2005-dis-aw

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Dissertação de Mestrado
Metamagneto em Campos Magnéticos
Uniforme e Aleatório
Antonio Weizenmann
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
Fortaleza, Janeiro de 2005
Dissertação de Mestrado
Metamagneto em Campos Magnéticos
Uniforme e Aleatório
Antonio Weizenmann
Dissertação apresentada ao Departamento de Pós-graduação
em Física da Universidade Federal do Ceará
como parte dos requesitos para obtenção do grau
de Mestre em Física Estatística.
Orientador
Prof. Dr. Alberto Sebastião de Arruda
Aos meus pais,
Laurindo João Weizenmann e
Antonieta Weizenmann
i
Agradecimentos
Quero agradecer ao Prof. Dr. Alberto Sebastião de Arruda, meu orientador, por
suas inúmeras sugestões e constante suporte durante a elaboração do trabalho. Sua
amizade e caráter tornaram muito mais humano este trabalho que poderia ser puramente
catedrático.
Também sou muito grato aos professores Dr. Josué Mendes Filho, Dr. Gil de Aquino
Farias, Dr. Raimundo Nogueira da Costa Filho, Dr. José Soares Andrade Júnior, Dr.
Uriel Medeiros Costa, Dr. Newton Theophilo de Oliveira, Dr. Murilo Pereira de Almeida,
que, de diversas formas, me auxiliaram durante o Curso de Mestrado. As suas críticas,
sugestões e mesmo o companheirismo e a amizade, facilitaram muito a realização do curso
e do presente trabalho.
Não é possível deixar de agradecer a todos da Coordenação do Curso e do Departa-
mento, que sempre me apoiaram e realizaram seu trabalho com presteza.
Aos colegas, devo gratidão pela amizade e a oportunidade de realizar trabalhos em
grupo, abrindo os horizontes do conhecimento e da compreensão nas coisas que só deles
podemos aprender.
Aos amigos, em especial Euzenil, Jean, Daniel, Arian, Teldo e Rosa, Hulk e Rose,
Eduardo e Fabiana, Ricardo e Karen, agradeço pela atenção, solidariedade, lealdade
mesmo nos momentos de dificuldade.
À minha família, sou grato pelo apoio incondicional às escolhas que tenho feito. Ao
meu pai, Laurindo, que me serve como exemplo de coragem e determinação; minha mãe,
Antonieta, da qual aprendi as mais importantes lições; aos meus irmãos, Laerte, Sidnei
e Ari, dos quais me orgulho por ser o irmão mais novo, podendo assim espelhar-me em
suas virtudes e diferenças, que se complementam de forma peculiar.
À mulher de minha vida, Sally, agradeço o companheirismo, a paciência e o amor,
que me motivam a cada instante.
Fortaleza, Ceará Antonio Weizenmann
Janeiro, 2005
ii
Resumo
O diagrama de fase de um metamagneto de Ising em um campo magnético uniforme e
em um campo magnético aleatório é estudado usando teoria de campo médio derivado do
princípio variacional de Bogoliubov. O diagrama de fase exibe comportamento tricrítico e
fenômeno de reentrância para determinados valores do campo magnético aleatório acima
de um certo valor crítico. O fenômeno de reentrância é devido às competições entre as
interações ferromagnéticas, antiferromagnéticas, campo magnético uniforme e o campo
magnético aleatório. Em particular, se o modelo exibe uma transição em campo aleatório
zero, então a distribuição bimodal nunca destrói esta transição de primeira ordem, em
contradição ao caso de uma distribuição trimodal.
iii
Abstract
The phase diagram of an Ising metamagnet in an uniform magnetic field and in a
random magnetic field is studied using a mean field theory derived from Bogoliubov
variational principle. The phase diagram displays tricritical behavior and reentrance
phenomenon for determined values of the random magnetic field above a certain critical
value. The reentrance phenomenon is due to the competition between the other interac-
tions ferromagnetic, anti-ferromagnetic, uniform magnetic field and the random magnetic
field. In particular, if the model exhibits a first-order transition in zero random field,
then a bimodal distribution never destroys this first-order transition, in contradiction to
the case of a trimodal distribution.
iv
Sumário
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Introdução 1
1 Fenômenos Críticos 8
1.1 Transições de Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Modelos para Sistemas Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 A Função de Partição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3 Modelo de Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.4 Modelo de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Resolução do Modelo de Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Resolução Exata em Uma Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2 Solução Exata em Uma Dimensão na Presença de um
Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3 Aproximação de Campo Médio para o Modelo de Ising . . . . . . 30
2 Metamagneto em Campo Uniforme e Aleatório 32
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Definição do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Equações do Campo Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Expansão de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
v
3 Resultados e Discussões 50
4 Conclusões 58
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Principais Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Perspectivas Futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Referências Bibliográficas 63
vi
Lista de Figuras
1.1 Diagrama de fases de um fluido simples, em termos da pressão contra
temperatura. As linhas cheias indicam transições de primeira ordem e o
ponto crítico c uma transição de segunda ordem. No ponto triplo (pt, Tt)
há uma coexistência de três fases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Projeção da equação de estado no plano p versus ρ. . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Projeção da equação de estado no plano ρ versus T . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Esboço do modelo de gás de rede em várias temperaturas. Cada célula
indica que há uma molécula ocupando esse volume. O comprimento de
correlação (ξ) indica o diâmetro de um cluster ou célula. . . . . . . . . . 13
1.5 Diagrama de fases no plano campo aplicado contra a temperatura para um
sistema ferromagnético uniaxial simples. A linha de coexistência é dada
por H = 0 com T < Tc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Parâmetro de ordem (magnetização espontânea) em função da tempera-
tura para um ferromagneto uniaxial simples. . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Isoterma do ferromagneto uniaxial simples (magnetização m versus campo
magnético H). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8 Dados obtidos por Guggenheim em 1945 para a curva de coexistência de
oito fluidos diferentes (as densidades e as temperaturas são divididas pelos
valores no ponto crítico). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9 Rede linear com N sítios com energia de interação Ji e spin S. O índice i
indica que a energia pode ter várias magnitudes. . . . . . . . . . . . . . . 23
vii
2.1 Rede bidimensional regular com spins Si = ±1. Observe que a rede
pode ser dividida em duas sub-redes interpenetrantes equivalentes, onde
os primeiros vizinhos estão na outra sub-rede e os segundos vizinhos estão
na mesma sub-rede. A energia de interação entre os primeiros vizinhos é
−J e a interação entre os segundos vizinhos é J ′. . . . . . . . . . . . . . 36
3.1 Diagrama de fases no plano h− t para uma distribuição de probabilidade
bimodal com (a) ha = 0; (b) ha = 0, 3; (c) ha = 0, 4; (d) ha = 0, 45; (e)
ha = 0, 49 e (f) ha = 0, 65.As linhas simples representam transições con-
tínuas ou de segunda ordem. As linhas pontilhadas representam transições
de primeira ordem. Os círculos cheios são pontos tricríticos. Os círculos
vazios são pontos críticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Diagrama de fases no plano h− t para uma distribuição de probabilidade
trimodal onde p = 1, 0 equivale ao caso puro, com ha = 0. . . . . . . . . . 54
3.3 Diagrama de fases no plano h− t para uma distribuição de probabilidade
trimodal com p = 0, 8. As linhas representam transições contínuas ou de
segunda ordem. Os círculos são pontos tricríticos. . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Diagrama de fases no plano h − t, com diversos valores para o campo
aleatório ha para uma distribuição de probabilidade trimodal com p = 0, 5.
As linhas representam transições contínuas ou de segunda ordem. Os
círculos são pontos tricríticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
viii
Introdução
Modelo de Ising para 4 Spins
Magnetismo
Os fenômenos magnéticos são largamente utilizados no desenvolvimento de novas
tecnologias, desde sistemas de geração e distribuição de energia (hidrelétricas, entre ou-
tros), a sistemas de conversão eletromecânica (eletrodomésticos, automóveis), eletrônicos
e de telecomunicações, transdutores, sensoriamento, prospecção geológica, informática,
automação industrial até a medicina e a engenharia biomédica. Isto só foi possível
com o entendimento dos fenômenos magnéticos, e com a descoberta de novos materi-
ais magnéticos. Fenômenos estes que são rigorosamente descritos pela mecânica quântica
e pela mecânica estatística, mas que podem ser compreendidos em uma primeira análise
utilizando-se uma abordagem macroscópica, possibilitando assim a aplicação de conceitos
de física clássica. Embora o magnetismo não receba a ênfase necessária no ensino médio,
está muito presente em nossa vida. Pois desde o ímã que colocamos na porta geladeira
até a memória (HD-hard disk) do computador, ou mesmo as fitas cassete que utilizamos
para armazenar as nossas músicas preferidas, utilizam fenômenos e materiais magnéticos.
A palavra magnetismo está associada ao fenômeno pelo qual um ente tem o poder de
atrair e influenciar outro ente. Sua origem está ligada ao nome de uma cidade da região
da antiga Turquia, que era rica em minério de ferro, a Magnésia. Provavelmente foram
os gregos, quem primeiro refletiram sobre as propriedades da magnetita (Fe2O4). Este
mineral que no seu estado natural, freqüentemente têm o poder de atrair o ferro e outros
metais, era extraído na província da Magnésia. A magnetita é citada pelos gregos por
1
volta de 800 a.C. O pensamento e a filosofia grega, dominaram todo conhecimento neste
tema nos vinte e três séculos seguintes. Pois uma característica da filosofia grega era a de
não buscar a explicação e predição das maravilhas da natureza, mas sim compreendê-las
no campo das idéias. Os representantes de uma importante escola de filosofia, os animis-
tas, ao defrontarem-se com as extraordinárias propriedades da magnetita, as atribuíram a
origem divina. Thales de Mileto, e posteriormente Anaxágoras e outros, acreditavam que
a magnetita possuía alma, ou seja, possuía vontade própria. A escola dos mecanicistas,
ou atomistas, cujas teorias eram deduções de várias concepções metafísicas, com pequena
relação com o que nós poderíamos hoje considerar como fatos, atribuíam as propriedades
da magnetita a existência de umidade no ferro da qual a secura da magnetita (ímã) se
alimentava. A idéia dos ímãs se alimentarem da umidade do ferro era também uma
superstição, mas já se pensavam em dois elementos, ou seja, a umidade e a secura que
representariam dois elementos opostos que se complementariam como os pólos norte e
sul. O poder que o ferro magnetizado têm de atrair outros pedaços de ferro era bem
conhecido por Platão e Lucretius, mas talvez estes estivessem entre os primeiros a notar
que os materiais magnéticos poderiam se repelir também. A explicação para este fato
ainda aguardava a elaboração do conceito de pólo magnético para uma melhor explicação
dos fenômenos de repulsão e atração [1]. A primeira aplicação tecnológica magnética, é a
bússola, o período e o lugar de seu surgimento é assunto de disputa entre historiadores.
