Teorema do Resto Chinês e outros problemas matemáticos

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Chapter 6
DESAFIOS
6.1 Problemas
Problema 1. [Teorema do Resto Chinês] O sistema de congruências
X ≡n1 a1
X ≡n2 a2
...
X ≡nk ak
(⋆)
onde (ni, nj) = 1, ∀ i ̸= j possui uma única solução
x ≡N N1y1a1 + · · ·+Nkykak , (6.2)
ou equivalentemente
x = N1y1a1 + · · ·+Nkykak + tN, t ∈ Z ,
onde N = n1 · · ·nk, Ni =
N
ni
e yi é solução de NiY ≡ni 1.
Questão: Obter a fórmula (6.2).
Problema 2. [OBM] Mostre que a equação
x2 + y2 + z2 = 3xyz (6.1)
tem infinitas soluções em Z.
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Gilberlandio Dias Resolução de Problemas - MA21
Problema 3. [F, Teo. 5.2] Seja α um número irracional. Prove que existem
intinitos racionais
p
q
tais que ∣∣∣∣α− pq
∣∣∣∣ < 1q2 .
Nota: Em [F] pede-se que prove a existência de uma constante c > 0 de modo
que a inequação é para
c
q2
. Também se observa que Hurwitz mostrou que a
menor constante c que serve para todos os irracionais na desigualdade acima é
1√
5
.
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