282248468-Resistencia-Dos-Materiais-IsEP

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Resistência de Materiais I - Teoria 
 
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Carlos França Nº980012 
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência de Materiais I 
 
Teoria 
 
 
 
 
Elaborado por: Carlos França Nº980012 
 
 
 
 
I.S.E.P – 2001/2002 
 
 
Resistência de Materiais I - Teoria 
 
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2
 
Esforços - Relação entre M , q e T 
 
 
 
 
 
 S 
 
 
 q ( z ) 
 W = q . dz 
 
 
 
 z 
 
 
 
 
 
 
 
 s 
 
 
 S 
 
 
Analisando : 
 
 
 
Secção SS : 
 
 
 S 
 
 
M = VA . S - q . dz ( S – Z ) 
 
 a 
 
 
 S S 
 
 = VA . S - q . S . dz + q . z . dz 
 
 a a 
 
 
 
 
 S S 
 
 = VA . S – S q . dz + q . z . dz 
 1 
 a a 
 
 
 
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3
 
 
 
 s 
 
 T = VA - q . dz 2 
 
 a 
 
 
 
 
 
- Derivando o Momento ( dm / ds ) 
 
 
 
 
 
 ´ ´ 
 S S S 
 
 = VA - q . dz - S q . dz + q . z . dz 
 
 a a a 
 
 
 
 S 
 
............... resolvendo o integral ..... VA - q.dz - Sq + qS 
 
 a 
 
 s 
 
 dm / ds = VA - q . dz ( dm / d t ) = T 1 = 2 
 
 a 
 
 
 
- Derivando o Esforço Transverso ( dt / ds ) 
 
 
 
 ´ 
 s 
 
 dt / ds = - q . dz = - q 
 
 a 
 
 
 
 
 
dt / ds = - q 
 
 
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Diagramas de Esforços - Barra Inclinada solicitada com carga horizontal 
 
 
 
Considerando a figura: 
 
 
 
 q 
 
 
 q . l . senα q . l . cosα 
 
 q.l 
 Vb 
 
 
 
 
 L l = L . cos α 
 
 Va L = l / ( cos α ) 
 
 
 
 l 
 
 
 
 
Analisando : 
 
 
 
 
 s 
 S 
 
 
 P (s ) 
 
 
 D (s ) 
 
 
 S 
 
 
 L = l / cos α 
 
 
 
 
 
 
 
 
α=
α
α= 2cos.q
cos
l.cos.l.p)s(P
αα=
α
α= cossen.q
cos
l.sen.l.p)s(D
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5
 
M, T e N em função de s 
 
 
 
 
 
Ts = Va . senα - q ( cosα ) ² . s 
 
 
Ns = Va . senα + q ( sen α . cos α ) . s 
 
 
 
 
Diagrama de Esforços 
 
 
 
 
 
 
 
 -Ve.cos α 
 
 
 Ve.cos α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mmáx = q. l ² / 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
s.s.)(cosqs).cos.Va(Ms 2α−α=
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Diagramas de Esforços - Barra Inclinada solicitada com carga vertical 
 
 
 
Considerando a figura: 
 
 
 
 
 
 
 q . h . cosα 
 q h 
 q.h 
 Vb 
 q . l . senα 
 
 
 
 L 
 
 Va 
 
 
 
 l 
 
 
 
 
Analisando : 
 
 
 
 
 s 
 S 
 
 
 P (s ) 
 
 
 D (s ) 
 
 
 S 
 
 
 
 
 
 
 
• P = q . h P = q .cos²α L = q.senαcosα 
 
• α=
α
α
= 2sen.q
sen
h
sen.h.qP α=
α
α
= 2cos.q
sen
h
cos.h.qL
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M, T e N em função de s 
 
 
 
 
 
Ts = Va . cosα - q ( cosα ) ² . s 
 
 
Ns = -Va . senα + q ( sen α . cos α ) . s 
 
 
 
 
Diagrama de Esforços 
 
 
 