Parte considerável afirma que o lugar foi a China, em algum tempo entre 2637 a.C. e
1100 d.C. [1]. Outras fontes assumem que a bússola foi introduzida na China no século
XIII, e os pioneiros na sua utilização foram os árabes. Entretanto todos concordam que
a bússola era certamente conhecida no oeste da Europa por volta do século XII, pois a
primeira referência sobre a sua utilização foi feita por Alexander Neckma (1157-1217). A
primeira e mais importante tentativa experimental de entender o magnetismo, foi devida
a Pierre Pélerin de Maricourt(1240-?) também conhecido como Petrus Peregrinus, que
escreveu o mais antigo tratado de física experimental em 1269. Este fez experiências com
uma magnetita esférica, colocando pedaços de ímã em várias regiões, traçou as linhas de
campo magnético que se interceptavam em dois pontos. Estes pontos foram chamados
de pólos do ímã, como analogia aos pólos (geográficos) da Terra, sendo que o pólo sul de
2
um imã aponta aproximadamente para o pólo norte do planeta. Dos filósofos naturais
que estudaram magnetismo, o mais famoso é William Gilbert de Colchester (1544-1603),
chamado de “Pai do Magnetismo”, pois sistematizou as especulações sobre o assunto.
Vinte anos à frente de Sir Francis Bacon, foi um firme defensor do que nós chamamos
hoje de método experimental. De Magnete foi sua obra-prima, dezessete anos do seu
trabalho registrado, contendo todos os seus resultados. Nesta foi reunido todo o conhe-
cimento sobre magnetismo digno de confiança de seu tempo, junto com suas maiores
contribuições. Entre outros experimentos, foram reproduzidos aqueles executados três
séculos antes por Peregrinus com a magnetita esférica que foi chamada de terrella (pe-
quena terra), pois Gilbert a idealizou como sendo um modelo atual da Terra e assim foi
o primeiro a afirmar que a Terra é um ímã, ou seja, possui um campo magnético próprio.
Os fenômenos magnéticos passaram a ser melhor modelados, a partir do século XIX, com
a descoberta de sua correlação com a eletricidade. Em 1820, Oersted descobriu que uma
corrente elétrica passando por um fio também produzia efeito magnético, mudando a ori-
entação da agulha de uma bússola. Posteriormente, Ampère formulou a lei que relaciona
o campo magnético gerado com a intensidade de corrente no fio e em 1831, Faraday e
Henry, descobriram que um campo magnético variável induzia uma corrente elétrica em
um circuito. Após a descoberta dos efeitos magnéticos das correntes, foi sugerido por
Ampère, que a magnetização de meios materiais (ímãs permanentes) deveriam se originar
de correntes microscópicas, que foram denominadas correntes de Ampère. Assim todos
os fenômenos magnéticos seriam gerados por correntes, da mesma forma que todos os
efeitos elétricos são gerados pelos portadores de carga (elétron).
O comportamento dos materiais magnéticos em um campo magnético externo é de-
terminado pela origem de seus dipolos magnéticos e pela natureza da interação entre eles.
Os dipolos magnéticos têm origem no momento angular orbital e no spin dos elétrons nos
íons ou átomos que formam a matéria, portanto depende da distribuição eletrônica dos
átomos e moléculas. A grandeza macroscópica que representa o estado magnético de um
material é o vetor magnetização.
3
Fases Magnéticas
Podemos classificar as diversas fases magnéticas de acordo com a origem microscópica
de sua magnetização e de suas interações internas. Os principais tipos de fases magnéticas
são o Diamagnetismo, Paramagnetismo, Ferromagnetismo, Antiferromagnetismo, entre
outros. A seguir vamos discutir estes, utilizando uma abordagem macroscópica para que
se tenha uma idéia dos diferentes tiposde comportamento magnético.
Diamagnetismo
Diamagnetismo em geral corresponde ao tipo mais fraco de resposta magnética de
um sistema, caracterizado por susceptibilidade negativa e da ordem de χm ∼ 10−5 (SI)
(o fato deste valor ser negativo é justificado pela Lei de Lenz: esta é uma lei que diz que
um circuito submetido a um campo magnético externo variável, cria um campo contrário
opondo-se a variação deste campo externo). O seu efeito é diminuir o módulo do campo
no interior do material. Está presente em todos os materiais, ou seja, todo material é
diamagnético, mas isto só é observado quando não existem outros tipos de comportamento
magnéticos superpostos. Nos materiais diamagnéticos os átomos têm momento angular
total nulo, ou seja, não possuem momento de dipolo magnético intrínseco, ele é induzido
pelo campo magnético externo.
Paramagnetismo
Paramagnetismo é o fenômeno que ocorre em materiais que possuem momentos mag-
néticos intrínsecos não interagentes entre si. Na ausência de campo magnético nestes
materiais a magnetização é nula. A aplicação de um campo externo tenderá a alinhar os
dipolos na direção do campo magnético, pois esta configuração é energeticamente favore-
cida. Por isso, os materiais paramagnéticos têm susceptibilidade magnética positiva, com
ordem de grandeza entre 105 e 103 (SI). A tendência ao alinhamento encontra oposição na
agitação térmica, assim a susceptibilidade paramagnética deve depender da temperatura
(T ), diminuindo quando esta aumenta. Alguns materiais paramagnéticos são os metais
de elementos não magnéticos, isolantes, os materiais que contém átomos livres ou íons de
4
elementos dos actinídeos, entre outros. O paramagnetismo pode ter diferentes origens,
dois aspectos são freqüentemente usados para determinar a origem do paramagnetismo:
a magnitude de χ e a dependência da susceptibilidade com a temperatura (χ(T )). Para o
paramagnetismo de Curie, existe uma interação que tenta alinhar os momentos magnéti-
cos nos átomos com o campo magnético. A dependência com a temperatura é resultado
da competição entre a tendência que alinha os momentos paralelos ao campo e a tendên-
cia da agitação térmica em romper este alinhamento. A dependência de 1/χ com T é
linear. Quando uma pequena interação entre os momentos magnéticos de diferentes áto-
mos é adicionada a interação com campo magnético aplicado, temos o paramagnetismo
de Curie-Weiss. Esta interação entre os momentos (interação de troca) pode ajudar a
alinhar momentos adjacentes na mesma direção ou pode ajudar a alinhar a vizinhança na
direção oposta. Outra forma de paramagnetismo é o de Pauli, que é observado em metais
e é devido ao fato dos elétrons de condução terem momentos magnéticos que podem ser
alinhados com o campo aplicado (a banda de condução é separada em duas com aplicação
do campo, uma com elétrons de spin 1/2 e outra com elétrons de spin −1/2, o momento
magnético resultante dessas bandas tem a direção do campo, caracterizando o paramag-
netismo). Uma característica do paramagnetismo de Pauli é que χ é aproximadamente
independente da temperatura e em muitos casos tem valor muito pequeno.
Ferromagnetismo
Alguns elementos do grupo de transição, como o ferro, níquel e cobalto puros ou
em ligas com outros elementos, apresentam uma alta magnetização espontânea abaixo
da temperatura de Curie (TC). Essa alta magnetização nos materiais ferromagnéticos
está relacionada ao fato destes possuírem momentos de dipolo magnético intrínsecos
altamente interagentes que se alinham paralelamente entre si. Exemplos de elementos
ferromagnéticos são o Ferro (Fe, número atômico 26), Cobalto (Co, 27), Níquel (Ni, 28),
Gadolínio (Gd, 64), Térbio (Tb, 65), Dyprósio (Dy, 66), Hólmio (Ho, 67), Érbio (Er, 68),
Túlio (Tm, 69). O módulo da magnetização em materiais ferromagnéticos é várias ordens
de grandeza maior do que em materiais paramagnéticos e diamagnéticos, e a sua relação
com o campo é não linear. A curva de magnetização não depende somente do material,
5
mas do tratamento (térmico, magnético) a que este foi submetido, ou seja, de sua história
anterior. Por isso, costumam-se dizer que os materiais ferromagnéticos possuem memória
ou uma função memória χ(H).
Antiferromagnetismo
O antiferromagnetismo, assim como o ferromagnetismo, é originado pela interação
entre os spins, mas esta tende a alinhar os momentos magnéticos (spin) em direções
opostas, assim os momentos vizinhos se cancelam mutuamente. O comportamento da
magnetização em função do campo é semelhante a de um paramagneto, mas as origens
deste comportamento para um antiferromagneto são totalmente diferentes, pois este é um
estado ordenado de longo alcance, enquanto o paramagnetismo é um estado desordenado.
Os momentos magnéticos são alinhados em uma configuração alternada.
Um bom exemplo de antiferromagneto é o cromo.
Neste trabalho é usada a aproximação de campo médio, via princípio variacional
de Bogoliubov, para estudar o diagrama de fases de um metamagneto de Ising em um
campo magnético uniforme e aleatório. Este sistema tem despertado o interesse de muitos
autores [2], pois ele pode ser utilizado como modelo protótipo do modelo de Ising em
campo aleatório.
Nesta dissertação, os assuntos serão abordados de acordo com o seguinte esquema:
No Capítulo 1, é realizada uma discussão geral sobre “Transições de Fases e Fenômenos
Críticos” [3], onde é dada ênfase a sistema magnético, em especial ao modelo de Ising para
o qual são apresentadas duas soluções diferentes [2, 3, 4] para a versão unidimensional.
Este Capítulo é finalizado com uma solução aproximada (campo médio, versão de Bragg-
Williams) do modelo de Ising em uma, duas e três dimensões, uma vez que até agora não
há solução exata para o caso tridimensional e levando em conta que a solução exata para
bidimensional é muito longa e complicada.
No Capítulo 2, é estudado o comportamento tricrítico de um metamagneto em um
campo magnético externo uniforme e em um campo aleatório. Os problemas envolvendo
o modelo de Ising em um campo aleatório tem sido uma importante fonte de pesquisa
nesses últimos vinte anos [5, 6, 7, 8, 9]. Sistemas deste tipo têm sido realizados experi-
6
mentalmente em antiferromagnetos com ligações misturadas ou com diluições de sítios. É
de grande interesse investigar a existência de um ponto tricrítico. Dependendo da escolha
da distribuição do campo aleatório, a aproximação de campo médio origina um ponto
tricrítico (que está presente para uma distribuição simétrica bimodal, mas não ocorre no
caso da forma gaussiana). Neste Capítulo foram desenvolvidas as equações de estado e
energia livre via um estudo de campo médio, associado com a expansão de Landau, para
estudar o diagrama de fases.
No Capítulo 3, as soluções numéricas das equações de estado do Capítulo 2, são obti-
das para vários valores dos parâmetros (campo aleatório, distribuição trimodal, tempera-
tura e campo uniforme). Os diagramas de fase do modelo são apresentados e discutidos.
No Capítulo 4, são apresentados, de forma resumida, todos os principais resultados e
indicadas possíveis propostas para extensões posteriores do problema.
7
Capítulo 1
Fenômenos Críticos
1.1 Transições de Fases
A existência da vida na Terra está ligada diretamente à existência da água. O planeta,
com aproximadamente dois terços de sua superfície coberta por essa substância, é um
fascinante sistema termodinâmico acoplado a fontes externas de energia, interagindo
permanentemente com a sua vizinhança. A temperatura de sua superfície permite que
a água assuma as fases (ou estados) sólida, líquida e gasosa, gerando ciclos como o que
propicia a chuva.
A mudança nas fases da água pode ser obtida variando-se apropriadamente a pressão e
a temperatura. Tal transformação, denominada de mudança ou transição de fase, também
pode ser observada macroscopicamente em outras substâncias. Pode-se dizer de forma
geral que uma transição de fase caracteriza-se pela mudançabrusca em certa propriedade
físicas do sistema considerado. A propriedade observada, portanto, é o parâmetro que
define a transição.
