2005-dis-clnoliveira

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
Centro de Ciências
Departamento de Física
Excitons em Sistemas Quânticos 0-2D
Claudio Lucas Nunes de Oliveira
Dissertação apresentada ao Departamento de
Física da Universidade Federal do Ceará como
parte dos requisitos para a obtenção do título
de Mestre em Ciências
Orientador: Dr. José Alexander de King Freire 18 de Janeiro de 2005
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
Centro de Ciências
Departamento de Física
Excitons em Sistemas Quânticos 0-2D
Claudio Lucas Nunes de Oliveira
Dissertação apresentada ao Departamento de Física
da Universidade Federal do Ceará como parte dos requisitos
para a obtenção do título de Mestre em Ciências
BANCA EXAMINADORA:
Dr. José Alexander de King Freire (Orientador, UFC)
Prof. Dr. Gil de Aquino Farias (Co-orientador, UFC)
Prof. Dr. Eudenilson Lins de Albuquerque (UFRN)
"Fé inabalável só o é a que pode encarar frente a
frente a razão, em todas as épocas da humanidade".
Allan Kardec
Aos meus pais, a quem eu devo tudo que sou.
À Mariana e ao Matheus, que serão responsáveis por quem eu serei.
Agradecimentos
À Deus por redigir todas as leis da natureza e deixar que nós tentemos decifrá-las.
Ao Prof. José Alexander King Freire pela disponibilidade desta orientação e pela
ajuda prestada durante este trabalho.
Ao Prof. Gil de Aquino Farias pelas discussões esclarecedoras e pelo empenho que
mostra em relação aos alunos.
À coordenação desse curso de Pós-graduação, na pessoa do Prof. José Soares de
Andrade Júnior, pelo apoio necessário à realização deste trabalho.
Ao Prof. Josué pelo imensurável empenho de melhoria e quali�cação desse curso.
Ao Prof. Valder por está sempre buscando novos recursos, dando melhores condições
de trabalho ao grupo.
Aos Profs. da UFC que contribuiram para minha formação e serviram-me como
exemplo de professores, pesquisadores e/ou de pessoas, dentre eles Eloneid, Evangelista,
Murilo, Newton Theó�lo, Raimundo, Ramos, Renan e Siqueira.
Ao Prof. Degani que durante esse último ano, suas idéias, trabalho e as dúvidas que
me tirou foram marcantes nesta dissertação. Ao Jeanlex pela ajuda e dúvidas tiradas
e pelo entusiamo tão grande pelo trabalho que sempre nos contagia. Ao Wagner pela
ajuda dada a mim em momentos de necessidade.
A toda minha família, pois sem sua ajuda seria bem mais difícil para mim seguir
essa carreira que eu escolhi. Em especial, à minha mãe Nadir, ao pai Claudeíde e aos
meus irmãos Tati, Marcus (a quem eu devo minha vinda para a Física), Carol, Larissa
e Dylan.
Aos meus queridos sobrinhos Taís e Gabriel, e ao meu cunhado Emmanuel que
mostrou-se ser como um irmão durante esses anos.
À Mariana pelo grande amor, enorme dedicação e indispensável ajuda prestada
nesta dissertação (sem a qual eu não teria consegido terminar no tempo em que ter-
minei), e a seus pais, Batista e Valéria, pelo apoio e ajuda.
Aos meus amigos Dudu, Felipe, Franciné e Talita pela amizade inestimável. Aos
meus amigos Alan, Aristeu, Bruno Abagaro, David, Francisco Wagner, Kátia, Leandro,
Luciana Magal e Victor que, de certa forma, me ajudaram a enfrentar o curso desde o
ínicio da graduação até agora.
Aos meus amigos da Estação de Trabalho Andrey, Erlârnia, Florêncio, Juciane,
Marilza, Pedro, Rivelino, Teldo e Welberth pelo companheirismo.
As funcionárias da UFC, D. Silva, Creusa, Regina, Rejane e Ana cleide pela disponi-
bilidade, sempre procurando ajudar.
À Capes pelo apoio �nanceiro.
Resumo
A física de sistemas semicondutores de baixa dimensionalidade tem evoluído bas-
tante nas últimas décadas. Em parte, porque essas estruturas oferecem a oportunidade
de testarmos vários modelos teóricos, mas também porque existe um grande potencial
de aplicação tecnológica derivada das propriedades de tais estruturas e dos materiais
que a formam. Como exemplo, temos as heteroestruturas semicondutoras formadas
com os materiais InGaAs e InGaAsP que são de grande utilidade em dispositivos op-
toeletrônico emitindo na região do infravermelho. Nesses sistemas podemos fazer um
con�namento dos portadores de carga, como elétrons e buracos, em uma, duas ou em
três direções, aos quais são chamados de poço (2D), �o (1D) e ponto quântico (0D),
respectivamente.
As propriedades óticas dos semicondutores são determinadas pelos autovalores e au-
tovetores do movimento dos elétrons e buracos. Os excitons que é o par elétron-buraco
interagindo entre si são os maiores responsáveis pela emissão (pico da fotoluminescên-
cia) em sistemas de con�namento em semicondutores. A interação colombiana e o tipo
de con�namento imposto pela construção dessas estruturas junto com suas interfaces
graduais afeta o movimento desses portadores. O nosso objetivo neste trabalho é cal-
cular a energia de emissão dos excitons elétron-buraco leve e elétron-buraco pesado em
poços, �os cilíndricos e em pontos quânticos piramidais em função de seus parâmetros
de dimensionalidade. Os resultados obtidos mostram as energias do exciton no poço e
no �o quântico In0.4Ga0.6As/GaAs na mesma ordem de grandeza, estando na faixa de
0.9 à 1.3 eV. Para o ponto piramidal, as energias de recombinação do par e-hh (e-lh)
estão na faixa de 1.3-1.4 (1.18-1.28) eV.
Abstract
In the last few decades the physics of low dimensional semiconductor systems have
attracted much attention due to the potential applications that arise from their due to
electronic and optical properties. For example, InGaAs and InGaAsP heterostructures
are currently used in optoelectronic applications that operate in the infrared spectrum.
In such systems, the con�nement of charges can be realized in one, two or in three
dimensions.
The optical properties of quantum con�nement systems are basically determined by
electronic transitions. Excitons, formed by an electron-hole pair bounded by coulombic
interaction, are the responsible for the emission wavelenght. The aim of this work is
to computer the ground state exciton energies in quantum wells, cylindrical quantum
wires and pyramidal quantum dots as a function of the their size and shape. The results
show that the exciton energies of In0.4Ga0.6As/GaAs quantum wells and wires are in
the range from 0.9 to 1.3 eV. The results of In0.4Ga0.6As/GaAs pyramidal quantum dots
show that the e-lh (e-hh) recombination energies are approximately 1.3-1.4 (1.18-1.28)
eV.
Índice
1 Introdução 1
1.1 Sistemas Quânticos Con�nados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Bandas de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Massa Efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Potencial de Con�namento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Excitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8 Importância e Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Poços Quânticos 21
2.1 InxGa1−xAs/GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1 Fração Molar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Strain em Poços Quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 (InwGa1−wAs)v(InP)1−v/InP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Fração molar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3 Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Energia de Ligação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1 Método do Potencial Efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 Método Variacional com um Parâmetro . . . . . . . . . . . .. . 36
2.4.3 Método Variacional com dois Parâmetros . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Fios Quânticos 51
3.1 Fração Molar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Energia de Ligação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
i
Índice ii
4 Pontos Quânticos 64
4.1 Método Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Propagação no tempo imaginário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Projeção da função de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Conclusões e Perspectivas 79
Apêndice A 83
Apêndice B 87
Apêndice C 92
Referências 94
Lista de Figuras
1.1 Conforme os átomos se aproximam, a degenerescência dos níveis atômi-
cos é quebrada e as energias são distribuídas em um número de níveis
igual ao número de átomos do sistema. Note que as bandas de energia
assim formadas podem se misturar, e se estes níveis estiverem ocupados,
teremos um sólido com comportamento metálico. . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Bandas de energia: (a) em função de uma direção qualquer do cristal;
(b) em função de ~k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Na �gura vemos, em quatro instantes diferentes, t1, t2, t3 e t4, o elétron
ocupando um buraco e, ao fazer isso, deixa outro buraco para ser ocu-
pado pelo elétron seguinte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Bandas de energia do GaAs [16]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 (a) Potencial de con�namento de poço quântico em função do eixo de
con�namento; (b) Potencial em função do raio de um �o (ponto) quântico. 9
1.6 À esquerda: grá�co ilustrativo mostrando as interfaces normal e inver-
tida de um poço assimétrico; à direita: imagem de dois poços quânticos
obtida por resolução atômica de um XSTM mostrando a concentração
de átomos de Índio (pontos claros) em GaAs [22]. . . . . . . . . . . . . 11
iii
Lista de Figuras iv
1.7 Três poços quânticos com interfaces w1 e w2 e com α diferente para cada
poço. As linhas vermelhas indicam a largura do poço enquanto as pretas
indicam as barreiras. Perceba que a largura do poço é igual para os três
poços, mas a largura efetiva do poço é maior quando α = 0. . . . . . . 12
1.8 Exciton em um poço quântico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Deformação devido ao strain de uma rede cristalina. . . . . . . . . . . . 16
1.10 À esquerda ilustração das bandas de energia sem strain. À direita as
bandas de energia com strain. Perceba que o strain separa o gap das
bandas hh e lh em relação a banda de condução. . . . . . . . . . . . . . 17
1.11 Da esquerda para direita: alguns transistores; um laser emitindo luz
verde e outro emitindo luz vermelha; diodos à base de pontos quânticos
emitindo luz azul e branca. Esse foi o primeiro LED (diodo emissor de
luz) construído com ponto quântico emitindo luz branca [33]. . . . . . . 18
1.12 À esquerda temos uma imagem STEM de dois �os quânticos [34], e à
direita temos uma �gura ilustrativa de um ponto quântico piramidal. . 19
2.1 (a) Potencial de con�namento, L é a largura do poço; (b) Fração molar
dependente da posição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 À esquerda band-o�-set de condução em função do parâmetro de rede
[35]. À direta band-o�-set de valência em função do parâmetro de rede
[35]. Perceba nos grá�cos a diferença nos parâmetros de rede dos binários
InAs e GaAs. Por outro lado o binário InP pode ter seu parâmetro de
rede igual ao InGaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Lista de Figuras v
2.3 Energia de ligação do exciton e-lh (a) e e-hh (b) no estado fundamental
em função da largura do poço In0.4Ga0.6As/GaAs sem strain (à esquerda)
e com strain (à direita), para uma interface abrupta (linhas sólidas) e de
10 Å (linhas tracejadas), usando os métodos potencial efetivo (linhas
pretas), variacional com um parâmetro (linhas vermelhas) e com dois
parâmetros (linhas azuis), com α = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Energia do exciton e-lh (a) e e-hh (b) no estado fundamental em função
da largura do poço In0.4Ga0.6As/GaAs sem strain (à esquerda) e com
strain (à direita) com interface abrupta (linhas pretas) e de 10 Å (linhas
vermelhas), com α = 1. No inset, a subtração da energia do exciton no
poço com w=10 Å pela energia de um poço abrupto. . . . . . . . . . . 43
2.5 Energia do exciton e-lh (a) e e-hh (b) no estado fundamental em função
da espessura das interfaces do poço In0.4Ga0.6As/GaAs sem strain (à
esquerda) e com strain (à direita) com largura de 50 Å (linhas pretas) e
de 100 Å (linhas vermelhas), com α = 1. No inset, a variação da energia
de um poço com espessura w em relação ao caso abrupto. . . . . . . . . 44
2.6 Diagrama interface-alfa (w-α) da energia do exciton e-lh (a) e e-hh (b) no
estado fundamental de um poço In0.4Ga0.6As/GaAs de 50 Å com strain.