 
 
 
 
 -Ve.cos α 
 
 
 Ve.cos α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mmáx = q. l ² / 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
s.s.)(cosqs).cos.Va(Ms 2α−α=
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Quadro representativo de esforços e funções para esboço 
de carregamentos e diagramas de esforços 
 
 
 
 
 Q Q = 0 Q = Constante 
 
 
 
 
Carga Ascendente 
Q = 1º Grau 
 
 
 
 Q = 2º Grau 
 
 T 
+ 
 Constante 
- 
 
 
 1º Grau 
 
 2º Grau 
 
 2º Grau 
 
 3º Grau 
 M 
 
 1º Grau 1º Grau 
 
 
 
 
 
Crescente Decrescente 
 
 2º Grau 
 
 3º Grau 
 
 3º Grau 
 
 4º Grau 
 
 
 
 
 
• Esforço T Positivo – Momento F crescente 
 
• Esforço T Negativo – Momento F decrescente 
 
• Esforço T Nulo – Momento F é máximo ou mínimo 
 
 
 
 
• Se 2
2
dz
Td
 < 0 - A curvatura do diagrama do Esforço transverso é voltada para baixo 
 
 
 
• Se > 0 - A curvatura do diagrama do Esforço transverso é voltada para cima 
 
 
 
 
 
 
 
2 
2 
dz 
T d 
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Esboçar diagramas de esforços 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esforço transverso 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esforço Axial 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Princípio de Saint – Venant 
 
 
As tensões e as deformações em secções suficientemente afastadas dos pontos de aplicação das forças 
exteriores não depenem da forma como essas forças são aplicadas, mas unicamente da sua resultante. 
Na prática esta hipótese verifica-se desde que a distância da secção em estudo á força concentrada mais 
próxima seja igual ou superior á maior das dimensões da secção transversal recta. 
È um princípio de grande utilidade, na medida em que permite tratar sistemas de forças considerando apenas 
a sua resultante, simplificando e reduzindo assim o volume de cálculos necessários á resolução de um 
determinado problema. 
 
 
Considere-se a barra prismática abaixo visualizada, quando é sujeita á acção de três sistemas de forças com 
iguais resultantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verifica-se que as tensões a uma distância superiorá dimensão transversal da peça podem ser aceites como 
iguais nos três casos. 
Este princípio pode ser aceite como válido mesmo em presença de comportamentos não lineares e não 
isotrópicos ou de não homogeneidade do material ou materiais que constituem o corpo. 
 
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Hipótese de Navier – Bernoulli 
 
 
Considerando uma peça linear cuja S.T.R é constante e simétrica em relação ao plano de carga, em que as 
propriedades do material são constantes ao longo do comprimento, sujeita o esforço transverso nulo e 
momento flector constante ( flexão pura ). 
A flexão pura é definida de tal forma que todas as secções existentes numa zona em que o momento flector é 
constante rodam com centro num ponto O que é o centro de curvatura. 
 
 
 
 
 
 
Analisando: 
 
 
 
As secções equidistantes AD, BE, CF, antes da deformação, rodaram com centro no ponto O e passaram 
respectivamente a A1D1, B1E1, C1F1 , depois da deformação e mantiveram-se planas depois da deformação. 
 
 
Hipótese de Bernoulli – Na flexão pura num plano de simetria as secções planas antes da deformação 
permanecem planas depois da deformação. 
 
 
 
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Comportamentos de materiais dúcteis e frágeis 
 
 
Considere-se uma barra de aço macio ( aço constituído por ferro puro ) de secção circular, á qual se aplica 
um esforço axial de tracção N. 
Esse esforço vai provocar uma alongamento ( ∆L ) na barra, em que se o esforço axial for aumentando 
gradualmente de zero até ao valor que provoca a rotura e for medido poder-se traduzir essa relação no 
seguinte gráfico: 
 
 
 
 
Neste diagrama pode distinguir-se diferentes fases: 
 
A - Limite de proporcionalidade 
B - Limite de Elasticidade 
C – Limite superior de cedência ou fluência 
D – Limite inferior de cedência 
 
AO – as deformações são proporcionais aos esforços; deformações reversíveis; comportamento elástico 
linear; o material encontra-se em fase de serviço. ( Elasticidade Linear ) → Verifica-se a Lei de 
Hooke, o qual depende das propriedades do material. 
 