Desse modo, em outros sistemas físicos, como os sistemas magnéticos e as ligas
binárias, por exemplo, ao observarmos grandezas como a magnetização, percebemos que
eles exibem transições de fase. Em substâncias ferromagnéticas existe magnetização
espontânea quando sua temperatura é menor que uma dada temperatura, denominada
de temperatura de Curie (Tc). Acima desta temperatura crítica a substância torna-se
paramagnética, ou seja, apenas exibe uma imantação na presença de um campo mag-
8
nético externo. Na fase paramagnética os momentos de dipolo magnéticos atômicos da
substância orientam-se aleatoriamente enquanto que, na fase ferromagnética, há uma
orientação preferencial desses dipolos. Por esta razão a fase paramagnética (ferromag-
nética) é também chamada de fase desordenada (ordenada) [10]. Na fase desordenada a
simetria de orientação dos dipolos magnéticos atômicos é maior que aquela exibida na
fase ordenada. Conseqüentemente, diz-se que na temperatura crítica de transição ocorre
uma quebra espontânea de simetria no sistema.
Um estado de equilíbrio de um sistema termodinâmico é descrito por uma equação,
chamada de equação de estado. Ela uma é função do tipo f = f(x1, x2, x3, · · · xN),
de vários parâmetros xi, que podem ser intensivos e/ou extensivos. Cada estado está
associado com um valor determinado de cada um dos parâmetros. A mudança em um
valor de um dos parâmetros corresponde à mudanças nos valores dos outros parâmetros,
assim o sistema passa para um outro estado de equilíbrio.
Para um fluido tem-se a chamada equação de estado, que é uma relação funcional do
tipo F (p, ρ, T ) = 0, envolvendo a pressão (p), a densidade (ρ) e a temperatura do sistema
(T). Essa equação define no espaço gerado pelas variáveis (p, ρ, T ), uma superfície, cujos
pontos representam estados de equilíbrio do sistema. Para melhor compreender essa
superfície é conveniente considerar as suas projeções nos planos p − T , p − ρ e ρ − T .
A Figura (1.1) exibe a projeção da superfície no plano p − T . Note que as fases sólida
e gasosa estão em equilíbrio ao longo da curva de sublimação. De forma semelhante,
as fases sólida e líquida estão em equilíbrio ao longo da curva de fusão, assim como, as
fases líquida e gasosa encontram-se em equilíbrio ao longo da curva de transição líquido-
vapor (curva de pressão de vapor). A última curva, acima mencionada, apresenta uma
inclinação positiva, uma vez que a temperatura de transição cresce com o aumento da
pressão e, sobre ela, líquido e vapor coexistem sem distinção. Observa-se que essa linha
não se estende indefinidamente, terminando num ponto denominado ponto crítico, com
coordenadas (pc, ρc, Tc). Essas coordenadas são, respectivamente, a pressão, a densidade
e a temperatura críticas. Como a curva termina em um ponto crítico, podemos observar
que é possível converter líquido em gás continuamente, sem cruzar a linha de transição.
Para temperaturas acima da temperatura de transição não há mais diferença fundamental
9
Figura 1.1: Diagrama de fases de um fluido simples, em termos da pressão contra tem-
peratura. As linhas cheias indicam transições de primeira ordem e o ponto crítico c uma
transição de segunda ordem. No ponto triplo (pt, Tt) há uma coexistência de três fases.
entre fase líquida e a fase gasosa.
O fato da curva de pressão de vapor terminar num ponto crítico foi descoberto no
século XIX por Andrews (1869) [3]. Antes dessa época acreditava-se que determinados
gases eram permanentes, ou seja, não se condensavam por maior que fosse a pressão neles
aplicada. Certamente esse trabalho de compressão era realizado acima da temperatura
crítica Tc, contrariando a condição de que, para obter gotículas da fase condensada, é
necessário comprimir o gás abaixo da temperatura crítica Tc. Para a água temos (pc = 218
atm, Tc = 647 K) enquanto que, para o gás hélio, temos (pc = 2, 25 atm, Tc = 5, 2 K).
É também interessante considerar as projeções da equação de estado F (p, ρ, T ) nos
planos p − ρ e ρ − T , conforme pode ser visto nas Figuras (1.2) e (1.3). Nessas figuras
observa-se que, em baixas temperaturas há uma diferença significativa entre as densidades
do gás (ρG) e do líquido (ρL). Contudo, à medida que a temperatura cresce a diferença
ρL−ρG decresce anulando-se na temperatura crítica Tc. O fato de existir uma quantidade
não nula abaixo da Tc e que assume valor zero acima de Tc, representa um aspecto
10
comum associado aos pontos críticos de uma ampla variedade de sistemas físicos. Tal
fato permite a introdução do conceito de parâmetro de ordem do sistema. Portanto,
na fase de maior simetria do sistema (fase desordenada) o parâmetro de ordem assume
um valor nulo enquanto que, na fase de menor simetria do sistema (fase ordenada) esse
parâmetro torna-se diferentes de zero. Para a transição líquido-vapor o parâmetro de
ordem é definido como sendo a diferença ρL - ρG enquanto que, num material com carac-
terísticas ferromagnéticas, atribui-se à magnetização espontânea o papel de parâmetro
de ordem do sistema.
Figura 1.2: Projeção da equação de estado no plano p versus ρ.
Figura 1.3: Projeção da equação de estado no plano ρ versus T .
11
Um outro aspecto importante está associado à forma das isotermas que podem ainda
ser vistas na Figura (1.2). No regime de altas temperaturas, T À Tc, o fluido pode
ser descrito em termos de um conjunto de partículas não interagentes. Neste caso, a lei
do gás ideal pode ser aplicada e as isotermas ficam bem representadas por linhas retas,
definidas pela equação p = ρ kBT
m
onde, kB é a constante de Boltzmann e m a massa da
molécula. Essas isotermas adquirem uma curvatura à medida que T → Tc, exibindo, em
T = Tc, um ponto de inflexão. Tal fato pode ser visto como sendo uma manifestação da
interação entre as moléculas constituintes do fluido.
A transição líquido-vapor pode ainda ser discutida no contexto de um modelo bastante
simples, o chamado gás de rede. Para isso supõe-se que o fluido esteja contido em um
volume macroscópico V e, que possa ser subdividido em células microscópicas, de volume
v. Tal volume v é da mesma ordem do tamanho médio das moléculas que compõem o
fluido (aproximadamente 5Å). O número de moléculas, N , na região gasosa é tal que V À
Nv. No modelo de gás de rede o comprimento de correlação ξ, pode ser definido como
o diâmetro médio dos clusters de moléculas na rede. Um cluster é um agrupamento de
sítios, no caso, moléculas, com as mesmas características. Assim, em altas temperaturas,
isto é, para T À Tc, há poucas moléculas vizinhas, necessárias para formação de gotas
(clusters). Tal situação é representada no reticulado visto na Figura (1.4) em (T À Tc)
no qual, ξ ¿ L, com L indicando o comprimento característico do sistema considerado.
À medida que T → Tc as “gotas” crescem em dimensão, ou seja, ξ cresce atingindo o
seu valor máximo ξ = L, em T = Tc, conforme está representado nos reticulados da
Figura (1.4) em (T → Tc) e (T = Tc). Vale ressaltar que no ponto crítico o sistema ainda
não encontra-se completamente ordenado uma vez que, para T À Tc, o parâmetro de
ordem ρL − ρG = 0. Evidentemente o sistema estará completamente ordenado, isto é,
perfeitamente compactado apenas em T = 0. Portanto a Figura (1.4) (T = Tc) deve ser
interpretada como uma pequena porção de um grande sistema. Deve-se ainda observar
que, apesar de ρL − ρG = 0 para T À Tc, existe um considerável grau de ordenamento
no sistema. Esse fato é refletido no grande tamanho dos clusters (ξ). Este tipo de ordem
que ocorre para T À Tc (onde ρL− ρG = 0 ) é freqüentemente chamado de ordenamento
de curto alcance, para distinguir daquela que ocorre para T < Tc (ρL−ρG 6= 0), chamada
12
de ordenamento de longo alcance.
Figura 1.4: Esboço do modelo de gás de rede em várias temperaturas. Cada célula indica
que há uma molécula ocupando esse volume.O comprimento de correlação (ξ) indica o
diâmetro de um cluster ou célula.
O espalhamento de luz é uma das técnicas mais importantes para se obter informações
a respeito do ponto crítico de um fluido. A partir desta técnica, é possível acompa-
nhar experimentalmente um fluido até uma região bastante próxima a seu ponto crítico.
Quando a dimensão lateral das gotas for da mesma ordem do comprimento de onda (λ)
da luz incidente sobre o fluido, a radiação será fortemente espalhada. Tal fenômeno
é conhecido como opalescência crítica. Em temperaturas acima de Tc o fluido exibe
uma única fase. Neste caso as flutuações são desprezíveis, não ocorrendo um apreciável
espalhamento da luz incidente. Na medida em que T se aproxima de Tc ocorre um grande
aumento nas flutuações (com ξ crescendo até tornar-se da ordem de λ) o comprimento de
onda da luz incidente. Neste caso a luz incidente é fortemente espalhada observando-se
um grande brilho que emana do fluido.
13
Por razões didáticas, a analogia entre sistemas magnéticos e fluidos é bastante útil.
Aplicando-se, por exemplo, uma pressão p a um fluido, a sua densidade ρ cresce. De
forma semelhante, aplicando-se um campo magnético H a um ferromagneto observa-se
que a sua magnetização m cresce. Assim, em um certo sentido, H é análogo a p e m a ρ
e a equação de estado magnético é dada por uma função do tipo g(H, m, T ) = 0. Essa
equação descreve uma superfície correspondendo aos estados de equilíbrio do sistema
ferromagnético uniaxial simples, cujos diagramas de fase estão mostrados nas Figuras
(1.5, 1.6 e 1.7).
Figura 1.5: Diagrama de fases no plano campo aplicado contra a temperatura para um
sistema ferromagnético uniaxial simples. A linha de coexistência é dada por H = 0 com
T < Tc.
Figura 1.6: Parâmetro de ordem (magnetização espontânea) em função da temperatura
para um ferromagneto uniaxial simples.
Das Figuras (1.5, 1.6 e 1.7), vê-se que grande parte das discussões qualitativas apre-
sentadas para um fluido também se aplicam a um ferromagneto. Na Figura (1.5), exibido
no plano H versus T , observa-se a presença de uma linha de coexistência entre as fases
14
Figura 1.7: Isoterma do ferromagneto uniaxial simples (magnetização m versus campo
magnético H).
ferro-1 (“spins up”) e ferro-2 (“spins down”), correspondente à H = 0 e T < Tc. No caso
de um fluido, tal situação é análoga ao diagrama de fases no plano p versus T . Na Figura
(1.6) vê-se que a magnetização espontânea anula-se acima de Tc, tal qual ocorre com a
diferença ρL − ρG, no caso de um fluido simples. Finalmente, na Figura (1.7) observa-
se que a evolução da magnetização espontânea em função do campo externo aplicado
é muito semelhante ao comportamento de ρ no plano p versus ρ em um fluido simples,
conforme pode ser visto na Figura (1.2).
