϕγ γ =  ∫ . Os autovalores iβ 
e jγ são as raízes positivas das equações transcendentais 
 
 ( )
00 0 
sin 0 0i iA
β
β β
=
 = ≠
 (4.6) 
 ( )
00 0
 
sin 0 0j jB
γ
γ γ
=
= ≠
 (4.7) 
 
operando com 
0 0
_
A B
i j
X Y
dYdXψ ϕ
= =
∫ ∫ as equações (3.16-3.22) que governam o problema 
com duas camadas, podemos reescrevê-las da seguinte forma: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1 2 2
1* 2
1
2
2 2 2 2
2* 2
2
, , , , , ,1
, , ,
, , , , , ,1
, , ,
i j i j
i j i j
i j i j
i j i j
Z Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
θ β γ τ θ β γ τ
β γ θ β γ τ
α τ
θ β γ τ θ β γ τ
β γ θ β γ τ
α τ
∂ ∂
= − +
∂ ∂
∂ ∂
= − +
∂ ∂
ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ
ɶ
 (4.8) 
 
no contorno 0 0Z Z= = para 0 Z A< < ,0 Y B< < e 0τ > : 
 
 
( ) ( )1*1 0 1
, , ,
, , , 0
i j
i j
Z
k Bi Z
Z
θ β γ τ
θ β γ τ+
∂
−
∂
=
ɶ
ɶ (4.9) 
18 
 
no contorno em 1NZ Z= = para 0 X A< < , 0 Y B< < e 0τ > : 
 
 
( ) ( ) ( )2*2 2 2
, , ,
, , , ,
i j
i j
Z
k Bi Z d i j
Z
θ β γ τ
θ β γ τ
∂
+ =
∂
ɶ
ɶɶ (4.10) 
onde ( ) ( )* *2
0 0 0 0
, , ,
A B A B
i j i j
X Y X Y
d i j q X Y dYdX Bi dYdXτ ψ ϕ θ ψ ϕ∞
= = = =
= +∫ ∫ ∫ ∫
ɶ e deve ser calculado 
considerando que e i jψ ϕ são diferentes para ( )0 e 0i i= ≠ e ( )0 e 0j j= ≠ . 
Serão considerados dois casos particulares para a função ( )* , ,q X Y τ , a primeira 
delas considera que a função é constante igual a constq em todo o tempo e uniforme em 
toda a superfície da placa. O segundo caso considera que esta função será constante no 
tempo, dada por constq e uniforme somente nas posições entre 10 X A≤ ≤ e 10 Y B≤ ≤ , 
sendo nula fora desta região. As posições intermediárias 1A e 2B são definidas da 
seguinte maneira: 10 A A< < e 10 B B< < . 
Desta forma, no primeiro caso, as integrais existentes em ( ) ,d i jɶ que compõe o 
sistema que soluciona ( )1 , , ,m u Zθ β γ τɶ e em ( )2 , , ,m u Zθ β γ τɶ podem ser calculadas 
analiticamente para ( 0, 0)i j= = , ( 0, 0)i j= ≠ , ( 0, 0)i j≠ = e ( 0, 0)i j≠ ≠ 
respectivamente da seguinte forma: 
 
 
( )
( )( )
( ) ( )( )
*
0 0 2
0 0
*
0 0
*
2
2
*
0
2
0
( , )
( , )
(
2 sin( )( )
2 sin
2sin si
,
,
n
)
( )
i j const
const
i j
const
i j
j
j
i
i
i j
i j
const
i j
A
d A B q B
B Bi
B
i
q
d
q
d
B A Bi
A
A B Bi
A
q
B
d
β γ θ
β γ
γ θ
γ
β
β
β
θ
β γ
θ
β γ
γ
β γ
= = ∞
= ≠
∞
≠ =
∞
≠ ≠
∞ +
+
= +
=
=
=
+
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
 (4.11) 
 
Similarmente, as integrais existentes em ( ) ,d i jɶ podem ser calculadas para o 
segundo caso, onde as integrais podem ser calculadas analiticamente reescrevendo-as da 
seguinte forma: ( ) ( )
1 1
* *
2
0 0 0 0
, , ,
A B A B
i j i j
X Y X Y
d i j q X Y dYdX Bi dYdXτ ψ ϕ θ ψ ϕ∞
= = = =
= +∫ ∫ ∫ ∫
ɶ . 
19 
 
Como pode ser visto neste caso a integração é realizada apenas onde o fluxo de 
calor é imposto. Assim o termo transformado ( ) ,d i jɶ para este caso é escrito como: 
 
