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ENSAIOS, CIRCUITO EQUIVALENTE E OPERAÇÃO DE UM 
TRANSFORMADOR MONOFÁSICO 
 
 
Diodotce Fernandes Martins das Mercês Lima 
 
 
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de 
Engenharia Elétrica da Escola Politécnica, 
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como 
parte dos requisitos necessários à obtenção do 
grau de Engenheiro Eletricista. 
 
 
Orientador: Sebastião Ércules Melo de Oliveira, D.Sc. 
 
 
 
Rio de Janeiro 
Março de 2016
ii 
 
ENSAIOS, CIRCUITO EQUIVALENTE E OPERAÇÃO DE UM 
TRANSFORMADOR MONOFÁSICO 
 
Diodotce Fernandes Martins das Mercês Lima 
 
PROJETO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE 
ENGENHARIA ELÉTRICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE 
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS 
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DE GRAU DE ENGENHEIRO 
ELETRICISTA. 
 
Aprovada por: 
 
____________________________________________ 
Prof. Sebastião Ércules Melo de Oliveira, D.Sc 
 (Orientador) 
 
____________________________________________ 
 Prof. Sergio Sami Hazan, Ph.D 
 
__________________________________________ 
 Prof. Oumar Diene, D.Sc 
 
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL 
 Março de 2016 
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Agradecimentos 
 
 
Agradeço primeiramente a Deus, pela força que me tem dado durante essa jornada para 
alcançar este importante objetivo. 
Aos meus pais, Francisco Lima e Maria da Graça, que mesmo à distância sempre me 
deram forças. 
À minha esposa Ilidia Lima e à minha filha Tamira Lima, pela paciência que tiveram 
comigo. 
 Aos meus irmãos: Rosa Lima, Edsalsa Lima, Derityson Lima, Melo Lima, Dedê Lima, 
Jamilo Lima, Celma Lima, Mulata Lima e Edmelsio Lima, por me incentivarem a nunca 
desistir, mesmo diante das dificuldades. 
Aos professores da UFRJ e do Departamento de Engenharia Elétrica que contribuíram 
para minha formação. 
 Ao Professor Sebastião Oliveira por confiar em mim para a realização deste trabalho e 
pelos ensinamentos, durante suas aulas, que foram fundamentais para a realização do 
mesmo. 
Meus agradecimento são também aos funcionários do Laboratório de Máquinas, André, 
Sergio e Jorginho, pelas informações, paciência e auxílio efetivo na realização dos 
procedimentos de ensaio. 
Finalmente, agradeço a todos os meus amigos que me ajudaram na execução deste 
trabalho, seja com palavras de incentivo ou com o auxílio em atividades relacionadas a 
outras disciplinas, permitindo que eu me concentrasse na conclusão do projeto. 
 
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Resumo 
 
 Neste trabalho, cálculos dos parâmetros do circuito equivalente de um 
transformador monofásico são realizados, a partir das medições em ensaios específicos. 
Em seguida, os parâmetros obtidos permitem antecipar os níveis de tensão, correntes e 
perdas que se verificam quando o mesmo transformador se encontra operando sob 
condições de carga. Também é observado o comportamento não senoidal da corrente de 
excitação do transformador em função da tensão de operação, com os resultados de 
medição extraídos dos ensaios de curto-circuito e a vazio sendo utilizados para 
determinação dos parâmetros do circuito equivalente do transformador. 
 Em adição, foram ainda obtidas algumas curvas de histerese do mesmo 
transformador com o auxilio de um circuito integrador RC conectado aos terminais de 
seu secundário. Isto permitiu extrair algumas relações B x H associadas ao fluxo 
magnético mútuo do transformador, a partir de medições de corrente no 
enrolamento primário e tensão nos terminais do capacitor, permitindo, assim, 
antecipar a amplitude das perdas no núcleo do equipamento sob diferentes 
condições de tensão aplicada. 
 Os ensaios foram realizados em um transformador de 1KVA que, apesar de 
não apresentar os valores usuais dos parâmetros encontrados nos sistemas de potência 
de médio e grande porte, mostrou desempenho bastante satisfatório no que diz respeito 
à observação das características de operação aqui discutidas. 
 
 
 
iv 
 
 
 
Abstract 
 
 In this work, calculations of parameters of the equivalent circuit of a single-
phase transformer are carried out from measurements on specific tests. Then, the 
parameters obtained allow predicting the voltage levels and currents losses that occur 
even when the same transformer is operating under load conditions. It is also noted the 
non-sinusoidal behavior of the transformer excitation current as a function of the 
operating voltage, with the measurement results taken from the short-circuit tests and 
no-load tests being used to determine the transformer equivalent circuit parameters. 
 In addition, some hysteresis curves of the same transformer were still obtained 
with the aid of an RC integrator circuit connected to its secondary terminals. This 
allowed extraction of some B x H relationships associated to the magnetic mutual flux 
of the transformer from current measurements in the primary winding and voltage 
measurements on the capacitor terminals, thus allowing to anticipate the magnitude of 
core losses in the equipment under different applied voltage conditions. 
 Tests were performed in a 1 KVA transformer which, although not present the 
usual values of the parameters found in medium and large power systems, showed quite 
satisfactory performance as regards the observation of the operating characteristics 
discussed herein. 
 
 
 
 
 
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Índice 
Agradecimentos ............................................................................................................................ ii 
Resumo ......................................................................................................................................... iii 
Abstract .........................................................................................................................................iv 
1 Introdução .................................................................................................................................. 1 
1.1 Motivação ............................................................................................................................ 1 
1.2 Objetivos ............................................................................................................................. 2 
1.3 Estrutura do Trabalho ......................................................................................................... 2 
2 Teoria dos transformadores ....................................................................................................... 4 
2.1 Princípios básicos dos transformadores.............................................................................. 4 
2.2-Histerese Magnética ........................................................................................................... 5 
2.3 Modelos de um Transformador ideal.................................................................................. 6 
2.4 O modelo do transformador real ...................................................................................... 12 
2.4.1 Resistência dos enrolamentos ................................................................................... 13 
2.4.2 Reatâncias de dispersão ............................................................................................. 14 
2.4.3 Relação de transformação ......................................................................................... 16 
2.4.4 Perdas no transformador de potência ....................................................................... 18 
2.4.5 Corrente de excitação ................................................................................................ 19 
2.5 Circuito equivalente .......................................................................................................... 22 
2.5.1 Polaridade ..................................................................................................................25 
2.6 Transformador operando em paralelo .................................................................................. 26 
2.6.1 Introdução .................................................................................................................. 26 
2.6.2 Condições para o paralelismo de transformadores ................................................... 26 
2.7.1 Ensaio a Vazio ................................................................................................................. 27 
2.7.2 Ensaio de Curto-Circuito ................................................................................................ 29 
3. Medições e Resultados............................................................................................................ 31 
3.1 Considerações iniciais ....................................................................................................... 31 
3.2 Ensaio de curto circuito ..................................................................................................... 34 
3.3 Ensaio a vazio .................................................................................................................... 38 
3.4 Ensaio sem carga ............................................................................................................... 42 
3.5 Ensaio no transformador com cargas ................................................................................... 53 
3.5.1 Ensaio com carga predominantemente ativa .................................................................... 53 
3.5.1.1 Carga puramente resistiva .......................................................................................... 53 
vi 
 
3.5.2 Ensaio com carga predominantemente Indutiva ........................................................... 59 
3.6 Medições de Curva de histerese ........................................................................................... 63 
4 Conclusões ................................................................................................................................ 71 
4.1 Conclusões......................................................................................................................... 71 
5 Referências Bibliográficas ........................................................................................................ 72 
 
 
vii 
 
Listas de Figuras 
 
Figura 2.1– Curva B x H para matérias ferromagnéticos ............................................................. 6 
Figura 2.1 –Transformador Ideal com o secundário aberto ........................................................... 7 
Figura 2.3 - Transformador ideal com carga conectada no secundário ............................... 10 
Figura 2.4 - Modelo do transformador real ............................................................................ 14 
Figura 2.5 - Representação esquemática do fluxo mútuo e fluxo disperso ....................... 15 
Figura 2.6 - Corrente de excitação .......................................................................................... 20 
Figura 2.7 - Transformador real aberto no secundário .......................................................... 20 
Figura 2.8 - Curvas de excitação do transformador:(a) tensão aplicada no enrolamento, 
corrente de excitação e fluxo magnético mútuo, (b) laço de histerese .............................. 22 
Figura 2.9 - Circuito equivalente do transformador de potência .......................................... 23 
Figura 2.10 - Circuito equivalente do transformador de potência (a) referido ao primário 
(b) circuito simplificado referido ao primário ...................................................................... 24 
Figura 2.11 –(a) Nomenclatura dos terminais e marcação da polaridade em um circuito 
equivalente de um transformador de polaridade subtrativa; (b) nomenclatura dos 
terminais e marcação da polaridade em um circuito equivalente de um transformador de 
polaridade aditiva ..................................................................................................................... 25 
Figura 2.12 - Ligações típicas dos instrumentos para o ensaio a circuito aberto .............. 29 
Figura 2.13 - Ligações típicas dos instrumentos para o ensaio de curto-circuito .............. 31 
Figura 3.1 - O transformador usado nos ensaios.................................................................... 32 
Figura 3.2 - Osciloscópio TPS 2014 ............................................................................................. 33 
Figura 3.3 – Transformador variador de voltagem ..................................................................... 34 
Figura 3.4 - Reta obtida do Ensaio de Curto-circuito............................................................. 36 
Figura 3.5 – Gráfico de Impedância ............................................................................................ 37 
Figura 3.6 - Gráfico de resistência equivalente x corrente ao quadrado .............................. 38 
Figura 3.7 – Curva de saturação obtida no ensaio a Vazio ......................................................... 40 
Figura 3.8 - Circuito equivalente do transformador ensaiado .............................................. 42 
Figura 3.9 –Corrente de excitação para tensão de 101 V .......................................................... 45 
Figura 3.10-Composição Harmônica da Corrente de Excitação para alimentação de 101 V ...... 46 
Figura 3.11-Corrente de excitação para tensão de 124 V ........................................................... 47 
Figura 3.12-Composição Harmônica da Corrente de Excitação para alimentação de 124 V ...... 47 
Figura 3.13-Corrente de excitação para tensão de 152 V ........................................................... 48 
Figura 3.14-Composição Harmônica da Corrente de Excitação para alimentação de 152 V ...... 49 
Figura 3.15-Corrente de excitação para tensão de 202 V ........................................................... 49 
Figura 3.16-Composição Harmônica da Corrente de Excitação para alimentação de 202 V ...... 50 
Figura 3.17-Corrente de excitação para tensão de 220 V ........................................................... 50 
Figura 3.18-Composição Harmônica da corrente de Excitação para alimentação de 220 V ...... 51 
Figura 3.19-Corrente de excitação para tensão de 242 V ........................................................... 52 
Figura 3.20-Composição Harmônica da Corrente de Excitação para alimentação de 242 V ...... 52 
Figura 3.21-Esquema elétrico para ensaio com carga resistiva .................................................. 54 
viii 
 
Figura 3.22-Carga resistiva meramente ilustrativa ..................................................................... 54 
Figura 3.23-Circuito para determinanação da curva B x H ......................................................... 64 
Figura 3.24-Montagem do transformador para curva de histerese ........................................... 65 
Figura 3.25-Curva de Histerese para alimentação de 80 V ......................................................... 67 
Figura 3.26-Curva de Histerese para alimentação de 163 V ...................................................... 68 
Figura 3.27-Curva de Histerese para alimentação de 181 V ....................................................... 68 
Figura 3.28-Curva de Histerese para alimentação de 202 V ....................................................... 69 
Figura 3.29-Cueva de Histerese para alimentação de 223 V ...................................................... 69 
Figura 3.30-Curva de Histerese para alimentação de 246 V ....................................................... 70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ix 
 
 
Listas de Tabelas 
 
Tabela 3.1-Dados da placa do Transformador ...........................................................................31 
Tabela 3.2- Ensaio de curto circuito ........................................................................................ 35 
Tabela 3.3- Valores do ensaio de circuito aberto .................................................................. 39 
Tabela 3.4- Valores de parâmetros de circuito equivalente ....................................................... 41 
Tabela 3.5-Cálculo de perdas por efeito oule e por dispersão .................................................. 44 
Tabela 3.6-Perdas no cobre e dispersão no enrolamento primário ........................................... 57 
Tabela 3.7-Perdas no núcleo e dispersão no secundário ............................................................ 58 
Tabela 3.8-Resultado do ensaio com carga indutiva .................................................................. 61 
Tabela 3.9-Valores de regulação de tensão com carga resistiva e indutiva ............................... 63 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
1 Introdução 
1.1 Motivação 
 
O transformador é um dispositivo que converte, por meio da ação de um campo 
magnético, a energia elétrica CA de uma dada frequência e nível de tensão em energia 
elétrica CA na mesma frequência mas, normalmente, em outro nível de tensão. Ele 
consiste em duas ou mais bobinas de fio enrolados em torno de um núcleo 
ferromagnético comum. Essas bobinas usualmente não estão conectadas diretamente 
entre si. A única conexão entre as bobinas é o fluxo magnético alternativo comum que 
circula pelo interior do núcleo. Um dos enrolamentos do transformador é ligado a uma 
fonte de energia elétrica CA e o segundo enrolamento pode ser ligado diretamente para 
alimentação de uma carga específica ou a um sistema elétrico em nível diferente de 
tensão. O enrolamento ligado à fonte de energia referida é chamado enrolamento 
primário e o outro enrolamento é denominado enrolamento secundário. 
A finalidade principal de um transformador é a de conversão de potência elétrica CA de 
um nível de tensão para outro, conservando o valor de frequência. 
Mas os transformadores também podem ser utilizados para outros fins como, por 
exemplo, para medição e para alimentação de sistemas de controle e/ou proteção. Nesse 
trabalho apenas os transformadores de potência são focalizados. 
 Os transformadores de potência são elementos de extrema importância no sistema 
elétrico, mais pelo fato de facilitar o transporte da energia gerada distante dos centros 
consumidores. Isto ocorre porque o aumento de tensão por um determinado fator k nos 
transformadores elevadores no ponto emissor da transmissão vai resultar em redução 
acentuada, pelo fator 1/(k
2
), nas perdas ôhmicas ao longo da transmissão. Outras 
componentes de perdas ocorrem no próprio transformador, e ainda no sistema de 
transmissão, mas em amplitude muito menos significativa. 
A inclusão do transformador no sistema elétrico permitiu, portanto, a transmissão de 
potência em baixas correntes e altas tensões e, com isso, com redução acentuada nas 
perdas globais na conversão de tensão e transmissão a longa distância. 
Por isso, é importante entender o principio de funcionamento dos transformadores, 
através da análise de seu desempenho sobdiversas condições de operação, com o 
objetivo de poder utilizá-lo de forma mais eficiente. 
A vida útil do transformador está diretamente ligado ao carregamento que sofre ao 
longo do seu período de operação . Ele pode suportar uma carga superior a nominal, 
desde que não se ultrapassem as temperaturas limites previstas em normas. 
2 
 
Existem uma serie de ensaio de rotina para operação eficiente do transformador, mas 
para esses estudos têm dois focos principais: a realização de ensaios práticos em 
equipamentos de teste, com características construtivas semelhantes às do equipamento 
que será efetivamente instalado no sistema elétrico, para determinar os parâmetros 
necessários na representação do transformador em condições anormais que podem ser 
causadas por diversos fatores inerentes ao sistema no qual o transformador estará 
inserido. O segundo é a criação de modelos matemáticos-com base nos dados de placa, 
curvas de histerese e parâmetros do circuito equivalente obtidos através dos ensaios 
práticos, como ensaio de circuito aberto e curto-circuito. Um aspecto importante da 
operação de transformador, em essencial os de potência, é a ocorrência de perdas em 
seu núcleo de material ferromagnético que podem ser influenciadas por fatores 
construtivos e pelas condições de operação do equipamento. Dessa maneira, um melhor 
entendimento da dinâmica de perdas no transformador é fundamental para que os seus 
efeitos sejam minimizados e o equipamento não cause dificuldades adicionais à 
operação do sistema elétrico. 
 