Os números nas linhas isoenergéticas (em meV) indicam a energia do
exciton relativa ao poço abrupto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7 Energia de ligação do exciton e-lh (a) e e-hh (b) no estado fundamental
em função da largura do poço (In0.4Ga0.6As)0.85(InP)0.15/InP sem strain,
para uma interface abrupta (linhas sólidas) e de 10 Å (linhas tracejadas),
usando os métodos potencial efetivo (linhas pretas), variacional com um
parâmetro (linhas vermelhas) e com dois parâmetros (linhas azuis), com
α = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Lista de Figuras vi
2.8 Energia do exciton e-lh (a) e e-hh (b) no estado fundamental em função
da largura do poço (In0.4Ga0.6As)0.85(InP)0.15/InP sem strain, com inter-
face abrupta (linhas pretas) e de 10 Å (linhas vermelhas), sendo α = 1.
No inset, a subtração da energia do exciton em um poço com interface
de 10 Å, pela energia de um poço abrupto. . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.9 Energia do exciton e-lh (a) e e-hh (b) no estado fundamental em função
da espessura das interfaces do poço (In0.4Ga0.6As)0.85(InP)0.15/InP sem
strain, com largura de 50 Å (linhas pretas) e de 100 Å (linhas vermel-
has), sendo α = 1. No inset, a variação da energia de um poço com
espessura w em relação ao caso abrupto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.10 Diagrama interface-alfa (w-α) da energia do exciton e-lh (a) e e-hh (b)
no estado fundamental de um poço (In0.4Ga0.6As)0.85(InP)0.15/InP de 50
Å sem strain. Os números nas linhas isoenergética (em meV) indicam
a energia do exciton relativa ao poço abrupto. . . . . . . . . . . . . . . 49
2.11 Energia do exciton e-lh (a) e e-hh (b) no estado fundamental em função
da divisão das interfaces, w2/w1, do poço In0.4Ga0.6As/GaAs com strain
(à esquerda) e do poço (In0.4Ga0.6As)0.85(InP)0.15/InP sem strain (à dire-
ita) com largura de 50 Å (linhas pretas) e de 100 Å (linhas vermelhas),
com α = 1. w1 é mantido à 5 Å e w2 varia de 5 à 15 Å. . . . . . . . . . 50
3.1 (a) Potencial de con�namento em um �o quântico dependente do eixo
ρ, onde R é o raio do �o; (b) fração molar dependente de ρ. . . . . . . . 52
3.2 Ilustração tridimensional do sistema estudado mostrando L e R. . . . . 54
3.3 Energia de ligação do exciton e-lh (a) e e-hh (b) no estado fundamental
em função do raio do �o quântico In0.4Ga0.6As/GaAs sem strain, para
uma interface abrupta (linhas pretas), 5 Å (linhas vermelhas), 10 Å
(linhas verdes) e 15 Å (linhas azuis) usando o método variacional, com
α = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Lista de Figuras vii
3.4Energia do exciton e-lh (a) e e-hh (b) no estado fundamental em função
do raio do �o quântico In0.4Ga0.6As/GaAs sem strain, com interface
abrupta (linhas pretas) e de 10 Å (linhas vermelhas), sendo α = 1. No
inset, a subtração da energia do exciton em um �o com interface de 10
Å, pela energia de um �o abrupto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Energia do exciton e-lh (a) e e-hh (b) no estado fundamental em função
da espessura das interfaces do �o In0.4Ga0.6As/GaAs sem strain, com raio
de 50 Å (linhas pretas) e de 100 Å (linhas vermelhas), sendo α = 1.
No inset, a variação da energia de um �o com espessura w em relação
ao caso abrupto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1 À esquerda: imagem de um plano de pontos quânticos InGaAs, crescido
em uma camada de GaAs por MBE, obtida por SEM [52]; à direita:
imagem de um ponto mostrando seu formato e sua dimensão obtida por
um XSTM [53]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Ilustração tridimensional do sistema estudado mostrando a altura da
pirâmide H, e os lados da base Lx e Ly. Na �gura, a pirâmide está em
cima de uma camada de material diferente da que forma a pirâmide,
mas nós consideramos neste trabalho que a pirâmide está toda coberta
pelo mesmo material que é formada essa camada. . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Projeção no eixo z da função de onda do elétron no tempo inicial (linha
pontilhada preta) e num certo tempo t (linha pontilhada vermelha) em
um ponto piramidal In0.45Ga0.55As/GaAs de altura 60 Å, e Lx = Ly =
100Å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Projeção nos eixos x e z da função de onda do elétron em um ponto
piramidal In0.45Ga0.55As/GaAs de altura 60 Å, e Lx = Ly = 100Å . . . 69
Lista de Figuras viii
4.5 Energia do elétron no estado fundamental em um ponto quântico pi-
ramidal In0.45Ga0.55As/GaAs em função de Ly. A piramide tem a base
quadrada (Lx = Ly). A linha preta é uma piramide com altura de 60 Å,
enquanto a linha vermelha é uma de 70 Å e a linha verde é de 80 Å. A
variação da energia do elétron é quase linear em relação a Lx. A energia
é menor para ponos de alturas maiores, e que essa diferença pode chegar
a 25 meV para pontos com H=60 Å e H=80 Å, com Lx=80 Å. . . . . . 70
4.6 Energia do elétron no estado fundamental de um ponto quântico pi-
ramidal In0.45Ga0.55As/GaAs de altura 60 Å em função de Ly. Com Lx
constante para cada linha colorida, onde Lx = 60 Å (linha preta), Lx
= 70 Å (linha vermelha), Lx = 80 Å (linha verde), Lx = 90 Å (linha
azul escuro) e Lx = 100 Å (linha azul claro). No grá�co à direita, temos
o mesmo grá�co da esquerda, mas, agora, traçamos três linhas retas
(linhas pontilhadas) horizontais, portanto, isoenergéticas e calculamos a
área da base quando essas linhas pontilhadas passam pelas linhas col-
oridas de Lx constante. Comparamos as áreas com a mesma energia e
percebemos que o erro é da ordem de 2%. . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.7 Energia do elétron no estado fundamental de um ponto quântico pi-
ramidal In0.45Ga0.55As/GaAs de altura 70 Å em função de Ly. O que
fazemos, aqui, foi basicamente o mesmo que na Fig. 4.4, mas com a al-
tura da pirâmide diferente. Comparamos as áreas com a mesma energia
e percebemos que o erro, assim como na �gura anterior, é bem pequeno
sendo da ordem de 3%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Lista de Figuras ix
4.8 Energia do elétron no estado fundamental de um ponto quântico pi-
ramidal In0.45Ga0.55As/GaAs de altura 80 Å em função de Ly. O que
fazemos, aqui, foi basicamente o mesmo que na Fig. 4.6, mas com aal-
tura da pirâmide diferente. Comparamos as áreas com a mesma energia
e percebemos que o erro, assim como na �gura anterior, é bem pequeno
sendo menor do que 3%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.9 Energia do buraco pesado no estado fundamental de um ponto quântico
piramidal In0.45Ga0.55As/GaAs de altura 60 Å em função de Ly. Com
Lx constante para cada linha colorida, onde Lx = 60 Å (linha preta),
Lx = 70 Å (linha vermelha), Lx = 80 Å (linha verde), Lx = 90 Å
(linha azul escuro) e Lx = 100 Å (linha azul claro). No grá�co à direita,
temos o mesmo grá�co da esqueda, mas, agora, traçamos três linhas
retas (linhas pontilhadas) horizontais isoenergéticas e calculamos a área
da base quando essas linhas pontilhadas passam pelas linhas coloridas de
Lx constante. Comparamos as áreas com a mesma energia e percebemos
que o erro é da ordem de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.10 Energia de recombinação do par elétron-buraco pesado no estado funda-
mental de um ponto quântico piramidal In0.45Ga0.55As/GaAs de altura
60 Å em função de Ly. Com Lx constante para cada linha colorida,
onde Lx = 60 Å (linha preta), Lx = 70 Å (linha vermelha), Lx = 80 Å
(linha verde), Lx = 90 Å (linha azul escuro) e Lx = 100 Å (linha azul
claro). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Lista de Figuras x
4.11 Energia do buraco leve no estado fundamental de um ponto quântico
piramidal In0.45Ga0.55As/GaAs de altura 60 Å em função de Ly. Com
Lx constante para cada linha colorida, onde Lx = 60 Å (linha preta),
Lx = 70 Å (linha vermelha), Lx = 80 Å (linha verde), Lx = 90 Å
(linha azul escuro) e Lx = 100 Å (linha azul claro). No grá�co à direita,
temos o mesmo grá�co da esqueda, mas, agora, traçamos três linhas
retas (linhas pontilhadas) horizontais isoenergéticas e calculamos a área
da base quando essas linhas pontilhadas passam pelas linhas coloridas de
Lx constante. Comparamos as áreas com a mesma energia e percebemos
que o erro é menor do que 3%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.12 Energia de recombinação do par elétron-buraco leve no estado funda-
mental de um ponto quântico piramidal In0.45Ga0.55As/GaAs de altura
60 Å em função de Ly. Com Lx constante para cada linha colorida, onde
Lx=60 Å (linha preta), Lx = 70 Å (linha vermelha), Lx = 80 Å (linha
verde), Lx = 90 Å (linha azul escuro) e Lx = 100 Å (linha azul claro). 78
A.1 Pontos de discretização. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Lista de Tabelas
2.1 Parâmetros do InAs e do GaAs [36]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Parâmetros da liga InGaAs [36, 40]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Parâmetros do InGaAs para o cálculo do strain [40]. . . . . . . . . . . . 27
2.4 Parâmetros do InP e do GaP [36]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Band-o�-set da liga InGaAsP [36]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Constantes dieléticas do InAs, GaAs, InP e GaP [36, 40]. . . . . . . . . 33
xi
1
Introdução
No começo do século XX, a maior companhia de telefone do mundo, American Tele-
phone and Telegraphe (AT&T), estava para perder a patente de telefone de Alexander
Graham Bell [1], da qual a empresa deixaria de lucrar muito dinheiro. O então presi-
dente da AT&T, Theodore Vail, buscou outra forma para cobrir os lucros perdidos. Sua
solução seria construir um serviço de telefonia transcontinental, ou seja, que os sinais de
telefone percorressem longas distâncias, revolucionando o sistema de telecomunicação.
Na mesma época, o inventor americano Lee De Forest desenvolveu um triodo em
um tubo a vácuo. Esse aparelho poderia ampli�car sinais, incluindo os de telefone,
satisfazendo o desejo de Vail, que comprou logo a patente de De Forest. Assim, uma
conversação por telefone poderia cruzar longas distâncias à medida que ia sendo am-
pli�cada [1, 2]. Mas os tubos a vácuo eram poucos seguros e aqueciam muito, além
de consumir muita energia e queimarem com facilidade. Então, na década de 30, o
laboratório Bell (o laboratório de pesquisa da AT&T) reconheceu que se precisava de
um melhor dispositivo para a empresa de telefone continuar a crescer. A Bell resolveu,
então, investir numa classe de materiais chamados semicondutores [1, 2] para criar umnovo dispositivos que substituísse o triodo.