 
AB – deformação elástica, não existe proporcionalidade mas as deformações são reversíveis. Enquanto a 
tensão não atingir o ponto B, as deformações anulam-se sempre que se anule a carga. 
 
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BC – deformações deixam de ser reversíveis, material deixa de ter comportamento elástico e passa a ter 
comportamento plástico. 
 
CE – a deformação aumenta sem variação sensível da carga - zona de escoamento plástico ou patamar de 
cedência. 
 
EF – um pequeno aumento de carga corresponde a uma grande deformação – patamar das grandes 
deformações. 
 
F - atinge a tensão máxima antes da rotura – diminuição da secção da recta ( estricção ) 
 
G – zona de rotura 
 
 
 
 
Nota : obteríamos um diagrama semelhante se a peça estivesse á compressão, excepto no que respeita á 
estricção. 
 
 
 
Materiais dúcteis – aço, alumínio, cobre. 
 
 
 
Tensão de cedência de uma aço – A tensão de cedência ou fluência verifica-se em fase de escoamento. 
Quando o teste é realizado cuidadosamente, é possível distinguir entre o valor superior e o valor inferior de 
escoamento, adoptando-se o valor inferior, porque o valor superior é momentâneo, para a determinação da 
tensão de escoamento. 
 
 
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Tensão Convencional de proporcionalidade a 0.2 % de um Aço 
 
 
 
No caso do alumínio ( fig.b ) e de muitos outros materiais dúcteis, o início do escoamento não é caracterizado 
pelo trecho horizontal do diagrama (trecho este conhecido como patamar de escoamento) 
Em vez disso as tensões continuam aumentando embora não mais de maneira linear até que a tensão última é 
alcançada. Começa então a estricção que pode levar à ruptura. Para esses materiais se define um valor 
convencional para a tensão σe. 
A tensão convencional de escoamento é obtida tomando-se no eixo das abcissas a deformação específica ε = 
0,2% (ou ε = 0,002), e por esse ponto traçando-se uma recta paralela ao trecho linear inicial do diagrama 
(Fig. a). A tensão (σe corresponde ao ponto de intersecção dessa recta com o diagrama; é definida como 
tensão convencional a 0,2%. 
 
Materiais Frágeis 
 
São caracterizados por uma rotura que ocorre sem mudança sensível no modo de deformação do material. 
Não existe diferença entre tensão última e tensão de rotura. 
A deformação é muito menor nos materiais frágeis e não se verifica a estricção. 
Materiais como ferro fundido, pedra, vidro, betão e madeira. 
 
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Lei de Hooke 
 
 
Considere uma barra homogénea de comprimento L e secção transversal uniforme de área A sujeita à força 
axial concentrada P. 
Se a tensão actuante não exceder o limite de proporcionalidade do material, podemos então analisar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Tensão σ = P / A 
 
 
• ε = ∆L / L - Alongamento unitário ou encurtamento unitário ou relativo 
 
 
 
Por dedução temos: 
 
 
 
 
 
 E – módulo de elasticidade longitudinal ; Young ; Proporcionalidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Lei de Hooke – As tensões são proporcionais as extensões e vice-versa 
 
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Lei de Hooke Generalizada 
 
 
Considerando σxx, σyy, σzz diferentes de zero, o paralelepípedo elementar irá apresentar extensões segundo 
os eixos dos X, Y, Z respectivamente Exx, Eyy, Exx. 
Verifica-se efectivamente que em todos os materiais elásticos que sofrem um alongamento e: xx na direcção 
xx, proveniente da tensão O' xx e só dessa, se dá um encurtamento e: yy e e: zz nas direcções que lhe são 
perpendiculares . 
É o chamado efeito de Poisson. 
 