1.2 Objetivos 
 
O presente trabalho tem como objetivo apresentar os resultados dos ensaios 
realizados para determinar curva de magnetização, curva de histerese, parâmetros do 
circuito equivalente e formas de ondas da corrente de excitação de um transformador 
monofásico e comparar a queda de tensão para carga resistiva com a indutiva. 
Esses testes serão feitos assumindo diferentes níveis de tensões e cargas, para 
tentar representar satisfatoriamente o funcionamento do transformador monofásico em 
regime permanente. 
 
1.3 Estrutura do Trabalho 
 
Os fundamentos teóricos são necessários para o entendimento da análise que será 
desenvolvida, com a apresentação da teoria de alguns assuntos considerados essenciais 
dando inicio ao trabalho relatado. Então, para entender melhor a divisão do trabalho, 
nesta seção estão descritos, de maneira sucinta, os capítulos que compõem esse projeto 
de fim de curso. Este trabalho é composto por 5 capítulos que serão resumidos a seguir. 
3 
 
No Capítulo 1, faz-se uma introdução ao trabalho proposto, apresentando ao leitor a 
motivação que despertou o interesse pela sua realização e os seus objetivos, pelos quais 
se justifica a realização do mesmo. 
O Capítulo 2 apresenta uma revisão teórica sobre os princípios de funcionamento de um 
transformador em regime permanente e as equações para determinação dos parâmetros 
de seu circuito equivalente a partir de ensaios práticos. 
O Capítulo 3 descreve os principais equipamentos usados nas medições, os 
procedimentos experimentais realizados e os respectivos resultados alcançados em 
laboratório. 
No Capítulo 4 encontra-se a conclusão deste trabalho, relacionando as 
expectativas baseadas na teoria com os resultados obtidos a partir dos ensaios práticos. 
Além disso, são feitas algumas sugestões para realização de trabalhos futuros. 
Por fim, no Capítulo 5 são mostradas as referências bibliográficas que serviram 
como apoio para a realização deste trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 2 Teoria dos transformadores 
 
 2.1 Princípios básicos dos transformadores 
 
Os transformadores surgiram devido à necessidade de diminuir as perdas elétricas 
na distribuição e transmissão de energia elétrica. Seu principio básico de operação visa a 
manter a transferência de potência entre os enrolamentos, com a possibilidade de se 
alterar as grandezas de corrente e tensão. Os transformadores são constituídos por dois 
ou três enrolamentos primários e enrolamentos secundários dependendo do tipo de 
configuração, monofásico ou trifásico. A nomenclatura primaria e secundária é 
proveniente do sentido do fluxo de potência do sistema, ou seja, o enrolamento primário 
recebe a energia elétrica proveniente do sistema e secundário entrega energia elétrica à 
carga. Portanto, o enrolamento primário pode ser tanto de alta tensão como de baixa 
tensão vice-versa. O transformador funciona baseando no fenômeno de indução mútua 
entre dois enrolamentos eletricamente isolados, porém magneticamente acoplados 
através de fluxo de magnetização. Assim, quando o enrolamento primário do 
transformador é alimentadopor uma fonte de tensão alternada, surgirá automaticamente 
um fluxo alternado em que a amplitude dependerá da tensão do primário, da frequência 
da tensão aplicada e do número de espiras do enrolamento. Este fluxo magnético 
alternado enlaça o enrolamento secundário induzindo tensão cujo valor dependerá da 
tensão induzida no enrolamento primário e da relação de espiras entre enrolamentos 
secundário e primário. Para que um transformador funcione basta que exista um fluxo 
magnético comum, variável no tempo, enlaçando dois ou mais enrolamentos. Portanto 
para facilitar o acoplamento magnético entre estes enrolamentos, utiliza-se um núcleo 
feito de algum material que apresente alta permeabilidade magnética e baixa perda 
ôhmica. Este material é conhecido como ferromagnético, e é tipicamente composto de 
ferro e ligas de ferro como cobalto, tungstênio, níquel, alumínio e outros metais [1]. 
 
5 
 
2.2-Histerese Magnética 
 
A histerese é uma palavra derivada do grego e que significa atraso, é um 
fenômeno característico das substâncias ferromagnéticas. Essas substâncias se imantam 
facilmente quando na presença de um campo magnético. Mas se retiramos a influencia 
desse campo a substância não é desmagnetizada completamente. Portanto, o núcleo dos 
transformadores é feito dessas matérias ferromagnéticas que têm como função 
maximizar o acoplamento entre os enrolamentos e diminuir a corrente de excitação 
necessária para produzir o fluxo magnético. Essas sustâncias são compostas por grande 
quantidade de regiões nas quais os momentos magnéticos e todos os átomos estão em 
paralelo, chamados domínios. 
Quando um campo magnético é aplicado sobre um material ferromagnético, 
os momentos dos domínios magnéticos começam gradativamente a se alinhar com 
a orientação do campo e fazem com que a densidade de fluxo seja muito maior do 
que aquela devida apenas à força magneto-motriz aplicada. Isto é causado pelo 
aumento da permeabilidade efetiva do material, até o ponto em que todos os 
momentos magnéticos estejam alinhados segundo a orientação do campo aplicado. 
Assim quando isto acontece num material ferromagnético, podemos dizer que ele está 
saturado, pois mesmo aumentando a intensidade do campo (H), a indução magnética 
(B) não aumentará, pois não haverá movimentação dos domínios magnéticos. 
Se a aplicação de força magnetizante externa cessar, os momentos dos 
domínios tendem a se alinhar com as direções de mais fácil magnetização próximas 
à direção do campo que estava sendo aplicado. Porém, mesmo se a amplitude da 
força magnética externa for reduzida a zero, os momentos dos domínios 
magnéticos não serão mais totalmente aleatórios como eram antes do surgimento 
do campo magnético e restará uma magnetização líquida na direção deste campo. 
Este fenômeno, conhecido como histerese magnética, faz com que seja necessária 
a aplicação de uma força magnética em sentido contrário para que o momento 
magnético resultante no material se anule. Em virtude disso, a relação entre a 
densidade de fluxo B e o campo magnético H é não linear e plurívoca, fazendo 
com que seja comum a representação das características do material através de 
gráficos conhecidos como laços de histerese. O processo é ilustrado na Figura 2.1. 
6 
 
 
 
Figura 2.1– Curva B x H para matérias ferromagnéticos 
 
 
 
 
 
2.3 Modelos de um Transformador ideal 
 
Para melhor entender o principio de funcionamento de um transformador, 
considere o transformador ideal, ou seja, despreze todas as perdas elétricas e 
magnéticas. 
Como visto no texto anterior o transformador de potência pode ser provido de dois 
ou mais enrolamentos acoplados por um fluxo magnético mútuo. A figura 2.2 
ilustra um transformador monofásico ideal de dois enrolamentos com o fluxo 
magnético completamente confinado no núcleo concatenando ambos os 
enrolamentos, sendo as perdas no núcleo desprezadas e considerando-se a 
permeabilidade do núcleo infinita. Estas condições aqui consideradas não se 
aplicam à natureza real de um transformador, tendo como objetivo apenas o caráter 
didático . 
 
 
7 
 
 
Figura 2.2 - Transformador Ideal com o secundário aberto 
 
O lado onde aplicamos a tensão é chamado de primário, e o lado que desenvolve a 
tensão induzida é chamado de secundário, e também está apresentado o sentido da 
corrente, fluxo instantâneo e a polaridade da tensão como indicado na Figura 2.2 [2]. 
 Portanto, quando a tensão da fonte alternada tiver valor positivo, a direção 
da corrente i1 produzirá fluxo mútuo 𝜑𝑚 na direção mostrada de forma que a força 
eletromotriz induzida no primário v1 terá polaridade oposta à fonte e a do 
secundário v2 terá polaridade positiva que criará fluxo desmagnetizante contrário 
ao fluxo mútuo 𝜑𝑚, 𝑁1 é o número de espiras do primário e 𝑁2 é o número de 
espiras do enrolamento secundário. . 
 . 
Podemos observar que quando o secundário do transformador esteja aberto 
ou conectado a uma carga infinita, a corrente i2 será nula e uma pequena corrente 
de regime permanente primária,𝑖𝜑 conhecida como corrente de excitação, circulará 
para produzir o fluxo alternado no circuito magnético que, por sua vez, induzirá 
8 
 
uma FEM no enrolamento primário, segundo a Lei de Faraday na condição ideal, 
pode–se escrever que [2]: 
𝑒1 =
𝑑𝜆1
𝑑𝑡
= 𝑁1
𝑑𝜑
𝑑𝑡
 (2.1) 
 
 
 
Em que 𝜆1 é o enlace de fluxo concatenado pelo primário, em weber-espiras. 
𝜑 = 𝜙𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 (2.2) 
 
Como no caso ideal desconsidera-se a queda de tensão na impedância de 
dispersão, concluímos que 𝑣1=𝑒1 . Uma importante relação pode ser obtida da Equação 
(2.1). 
Considere uma tensão 𝑒1=sin(𝜔𝑡) = √2𝐸
𝑅𝑀𝑆 sin(𝜔𝑡) aplicada ao primário. 
Pode–se escrever: 
𝜑𝑚(𝑡) =
1
𝑁1
∫ 𝑒1(𝑡)𝑑𝑡 =
√2𝐸1
𝑅𝑀𝑆
𝑁1
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝑑𝑡 (2.3) 
𝜑𝑚(𝑡) =
√2𝐸1
𝑅𝑀𝑆
2𝜋𝑓𝑁1
(−cos(𝜔𝑡)) 𝑑𝑡 (2.4) 
Φ𝑚 =
√2𝐸1
𝑅𝑀𝑆
2𝜋𝑓𝑁1
 (2.5) 
 
O 𝛷𝑚 é a amplitude do fluxo magnético e 𝐸1
𝑅𝑀𝑆 é o valor eficaz de 𝑒1(𝑡). Da 
equação (2.5), tem-se que o valor eficaz da tensão 𝑒1(𝑡) é: 
 
𝐸1
𝑅𝑀𝑆 =
2𝜋
√2
𝑓𝑁1𝜙𝑚 = √2𝜋𝑓𝑁1𝜙𝑚 (2.6) 
 
Assim como no enrolamento primário, o fluxo do núcleo também enlaça o 
enrolamento secundário e produz uma força eletromotriz 𝑒2. Essa tensão induzida está 
9 
 
em fase com 𝑒1, pois ambas são produzidas pelo mesmo fluxo Φ𝑚, e é igual à tensão 𝑣2 
nos terminais do enrolamento secundário, desprezando também os efeitos da resistência 
e reatância de dispersão do enrolamento secundário. 
Fazendo o mesmo procedimento utilizado para o primário chega-se às Equações (2.7) e 
(2.8) [2]: 
 
 
 
𝒗𝟐(𝒕) = 𝒆𝟐(𝐭) =
𝒅𝝀𝟐(𝒕)
𝒅𝒕
= 𝑵𝟐
𝒅𝝋𝒎(𝒕)
𝒅𝒕
 (𝟐. 𝟕) 
 
𝑬𝟐 = √𝟐𝝅𝒇𝑵𝟐𝝓𝒎𝒂𝒙 (𝟐. 𝟖) 
 
Relacionando as equações (2.6) e (2.8) obtemos: 
𝑬𝟏
𝑬𝟐
=
𝑽𝟏
𝑽𝟐
=
𝑵𝟏
𝑵𝟐
 = 𝛂 (𝟐. 𝟗) 
 
Observamos que a Equação (2.9) relaciona as tensões de entrada e de saída do 
transformador com o número de espiras do primário e do secundário. À constante “α” é 
nomeado de relação de transformação. E por se tratar de transformador ideal não há 
queda de tensão na transformação e a corrente de magnetização é desprezada,a relação 
de transformação depende apenas da razão entre o número de espiras dos enrolamentos. 
Portanto a potência de entrada deverá ser igual à potência de saída, o que equivale a 
dizer que: 
 
 
𝑣1(𝑡)𝑖1(𝑡) = 𝑣2(𝑡)𝑖2(𝑡) (2.10) 
 
Manipulando as equações (2.9) e (3.10) chegaremos a seguinte equação : 
 
 
10 
 
𝑁1
𝑁2
= 𝛼 =
𝑖2(𝑡)
𝑖1(𝑡)
 (2.11) 
Assumindo agora que foi conectada uma carga no secundário do transformador, 
aparecerá uma corrente alternada 𝑖2(𝑡) que produz uma força magneto motriz (FMM) 
dada pela equação : 
 
𝕱𝟐 =
𝑵𝟐𝒊𝟐 (𝟐. 𝟏𝟐) 
 
Em que, 
 
𝔉2 = Força magneto motriz do enrolamento secundário [A.esp]. 
A figura a seguir mostra esquema de um transformador ideal com carga conectada 
no secundário [2]. 
 