 
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
*
0 0
0 0
*
0 0
*
0 0
1 1
*
2 1 1
2 1 1
2 1 1
( , )
( , )
( , )
2 sin sin
2 sin sin
2 sin sin sin si
, )
n
(
j j
const
i j
const
i j
const
i j
co
j
i i
i
i j i j
i
st
i
j
n
j
Bi AB A B
A B
ABi B A B
A B
BBi A B A
A B
Bi A B A B
q
d
q
d
q
d
q
B
d
A
θβ γ
β γ
θ
β
θ γ γ
γ
β β
β
β γ β γ
γ
β
β γ
θ
γ
∞
∞
= =
= ≠
∞
≠ =
∞
≠ ≠
= +
+
+
+
=
=
=
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
 (4.12) 
 
Para a condição inicial, onde a aplicação da transformada é zero: 
 
 * *1 2 0θ θ= =
ɶ ɶ (4.13) 
 
Finalmente na interface entre as placas, para 0 X A< < ,0 Y B< < , iZ Z= , para 
0τ > serão consideradas as equações: 
 
 
( ) ( )
( ) ( )[ ]
1 2* *
1 2
1,( , )*
1 2 1
0 0
, , , , , ,
, , ,
,
i j i j
A B
i j i j
i j c
X Y
Z Z
k k
Z Z
Z
k Bi X Y dYdX
Z
θ β γ τ θ β γ τ
θ β γ τ
ψ ϕ θ θ
= =
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂
=
= −∫ ∫
ɶ ɶ
ɶ
 (4.14) 
 
Para transformar o termo do lado direito da equação (4.14) deve-se lembrar que 
1θ e 2θ podem ser escritas, usando as fórmulas da inversa (equações (4.1)) como: 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
1 1
0 0
2 2
0 0
, , , , , ,
, , , , , ,
m u m u
m u
m u m u
m u
X Y Z Z
X Y Z Z
θ τ ψ ϕ θ β γ τ
θ τ ψ ϕ θ β γ τ
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
=
=
∑∑
∑∑
ɶ
ɶ
 (4.15) 
 
20 
 
Substituindo as equações (4.15) na equação (4.14) obtêm-se a equação na 
interface entre as placas como: 
 
 ( )1,( , )*1 2,( , ) 1,( , )
0 0
, , ,i j m u m u
m u
k A i j m u
Z
θ
θ θ
∞ ∞
= =
∂  = −
 ∂ ∑∑
ɶ
ɶ ɶ (4.16) 
Onde: 
 
 ( ) ( )
0 0
, , , ,
A B
i m j u c
X Y
A i j m u Bi X Y dYdXψ ψ ϕ ϕ
= =
= ∫ ∫ (4.17) 
Assim como no cálculo de dɶ , serão consideradas duas possibilidades para a 
função ( ),cBi X Y , na primeira ela será considerada constante na posição e no segundo 
caso (de interesse para este trabalho) ela será considerada dependente da posição em X e 
Y. Para os casos onde o ( ),cBi X Y const= pode-se utilizar a propriedade de 
ortogonalidade, desta forma pode-se escrever: 
 
 ( )
{ {
0 0
0, 0,
1, 1,
, , ,
A B
c i m j u
X Y
i m j u
i m j u
A i j m u Bi dX dYψ ψ ϕ ϕ
= =
≠ ≠
= =
= ∫ ∫
����������
 (4.18) 
 ( ) 0 , para i m ou , , ,
 , para ou c
j u
A i j m u
Bi i m j u
≠ ≠
=  = =
 (4.19) 
 
Neste trabalho as integrais com Biot variando superficialmente, ( ),cBi X Y , 
serão obtidas realizando a integração da equação (4.17) através de métodos numéricos, 
uma vez que a função ( ),cBi X Y será estimada através da solução do problema inverso 
conforme descrito no capítulo 5. 
Especificamente no problema direto, a integral poderia ser calculada inclusive 
analiticamente, uma vez que a função ( ),cBi X Y seria conhecida. Porém optou-se por 
métodos numéricos, devido ao fato de que no problema inverso esta função ( ),cBi X Y 
será desconhecida e serão obtidas estimativas para a mesma em pontos discretos de uma 
malha computacional em X e Y. Utilizou-se então aproximações por Cubic Splines 
(CONTE e DE BOOR, 1980) para fazer o cálculo destas integrais. 
21 
 
