GEOMETRIA-ANALITICA

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
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SUMÁRIO 
 
NOSSA HISTÓRIA ................................................................................................................................ 2 
1. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS BIDIMENSIONAIS ..................................................... 3 
1.1 Retas Numéricas: Abcissa e Ordenada ................................................................................ 3 
1.2 Pares Ordenados e Localizações no Plano ........................................................................... 4 
1.3 Retas e Circunferências ....................................................................................................... 5 
2. SEÇÕES CÔNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS NO PLANO (PARÁBOLAS, ELIPSES, 
HIPÉRBOLES) .....................................................................................................................................10 
2.1 Elipse .................................................................................................................................10 
3. TRANSLAÇÃO DE EIXOS: SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS ............15 
4. PLANOS E RETAS NO ESPAÇO ....................................................................................................27 
4.1 Produto Interno Entre Vetores no Espaço ..........................................................................27 
4.2 Produto Interno de Dois Vetores .......................................................................................27 
4.3 Equação Cartesiana do Plano no Espaço ............................................................................28 
5. SUPERFÍCIES ..............................................................................................................................31 
5.1 Superfície Quadrática ........................................................................................................31 
REFERENCIAS ....................................................................................................................................34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NOSSA HISTÓRIA 
 
 
A nossa história inicia com a realização do sonho de um grupo de empresários, em 
atender à crescente demanda de alunos para cursos de Graduação e Pós-Graduação. Com 
isso foi criado a nossa instituição, como entidade oferecendo serviços educacionais em nível 
superior. 
A instituição tem por objetivo formar diplomados nas diferentes áreas de 
conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a participação no 
desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua formação contínua. Além de 
promover a divulgação de conhecimentos culturais, científicos e técnicos que constituem 
patrimônio da humanidade e comunicar o saber através do ensino, de publicação ou outras 
normas de comunicação. 
A nossa missão é oferecer qualidade em conhecimento e cultura de forma confiável e 
eficiente para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base profissional e ética. 
Dessa forma, conquistando o espaço de uma das instituições modelo no país na oferta de 
cursos, primando sempre pela inovação tecnológica, excelência no atendimento e valor do 
serviço oferecido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS BIDIMENSIONAIS 
 
O plano cartesiano é um objeto matemático plano e composto por duas retas 
numéricas perpendiculares, ou seja, retas que possuem apenas um ponto em comum, 
formando um ângulo de 90°. Esse ponto comum é conhecido como origem e é nele 
que é marcado o número zero de ambas as retas. O plano cartesiano recebeu esse 
nome por ter sido idealizado por René Descartes e é usado fundamentalmente para 
sistematizar técnicas de localização no plano. 
 
1.1 Retas Numéricas: Abcissa e Ordenada 
 
As duas retas que dão origem ao plano cartesiano precisam ser retas 
numéricas, pois essa é a condição que tornará possível encontrar localizações de 
pontos quaisquer no plano. Essa localização é a base fundamental de muitos 
conhecimentos comuns no cotidiano, como distância entre pontos. 
Uma reta numérica é uma reta comum em que foi estabelecida uma 
correspondência com os números reais. Desse modo, cada ponto da reta está ligado 
a um único número real e é esse fato que permite qualquer localização. Um número 
real qualquer terá apenas uma localização em toda a extensão infinita da reta. 
 
Figura 1: Coordenadas cartesianas 
 
 
Fonte: (SILVA, Luiz. 2020) 
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1.2 Pares Ordenados e Localizações no Plano 
 
Um par ordenado é formado por dois números reais que representam uma 
coordenada. A ordem escolhida é a seguinte: Primeiro vêm as coordenadas x e, 
depois, as coordenadas y, que são colocadas entre parênteses para representar uma 
localização qualquer. Por exemplo, observe a imagem a seguir: 
 
Figura 2: Coordenadas cartesianas 
 
Fonte: (SILVA, Luiz. 2020) 
 
Perceba que o ponto A possui coordenadas x = 2 e y = 3. Caso seja dado um 
ponto para que sua localização seja marcada no plano, como o ponto B = (3, -3), 
devemos primeiro traçar uma linha vertical sobre o número 3 no eixo das abcissas 
(coordenadas x). Isso acontece porque a primeira coordenada sempre é a coordenada 
x. Posteriormente, desenhamos uma linha horizontal sobre o número – 3 no eixo das 
ordenadas (coordenadas y): 
 
Figura 3: Coordenadas cartesianas 
 
Fonte: (SILVA, Luiz. 2020) 
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O ponto B é o encontro entre as linhas horizontais desenhadas, como ilustra a 
imagem acima. 
 