Figura 2.3- Transformador ideal com carga conectada no secundário 
 
A FMM presente no secundário depois da conexão com a carga, tende a alterar o 
fluxo produzido pela FMM da corrente de excitação i𝜑 que, por sua vez altera as fems 
induzidas nos enrolamentos, primário e secundários, produzindo assim um 
desequilíbrio de tensão aplicada 𝑣1 e a fem E1. Ela tende a produzir um fluxo 
11 
 
desmagnetizante que reduz o fluxo mútuo 𝜑𝑚 e as tensões 𝑒1 e 𝑒2 instantaneamente, 
fazendo com que surja uma componente de corrente primária 𝑖1 para criar uma 
FMM contrária àquela produzida pelo secundário e permitir a manutenção da 
corrente 𝑖𝜑 e o restabelecimento do fluxo ao seu valor inicial. A corrente total que 
circula no enrolamento primário 𝑖′1 é a soma fasorial entre a corrente de carga 𝑖1, 
que apresenta ângulo de fase dependente do fator de potência da carga, e a corrente 
de excitação 𝑖𝜑, que está em fase com o fluxo concatenado. 
 Desta forma, a FMM resultante no núcleo corresponde a equação (2.13) 
𝕱𝒕 = 𝑵𝟏𝒊𝟏 − 𝑵𝟐𝒊𝟐 = 𝕽𝝋 (𝟐. 𝟏𝟑) 
 
Onde, 
𝔉𝑡 = FMM total líquida no circuito magnético [A.esp]; 
ℜ = relutância do núcleo do transformador [
𝐴.𝑒𝑠𝑝
𝑊𝑏
]. 
A relutância da equação anterior é calculada como segue: 
𝕽 =
𝒍
𝝁𝑨
 (𝟐. 𝟏𝟒) 
E em que, 
𝑙 = comprimento total do material ferromagnético no núcleo [m]; 
𝐴 = área da seção reta do núcleo [m2]; 
𝜇 = permeabilidade magnética do material componente do núcleo [
𝑊𝑏
𝐴.𝑒𝑠𝑝.𝑚
]. 
Utilizando a notação de fasor podemos reescrever as Equações (2.9) e (2.11) da 
seguinte forma: 
 
�̇�1 =
𝑁1
𝑁2
�̇�2 𝑒 𝐼1̇ =
𝑁2
𝑁1
𝐼2̇ (2.15) 
 
Dividindo uma equação pela outra e arrumando os termos, temos a seguinte 
equação: 
12 
 
 
�̇�1
𝐼1̇
= (
𝑁1
𝑁2
)
2 �̇�2
𝐼2̇
= 𝛼2𝑍2 (2.16) 
 
 𝑍2 é a impedância complexa da carga conectada ao secundário do transformador. 
Podemos mudar a carga do secundário 𝑍2 para primário 𝑍1 sem alterar o 
comportamento do circuito. Este procedimento consiste em referir a impedância ao 
outro lado do transformador, e é muito útil na simplificação e na solução de circuitos 
envolvendo transformadores. Com essa técnica podemos substituir o elemento 
transformador por uma simples impedância para manipular as equações matemáticas. 
Assim, a impedância do lado secundário referida ao primário é calculada da seguinte 
maneira [2]: 
𝑍1
𝑍2
=
�̇�1
𝐼1̇
𝐼2̇
�̇�2
= (
𝑁1
𝑁2
)
2
 ∴ 𝑍1 = 𝛼
2𝑍2 (2.17) 
 
 
2.4 O modelo do transformador real 
 
Anteriormente foi apresentado o modelo de transformador ideal, que apesar de ser 
satisfatório para demonstração de modo como funciona o equipamento, o mesmo não 
pode ser usado para modelar a operação de um transformador nas diferentes situações às 
quais ele estará sujeito. Por melhor que sejam os processos e materiais empregados na 
construção de um transformador é impossível torná-lo livre de perdas, sejam elas 
ôhmicas ou de histerese, e de fluxos de dispersão nos enrolamentos. Por isso, devem ser 
feitas as modificações necessárias no modelo ideal para que ele possa ser eficiente nos 
estudos de transformadores usados na prática. 
Nesse modelo de transformador será levado em consideração os efeitos das resistências 
dos enrolamentos, dos fluxos dispersos e das correntes finitas de excitação devidas à 
permeabilidade finita e não-linear do núcleo. Em alguns casos, mesmo as capacitâncias 
dos enrolamentos apresentam efeitos importantes, notadamente em problemas que 
envolvem o comportamento do transformador em frequências acima da faixa de áudio, 
ou durante condições transitórias com variações muito rápidas, como as encontradas em 
13 
 
transformadores de sistemas de potência, resultantes de surtos de tensão causados por 
descargas atmosféricas ou transitórios de manobra. 
 
 
 
2.4.1 Resistência dos enrolamentos 
. 
 As resistências dos enrolamentos primários e secundários dos transformadores 
representadas por 𝑅1 e 𝑅2 respetivamente, são responsáveis pelas perdas de energia por 
efeito Joule e por parte da queda de tensão que ocorre devido à circulação das correntes 
nos enrolamentos. 
Para diminuir perdas por efeito Joule e também para reduzir o custo do 
transformador, os enrolamentos são projetados com condutores de secção adequada ao 
seu nível de corrente nominal, com objetivo de que os valores da resistência sejam 
menores possíveis. Portanto o enrolamento de alta tensão possui maior numero de 
espiras com secção menor, por conseguinte maior resistência em ohms, e no lado de 
baixa tensão tem menor numero de espiras e com maior secção, menor resistência em 
ohms . 
Apesar da resistência do enrolamento de alta ser, geralmente, maior que a 
resistência do enrolamento de baixa tensão, os condutores são escolhidos 
proporcionalmente às correntes de seus enrolamentos para que as perdas no cobre em 
ambos sejam aproximadamente iguais. 
A figura 2.4 mostra o circuito equivalente de um transformador com uma carga 
conectada ao secundário, funcionando em regime permanente [2]. 
14 
 
 
Figura 2.4- Modelo do transformador real 
 
 
 
2.4.2 Reatâncias de dispersão 
 
Ao contrário do que acontece no transformador ideal, no transformador real nem 
todo o fluxo enlaçado por um dos enrolamentos é o fluxo mútuo que fica confinado ao 
núcleo (fluxo 𝜑𝑚 na Figura 2.4), concatenando ambos os enrolamentos. 
O fluxo mútuo que efetivamente canalizado no núcleo, e determina a transferência 
de energia do enrolamento primário para o secundário. E ele é criado pela combinação 
das FMMs de primário e secundário, como pode ser visto na Figura 2.5 [1]. 
15 
 
 
Figura 2.5-Representação esquemática do fluxo mútuo e fluxo disperso 
 
Existe uma parcela, conhecida como fluxo disperso, que fecha o seu caminho magnético 
pelo ar e concatena apenas um dos enrolamentos (fluxos 𝜑𝐷1(𝑡) e 𝜑𝐷2(𝑡) na Figura 2.4 e 
na figura 2.5). Ele não está sujeito ao fenômeno de saturação do ferro e varia 
linearmente com a corrente de primário 𝑖1 que o produz, ou seja: 
𝝋𝒅𝟏 = 𝑳𝟏𝒊𝟏 (𝟐. 𝟏𝟖) 
 
O coeficiente 𝐿1 é a indutância de dispersão do primário [H] e corresponde à 
seguinte reatância de dispersão do primário [Ω]: 
 
𝑿𝒅𝟏 = 𝝎𝑳𝟏 = 𝟐𝝅𝒇𝑳𝟏 (𝟐. 𝟏𝟗) 
 
Quando um transformador alimenta uma carga surge uma corrente 𝑖2 no 
secundário deste. Esta corrente gera uma FMM no núcleo que é contrabalançada pela 
FMM igual e oposta geradapela corrente primaria, para manter inalterado o fluxo 
mútuo do núcleo, também produz um fluxo disperso de secundário que se fecha 
diretamente no ar ao redor do enrolamento e não enlaça o primário. De forma análoga 
ao que acontece com o enrolamento primário, esse fluxo é proporcional à corrente que o 
16 
 
produz e pode ser representado pela indutância [H] e reatância de dispersão do 
secundário [Ω], como mostrado a seguir: 
𝝋𝒅𝟐 = 𝑳𝟐𝒊𝟐 (𝟐. 𝟐𝟎) 
 
𝑿𝒅𝟐 = 𝝎𝑳𝟐 = 𝟐𝝅𝒇𝑳𝟐 (𝟐. 𝟐𝟏) 
 
 
2.4.3 Relação de transformação 
 
Levando em consideração as perdas e quedas de tensão no transformador, 
devemos representar essas grandezas no modelo proposto. É possível identificar três 
fluxos magnéticos distintos: 𝜑𝑚(𝑡) que é o fluxo mútuo, responsável pela transferência 
de energia entre os enrolamentos, e os fluxos 𝜑𝐷1(𝑡) e 𝜑𝐷2(𝑡) que são chamados de 
fluxo de dispersão do primário e do secundário, como foi visto na Figura 2.4 . 
 
O fluxo total de enlace de cada enrolamento pode ser dividido em duas 
componentes: o fluxo mútuo 𝜑𝑚(𝑡) confinado no núcleo e o seu fluxo de dispersão que 
representa a componente 𝜑𝐷(𝑡) que concatena apenas com o enrolamento referido. 
Assim, o fluxo resultante 𝜑1(𝑡) concatenado com o enrolamento primário pode ser 
definido como. 
 
𝜑1(𝑡) = 𝜑𝑚(𝑡) + 𝜑𝐷1(𝑡) (2.22) 
 
Devido ao fluxo total 𝜑1(𝑡) e em obediência à Lei de Lenz, uma tensão 𝑒1(𝑡) 
será induzida no enrolamento primário. Esta tensão é resultante da combinação da 
tensão induzida 𝑒𝑚1(𝑡) devida ao fluxo mútuo 𝜑𝑚(𝑡) e da tensão induzida 𝑒𝐷1(𝑡) 
devida ao fluxo de dispersão 𝜑𝐷1(𝑡), ou seja, 
 
 
𝑒1(𝑡) = 𝑒𝑚1(𝑡) + 𝑒𝐷1(𝑡) (2.23) 
17 
 
 
Assim, a partir das Equações (2.2), e (2.23), para o caso real, pode-se escrever que: 
 
𝑒1(𝑡) =
𝑑𝜆1(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑁1
𝑑𝜑1(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑁1 (
𝑑𝜑𝑚(𝑡)
𝑑𝑡
+
𝑑𝜑𝐷1(𝑡)
𝑑𝑡
) (2.24) 
 
 
O mesmo procedimento é feito para enrolamento secundário. Assim, tem-se que: 
 
𝑒2(𝑡) =
𝑑𝜆2(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑁2
𝑑𝜑2(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑁2 (
𝑑𝜑𝑚(𝑡)
𝑑𝑡
+
𝑑𝜑𝐷2(𝑡)
𝑑𝑡
) (2.25) 
 
Pela comparação das Equações (2.16) e (2.17) com a Equação (2.15), conclui-se 
que: 
 
𝑒𝑚1(𝑡) = 𝑁1
𝑑𝜑𝑚(𝑡)
𝑑𝑡
 (2.26) 
 
𝑒𝐷1(𝑡) = 𝑁1
𝑑𝜑𝐷1(𝑡)
𝑑𝑡
 (2.27) 
 
𝑒𝑚2(𝑡) = 𝑁2
𝑑𝜑𝑚(𝑡)
𝑑𝑡
 (2.28) 
 
𝑒𝐷2(𝑡) = 𝑁2
𝑑𝜑𝐷2(𝑡)
𝑑𝑡
 (2.29) 
Com base nas Equações (2.18) e (2.20) verifica-se que as tensões 𝑒𝑚1(𝑡) e 𝑒𝑚2(𝑡) 
induzidas nos enrolamentos primário e secundário devido ao fluxo mútuo 𝜑𝑚(𝑡) são 
diretamente proporcionais ao número de espiras de cada enrolamento, respectivamente. 
Desta forma, a razão entre a tensão induzida no primário e a tensão induzida no 
secundário, ambas devidas ao fluxo mútuo, pode ser calculada como segue abaixo: 
 
𝑒𝑚1(𝑡)
𝑒𝑚2(𝑡)
=
𝑁1
𝑁2
= 𝛼 (2.30) 
 
 
Podendo se concluir que é igual à relação de transformação do transformador ideal. 
Transformadores de núcleo de ferro bem projetados possuem uma permeabilidade 
magnética elevada, porém, não infinita. Por isso, a queda de tensão por dispersão é 
relativamente pequena quando comparada à tensão induzida produzida pelo fluxo 
18 
 
confinado no núcleo, representando apenas de 2 a 7% desta última. Então, podemos 
supor que 𝑒𝑚1(𝑡) ≫ 𝑒𝐷1(𝑡), que 𝑒𝑚2(𝑡) ≫ 𝑒𝐷2(𝑡) e que as perdas de tensão resistivas 
são também pequenas em transformadores de potência. Portanto, a relação de 
transformação do transformador real pode ser aproximada pela equação 2.23 abaixo: 
 
𝑣1(𝑡)
𝑣2(𝑡)
≈
𝑒𝑚1(𝑡)
𝑒𝑚2(𝑡)
≈
𝑁1
𝑁2
= 𝛼 (2.31) 
 
 
De acordo com a Equação (2.23) concluímos que relação de transformação do 
transformador real é aproximadamente igual à relação de transformação do 
transformador ideal apresentado anteriormente. 
 
 
2.4.4 Perdas no transformador de potência 
 
As perdas são dissipações indesejáveis de energia que são perdidas no processo de 
transferência de potência que fazem com que a potência de saída do transformador seja 
diferente da potência de entrada, diminuindo o rendimento do mesmo. Basicamente 
existem quatro efeitos de perdas ou quedas de tensão importantes nos transformadores 
de potência, que estão citadas abaixo de forma clara: 
1. Perdas no cobre que são decorrentes do efeito resistivo joule que ocorre nos 
condutores dos enrolamentos do transformador ao serem percorridos pela corrente 
elétrica. São proporcionais ao quadrado da corrente do enrolamento. Sua redução pode 
ser conseguida utilizando-se condutores compostos nos enrolamentos. 
2. Corrente de Foucault que são também conhecidas como correntes parasitas. 
Estas correntes circulam no interior do núcleo do transformador quando este é 
submetido a um fluxo variante no tempo, provocando perdas por efeito joule. Estas 
perdas são proporcionais ao quadrado da tensão aplicada no transformador e podem ser 
reduzidas laminando-se o núcleo do transformador. 
19 
 
3. Fluxo de dispersão, como já dito anteriormente, os fluxos magnéticos que 
concatenam com apenas um enrolamento e cujas trajetórias são definidas 
majoritariamente através do ar são denominados fluxo de dispersão. Estes fluxos 
traduzem-se em indutância própria para cada uma das bobinas e seus efeitos são 
representados pela adição de uma reatância indutiva de dispersão em serie com cada um 
dos enrolamentos. 
 4. Perdas por histerese que está associada à reorganização dos momentos 
magnéticos atômicos do material ferromagnético que constitui o núcleo do 
transformador. Cada vez que o ciclo de histerese é percorrido, uma parcela de energia é 
gasta para que estes momentos magnéticos sejam realinhados. Para reduzir este tipo de 
perda, recomenda-se utilizar matérias com características ferromagnéticas apropriadas, 
com laços de histerese de áreas reduzidas. 
 
