Maximização de Lucros na Teoria Microeconômica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL – UFRGS 
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA 
CURSO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS 
DISCIPLINA: TEORIA MICROECONÔMICA II 
Primeiro Semestre/2001 
Professor: Sabino da Silva Porto Júnior 
Estagio Docência: Rafael Tiecher Cusinato. 
 
 
Notas de Aula 2: MAXIMIZAÇÃO DE LUCROS 
 
 
1. Definições 
(a) Receita total = Preço X quantidade - RT = P x Q 
(b) Receita média = eRM RT q= 
(b) Receita marginal (RMg): 
Receita adicional auferida pela firma através da venda de uma unidade a mais da produção. 
g
RTRM
Q
∂=
∂
 
• Economia: postula comportamento maximizador – firmas maximizam 
lucros; consumidores maximizam utilidade. O cálculo matemático permite 
uma descrição detalhada de tais pontos “extremos”. 
 
 
 
Y 
 C 
 f(x) 
 A 
 
 D 
 B F 
 
x 
• Pontos de Extremo relativo: A, B, C, D, E e F. Em algumas vizinhanças 
eles representam Máximos ou Mínimos de f(x). O adjetivo relativo indica 
que estes são extremos locais apenas, e não o Maximo ou Mínimo global 
sobre todo o conjunto de valores possíveis de x. Todos estes pontos tem 
uma coisa em comum: a inclinação da função naqueles pontos é zero, isto é 
, a função é horizontal em todos estes extremos. 
• Portanto, uma condição para que f(x) tenha máximo ou mínimo local é que 
( ) 0dy dx f x′= = . 
• Considere o ponto C: Imediatamente a esquerda de C a função f(x) está 
crescendo, isto é, f’(x)>0, enquanto a direita de C, f’(x)<0. É por esta razão 
que nós sabemos que ( ) 0f x′ = no ponto C. Alem do mais, nós sabemos que 
a inclinação, f’(x), está continuamente caindo (indo de + para -) à medida 
que passamos por C. Portanto, ( ) 0 em C.f x′′ ≤ 
Nós não podemos ter certeza de que ( ) 0 em C; ( ) 0 e uma possibilidade.f x f x′′ ′′< = 
Contudo, se ( ) ( )
0 0
0 em x=x e se 0 em C,f x f x′ ′′= < então f(x) tem um máximo 
relativo em x=x0. 
Generalizando: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
0 0
Se 0 e 0 ( ) tem um maximo relativo.
Se 0 e 0 ( ) tem um minimo relativo.
Se 0 e 0 ( ) pode ter ou um max imo 
ou um minimo ou nenhum dos dois.
f x f x f x
f x f x f x
f x f x f x
′ ′′= < →
′ ′′= > →
′ ′′= = →
 
• Para uma função diferenciável:
( )
( )
0 Concavidade. 
0 Convexidade.
f x
f x
′′ ≤ ⇒
′′ ≥ ⇒
 
 
Exercícios: 
1. Encontre os extremos relativos, máximo ou mínimo, das seguintes funções: 
a) 2y x= ; 
 
4
3
;
;
y x
y x
= −
=
 
2. Suponha que a demanda do consumidor é dada por 150 .q p= − E que a função 
de custo total da firma é dada por 2 2.CT x= Encontre o preço e quantidade que 
maximizam o lucro desta firma. Analise o comportamento da condição de segunda 
ordem. 
Em concorrência perfeita: RMg = constante = preço= RMe 
(c) Lucro total = Receita total (RT) - Custo total (CT) 
 
Funcao objetivo
max ( ) ( )
Condicao de Maximo:
( ) 0
condicao de primeira ordem:
( ) 0
q
g g
q P q CT q
q
q
RT CT q RM CM
q q
π
π
= ⋅ −
∂ =
∂
∂ ∂− = ⇒ =
∂ ∂
 
Condição de Ótimo: 
g
g
2
2
( ) ( ) ( ) 0
Ou seja, a curva de RM deve ter uma inclinacao menor do que 
a curva de CM no ponto de maximo.
0
g g
g g
x RT x CT x RM CM
RM CMRT
q q q
π′′ ′′ ′′ ′ ′= − = − <
∂ ∂∂ < ⇒ <
∂ ∂ ∂
 
Compare a inclinação da curva de receita marginal com a inclinação da curva de custo 
marginal nos pontos (A e B) no gráfico abaixo. Qual deles é o ponto de ótimo? 
 