Quadrantes 
Por ser formado por duas retas numéricas, existem algumas particularidades 
do plano cartesiano. Pontos mais à direita possuem coordenada x maior que pontos 
mais à esquerda. Pontos mais para cima possuem coordenada y maior que números 
mais para baixo. 
Além disso, a região onde x e y são positivos simultaneamente é chamada de 
primeiro quadrante. A região onde y é positivo e x é negativo é conhecida como 
segundo quadrante. Já a região onde x e y são negativos simultaneamente é chamada 
de terceiro quadrante. Por fim, quando x é positivo e y é negativo, os pontos estão 
localizados no quarto quadrante. 
Esses quadrantes são numerados em sentido anti-horário, partindo do primeiro 
quadrante, que fica à direta do eixo y e acima do eixo x, como mostra a figura a seguir: 
 
Figura 4: Coordenadas cartesianas 
 
Fonte: (SILVA, Luiz. 2020) 
 
1.3 Retas e Circunferências 
 
Posições relativas entre circunferência e reta 
Reta externa à circunferência 
A reta s é externa à circunferência de centro O e raio R, então podemos 
propor a seguinte situação: a distância do centro da circunferência à reta s é maior 
que o raio da circunferencia. 
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Figura 5: Reta externa à circunferência 
 
Fonte: (SILVA, Luiz. 2020) 
 
A reta s é tangente à circunferência de centro O e raio R, isto é, a reta s 
possui um ponto em comum com a circunferência, por isso podemos dizer que a 
distância entre centro O até a reta s possui a mesma medida. 
 
Figura 6: Reta Tangente a curcunferencia 
 
Fonte: (SILVA, Luiz. 2020) 
 
Reta Secante à circunferência 
A reta s é secante à circunferência de raio R e centro O, a reta intersecta a 
circunferência em dois pontos. Nesse caso constatamos que a medida do raio da 
circunferência é maior que a medida da reta secante. 
 
 
 
 
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Figura 7: Reta Secante a curcunferencia 
D < R 
 
Fonte: (SILVA, Luiz. 2020) 
 
Posições relativas entre duas circunferências 
Não possuem pontos em comum 
 
Figura 8: Circunferencias com pontos em comum 
 
Fonte: (SILVA, Marcos. 2020) 
 
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Possuem um ponto em comum 
Tangentes: as circunferências possuem um ponto em comum. 
 
Figura 9: Circunferencias com um ponto em comum 
 
Fonte: (SILVA, Marcos. 2020) 
 
Possuem dois pontos em comum 
Secante: possuem dois pontos em comum. 
 
Figura 10 : Secante 
 
Fonte: (SILVA,
Marcos. 2020) 
9 
 
 
Circunferências concêntricas 
São circunferências que possuem o mesmo centro, não existindo distância 
entre eles. 
 
Figura 11: Concentrica 
 
Fonte: (SILVA, Marcos. 2020) 
 
Exercicios: 
(PUC-SP) O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 
3) e raio 5. Calcule o valor da coordenada b. 
 