 
2.4.5 Corrente de excitação 
 
Como vimos anteriormente a corrente de excitação é a corrente que aparece 
quando conecta-se o primário do transformador a uma fonte alternada, enquanto o 
terminal do secundário é mantido aberto (sem carga). Para o transformador ideal foi 
considerado a corrente de excitação nula. Mas, no entanto, para o caso de transformador 
real não podemos desconsiderar a corrente de excitação por ser responsável pelo 
estabelecimento de fluxo magnético no núcleo de transformador e também por suprir as 
perdas que o mesmo apresenta quando operando em vazio, que são: Perdas por histerese 
e perdas oriundas das correntes de Foucault (correntes parasitas). Mas a corrente de 
excitação necessária para produzir esse fluxo é determinada pelas propriedades 
magnéticas do núcleo e a sua forma de onda difere de uma senóide. 
A corrente de magnetização pode ser dividida em duas componentes distintas. A 
componente de magnetização e a componente que supre as perdas em vazio. A Figura 
2.6 está representada graficamente a corrente de excitação em função das suas 
componentes [3]. 
20 
 
 
Figura 2.6 Corrente de excitação 
Observando o gráfico anterior podemos concluir que: 
 
𝐼�̇�(𝑡) = 𝐼�̇�(𝑡) + 𝐼�̇�(𝑡) (2.32) 
Para entendermos melhor a operação de um transformador a vazio podemos observar 
as Figuras 2.7 e 2.8. Na figura 2.7 [3] apesar de que o secundário está aberto, circula 
uma corrente no primário 𝑖1(𝑡). No momento da conexão do secundáriocom a carga 
esse valor mudará de amplitude. 
 
Figura 2.7 Transformador real aberto no secundário 
 
 
 Essa corrente de magnetização que é responsável pela criação do fluxo magnético no 
núcleo do transformador, ela possui algumas características: 
 
→Devido á presença do fluxo residual no núcleo característico das matérias empregados 
no núcleo e ainda, dependendo do momento da energização do transformador, pode 
aparecer correntes transitórias de magnetização, também chamadas de inrush. 
Estas correntes podem atingir valores elevados, variado de 8 a 30 vezes a corrente 
nominal do transformador e com forma bem distorcida em decorrência do alto conteúdo 
21 
 
de harmônicos. Este valor inicial depende do tipo de material ferromagnético do núcleo, 
do fluxo remanescente no núcleo incluindo a intensidade e a polaridade deste e a 
impedância equivalente até o ponto da instalação do transformador. 
 
→Apesar de periódica, sua forma de onda não é senoidal, devido à introdução de 
componentes de alta frequência (harmônicas) causadas pela saturação do núcleo do 
transformador. 
 
→Quando o núcleo está próximo de atingir a saturação, é necessária uma quantidade de 
corrente de magnetização cada vez maior para produzir um pequeno aumento no fluxo 
magnético. 
 
→A componente fundamental de 𝑖𝑚(𝑡) está atrasada de 90° em relação à tensão 
aplicada ao enrolamento 𝑒1(𝑡). 
 
→As componentes harmônicas de alta frequência introduzidas na corrente de 
magnetização aumentam conforme a saturação do núcleo cresce. 
 
E a outra componente da corrente de excitação é a corrente 𝑖𝑐(𝑡), responsável por suprir 
as perdas por histerese e correntes de Foucault quando o transformador opera em vazio. 
Também possui algumas principais características: 
 
→Surge devido as perdas que ocorrem exclusivamente no núcleo do transformador; 
→Sua forma de onda é não linear, devido à característica não linear do laço de histerese 
e a sua componente fundamental ( 𝑖𝑐(𝑡) ) está em fase com a tensão aplicada ao 
enrolamento 𝑒(𝑡), e adiantada em 90° em relação à 𝜑𝑚(𝑡). 
 
Na Figura 2.8(a), podemos ver a forma de onda característica da corrente de 
excitação. Pela Figura 2.8(b), é possível notar que, quando o núcleo está próximo da 
saturação, para se conseguir um pequeno aumento no fluxo 𝜑𝑚(𝑡) é necessária uma 
quantidade cada vez maior de corrente de magnetização 𝑖𝑚(𝑡) e, consequentemente, de 
corrente de excitação 𝑖𝑒𝑥𝑐(𝑡). 
22 
 
 
Figura 2.8: Curvas de excitação do transformador:(a) tensão aplicada no 
enrolamento, corrente de excitação e fluxo magnético mútuo, (b) laço de histerese. 
 
 
 2.5 Circuito equivalente 
 
O circuito equivalente do transformador de potência é útil porque nos permite 
fazer o estudo do comportamento deste equipamento associado a uma carga ou a um 
sistema. Para a determinação de um circuito equivalente apropriado faz-se necessário 
modelar eletricamente os fenômenos e as perdas elétricas decorrentes de sua operação. 
Assim, o circuito deverá representar todos os efeitos listados na seção 2.4.4 e também 
secção 2.4.5 que faz referência ao estudo de corrente de excitação. 
 Após descrever os efeitos que envolvem um transformador real, agora podemos 
apresentar um modelo mais apropriado a ser utilizado nos estudos de regime 
permanente. O modelo consiste em um núcleo de um transformador ideal, em série com 
as resistências 𝑅1 e 𝑅2, representando as perdas no cobre, e com 𝑋1 e 𝑋2, representando 
as reatâncias de dispersão do primário e do secundário, respectivamente. No modelo, 
ainda é possível identificar um ramo shunt, que representa as perdas no núcleo (𝐺𝑚) e a 
reatância de magnetização (𝑋𝑚), que introduz o efeito oriundo da corrente de 
magnetização necessária para estabelecer o fluxo magnético no núcleo. O modelo do 
transformador real é apresentado na figura 2.9 [2]. 
23 
 
 
Figura 2.9- Circuito equivalente do transformador de potência 
 
O modelo apresentado na Figura 2.9 é um modelo um pouco complicado para 
quem quer efetuar alguns cálculos levando em consideração o modelo real. Como 
desenvolvido em seções anteriores, podemos referir todas as grandezas do secundário ao 
primário, eliminando assim a parte que chamamos de transformador ideal e obtendo um 
circuito do tipo mostrado na Figura 2.10(a). Podemos considerar também que, para a 
maioria das aplicações, a corrente de excitação e seus efeitos podem ser desprezados, 
pois se assume que 𝑋𝑚 → ∞, já que 𝑋𝑚 ≫ 𝑋𝐷 (em que 𝑋𝐷 representa a reatância de 
dispersão) e 𝐺𝑚 = 0 (já que 𝐺𝑚 = 1 𝑅𝑚⁄ e 𝑅𝑚 ≫ 𝑅1). Com estas considerações, o 
modelo simplificado toma a forma apresentada na Figura 2.10(b). 
 
 
24 
 
 
Figura 2.10- Circuito equivalente do transformador de potência (a) referido ao 
primário (b) circuito simplificado referido ao primário. 
 
Os parâmetros do transformador serão apresentados no capitulo posterior 
através do ensaio de curto-circuito e do circuito ensaio aberto. 
Após ter desenvolvido um modelo para o circuito equivalente e fazendo-se 
algumas considerações, podemos analisar o efeito de diferentes tipos de carga conectada 
ao transformador. Considerando-se o circuito equivalente da figura 2.10(b), é fácil 
calcular a corrente que circula no transformador por meio da aplicação das Leis de 
Kirchhoff, como segue: 
 
�̇�𝟏 =
�̇�𝟏
𝒁𝒆𝒒 + 𝒂𝟐�̇�𝑳
=
�̇�𝟏
(𝑹𝒆𝒒 + 𝒋𝑿𝒆𝒒) + 𝒂𝟐(𝑹𝑳 + 𝒋𝑿𝑳)
 (𝟐. 𝟑𝟑) 
 
Z𝑒𝑞: é a impedância equivalente do transformador; 
𝑎 : representa a relação de transformação do transformador, 𝑁1 𝑁2⁄ ; 
 𝑗𝑋𝐿: representa a reatância da carga, se positiva uma carga indutiva, se negativa 
uma carga capacitiva e se for igual a zero uma carga puramente resistiva. 
 
 
 
25 
 
 
2.5.1 Polaridade 
 
A marcação da polaridade nos terminais dos enrolamentos de um transformador 
monofásico indica quais são os terminais positivos e negativos em um determinado 
instante, isto é, a relação entre os sentidos momentâneos das FEMs nos enrolamentos 
primário e secundário em relação aos seus ângulos de fase. 
A polaridade dos transformadores depende fundamentalmente de como são enrolados 
espiras, que podem ter sentido aditivo ou subtrativo. Na polaridade subtrativa não existe 
defasagem angular entre as tensões primaria e secundaria isto é 0°. Na polaridade 
aditiva a defasagem angular entre as tensões primaria e secundaria é de 180°. O 
conhecimento da polaridade é útil para se fazer a ligação dos transformadores em 
bancos, operação em paralelo, ligação correta dos instrumentos de medição, proteção 
,etc. 
Em um transformador monofásico, os terminais dos enrolamentos de tensão mais 
elevada são identificados por 𝐻2,e 𝐻1 enquanto que os enrolamentos de tensão mais 
baixa são identificados por 𝑋1 e 𝑋2. O índice 1 indica terminal de fase e índice 2 indica 
terminal neutro. O sentido da tensão induzida sobre o enrolamento primário ou 
secundário pode ser identificado por meio do ponto localizado próximo ao terminal de 
fase. Como pode ser visto na Figura 2.12 a seguir [4]. 
 
Figura 2.11 –(a) Nomenclatura dos terminais e marcação da polaridade em um 
circuito equivalente de um transformador de polaridade subtrativa; (b) 
26 
 
nomenclatura dos terminais e marcação da polaridade em um circuito equivalente 
de um transformador de polaridade aditiva . 
 
 
 
 
2.6 Transformador operando em paralelo 
2.6.1 Introdução 
O sistema elétrico apresenta um constante crescimento de carga, tornando 
vantajosa a operação de transformadores em paralelo. No entanto, antes de introduzir 
um novo transformador em paralelo, é necessário atender algumas condições para que a 
operação desejada ocorra de maneira eficiente, sem prejudicar o bom desempenho do 
sistema elétrico. 
2.6.2 Condições para o paralelismo de transformadores 
 
Uma alternativa bastante viável para reduzir perdas numa transformaçãoe 
aumentar o índice de continuidade de energia é conectar transformadores de potência 
em paralelo. No entanto, para esse tipo de operação, algumas condições devem ser 
satisfeitas, evitando a degradação dos mesmos. A seguir serão apresentadas as 
condições que devem ser obedecidas [9]: 
→Mesma relação de transformação; 
→Mesma defasagem angular entre alta e baixa tensão; 
→Mesma sequência de fase; 
→Mesma tensão de Curto-circuito. 
→Mesma impedância percentual e mesma relação X/R; 
 
Essas condições devem ser obedecidas na busca de uma solução técnica 
econômica para operação em paralelo, pois transformadores operando em paralelo com 
impedâncias percentuais, relações de transformação e relação X/R diferentes darão 
27 
 
origem a uma corrente de circulação entre os enrolamentos. Esta corrente surgirá devido 
a diferença de tensão no secundário dos transformadores e fará com que a potência 
fornecida pelos dois transformadores seja menor que a soma das potências individuais 
dos mesmos, conduzindo a uma solução técnica não recomendável do ponto de vista de 
consumo de energia. Só para ressaltar que esse texto não faz parte do objetivo desse 
trabalho. 
 
 
2.7 Ensaios de Curto-Circuito e Circuito Aberto 
Os ensaios de laboratório que serão mostrados a seguir são utilizados para 
determinar os parâmetros do circuito equivalente e especificar as condições de 
funcionamento do transformador em condições nominais de operação. 
2.7.1 Ensaio a Vazio 
 
O ensaio em vazio recebe esse nome por ser realizado com um dos enrolamentos 
em aberto enquanto tensão nominal é aplicada no outro enrolamento. O objetivo deste 
ensaio é a obtenção do módulo da corrente de excitação, da relação de transformação do 
transformador e das perdas no núcleo, através da medição da resistência de perdas 𝑅𝑐 e 
da reatância de magnetização 𝑋𝑚. 
Normalmente, a tensão é aplicada ao lado de baixa tensão para facilitar a escolha 
dos aparelhos de medição utilizados, que estarão sujeitos a níveis pequenos de tensão 
primária e corrente secundária por motivos de segurança, isto porque correntes mais 
elevadas circulam no primário. A tensão nominal é aplicada porque o fluxo mútuo 
produzido, que atravessa o núcleo tem que possuir praticamente a mesma amplitude 
daquele que o transformador operando com carga e tensão nominal. Isso faz com que a 
corrente gerada seja igual à corrente de excitação. 
𝒁𝒄𝒂 = 𝑹𝟏 + 𝒋𝑿𝒅𝟏 +
𝑹𝒄(𝒋𝑿𝒎)
𝑹𝒄 + 𝒋𝑿𝒎
 (𝟐. 𝟑𝟔) 
 
28 
 
A impedância total do circuito equivalente, mostrado na Figura 2.9, com o secundário 
em aberto seria dada pela Equação (2.36). Mas como normalmente os valores 𝑅𝑐 e 𝑋𝑚 
da impedância de magnetização são muito superiores à impedância do primário 
(𝑅1 + 𝑗𝑋𝑑1), a queda de tensão no primário pode ser desprezada e a FEM induzida é 
considerada idêntica à tensão aplicada 𝑉𝑐𝑎. 
Por isso, é possível chegar-se a relação de espiras do transformador diretamente da 
medição das tensões nos terminais de ambos os enrolamentos. 
Com isso, como a corrente de excitação 𝐼𝑐𝑎 que circula pelo equipamento durante 
a realização do ensaio representa uma porção ínfima da corrente nominal, a perda de 
potência ativa no cobre do primário é desconsiderada e a potência medida no ensaio 𝑃𝑐𝑎 
é interpretada como sendo o total das perdas no núcleo. Assim, os valores de 𝑅𝑐 e 𝑋𝑚 
são calculados a partir das equações a seguir: 
𝑹𝒄 =
𝑽𝒄𝒂
𝟐
𝑷𝒄𝒂
 (𝟐. 𝟑𝟕) 
 
|𝒁𝝋| =
𝑽𝒄𝒂
𝑰𝒄𝒂
 (𝟐. 𝟑𝟖) 
 
𝑿𝒎 =
𝟏
√(
𝟏
|𝒁𝝋|
)
𝟐
− (
𝟏
𝑹𝒄
)
𝟐
 (𝟐. 𝟑𝟗) 
É possível também, calcular o fator de potência FP do circuito como mostrado a seguir. 
𝑭𝑷 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝑷𝒄𝒂
𝑽𝒄𝒂𝑰𝒄𝒂
 (𝟐. 𝟒𝟎) 
 
Um esquema do ensaio, mostrando a disposição dos equipamentos de medição, está 
apresentado na Figura 2.13 [4]. 
 