Considerando que σxx, σyy, σzz são tensões principais 
 
 
 
 
 
Pelas noções de : - Coeficiente de Poisson 
 
- Módulo de Young 
 
- Lei de Hooke 
 
Pode-se analisar que: 
 
Exx = Exx` + Exx`` + Exx`` 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E
xxxx σ=ε
E
yy´xx σ=ε
E
zz´´xx σ=ε
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Substituindo: 
 
 
εxx =
E
1
 [ σxx – v( σyy + σzz ) ] 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
Como as tensões tangenciais apenas provocam deslizamentos ( corte puro ) , não têm qualquer influência 
sobre as extensões. 
 
 
Para o caso em que σxx, σyy, σzz não são tensões principais, a lei de Hooke será: 
 
 
 
 
 
 
 
Se for impossível ao corpo apresentar extensões segundo uma das direcções quando solicitado, impondo Ezz 
= 0 , as restantes extensões serão paralelas ao plano OXY. 
O corpo está num “ Estado Plando de Deformação “ 
 
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Esforço Axial tendo em conta o peso próprio 
 
 
 
Considerando a figura: 
 
 
 
 F 
 
 
 
 - dx Area 
 
 
 
 
 
 L - p.p γ – Peso Específico do Material 
 
 L/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 p.p = A . dx . γ 
 
 
 
dx..A.dxF
A.E
1)total(l
L
0
x
0
∫ ∫ 





γ+=∆ 
 
 
 
2
L.
A.E
.A
A.E
L.Fl
2γ
+=∆ 
 
 
2
L.L..A.
A.E
1l γ=∆ 
 
 
 
L.N.
A.E
1l =∆ 
 
L.N.
A.E
1
A.E
L.Nl ==∆
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Coeficiente de Poisson 
 
Valor absoluto da relação entre a deformação específica transversal e a deformação específica longitudinal. 
 
 
 
Analisando: 
 
 
 
σy = σz = 0 ; ε(z) = ε(y) Deformação específica transversal 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 L(x) 
 
 
P P a 
 a` 
 
 
 
 ∆L(x) 
 
Extensão longitudinal 
 
ε(x) = ∆L(x) / L 
 
∆L(x) – alongamento unitário longitudinal 
 
 
Extensão transversal 
 
∆a = a – a´ 
εt = ∆a (t) / a 
 
∆a (t) – encurtamento unitário transversal 
 
εz = segundo o eixo zz 
εy = segundo o eixo yy 
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dθ 
 
Tensão em vasos de pressão de paredes finas 
 
 
 
 
Analisando as figuras: 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando em corte : 
 
 
 Y 
 dθ dθ 
 
 
 
 
 X 
 Raio = r 
 
 
P P (σy ) 
 
 
 
Como o ângulo é muito pequeno temos tg ( θ ) ≈ θ 
 
 
p = pressão interna 
 
 
( r . dθ ) . p .1 = F 
 
 
 
 
 
 
 ( r . dθ ) . p . senθ 
 
 r 
 
 
 
 
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Calculando o integral : 
 
 
Equilíbrio Circunferencial - Tensões ( σy ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 90 
P = p . r [ - cos ( θ ) ] 
 0 
 
 
 
 
 Rotura longitudinal 
 
 
 
 
 
Equilíbrio Axial - Tensões ( σx ) 
 
 
 
 
 2π . r .e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 π . r^2 .p 
 
 
 
Conclusão : A tensão Circunferencial ( σy ) é dupla da tensão axial ( σx ) 
 
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Variação térmica em peças hiperestáticas por condições externas 
 
 
 
Considerando uma barra homogénea de S.T.R uniforme, se aumentarmos a temperatura verifica-se que o seu 
comprimento aumenta, sendo essa variação proporcional á temperatura. 
 