No �nal da Segunda Guerra Mundial, um grupo de cientistas foi recrutado na Bell
para desenvolver um dispositivo semicondutor a estado sólido que substituísse o tubo
a vácuo. O grupo usaria algumas das vantagens em pesquisa feitas em semicondu-
tores durante a Segunda Guerra destinadas ao radar. Depois de várias tentativas o
1
1.1. Sistemas Quânticos Con�nados 2
grupo construiu, em 1947-48, um transistor de junção (sanduíche). O transistor fez
sucesso porque era mais con�ável, barato, durável, e menor do que as válvulas (além de
consumir pouquíssima energia e dissipar bem menos calor). O transistor também era
mais fácil de ser manufaturado, e funcionava tanto para ampli�car como também para
chaveamento dos sinais. Apartir daí, começou uma nova era na eletrônica mundial e
a pesquisa em semicondutores foi uma das áreas da Física que mais se desenvolveu
[1, 2, 3].
Com o avanço das técnicas de fabricação do transistor e com a mecânica quântica,
que nessa época já estava bem fundamentada, sugiram novas possibilidades de pesquisas
e a criação de novos dispositivos [4], onde não apenas se tinha interresse na aplicação
tecnológica mas também se podia testar as teorias quânticas de tais sistemas.
1.1 Sistemas Quânticos Con�nados
Em 1969-70 [5, 6], Tsu e Esaki propuseram a fabricação de heteroestruturas (união
de materiais diferentes) que deu outro grande impulso à Física de um modo geral, e
não somente à área de semicondutores [3]. Essas heteroestruturas são responsáveis pelo
con�namento de portadores de carga. Existem dois tipos básicos de heteroestruturas
semicondutoras [7]: àquelas obtidas variando o grau de dopagem em um semicondutor,
nas quais o fenômeno de encurvamento das bandas se destaca; e as originadas da
variação do material semicondutor nas camadas, em que a diferença dos gaps desses
materiais e as massas dos portadores de carga têm relevância. Esse último será usado
no presente trabalho.
A escala de comprimento desses dispositivos é da ordem do comprimento de onda de
de Broglie do portador [8]. O portador, então, assume um comportamento ondulatório,
por isso usamos a equação de Schrödinger para descrevê-lo. Quando o potencial da
equação de Schrödinger obedece a condição de contorno do tipo En < lim
x→∞
V(x) [9],
as energias, En, de um dado nível n do portador são con�nadas e quantizadas. V(x)
1.1. Sistemas Quânticos Con�nados 3
é o potencial de con�namento e pode estar em uma, duas ou três dimensões sendo o
sistema correspondente chamando de poços, �os ou pontos quânticos, respectivamente.
A quantização da energia é acompanhada pelo con�namento do movimento do portador
nesta direção. Por isso, os portadores são con�nados a se mover em um plano em um
poço quântico, em uma linha em �os ou em 'ilhas' em pontos.
Apesar de Tsu e Esaki terem proposto esses sistemas no começo da década de
70, somente quatro anos depois foram observados, experimentalmente, os primeiros
fenômenos quânticos em heteroestruturas: Tsu e Esaki, com a ajuda de Chang, obser-
varam o tunelamento ressonante em barreiras duplas [10, 11], Esaki e Chang mediram
as propriedades quânticas de transporte [12], e Dingle, Wiegman e Henry obtiveram o
espectro de absorção de poços quânticos [13].
Figura 1.1: Conforme os átomos se aproximam, a degenerescência dos níveis atômicos
é quebrada e as energias são distribuídas em um número de níveis igual ao número de
átomos do sistema. Note que as bandas de energia assim formadas podem se misturar,
e se estes níveis estiverem ocupados, teremos um sólido com comportamento metálico.
1.2. Bandas de Energia 4
1.2 Bandas de Energia
Considere um sistema de dois átomos, os quais estão separados por uma distân-
cia muito maior que o raio de cada um deles [3]. Todos os níveis eletrônicos deste
sistema são duplamente degenerados com relação à troca de partículas. Por exemplo,
um elétron que está no nível 1s de um desses átomos também pode ocupar o nível
1s do outro átomo: há duas funções de onda distintas com a mesma energia, ou de-
generescência dupla. Em seguida, ao se aproximar os átomos progressivamente, não é
mais possível desprezar a interação entre eles: a degenerescência é quebrada e assim
aparece dois níveis com autofunções e energias distintas.
A extensão desse raciocínio é imediata: num sistema de três átomos todos os níveis
são triplamente degenerados, com quatro átomos os níveis apresentam degenerescência
de ordem quatro, e assim por diante. Se considerarmos N átomos próximos, cada nível
atômico será expandido em N níveis distintos. Como conseqüencia do grande número
de átomos presentes em um cristal (N é da ordem de 1023) e do arranjo periódico destes
átomos formando a rede cristalina, os estados energéticos que descrevem o cristal se
organizam de forma peculiar através do surgimento de faixas contínuas destes estados,
porém limitadas e separadas umas das outras por faixas de energias proibidas. As
faixas de energias permitidas são as chamadas bandas de energia.
Na Fig. 1.1, temos a representação esquemática da discussão acima, mostrando as
bandas de condução e de valência em função da distância entre os átomos. Note que
entre essas duas faixas de estados permitidos existe um intervalo sem estados eletrôni-
cos, chamado gap (que signi�ca intervalo, em inglês) de energia. Dessa forma podemos
caracterizar, a grosso modo, os diferentes materiais em condutores (se não há gap ou
se é muito pequeno) e isolantes (se o gap é grande). Os semicondutores apresentam
gaps com energias da ordem de alguns eV, apresentando tanto características de con-
dutores como de isolantes, em função de parâmetros externos (temperatura, campo
elétrico, etc). Em trabalhos que enfocam materiais semicondutores, geralmente se con-
1.2. Bandas de Energia 5
sidera apenas as bandas de condução e a de valência, tendo as demais pouca in�uência
para as suas propriedades. A Fig. 1.2(a) mostra um per�l simpli�cado das bandas de
condução e valência.
Banda de
Valência
Banda de
Condução
Região
proibida
Eg
(a) (b)
Figura 1.2: Bandas de energia: (a) em função de uma direção qualquer do cristal; (b)
em função de ~k.
Em um cristal isolante, somente na temperatura T=0K a banda de valência está
completamente cheia. Quando a temperatura é maior que zero, elétrons da banda de
valência podem ganhar energia térmica su�ciente para atingirem a banda de condução,
que estava vazia a T=0K. A passagem de elétrons para a banda de condução deixa
na banda de valência estados que se comportam como portadores de carga positiva,
chamados buracos. Os elétrons na banda de condução e os buracos na banda de
valência produzem corrente elétrica sob a ação de um campo externo. A condutividade
do material depende do número de elétrons que passa para a banda de condução. Esse
número é tanto maior quanto maior for a temperatura e quanto menor for a energia do
gap que separa as duas bandas. Os materiais que são isolantes a T=0K mas que têm
o gap relativamente pequeno, da ordem de alguns eV, à temperatura ambiente, têm
condutividade signi�cante e por isso são chamados semicondutores [14].
1.2. Bandas de Energia 6
Ao sair da banda de valência para a de condução, o elétron deixa um buraco na
banda de valência. Esse buraco tem carga, massa e interação com o elétron via atração
Coulombiana. Podemos usar um exemplo simples para entender o porquê do buraco
ter carga, e desta ser positiva. Considere uma cadeia linear de elétrons, representados
por um círculo com um sinal menos dentro, e um buraco, representado por um círculo
com um sinal mais. Ao aplicarmos um campo elétrico ~E, os elétrons serão atraídos
pelo campo (ver Fig. 1.3). À medida que o elétron ocupa um buraco, este deixa outro
buraco que será ocupado pelo elétron seguinte, de tal forma que o buraco movimenta-se
como se estivesse sendo repelido pelo campo, comportando-se como uma partícula de
carga positiva .
Tempo t1
Tempo t2
Tempo t3
Tempo t4E
E
E
E
Figura 1.3: Na �gura vemos, em quatro instantes diferentes, t1, t2, t3 e t4, o elétron
ocupando um buraco e, ao fazer isso, deixa outro buraco para ser ocupado pelo elétron
seguinte.
A banda de condução, entretanto, é instável. Qualquer pertubação causada pela
temperatura, por exemplo, faz com que o elétron retorne para a banda de valência.
Por conservação de energia, o elétron deve emitir a mesma quantidade de energia que
recebeu ao fazer o caminho de volta. A energia liberada pelo elétron é denominada
energia do exciton (como veremos mais adiante), que será o foco do nosso trabalho.
1.3. Massa Efetiva 7
1.3 Massa Efetiva
Em estruturas cristalinas, nas quais o potencial é periódico, o vetor de onda, ~k,
não obedece mais a relação ~p = ~~k [15]. Em razão disso o elétron responde a forças
externas comportando-se como se tivesse a massa diferente.
Uma outra forma de ilustrar as bandas de energia é fazer o grá�co da energia versus
o vetor de onda ~k, como está ilustrado na Fig. 1.2(b). Isso é facilmente veri�cado, em
primeira aproximação, se utilizarmos como exemplo a energia de um elétron livre, a
qual é dada por:
E =
~2
2m0
k2, (1.1)
onde m0 é a massa do elétron livre.
Neste caso foi considerado uma relação isotrópica do vetor de onda com a energia.
Pela diferenciação da Eq. (1.1), temos:
1
m0
=
1
~2
d2E
dk2
, (1.2)
ou seja, podemos calcular a massa livre do elétron pela curvatura da banda.
Expandindo esse pensamento a uma estrutura de banda em um material, podemos
de�nir a massa de um dado portador como uma função da curvatura da banda1. Quanto
mais côncava for a banda, menor a massa associada a ela. Por outro lado, essas bandas
de energia em semicondutores freqüentemente exibem uma relação anisotrópica entre
a energia e o vetor de onda, tal que a energia não é apenas uma função da magnitude
de ~k, mas depende separadamente de kx, ky e kz [16, 17, 18], ou seja, temos uma massa
para cada direção. Chamamos essa massa de massa efetiva.
A massa efetiva, portanto, será diferente de um material a outro, já que a curvatura
da banda é diferente para cada material [16]. Na Fig. 1.4 temos a estrutura de bandas
do GaAs. Esse é um material de gap direto porque a energia mais baixa da banda
1Essa idéia de calcular a massa através de uma derivada não é algo tão novo. Da física clássica,
sabemos que se aplicarmos a um corpo uma força F podemos associar a esse corpo uma massa dada
por: 1m = 1|F| |∂r
2
∂x |.
1.3. Massa Efetiva 8
ihh
ilh
G8
G7
G6
Figura 1.4: Bandas de energia do GaAs [16].
de condução e a energia mais alta da banda de valência estão no mesmo eixo vertical
(ponto Γ). Outros materiais, como o InAs e o InP, também apresentam estrutura de
banda semelhante ao do GaAs [16].
Podemos, também, perceber (Fig. 1.4) que a banda de valência pode ser dividida
em duas bandas, buraco leve e pesado. A banda do buraco leve light hole (lh) é a banda
mais curva entre as duas e a ela está associada uma massa. A banda do buraco pesado
heavy hole (hh) é a banda menos curva das duas e portanto tem uma massa associada
maior do que a do buraco leve, daí os nomes leve e pesado.