29 
 
 
Figura 2.12 – Ligações típicas dos instrumentos para o ensaio a circuito aberto. 
 
 
 
2.7.2 Ensaio de Curto-Circuito 
 
 
O ensaio de curto-circuito recebe este nome por ser realizado com um dos 
enrolamentos curto circuitado. O objetivo é determinar as perdas no cobre, das 
resistências dos enrolamentos (𝑅1 e 𝑅2), reatâncias de dispersão (𝑋𝑑1 e 𝑋𝑑2) e quedas de 
tensão nos enrolamentos. 
Este ensaio consiste em aplicar um curto no enrolamento de baixa tensão e 
alimentar o enrolamento de alta tensão com uma fonte de tensão senoidal. Embora seja 
arbitrária a escolha do enrolamento posto em curto, é conveniente que a alimentação 
seja feita pelo enrolamento de alta tensão, no qual circulam correntes menores, o que 
reduz a corrente exigida da fonte de alimentação e a capacidade exigida dos 
instrumentos de medição de corrente. 
Em virtude da baixa impedância série do circuito equivalente, se fosse aplicada a 
tensão nominal ao enrolamento de alta tensão, com o enrolamento de baixa tensão em 
curto, não circulariam as correntes nominais, mas as correntes elevadas de curto-
circuito. Assim, a tensão que necessita ser aplicada na realização do ensaio, para que 
ocorra circulação de correntes nominais nos enrolamentos, apresenta valores inferiores a 
15% da tensão nominal de operação. 
30 
 
 
𝒁𝒄𝒄 = 𝑹𝟏 + 𝒋𝑿𝒅𝟏 +
𝒁𝝋(𝑹𝟐 + 𝒋𝑿𝒅𝟐)
𝒁𝝋 + 𝑹𝟐 + 𝒋𝑿𝒅𝟐
 (𝟐. 𝟒𝟏) 
 
A impedância total do circuito equivalente vista do primário com o secundário em 
curto seria dada pela Equação (2.41), mas, como a impedância do ramo shunt 𝑍𝜑 é 
muito superior à impedância do enrolamento secundário (𝑅2 + 𝑗𝑋𝑑2), ela pode ser 
simplificada como: 
 
𝒁𝒄𝒄 = 𝒁𝒆𝒒 = 𝑹𝟏 + 𝒋𝑿𝒅𝟏 + 𝑹𝟐 + 𝒋𝑿𝒅𝟐 = 𝑹𝒆𝒒 + 𝒋𝑿𝒆𝒒 (𝟐. 𝟒𝟐) 
 
Na verdade, como a corrente de excitação é desprezível em comparação com a 
corrente do primário 𝐼1 medida, o ramo shunt acaba sendo desconsiderado para o 
cálculo das perdas no cobre 𝑃𝑐𝑐 e da impedância equivalente dos enrolamentos neste 
ensaio. Logo, os valores de 𝑅𝑒𝑞 e 𝑋𝑒𝑞 são calculados a partir das medições de corrente, 
tensão e potência ativa como expressos pelas equações abaixo [4]: 
|𝒁𝒆𝒒| = |𝒁𝒄𝒄| =
𝑽𝒄𝒄
𝑰𝒄𝒄
 (𝟐. 𝟒𝟑) 
 
𝑹𝒆𝒒 = 𝑹𝒄𝒄 =
𝑷𝒄𝒄
𝑰𝒄𝒄𝟐
 (𝟐. 𝟒𝟒) 
 
𝑿𝒆𝒒 = 𝑿𝒄𝒄 = √|𝒁𝒄𝒄|𝟐 − 𝑹𝒄𝒄𝟐 (𝟐. 𝟒𝟓) 
 
Se forem desejados os valores das resistências e reatâncias individuais de cada 
enrolamento, pode-se supor com precisão satisfatória que 𝑅1 = 𝑅2 = 0,5𝑅𝑒𝑞 e 𝑋𝑑1 =
𝑋𝑑2 = 0,5𝑋𝑒𝑞. Vale ressaltar que nessa aproximação todos os valores devem estar 
refletidos para o mesmo enrolamento. A montagem é apresentada na figura 2.14[4]. 
 
31 
 
 
Figura 2.13 - Ligações típicas dos instrumentos para o ensaio de curto-circuito 
 
 
 
 
3. Medições e Resultados 
3.1 Considerações iniciais 
Neste capitulo serão realizados os ensaios práticos dos conteúdos que foi abordados nos 
textos anteriores. Portanto serão determinadas as curvas magnetização e de histerese de 
um transformador monofásico utilizando grandezas eficazes. 
Foi usado um transformador de potência fornecido pelos técnicos de Laboratório de 
Maquinas do Departamento de Engenharia Elétrica da UFRJ. 
A especificação do transformador é visto na tabela a seguir: 
 
 
 Transformador Monofásico 
Patrimônio 44424 
Tapes 50%; 86%; 100% 
Potência 1 kVA 
Tensão de Entrada 220 V 
Tensão de Saída 110 V; 189,2 V; 220 V 
Seção Reta do Núcleo 32,8 cm
2 
Comprimento do Núcleo 51 cm 
Tabela 3.1- Dados da placa do Transformador 
 
32 
 
 
 Foi usado um paquímetro para medição da secção reta do núcleo e comprimentodo 
núcleo, e antes dos ensaios foram feitos alguns teste no transformador tais como: teste 
de continuidade com auxilio de um multímetro, teste de isolamento e teste de polaridade 
pelo método de corrente alternada. 
 
Figura 3.1 O transformador usado nos ensaios 
 
Após isso foi realizado os ensaios de curto-circuito e a vazio para determinação 
dos parâmetros do circuito equivalente do transformador em regime permanente, da 
33 
 
curva de saturação do núcleo e para medição da corrente de excitação do equipamento 
utilizado. 
E para coletar os dados dos ensaios foi utilizado o osciloscópio digital TPS 2014 
da Tektronix, pertencente ao professor Sebastião. O mesmo possui 4 canais isolados que 
permitem a obtenção de dados individualmente com largura de banda de 100 MHz e 
taxa de amostragem de 1 GS/s para os canais. 
 A aquisição dos dados e formas de onda resultantes das medições foi feita com 
um computador, conectado à porta RS-232 do osciloscópio através de um conversor 
Serial-USB, utilizando o software WSTRO (Wavestar Software for Oscilloscopes )[5]. 
Também foi utilizado um multímetro BK Tool Kit 2707A para os testes de 
polaridade, continuidade e aferição dos tapes, citados anteriormente, bem como na 
medição dos valores de resistência que serão discutidos posteriormente, e é apresentado 
a seguir a figura do osciloscópio utilizado para o experimento. 
 
Figura 3.2 – Osciloscópio TPS 2014 
34 
 
E a figura 3.3 representa o transformador variador de voltagem utilizado nos 
ensaios pertencente ao laboratório de maquinas. 
 
 
Figura 3.3-Transformador variador de voltagem 
 
 
 
 
3.2 Ensaio de curto circuito 
 
O procedimento desse experimento foi descrito no capitulo 2, e na figura 2.14 está 
representado a montagem do experimento, e podemos ver o uso de wattímetro, 
amperímetro e voltímetro. Mas tendo em conta que foi usado um osciloscópio para 
medição não se fez necessário uso dos estrumemos anteriormente citado. 
Com uma ponta de prova de tensão conectada a um canal e a de corrente ao outro, 
e para aplicação de alimentação ajustável foi utilizado um variac ( transformador 
variador de voltagem). Os valores medidos e os resultados calculados a partir das 
Equações (2.43), (2.44) e (2.45) estão expostos na Tabela 3.2. 
 
35 
 
 
 
𝑽𝒄𝒄 [𝑽𝒓𝒎𝒔] 𝑰𝒄𝒄 [𝑨𝒓𝒎𝒔] 𝑷𝒄𝒄 [𝑾] 𝑸𝒄𝒄 [𝑽𝒂𝒓] 𝒇. 𝒑. 𝜽 |𝒁𝒆𝒒|[Ω] 𝑹𝒆𝒒 [Ω] 𝑿𝒆𝒒[Ω] 
 
0,78 
 
 
0,59 
 
0,43 
 
0,16 
 
0,935 
 
159,2 
 
1,322 
 
1,221 
 
0,507 
 
 
1,09 
 
0,82 
 
0,83 
 
0,28 
 
0,945 
 
161,2 
 
1,329 
 
1,227 
 
0,511 
 
 
1,44 
 
1,09 
 
1,48 
 
0,46 
 
0,955 
 
162,8 
 
1,321 
 
1,246 
 
0,440 
 
 
1,92 
 
1,47 
 
2,63 
 
0,81 
 
0,957 
 
163,2 
 
1,306 
 
1,217 
 
0,474 
 
 
2,32 
 
1,79 
 
3,95 
 
1,17 
 
0,958 
 
163,3 
 
1,296 
 
1,233 
 
0,400 
 
 
2,74 
 
2,11 
 
5,48 
 
1,64 
 
0,958 
 
163,3 
 
1,299 
 
1,231 
 
0,414 
 
 
3,21 
 
2,46 
 
7,53 
 
2,25 
 
0,958 
 
163,3 
 
1,305 
 
1,244 
 
0,393 
 
 
4,08 
 
3,12 
 
12,10 
 
3,60 
 
0,958 
 
163,4 
 
1,308 
 
1,243 
 
0,406 
 
 
4,77 
 
3,71 
 
17,20 
 
5,18 
 
0,957 
 
163,3 
 
1,286 
 
1,250 
 
0,302 
 
 
5,45 
 
4,15 
 
21,50 
 
6,41 
 
0,958 
 
163,4 
 
1,313 
 
1,248 
 
0,408 
 
 
5,77 
 
4,38 
 
24,10 
 
7,15 
 
0,958 
 
163,4 
 
1,317 
 
1,256 
 
0,397 
 
 
6,02 
 
4,61 
 
26,90 
 
7,96 
 
0,959 
 
163,4 
 
1,306 
 
1,266 
 
0,321 
 
 
7,01 
 
5,32 
 
35,60 
 
10,60 
 
0,959 
 
163,4 
 
1,318 
 
1,258 
 
0,393 
 
Tabela 3.2- Ensaio de curto circuito 
 
Na figura a seguir é possível perceber a linearidade no funcionamento do transformador 
sob as condições do ensaio de curto. Isto prova que não ocorre saturação porque, como 
foi detalhado no Capítulo 2, o ramo de magnetização pode ser desconsiderado. Além 
disso, o elevado fator de potência evidencia a predominância da resistência dos 
36 
 
enrolamentos em relação às reatâncias de dispersão dos mesmos. A figura a seguir é 
gerada com os valores de corrente e tensão de curto extraído da tabela 3.2. E observa-se 
também que reta foi forçada a passar por zero. 
 
Figura 3.4- Reta obtida do Ensaio de Curto-circuito 
 
E para obter os valores de 𝑅𝑒𝑞 𝑒 𝑋𝑒𝑞 foi feito á média dos valores de tensão, 
corrente e potência, para 3 últimas linhas da tabela 3.2. 
E com auxilio das equações 2.43, 2.44 e 2.45 chegou-se a seguintes valores: 
𝑅𝑒𝑞 = 1,268Ω 𝑒 𝑋𝑒𝑞 = 0,343𝛺 
A seguir são apresentados os gráficos 𝑍𝑒𝑞𝑥 I e 𝑅𝑒𝑞𝑥 𝐼
2. E no gráfico da figura 3.5 
podemos observar que o valor da impedância equivalente é quase constante á medida 
que se varia a corrente. E a equação dessa reta é 𝑦 = −0,0016𝑥 + 1,3142. 
37 
 
 
Figura 3.5 Gráfico de Impedância x corrente 
 
 E a figura 3.6 a seguir se refere ao gráfico de resistência equivalente x corrente ao 
quadrado, onde se pode observar também a tendência a constante no valor da 
resistência. 
38 
 
 
Figura 3.6- Gráfico de resistência equivalente x corrente ao quadrado 
 
 
3.3 Ensaio a vazio 
O seu esquema foi apresentado no capitulo 2, na figura 2.13 . Como a do experimento 
anterior foi utilizado o osciloscópio em vez de instrumento representado na figura 2.13. 
Com uma ponta de prova de tensão conectada a um canal e a de corrente ao outro, e 
para aplicação de alimentação ajustável foi utilizado um variac. Os valores medidos e 
os resultados calculados a partir das Equações (2.37), (2.38) e (2.39) estão expostos na 
Tabela 3.3. 
 