As primeiras idéias sobre transição de fase remontam ao século XIX [10], sendo van
der Waals um dos pioneiros a apresentar contribuições relevantes nessa área. van der
Waals propôs pela primeira vez, como parte de sua tese de doutorado, uma teoria que
descrevia com sucesso a continuidade dos estados líquido e gasoso da matéria. Nela
estavam previstos a condensação e a existência de um ponto crítico, em sistemas fluidos.
Publicada em 1873 essa teoria permanece ainda hoje como importante referência na
análise do comportamento crítico de fluidos. Além disso, no início do século XX, Pierre
Curie propôs uma teoria fenomenológica sobre a transição ferromagnética, posteriormente
desenvolvida por Pierre Weiss. A teoria Curie-Weiss apresentava muitos aspectos em
comum com a teoria de van der Waals, sendo ambas hoje conhecidas como teorias clássicas
das transições de fase ou teorias de campo médio.
Num ponto crítico ocorrem certas anomalias (ou singularidades) nas propriedades
termodinâmicas de uma substância, originando os chamados fenômenos críticos. A com-
pressibilidade de um fluido, por exemplo, pode assumir um valor infinitamente grande
15
nas vizinhanças desse ponto. Um comportamento semelhante é também observado no
caso da susceptibilidade magnética de um ferromagneto, próximo a temperatura crítica
de transição. Esta divergência assintótica, observada nas vizinhanças do ponto, crítico
pode ser caracterizada por meio de um expoente crítico. Esse comportamento peculiar
na região crítica, de sistemas tão diferentes como um fluido e um sistema magnético, nos
leva à idéia de universalidade. Esta é a palavra utilizada para caracterizar essa corres-
pondência de comportamento entre os diferentes sistemas. Outras propriedades termo-
dinâmicas pertinentes a fluidos e a sistemas magnéticos exibem divergências assintóticas
nas vizinhanças do ponto crítico, podendo também ser caracterizadas através de uma
coleção de expoentes críticos.
O centro da teoria dos fenômenos críticos refere-se aos expoentes críticos, que são
parâmetros que caracterizam as propriedades termodinâmicas de um sistema nas proxi-
midades da região crítica. Dimensão, simetria do parâmetro de ordem e a dinâmica
das interações são os fatores responsáveis pelo comportamento físico do sistema. A
principal idéia sobre esses expoentes, ampara-se nas evidências experimentais, uma vez
que eles não dependem do material ou do sistema específico e sim, da dimensão do
sistema. Alguns desses expoentes podem ser introduzidos a partir do clássico diagrama
de Guggenheim [10], conforme está exibido na Figura (1.8). Este diagrama, obtido em
1945, mostra a dependência de ρL-ρG com a temperatura para diferentes fluidos simples:
Ne, Ar, Xe, Kr, CO, O4, N4, CH4.
A teoria de van der Waals, essencialmente uma teoria de campo médio, predizia que
a linha vista na Figura (1.8) deveria ter uma forma quadrática. Entretanto, os dados
referentes aos oito diferentes fluidos presentes na curva de coexistência se ajustam a
uma linha cúbica. Portanto, no contexto da teoria de campo médio a razão ρ/ρc, nas
vizinhanças do ponto crítico, segue a seguinte lei de potência: ρ
ρc
∼ (Tc− T )1/2 enquanto
que, experimentalmente é observado que: ρ
ρc
∼ (Tc − T )1/3. De forma correspondente, o
comportamento assintótico do parâmetro de ordem (magnetização espontânea) para um
sistema magnético, segundo a teoria de campo médio é: M ∼ (Tc − T )1/2 enquanto que,
experimentalmente é observado que: M ∼ (Tc−T )1/3. Em geral o expoente crítico para o
parâmetro de ordem é definido como: m ∼ (Tc−T )β onde, m = M (sistemas magnéticos)
16
Figura 1.8: Dados obtidos por Guggenheim em 1945 para a curva de coexistência de oito
fluidos diferentes (as densidades e as temperaturas são divididas pelos valores no ponto
crítico).
e m = ρL−ρG (fluidos). Um aspecto interessante é que para diversos materiais o valor de
β é praticamente o mesmo por exemplo: Fe (Tc = 1044K, β = 0, 34), Ni (Tc = 631, 6K,
β = 0, 33). Para todos os gases presentes no diagrama de Guggenheim obtém-se que
β ∼ 1
3
. Valores típicos de β estão na faixa entre (0, 31− 0, 34).
A susceptibilidade magnética a campo nulo (h = 0), definida como χ = (∂m
∂h
)T diverge
quando T → Tc de acordo com a lei de potência, caracterizada pelos expoentes críticos
γ e γ′: χ ∼ C+(T − Tc)−γ, para T > Tc e χ ∼ C−(Tc − T )−γ′ , para T < Tc. Observa-se
que γ = γ′ porém, as constantes de proporcionalidade C+, C− são diferentes. Em geral
os expoentes γ e γ′ estão entre 1, 2 e 1, 4, por exemplo, para (Fe, Ni, Gd) γ = γ′ =
1, 33 ' 4/3. No caso de fluidos a grandeza análoga a χ é a chamada compressibilidade
isotérmica definida por KT = 1ρ(
∂ρ
∂p
)T . Nas vizinhanças do ponto crítico quando T → Tc
esta quantidade (KT ) é governada pela seguinte lei de potência: KT ∼ (Tc−T )−γ, T > Tc
onde, de acordo com a teoria de van der Waals, o expoente crítico γ = 1. Este valor difere
dos resultados experimentais que estimam o expoente crítico γ com valores variando entre
1, 2 e 1, 4 [10]. Para o CO2 e o Xe, γ = γ′ = 1, 2.
Em sistemas magnéticos o calor específico a campo nulo exibe uma singularidade em
17
T = Tc, caracterizada pelos expoentescríticos α e α
′ com c ∼ (T − Tc)−α para T > Tc e
c ∼ (Tc − T )−α′ para T < Tc. Onde α = α′ ' 0. Para Fe e Ni, α = α′ = 0, 12. No caso
de fluidos o calor específico a volume constante cV próximo de Tc comporta-se com a lei
de potência cV ∼ (T − Tc)−α para T > Tc e cV ∼ (Tc − T )−α′ para T < Tc. Para o CO2
observa-se que α = α′ = 1/8 = 0, 125 enquanto que para o Xe, α = α′ = 0, 08.
A coleção de expoentes críticos obtidos para fluidos ou sistemas magnéticos via teoria
de campo médio são chamados de expoentes clássicos. Estes expoentes exibem uma com-
pleta universalidade, isto é, observa-se que esses expoentes críticos são aproximadamente
os mesmos para diversos tipos de materiais, que vão desde fluidos até cristais ferromag-
néticos. Por outro lado, dados experimentais e diversos resultados teóricos indicam a
existência de classes de universalidade caracterizadas por expoentes críticos que estão
em franco desacordo com o conjunto de expoentes clássicos. Atualmente é sabido que
apenas alguns fatores são imprescindíveis na determinação dos expoentes críticos: (i) a
dimensionalidade dos sistemas físicos, (ii) a dimensionalidade do parâmetro de ordem e
o (iii) alcance das interações microscópicas no sistema de interesse físico.
1.2 Modelos para Sistemas Magnéticos
1.2.1 A Função de Partição
A Física Estatística no Equilíbrio está baseada na idéia de uma função de partição
Z, que possui todas as informações essenciais do sistema. O símbolo Z vem da palavra
alemã Zustandsumme, que quer dizer “soma sobre todos os estados”. A forma geral dessa
função para um sistema clássico é
Z =
∑
e−H/kBT . (1.1)
O símbolo H representa a Hamiltoniana do sistema e é a função que descreve como se
comporta a energia do sistema, T é a temperatura e kB a constante de Boltzmann. A
somatória é feita sobre todos os estados possíveis do sistema, de modo que a função de
partição depende do tamanho do sistema (número de partículas) e do número de graus
de liberdade de cada partícula.
18
A função de partição só é conhecida de forma exata para alguns sistemas bastante
simples ou muito pequenos.
Quando conhecemos a função de partição podemos determinar a probabilidade Pi de
encontrar o sistema no estado i da seguinte forma:
Pi =
e−Hi/kBT
Z
, (1.2)
onde Hi é a Hamiltoniana do sistema quando este se encontra no estado i.
Também, a partir da função de partição, podemos determinar a energia livre
F = −kB ln Z (1.3)
e, a partir da energia livre, podemos calcular todas as outras quantidades termodinâmicas.
A Equação (1.3) é a conexão entre a Termodinâmica e a Física Estatística. A entropia
na Mecânica Estatística é definida como
S = −kB ln P , (1.4)
onde P é a probabilidade que um estado tem de ocorrer. Podemos escrever a entropia
em termos da energia livre da seguinte forma:
S = −
(
∂F
∂T
)
V,N
, (1.5)
onde os índices V,N , indicam que V (o volume do sistema) e N (o número de partículas
do sistema) permanecem constantes.
Para determinar a energia interna do sistema (U) fazemos
U = −T 2
(
∂(F/T )
∂T
)
V,N
. (1.6)
1.2.2 Médias
O que se espera de modelos, como o de Ising [4], é a determinação de características
macroscópicas como a magnetização. Em geral essas características são determinadas
a partir de médias sobre propriedades microscópicas. A média de uma grandeza mi-
croscópica A é calculada da seguinte forma:
〈A〉 =
∑
i Ae
−Hi/kBT
Z
, (1.7)
19
de modo que a magnetização, para o modelo de Ising, pode ser escrita como
M = 〈σi〉 =
∑
i σi e
−Hi/kBT
Z
. (1.8)
A partir da magnetização podemos escrever a susceptibilidade (χ) como
χ =
∂M
∂H
, (1.9)
onde H é uma campo aplicado ao sistema (como na Equação (1.11)).
O objetivo da Física Estatística é descrever as propriedades termodinâmicas de
um sistema através das suas propriedades microscópicas. Para alcançar este objetivo é
necessária a utilização de modelos que possam descrever da melhor forma possível um
sistema real.
A seguir apresentaremos o modelo de Ising [4] e modelo de Heisenberg [11]. Estes são
os modelos de maior importância no estudo de materiais magnéticos.
1.2.3 Modelo de Ising
Em 1923, Wilhelm Lenz propôs ao seu aluno de doutorado, Ernest Ising, um modelo
bastante simples. Nesse modelo, um spin Si tem apenas dois estados possíveis: “para
cima” ou “para baixo”, que são representados matematicamente por +1 e −1, respec-
tivamente. Podemos, como é convencional, organizar os spins em redes de 1, 2, 3 ou
outra dimensão d qualquer. Em 1925, Ising publicou a solução exata para uma cadeia
linear (d = 1). Em 1944, Lars Onsager produziu uma solução analítica para o modelo de
Ising em uma rede quadrada (d = 2), com condições de contorno periódicas sem campo
aplicado [12]. Até hoje, nenhuma solução exata para duas dimensões com campo e para
três dimensões foi publicada.
A energia associada a uma configuração de spins neste modelo é dada por
H = −J
∑
i,i+1
SiSi+1 (1.10)
onde i e i + 1 são primeiros vizinhos na rede. J indica o valor da interação entre o
spin do sítio i e o spin do sítio i + 1. Vendo os spins como momentos magnéticos
localizados, teremos para +J uma interação ferromagnética e para −J uma interação
20
antiferromagnética. No caso do ferromagnetismo o estado fundamental (de mais baixa
energia) é aquele em que os spins estão alinhados, isto é, todos para cima ou todos para
baixo. No antiferromagnetismo, o estado fundamental é aquele em que os spins estão
anti-paralelos, isto é, cada spin tende a se manter no sentido oposto ao dos primeiros
vizinhos.