Optou-se neste trabalho ainda por não utilizar a técnica da transformada integral 
generalizada também na direção Z devido à grande dificuldade em encontrar os 
autovalores associados às soluções obtidas com este método. Como existe uma variação 
espacial do ( ),cBi X Y seria necessário que a técnica de contagem de sinais fosse 
expandida para este caso. 
Os autovalores necessitam de uma técnica específica (contagem de sinais) para 
serem encontrados devido à grande complexidade das autofunções e com isto a 
ocorrência de autovalores em freqüências e amplitudes com variações muito bruscas. 
Exigindo que o método de detecção das raízes das autofunções seja muito refinado e 
desta forma demore um tempo computacional excessivo. 
Desta forma, o termo ( ), , ,i j Zθ β γ τɶ será resolvido numericamente utilizando o 
método de diferenças finitas, conforme descrito a seguir. 
 
4.2 Aplicando Diferenças Finitas na Direção Transversal da Placa 
 
Considerando o método implícito de diferenças finitas as equações governantes 
transformadas (equações 4.8) podem ser reescritas na forma para 0 X A< < ,0 Y B< < e 
para a posição discretizada 0 fk K< < (ver figura 4.1) (PLETCHER e ANDERSON, 
1997) para um tempo discretizado 0n> . 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1, , , 1, , , 1, , , 1 1, , , 1, , , 1 2 2 1
1, , ,* 2
1 1
1 1 1 1
2, , , 2, , , 2, , , 1 2, , , 2, , , 1 2 2 1
2, , ,* 2
2 2
21
21
n n n n n
i j k i j k i j k i j k i j k n
i j i j k
n n n n n
i j k i j k i j k i j k i j k n
i j i j k
Z
Z
θ θ θ θ θ
β γ θ
α τ
θ θ θ θ θ
β γ θ
α τ
+ + + +
− + +
+ + + +
− + +
− − +
= − +
∆ ∆
− − +
= − +
∆ ∆
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ
 (4.20) 
 
Onde o subscrito 1,0,..., , ...c c fk K K K+= , sendo cK e 1cK + as posições de interface 
(como mostra a figura 4.1), e max0,1,...n N= o tempo discretizado. Foram considerados 
na discretização a existência de quatro nós fictícios demonstrados na figura pela linha 
pontilhada e pelo ‘ * ’. Podendo por simplicidade desprezar então o subscrito referente 
ao material 1 e 2, uma vez que o nó discretizado já carrega esta informação. 
 
22 
 
 
Figura 4.1 - Discretização por diferenças finitas ao longo do eixo Z.Reescrevendo a equação (4.20) em 0 X A< < ,0 Y B< < : 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1, , , , 1 , , , , 1
1 1 1
2 2 2, , , , 1 , , , , 1
 
 para 0 1
 
n n n n
i j k i j k i j k i j k
n n n n
i j k i j k i j k i j k
R S R
Z
R S R
θ θ θ θ
θ θ θ θ
+ + +
− +
+ + +
− +
= − + −  < <
= − + − 
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
 (4.21) 
 
onde *
1 1 2
1
R
Z
τα ∆=
∆
 , *
2 2 2
2
R
Z
τα ∆=
∆
, ( )* 2 21 1 1( , ) 2 1i jS i j R α τ β γ = + ∆ + +  , 
( )* 2 22 2 2( , ) 2 1i jS i j R α τ β γ = + ∆ + +  
 
Escrevendo a equação (4.20) para o nó 0k = obtém-se: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1, ,0 , , 1 , ,0 , ,1( , )
n n n n
i j i j i j i jR S i j Rθ θ θ θ
+ + +
−= − + −
ɶ ɶ ɶ ɶ (4.22) 
 
onde o termo ( ) ( )*0
1 1
, , 1 , ,
n n
i j i j K
θ θ+ +− =
ɶ ɶ é a temperatura obtida no nó fictício *0K (Figura 4.1) obtido 
a partir da discretização da condição de contorno em 0Z = , ou seja: 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )*0
1 1 1 11 0
, , 1 , ,0 , ,1*, ,
1
2n n n n
i j i j i ji j K
Z Bi
k
θ θ θ θ+ + + +−
∆= = − +ɶ ɶ ɶ ɶ (4.23) 
 
23 
 
Assim reescrevendo a equação (4.21) utilizando (4.22), a equação para o nó 
0k = pode ser escrita como: 
 
 ( ) ( ) ( )
1 11 0
1 1 1, ,0 , ,0 , ,1*
1
( , ) 2 2n n ni j i j i j
Z Bi
S i j R R
k
θ θ θ+ +
 ∆= + − 
 
ɶ ɶ ɶ (4.24) 
 