 
 
 
 
 
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2. SEÇÕES CÔNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS NO PLANO 
(PARÁBOLAS, ELIPSES, HIPÉRBOLES) 
 
As figuras geométricas planas conhecidas como cônicas são formadas pela 
intersecção entre um plano e um cone duplo de revolução. São elas: circunferência, 
parábola, hipérbole e elipse. 
O cone duplo de revolução é um sólido geométrico tridimensional obtido por 
meio do giro de uma reta. A figura formada por esse giro, ou seja, o cone duplo de 
revolução, é representada a seguir: 
 
Figura 12: Cônica 
 
Fonte: (SILVA, Luiz. 2020) 
 
2.1 Elipse 
 
Em uma elipse, os pontos F1 e F2 são chamados de focos, e a distância entre 
eles é igual a 2c. Sua definição formal é: dados os pontos F1 e F2, a elipse é o conjunto 
de pontos P em que vale a seguinte expressão: 
 
Isso significa que a elipse é o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias até 
os focos é igual a uma constante. Em outras palavras, o ponto P pertence a uma elipse 
se a soma da distância de P até F1 com a distância de P até F2 é igual a 2a. 
A figura a seguir ilustra uma elipse com as medidas de segmentos importantes 
encontrados nela: 
 
 
 
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Figura 13: Elipse 
 
Fonte: (SILVA, Luiz. 2020) 
 
As elipses possuem duas equações reduzidas. A primeira delas é válida para 
o caso em que os focos dessa figura estão sobre o eixo x e o centro da elipse coincide 
com a origem de um plano cartesiano: 
 
A segunda equação reduzida é válida para os casos em que os vértices da 
elipse estão sobre o eixo y e seu centro sobre a origem do plano cartesiano. 
 
Parábola 
Dada uma reta r e um foco F, a parábola é a cônica na qual todos os seus 
pontos têm a distância até r igual à distância até F. 
A figura a seguir mostra um exemplo de parábola com o ponto P, em que vale: 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 14: Parabola 
 
Fonte: (SILVA, Luiz. 2020) 
 
Toda parábola possui um eixo de simetria, que é a reta “t” na imagem acima. 
Quando esse eixo coincide com o eixo x do plano cartesiano e o vértice da parábola 
coincide com a origem do plano cartesiano, a equação reduzida da parábola é: 
 
Quando o eixo de simetria está sobre o eixo y e o vértice da parábola coincide 
com a origem do plano cartesiano, a equação reduzida da parábola é: 
 
Hipérbole 
Dados os pontos F1 e F2, chamados de focos da hipérbole, e a distância 2c 
entre eles, uma hipérbole é o conjunto de pontos do plano cuja diferença das 
distâncias até os focos é igual à constante 2a. 
Assim, se P é um ponto da hipérbole, vale a expressão: 
 
A imagem a seguir mostra um exemplo de hipérbole e alguns segmentos 
importantes em sua formação: 
 
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Figura 15: Hiperbole 
 
Fonte: (SILVA, Luiz. 2020) 
 
As equações reduzidas da hipérbole também são duas. A primeira é obtida 
quando os focos dessa figura estão sobre o eixo x e seu centro coincide com a origem 
do plano cartesiano: 
 
A segunda é obtida quando os focos da hipérbole estão sobre o eixo y e seu 
centro coincide com a origem do plano cartesiano: 
 
Circunferencia 
As circunferências podem ser obtidas por meio da intersecção de um plano com 
um cone. A definição delas é: dado um ponto C, chamado de centro, e um 
comprimento r, chamado de raio, a circunferência é o conjunto de pontos do plano 
cuja distância até C é sempre igual a r. 
A imagem a seguir mostra um exemplo de circunferência com alguns de seus 
raios. Note que, de acordo com a definição dada, todos os segmentos de reta cujas 
extremidades são o centro e qualquer ponto da circunferência possuem a mesma 
medida. 
 