A equação acima, portanto, possui esta simetria interessante: se virarmos todos os
spins, seu valor continuará o mesmo. A introdução de um campo magnético externo H
quebra esta simetria,
H = −J
∑
i,i+1
SiSi+1 −H
∑
i
Si (1.11)
restando, entretanto, a simetria para o caso em que o sinal (sentido) do campo também
seja invertido.
A agitação térmica influencia no sistema de spins de Ising de modo que à temperatura
bastante baixa (kBT ¿ J , sendo kB a constante de Boltzmann) este terá um valor baixo
na energia, spins alinhados e uma magnetização elevada. Já à temperaturas altas, os spins
estarão apontando em direções aleatórias, o sistema terá elevada energia e não apresentará
magnetização líquida a nível macroscópico. Se baixarmos a temperatura gradualmente,
encontraremos um ponto crítico de temperatura onde ocorre uma transição de fase no
sistema. Essa transição consiste em passar da fase desordenada (paramagnética, de
altas temperaturas) para a fase ordenada (ferromagnética, de baixa temperatura). Esta
temperatura crítica é comumente chamada de temperatura de Curie.
Na solução exata para d = 1, Ising mostrou que o modelo não apresenta transição de
fase a nenhuma temperatura, exceto T = 0. Deste modo, a magnetização decresce lenta
e continuamente com o aumento da temperatura. A susceptibilidade χ = ∂M
∂T
é finita a
qualquer temperatura T . Aqui, M é a magnetização. Não há divergência tanto no calor
específico quanto na susceptibilidade.
Todos os dados do parágrafo anterior, entretanto, são considerados incorretos do
ponto de vista da Teoria da Aproximação de Campo Médio, que indica a existência
de uma transição não-trivial (em T 6= 0). Este problema colocou em dúvida a idéia
de que o formalismo da mecânica estatística pudesse ser usado para descrever todos os
21
fenômenos de transição de fase. Pode-se argumentar que a transição de fase que não
aparece na solução de Ising é um artifício da aproximação de campo médio. Quando
Onsager, como já dissemos, resolveu o modelo de Ising em duas dimensões, deu fim ao
dilema. Isto porque para d = 2, o modelo apresenta uma transição de fase de segunda
ordem, caracterizada por singularidades na função de partição com divergências no calor
específico, susceptibilidade e comprimento de correlação. A temperatura de transição é
dada por kBT/J = 2/ln(1 +
√
2).
Desde a última metade do século XX, o Modelo de Ising tem sido intensivamente
estudado, sendo que o modelo cominterações entre os primeiros vizinhos em uma rede
quadrada tem um papel especial, pois o conhecimento exato da energia, magnetização
espontânea e das correlações a campo zero, leva ao conhecimento exato dos expoentes
críticos, que são valores que obedecem à característica de universalidade. É digno de
nota que os expoentes críticos são conhecidos para apenas poucos modelos. O valor dos
expoentes críticos na solução de Onsager [12], são
α = 0, β = 1/8 e γ = 7/4 . (1.12)
O modelo de Ising tem sido muito utilizado por ser um modelo bastante simples e
ainda assim apresenta aproximações a muitas propriedades de sistemas reais.
1.2.4 Modelo de Heisenberg
O modelo de Heisenberg [11] foi introduzido em 1928 e pode ser visto como uma
generalização do modelo de Ising. A Hamiltoniana do modelo de Heisenberg é
H = −J
∑
i,j
~σi · ~σj . (1.13)
~σi é um vetor unitário que, diferentemente de Si do modelo de Ising, não está limitado
a uma direção e dois sentidos, mas pode assumir qualquer direção e sentido nas três
dimensões.
A esta Hamiltoniana também pode ser acrescentado um campo H,
H = −J
∑
i,j
~σi · ~σj −H
∑
i
σi
z , (1.14)
22
que, neste caso, atua na direção do eixo z.
Este modelo, como apresentado acima, é uma aproximação extremamente realista
ao caso quântico para temperaturas próximas a Tc [13, 14, 15]. Já para domínios de
baixas temperaturas ele não é uma boa aproximação (também em se tratando do caso
quântico) [3].
1.3 Resolução do Modelo de Ising
1.3.1 Resolução Exata em Uma Dimensão
Provavelmente a solução mais simples para sistemas de interação de muitos corpos
é modelo de Ising para uma dimensão (ou cadeia linear) na ausência de um campo
externo [3]. Este sistema corresponde a um caso particular do modelo clássico de Heisen-
berg, que é utilizado para o caso de três dimensões.
Consideremos uma cadeia ou rede linear com N sítios, Figura (1.9), para a qual
u u u u u u u6 6 6 66 6 6 -
-¾
Ji
S1 S2 S3 . . . SN
Figura 1.9: Rede linear com N sítios com energia de interação Ji e spin S. O índice i
indica que a energia pode ter várias magnitudes.
poderemos obter a função de correlação diretamente da função de partição, sendo
útil considerar que a energia de interação (J) entre os primeiros vizinhos pode assumir
magnitudes arbitrárias. Deste modo, a Hamiltoniana que descreve o modelo de Ising é:
H = −
N−1∑
i=1
JiSiSi+1 (1.15)
23
onde os spins Si são vetores unitários unidimensionais e que podem assumir apenas os
valores discretos +1 e −1. Ji é a energia de interação entre os spins localizados nos sítios
i e i + 1. Note que apesar da somatória ser feita de i = 1 até N − 1, temos N sítios na
rede, pois quando i = N − 1 teremos Si+1 = SN .
O objetivo de nossos cálculos é obter, de forma fechada, a função de partição
ZN ≡ ZN(J1, J2, J3, . . . , JN−1) =
1∑
S1=−1
1∑
S2=−1
. . .
1∑
SN=−1
exp
(
N−1∑
i=1
JiSiSi+1
)
(1.16)
onde Ji ≡ βJi ≡ JikBT é um termo de energia de troca e não possui dimensão. kB é a
constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta. As N somatórias se estendem sobre
as 2N configurações de estado possíveis para o sistema.
O método de solução é calcular o efeito da adição de um spin a mais no fim da cadeia.
Isto é, pretendemos expressar a função de partição para a rede extensa, ZN+1, em termos
da função de partição para a rede original ZN . Tendo feito isso, teremos uma relação de
recorrência com a qual poderemos encontrar a solução.
Da Equação (1.16) fazemos:
ZN+1 =
1∑
S1=−1
1∑
S2=−1
. . .
1∑
SN=−1
exp
(
N−1∑
i=1
JiSiSi+1
)
1∑
SN+1=−1
exp (JNSNSN+1)
(1.17)
Observe que agora a última somatória da equação acima, (1.17), é:
1∑
SN+1=−1
exp (JNSNSN+1) = eJNSN + e−JNSN = 2cosh(JNSN) (1.18)
A função cosseno hiperbólico é positiva para qualquer valor real, o que nos leva a
perceber que o segundo termo da equação (1.18) não depende de SN já que os valores
possíveis para SN são +1 e −1, ou seja, cosh(+JN) = cosh(−JN). Então
ZN+1 = ZN2 cosh(JN) (1.19)
e como ocorre o mesmo com as outras somatórias e exponenciais para todos os 2N estados
possíveis, resulta que
ZN+1 = Z12
N(coshJ1 coshJ2 coshJ3 . . . coshJN) (1.20)
24
Agora é fácil ver que Z1 = 2, sendo Z1 é exatamente a função de partição para um
sistema simples de apenas um spin, de modo que a “soma sobre os estados” é simplesmente
o “número de estados”. Substituindo ZN+1 e Z1 na equação anterior (Equação 1.20)
teremos
ZN2 cosh(JN) = 2.2N(coshJ1 coshJ2 coshJ3 . . . coshJN) (1.21)
Eliminando os termos repetidos teremos, de forma clara:
ZN = 2
N(coshJ1coshJ2 . . . coshJ(N−1)) (1.22)
que pode ser reescrita assim:
ZN = 2
N
(N−1)∏
i=1
(coshJi). (1.23)
No caso uniforme, ou seja quando quaisquer dois spins tiverem sua energia de interação
constante e igual a J , (Ji = J), teremos:
ZN = 2
N cosh(N−1) J (1.24)
ou, de forma ainda mais explícita
ZN = 2
Ncosh(N−1)
J
kBT
. (1.25)
Voltemos agora para expressão mais geral da função de partição,
ZN = 2
N
(N−1)∏
i=1
(coshJi), (1.26)
cuja forma nos sugere uma relação com a ordem da temperatura TC . Por esta razão
vamos calcular a função de correlação entre dois spins
Γk(r) ≡ 〈SkSk+r〉 = Z−1N
∑
{S}
SkSk+r exp
(
N−1∑
i=1
JiSiSi+1
)
(1.27)
onde a somatória
∑
{S} SkSk+r é feita sobre todos os 2
N estados, S representa os spins
da rede, k é o valor que localiza o spin S e r é a distância de separação entre dois spins,
25
cujo valor é dado em unidades de uma rede constante. A função de correlação para o
primeiro vizinho é simplesmente Γk(1), o que satisfaz a relação
ZNΓk(1) =
∑
{S}
SkSk+1 exp
(
N−1∑
i=1
JiSiSi+1
)
=
∂
∂Jk
∑
{S}
exp
(
N−1∑
i=1
JiSiSi+1
)
(1.28)
Claramente o argumento que nos levou a equação acima pode ser generalizado para um
r arbitrário, resultando em
ZNΓk(r) =
∂
∂Jk
∂
∂Jk+1 . . .
∂
∂Jk+r−1ZN (1.29)
com isso, podemos obter, a partir da diferenciação da equação geral para ZN , o seguinte
resultado:
Γk(1) = tangh(Jk) (1.30)
e
Γk(r) = (tanghJk)(tanghJk+1) . . . (tanghJk+r−1) =
r∏
i=1
tanghJk+i−1 (1.31)
que é simplesmente o produto das funções de correlação entre os primeiros vizinhos. Para
um caso uniforme, esta equação se reduz a
Γk(r) = 〈SkSk+r〉 = tanghrJ (1.32)
ou, mais explicitamente,
Γk(r) = 〈SkSk+r〉 = tanghr
(
J
kBT
)
(1.33)
que se mostra independente do sítio k.
1.3.2 Solução Exata em Uma Dimensão na Presença de um
Campo
Para este caso o modelo de Ising pode ser escrito como
H = −J
N∑
i=1
SiSi+1 −H
N∑
i=1
Si (1.34)
26
onde Si e Sj são as variáveis de spin, J é a energia devido a uma interação entre os sítios
representados pelas variáveis de spin, H é um campo externo aplicado ao sistema.
Como já vimos em (1.2.3), as variáveis de spin podem ter interpretações diversas de
acordo com a situação do problema. A solução para o modelo de Ising é possível através
de uma função de partição canônica
Z =
∑
{Si}
exp(−βH) (1.35)
onde
∑
{Si} é uma somatória de todas as variáveis de spin sobre a expressão exponencial,
que resulta na agregação de todos os estados (soma dos estados do sistema).