De�ne-se, então, o tensor do inverso da massa efetiva cujos elementos para um dado
portador β (β=e,lh,hh - elétron, buraco leve, buraco pesado, respectivamente) é dado
por [17]: (
1
mβ
)
µν
=
1
~2
∂2Eβk
∂kµ∂kν
, (1.3)
onde µ, ν=x,y,z.
1.4. Potencial de Con�namento 9
1.4 Potencial de Con�namento
O con�namento de elétrons, ou de buracos, pode ser feito em uma, duas ou três
dimensões. Quando ocorre em uma, dizemos que o con�namento é 2D (poço quân-
tico), pois refere-se ao número de dimensões livres dos elétrons. Ao con�narmos os
elétrons em duas direções chamamos 1D (�o quântico), e em três 0D (ponto quântico).
Fios quânticos também são chamados de nano�os; e pontos quânticos, às vezes, são
chamados de átomos arti�ciais, pois, tais como em átomos, as energias dos elétrons são
quantizadas e a carga total é restrita a um pequeno número inteiro de elétrons [8].
Eg
B
Vel
Vh
Eg
A
1(a)
Eg
B
Vel
Vh
Eg
A
1(b)
Figura 1.5: (a) Potencial de con�namento de poço quântico em função do eixo de
con�namento; (b) Potencial em função do raio de um �o (ponto) quântico.
Para se construir um desses sistemas é preciso que se cresça um material com gap
menor entre outro material com gapmaior. O avanço das técnicas de crescimento, como,
por exemplo, MOCVD (Metal-Organic Chemical Vapor Deposition) e MBE (Molecular
Beam Epitaxy) [19], tornou possível a construção dessas heteroestruturas em nanomet-
ros [4].
Na Fig. 1.5 temos um per�l de um poço quântico (Fig. 1.5(a)) e o con�namento
de um �o (ou ponto) (Fig. 1.5(b)). A diferença entre o gap maior e o gap menor é a
1.4. Potencial de Con�namento 10
soma dos potenciais Ve e Vh
EAg − EBg = Ve + Vh, (1.4)
onde Ve é a diferença das bandas de condução (potencial de con�namento para os
elétrons que estão na banda de condução) e Vh é a diferença das bandas de valência
(potencial de con�namento para os buracos).
A equação anterior não nos dá o valor de Ve e Vh separadamente. Vamos, então,
de�nir o band-o�-set de condução e de valência, que indica a porcentagem de quanto
da diferença dos gaps vai para o potencial do elétron e quanto vai para o potencial do
buraco. Usando a relação
Ve + Vh
Ve + Vh
=
Ve
Ve + Vh
+
Vh
Ve + Vh
= 1, (1.5)
e chamando
Qc =
Ve
Ve + Vh
, (1.6)
Qv =
Vh
Ve + Vh
, (1.7)
onde Qc é o band-o�-set de condução e Qv2 o de valência, com Qc + Qv = 1. Como
Ve + Vh = E
A
g − EBg , então
Qc =
Ve
EAg − EBg
, (1.8)
Qv =
Vh
EAg − EBg
. (1.9)
Portanto, podemos calcular os potenciais Ve e Vh separadamente em termos da
diferença dos gaps e do respectivo band-o�-set [20, 21]
Ve = Qc(E
A
g − EBg ), (1.10)
Vh = Qv(E
A
g − EBg ). (1.11)
2Qc e Qv são características do material obtidos experimentalmente.
1.5. Interfaces 11
1.5 Interfaces
Apesar dos processos de crescimento de junções de materiais tornarem-se cada vez
mais so�sticados, não há, nas fronteiras dos materiais, uma mudança brusca de um
material para outro, ou seja, nas junções entre os materiais temos tanto átomos do
material da barreira quanto átomos do poço. Isso está ilustrado à esquerda da Fig.
1.6, mas pode ser facilmente observado olhando a imagem (à direita da Fig. 1.6) obtida
com resolução atômica de um XSTM (Cross-Sectional Scanning Tunneling Microscopy)
[22], que mostra dois poços de InGaAs, QW1 e QW2, com diferente concentração de
Índio (indicado pelo grá�co verde, enquanto a reta azul representa a concentração
média). No grá�co à esquerda da Fig. 1.6, temos um poço com interfaces assimétrica
W1 e W2 que são chamadas de interface normal e interface invertida, respectivamente.
Geralmente, devido ao processo de crescimento, as interfaces são assimétricas, com a
interface invertida maior que a normal (w2 > w1).
w1 w2
Figura 1.6: À esquerda: grá�co ilustrativo mostrando as interfaces normal e invertida
de um poço assimétrico; à direita: imagem de dois poços quânticos obtida por resolução
atômica de um XSTM mostrando a concentração de átomos de Índio (pontos claros)
em GaAs [22].
1.5. Interfaces 12
GaAs In Ga Asx 1-x GaAsw1 w2
1a = 0
1a = 1/2
1a = 1
Figura 1.7: Três poços quânticos com interfaces w1 e w2 e com α diferente para cada
poço. As linhas vermelhas indicam a largura do poço enquanto as pretas indicam as
barreiras. Perceba que a largura do poço é igual para os três poços, mas a largura
efetiva do poço é maior quando α = 0.
A região em que o potencial passa de A para B chama-se interface e sua espessura
(à esquerda da Fig. 1.6) pode variar dependendo dos materiais envolvidos ou do modo
de crescimento. Elas são largarmente estudadas desde que foram detectadas por raio-x
e miscrocopia eletrônica [4, 23]. As interfaces podem ser melhor entendidas como uma
região de transição onde os parâmetros de um material A passam continuamente para
os parâmetros do material B [23]. A forma com que a composiçãode uma material varia
na interface modi�ca tanto o potencial de con�namento quanto a massas dos portadores
[24]. A espessura dessas interfaces também tem forte in�uência no con�namento dos
portadores pois muda a largura efetiva do poço quântico.
1.6. Excitons 13
Para a heterojunção GaAs/AlxGa1−xAs foi mostrado que a variação da fração molar
do Alumínio in�uencia na transmissão de um portador através dela [25]. A variação da
fração molar, χ(z), na interface3 é uma função linear com a direção de con�namento,
z, e o potencial nessa região tem uma função quadrática com χ(z), enquanto as massas
efetivas têm uma função linear [24, 25].
Outro parâmetro muito importante é o posicionamento da interface em relação ao
poço de potencial, que chamamos de α. Observando a imagem da Fig. 1.6, é difícil
dizer onde começa e onde termina o poço. Para isso vamos supor que se o potencial
fosse abrupto estaria em cima da linha pontilhada esquerda e direita da Fig. 1.7. Ou
seja, �zemos uma linha de referência do potencial com interfaces graduais em relação ao
seu per�l abrupto. Quando considerarmos as interfaces fora dessas linhas pontilhadas
(linhas de referência) dizemos que α = 0 (neste caso a interface está fora do poço de
potencial); se considerarmos que as linhas pontilhadas estão na metade das interfaces
dizemos que α = 1/2 (metade da interface esta dentro do poço de potencial); e quando
as interfaces estão dentro dessas linhas, então, α = 1 (as interfaces estão dentro do
poço).
1.6 Excitons
Chamamos de exciton o par elétron-buraco (elétron na banda de condução e buraco
na banda de valência) ligados pela interação coulombiana. A condição chefe para a
formação do exciton é que a velocidade de grupo do elétron e do buraco sejam iguais
[26]. Dessa maneira elétrons e buracos podem atravessar o cristal juntos quando estão
ligados. Todo cristal semicondutor, ou isolante, pode apresenta a formação de excitons
[26]. Os excitons foram propostos, primeiramente, por Frenkel [27] que fez uma analogia
entre excitação atômica ou molecular e excitação em estado sólido. Mas neste trabalho,
3onde z é o eixo de con�namento de um poço quântico. No �o quântico cilíndrico χ será função de
ρ, e no caso de um ponto esférico χ será função de r.
1.6. Excitons 14
vamos usar o modelo Wannier-Mott [28, 29] para o cálulo do exciton, onde a ligação
elétron-buraco é fraca, pois descreve melhor excitons em semicondutores, isso porque
os elétrons de valência blindam a interação colombiana.
Iremos trabalhar com dois tipos de exciton: o exciton de buraco pesado, formado
pelo par elétron-buraco pesado (e-hh), ou exciton de buraco leve, formado pelo par
elétron-buraco leve (e-lh). O exciton só irá existir enquanto o elétron permanecer na
banda de condução, pois quando este retorna para a banda de valência ocupa o buraco,
não havendo mais o par. Ao passar da banda de condução para a banda de valência,
o elétron libera energia, e a essa dá-se o nome de energia de emissão do exciton. Para
calculá-la é preciso, também, calcular a energia de ligação do exciton (Eb), que é a
energia que o par gasta para permanecer ligado.
Em um material bulk (onde não há potencial de con�namento), os buracos na banda
de valência migram até o topo da banda, em busca do seu estado de mais baixa energia.
O elétron se comporta de forma semelhante, tendo energia igual ao da borda da banda
de condução [30]. Portanto, para calcular o exciton em um bulk, basta subtrair o gap
do módulo da energia de ligação
Eexc = Eg − |Eb| (bulk), (1.12)
o módulo de Eb é necessário pois o par perde essa energia ao sistema.
Em uma heteroestrutura, o elétron e o buraco não encostam na banda devido à
presença do con�namento, pois tanto o elétron como o buraco têm uma energia miníma,
Ee e Eh, respectivamente, como mostrado na Fig. 1.8, para o poço quântico.
Para calcular o exciton em uma heteroestrutura (tanto em poços quânticos como
em �o ou em pontos), basta fazer
Eexc = Eg + Ee + Eh − |Eb| (heteroestrutura). (1.13)
A energia do elétron e do buraco são obtidas pela solução da equação de Schrödinger
no respectivo con�namento estudado (2, 1 ou 0D). Da mesma forma a energia de ligação
1.7. Strain 15
irá depender do con�namento. Nos Capítulos que seguem apresentaremos os métodos
que foram utilizados no cálculo da energia de ligação dos portadores em cada tipo de
con�namento.
Eg
Ee
Eh
Figura 1.8: Exciton em um poço quântico.
1.7 Strain
Grande parte dos materiais usados na fabricação de dispositivos eletrônicos tem
a estrutura de sólidos cristalinos. Um sólido cristalino é aquele no qual os átomos
estão ligados entre si em uma unidade periódica denominada células unitárias. Isso
signi�ca que os átomos estão situados em um arranjo que se repete ao longo de grandes
distâncias atômicas, onde todas as posições dos átomos no cristal podem ser geradas
mediante translações proporcionais às distâncias inteiras da célula unitária ao longo
de cada uma de suas arestas. O ordenamento regular dos átomos é o arranjo que mi-
nimiza a energia eletrostática total do conjunto. Por esta razão, quando um material
é fundido, e depois resfriado lentamente, os átomos procuram as posições de menor
energia e tendem a formar cristais. Para materiais não cristalinos, chamados amorfos,
essa ordem atômica de longo alcance está ausente.
1.7. Strain 16
(a)1
(b)1
a1a2
a1a3
Figura 1.9: Deformação devido ao strain de uma rede cristalina.