 
𝑽𝒄𝒂 [𝑽𝒓𝒎𝒔] 𝑰𝒄𝒂 [𝒎𝑨𝒓𝒎𝒔] 𝑷𝒄𝒂 [𝑾] 𝑸𝒄𝒂 [𝑽𝒂𝒓] |𝒁𝝋|[KΩ] 𝑹𝒄 [𝑲Ω] 𝑿m[𝑲Ω] 
 
90,8 
 
41,1 2,51 6,21 2,209 3,285 2,985 
 
102,2 
 
44,5 3,14 7,16 2,297 3,326 3,175 
 
111,1 
 
44,9 3,68 7,99 2,474 3,354 3,665 
 
119,2 
 
49,7 4,18 4,26 2,398 3,399 3,385 
 
128,0 
56,3 4,66 6,14 2,274 3,516 2,981 
39 
 
 
 
151,0 
 
69,1 6,65 12,1 2,185 3,429 2,836 
 
163,0 
 
77,2 7,69 13,8 2,111 3,455 2,667 
 
177,0 
 
98,3 8,99 16,72 1,801 3,485 2,103 
 
191,0 
 
100,1 10,50 20,2 1,908 3,474 2,283 
 
202,0 
 
130,2 11,70 23,31 1,551 3,488 1,732 
 
213,5 
 
144,0 13,30 27,43 1,483 3,427 1,644 
 
223,0 
 
162,0 14,40 33,11 1,377 3,453 1,501 
 
230,0 
 
191,0 15,60 41,21 1,204 3,391 1,288 
 
240,0 
 
236,0 17,10 54,12 1,017 3,368 1,067 
Tabela 3.3- Valores do ensaio de circuito aberto 
Com base nos dados da Tabela 3.3, é possível traçar a curva de magnetização do 
núcleo do transformador em questão, mostrada na Figura 3.4. É clara a presença do 
magnetismo residual no núcleo do transformador, pois para uma pequena corrente existe 
considerável tensão induzida no enrolamento primário. 
40 
 
 
Figura 3.7- Curva de Saturação obtida no Ensaio a Vazio 
 
Se não ocorresse saturação do material ferromagnético a reta tangente apresentada na 
figura 3.7, representaria a característica de energização do núcleo. Podemos observar 
também que na região de saturação, um pequeno aumento na tensão é acompanhado de 
uma enorme variação na corrente, como era de se esperar. 
A reta pode ser usada também para calcular a impedância do núcleo em qualquer ponto 
da curva de magnetização do transformador. Considerando constante a resistência das 
perdas no núcleo, é possível calcular o valor para a reatância de magnetização através 
da Equação (2.39). 
Podemos observar a não linearidade da reatância de magnetização, por meio da equação 
(2.39), e possa ser representada com precisão satisfatória no circuito equivalente do 
equipamento por indutância constante, levando em conta que este valor é ajustado de 
acordo com a variação da tensão de alimentação. 
Observando a tabela 3.3 que foi obtida do ensaio a vazio, e sabendo que a tensão 
nominal do transformador utilizando no ensaio é 220 V, concluímos que a tensão 
próxima do nominal é 223 V que é correspondente a resistência do núcleo igual a𝑅𝑐 =3,453 𝐾𝛺 
41 
 
Como vimos no texto anterior, a reatância de magnetização tem seu valor variável. 
 O baixo fator de potência apresentado pelas medições do ensaio a vazio reflete a 
relevância da parcela indutiva da impedância de magnetização que, apesar de diminuir 
com o aumento da tensão de alimentação, apresenta valores comparáveis com a 
resistência do núcleo. 
 
Com base nos ensaios de curto circuito e circuito aberto vai ser obtido o valor de 
parâmetro de circuito equivalente. Como a corrente nominal do transformador é 
aproximadamente 4,5 𝐴, e observando a tabela 3.2, onde contem os valores de curto 
circuito, e o valor que aproxima da corrente nominal é 𝑖𝑐𝑐 =4,77 𝐴. E como foi citado 
anteriormente pela média do cálculo foi obtido 𝑅𝑒𝑞 = 1,268Ω e 𝑋𝑒𝑞 = 0,343𝛺. 
Como foi visto no capitulo 2 o cálculo de resistências e reatâncias de cada enrolamento 
pode-se considerar como primeira aproximação que os valores totais se dividem 
igualmente entre os mesmos. E como os valores de transformação utilizada é de 1:1. 
 𝑅1 = 𝑅2 = 0,5𝑅𝑒𝑞 = 0,634𝛺 
 
𝑋1 = 𝑋2 = 0,5𝑋𝑒𝑞 = 0,172𝛺 
A tabela a baixo apresenta os valores do parâmetro do circuito equivalente obtido nos 
ensaios, e todos esses valores exceto o da reatância de magnetização são considerados 
constantes. 
 
𝑬𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 
𝑅1 0,634𝛺 
𝑅2 0,634𝛺 
𝑋1 0,172𝛺 
𝑋2 0,172𝛺 
𝑅𝑐 3453𝛺 
𝑋𝑚 
Tabela 3.4 Valor de parâmetros de circuito equivalente 
42 
 
 
 
Figura 3.8–Circuito equivalente do transformador ensaiado 
 
 3.4 Ensaio sem carga 
O ensaio sem carga foi apresentado no ensaio a vazio, e aproveitando os dados do 
mesmo ensaio, vai ser calculado as perdas no transformador nessa condição. É 
importante ressaltar que, apesar da corrente e tensão, em um grau muito menor, medidas 
apresentam distorção na operação a vazio, será considerada apenas a potência dissipada 
pelas componentes fundamentais para facilitar os cálculos, tendo em conta que as 
perdas harmônicas representam uma pequena no resultado final. 
Todos os cálculos serão apresentados na tabela a seguir, mas será demostrado o calculo 
das perdas para tensão nominal do transformador. 
Da tabela 3.3 temos os seguintes dados para tensão nominal: 
→ 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚á𝑟𝑖𝑜: 𝑣1 = 223 𝑉 
→ 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚á𝑟𝑖𝑜: 𝑖1 = 162 𝑚𝐴 
→ 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚á𝑟𝑖𝑜: 𝑝1 = 14,4 𝑊 
→ 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚á𝑟𝑖𝑜: 𝑄1 = 33,1 𝑉𝑎𝑟 
→ 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚á𝑟𝑖𝑜: 𝑆1 = 35.2 𝑉𝐴 
 
 
43 
 
Com o valor da resistência obtido no calculo de parâmetro do circuito equivalente e a 
corrente obtida o ensaio a vazio, pode ser calculado a perda no cobre do enrolamento 
primário. 
 𝑃𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = |𝑖1|
2𝑅1 e se esse valor for subtraído da potência ativa fornecida pela fonte , é 
obtido o valor das perdas do núcleo por histerese e correntes parasitas (𝑃𝑐). 
 𝑃𝑐 = 𝑃 − 𝑃𝑅1 ( 3.1) 
 
Portanto 𝑃𝑐 = 14,4 − 0,634 ∗ (0,162)
2 = 14,384 𝑊 
O procedimento é equivalente para o calculo de perdas ocorridas por efeito de dispersão 
(𝑄𝑑) no enrolamento primário que afetam a potência reativa no núcleo do transformador 
e 𝑄𝑑 = |𝑖1|
2𝑋1, 𝑋1 é reatância calculado parâmetro do circuito equivalente. 
E a parcela de potência responsável para excitação do material ferromagnético e 
formação do fluxo mútuo (𝑄𝑚) que atravessa o núcleo é; 
𝑄𝑚 = 𝑄𝑐𝑎 − 𝑄𝑑 (3.2) 
𝑄𝑚 = 33,11 − (0,162)
2 ∗ 0,172 = 33,09 𝑉𝑎𝑟 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
𝑽 [𝑽𝒓𝒎𝒔] 
 
𝑰[𝒎𝑨𝒓𝒎𝒔] 𝑷[𝑾] 𝑷𝒄[W] 𝑷𝑹𝟏[W] 𝑸𝒄𝒂 [𝑽𝒂𝒓] 𝑸𝒎[Var] 𝑸𝒅[𝑽𝒂𝒓] 
 
90,8 
 
41,1 
 
2,51 
 
2,499 
 
0,001 
 
6,21 
 
6,199 
 
0,0002 
 
102,2 
 
44,5 
 
3,14 
 
3,139 
 
0,001 
 
7,16 
 
7,159 
 
0,0002 
 
111,1 
 
44,9 
 
3,68 
 
3,679 
 
0,001 
 
7,99 
 
7,989 
 
0,0002 
 
119,0 
 
49,7 
 
4,18 
 
4,179 
 
0,001 
 
4,26 
 
4,259 
 
0,0002 
 
128,0 
 
56,3 
 
4,66 
 
4,658 
 
0,002 
 
6,14 
 
6,139 
 
0,0003 
 
140,2 
 
51,4 
 
5,71 
 
5,708 
 
0,002 
 
10,3 
 
10,299 
 
0,0003 
 
151,0 
 
69,1 
 
6,65 
 
6,648 
 
0,002 
 
12,1 
 
12,099 
 
0,0005 
 
163,0 
 
77,2 
 
7,69 
 
7,687 
 
0,003 
 
13,8 
 
13,799 
 
0,0006 
 
177,0 
 
98,3 
 
8,99 
 
8,984 
 
0,006 
 
16,7 
 
16,698 
 
0,0011 
 
191,0 
 
100,1 
 
10,50 
 
10,494 
 
0,006 
 
20,2 
 
20,198 
 
0,0011 
 
202,0 
 
130,2 
 
11,70 
 
11,690 
 
0,010 
 
23,3 
 
23,298 
 
0,0019 
 
213,5 
 
144,0 
 
13,30 
 
13,288 
 
0,012 
 
27,4 
 
27,397 
 
0,0024 
 
223,0 
 
162,0 
 
14,40 
 
14,384 
 
0,016 
 
33,1 
 
33,097 
 
0,0030 
 
230,0 
 
191,0 
 
15,60 
 
15,579 
 
0,021 
 
41,2 
 
41,195 
 
0,0042 
 
240,0 
 
236,0 
 
17,10 
 
17,067 
 
0,033 
 
54,0 
 
53,993 
 
0,0065 
Tabela 3.5 Cálculo de pendas por efeito joule e por dispersão 
 
Na tabela 3.5 observa-se que os valores da perda por efeito joule e por fluxo de 
dispersão no enrolamento é desprezível, comparada com as perdas no núcleo e a 
potência reativa no núcleo. E à medida que a tensão é aumentada, causa um aumento de 
45 
 
fluxo e também da corrente de excitação, acarretando em aumento proporcional das 
perdas no transformador. 
É apresentado a seguir figuras de corrente de excitação e a composição de harmônico 
para diferentes níveis de tensões, e é observado também que para tensões baixas os 
harmônicos não serão exibidos porque o sinal de origem não possui amplitude 
suficiente. 
 
Figura 3.9– Corrente de excitação para tensão de 101 V 
 
46 
 
 
Figura 3.10 – Composição Harmônica da Corrente de Excitação para alimentação 
de 101 V 
 
 
47 
 
 
Figura 3.11– Corrente de excitação para tensão de 124 V 
 
 
Figura 3.12 – Composição Harmônica da Corrente de Excitação para alimentação 
de 124 V 
48 
 
 
 
 
Figura 3.13– Corrente de excitação para tensão de 152 V 
 
49 
 
 
Figura 3.14– Composição Harmônica da Corrente de Excitação para alimentação 
de 152 V 
 
 
Figura 3.15– Corrente de excitação para tensão de 202 V 
 
50 
 
 
Figura 3.16– Composição Harmônica da Corrente de Excitação para alimentação 
de 202 V 
 
 
Figura 3.17– Corrente de excitação para tensão de 220 V 
 
51 
 
 
Figura 3.18 - Composição Harmônica da Corrente de Excitação para alimentação 
de 220 V 
 
 
52 
 
 
Figura 3.19– Corrente de excitação para tensão de 242 V 
 
 
Figura 3.20 - Composição Harmônica da Corrente de Excitação para alimentação 
de 242 V 
 
53 
 
 
Como se pode observar na figura anterior a corrente de excitação apresenta 
distorção em relação à tensão senoidal de 60 Hz, e tem uma fundamental mais 
harmônica de ordem ímpar, no caso da figura predominando a 3ª e 5ª harmônicas. 
 
 3.5 Ensaio no transformador com cargas 
 
Através do ensaio com carga, podemos prever o real aproveitamento de um 
transformador, sabendo-se a maneira como ele se comporta em relação a cada tipo de 
carga. Com auxilio de um multímetro foi medido os valores das resistências dos 
enrolamentos em aberto, e esses valores são de corrente continua. E eles tendem a ser 
inferiores aos dos condutores para passagem de corrente alternada, devido o efeito 
pelicular que, proporcionalmente à frequência, modifica a densidade de corrente no 
interior do condutor e confina os elétrons à camada superficial do condutor. O valor 
da resistênciamedida no enrolamento primário é 𝑅𝑐𝑐1=0,6Ω, enquanto que no 
enrolamento secundário devido a existência de tapes que por sua vez, tem que ser 
soldado, faz aumentar o valor da resistência que é 𝑅𝑐𝑐2=0,9Ω. Pelo ensaio de curto foi 
obtido o valor de resistência 𝑅𝑐𝑎 =0,634 Ω que é próximo a de 𝑅𝑐𝑐, portanto concluímos 
que o efeito pelicular existe mas é desprezível para essa frequência de operação. Esse 
efeito está diretamente ligado que para esse caso é 60 HZ. Portanto os valores de 
resistência medidos com o multímetro serão considerados constantes para os ensaios a 
ser feitos. 
 
3.5.1 Ensaio com carga predominantemente ativa 
 
3.5.1.1 Carga puramente resistiva 
 
Para realizar o ensaio com carga resistiva, mostrada nas Figuras 3.5 e 3.6 foram 
utilizadas lâmpadas incandescentes, de potência total igual a 1000 watts. Todas de 
54 
 
tensão nominal 220V e com seguintes potências cada: 2 de 200 watts,1 de 500 watts e 1 
de 100 watts. A impedância da carga medida por um multímetro é 4,14Ω. Ω. 
 Na posse de um osciloscópio de 4 canais foi dispensado, o uso desses instrumentos 
representados na figura 3.5. O mesmo permitiu coletar os dados do primário e 
secundário simultaneamente. 
 
Figura 3.20–Esquema elétrico para ensaio com carga resistiva. 
 
 
Figura 3.21-Carga resistiva meramente ilustrativa 
 
 Foram calculadas as perdas no primário do transformador operando com carga 
resistiva, isto é, perdas no secundário e no núcleo do mesmo. 
55 
 
E como o experimento foi feito para vários níveis de tensão, portanto foi obtido 
vários valores para cada nível de tensão. Vou usar o valor da tensão nominal para 
explicar como é feito o cálculo. Os demais cálculos serão apresentados na tabela. 
 