Escrevendo a equação (4.20) para o nó fk K= obtém-se: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2 2, , , , 1 , , , , 1
( , )
f f f f
n n n n
i j K i j K i j K i j K
R S i j Rθ θ θ θ+ + +
− +
= − + −ɶ ɶ ɶ ɶ (4.25) 
 
O termo ( ) ( )*
1 1
, , 1 , ,c f
n n
i j K i j K
θ θ+ ++ =
ɶ ɶ é a temperatura obtida no nó fictício em *fK , obtida pela 
equação de contorno discretizada em 1Z = : 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*
1 1 1 12 2
2* *, , 1 , , , , 1, ,
2 2
2 2
,
f f ff
n n n n
i j K i j K i j Ki j K
Z Z
d i j Bi
k k
θ θ θ θ+ + + +
+ −
∆ ∆= = − +ɶɶ ɶ ɶ ɶ (4.26) 
 
Podendo ser reescrita como: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )
1 12 2
2 2 2 2 2* *, , , , 1 , ,
2 2
2 ( , ) 2 2 ,
f f f
n n n
i j K i j K i j K
Z Z
R S i j R Bi R d i j
k k
θ θ θ+ +
−
 ∆ ∆= − + + − 
 
ɶɶ ɶ ɶ (4.27) 
 
Para o primeiro nó de interface, pode-se escrever: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )*
1 1 1
1 1 1, , , , 1 , , , , 1
( , )
c c c c
n n n n
i j K i j K i j K i j K
R S i j Rθ θ θ θ+ + +− += − + −
ɶ ɶ ɶ ɶ (4.28) 
 
O termo ( )*
1
, , 1c
n
i j K
θ +
+
ɶ é obtido de uma das duas equações de contorno discretizadas, 
em cZ Z= , note a utilização do nó fictício de interface 
*
1cK + , assim pode-se escrever: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*
1 1 1 11
, , 1 , , , , 1*, , 1
0 01
2
, , ,
c c cc
n n n n
m u K m u K i j Ki j K
m u
Z
A i j m u
k
θ θ θ θ
∞ ∞
+ + + +
+ −+
= =
∆   = − +   
∑∑ɶ ɶ ɶ ɶ (4.29) 
 
24 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 111 1 1, , , , 1 , , , , 1 , ,*
0 01
2 ( , ) 2 , , ,
c c c c c
n n n n n
i j K i j K i j K m u K m u K
m u
Z
R S i j R A i j m u
k
θ θ θ θ θ
∞ ∞
+ + + +
− +
= =
∆   = − + − −   
∑∑ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ (4.30) 
 
Para o segundo nó da interface pode-se escrever: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )*
1 1 1
2 2 2, , 1 , , 1 , , 2, ,
( , )
c c cc
n n n n
i j K i j K i j Ki j K
R S i j Rθ θ θ θ+ + ++ + += − + −
ɶ ɶ ɶ ɶ (4.31) 
 
O termo ( )*
1
, , c
n
i j K
θ +ɶ sai da manipulação algébrica das duas equações discretizadas do 
contorno na interface, utilizando os nós de interface * 1cK + e 
*
cK : 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*
1 1 1 12
, , 1 , , , , 2*, ,
0 02
2
, , ,
c c cc
n n n n
m u K m u K i j Ki j K
m u
Z
A i j m u
k
θ θ θ θ
∞ ∞
+ + + +
+ +
= =
∆   = − − +   
∑∑ɶ ɶ ɶ ɶ (4.32) 
 
Desta forma a segunda equação discretizada na interface pode ser escrita como: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 122 2 2, , 1 , , 1 , , , , 1 , , 2*
0 02
2 , , , ( , ) 2
c c c c c
n n n n n
i j K m u K m u K i j K i j K
m u
Z
R A i j m u S i j R
k
θ θ θ θ θ
∞ ∞
+ + + +
+ + + +
= =
∆   = − + −   
∑∑ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ (4.33) 
 
Em resumo pode-se reescrever o problema (4.20) a (4.33) discretizado pelo 
método de diferenças finitas na direção Z, como sendo: 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 11 0
1 1 1, ,0 , ,0 , ,1*
1
1 1 1
1 1 1, , , , 1 , , , , 1
1 1 11
1 1 1, , , , 1 , , , , 1 , ,*
1
( , ) 2 2
( , )
2 ( , ) 2 , , ,
c c c c
n n n
i j i j i j
n n n n
i j k i j k i j k i j k
n n n n
i j K i j K i j K m u K m u
Z Bi
S i j R R
k
R S i j R
Z
R S i j R A i j m u
k
θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ
+ +
+ + +
− +
+ + +
− +
 ∆
= + − 
 