 
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Figura 16: Circunferência 
 
Fonte: (SILVA, Luiz. 2020) 
 
A equação reduzida da circunferência também pode ser obtida usando a 
distância entre dois pontos. Dados os pontos C (a, b), centro da circunferência, e P (x, 
y) ponto qualquer pertencente a ela, a equação reduzida da circunferência é: 
 
 
\ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica! 
Nos links abaixo voce aprendera um pouco mais sobre as Conicas. 
https://www.youtube.com/watch?v=AQV5O0Go_YE&list=PLcSOBdn7d8z5Ihb8ABYaGA5C3Pb24q1WD 
https://www.youtube.com/watch?v=mCcmt5RyfNI 
https://www.youtube.com/watch?v=9xoLazPxV6w 
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3. TRANSLAÇÃO DE EIXOS: SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS 
TRIDIMENSIONAIS 
 
COORDENADAS E VETORES NO ESPAÇO 
Na Geometria Analítica Plana, estuda-se as relações entre os objetos 
geométricos no plano ortogonal. Seguindo a mesma metodologia, pode-se estudar as 
relações entre os objetos geométricos no espaço, tais como, retas, planos, esfera e 
outras figuras tridimensionais. O conjunto de técnicas equações utilizadas para este 
propósito e chamado de Geometria Analítica Espacial. 
 
Coordenadas no espaço, plano cartesiano 
O sistema de coordenadas cartesianas no espaço (também chamado de 
geometria cartesiana) é um plano cartesiano com 3 eixos (x, y, z) , que é muito 
usado na geometria para descrever a localização de um ponto em um espaço 
tridimensional. 
 
Figura 17: Plano tridimensional 
 
Fonte: (COELHO, Pedro. 2015) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Plotando pontos no Sistema Tridimensional de Coordenadas (Espaço)Plote 
os seguintes pontos no espaço: 
(a) P(3,-1,2) 
Dica! 
Coordenadas no espaço. 
youtube.com/watch?v=Bw-tnfF8s8Q 
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(b) Q(-2,1,-2) 
(c) R(2,2,0) 
 
Para plotar o ponto P(3,-1,2) você deve observar que x = 3, y = -1 e z = 2. 
Comece marcando 3 unidades, a partir da origem, sobre o lado positivo do eixo x. A 
partir daí ande 1 unidade, paralelamente ao eixo y, no sentido negativo do eixo y e, 
em seguida, ande 2 unidades paralelamente ao eixo z, no sentido positivo do eixo z 
(veja a figura abaixo). Os demais pontos são plotados seguindo o mesmo raciocínio. 
 
Figura 18: Sistema Tridimensional de Coordenadas 
 
Fonte: (BIZELLI, Maria. 2020) 
 
Distancia Entre dois Pontos. 
O cálculo da distância entre dois pontos no espaço é um assunto discutido na 
Geometria Analítica e tem suas bases no teorema de Pitágoras. Utilizando esse 
teorema, é possível chegar à fórmula usada para calcular o comprimento do 
segmento de reta que liga dois pontos. 
Para calcular a distância entre dois pontos no espaço, é necessário calcular 
antes a distância entre dois pontos no plano. Adiante demonstraremos como esses 
cálculos são feitos para obter a fórmula em questão 
Existe uma fórmula para calcular a distância entre dois pontos no espaço, 
dada por meio de suas coordenadas. Assim sendo, sejam os pontos A = (xA, yA, zA) 
e B = (xB, yB, zB), a distância entre A e B, denotada por dAB, é dada pela seguinte 
expressão: 
 
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Para calcular a distância entre dois pontos, basta substituir os valores 
numéricos das coordenadas dos pontos em questão na fórmula acima. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
Calcule a distância entre os pontos A = (4, -8, -9) e B = (2, -3, -5). 
 
Obtendo a distância entre dois pontos no espaço 
Na imagem a seguir há três eixos coordenados que representam o que seria 
o equivalente ao plano cartesiano no espaço. Note que fixamos dois pontos nele: 
 
Figura 19: Distância entre dois pontos 
 
Fonte: (SILVA, Luiz. 2020) 
Dica! 
Um pouco mais sobre distância entre dois pontos. 
https://www.youtube.com/watch?v=j0-O9FM1Ntw 
18 
 
 
Para calcular a distância entre esses dois pontos, é necessário calcular a 
distância entre os pontos no plano xy, formados pelas coordenadas (xA, yA) e (xB, 
yB), que serão denotados por A1 e B1, respectivamente. 
Dessa forma, observe que os pontos A1 e B1 estão localizados como 
ilustrado na imagem a seguir e a distância entre eles
é representada pelo segmento 
A1B1. Além disso, a imagem da direita contém um esquema de como essa estrutura 
é vista por cima, o que é chamado de projeção ortogonal sobre o plano xy. 
 