Questões: 
1. Por que o ponto onde g gRM CM≠ não pode ser um ponto de Lucro máximo? 
g g
g
g
g
g
Variando o nivel de producao (dq) e da definicao de RM e CM temos:
dRT=RM .
.
 onde implica que:
d =RM
 RM ''e possivel aumentar lucro produzindo-se mais;
Se RM '' pos
g
g
g
dq
dCT CMg dq
De
dq CM dq
Se CM
CM e
π
=
−
> ⇒
< ⇒ sivel aumentar o lucro reduzindo-se a producao.
 
 
 
2. Lucro econômico X lucro contábil 
• Custos de oportunidade = é o número de um determinado bem que poderiam ter sido 
produzido com os recursos usados na produção de um outro determinado bem. 
• Lucro econômico < lucro contábil 
• Lucro econômico= a diferença entre as receitas e as despesas de uma empresa, incluindo 
quaisquer custos de oportunidade. 
• A noção de lucro econômico zero 
 
3. Objetivo da firma 
• Maximizar lucros através da escolha de P e Q ótimos 
 
4. Informações necessárias 
• A curva de demanda da firma 
- para obter RT e RMg para vários valores de Q 
• A função de custos 
- para obter CT e CMg para vários valores de Q 
Questão-chave: 
Em que nível de produção o lucro é maximizado? 
Resposta: 
No nível de produção em que: 
• RT - CT é maior, ou 
• Lucro marginal = 0, ou 
• RMg = CMg 
 
 
 
 
 
 
 
5. Análise Gráfica 
Gráfico 
 CMg 
 
 
 
 
 A B P=RMg=CMg 
 
 
 
 
 Q’ Q* Q 
 
 
 
 Gráfico 1: Análise Marginal da Maximização de Lucros 
CMg 
 
 
 
 
6. Elasticidade 
• Elasticidade: Indica o grau de sensibilidade da DEMANDA em relação a uma variação dos 
preços ou da demanda. 
• Elasticidade-preço da Demanda: variação percentual da quantidade dividida pela variação 
percentual do preço. 
p
.
 d e c a lc u lo :
.
p
p
q q
p p
o u
q p
p q
N o ta c a o
p q
q p
η
η
η
∆=
∆
∆=
∆
∂=
∂
 
 
• Usando a função demanda: 
( )
( )
.
,
p
p
q p a bp
p b
q
bp
a bp
η
η
= −
⇒ = −
−∴ =
−
 
 
• Ou seja, uma mudança percentual na variável dependente devido a uma mudança percentual 
na variável independente, define, a ELASTICIDADE da curva. 
• Suponha que ( )x f p= é a curva de demanda (ou oferta), onde p= preço e x = quantidade 
demandada. A elasticidade é, então, definida como: 
0 0
p
p
lim lim
Se 1 curva e chamada Elastica
Se 0< 1 curva e chamada Inelastica
p p p
x x p x pdx
p p x p xdp
a
a
η
η
η
∆ → ∆ →
∆ ∆= = =
∆ ∆
> →
< →
 
 
Note que as curvas de OFERTA e DEMANDA são normalmente plotadas com a variável 
dependente x no eixo horizontal. Assim, a inclinação dx/dp é, portanto, a recíproca da 
inclinação usual. 
 