Isso nos permite obter, no limite termodinâmico, a energia livre de Gibbs do sistema:
g = g(T,H) = lim
N→∞
1
βN
ln ZN (1.36)
Vamos começar escrevendo então a função de partição
ZN =
∑
{Si}
exp
[
βJ
N∑
i=1
SiSi+1 + βH
N∑
i=1
Si
]
(1.37)
usando a notação K = βJ e L = βH e escrevendo o segundo termo de uma forma mais
simétrica, teremos:
ZN =
∑
{Si}
exp
[
K
N∑
i=1
SiSi+1 +
L
2
N∑
i=1
Si + Si+1
]
(1.38)
Por mera conveniência, vamos adotar condições periódicas de contorno SN+1 = S1. Se
ex+y = exey, podemos escrever a parte exponencial da função acima como um produto
de exponenciais:
e[K
∑N
i=1 SiSi+1]e[
L
2
∑N
i=1 Si+Si+1] (1.39)
ou, de forma ainda mais explícita:
eKS1S2eKS2S3 ...eKSNSN+1e
L
2
(S1+S2)e
L
2
(S2+S3)...e
L
2
(SN+SN+1) (1.40)
Obtemos assim uma produtória, que vamos representar por
N∏
i=1
T (Si, Si+1) = exp
[
K
N∑
i=1
SiSi+1 +
L
2
N∑
i=1
Si + Si+1
]
(1.41)
27
de modo que a Equação 1.38 possa ser escritade forma simplificada:
ZN =
∑
{Si}
N∏
i=1
T (SiSi+1) . (1.42)
Observe agora que cada fator da produtória
T (SiSi+1) = exp
[
K
N∑
i=1
SiSi+1 +
L
2
N∑
i=1
Si + Si+1
]
pode assumir quatro valores, pois Si ± 1 e Si+1 ± 1, independentemente do valor de i.
eK(1·1)+
L
2
·(1+1) = eK+L
eK(1·−1)+
L
2
·(1−1) = e−K
eK(−1·1)+
L
2
·(−1+1) = e−K
eK(−1·−1)+
L
2
·(−1−1) = eK−L
Se colocarmos estes valores em forma de matriz,
T =

 T (+, +) T (+,−)
T (−, +) T (−,−)

 =

 e
K+L e−K
e−K eK−L

 (1.43)
onde T é a matriz transferência, podemos notar que a produtória da Equação 1.42 pode
ser representada como um produto de N matrizes 2 x 2 idênticas. Por conseguinte, se
diagonalizarmos esta matriz, a Equação 1.42 como um todo, pode ser interpretada como
o traço (Tr), ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal, do produto de N
matrizes (de transferência) idênticas,
ZN = Tr(T)N . (1.44)
Aplicando a equação secular (T − λI = 0), onde I é uma matriz identidade, podemos
encontrar as raízes a partir de uma matriz diagonalizada D:
ZN = Tr(D)N = λN1 + λ
N
2 (1.45)
onde as raízes λ1 e λ2 são
λ1,2 =
1
2
(
eK+L + eK−L
)± 1
2
√
(e4K − 2e4K−2L + e4K−4L + 4e−2L) e−2K+2L (1.46)
28
ou
λ1,2 = e
Kcosh(L)±
√
e2 Kcosh2L− 2senh(2K) (1.47)
É fácil perceber que esses autovalores são sempre positivos e que λ1>λ2, exceto no ponto
trivial T = H = 0. A campo nulo essas expressões ficam mais simples,
λ1 = 2 cosh K ≥ λ2 = 2 senh K , (1.48)
com a degenerescência (λ1 = λ2) no limite K → 0 (ou seja, T → 0).
Para obter a energia livre no limite termodinâmico, é conveniente escrever
ZN = λ
N
1
[
1 +
(
λ1
λ2
)N]
(1.49)
Como λ2 < λ1, temos o limite
g(T,H) = lim
N→∞
[
− 1
βN
lnZN
]
(1.50)
fazendo com que na Equação 1.49 tenhamos
(
λ1
λ2
)N
→ 0 (1.51)
e daí:
g(T, H) = − 1
β
lnλ1 (1.52)
ou seja,
g(T, H) = − 1
β
ln
{
eβJcosh(βH) +
√
e2 βJcosh2(βH)− 2senh(2βJ)
}
(1.53)
que é uma função analítica, de onde vêm todas as propriedades termodinâmicas do sis-
tema.
A magnetização por spin, por exemplo, é dada por
m = −
(
∂g
∂H
)
T
(1.54)
onde:
m =
senh(βH)√
senh2(βH) + exp(−4βJ) (1.55)
que se anula para H = 0, servindo apenas para a explicação do paramagnetismo e não o
ferromagnetismo, pois sabemos que m 6= 0 quando H = 0 em ummaterial ferromagnético.
29
1.3.3 Aproximação de Campo Médio para o Modelo de Ising
Além dos vínculos de temperatura e campo externo, digamos que o sistema tenha um
vínculo interno suplementar que fixa o valor da magnetização por spin. Isso nos levará
a utilizar a aproximação de campo médio usual, também chamada de aproximação de
Bragg-Williams.
Sendo, para um modelo de spin 1/2 (S = ±1), N+ o número de spins para cima e N−
o número de spins para baixo, temos
N = N+ + N− (1.56)
e
Nm = N+ − N− (1.57)
onde m é a magnetização adimensional. Conhecendo N+ e N−, podemos calcular a
entropia total
S = kB ln Ω, (1.58)
sendo que Ω é o número de estados, o que pode ser rescrito com sendo
S = kB ln
N !
N+!N−!
(1.59)
ou ainda
S = kB ln
N !(
N+Nm
2
)
!
(
N−Nm
2
)
!
(1.60)
Levando em conta a simetria translacional do problema, a energia interna numa rede
hipercúbica d-dimensional será dada por
U = 〈H〉 = −J d N 〈Si Sj〉 −H N m. (1.61)
Portanto, a energia livre magnética por spin, com o vínculo interno representado pela
magnetização fixa, é dada pela expressão
g 〈T, H; m〉 = 1
N
(U − TS) (1.62)
= −Jd 〈Si Sj〉 −Hm− kBT
N
ln
N !(
N+Nm
2
)
!
(
N−Nm
2
)
!
30
Até esse ponto não há nenhuma aproximação. O problema reside na dificuldade para
calcular as correlações de dois pontos em termos de T , H e m.
A aproximação de Bragg-Williams consiste em desprezar as flutuações nas funções de
correlação, fazendo a aproximação
〈SiSj〉 ≈ 〈Si〉〈Sj〉 = m2. (1.63)
Escrevendo uma expansão de Stirling para os fatoriais e utilizando essa aproximação para
as correlações, obtemos no limite termodinâmico a energia livre de Bragg-Williams por
spin,
gBW (T, H; m) = − Jdm2 −Hm−
1
β
ln2 (1.64)
+
1
2β
[(1 + m)ln(1 + m) + (1−m)ln(1−m)]
Para remover o vínculo interno a fim de obter a energia livre termodinâmica, basta
minimizar gBW em relação a m. Assim, temos
∂gBW
∂m
= −2Jdm−H + 1
2β
ln
1 + m
1−m = 0 (1.65)
de onde vem a equação de Curie-Weiss,
m = tanh(β2Jdm + βH), (1.66)
onde o parâmetro fenomenológico λ é identificado como o produto 2dJ , prevendo-se uma
transição mesmo no caso unidimensional. Embora esse resultado esteja completamente
errado, esperam-se melhores previsões à medida que a dimensionalidade do sistema au-
mente.
A energia livre de Bragg-Williams, dada pela Equação (1.65) também pode ser escrita
na forma
gBW (T, H; m) = −Jdm2 −Hm−
1
β
ln 2 +
1
β
∫ (
tanh−1m
)
dm (1.67)
que permite uma identificação imediata com a função gBW (T, H; m), obtida a partir da
equação fenomenológica de Curie-Weiss. Podemos, com isso, recuperar todos os resulta-
dos clássicos para o comportamento crítico.
31
Capítulo 2
Metamagneto em Campo Uniforme e
Aleatório
2.1 Introdução
Em 1932, L. Néel, propôs a primeira teoria do antiferromagnetismo [16] para explicar
as anomalias nas medidas da susceptibilidade em Mn e Cr. Estas medidas implicavam
em uma temperatura de Curie negativa para a susceptibilidade χ ∼ 1
T−Tc no modelo
de Curie-Weiss para explicar este comportamento anômalo, Néel foi obrigado a con-
siderar que cada um dos momentos magnéticos se localizavam em pontos de uma rede
composta por duas sub-redes equivalentes, onde cada uma delas experimentavam cam-
pos internos proporcionais, porém opostos. Assim, na então teoria do campo molecular
Weiss-Néel, a temperatura negativa de Curie indicava um alinhamento antiparalelo dos
momentos magnéticos dessas substâncias. Esta teoria (Weiss-Néel) previa uma transição,
da fase paramagnética para uma fase antiferromagnética, em uma temperatura crítica
(−Tc = TN), posteriormente chamada de temperatura de Néel. Quase duas décadas mais
tarde, em 1949, foi verificado experimentalmente, através da difração de nêutrons [17],
que o alinhamento dos momentos magnéticos que ocorre nesses materiais realmente é o
antiparalelo. A transição paramagnética-antiferromagnética é de segunda ordem.
Foi verificado posteriormente [18] que esta transição de segunda ordem persiste quando
um campo magnético externo (H) é aplicado. Agora a temperatura de Néel (TN) é uma
32
função decrescente do campo magnético, assim o ponto de Néel torna-se uma linha de
Néel no plano T −H.
Na maioria dos materiais antiferromagnéticos, o efeito de um campo magnético ex-
terno suficientemente forte é o de levar a uma nova transição de fase, isto é, a fase
antiferromagnética (momentos magnéticos antiparalelos entre si, porém perpendiculares
ao campo externo) torna-se spin-flop (momentos magnéticos alinhados antiparalelamente
entre si, porém perpendiculares ao campo externo) [6, 19, 20, 21, 22, 23]. Mais tarde,
uma grande quantidade de trabalhos chegaram a um completo diagrama de fase para
os materiais antiferromagnéticos. Uma completa visão histórica do antiferromagnetismo
pode ser visto nos trabalhos de Nagamiya et al [24] e de Jacobs et al [25].
Por outro lado, existem duas classes de materiais (sólidos) antiferromagnetos anisotrópi-
cos. A primeira, tais como FeCl2 (cloreto ferroso), FeBr2 (brometo ferroso), Ni(NO3)2 ·
2H2O (nitrato de níquel di-hidratado), DAG(Dysprosium Aluminium Garnet), possuem
uma estrutura de camadas alternadas com uma fraca interação antiferromagnética entre
as camadas e uma forte interação ferromagnética intra-camada.
A segunda é composta de substâncias ferromagnéticas ou antiferromagnéticas que
apresentam um comportamento não ortodoxo. Estas duas classes de materiais são os
hoje conhecidos como “metamagnetos”. A origem da nomenclatura “metamagneto” foi
inicialmente utilizada por Kramers [26] para caracterizar alguns sólidos que apresentavam
um comportamento não ortodoxo, isto é, sólidos que ora apresentavam comportamento
de um ferromagneto, ora de antiferromagneto.Alguns autores [2, 26] utilizam o termo
“metamagneto” para especificar sistemas magnéticos do tipo Ising com interação antifer-
romagnética entre os spins primeiros vizinhos e interação ferromagnética entre os spins
segundos vizinhos, formando um sólido com duas sub-redes entrelaçadas.