 
 
 
 Barra em compressão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando barra a sofrer compressão : 
 
 
 
 
 
 
 Deformação térmica específica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Princípio da Sobreposição de Efeitos 
 
 
O efeito produzido por várias forças que actuam simultaneamente num corpo em equilíbrio é igual á soma 
dos efeitos produzidos por cada uma das forças actuando separadamente. 
A tensão final ou deformação produzidas pode ser obtido pela soma das tensões ou deformações produzidas 
por cada uma das forças actuantes. 
 
 
 
 R1 
 
 
 
 1 
 a R2 
 
L N 3 
 
 
 δ 1,3 δ 3,2 
 b 
 R1 
 
 2 
 
 
 R2 
 
 
 
Cálculo : 
 
 
A.E
L.N
=δ 
 
 
 δ 1,3 = δ 3,2 → 
 
 
 
• R1 = N - R2 
 ∆L1 
• ( N – R2 ).a = R2.b ∆L2 
N1 
• Na = R2.a + R2.b = R2 ( a + b ) = R2.L 
 
N1 + N2 
 
Conclusão: 
 
 
 
 
 
A.E
b.2R
A.E
a.1R
=
L
Nb1R =
L
Na2R = A.E
L.N1l2l +∆=∆
A.E
L.1N1l =∆
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Coeficiente de Homogeneização 
 
Considerando uma barra constituídas por dois materiais diferentes sujeita a um esforço de tracção: 
 
 
 
 
 Material A 
 
 
 
 L Material B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 N 
 
 
Calculando o equilíbrio das forças e aplicando a equação compatibilidade deslocamentos: 
 
 
• Na + Nb = N 
 
• ∆L ( a ) = ∆L ( b ) 
 
 
Resolvendo o sistema : 
 
 
• Na + Nb = N 
 
• 
Ab:Eb
Lb.Nb
Aa.Ea
La.Na
= 
 
 
Daqui podemos relacionar: 
 
 
• Na + Nb = N 
 
• 
 
 
 
 
 
 Coeficiente de Homogeneização ( Homogeneização em material 2 ) 
Nb.
La
Lb.
Ab
Aa.
Eb
EaNa =
Eb
Eam =
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25
 
Cálculo de forças e alongamentos em três barras concorrentes num ponto. 
 
 
Considerando a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• ∑Fx = 0 → F1,2 cosα + F1,3 + F1,4 cosα – P = 0 
 
• ∑Fy = 0 → F1,2 senα + F1,4 senα = 0 → F1,2 = F1,4 
 
 
 
 
 δ1,2 = δ1,4 = δ1,1cos α 
 
 
 
 
 
• 
 
 
 
• 2 . F1,2 cosα + F1,3 = P 
 
 
 
• F1,2 = F1,4 
E.A
cosαF1,3.L1,3.
EA
F1,2.L1,2
=
α=
α
cos.L.3,1F
cos
L.2,1F
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26
 
Princípio da Reciprocidade das Tensões 
 
 
 
 
O elemento representado na figura tem lados com dimensões 
infinitesimais dx, dy, dz, encontrando-se o elemento em 
equilíbrio de tensões. Este elemento repre- senta o estado de 
tensões no ponto A, considerando que se despreza a variação 
das tensões ao longo das suas faces. 
No entanto, para haver equilíbrio não pode haver rotação e 
portanto os momentos de todas as forças devem anular-se. 
Considerando assim a rotação do elemento em relação ao eixo 
dos zz e calculando os momentos em relação a esse eixo, vem : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando de maneira análoga os momentos em relação ao eixo dos yy e xx, vinha, 
respectivamente, Txz = Tzx e Tyz = Tzy. Portanto, no caso tridimensional, obtêm-se seis parâmetros 
independentes de tensão: três tensões normais e três tensões de corte. 
 