A forma com que esses átomos estão arranjados espacialmente de�ne várias pro-
priedades do material, inclusive o gap. A geometria da célula unitária é completamente
de�nida em termos de seis parâmetros: o comprimento das três arestas a, b e c, chama-
dos de parâmetros de rede, e os ângulos entre os eixos α, β e γ [31]. Essa geometria
é característica do material, podendo materiais diferentes ter células de mesmo for-
mato. Quando juntamos dois materiais de parâmetro de rede diferente ocorre uma
deformação nas células. Isso porque os átomos de cada célula tendem a se ajustar aos
átomos da outra. Na Fig. 1.9 mostramos um esquema bidimensional representando
uma rede cristalina; na Fig. 1.9(a) temos as redes de cada material separadamente,
com parâmetro de rede a1 e a2; na Fig. 1.9(b) os dois materiais aparecem juntos e
as células unitárias estão se ajustando uma a outra, a3 é o antigo parâmetro de rede
a2 que agora se ajustou ao a1. A esse tipo de deformação, no qual um material se
ajusta ao outro, e esse segundo não sofre alteração relevante é chamada pseudomór�ca
[22, 32]. Essa deformação altera o gap do material e separa as bandas de energia do
buraco leve e pesado [22], como está ilustrado na Fig. 1.10. Neste trabalho, quando
considerarmos strain, vamos supor, que as células unitárias do poço se ajustam as da
1.8. Importância e Aplicações 17
barreira, e desprezaremos a deformação da barreira.
hh
lh
1e
hh
lh
1e
Figura 1.10: À esquerda ilustração das bandas de energia sem strain. À direita as
bandas de energia com strain. Perceba que o strain separa o gap das bandas hh e lh
em relação a banda de condução.
1.8 Importância e Aplicações
A possibilidade de manipular a natureza para a obtenção de um resultado previsto é
uma idéia antiga para cientistas e engenheiros. Nas últimas décadas, com o desenvolvi-
mento das técnicas de crescimento e fabricação de novos materiais essa possibilidade
tomou novo impulso e tem atraído muita atenção tanto para ciência pura quanto para
aplicada.
A maioria dos materiais semicondutores usados hoje em dia não são, em geral, en-
contrados na natureza. São produzidos arti�cialmente a partir de compostos químicos
com alto grau de pureza, através de diversos processos, como por exemplo, os mate-
riais binários formados a partir dos grupos III e V da tabela periódica: GaAs, InAs,
AlAs, GaP, etc. A física desses novos semicondutores arti�ciais é derivada das pro-
priedades do material bulk, mas a existência de dispositivos de baixa dimensionalidade
conduza novas propriedades. O aperfeiçoamento de crescimento desses compostos abre
oportunidades para dispositivos com novos potenciais de aplicação.
1.8. Importância e Aplicações 18
Figura 1.11: Da esquerda para direita: alguns transistores; um laser emitindo luz verde
e outro emitindo luz vermelha; diodos à base de pontos quânticos emitindo luz azul e
branca. Esse foi o primeiro LED (diodo emissor de luz) construído com ponto quântico
emitindo luz branca [33].
Muitos materiais empregados em dipositivos semicondutores são fabricados com o
crescimento de camadas graduais de átomos ou moléculas do material desejado, com
espessuras que variam desde alguns angstrons (1Å=10−10 m) até dezenas de microns
(1µm=10−6 m). Em alguns dispositivos, usam-se não apenas camadas de semicondu-
tores, mas também de condutores ou isolantes. Existem várias técnicas de crescimento,
dependendo do sistema que se deseje obter, como por exemplo as técnicas [4, 14, 19, 34]
MBE, MOCVD e VLS (Vapor-Liquid-Solid), muito usadas para a fabricação de poços,
�os e/ou pontos quânticos. Outros exemplos de aplicação de tais estruturas são: re-
sistores, capacitores, camadas magnéticas em dispositivos de gravação, lasers, etc. Na
Fig. 1.11, mostramos alguns dispositivos usados em aplicação tecnológica nos dias de
hoje. À esquerda da Fig. 1.12 temos uma imagem STEM (Scanning Transmission
Electron Microscopy) [34] de dois �os quânticos em que os materiais são alternados
ao longo do seu eixo de simetria, formando uma super-rede (essa estrutura também
é freqüentemente chamada de pontos quânticos empilhados). À direita da Fig. 1.12
temos uma �gura ilustrativa de um ponto quântico piramidal.
Neste trabalho, vamos nos concentrar principalmente nos compostos InAs, GaAs,
InP e GaP. Os dois primeiros formam a liga ternária InGaAs, que é muito usada em
dispositivos eletrônicos de alta velocidade e lasers infra-vermelho. Outras ligas com
1.8. Importância e Aplicações 19
as quais trabalhamos são: GaAsP, usada na fabricação de LED vermelho; e InGaAsP,
uma liga quaternária, usada em dispositivos optoeletrônicos e em transistores de alta
mobilidade eletrônica [35, 36].
Figura 1.12: À esquerda temos uma imagem STEM de dois �os quânticos [34], e à
direita temos uma �gura ilustrativa de um ponto quântico piramidal.
No Capítulo 2 estudamos a in�uência na energia dos excitons e-lh e e-hh em razão
do comprimento e das interfaces em poços quânticos InxGa1−xAs/GaAs com e sem
strain e em poços (InwGa1−wAs)v(InP)1−v/InP sem strain. Para isso usamos três tipos
diferente de cálculo para a energia de ligação que são: o método do potencial efetivo e
os métodos variacionais com um e dois parâmetros.
O estudo de �os foi feito no Capítulo 3, onde supomos um �o cilíndrico in�nitamente
longo, tal que no eixo de simetria um portador de carga está livre de con�namento.
Calcularemos a energia de emissão do exciton em função da interface e do raio em um
�o InxGa1−xAs/GaAs sem strain. A energia de ligação é calculada usando o método
variacional com um parâmetro.
No Capítulo 4, calculamos as energias dos portadores em um ponto quântico pi-
ramidal InxGa1−xAs/GaAs abrupto e sem strain. Analisamos a dependência dessas
energias com a área da base da pirâmide. Somando as energias do elétron com a do
buraco e com o gap temos a energia de recombinação do par elétron-buraco, que é
1.8. Importância e Aplicações 20
aproximadamente a energia do exciton, em função da altura da pirâmide e dos lados
da base.
As conclusões desses três sistemas estão no Capítulo 5. Em seguida temos o
Apêndice A, onde apresentamos a resolução da equação de Schrödinger independente
do tempo pelo método de discretização. A resolução da equação de Schrödinger de-
pendente do tempo está no Apêndice B. Depois, no Apêndice C, temos os trabalhos
apresentados em congressos e publicações feitas com os resultados desta dissertação.
Por �m, mostramos as referências usadas para a realização deste trabalho.
2
Poços Quânticos
Poços Quânticos são camadas �nas de materiais semicondutores paralelas entre si.
Essas camadas são postas umas sobre a outras alternando de material de tal forma
que na direção perpendicular ao plano dessas camadas um portador de carga �cará
con�nado devido à diferença dos gaps desses materiais. Na direção paralela ao plano
os portadores estão livre de con�namento. A esse tipo de con�namento chamamos
de 2D, pois se refere ao número de dimensões não con�nadas. O potencial de con�-
namento, V(z), de um poço quântico, portanto, é unidimensional (ver Fig. 2.1(a)) e
consideraremos, neste trabalho, essa direção como sendo o eizo z.
Neste Capítulo trabalharemos com o poço InxGa1−xAs/GaAs, onde x é a fração
molar do Índio. Nessa liga não se pode desprezar os efeitos de tensão, que chamamos
de strain, por causa da diferença entre os parâmetros de rede do InAs e GaAs que
é relevante (ver Fig. 1.9), mas vamos fazer uma análise dos resultados com e sem
strain para efeito de comparação com outros trabalhos. Também usaremos uma liga
quartenária (InwGa1−wAs)v(InP)1−v/InP onde podemos escolher uma relação entre w e
v para desprezar o strain, onde w e v são as frações molares do Índio e da liga ternária
InGaAs, respectivamente (ver Fig. 2.2).
Para ambos materiais, seguiremos o modelo proposto por Adachi [37, 38], no qual,
estimamos um dado parâmetro físico de um material ternário (quaternário) pela inter-
polação dos parâmetros dos materiais binários (ternário) e da fração molar. Adicional-
mente, consideraremos que a fração molar, segundo proposta feita por Farias et al.
21
2.1. InxGa1−xAs/GaAs 22
[24, 25], depende da direção de con�namento do poço quântico, z. Depois, incluiremos
o strain na liga InGaAs. Em seguida, mostraremos os métodos usados para o cálculo
da energia de ligação entre o elétron e o buraco, para podermos calcular a energia do
exciton. Por �m, mostraremos e comentaremos os resultados obtidos.
(a)
L
z
4z3z2
V
 (z
)
z
1
In
x
Ga
1-x
As GaAsGaAs
(b)
GaAs GaAs
z
4
z
3z2z1
χ 1
 (z
)
In
x
Ga
1-x
As
Figura 2.1: (a) Potencial de con�namento, L é a largura do poço; (b) Fração molar
dependente da posição.
2.1 InxGa1−xAs/GaAs
A liga InGaAs é formada pelos compostos binários InAs e GaAs que possuem
uma diferença de parâmetro de rede (ver Tabela 2.1) de aproximadamente 7%. Essa
diferença é grande o su�ciente para tornar o strain não despezível, independente da
quantidade de Índio (x), na liga ternária [39] (ver Fig. 2.2). Portanto, para uma boa
aproximação, não se pode deixar de considerar o strain nesse material. Mas, para
efeito de comparação com outros trabalhos e para sabermos quanta in�uência o strain
exerce na energia dos portadores, preferimos fazer um estudo com esses dois casos:
considerando e não considerando o strain.
2.1. InxGa1−xAs/GaAs 23
Figura 2.2: À esquerda band-o�-set de condução em função do parâmetro de rede [35].
À direta band-o�-set de valência em função do parâmetro de rede [35]. Perceba nos
grá�cos a diferença nos parâmetros de rede dos binários InAs e GaAs. Por outro lado
o binário InP pode ter seu parâmetro de rede igual ao InGaAs
2.1.1 Fração Molar
Vamos propor um modelo no qual a fração molar do Índio é dependente do eixo de
con�namento z, χ1(z), onde o índice 1 é apenas para indicar a liga ternária. Sabemos
que essa variação deve assumir um valor máximo x dentro do poço e zero nas barreiras,
pois a barreira desse sistema é formada pelo GaAs. Baseado nos dados experimentais
(ver imagem da Fig. 1.6) vamos supomos uma variação linear de χ1(z) nas interfaces.
Portanto, para o poço GaAs/InxGa1−xAs/GaAs utilizaremos um per�l da fração molar
da seguinte forma:
χ1(z) =



0, para z < z1
x
w1
(z − z1), para z1 < z < z2
x, para z2 < z < z3
x− x
w2
(z − z3), para z3 < z < z4
0, para z > z4
(2.1)
onde w1 e w2 são as espessuras das interfaces normal e invertida, respectivamente. A
função acima está representada na Fig. 2.1(b). Os pontosz1, z2, z3 e z4 são os pontos
2.1. InxGa1−xAs/GaAs 24
que indicam os limites das interfaces. Eles são de�nidos por:
z1 = −L
2
− (1− α)w1,
z2 = −L
2
+ (α)w1,
z3 =
L
2
− (α)w2,
z4 =
L
2
+ (1− α)w2, (2.2)
sendo α, como explicado no Capítulo 1, o parâmetro que diz o quanto da interface está
dentro do poço e L é a largura do poço quântico (ver Fig. 2.1(a))
2.1.2 Massa
Como dissemos no começo desse Capítulo, usaremos uma relação para as massas
dos portadores que dependem de χ1(z) que, por sua vez, depende de z. Para isto,
expandiremos o modelo de Adachi [37], onde m = m1 + m2x, e, de acordo com a
proposta feita por Farias et al. [24, 25], usaremos χ1(z) no lugar de x de tal forma que
m⊥β (z) = m
⊥
β (InAs)χ1(z) + [1− χ1(z)] m⊥β (GaAs), (2.3)
onde m⊥β (InAs) e m⊥β (GaAs) são as massas do InAs e GaAs, respectivamente, na
direção z, do portador β (β=e,lh,hh).