Os primeiros estudos teóricos dos metamagnetos tiveram seu início com as teorias
fenomenológicas de Landau nos anos de 1930. Sauer [27] e Garret [28] consideraram a
teoria de campo médio para o modelo de Ising com uma escolha conveniente dos sinais e
dos valores das interações de primeiros e de segundos vizinhos.
Um cristal metamagnético ideal pode ser construído sobrepondo camadas idênticas de
spin com acoplamento ferromagnético entre os spins de cada camada e com acoplamento
33
antiferromagnético entre os spins das camadas adjacentes. Um outro modo de pensar
um cristal metamagnético é considerar um cristal cúbico com os acoplamentos entre os
primeiros vizinhos como sendo de caráter antiferromagnético e os acoplamentos entre os
segundos vizinhos como sendo ferromagnéticos.
Em um campo externo nulo, um metamagneto comporta-se como um antiferromag-
neto de Ising. A correspondente transição de fase antiferromagnética é de segunda ordem
para um campo magnético suficientemente baixo. No entanto, para campos suficiente-
mente grandes, a ordem desta transição muda de segunda para primeira ordem em um
ponto tricrítico, cujas propriedades tem sido largamente estudadas nos últimos anos [26].
Neste Capítulo estamos interessados em estudar o comportamento tricrítico de um
metamagneto em um campo magnético externo uniforme e em um campo aleatório. Os
problemas envolvendo o modelo de Ising em um campo aleatório tem sido uma fonte de
pesquisa nesses últimos vinte anos [5, 6, 7, 8, 9]. Sistemas deste tipo têm sido realizados
experimentalmente em antiferromagnetos com ligações misturadas ou com diluições de
sítios. É de grande interesse investigar a existência de um ponto tricrítico e a exata
relação para o antiferromagneto diluído em um campo uniforme. Dependendo da escolha
da distribuição do campo aleatório, a aproximação de campo médio origina um ponto
tricrítico (que está presente para uma distribuição simétrica bimodal, mas não ocorre no
caso da forma gaussiana). Com base no teorema central do limite, alguns argumentos
podem ser usados para dar suporte à relevância física da distribuição Gaussiana (o ponto
tricrítico produzido com a função bimodal, existe apenas como um mero artifício da
aproximação de campo médio).
A prova da equivalência entre o ferromagneto de Ising em um campo aleatório e um
antiferromagneto diluído em um campo uniforme é baseada nos argumentos do grupo de
renormalização que pode ser aplicado a campos fracos. Na aproximação de campo médio
(ou o equivalente e com solução exata do modelo com interações de alcance infinito), isto
é possível estabelecendo um mapeamento completo entre os parâmetros do ferromagneto
de Ising em um campo aleatório e o antiferromagneto ou metamagneto de Ising diluídos,
em um campo uniforme.
Em particular, é conhecido que o campo aleatório deve ser associado com uma dis-
34
tribuição simétrica da função bimodal para a diluição arbitrária, incluindo o caso puro,
onde não há diluição. Simulações numéricas e experimentos indicam que a transição de
primeira ordem é destruída quando a diluição é acrescentada, de modo que nenhum efeito
é previsto pelo cálculo de campo médio.
2.2 Definição do Modelo
Consideremos uma rede regular de n sítios, como na Figura 2.1, com spins de Ising
Si = ±1 em cada sítio, isto pode ser dividido em duas sub-redes equivalentes interpene-
trantes, A e B [26]. Os z spins , primeiros vizinhos (nn), onde z é o número de primeiros
vizinhos, de um dado spin, estão localizados na outra sub-rede, enquanto os z′ spins,
segundos vizinhos (nnn), estão todos na mesma sub-rede. A Hamiltoniana do sistema é
dado por:
H = J
∑
nn
SiSj − J ′
∑
nnn
SiSj −
∑
i
(H + Ha)Si (2.1)
onde J é a constante de acoplamento entre os spins primeiros vizinhos (nn), a somatória
∑
nn é sobre todos os pares de spins nn, J
′ é a constante de acoplamento entre os spins
segundos vizinhos (nnn), a somatória
∑
nnn é sobre todos os pares de spins nnn, H é
a intensidade do campo magnético uniforme externo, e Ha é a intensidade do campo
aleatório local. Assumimos, neste trabalho, que as interações entre os primeiros vizinhos
nn são antiferromagnéticas (J > 0), as interações entre os segundos vizinhos nnn são
ferromagnéticas (J ′ ≥ 0) e que os campos aleatórios locais Ha não estão correlacionados.
Ainda que seja possível considerar sub-rede dependente da distribuição de probabilidade,
neste trabalho usamos a mesma probabilidade para cada sítio.
2.3 Equações do Campo Médio
A solução exata de problemas em geral, quando existem interações entre spins, só se
conhece para alguns poucos modelos, ainda que se tenha campo externo é nulo (Ising
35
s u s u s u s
u s u s u s u
s u s u s u s
u s u s u s u
s u s u s u s
u s u s u s u
6 6 6 6
6 6 6
6 6 6 6
6 6 -¾
¡
¡
¡
¡¡µ¡
¡
¡
¡¡ª −J
J ′
6
6 6 6 6
6 6 6
6
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
h h h h
h h h
h h h h
h h h
h h h h
h h h
h
Figura 2.1: Rede bidimensional regular com spins Si = ±1. Observe que a rede pode
ser dividida em duas sub-redes interpenetrantes equivalentes, onde os primeiros vizinhos
estão na outra sub-rede e os segundos vizinhos estão na mesma sub-rede. A energia de
interação entre os primeiros vizinhos é −J e a interação entre os segundos vizinhos é J ′.
1D, 2D, etc.). Podemos, entretanto, obter uma solução aproximada usando os princípios
variacionais, sendo um deles baseado na desigualdade de Bogoliubov [3].
Considerando que a partir da Hamiltoniana H não conseguimos escrever a função de
partição Z, essa desigualdade parte da definição de uma Hamiltoniana tentativa Ht, da
qual se conhece a solução exata. Escrevemos então a diferença
V = H−Ht (2.2)
e a função de partição da Hamiltoniana tentativa,
Zt =
∑
{S}
e−βHt . (2.3)
36
Uma média térmica, escrita em função da Hamiltoniana tentativa, será
〈A〉t =
∑
{S} Ae
−βHt
Zt
. (2.4)
Vamos escrever uma função de partição em relação a V :
ZV =
∑
{S}
e−βV (2.5)
Podemos notar que
Zt
〈
e−βV
〉
=
∑
{S}
e−βV e−βHt (2.6)
ou seja,
Z = Zt
〈
e−βV
〉
. (2.7)
Usando a relação matemática
ex ≥ 1 + x + x
2
2!
+ · · · (2.8)
e sabendo que
〈x2〉 > 〈x〉2 , (2.9)
podemos escrever:
〈
e−βV
〉
=
〈
1− βV + β
2V 2
2!
+ · · ·
〉
(2.10)
〈
e−βV
〉
= 1− β 〈V 〉+ β
2 〈V 2〉
2!
+ · · · (2.11)
e−β〈V 〉 = 1− β 〈V 〉+ β
2 〈V 〉2
2!
+ · · · (2.12)
de onde tiramos a inequação
〈
e−βV
〉 ≥ e−β〈V 〉 . (2.13)
Multiplicando por Zt e usando as relações (2.7) e (2.2), teremos:
Z ≥ Zt e−β〈H−Ht〉, (2.14)
da qual, tomando o logaritmo natural de ambos os termos, escrevemos a energia livre:
〈F 〉av ≤ 〈Ft〉av + 〈〈H −Ht〉t〉av, (2.15)
37
onde F é a energia livre de Helmholtz, H é a Hamiltoniana que se quer estudar e Ht é a
Hamiltoniana tentativa, da qual conhecemos a solução exata, 〈. . .〉av representa a média
da distribuição do campo aleatório e 〈. . .〉t é a média térmica com respeito à Ht.
Neste trabalho usaremos a Hamiltoniana tentativa não interagente,
Ht = −
∑
i
(H + Ha)Si − ηA
∑
i∈A
Si − ηB
∑
i∈B
Si (2.16)
onde ηA e ηB são os parâmetros variacionais sendo que a Hamiltoniana pode ser escrita
para a sub-rede A como:
HtA = −
∑
i
(H + Ha)Si − ηA
∑
i∈A
Si (2.17)
e para a sub-rede B:
HtB = −
∑
i
(H + Ha)Si − ηB
∑
i∈B
Si (2.18)
Vamos escrever a energia livre em relação à Hamiltoniana tentativa para cada uma
das sub-redes
〈Ft〉av = 〈FtA〉av + 〈FtB〉av (2.19)
A função de partição canônica (Zustandsumme), isto é, a soma do fator de Boltzmann
sobre todos os estados, é dada por
Z = Tr e−βHt (2.20)
onde β ≡ 1
KBT
, sendo KB a constante de Boltzmann, T a temperatura absoluta e Tr é o
traço realizado sobre Ht e que pode ser escrita para as redes A e B como
ZA = Tr e
−βHtA ; ZB = Tr e−βHtB (2.21)substituindo o valor de Ht para Si = ±1,
Z ′A = eβ(H+Ha+ηA) + e−β(H+Ha+ηA) (2.22)
Z ′B = eβ(H+Ha+ηB) + e−β(H+Ha+ηB) (2.23)
38
Onde Z ′ é a função de partição para os estados de apenas um spin (+1 ou −1). Usando
a definição:
ex + e−x
2
≡ coshx (2.24)
teremos
Z ′A = 2coshβ(H + Ha + ηA) ; Z ′B = 2coshβ(H + Ha + ηB) (2.25)
onde Z ′A é a função de partição para um spin da sub-rede A, Z ′B é a função de partição
para um spin da sub-rede B e cada spin possui apenas dois estados possíveis (S = +1 e
S = −1).
Somos levados, portanto, a fazer
ZA = (Z
′
A)
N
2 ; ZB = (Z
′
B)
N
2 (2.26)
onde N representa todos os spins da rede (sub-rede A + sub-rede B). Pela conexão com
a termodinâmica, temos que a energia livre para cada sub-rede é:
FtA = −KBT ln ZA ; FtB = −KBT ln ZB (2.27)
Substituindo ZA e ZB como na Equação (2.26).