 
 
 
 
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Flexão 
 
 
Flexão Pura - Apenas existe um momento flector constante 
 
• M = cosntante 
• T = 0 
• N = 0 
 
Flexão Simples – O momento flector é variável 
 
• M = variável 
• T ≠ 0 
• N = 0 
 
Flexão Simples Plana 
 
• Mx ou My = 0 
• T ≠ 0 
• N = 0 
 
Flexão Simples Desviada 
 
• Mx e My ≠ 0 
• T ≠ 0 
• N = 0 
 
 
Flexão Composta - Existe momento flector e esforços axiais 
 
• M = variável• T ≠ 0 
• N ≠ 0 
 
Flexão Composta Plana 
 
• Mx ou My = 0 
• T ≠ 0 
• N ≠ 0 
 
Flexão Composta Desviada 
 
• Mx e My ≠ 0 
• T ≠ 0 
• N = 0 
 
 
Flexão Plana – quando o plano de solicitação contém um dos eixos principais centrais de Inércia da S.T.R 
 
 - o eixo de solicitação coincide com o plano de simetria da deformada do eixo da viga 
 
 - o eixo neutro é baricêntrico 
 
 - o eixo neutro e o eico e solicitação são perpendiculares 
 
 
Flexão Desviada – quando o plano de solicitação não contém nenhum dos eixos principais centrais de inércia 
da S.T.R 
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28
 
Flexão Pura ou Circular 
 
 
Considerando a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma peça está sujeita a flexão pura numa determinada zona quando apenas se exerce momento flector nessa 
zona. 
 
 
 
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29
 
Estas solicitações são muito importantes e ocorrem muitas vezes, na prática, em peças carregadas 
transversalmente, isto é, por cargas actuando em planos perpendiculares ao eixo longitudinal da peça. 
Como se sabe, uma peça está sujeita a flexão pura numa determinada zona quando apenas se exerce momento 
flector nessa zona. Uma maneira prática de obter flexão pura numa peça está representada nas figuras. 
No intervalo A'B' da peça haveria apenas momento flector constante e igual a P.a (fig.c) e portanto a região 
A'B' encontra-se em flexão pura. 
 
 
 
 
 
 
 
Só existe Momento Flector My ( ou Mz ) ≠ 0 e portanto N = Ty = Tz = Mx = Mz ( ou My ) = 0 
 
- Esforço transverso Nulo 
- Momento Flector constante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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30
Fundamento matemático de o facto de a Flexão Pura também se 
designar por Flexão Circular 
 
 
Considerando a seguinte figura: 
 
 
 
 
 
 
 Analisando : 
 
 
- Momento Flector constante, a curva da deformada é constante sendo um arco de circunferência. 
 
- A fibra neutra AB flectiu sem alterar o seu comprimento. 
 
 
• ângulo ϕ de rotação relativa é relacionado com o raio de curvatura 
 
 
 
 
 
• A fibra CD, situada a uma distância y do eixo neutro, sofreu uma extensão : 
 
 
 
 
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31
• Tratando-se de uma peça homogénea constituída por um material de comportamento elástico linear, a 
tensão pode ser obtida pela lei de Hooke unidimensional 
 
 
 
 
• A posição do eixo neutro pode ser determinada pela condição de equilíbrio das forças actuantes na 
direcção normal á secção. Como o esforço axial é nulo, então: 
 
 
 
 
Este integral representa o momento estático da secção relativamente ao eixo neutro. 
O facto de ser nulo significa que o eixo neutro passa pelo centro de gravidade da secção, ou seja, 
é baricêntrico. 
 
 
 
• A condição de equilíbrio de momentos permite relacionar a curvatura com o momento flector actuante, 
obtendo-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 I – momento de inércia da secção relativamente ao eixo neutro 
 
Em fleão pura a deformada é um arco de circunferência, pois Mx, E, Ix são constantes logo ρ é 
constante. 
A quantidade EI = dm / d (1/ρ) designa-se por Rigidez á Flexão, pois relaciona a deformação por 
flexão ( curvatura ) com o esforço que a provoca ( momento flector ) 
 
 
• Substituido temos 
 
 
 