Figura 20: Distância entre dois pontos 
 
Fonte: (SILVA, Luiz. 2020) 
 
Os catetos do triângulo à direita são a diferença entre as coordenadas de 
seus pontos, isto é, a base tem comprimento igual a xB – xA e a altura tem 
comprimento yB – yA. Desse modo, pelo teorema de Pitágoras, temos: 
 
Para obter a distância entre dois pontos no plano, basta extrair a raiz 
quadrada de ambos os lados da equação acima. Contudo, nosso objetivo é obter a 
fórmula para a distância no espaço. Para tanto, observe que o segmento 
A1B1 possui o mesmo tamanho da base do triângulo ABC, ilustrado na figura abaixo. 
 
Figura 21: Distância entre dois pontos 
 
Fonte: (SILVA, Luiz. 2020) 
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Note também que a distância de B até C é justamente a diferença zB – zA, 
pois AC é paralelo a A1B1. Desse modo, pelo teorema de Pitágoras, teremos a 
distância entre A e B, denotada por dAB: 
 
Figura 22: Distância entre dois pontos 
 
Fonte: (SILVA, Luiz. 2020) 
 
a. Ponto Médio 
A posição de um ponto no espaço é definida por coordenadas em relação a 
um sistema de três eixos ortogonais, como mostra a figura. 
 
Figura 23: Ponto no Plano 
 
Fonte: (CONNECTION, Alfa. 2020) 
 
Como representar vetorialmente um ponto no espaço ? 
Um ponto pode ser representado por um vetor de origem sobre a origem dos 
eixos coordenados e de extremidade sobre o ponto. 
20 
 
 
Figura 24: Ponto no Espaço 
 
Fonte: (CONNECTION, Alfa. 2020) 
 
Exemplo 
 
Figura 25: Exemplo 
 
Fonte: (CONNECTION, Alfa. 2020) 
 
Qual é a posição de um ponto que divide um segmento de reta em partes 
cuja razão é k ? 
Considere um ponto P (x;y) que divide o segmento de reta AB em 
partes PA e BP cuja razão é igual a k.. 
 
Figura 26: Ponto Médio 
 
Fonte: (CONNECTION, Alfa. 2020) 
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Qual é a posição do ponto médio de um segmento de reta ? 
Considere um ponto P (x;y;z) que divide o segmento de reta AB em partes 
iguais PA = BP 
Para calcular o ponto médio faremos k = 1 
 
Figura 27: Ponto Médio 
 
Fonte: (CONNECTION, Alfa. 2020) 
 
Qual é a posição do baricentro de um triângulo ? 
Considere o triângulo ABC cujo baricentro é G 
 
Figura 28: Baricentro 
 
Fonte: (CONNECTION, Alfa. 2020) 
 
 
 
 
 
 
Dica! 
Aula de Ponto Medio e Baricentro. 
https://www.youtube.com/watch?v=gHSkOeW1sRc 
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Vetores no Espaço (Operações com Vetores no Espaço) 
Analogamente ao caso do plano, fixado um sistema de coordenadas xyz para 
o espaço, vamos considerar (a não ser que seja dito o contrário) todos os vetores 
com ponto inicial na origem do sistema de coordenadas. Desse modo, um vetor v 
fica perfeitamente determinado pelas coordenadas do ponto (x1 , y1 , z1 ) da sua 
extremidade, como mostra a ilustração a seguir. 
 