Tabela 2.1: Parâmetros do InAs e do GaAs [36].
Eg (eV) a0 (Å) me γ1 γ2
InAs 0.354 6.0583 0.027 18.9 8.37
GaAs 1.424 5.6533 0.068 6.68 2.34
Essas massas são as massas perpendiculares aos planos de crescimento, ou seja, na
direção z. Sabemos que essa função deve assumir na barreira um valor igual à massa do
GaAs. A massa efetiva do elétron de cada material binário é obtida experimentalmente
2.1. InxGa1−xAs/GaAs 25
[36] e está na Tabela 2.1, as massas efetivas dos buracos, na direção de con�namento,
são calculadas pelas seguintes equações [18, 36]:
m⊥lh =
m0
γ1 + 2γ2
, (2.4)
m⊥hh =
m0
γ1 − 2γ2 , (2.5)
onde γ1 e γ2 são os parâmetros de Luttinger dos binários InAs e GaAs e seus valores
estão na Tabela 2.1.
Para calcular as massas dos buracos no plano perpendicular ao eixo z usamos
equações parecidas com as anteriores [18, 36]:
m
‖
lh =
m0
γ1 − γ2 e m
‖
hh =
m0
γ1 + γ2
. (2.6)
2.1.3 Potencial
O potencial de con�namento é dado pela diferença dos gaps dos materiais que
formam o poço. Uma fração dessa diferença é o potencial de con�namento dos elétrons.
Essa fração, como foi dito no Capítulo 1, é conhecido como band-o�-set de condução
(Qc) do InGaAs. O restante da diferença dos gaps é o potencial dos buracos. O gap da
barreira (GaAs) é conhecido e é dado na Tabela 2.1. Conhecemos também o gap do
InAs, mas não sabemos quanto vale o da liga ternária InxGa1−xAs. Para isso, faremos
uma interpolação quadrática [40] com a fração molar χ1(z)
Eg(χ1(z)) = Eg(0) + e1χ1(z) + e2χ1(z)
2, (2.7)
onde Eg(0) é o gap do GaAs, sendo e1 e e21 constantes.
Como já foi comentado no Capítulo 1, os potenciais de con�namento desses por-
tadores podem ser calculados por Ve = Qc(Eg(0)− Eg(x)) e Vh = Qv(Eg(0)− Eg(x)).
Agora vamos substituir E(x) por E(χ1(z)) nessas equações, e usando a Eq. (2.7),
1e2 é chamada de bowing parameter e é dado na Tabela 2.2.
2.2. Strain em Poços Quânticos 26
temos
Ve = Qc(Eg(0)− Eg(χ1(z))) = −Qc(e1χ1(z) + e2χ1(z)2), (2.8)
Vh = Qv(Eg(0)− Eg(χ1(z))) = −Qv(e1χ1(z) + e2χ1(z)2). (2.9)
Os valores de Qc e Qv são dados na Tabela 2.2.
Tabela 2.2: Parâmetros da liga InGaAs [36, 40].
Qc Qv e2
InGaAs 0.55 1 - Qc = 0.45 0.475
2.2 Strain em Poços Quânticos
O strain é a deformação das células unitárias de um material quando se ajustam
aos átomos das células unitárias de outro material. Essa deformação pode aumentar ou
diminuir os parâmetros de rede das células. Em alguns casos os parâmetros de rede de
um material se deforma muito mais do que os do outro material. Nesse caso dizemos
que o strain é do tipo pseudomór�co, e é esse caso que usaremos neste trabalho. Vamos
supor que as células unitárias do material da barreira têm uma deformação desprezível
em relação ao poço. Como foi dito no começo desse Capítulo, vamos calcular o strain
somente para a liga InGaAs.
Antes de tudo, devemos calcular o parâmetro de rede do InxGa1−xAs. Para isso
vamos usar uma relação linear do tipo que usamos para a massa que depende da fração
molar x [40, 41]
a0(x) = xa0(x = 1) + (1− x)a0(x = 0), (2.10)
onde a0(x = 0) é o parâmetro de rede da barreira, GaAs, e a0(x = 1) é o parâmetro de
rede do InAs dados na Tabela 2.1, e a0(x) é o parâmetro de rede do InxGa1−xAs.
2.2. Strain em Poços Quânticos 27
Uns dos principais efeitos que o strain causa, e o que vai nos interressar aqui, é a
separação entre as bandas do lh e hh. Segundo modelo proposto por Atanasov et al.
[40] os gaps serão, agora, de�nidos por
Ehhg = Eg(x) + δEH − δES, (2.11)
Elhg = E
hh
g + 2δES +
1
2
{
∆0(x)− δES +
√
[∆0(x)− δES]2 + 8δE2S
}
, (2.12)
sendo Eg(x) o gap do poço quando não consideramos o strain dado na Eq. (2.7), e
∆0(x) = ∆0(0)− 0.07x + 0.14x2, (2.13)
δEH = 2a
(
1− C12
C11
)
δL, (2.14)
δES = b
(
1 + 2
C12
C11
)
δL, (2.15)
onde δEH e δES são os potenciais Hidrostático e de Deformação, respectivamente.
∆0(0), a, b, C11 e C12 são parâmetros dos materiais dados na Tabela 2.3. δL é a
deformação das células unitárias e é dada por [40]
δL =
a0(0)
a0(x)
− 1. (2.16)
Tabela 2.3: Parâmetros do InGaAs para o cálculo do strain [40].
C11 (dina/cm2) C12 (dina/cm2) a (eV) b (eV) ∆0 (eV)
InAs 8.33 4.30 -5.8 -1.8 0.391
GaAs 11.88 5.38 -9.8 -1.7 0.341
Como o strain separa as bandas de�nindo um novo gap para cada uma delas, por
conseguinte, teremos novos potenciais de con�namento para o elétron e para os buracos.
Esses potenciais podem ainda ser calculados pelas Eqs. (2.8) e (2.9), que usamos
anteriormente, no caso sem strain, sendo que agora cada banda de valência, lh e hh,
2.3. (InwGa1−wAs)v(InP)1−v/InP 28
terá o seu próprio gap de�nido nas Eqs. (2.11) e (2.12). Os novos potenciais, portanto,
são dados por
Ve = Qc(Eg(0)− E ′g(x)), (2.17)
Vlh = Qv(Eg(0)− Elhg (x)), (2.18)
Vhh = Qv(Eg(0)− Ehhg (x)), (2.19)
onde E ′g(x) é o menor dos gaps entre Elhg (x) e Ehhg (x). Qc e Qv são os mesmos que
usamos antes e que foram dados na Tabela 2.2.
2.3 (InwGa1−wAs)v(InP)1−v/InP
A liga InGaAsP é formada por quatros compostos binários: InAs, GaAs, InP e
GaP. Nesse material, temos duas frações molares w e v e, ao contrário do InGaAs,
podemos desprezar o efeito do strain. Para isso, devemos usar uma relação entre w e v,
onde w=0,47v [35, 36] (ver Fig. 2.2). Portanto, usaremos essa relação neste trabalho
e não vamos nos preocupar com o strain nessa liga.
2.3.1 Fração molar
Diferentemente do material anterior, agora temos duas frações molares w e v. A
primeira, assim como na Seção anterior, se refere a quantidade de Índio e a segunda se
refere a quantidade da liga ternária InGaAs. Usaremos o mesmo modelo que usamos
antes [24, 25] para descrever a fração molar como uma função de z, e chamaremos essa
função de χ2(z), e da mesma forma que escrevemos a Eq. (2.1), temos
χ2(z) =



0, para z < z1
v
w1
(z − z1), para z1 < z < z2
v, para z2 < z < z3
v − v
w2
(z − z3), para z3 < z < z4
0. para z > z4
(2.20)
2.3. (InwGa1−wAs)v(InP)1−v/InP 29
O grá�co dessa função é igual ao da Fig. 2.1(b), mas agora o material da barreira
é o InP e o do poço é o InwGa1−wAs, w1 e w2 são as interfaces normal e invertida,
respectivamente, do poço quântico. Novamente, os pontos z1, z2, z3 e z4 representam
os limites das interfaces w1 e w2, assim como nas Eqs. (2.2).
2.3.2 Massa
Vamos assumir, como na Seção anterior, uma relação na qual as massas dos por-
tadores dependem de χ2(z). Essas massas são as massas perpendiculares ao plano
de crescimento. Sabemos que essa função na barreira deve ser igual a massa do InP.
Então, usando uma relação indêntica a Eq. (2.3), mas utilizando como parâmetros as
massas do InP e do InwGa1−wAs, temos
m⊥β (z) = m
⊥
β (InwGa1−wAs)χ2(z) + [1− χ2(z)] m⊥β (InP ), (2.21)
onde, novamente, β=e,lh,hh, sendo m⊥β (InwGa1−wAs) a mesma massa calculada na
Seção anterior (Eq. (2.3)).
A massa do elétron é calculada em termos de w e v e das massas dos binários InAs,
GaAs, InP e GaP, sendo dada por [36]:
m⊥e = w(1− v)m⊥e (InP ) + wvm⊥e (InAs)+
(1− w)(1− v)m⊥e (GaP ) + (1− w)vm⊥e (GaAs); (2.22)
onde m⊥e (InP), m⊥e (GaP), m⊥e (InAs) e m⊥e (GaAs) são as massas dos elétrons na di-
reção perpendicularao plano de con�namento dos materiais InP, GaP, InAs e GaAs,
respectivamente, dadas nas Tabelas 2.1 e 2.4.
Para calcular m⊥β (InP ) e m
‖
β(InP ) usaremos as Eqs. (2.4), (2.5) e (2.6), onde os
parâmetros de Luttinger γ1 e γ2, agora, dependem das frações molares w e v e também
de γ1 e γ2 dos compostos binários InAs, GaAs, InP e GaP [36],
γ1 = w(1− v)γ1(InP ) + (1− w)(1− v)γ1(GaP )+
2.3. (InwGa1−wAs)v(InP)1−v/InP 30
wvγ1(InAs) + (1− w)vγ1(GaAs), (2.23)
γ2 = w(1− v)γ2(InP ) + (1− w)(1− v)γ2(GaP )+
wvγ2(InAs) + (1− w)vγ2(GaAs), (2.24)
onde γ1(InP), γ2(InP), γ1(GaP), γ2(GaP), γ1(InAs), γ2(InAs), γ1(GaAs) e γ2(GaAs)
são os parâmetros de Luttinger associados aos materiais InP, GaP, InAs e GaAs, re-
spectivamente, dados nas Tabelas 2.1 e 2.4.
Tabela 2.4: Parâmetros do InP e do GaP [36].