FtA = −
KBTN
2
ln 2coshβ(H + Ha + ηA) (2.28)
FtB = −
KBTN
2
ln 2coshβ(H + Ha + ηB) (2.29)
obtemos então a solução para a Equação (2.15)
〈Ft〉 = −N
2β
〈ln 2coshβ(H + Ha + ηA)〉 − N
2β
〈ln 2coshβ(H + Ha + ηB)〉 (2.30)
Para calcular 〈〈H −Ht〉t〉av, vamos escrever
〈〈H −Ht〉t〉av = J
∑
nn
〈SiSj〉 − J ′
∑
nnn
〈SiSj〉 −
∑
i
(H + Ha)〈Si〉
+
∑
i
(H + Ha)〈Si〉+ ηA
∑
i∈A
〈Si〉+ ηB
∑
i∈B
〈Si〉 (2.31)
39
Observe que os termos terceiro e quarto do lado direito se cancelam, ficando
〈〈H −Ht〉t〉av = J
∑
nn
〈SiSj〉 − J ′
∑
nnn
〈SiSj〉
+ ηA
∑
i∈A
〈Si〉+ ηB
∑
i∈B
〈Si〉 (2.32)
Usando a aproximação de Bragg-Williams, Equação (1.63):
〈SiSj〉 ≈ 〈Si〉〈Sj〉 = m2, (2.33)
e realizando as respectivas somas que aparecem na equação anterior, obtém-se
〈〈H −Ht〉t〉av = J Nz
2
〈SA〉〈SB〉 − J ′Nz
′
4
[〈SA〉〈SA〉+ 〈SB〉〈SB〉]
+ ηA
N
2
〈SA〉+ ηB N
2
〈SB〉 (2.34)
onde N é o número total de spins, z é o número de primeiros vizinhos, z′ é o número
de segundos vizinhos, SA é um spin da sub-rede A e SB é um spin da sub-rede B. O
termo Nz
2
indica o número de pares primeiros vizinhos e Nz′
4
o número de pares de spins
segundos vizinhos.
Definindo 〈SA〉 ≡ mA e 〈SB〉 ≡ mB, podemos escrever a Equação (2.34) em função
da magnetização:
〈〈H −Ht〉t〉av = NJz
2
mAmB − NJ
′z′
4
(m2A + m
2
B) +
N
2
ηAmA +
N
2
ηBmB (2.35)
Substituindo as Equações (2.30) e (2.35) na Equação (2.15), temos:
〈F 〉av ≤ −N
2β
〈ln2coshβ(H + Ha + ηA)〉av
− N
2β
〈ln2coshβ(H + Ha + ηB)〉av + JNz
2
mAmB
− J
′Nz′
4
(m2A + m
2
B) +
N
2
ηAmA +
N
2
ηBmB (2.36)
As magnetizações de cada sub-rede são determinadas por:
mA =
1
β
∂lnZ ′A
∂ηA
(2.37)
mB =
1
β
∂lnZ ′B
∂ηB
(2.38)
40
mA =
1
β
∂
∂ηA
ln[2coshβ(H + Ha + ηA)] (2.39)
mB =
1
β
∂
∂ηB
ln[2coshβ(H + Ha + ηB)] (2.40)
e derivando em função dos parâmetros η,
mA =
1
β
2senhβ(H + Ha + ηA)
2coshβ(H + Ha + ηA)
β (2.41)
mB =
1
β
2senhβ(H + Ha + ηB)
2coshβ(H + Ha + ηB)
β (2.42)
obtemos
mA = 〈tanhβ(H + Ha + ηA)〉av (2.43)
mB = 〈tanhβ(H + Ha + ηB)〉av (2.44)
Os parâmetros variacionais ηA e ηB são determinados pela condição estacionária da
energia livre
∂〈F 〉av
∂ηA
= 0 (2.45)
Isto é,
∂〈F 〉av
∂ηA
≤ − ∂
∂ηA
[
N
2β
〈ln2coshβ(H + Ha + ηA)〉av
]
− ∂
∂ηA
[
N
2β
〈ln2coshβ(H + Ha + ηB)〉av
]
+
∂
∂ηA
[
JNz
2
mAmB − J
′Nz′
4
(m2A + m
2
B)
]
+
∂
∂ηA
[
N
2
ηAmA +
N
2
ηBmB
]
= 0 (2.46)
0 = − N
2β
2senhβ(H + Ha + ηA)β
2coshβ(H + Ha + ηA)
+
JNz
2
mBβ[1− tanh2β(H + Ha + ηA)
− NJ
′z′
4
2tanhβ(H + Ha + ηA)β[1− tanh2β(H + Ha + ηA)]
+
N
2
mA +
N
2
ηAβ[1− tanh2β(H + Ha + ηA)] (2.47)
41
simplificando:
0 = − N
2
[tanhβ(H + Ha + ηA)] +
JNz
2
mBβ[1− tanh2β(H + Ha + ηA)]
− J
′Nz′
2
[tanhβ(H + Ha + ηA)]β[1− tanh2β(H + Ha + ηA)]
+
N
2
ηAβ[1− tanh2β(H + Ha + ηA)] + N
2
[tanhβ(H + Ha + ηA)]
(2.48)
podemos agora eliminar os termos que se anulam
0 =
JNz
2
mBβ[1− tanh2β(H + Ha + ηA)]
− J
′Nz′
2
[tanhβ(H + Ha + ηA)]β[1− tanh2β(H + Ha + ηA)]
+
N
2
ηAβ[1− tanh2β(H + Ha + ηA)] (2.49)
multiplicamos ambos os lados da Equação (2.49) por 2
Nβ[1−tanh2β(H+Ha+ηA)] e obtemos:
0 = JzmB − J ′z′[tanhβ(H + Ha + ηA)] + ηA (2.50)
ou
ηA = −JzmB + J ′z′mA (2.51)
e de forma análoga,
ηB = −JzmA + J ′z′mB (2.52)
Inserindo estes valores nas Equações (2.39) e (2.40) obtemos
mA = 〈tanhβ(H + Ha − JzmB + J ′z′mA)〉av (2.53)
mB = 〈tanhβ(H + Ha − JzmA + J ′z′mB)〉av (2.54)
Com isso podemos escrever a energia livre por spin do campo médio para um ponto
estacionário:
f = − 1
2β
〈ln2coshβ(H + Ha − JzmB + J ′z′mA)〉
− 1
2β
〈ln2coshβ(H + Ha − JzmA + J ′z′mB)〉
− Jz
2
mAmB +
J ′z′
4
(m2A + m
2
B) (2.55)
42
2.4 Expansão de Landau
Nesta seção vamos desenvolver a Expansão de Landau para estudar a transição de
fase do sistema.
Na década de trinta, do século XX, Landau construiu uma teoria geral para transição
de fases. Sua teoria está baseada na hipótese de que podemos expandir, nas vizinhanças
do ponto crítico, a energia livre em potências do parâmetro de ordem. Para isso, é
necessário assumir que a energia livre é uma função analítica do parâmetro de ordem [3,
29]. Entretanto, a expansão do potenciais termodinâmicos nem sempre converge [3].
Como contorno desse problema, Landau supôs que os termos de divergência estão nos
termos de ordens maiores da expansão.
Para realizar os cálculos da expansão, é conveniente introduzir as quantidades reduzi-
das:
t =
1
β(Jz + J ′z′)
; h =
H
Jz + J ′z′
; ha =
Ha
Jz + J ′z′
e os parâmetros
² =
J ′z′
Jz
≥ 0 ; γ = −Jz + J
′z′
Jz + J ′z′
=
²− 1
² + 1
Em termos da magnetização uniforme (M) e magnetização de saturação (mS)
M =
mA + mB
2
(2.56)
ms =
mA −mB
2
(2.57)
ou seja,
2M = 〈tanhβ(H + Ha − JzmB + J ′z′mA)〉av
+ 〈tanhβ(H + Ha − JzmA + J ′z′mB)〉av (2.58)
2M =
〈
tanhβ(Jz + J ′z′)
[
H
Jz + J ′z′
+
Ha
Jz + J ′z′
− JzmB
Jz + J ′z′
+
J ′z′mA
Jz + J ′z′
]〉
av
+
〈
tanhβ(Jz + J ′z′)
[
H
Jz + J ′z′
+
Ha
Jz + J ′z′
− JzmA
Jz + J ′z′
+
J ′z′mB
Jz + J ′z′
]〉
av
(2.59)
43
substituindo os valores reduzidos:
2M =
〈
tanh
1
t
[
h + ha +
1
Jz + J ′z′
(−JzmA + J ′z′mB)
]〉
av
+
〈
tanh
1
t
[
h + ha +
1
Jz + J ′z′
(−JzmB + J ′z′mA)
]〉
av
(2.60)
onde, a seguir, vamos demonstrar que
1
Jz + J ′z′
(−JzmA + J ′z′mB) = γM + ms (2.61)
Para começar, definimos:
α =
1
Jz + J ′z′
(2.62)
então, partindo de
α(−JzmA + J ′z′mB) = γM + ms (2.63)
vamos tentar encontrar os valores ms = mA−mB2 e M =
mA+mB
2
,
α[−Jz(mA −mB) + J ′z′(mA + mB)− J ′z′mA − JzmB] = γM + ms (2.64)
assim
α[−2msJz + 2MJ ′z′ − J ′z′mA − JzmB] = γM + ms. (2.65)
A partir dai vamos tentar obter γ = α(−Jz + J ′z′),
α[MJ ′z′ −msJz + MJ ′z′ −msJz − J ′z′mA − JzmB] = γM + ms (2.66)
α[−msJz + msJ ′z′ −MJz + MJ ′z′ + MJz + MJ ′z′
− msJz −msJ ′z′ − J ′z′mA − JzmB] = γM + ms (2.67)
α[ms(−Jz + J ′z′) + M(−Jz + J ′z′) + M(Jz + J ′z′)
− ms(Jz + J ′z′)− J ′z′mA − JzmB] = γM + ms (2.68)
substituindo α, obtemos:
γms + γM + M −ms − αJ ′z′mA − αJzmB = γM + ms (2.69)
44
e, escrevendo apenas os últimos termos que contém os valores ms e M em função de mA
e mB,
(γM −ms) + γms −M − αJ ′z′mA − αJzmB = γM + ms (2.70)
(γM −ms) + γmA −mB
2
+
mA + mB
2
− αJ ′z′mA − αJzmB
= γM + ms (2.71)
(γM −ms) + γmB + mB − 2αJzmB
2
+
γmA + mA − 2αJ ′z′mA
2
= γM + ms (2.72)
(γM −ms) + mB
2
[
Jz − J ′z′
Jz + J ′z′
+ 1− 2Jz
Jz + J ′z′
]
+
mA
2
[−Jz + J ′z′
Jz + J ′z′
+ 1− 2Jz
Jz + J ′z′
]
= γM + ms (2.73)
(γM −ms) + mB
2
[
Jz − J ′z′ + Jz + J ′z′ − 2Jz
Jz + J ′z′
]
+
mA
2
[−Jz + J ′z′ + Jz + J ′z′ − 2J ′z′
Jz + J ′z′
]
= γM + ms (2.74)
como os dois últimos termos da Equação (2.74) se anulam e o mesmo processo pode ser
usado para demonstrar que
1
Jz + J ′z′
(−JzmB + J ′z′mA) = γM −ms, (2.75)
concluímos que as equações de campo médio podem ser escritas de forma reduzida:
M =
1
2
[〈
tanh
1
t
(h + ha + γM + ms)
〉
+
〈
tanh
1
t
(h + ha + γM −ms)
〉]
(2.76)
e
ms =
1
2
[〈
tanh
1
t
(h + ha + γM + ms)
〉
−
〈
tanh
1
t
(h + ha + γM −ms)
〉]
(2.77)
45
Assim a energia por spin da Equação (2.55) pode ser escrita na forma
f
Jz + J ′z′
= − t
2
〈
ln2cosh
1
t
(h + ha + γM + ms)
〉
av
− t
2
〈
ln2cosh
1
t
(h + ha + γM −ms)
〉
av
+
γ
2
M2 +
1
2
m2s (2.78)
Vamos agora escrever a magnetização uniforme como