Figura 29: Vetor no espaço 
 
Fonte: (DIAS, Claudio. DANTAS, Neusa. 2006) 
 
Figura 30: Operações com vetores 
 
Fonte: (CAPELA, Jorge. CAPELA, Marisa. 2017) 
 
Figura 31: Produto Vetorial 
 
Fonte: (CAPELA, Jorge. CAPELA, Marisa. 2017) 
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Figura 32: Vetores Canônicos 
 
Fonte: (CAPELA, Jorge. CAPELA, Marisa. 2017) 
 
Figura 33: Determinação do Produto Vetorial 
 
Fonte: (CAPELA, Jorge. CAPELA, Marisa. 2017) 
 
Figura 34: Exemplo 
 
Fonte: (CAPELA, Jorge. CAPELA, Marisa. 2017) 
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Figura 35: Relação entre produto vetorial e ângulo entre dois vetores 
 
Fonte: (CAPELA, Jorge. CAPELA, Marisa. 2017) 
 
Figura 36: Produto Vetorial e a área de um paralelogramo 
 
Fonte: (CAPELA, Jorge. CAPELA, Marisa. 2017) 
 
Figura 37: Volume do Paralelogramo 
 
Fonte: (CAPELA, Jorge. CAPELA, Marisa. 2017) 
 
 
 
 
 
 
Dica! 
Vetores no plano e espaço. 
https://www.youtube.com/watch?v=S9zlJFg7pZY 
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Colinearidade e Coplanaridade de Pontos no Espaço. 
 
Vetores coplanares 
Se os vetores não nulos �⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� , e (não importa o número de vetores) 
possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano pi, diz-se 
que eles são coplanares. 
 
Figura 38: Vetores coplanares 
 
Fonte: (Virtuous Tecnologia da Informação, 1998) 
 
Dois vetores 𝑢 ⃗⃗ ⃗e, 𝑣 quaisquer são sempre coplanares, pois podemos 
sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois 
representantes de 𝑢 ⃗⃗ ⃗e, 𝑣 pertencendo a um plano p que passa por este ponto. 
Três vetores poderão ou não ser coplanares. 
 
Figura 39: Vetores coplanares 
 
Fonte: (Virtuous Tecnologia da Informação, 1998) 
 
Figura 40: Vetores coplanares 
 
Fonte: (Virtuous Tecnologia da Informação, 1998) 
26 
 
 
 
 
 
 
 
Vetores colineares 
Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras 
palavras, se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a 
retas paralelas. 
 
Figura 41: Vetores colineares 
 
Fonte: (PALIGA, Aline. 2020) 
 
Figura 42: Vetores colineares 
 
Fonte: (PALIGA, Aline. 2020) 
 
 
 
 
 
 
Vetores no plano e no espaço. 
 
Dica! 
Vetores coplanares. 
https://www.youtube.com/watch?v=SeytZUiWO_s 
Dica! 
Aula de vetores colineares. 
https://www.youtube.com/watch?v=B6xSqhA84cg 
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4. PLANOS E RETAS NO ESPAÇO 
 
4.1 Produto Interno Entre Vetores no Espaço 
 
O produto interno entre dois vetores é um número real que relaciona o módulo 
desses vetores, isto é, seu comprimento, e o ângulo entre eles. Para calculá-lo, é 
necessário, portanto, conhecer seus comprimentos e o ângulo que eles formam. 
Utilizando o plano como base, um vetor indica uma localização, uma 
intensidade, uma direção e um sentido. Por isso, é utilizado nos estudos da 
Mecânica (Física) como representante de uma força aplicada a um objeto. 
 
4.2 Produto Interno de Dois Vetores 
 
Dados dois vetores u e v, o produto interno entre eles é representado por 
<u,v> e é definido como: 
<u,v> = |u||v|·cosθ 
Essa é uma espécie de multiplicação entre dois vetores, porém, não recebe o 
nome de produto por não ser uma multiplicação comum, uma vez que envolve o 
ângulo formado por esses dois vetores. 
 