• A tensão máxima ocorre nos pontos mais afastados do eixo neutro, designado por v essa distância, 
obtendo-se a tensão normal máxima 
 
 
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32
 
Rotação relativa de duas secções 
 
 
Considerando uma barra á flexão plana temos: 
 
 
 
 
Analisando: 
 
 
 
Se o momento Mx, E e Ix são constantes logo: 
 
 
 
 
 
Aplicando ao encastramento: 
 
 
 
 
 
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33
 
Diagrama das tensões tangenciais que se verificam numa secção 
transversal rectangular 
Analisando a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento estático ( Q ) é dado por: 
 
 
 
 
 
A tensão tangencial é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - Tensão tangencial Máxima para z=0 
 
 
 - Tensão Média 
 
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34
 
Diagrama das tensões que se verificam numa secção transversal 
recta em I 
 
 
Analisando a figura: 
 
 
 
 
 
 a ` 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a b 
 
 
 
 
 
O momento estático é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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35
Por dedução: 
 
Momento estático total ( Qt ) = Q1 + Q2 
 
 
Expressão Geral - 
 
 
Tensão num ponto 
1b.I
Q.T
= 
 
 
- Diagrama de tensões 
 
 
 
 b a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Para y = 0 → τ (max ) na alma 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Nos pontos a e a` → y = h1/2 - A alma absorve quase todo o esforço transverso 
- Tensão Normal e Momento instalam-se nas abas 
 
 
 - τ (min ) na alma 
 





 +




 −+




 +




 −
4
1h
2
y.y
2
1h.1b
4
1h
4
h.
2
1hh.b
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36
 
Diagrama das tensões que se verificam numa secção transversal 
recta em C 
 
 
Considerando a figura: 
 b 
 
 Aba 
 
 e 
 
 Alma x 
 h e.n 
 y 
 a 
 
 
 
 
 
 
Momento Estático de x em relação ao eixo neutro 
2
h.e.xQ = 
Aba 
 
I
T.
2
h.e.maxx
(max) =τ 
I2
h.e.x.T
= 
 
Alma 
 
 
 
 
 
 Alma Aba 
 
 






−+=
2
y
8
h.a
2
h. e . b Q
22
I.a.2
h.e.b.T
h
y21.
8
h9
2
h.e.b 22
+













−+=τ
I.a.2
h.e.b.T
I.8
h.T(max)
2
+=ι
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37
Diagrama das tensões que se verificam numa secção transversal 
recta em T 
 
 
Tensões Normais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensões Tangenciais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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38
Esforço Rasante ou Fluxo de Corte 
 
Considerar uma viga em balanço que suporta a força P em sua extremidade livre. 
Cortando a viga pela secção A´C´ que passa a uma distância y1 acima da linha neutra e pela secção vertical 
CC´ que passa a uma distância x da extremidade livre da viga, obtém-se a porção AA´ CC´ estando esta 
condicionada pelas forças actuantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Porção AA´ CC´ 
 
 
 
 
 P´ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forças Aplicadas : P´ como parte da força P aplicada 
 V´ como força cortante na secção CC´ 
 σxda como esforços normais que agem também nessa secção 
H como a resultante das forças horizontais provenientes da tensão de cisalhamento 
na face inferior do corpo livre 
 
 
 
 
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39
Partindo da equação: 
 
 
 
 
 
Temos: 
 
 
 
 
 
Por dedução..... relacionado com a figura acima indicada 
 
 
 
 
 
A força horizontal H que provém das tensões de cisalhamento na face inferior da porção ACC`A é 
proporcional ao comprimento x dessa porção. 
Daí ocorre que para um certo valor de y1, o esforço de cisalhamento horizontal por unidade de comprimento 
( H / x ) é constante e igual a PQ / I , sendo expresso por q. 
 