Para tensão de 224 V foi obtidos seguintes dados no osciloscópio: 
 → Tensão no primário: 𝑣1=224 𝑉 ; 
→ Corrente no primário: 𝑖1=4,91 𝐴; 
→ Potência Ativa no primário: 𝑃1=1,09 𝐾𝑊; 
→ Potência Reativa no primário: 𝑄1=0 𝑉𝐴𝑟; 
→ Potência Aparente no primário: 𝑆1=1,09 𝐾𝑉𝐴; 
→ Tensão no secundário: 𝑣2=218 𝑉; 
→ Corrente no secundário: 𝑖2=4,87𝐴; 
→ Potência Ativa no secundário: 𝑃2=1,05 𝐾𝑊; 
→ Potência Reativa no secundário: 𝑄2=0 𝑉𝐴𝑟; 
→ Potência aparente no secundário: 𝑆2=1,05 𝐾𝑉𝐴; 
Mesmo que ensaio foi feito com carga resistiva não foi obtido fator de potência unitário 
para vários níveis de tensão, e, por conseguinte a potência reativa é diferente de zero, 
como é visto na tabela a seguir. Isso se deve á vários fatores eles o próprio enrolamento 
do transformador que é indutivo, o condutor que alimenta a carga, e mesmo a carga não 
é puramente resistiva etc.. 
Com um dos dados obtidos na tabela, isto é, para tensão nominal vai ser demostrado 
como é calculado as perdas e os demais resultados será apresentado na tabela. 
�̇�𝟏
∗
=
𝑺𝟏
�̇�𝟏
=
(𝑷𝟏 + 𝒋𝑸𝟏)
�̇�𝟏
= 
(𝟏𝟎𝟗𝟎 + 𝟎)
𝟐𝟐𝟒∠𝟎°
= 𝟒, 𝟖𝟔∠𝟎° → �̇�𝟏 = 𝟒, 𝟖𝟕∠𝟎° 𝑨 (𝟑. 𝟑) 
Por não possuir parcela reativa neste calculo, pode-se concluir que não existe defasagem 
entre tensão e corrente, portanto o valor real da corrente é igual ao seu conjugado. 
Na posse do valor da corrente é possível calcular a potência dissipada na resistência 
série e na reatância de dispersão do primário (𝑆𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 1). 
 
𝑺𝒑𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔𝟏 = |�̇�𝟏|
𝟐
× (𝑹𝟏 + 𝒋𝑿𝒅𝟏) = (𝟒, 𝟖𝟕)
𝟐 × (𝟎, 𝟔 + 𝒋𝟎, 𝟏𝟕𝟐) 
𝑺𝒑𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔𝟏 = 𝑷𝑹𝟏 + 𝒋𝑸𝒅𝟏 
56 
 
 
 
𝑺𝒑𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔𝟏 = 𝟏𝟒, 𝟐𝟑 + 𝒋𝟐, 𝟕𝟕 𝑽𝑨 (𝟑. 𝟒) 
 
 
Portanto parte real da equação é perdas no cobre e a parte imaginaria é a perda por fluxo 
disperso no enrolamento. 
E para calcular a perda no núcleo, tem que se conhecer a queda de tensão no 
enrolamento para se saber a tensão induzida 𝐸1 no ramo shunt. 
�̇�𝟏 = �̇�𝟏 − �̇�𝟏(𝑹𝟏 + 𝒋𝑿𝒅) = 𝟐𝟐𝟒 − 𝟒, 𝟖𝟕 ∗ (𝟎, 𝟔𝟑𝟒 + 𝐣𝟎, 𝟏𝟕𝟐) 
= 𝟐𝟐𝟎, 𝟔𝟗 ∠ − 𝟎, 𝟏𝟒𝟕° 𝐕 (𝟑. 𝟓) 
 
E as perdas por histerese e correntes parasitas (𝑃𝑐) são calculadas através da tensão 
induzida e e a resistência obtida no ensaio a vazio para tensão nominal . 
𝑃𝑐 =
|𝐸1|
2
𝑅𝑐
=
(220.69)2
3450
= 14.12 𝑊 (3.6) 
 
Utilizando o mesmo raciocínio pode-se calcular as perdas no enrolamento secundário, 
isto é, perdas no cobre 𝑃𝑅2 e perdas por fluxo disperso no enrolamento 𝑄𝑑2. 
�̇�𝟐
∗
=
𝑺𝟐
�̇�𝟐
=
(𝑷𝟐 + 𝒋𝑸𝟐)
�̇�𝟐
= 
(𝟏𝟎𝟓𝟎 + 𝟎)
𝟐𝟏𝟖∠𝟎°
= 𝟒, 𝟖𝟔∠𝟎° → �̇�𝟐 = 𝟒, 𝟖𝟐∠𝟎° 𝑨 (𝟑. 𝟕) 
 
 
 
𝑺𝒑𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔𝟐 = |𝐈𝟐|
𝟐 × (𝑹𝟐 + 𝒋𝑿𝒅) = (𝟒, 𝟖𝟐)
𝟐 × (𝟎, 𝟔 + 𝒋𝟎, 𝟏𝟕𝟐) 
𝑺𝒑𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔𝟐 = 𝑷𝑹𝟐 + 𝒋𝑸𝒅𝟐 
𝑺𝒑𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔𝟐 = 𝟏𝟑, 𝟗𝟑 + 𝒋𝟐, 𝟕𝟏 𝑽𝑨 (𝟑. 𝟖) 
 
Os demais valores de perdas estão apresentados nas tabelas 3.7 e 3.8. A tabela 3.7 para 
lado primário do transformador e tabela 3.7 para o lado secundário. 
 
57 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒗𝟏[V] 
 
 
𝒊𝟏 [A] 𝑷𝟏 [W] 𝑸𝟏[Var] 𝑺𝟏[VA] 𝑷𝑹𝟏[𝑾] 𝑸𝒅𝟏[𝑽𝒂𝒓] 
 
36,1 
 
 
1,68 
 
60,9 
 
6,49 
 
71,9 1,69 
 
 
0,33 
 
 
46,1 
 
 
1,99 
 
91,9 
 
8,44 
 
88,4 
 
2,38 
 
0,46 
 
 
71,2 
 
 
2,51 
 
184,0 
 
 13,4 
 
204,1 3,78 
 
0,74 
 
 
99,1 
 
 
3,08 
 
305,0 
 
17,8 
 
348,0 5,69 
 
1,11 
 
 
116,0 
 
 
3,39 
 
 
391,0 
 
0,0 
 
391,0 6,90 
 
1,34 
 
 
141,0 
 
 
3,75 
 
528,0 
 
27,5 
 
604,0 8,44 
 
1,65 
 
 
167,0 
 
 
4,14 
 
690,0 
 
35,1 
 
800,0 10,28 
 
2,01 
 
 
181,0 
 
 
4,35 
 
 
782,0 
 
37,7 
 
916,0 11,35 
 
2,21 
 
 
204,0 
 
4,65 
 
946,0 
 
40,9 
 
1110,0 12,97 
 
 
2,53 
 
 
215,0 
 
 
4,77 
 
 
1040,0 
 
45,3 
 
1230,0 13,65 
 
2,66 
 
 
224,0 
 
 
4,91 
 
1090,0 
 
0,0 
 
1090,0 14,46 
 
2,82 
 
 
235,0 
 
 
5,02 
 
1170,0 
 
51,8 
 
1400,0 15,12 
 
 
2,95 
 
Tabela 3.6- Perdas no cobre e dispersão no enrolamento primário 
58 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒗𝟐[V] 
 
 
𝒊𝟐 [A] 𝑷𝟐 [W] 𝑸𝟐[Var] 𝑷𝒄[𝑾] 𝑷𝑹𝟐[𝑾] 𝑸𝒅𝟐[𝑽𝒂𝒓] 
 
34,5 
 
 
1,76 
 
60,5 
 
6,5 0,316 2,79 0,36 
 
43,4 
 
 
2,02 
 
88,1 
 
8,4 0,516 3,67 0,48 
 
67,8 
 
 
2,55 
 
172,0 
 
12,9 1,273 5,85 0,76 
 
95,1 
 
 
3,06 
 
290,0 
 
18,9 2,521 8,43 1,10 
 
111,0 
 
 
3,34 
 
371,0 
 
0,0 3,437 10,04 1,31 
 
135,0 
 
 
3,73 
 
504,0 
 
28,9 5,109 12,52 1,63 
 
162,0 
 
 
4,11 
 
664,0 
 
35,8 7,377 15,20 1,98 
 
174,0 
 
 
4,31 
 
749,0 
 
40,7 8,517 16,72 2,17 
 
198,0 
 
 
4,59 
 
906,0 
 
45,0 11,049 18,96 2,46 
 
210,0 
 
 
4,74 
 
994,0 
 
48,2 12,438 20,22 2,63 
 
218,0 
 
 
4,87 
 
1050,0 
 
0,0 13,409 21,35 2,77 
 
227,0 
 
 
4,98 
 
1130,0 
 
54,4 14,557 22,32 2,90 
Tabela 3.7 Perdas no núcleo e dispersão no secundário 
59 
 
 
3.5.2 Ensaio com carga predominantemente Indutiva 
 
Para este ensaio foi utilizado dois indutores ligados em série fornecido pelo laboratório 
de Maquinas DEE da UFRJ. Um dos indutores suporta corrente de 6 A, 50 𝑚𝐻 e 
tensão de até 600 V na frequência de 60 𝐻𝑍. E o outro tem as seguintes características: 
corrente nominal 4 A, indutância de 88 𝑚𝐻, tensão nominal de 240 V e frequência de 
60 𝐻𝑍. 
 O transformador ensaiado tem sua corrente nominal de 4.5 𝐴 e tensão nominal de 220 
V. A indutância necessária para a mesma corrente é 130 𝑚𝐻 para frequência de 60 𝐻𝑧. 
Apesar de que a corrente nominal de um dos indutores utilizado é de 4A, ele suportará a 
corrente nominal do transformador porque o ensaio é feito em pouco espaço de tempo, 
e, portanto seu isolamentonão será afetado pelo aumento de temperatura. 
A tabela a seguir é apresentada o resultado do ensaio para diferentes níveis de tensão e 
os cálculos para as perdas. 
Será apresentado a seguir cálculo de perdas para tensão de 201 V e os demais serão 
apresentados na tabela. 
 
Para tensão de 201 V foi obtidos seguintes dados no osciloscópio: 
 → Tensão no primário: 𝑣1=201 𝑉 ; 
→ Corrente no primário: 𝑖1=5,33 𝐴; 
→ Potência Ativa no primário: 𝑃1=96,5 𝑊; 
→ Potência Reativa no primário: 𝑄1=1070 𝑉𝐴𝑟; 
→ Tensão no secundário: 𝑣2=200 𝑉; 
→ Corrente no secundário: 𝑖2=5,07𝐴; 
→ Potência Ativa no secundário: 𝑃2=60,2 𝑊; 
→ Potência Reativa no secundário: 𝑄2=1010 𝑉𝐴𝑟; 
 
�̇�𝟏
∗
=
𝑺𝟏
�̇�𝟏
=
(𝑷𝟏 + 𝒋𝑸𝟏)
�̇�𝟏
= 
(𝟗𝟔, 𝟓 + 𝐣𝟏𝟎𝟕𝟎)
𝟐𝟎𝟏∠𝟎°
= 𝟓, 𝟑𝟑∠𝟖𝟒, 𝟖𝟒° 𝐀 → �̇�𝟏 
= 𝟓, 𝟑𝟑∠ − 𝟖𝟒, 𝟖𝟒° 𝑨 
60 
 
O cálculo anterior só foi feito para visualizarmos que o ângulo da corrente na presença 
de uma carga indutiva está sempre atrasada em relação á tensão. 
Em seguida é calculado potências consumidas em forma de efeito joule e perdas por 
dispersão do fluxo no enrolamento primário. 
 
𝑺𝒑𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔𝟏 = |�̇�𝟏|
𝟐
× (𝑹𝟏 + 𝒋𝑿𝒅𝟏) = (𝟓, 𝟑𝟑)
𝟐 × (𝟎, 𝟔 + 𝒋𝟎, 𝟏𝟕𝟐) 
𝑺𝒑𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔𝟏 = 𝑷𝑹𝟏 + 𝒋𝑸𝒅𝟏 
 
𝑺𝒑𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔𝟏 = 𝟏𝟕, 𝟎𝟒 + 𝒋𝟒, 𝟐𝟗 𝑽𝑨 
 
E o calculo de potências consumidas em forma de efeito joule e perdas por dispersão do 
fluxo no enrolamento secundário é calculado da seguinte forma. 
𝑺𝒑𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔𝟐 = |𝐈𝟐|
𝟐 × (𝑹𝟐 + 𝒋𝑿𝒅𝟐) = (𝟓, 𝟎𝟕)
𝟐 × (𝟎, 𝟗 + 𝒋𝟎, 𝟏𝟕𝟐) 
𝑺𝒑𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔𝟐 = 𝑷𝑹𝟐 + 𝒋𝑸𝒅𝟐 
 
𝑺𝒑𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔𝟐 = 𝟐𝟎, 𝟓𝟔 + 𝒋𝟑, 𝟖𝟖 𝑽𝑨 
 
𝒗𝟏 [𝑽] 
 
𝒊𝟏 [𝑨] 𝒑𝟏 [𝑾] 𝑸𝟏 [𝑽𝒂𝒓] 𝑭𝑷𝟏 𝜽𝟏 𝑷𝑹𝟏 𝑸𝒅𝟏 
 
40,1 
 
 
0,89 
 
1,2 
 
36,6 
 
0,725 
 
88,11 
 
0,47 
 
0,12 
 
60,8 
 
 
1,50 
 
5,9 
 
77,2 
 
0,791 
 
85,59 
 
1,35 
 
0,34 
 
82,1 
 
 
1,64 
 
11,6 
 
134,0 
 
0,890 
 
84,93 
 
1,62 
 
0,41 
 
103,0 
 
 
2,06 
 
18,5 
 
212,0 
 
0,903 
 
84,89 
 
2,54 
 
0,64 
 
126,0 
 
 
2,65 
 
30,3 
 
331,0 
 
0,911 
 
84,78 
 
4,21 
 
1,06 
 
151,0 
 
 
3,47 
 
49,9 
 
521,0 
 
0,950 
 
84,61 
 
7,22 
 
1,82 
 
61 
 
 
 
 
171,0 
 
4,17 66,5 711,0 0,935 84,59 10,43 2,63 
 
181,0 
 
 
4,52 
 
76,1 
 
813,0 
 
0,933 
 
84,62 
 
12,25 
 
3,08 
 
190,0 
 
 
4,84 
 
84,5 
 
919,0 
 
0,933 
 
84,65 
 
14,05 
 
3,53 
 
201,0 
 
 
5,33 
 
96,5 
 
1070,0 
 
0,907 
 
84,83 
 
17,04 
 
4,29 
𝒗𝟐 [𝑽] 
 
𝒊𝟐 [𝑨] 𝒑𝟐 [𝑾] 𝑸𝟐 [𝑽𝒂𝒓] 𝑭𝑷𝟐 𝜽𝟐 𝑷𝑹𝟐 𝑸𝒅𝟐 
 
39,9 
 
 
0,87 
 
0,9 
 
34,9 
 
0,491 
 
89,39 
 
0,61 
 
 
0,11 
 
60,5 
 
 
1,27 
 
3,4 
 
76,1 
 
0,428 
 
87,36 
 
1,29 
 
0,24 
 
81,5 
 
 
1,61 
 
6,7 
 
131,0 
 
0,544 
 
86,09 
 
2,07 
 
0,39 
 
102,1 
 
 
2,03 
 
10,9 
 
207,0 
 
0,546 
 
86,92 
 
3,29 
 
0,62 
 
125,0 
 
 
2,61 
 
17,9 
 
326,0 
 
0,548 
 
86,77 
 
5,45 
 
1.02 
 
150,0 
 
 
3,40 
 
30,4 
 
511,0 
 
0,591 
 
86,64 
 
9,24 
 
1,74 
 
170,0 
 
 
4,07 
 
40,8 
 
692,0 
 
0,598 
 
86,62 
 
13,25 
 
2,50 
 
180,0 
 
 
4,39 
 
47,9 
 
787,0 
 
0,594 
 
86,58 
 
15,42 
 
2,91 
 
189,0 
 
 
4,69 
 
52,7 
 
884,0 
 
0,594 
 
86,60 
 
17,60 
 
3,32 
 
200,0 
 
 
5,07 
 
60,2 
 
1010,0 
 
0,587 
 
86,63 
 
20,56 
 
3,88 
Tabela 3.8 Resultado do ensaio com carga indutiva 
 
62 
 
É de salientar que as medições com a carga indutiva só foram realizadas até 210 V 
visto que a corrente no indutor de menor indutância já ultrapassava 25% da sua 
corrente nominal. 
Nos ensaios com carga resistiva e carga indutiva podemos analisar como varia a 
queda de tensão nesses ensaios. No ensaio com a carga indutiva pode-se perceber 
que quase não varia a tensão em comparação com a carga resistiva. Isso se deve a 
baixa corrente exigida pela carga devido a elevada impedância do indutor e 
também baixo fator de potência apresentado pelo circuito. Visto que o 
transformador e a carga têm características indutivas. 
A maioria das cargas ligadas ao secundário de um transformador é projetada para 
operar com tensão essencialmente constante. No entanto, á medida que elas 
crescem, a tensão nos terminais do transformador varia devido à queda de tensão 
na sua impedância interna. 
 