Exercícios: 
1. Dada a função bx ap= , mostre que esta função exibe elasticidade constante. 
2. Considere a curva de demanda linear x a bp= − . Onde o preço varia entre 0 e a/b. Estime a elasticidade: em 
qualquer ponto; quando p=0; quando ap b→ ; a elasticidade no ponto médio da curva de demanda, 
.2
ap b= 
• Quanto maior a , que 0 ,p plembrandoη η≤ ≤ ∞ mais elástica a função e, portanto, mais 
sensível a demanda daquele produto a uma variação de preços e vice-versa. 
• De acordo com o nível de preços que esta vigorando no mercado obtém-se um determinado 
nível de sensibilidade dos consumidores a variação de preços. 
• Preços baixos: 0 1 Demanda inelasticapη< < → 
• Preços altos: 1 Demanda Elasticapη > → 
 preço 
 
 pη = ∞ 
 1 ramo Elasticopη > → 
 
 1pη = 
 1 R a m o i n e l a s t i c opη < → 
 
 a/2 q 
 
6.1 Elasticidade e Receita: 
• O aumento de preços implica uma queda na quantidade vendida o que pode manter a receita 
inalterada ou levar ou a uma queda ou a um aumento na receita. O comportamento da receita 
vai depender da Elasticidade-preço do produto, ou seja, há uma relação entre variação da 
receita e o nível deelasticidade-preço do produto. 
• Supondo uma variação do preço do produto: p∆ 
• Novo preço: p+ p∆ 
• Nova quantidade: q q+ ∆ 
( ) ( )
( )
1
1
1
1 0
.
.
Fazendo-se: R=R
.
,
R p q
R p p q q
R pq q p p q pq
R
R p q pq q p p q p q
R q p p q p q
=
= + ∆ + ∆
= + ∆ + ∆ +
∆ −
∆ = − + ∆ + ∆ + ∆
∴ ∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆
 
 
• Para valores pequenos de e qp∆ ∆ pode-se considerar o último termo nulo. 
• Então: 
Dividindo-se por p:
R
p
olocando-se q em evidencia:
1
,
.
1 p
R q p p q
p qq p
p p
Fica
R qq p
p p
ou
R qq p
p p
C
R
R q p
q
p
q
pp
q η
∆ = ∆ + ∆
∆
∆ ∆ ∆= +
∆ ∆ ∆
∆ ∆= +
∆ ∆
∂ ∂= +
∂  = − ∂
∂ ∂
 ∂ ∂
∂
= + ∂  
∴
 
 
Comentários: 
Se 1 0p gRMη > ⇒ < → a receita diminui com o aumento do preço. 
Se 1 0p gRMη < ⇒ > → a receita aumenta quando o preço sobe. 
Ou 
Se 1 0p gRMη < − → > . Portanto, para curvas de demanda elástica, receita total aumenta quando 
quantidade aumenta, isto é, quando preços caem. 
Se 1 0 0p gRMη− < < → < . Portanto, quando demanda é inelástica a receita total cai quando a 
quantidade aumenta, isto é, quando preços sobem. 
Efeito prático: “ Para produtos com demanda muito elástica um aumento do preço acaba reduzindo 
a receita da empresa, pois haverá uma queda nas vendas mais que proporcional ao aumento de 
preços. Assim, produtos que possuem muitos concorrentes similares na praça não permitem uma 
política de alteração de preços lucrativa.” 
 
 
 
7. Elasticidade e Receita marginal 
 
 
 
 
 
 
 1pη = 
 
 
 Demanda 
 
 
 q 
 
 Receita Marginal 
P 
 
g
p
. (1)
Dividindo-se (1) por q:
R
q
:
1
 que:
1
, 1RM 1 (2)
1
g
g
p
R p q q p
pRM p q
q
fica
RM p
Lembran
q p
do
q p
p q p q
q
p
p
p
q
η
η
∆ = ∆ + ∆
∆
∆ ∆= = +
∆ ∆
 
= +
 
=  − 
 
 
∆= =∆ ∆
∆

∴
 
∆
∆ 
 
 
Resultados: 
 Se 
1 0;
1 0;
1 0.
p
p g
g
p g
RM
RM
RM
η
η
η
= ⇒ =
< ⇒ <
> ⇒ >