 
 Fluxo de Corte ou Esforço Rasante 
 
 
 
No caso de uma viga submetida a vários carregamentos concentrados ou distribuídos, podemos aplicar o 
princípio da sobreposição para determinarmos o fluxo de cisalhamento q em um certo ponto C´ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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40
 
Vigas de igual resistência 
 
Considera-se vigas de igual resistência vigas não prismáticas, isto é, vigas com uma secção transversal 
variável em que pela escolha da forma e do tamanho da secção transversal variável ,faremos o modulo 
resistente W = I/c variar ao longo do comprimento da viga, da mesma forma que o momento flector M. 
 Com esta situação verifica-se que a máxima tensão normal, em cada secção, é igual a tensão admissível. 
Estas vigas são chamadas vigas de igual resistência. 
Verifica-se que o dimensionamento de vigas em certas secções, as tensões ficam com valores muito baixos 
relativamente á tensão admissível. 
Desse modo, uma viga prismática é quase sempre superdimensionada, e o uso de vigas não prismáticas pode 
levar á economia apreciável de material. 
 
Exemplo: 
 
Peças de componentes de máquinas forjados ou fundidos não é difícil mudar de secção transversal ao longo 
do comprimento, conseguindo a economia de material. 
 
 
 
 
 
O dimensionamento de uma viga é baseado normalmente no valor σm da tensão normal. 
O projecto de uma viga não prismática estará correcto se o módulo resistente W = I/c de cada secção 
transversal satisfazer a equação σm= M / W, onde σm é igual á tensão admissível. 
 
Para um perfil laminado é impraticável variar de secção transversal de modo contínuo ao longo do seu 
comprimento. 
Ainda assim, podemos conseguir boa economia de material pelo uso de placas soldadas em algumas partes 
do perfil, onde o momento flector apresenta valores altos. 
 
 
 
 
 
 
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41
 
Momento Torsor – Secções Circulares Maciças 
 
Considerando a figura: 
 
 
 
 
 
 F 
 
 
 Momento Torsor : 
 
 
 
 Tensão Tangencial 
 
 A τ = k . r´ 
 k – constante de proporcionalidade 
 entre as tensões tangentes 
 
 
Por substituição temos: 
 
 
 
 
 
 r` 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ =τ MT`r.da.
A
F
=τ
∫ = MT`r.da..k
Ip
MT
da.`r
MTk
2
==
∫
`r.
Ip
MT
=τ
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42
 
Fazendo uma pequena analogia : 
 
 
 
E – Módulo de Elasticidade longitudinal 
 
 - Lei de Hooke de Torção – Tensão proporcional á distroção 
 
G – Módulo de Elasticidade Transversal 
 
 
Analisando a figura: 
 
 
 
 
 
 bb´ = r.θ.dz = γ.dz 
 
 γ = r.θ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Módulo de Elasticidade Transversal ou módulo de Coulomb – representado pelo coeficiente ε ou G ( 
para torção ) , é equivalente ao Módulo de Young nas tensões, sendo também válido para materiais em 
regime elástico, homogéneos e isotrópicos, permitindo o cálculo das tensões tangenciais. 
 
Módulo de Rigidez á Torção de uma peça de secção circular – é definido pelo produto G * Ip e traduz a 
maior ou menor capacidade que a peça tem para se opor á deformação. 
 
Módulo de Torção – define-se como a relação 
 
ε=σ .E
γ=τ .G
2
R
R
Ip 3π
=
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Diagramas de distribuição de tensões tangenciais numa secção transversal 
rectangular circular sujeita a esforço de torção 
 
 
Peça Maciça 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Peça Oca 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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44
 
Momento Torsor – Secções Rectangulares Prismáticas 
 
Analisando as figuras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Tensões 
 
 
 b 
 
 
 
 h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Veio encastrado nas duas extremidades e sujeito a um momento de torção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo o sistema: 
 
 
Mb tem valor conhecido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Esforços 
 
 
Mt N.b / L 
 
 + + 
 
 - - 
 
 
• O momento torsor é semelhante á aplicação de uma carga numa viga 
0MbMcMa =−+
Ip.G
Lb.Mc
Ip.G
La.Ma
=