Eg (eV) a0 (Å) me γ1 γ2
InP 1.34 5.8687 0.077 5.06 1.637
GaP 2.78 5.4505 0.33 4.05 1.10
2.3.3 Potencial
O potencial de con�namento nesse poço é calculado da mesma forma que na Seção
anterior, onde os band-o�-set de condução e de valência do InGaAsP são dados na
Tabela 2.5. Então, usando as Eqs. (2.8) e (2.9), mas agora considerando que o gap do
poço depende de χ1(z) e χ2(z), temos
Ve = Qc(Eg(0)− Eg(χ1(z), χ2(z))), (2.25)
Vh = Qv(Eg(0)− Eg(χ1(z), χ2(z))), (2.26)
onde novamente, Eg(0) é o gap do material da barreira, InP neste caso, dado na Tabela
2.4 e Eg(χ1(z), χ2(z)) é o gap do material do poço e é dado por [36]
Eg(χ1(z), χ2(z)) =
χ1(1− χ1) [(1− χ2)E1g + χ2(E2g)] + χ2(1− χ2) [(1− χ1)E3g + χ1(E4g)]
χ1(1− χ1) + χ2(1− χ2) , (2.27)
2.4. Energia de Ligação 31
onde E1g, E2g, E3g e E4g são funções dos gaps dos materiais InP, GaP, InAs e GaAs e
das frações molares χ1(z) e χ2(z), dadas por [36]
E1g = Eg(InP ) + 0.654(1− χ1(z)) + 0.786(1− χ1(z))2,
E2g = Eg(InAs) + 0.514(1− χ1(z)) + 0.555(1− χ1(z))2,
E3g = Eg(GaP )− 1.503χ2(z) + 0.146(χ2(z)2),
E4g = Eg(InP )− 1.077χ2(z) + 0.091(χ2(z)2), (2.28)
sendo que Eg(InP ), Eg(InAs), Eg(GaP ) e Eg(GaAs) são os gaps dos materiais InP,
InAs, GaP e GaAs, respectivamente, dados nas Tabelas 2.1 e 2.4.
Tabela 2.5: Band-o�-set da liga InGaAsP [36].
Qc Qv
InGaAsP 0.62 1-Qc=0.38
2.4 Energia de Ligação
Quando um elétron na banda de condução interage com um buraco na banda de
valência chamamos esse par de exciton. Quando o elétron volta para a banda de
valência, ocupando um buraco, o exciton deixa de existir. Ao fazer isso, o sistema,
elétron-buraco, emite uma energia, chamada de energia do exciton. Essa energia, como
veremos, é a soma das energias dos portadores com o gap menos a energia que o par
gastou para permanecer ligado, chamada de energia de ligação.
Podemos usar a equação de Schrödinger para descrever o par elétron-buraco
HexcΨ(re, rh) = EexcΨ(re, rh), (2.29)
onde Hexc é o Hamiltoniano do exciton e Ψ(re, rh) é a função de onda do par, que
depende das coordenadas do elétron e do buraco.
2.4. Energia de Ligação 32
Para o poço quântico, o Hamiltoniano pode ser separado na direção z, de con�na-
mento, e no plano xy e a Eq. (2.29) pode ser escrita como
[
Eg − ~
2
2m
‖
e
∇2e,2D −
~2
2
d
dze
(
1
m⊥e
d
dze
)
− ~
2
2m
‖
h
∇2h,2D −
~2
2
d
dzh
(
1
m⊥h
d
dzh
)
+Ve(ze) + Vh(zh)− e
2
4π²²0
√
(ρe − ρh)2 + (ze − zh)2
]
exc
Ψ = EexcΨ. (2.30)
O primeiro termo do lado esquerdo dessa equação é o gap do poço quântico; os
termos de derivadas são as energias cinéticas do elétron e dos buracos; Ve e Vh são
os potenciais de con�namento; o último termo do lado esquerdo dessa equação é a
interação coulombiana entre o elétron e o buraco; m⊥i é a massa efetiva do portador i,
onde i=e, h (h=lh, hh), que depende da direção z; m‖i é a massa efetiva no plano xy;
∇2i,2D é o Laplaciano em coordenadas polares aplicado nas coordenadas do portador i,
dado por:
∇2i,2D =
1
ρi
∂
∂ρi
(
ρi
∂
∂ρi
)
+
1
ρ2i
∂2
∂θ2i
. (2.31)
Usando os termos que dependem de zi, podemos de�nir o Hamiltoniano de con�-
anamento do portador i como
Hi(zi) = −~
2
2
d
dzi
(
1
m⊥i
d
dzi
)
+ Vi(zi). (2.32)
Então, podemos reecrever a Eq. (2.30) como
[
Eg − ~
2
2m
‖
e
∇2e,2D −
~2
2m
‖
h
∇2h,2D + He(ze) + Hh(zh)
− e
2
4π²²0
√
(ρe − ρh)2 + (ze − zh)2
]
exc
Ψ = EexcΨ. (2.33)
Os termos com Laplaciano representam o elétron e o buraco se movimentando em
um plano. Podemos usar coordenadas relativas e do centro de massa do sistema para
diminuir o número de coordenadas, �cando com
[
Eg − ~
2
2µe−h
∇2‖ + He(ze) + Hh(zh)−
e2
4π²²0
√
ρ2 + (ze − zh)2
]
exc
Ψ = EexcΨ, (2.34)
2.4. Energia de Ligação 33
onde
∇2‖ =
1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂
∂ρ
)
+
1
ρ2
∂2
∂θ2
, (2.35)
e
µe−h =
m
‖
em
‖
h
m
‖
e + m
‖
h
, (2.36)
é a massa reduzida.
De�nimos, agora, o Hamiltoniano da energia de ligação como sendo a soma do
termo do Laplaciano com o termo coulombiano
HB = − ~
2
2µe−h
∇2‖ −
e2
4π²²0
√
ρ2 + (ze − zh)2
. (2.37)
Podemos, então, escrever o Hamiltoniano do exciton como sendo a soma dos Hamil-
tonianos do elétron, do buraco e da energia de ligação
Hexc(ze, zh, ρ, θ) = He(ze) + Hh(zh) + HB(ze, zh, ρ, θ), (2.38)
onde ocultamos Eg, por enquanto, pois é uma constante.
²0, no termo coulombiano, é a permissividade do vácuo, e ² é a constante dielétrica
do poço. Da mesma maneira que �zemos para a massa, vamos supor que a constante
dielétrica do poço depende da fração molar x, dado por
²(x) = x²p + (1− x)²b, (2.39)
onde ²p e ²b são as constantes dielétricas do poço e da barreira, respectivamente. Os
valores das constantes dielétricas dos materiais binários estão na Tabela 2.6, em termos
de ²0.
Tabela 2.6: Constantes dieléticas do InAs, GaAs, InP e GaP [36, 40].
InAs GaAs InP GaP
² (²0) 14.55 12.91 12.35 11.1
2.4. Energia de Ligação 34
Agora, para a solução da equação de Schrödinger (Eq. (2.29)), supomos a função
de onda do exciton, para o estado fundamental, na seguinte forma [42]
Ψ (ze, zh, ρ) = ϕe (ze) ϕh (zh) φ (ρ, ze − zh) . (2.40)
Para a solução da Eq. (2.29) e obtenção da energia do exciton, Eexc, vamos usar,
para o poço quântico, três métodos diferente de cálculo. São eles:
2.4.1 Método do potencial efetivo,
2.4.2 Método variacional com um parâmetro,
2.4.3 Método variacional com dois parâmetros.
2.4.1 Método do Potencial Efetivo
Neste método, proposto por Ji-Wei Wu [42], a função de onda φ é uma função
somente de ρ. O método tem como objetivo encontrar a energia de ligação sem precisar
conhecer φ(ρ). O desenrolar dos cálculos leva-nos a uma equação do tipo Schrödinger,
na coordenada ρ.
Usando a notação de Dirac2, podemos reescrever a equação de Schrödinger na forma
Hexc|ϕe, ϕh, φ〉 = Eexc|ϕe, ϕh, φ〉. (2.41)
Aplicando o operador 〈ϕe, ϕh| pelo lado esquerdo dessa equação, temos
〈ϕe, ϕh|Hexc|ϕe, ϕh, φ〉 = 〈ϕe, ϕh|(He + Hh + HB)|ϕe, ϕh, φ〉
= 〈ϕe, ϕh|He|ϕe, ϕh, φ〉+ 〈ϕe, ϕh|Hh|ϕe, ϕh, φ〉
+〈ϕe, ϕh|HB|ϕe, ϕh, φ〉 = 〈ϕe, ϕh|Eexc|ϕe, ϕh, φ〉. (2.42)
Como He opera somente em |ϕe〉 e Hh opera somente em |ϕh〉, então
〈ϕe, ϕh|He|ϕe, ϕh, φ〉 = 〈ϕh||ϕh〉〈ϕe|He|ϕe, φ〉 = 〈ϕe|He|ϕe〉|φ〉 = Ee|φ〉, (2.43)
2Uma consulta detalhada dessa notação pode ser feita na referência [9].
2.4. Energia de Ligação 35
〈ϕe, ϕh|Hh|ϕe, ϕh, φ〉 = 〈ϕe||ϕe〉〈ϕh|Hh|ϕh, φ〉 = 〈ϕh|Hh|ϕh〉|φ〉 = Eh|φ〉, (2.44)
pois |ϕe〉 e |ϕh〉 são normalizados, ou seja, 〈ϕe||ϕe〉 = 〈ϕh||ϕh〉 = 1, e estamos con-
siderando que |ϕe, ϕh, φ〉 = |ϕe〉|ϕh〉|φ〉.
As equações 〈ϕe|He|ϕe〉=Ee e 〈ϕh|Hh|ϕh〉=Eh são resolvidas numericamente pela
discretização da equação de Schrödinger (ver Apêndice A).
Temos agora que calcular 〈ϕe, ϕh|HB|ϕe, ϕh, φ〉, onde HB é dado por (ver Eq. (2.37))
HB = − ~
2
2µe−h
[
1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂
∂ρ
)]
− e
2
4π²²0
√
ρ2 + (ze − zh)2
, (2.45)
onde omitimos o termo da derivada em θ pois |ϕe, ϕh, φ〉 não depende de θ.
〈ϕe, ϕh|HB|ϕe, ϕh, φ〉 = − ~
2
2µe−h
[
1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂
∂ρ
)]
|φ〉
−〈ϕe, ϕh|
(
e2
4π²²0
√
ρ2 + (ze − zh)2
)
|ϕe, ϕh, φ〉. (2.46)
O último termo do lado direito dessa equação pode ser calculada como
〈ϕe, ϕh|
(
e2
4π²²0
√
ρ2 + (ze − zh)2
)
|ϕe, ϕh, φ〉 =
∫ +∞
−∞
dze
∫ +∞
−∞
dzh(ϕeϕh)
∗
(
e2
4π²²0
√
ρ2 + (ze − zh)2
)
ϕeϕh|φ〉 =
∫ +∞−∞
|ϕe|2dze
∫ +∞
−∞
|ϕh|2dzh e
2
4π²²0
√
ρ2 + (ze − zh)2
|φ〉, (2.47)
onde (ϕeϕh)∗ é o complexo conjugado de ϕeϕh.
Finalmente chegamos ao seguinte resultado
〈ϕe, ϕh|HB|ϕe, ϕh, φ〉 = − ~
2
2µe−h
[
1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂
∂ρ
)]
|φ〉
−
∫ +∞
−∞
|ϕe|2dze
∫ +∞
−∞
|ϕh|2dzh e
2
4π²²0
√
ρ2 + (ze − zh)2︸ ︷︷ ︸
potencial efetivo
|φ〉. (2.48)
Essa é uma equação do tipo Schrödinger, portanto 〈ϕe, ϕh|HB|ϕe, ϕh, φ〉=−|EB||φ〉.