= − + −
∆
= − + − −
ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
0 0
1 1 1 12
2 2 2, , 1 , , 1 , , , , 1 , , 2*
0 02
1 1
2 2 2, , , , 1 , , , , 1
2 , , , ( , ) 2
( , )
c
c c c c c
n
K
m u
n n n n n
i j K m u K m u K i j K i j K
m u
n n n n
i j k i j k i j k i j k
Z
R A i j m u S i j R
k
R S i j R
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
∞ ∞
+
= =
∞ ∞
+ + + +
+ + + +
= =
+ + +
− +
   
    

∆    = − + −    
= − + −
∑∑
∑∑ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 12 2
2 2 2 2 2* *, , , , 1 , ,
2 2
2 ( , ) 2 2 ,
f f f
n n n
i j K i j K i j K
Z Z
R S i j R Bi R d i j
k k
θ θ θ+ +
−














 ∆ ∆
= − + + − 
  
ɶɶ ɶ ɶ
 (4.34) 
 
25 
 
O sistema dado pelas equações (4.34) é resolvido para cada um dos índices i,j 
resultantes da transformação integral nas direções X e Y, conforme detalhado acima na 
seção 4.1. Este sistema é acoplado nas condições de contorno na interface cZ Z= , que 
resulta nas equações discretizadas (4.34). A solução numérica deste sistema acoplado é 
discutida abaixo. 
 
4.3 Implementação Numérica 
 
O sistema (4.34) foi resolvido numericamente em ambiente de programação 
FORTRAN. Para isto, foi utilizado o método de Gauss-Seidel com SOR (successive 
over relaxation), que é uma técnica utilizada comumente para acelerar a convergênca de 
métodos iterativos de ponto fixo como o Gauss Seidel.(CONTE e DE BOOR, 1980). 
Uma vez que o sistema esta discretizado e os nós de interface são ck K= e 1ck K= + , 
pode-se reescrever o sistema de equações (4.35) da seguinte forma: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 0
1 1 1, ,0 , ,0 , ,1 *
1
1 1 1
1 1 1, , , , , , 1 , , 1
1 1 11
1 1, , , , , , 1 , , 1 , ,*
1
2 ( , ) 2
( , )
2 2 , , ,
c c c c
n n n
i j i j i j
n n n n
i j k i j k i j k i j k
n n n n
i j K i j K i j K m u K m u K
Z Bi
R S i j R
k
R R S i j
Z
R R A i j m u
k
θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ
+ +
+ + +
− +
+ + +
− +
 ∆ = + +    
 = + +
 
∆= + + −
ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
0 0
1 1 1 12
2 2 2, , 1 , , 1 , , 1 , , , , 2*
0 02
1 1
2 2, , , , , , 1 , ,
( , )
2 , , , 2 ( , )
c
c c c c c
n
m u
n n n n n
i j K i j K m u K m u K i j K
m u
n n n
i j k i j k i j k i j k
S i j
Z
R A i j m u R S i j
k
R R
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
∞ ∞
+
= =
∞ ∞
+ + + +
+ + + +
= =
+ +
− +
   
     
 ∆   = − − +     
= + +
∑∑
∑∑ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
21
1 1 2 2
2 2 2 2 2* *, , , , , , 1
2 2
( , )
2 2 , ( , ) 2
f f f
n
n n n
i j K i j K i j K
S i j
Z Z
R R d i j S i j R Bi
k k
θ θ θ
+
+ +
−













 
 

   ∆ ∆ = + + +        
ɶɶ ɶ ɶ
 (4.35) 
 
Existem, portanto, dois nós de interface referentes às duas temperaturas 
existentes no mesmo ponto, na posição cZ Z= , um para o material 1 e outro para 2 
respectivamente. 
Como pode ser observado, para a solução do problema é necessário que se saiba 
a priori os valores de ( ) ( )
1 1
, , 1 , , e c c
n n
m u K m u Kθ θ
+ +
+
ɶ ɶ . Então a forma definida neste trabalho para 
conseguir calcular as temperaturas a cada tempo foi considerando um método iterativo. 
26 
 
Assim obtêm-se ( ) ( )
1 1
, , 1 , , e c c
n n
i j K i j Kθ θ
+ +
+
ɶ ɶ ao final do processo iterativo do método de Gauss-
Seidel com SOR (CONTE e DE BOOR, 1980). 
A solução final do problema é encontrada ao substituir os resultados obtidos