E apresento a seguir na tabela 3.9, a queda de tensão quando o transformador é 
submetido a carga resistiva e carga indutiva. 
 
 
 
 
Carga Indutiva Carga Resistiva 
 
𝑽𝟐 𝒆𝒎 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 
 
V𝟏 
 
𝜟𝑽 
 
𝑽𝟐 𝒆𝒎 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 
 
𝑽𝟏 
 
𝜟𝑽 
 
39,9 
 
 
40,1 
 
 
34,5 
 
 
36,1 
 
 
 
60,5 
 
 
 
60,8 
 
 
 
43,4 
 
 
 
46,1 
 
 
81,5 
 
 
82,1 
 
 
67,8 
 
 
71,2 
 
63 
 
 
102,1 
 
 
103,0 
 
 
95,1 
 
 
99,1 
 
 
125,0 
 
 
126,0 
 
 
111,0 
 
 
116,0 
 
 
150,0 
 
 
151,0 
 
 
135,0 
 
 
141,0 
 
 
170,0 
 
 
171,0 
 
 
162,0 
 
 
167,0 
 
 
180,0 
 
 
181,0 
 
 
174,0 
 
 
181,0 
 
 
189,0 
 
 
190,0 
 
 
198,0 
 
 
204,0 
 
200,0 
 
 
201,0 
 
 
210,0 
 
 
215,0 
 
Tabela 3.9 Valores de regulação de tensão da carga resistiva e indutiva 
 
3.6 Medições de Curva de histerese 
 
O procedimento utilizado para determinar a curva 𝐵𝑥𝐻 do transformador através da 
montagem mostrada na figura 3.22 [6]. 
Como a força magnética (H) e a densidade de fluxo magnético (B) não podem ser 
medida diretamente através de um osciloscópio é preciso fazer algumas manipulações 
algébricas como objetivo de obter as grandezas proporcionais a tensão e corrente que 
possam ser facilmente medidas. 
 
64 
 
 
Figura 3.22- Circuito para determinação da curva B x H 
 
A montagem feita no laboratório para ver a curva de magnetização é apresentada na 
figura a seguir. 
65 
 
 
Figura 3.23-Montagem do transformador para curva de histerese [7] 
 
A equação (3.9) representa a Lei de ampère, mostrando como a força magnética no 
núcleo se relaciona com a corrente total que atravessa o caminho fechado C [8]. 
∮ �⃗⃗⃗� 𝒅𝒍⃗⃗⃗⃗ = ∑𝑰
𝑪
 (𝟑. 𝟗) 
 
O somatório total das correntes é dado pelo produto das espiras pela corrente que 
atravessa cada um dos enrolamentos e, como o comprimento 𝑙 do circuito magnético 
formado pelo núcleo é constante, o valor médio do campo magnético resultante pode ser 
calculado por: 
𝐻𝑙 = 𝑁1𝑖1 − 𝑁2𝑖2 (3.10) 
No enrolamento de baixa (𝑋1 − 𝑋2) a relação 
𝐻(𝑡) =
𝑁𝑥
𝑙
𝑖𝑥(𝑡) (3.11) 
66 
 
Ou seja, a intensidade de campo magnético é proporcional à corrente de lado de baixa. 
Para o lado de enrolamento de alta (𝐻1 − 𝐻2 ) a relação é : 
𝑉𝐻(𝑡) = −
𝑑𝜆(𝑡)
𝑑𝑡
= −
𝑑𝛷(𝑡)
𝑑𝑡
∗ 𝑁𝐻 = −𝐴 ∗ 𝑁𝐻 ∗
𝑑𝐵(𝑡)
𝑑𝑡
 (3.12) 
 
A tensão no primário (𝑉𝐻) é tal que 
𝑉𝐻(𝑡) = 𝑉𝑅𝐻(𝑡) + 𝑉𝐶(𝑡) = 𝑅𝐻 ∗ 𝑖𝐻(𝑡) +
1
𝐶
∫ 𝑖𝐻(𝑡) 𝑑𝑡 (3.13) 
 
Na hipótese de 𝑅𝐻 ser muito maior que 𝑋𝐶, a tensão 𝑉𝐻(𝑡) será praticamente a tensão no 
resistor 𝑅𝐻. 
Assim, 
𝑉𝐻(𝑡)𝑉𝑅𝐻~
~ (𝑡) = 𝑅𝐻 ∗ 𝑖𝐻(𝑡) ⇒ 𝑖𝐻(𝑡) =
𝑉𝐻(𝑡)
𝑅𝐻
 (3.14) 
Substituindo a relação para a corrente 𝑖𝐻(𝑡) da equação anterior na equação da tensão 
no capacitor 𝑉𝐶(𝑡) resulta 
𝑉𝐶(𝑡) =
1
𝐶
∫ 𝑖𝐻(𝑡) 𝑑𝑡 =
1
𝐶
∫
𝑉𝐻(𝑡)
𝑅𝐻
𝑑𝑡 =
1
𝑅𝐶∗𝐶
∫𝑉𝐻(𝑡) 𝑑𝑡 (3.15) 
Substituindo a equação 3.14 na equação anterior tem-se 
𝑉𝐶(𝑡) =
1
𝑅𝐻∗𝐶
∫(−𝑁𝐻 ∗ 𝐴
𝑑𝐵(𝑡)
𝑑𝑡
)𝑑𝑡 = −
𝑁𝐻∗𝐴
𝑅𝐻∗𝐶
∫
𝑑𝐵(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡 = −
𝑁𝐻∗𝐴
𝑅𝐻∗𝐶
𝐵(𝑡) (3.16 ) 
Ou seja 
𝐵(𝑡) = −
𝑅𝐻∗𝐶
𝑁𝐻∗𝐴
𝑉𝐶(𝑡) (3.17) 
A é área da seção do núcleo do transformador, C é o capacitor a ser inserido no circuito 
integrador, 𝑅𝐻 é a resistência a ser colocada no circuito integrador e 𝑁𝐻 é o numero de 
espiras de primário. 
A equação 3.13 nos informa que a corrente do lado de baixa do transformador é 
diretamente proporcional à intensidade do campo magnético H enquanto que a equação 
3.17 mostra que a tensão no capacitor C é diretamente proporcional à densidade de 
campo magnético. 
Nas duas equações mencionadas anteriormente, é necessário o conhecimento do projeto 
do transformador ensaiado, ou seja, deve-se conhecer a geometria do transformador 
traduzida nas variáveis áreas do núcleo A e no caminho médio no núcleo 𝑙. Devem ser 
conhecidos também os números de espiras dos enrolamentos de alta e de baixa tensão, 
67 
 
respetivamente 𝑁𝐻 𝑒 𝑁𝑥. Mas esse trabalho não foi necessário porque foi utilizado o 
transformador em que o numero de espiras do primário é igual a do secundário 1: 1. 
 
 
A seguir serão apresentadas as curvas de histerese obtidas, para diversos valores 
de tensão de alimentação, utilizando a plotagem simultânea das medições de corrente 
primária e da tensão no capacitor. 
É importante ressaltar que a curva de histerese representa as perdas por unidade de 
volume do material a cada ciclo da tensão aplicada. Assim, para chegar-se ao valor 
exato da energia dissipada por aquecimento no processo de orientação dos domínios 
magnéticos e pelas correntes parasitas do núcleo do transformador, a área de cada laço 
deve ser multiplicada pela frequência do sinal da fonte (60 Hz) e pelo volume total que 
o material ferromagnético ocupa, ou seja, 𝑉𝑜𝑙 = 32,8 𝑐𝑚2 × 51 𝑐𝑚 = 0,001673 𝑚3. 
 
 
 
Figura 3.24 - Curva de Histerese para alimentação de 80 V 
68 
 
 
Figura 3.25 - Curva de Histerese para alimentação de 163 V 
 
 
Figura 3.26 - Curva de Histerese para alimentação de 181 V 
 
69 
 
 
Figura 3.27- Curva de Histerese para alimentação de 202 V 
 
 
 
 
 
Figura 3.28- Curva de Histerese para alimentação de 223 V 
70 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.29 - Curva de Histerese para alimentação de 246 V 
 
 
 
A partir desta sequência de curvas acima é possível perceber que as perdas são 
diretamente proporcionais à tensão e, consequentemente, ao fluxo mútuo que atravessa 
o núcleo. Mesmo nas primeiras curvas, que não apresentam o formato típico do laço de 
histerese, já se nota a relação não linear entre o fluxo e a corrente de excitação do 
transformador e essa distorção se torna clara na última curva que representa uma 
condição de operação extremamente saturada. 
Todas essas análises condizem com o que foi apresentado na Seção 2.4.5 e 
atestam a eficácia da utilização do circuito integrador para adquirir a curva de histerese 
através da exibição simultânea dos dois canais do osciloscópio. 
71 
 
 
4 Conclusões 
4.1 Conclusões 
Presente trabalho possibilitou a comprovação da eficiência dos ensaios de curto-
circuito e de circuito aberto nos cálculos dos parâmetros de circuito equivalente para 
funcionamento do transformador monofásico. No ensaio do circuito aberto também foi 
útil para comprovar distorção da corrente de excitação do equipamento, foi como 
detalhado no capitulo 2, causada pela saturação dos domínios magnéticos do material do 
núcleo. As medições provaram que o fluxo mútuo, responsável pela transferência 
de potência entre os enrolamentos, é proporcional à tensão aplicada e tem sua taxa 
de crescimento sensivelmente reduzida quando atinge a região de saturação, 
requerendo uma corrente ainda mais distorcida quando opera nessas condições. 
 Utilizou-se também um circuito integrador RC para captura de uma curva que 
representa o laço de histerese do núcleo através de medições com o osciloscópio. 
Essas curvas apresentaram a forma típica e mostraram que as perdas no núcleo são 
proporcionais à alimentação do equipamento, podendo ser calculadas a partir do 
volume do núcleo de material ferromagnético e da área do laço de histerese para 
cada situação de alimentação com a ausência de carga conectada ao secundário do 
transformador. 
E por fim foram realizadas medições de potência para três situações de 
carregamento distintas: sem carga, com carga resistiva e carga indutiva. Esses 
dados permitiram a visualização do aumento das perdas nos dois enrolamentos, 
ôhmicas e por dispersão de fluxo, com o aumento da corrente que circula pelos 
mesmos. Além disso, foi comprovado que as perdas, por histerese e correntes 
parasitas no núcleo do transformador, estão relacionadas apenas ao fluxo variante 
no interior do material ferromagnético que, por sua vez, é definido pela frequência 
e tensão do sinal aplicado na entrada do equipamento. Essa relação depende das 
características físicas e construtivas do núcleo, não sendo influenciada pelo tipo de 
carga conectada no secundário. É importante ressaltar que, por exemplo em 
algumas figuras como á de corrente de excitação e curva de histerese possuem 
algumas imprecisões, mas a análise feita via software baseada na aquisição de 
72 
 
dados com o osciloscópio foi condizente com a teoria apresentada e mostrou-se 
como uma boa alternativa para determinadas aplicações na prática da engenharia. 
Trabalhos Futuros 
O estudo apresentado faz referência a transformador monofásico onde foi 
calculado os parâmetros do circuito equivalente e apresentado o comportamento a 
curva de histerese e corrente de excitação, possibilitando outros trabalhos. Entre as 
possibilidades podem ser feitos estudos e especificações para transformadores 
sobre efeitos de transitórios, para transformadores trifásicos de grande potência. 
 
5 Referências Bibliográficas 
 
 
[1] CHAPMAN, Stephen J. Electric Machinery Fundamentals. 2
nd
 ed., Nova Iorque, 
McGraw Hill, 2001. 
[2] FITZGERALD, A. E.; Kingsley Jr., C.; Umans, S. D. Máquinas Elétricas. 6ª ed. 
Porto Alegre, Bookman, 2006 
 
 
[3] KOSOW, I.L. Máquinas Elétricas e Transformadores, 4ª Ed. Porto Alegre, Globo, 
1982. Vol 1. 
[4] EDSON GUEDES, Guia do Experimento. 
[5] WSTRO - Wavestar Software for Oscilloscopes User Manual - Disponível 
em: http://www.tek.com 
[6] WASHINGTON NEVES. Apostila de matérias elétricos 
 
[7] Laboratório de maquinas UFRJ 
 
[8] SADIKU, Matthew N. O. Elementos de Eletromagnetismo. 3
a
 ed. Porto Alegre, 
Bookman, 2004. 
 
http://www.tek.com/
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[9] DELGADO, R.S. "Estudo dos Requisitos Essenciais a Especificação de 
Transformadores de Potência em Condições Normais de Operação", Projeto de 
Graduação, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Março de 2010. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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