O sinal negativo do módulo de EB é apenas para garantir que essa energia seja perdida
2.4. Energia de Ligação 36
pelo sistema elétron-buraco. Usando as Eqs. (2.43), (2.44), e (2.48), podemos calcular
a energia do exciton
Eexc|φ〉 = (Eg + Ee + Eh − |EB|)|φ〉, (2.49)
onde colocamos de volta a constante Eg.
Para resolver a integral da Eq. (2.48) usamos uma técnica de discretização seme-
lhante à usada anteriormente com o elétron e o buraco no eixo z, com a diferença de
que a derivada está em coordenadas polares [43], e o último termo da última equação
é chamado de potencial efetivo, que dá o nome a esse método.
2.4.2 Método Variacional com um Parâmetro
Este método consiste em usar uma função tentativa para descrever φ. Para isso,
vamos usar uma função análoga ao estado fundamental do átomo de hidrogênio, mas
com a diferença que usamos aqui uma coordenada no plano ρ
φ(ρ) =
√
2
πλ2
exp
(
−ρ
λ
)
. (2.50)
Essa é uma função de onda semelhante a do átomo de hidrogênio no estado fun-
damental. Como nosso sistema está con�nado, esperamos que λ, que é equivalente ao
raio de Bohr, tenha um valor diferente. Portanto, esse será o parâmetro que usaremos
para minimizar a energia do exciton.
Conhecendo ϕe(ze), ϕh(zh) e φ(ρ) podemos multiplicar a equação de Schrödinger
(Eq. (2.31)) pelo operador 〈ϕe, ϕh, φ|, e usando a Eq. (2.38), temos
〈ϕe, ϕh, φ|Hexc|ϕe, ϕh, φ〉 = 〈ϕe, ϕh, φ|He|ϕe, ϕh, φ〉+
〈ϕe, ϕh, φ|Hh|ϕe, ϕh, φ〉+ 〈ϕe, ϕh, φ|HB|ϕe, ϕh, φ〉 = Eexc, (2.51)
onde
〈ϕe, ϕh, φ|He|ϕe, ϕh, φ〉 = 〈ϕh, φ||ϕh, φ〉〈ϕe|He|ϕe〉 = Ee, (2.52)
〈ϕe, ϕh, φ|Hh|ϕe, ϕh, φ〉 = 〈ϕe, φ||ϕe, φ〉〈ϕh|Hh|ϕh〉 = Eh, (2.53)
〈ϕe, ϕh, φ|HB|ϕe, ϕh, φ〉 = −|EB|, (2.54)
2.4. Energia de Ligação 37
pois estamos considerando ϕe(ze), ϕh(zh) e φ(ρ) normalizados. Novamente, o sinal
negativo do módulo de EB é apenas para indicar que a energia de ligação é perdida
pelo sistema elétron-buraco.
Para calcular a Eq. (2.54) vamos substituir HB, dada na Eq. (2.37). Teremos então
a equação
−|EB| = 〈ϕe, ϕh, φ|HB|ϕe, ϕh, φ〉 =
〈ϕe, ϕh, φ|
[
− ~
2
2µe−h
(
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ
)
− e
2
4π²²0
√
ρ2 + (ze − zh)2
]
|ϕe, ϕh, φ〉 =
〈φ|
[
− ~
2
2µe−h
(
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ
)]
|φ〉
−〈ϕe, ϕh, φ|
[
e2
4π²²0
√
ρ2 + (ze − zh)2
]
|ϕe, ϕh, φ〉. (2.55)
Substituindo φ(ρ) da Eq. (2.50), podemos calcular analíticamente essa equação,
onde o primeiro termo do lado direito dessa equação dá −~2/2λ2, e com o segundo
termo chegamos a uma integral tripla
−|EB| = 〈ϕe, ϕh, φ|HB|ϕe, ϕh, φ〉 = − ~
2
2λ2
− e
2
π²²0λ2
∫ +∞
−∞
|ϕe|2dze
∫ +∞
−∞
|ϕh|2dzh
∫ +∞
0
exp(−2ρ/λ)√
ρ2 + (ze − zh)2
ρdρ, (2.56)
Podemos reescrever essa última integral, em ρ, em termos de funções analíticas,
portanto
−|EB| = 〈ϕe, ϕh, φ|HB|ϕe, ϕh, φ〉 = − ~
2
2λ2
− e
2
2π²²0λ
∫ +∞
−∞
|ϕe|2dze
∫ +∞
−∞
|ϕh|2dzhG(ze − zh), (2.57)
onde G(ze − zh) é dado por [44]
G(ze − zh) = 2
λ
∫ +∞
0
exp(−2ρλ)√
ρ2 + (ze − zh)2
ρdρ =
2|ze − zh|
λ
{
2
π
[
H1
(
2|ze − zh|
λ
)
−N1
(
2|ze − zh|
λ
)]
− 1
}
, (2.58)
onde λ será o parâmetro de minimização da energia do exciton. H1 é a função de
primeira ordem de Struve e N1 é a função de primeira ordem da função de Neumann
2.4. Energia de Ligação 38
ou função de Bessel do segundo tipo. A energia de ligação é calculada variacionalmente
atráves da solução numérica da Eq. (2.57).
2.4.3 Método Variacional com dois Parâmetros
Retornando à Eq. (2.40), onde a função de onda do exciton é separada em três
outras funções [45].
Ψ (ze, zh, r) = ϕe (ze) ϕh (zh) φ (ρ, ze − zh) , (2.59)
onde
r = [ρ2 + (ze − zh)2]1/2. (2.60)
O que faremos é, basicamente, o mesmo procedimento da Subseção anterior. Us-
aremos uma função para representar φ que, como antes, depende de parâmetros para
minimizar a energia do exciton
φ (r) = N exp
(
− r
λ
)
, (2.61)
onde N é o fator de normalização e λ é um parâmetro variacional. Mas aqui, vamos
usar uma interpolação no limite de 2D e 3D [45], multiplicando (ze − zh)2 por uma
constante adimensional ξ2
r′ = (ρ2 + ξ2a2)1/2, (2.62)
que agora chamaremos de r′, onde ξ2 pode assumir valores entre 0 à 1, e
a = |ze − zh|, (2.63)
ou seja, colocamos um peso na coordenada z, que será o segundo parâmetro variacional.
A função φ, portanto, �cará dependente de dois parâmetros, ρ e ξ
φ (r′) = N exp
(
−r
′
λ
)
= N exp
[
−(ρ
2 + ξ2a2)1/2
λ
]
. (2.64)
A energia do exciton é dada por
Eexc =
〈Ψ|Hexc|Ψ〉
〈Ψ|Ψ〉 . (2.65)
2.4. Energia de Ligação 39
Chamaremos de D o produto escalar de Ψ, portanto
D = 〈Ψ|Ψ〉 = 2π
∫
|ϕe(ze)|2|ϕh(zh)|2|φ|2ρdρdzedzh, (2.66)
e a integral no plano vamos chamar de uma função F (a)
2π
∫ ∞
0
|φ|2ρdρ = F (a), (2.67)
onde com um pouco de re�exão pode ser mostrado que
D =
∫ ∞
0
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
|ϕe(ze)|2|ϕh(zh)|2F (a)[δ(ze−zh−a)−δ(zh−ze−a)]dzedzhda, (2.68)
sendo a integral de 0 à ∞ integrada em a, pois a é o valor absoluto da diferença entre
ze e zh. Portanto, a só poderá assumir dois valores: a = ze − zh ou a = zh − ze, daí os
deltas que aparecem na equação anterior.
Excutando primeiro a integral em zh, o primeiro termo só tem valor diferente de
zero quando zh = ze − a, e o segundo termo quando zh = ze + a, então
D =
∫ ∞
0
∫ ∞
−∞
|ϕe(ze)|2|ϕh(ze − a)|2F (a)dzeda
+
∫ ∞
0
∫ ∞
−∞
|ϕe(ze)|2|ϕh(ze + a)|2F (a)dzeda. (2.69)
Fazendo z = ze − a no primeiro termo, �camos com
D =
∫ ∞
0
p(a)f(a)da, (2.70)
onde
p(a) =
∫ +∞
−∞
[|ϕe(z + a)|2|ϕh(z)|2 + |ϕh(z + a)|2|ϕe(z)|2]dz, (2.71)
onde p(a) é a probabilidade de encontrar o elétron e o buraco a uma distância a.
Agora, temos que calcular 〈Ψ|Hexc|Ψ〉, da Eq. (2.41) temos
〈Ψ|Hexc|Ψ〉 = 〈Ψ|He|Ψ〉+ 〈Ψ|Hh|Ψ〉+ 〈Ψ|HB|Ψ〉 = A + B + C, (2.72)
onde podemos escrever A como [45, 46]
A = EeD +
~2
2me
∫ ∞
0
p(a)G(a)da, (2.73)
2.4. Energia de Ligação 40
com
G(a) = 2π
∫ +∞
0
∣∣∣∣
∂φ
∂ze
∣∣∣∣
2
ρdρ. (2.74)
Encontramos uma expressão analoga para B, simplesmente trocando o índice e por
h. O valor de C é dado por [45, 46]
C =
~2
2µ
∫ ∞
0
p(a)J(a)da− e
2
4π²²0
∫ ∞
0
p(a)K(a)da, (2.75)
onde
J(a) = 2π
∫ +∞
0
φ
[
1
ρ
∂
∂ρ
+
∂2
∂ρ2
]
φρdρ, (2.76)
K(a) = 2π
∫ +∞
0
1
r
φ2ρdρ. (2.77)
A energia do exciton, usando as Eqs. (2.67), (2.68) e (2.74), portanto, será
Eexc =
A + B + C
D
. (2.78)
2.5. Resultados 41
2.5 Resultados
Calculamos a energia do estado fundamental do exciton, e-lh e e-hh, em poços
InxGa1−xAs/GaAs e (InwGa1−wAs)v(InP)1−v/InP, onde usamos as frações molares x=0.4
na liga ternária, w=0.4 e v=0.85 (satisfazendo w=0.47v) na liga quartenária. Obser-
vamos a in�uência da largura do poço, L, e da espessura de sua interface, w. A partir
daí, mostraremos os resultados obtidos na liga InGaAs com e sem strain, e em seguida
na liga InGaAsP sem strain. Usaremos em ambas as ligas α=1, que indica o posiciona-
mento da interface em relação ao poço abrupto, como dito no Capítulo 1. No �nal
dos resultados de cada liga, mostraremos a diferença de energia, em relação ao caso
abrupto, em função da interface, e do parâmetro, α.
Na Fig. 2.3, mostramos o valor absoluto da energia de ligação dos pares de excitons,
e-lh e e-hh, como função da largura do poço quântico com strain (à direita) e sem strain
(à esquerda), com α=1 e w=0, 10 Å, usando os métodos potencial efetivo e variacional
com um e dois parâmetros. Primeiro, note que o comportamento da energia de ligação
em todos os métodos é o mesmo e, como esperado, a energia de ligação aumenta para
poços estreitos e diminui para poços largos. Também observamos que o potencial efe-
tivo superestima a energia de ligação quando comparado com os métodos variacionais.
Nos resultados seguintes do poço In0.4Ga0.6As/GaAs usaremos o método variacional