Ângulo entre dois vetores 
O primeiro resultado decorrente da definição acima é o ângulo entre dois 
vetores. De posse dos números reais “produto interno”, “norma do vetor u” e “norma 
do vetor v”, é possívelcalcular o ângulo entre os vetores u e v. Para isso, basta 
realizar os cálculos: 
<u,v> = |u||v|·cosθ 
<u,v> = cosθ 
|u||v| 
Portanto, dividindo o produto interno pelas normas dos vetores u e v, 
encontramos o número real referente ao cosseno entre esses dois vetores e, 
portanto, o ângulo entre eles. 
Observe que, caso o ângulo entre dois vetores seja reto, o cosθ será igual a 
zero. Logo, o produto acima terá o seguinte resultado: 
<u,v> = 0 
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A partir disso, pode-se concluir que, dados dois vetores u e v, eles serão 
ortogonais se <u,v> = 0. 
Produto interno calculado a partir das coordenadas dos vetores 
Considerando os dois vetores u = (a,b) e v = (c,d), o produto interno entre u e 
v é dado por: 
<u,v> = <(a,b),(c,d)> = a·c + b·d 
Propriedades do produto interno 
Dados os vetores u, v e w e o número real α, observe: 
i) <u,v> = <v,u> 
Isso significa que o produto interno de vetores é “comutativo”. 
ii) <u + v, w> = <u,w> + <v,w> 
Essa propriedade é comparável à distributividade da multiplicação sobre a 
adição. 
iii) <αu,v> = <u,αv> = α<u,v> 
Calcular o produto interno entre u e v multiplicado pelo número real α é o 
mesmo que calcular o produto interno entre αv e u ou entre v e αu. 
iv) <v,v> = 0 <=> v = 0 
O produto interno de v com v só será zero se v for o vetor nulo. 
v) <v,v> ≥ 0 para todo v. 
O produto interno de v com v sempre será maior ou igual a zero. 
 
 
 
 
 
 
4.3 Equação Cartesiana do Plano no Espaço 
 
Dados dois pontos 
 
Se, 
 
Dica! 
Aula de produto escalar
entre vetores. 
https://www.youtube.com/watch?v=8X6e1vggouk 
29 
 
 
é um ponto da reta, então- a forma paramétrica dessa reta é: 
 
a forma simétrica dessa reta é: 
 
Tal que 
 
Observe que: 
 
Figura 43: Equação da reta no espaço 
 
Fonte: (PESCO, Dirceu. 2013) 
 
Dados um ponto 
 
E o vetor 
 
Se 
 
30 
 
 
é um ponto da reta, então- a forma paramétrica dessa reta é : 
 
a forma simétrica dessa reta é: 
 
 
Observe que: 
 
Figura 44: Equação da reta no espaço 
 
Fonte: (PESCO, Dirceu. 2013) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica! 
A aula sobreEquação da reta no espaço 
https://www.youtube.com/watch?v=vmZKGf7Ii9I 
31 
 
 
5. SUPERFÍCIES 
 
5.1 Superfície Quadrática 
 
Uma superfície quádrica é o gráfico de uma equação de segundo grau nas 
variáveis x, y e Z. 
 
Onde A, B, C, D,...J são constantes.  
São as correspondentes tridimensionais das cônicas no plano 
Superfície de Revolução 
Superfície de revolução é a superfície gerada pela rotação ou revolução de 
uma curva plana ou cônica em torno de um de seus eixos ou em torno de uma reta 
fixa pertencente ao plano da curva plana ou cônica. A reta fixa ou eixo em torno 
da(o) qual rotacionou a curva plana ou cônica é denominada de eixo da superfície e 
a curva plana ou cônica é a geratriz. 
Exemplo: 
Obtenha uma equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela 
rotação da cônica 𝑥 2 − 4𝑧 2 = 16 e identifique a superfície em cada caso. 
a) em torno do eixo dos x 
b) em torno do eixo dos z 
Solução: 
 
Portanto, 𝑥2 − 4𝑧2 = 16 é uma hipérbole de eixo transverso ou real sobre 
(paralelo) o eixo das abscissas (eixo dos x) e eixo conjugado ou imaginário sobre 
(paralelo) o eixo das cotas (eixo dos z). 
Resolução letra A. 
32 
 
 
 
 
Resolução Letra B 
33 
 
 
 
 
Resolução Letra B 
 
 
 
34 
 
 
REFERENCIAS 
 
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