Resumo Teorico CEME1 UBM

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PRÓ-REITORIA ACADÊMICA 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA I 
 
Prof. José Nilton Cantarino Gil 
 
 
 
ASSUNTO: Transformadores – Parte 2 
 
Teoria de Operação de Transformadores Monofásicos reais 
 
 Os transformadores ideais descritos na aula anterior nunca poderão ser 
construídos na realidade. Podemos utilizar os conceitos dos transformadores ideais 
como aproximações dos transformadores reais, mas com certeza estaremos nos 
abstraindo de coisas que, dependendo do caso, irão influenciar consideravelmente 
nossos cálculos. 
 Para compreender o funcionamento de um transformador real vamos observar 
inicialmente a figura 1, onde podemos visualizar esquematicamente 2 
enrolamentos montados sobre um núcleo, com o enrolamento secundário aberto, 
isto é, sem nenhuma carga acoplada. 
Figura 1: Diagrama esquemático de um transformador real sem carga no secundário 
 
Fonte: Chapman (2013) 
 A fundamentação de funcionamento do transformador pode ser obtida através 
da lei de Faraday: 
 
𝑒𝑖𝑛𝑑 = 
𝑑𝜆
𝑑𝑡
 (eq.1) 
Onde  é o fluxo concatenado na bobina a qual a tensão está sendo induzida. 
Podemos entender também que o fluxo concatenado é o somatório dos fluxos de 
cada espira da bobina, ou seja: 
 
𝜆 = ∑ ∅𝑖
𝑁
𝑖=1 (eq.2) 
 
A figura 2 mostra a curva de histerese do transformador. 
Figura 2: Curva de histerese do transformador 
 
Fonte: Chapman (2013) 
 Como estamos tratando de um transformador real, o fluxo concatenado total 
não será simplesmente N, sendo N o número de espiras, porque o fluxo de passa 
por uma espira não é exatamente o mesmo fluxo que passa por outra espira uma 
vez que estão posicionadas em locais ligeiramente diferentes em relação ao núcleo 
(uma espira ocupa um lugar diferente de outra no interior de uma bobina), mas é 
possível definir um fluxo médio que será a razão entre o fluxo total e número de 
espiras. 
𝜙𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 
𝜆
𝑁
 (eq.3) 
 
𝑒𝑖𝑛𝑑 = 𝑁
𝑑 𝜙𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
𝑑𝑡
 (eq.4) 
 
A relação de tensão em um transformador 
 
 Na figura 1, caso a tensão no primário seja vp(t), então ela será aplicada 
diretamente à bobina do enrolamento primário e pela lei de Faraday, ignorando a 
resistência do enrolamento, teremos: 
 
𝜙𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 
1
𝑁𝑃
 ∫ 𝑣𝑝(𝑡)𝑑𝑡 (eq.5) 
Essa equação mostra que o fluxo médio no enrolamento é proporcional à tensão 
aplicada ao enrolamento e a constante de proporcionalidade será o inverso do 
número de espiras do enrolamento 1/NP. 
 O efeito que esse fluxo da bobina primária fará na bobina secundária do 
transformador depende de quanto desse fluxo atinge a bobina secundária, uma vez 
que nem todo o fluxo da bobina primária atinge a bobina secundária como mostra 
a figura 3. 
Figura 3: Fluxos concatenados no transformador 
 
Fonte: Chapman (2013) 
 A figura 3 mostra que nem todas as linhas de força do fluxo no primário 
atingem o enrolamento secundário uma vez que existem dispersões de algumas 
linhas. Dessa forma podemos dividir o fluxo em duas parcelas sendo a primeira o 
fluxo mútuo que permanece no núcleo e enlaça os enrolamentos e outra parte que 
trata do fluxo de dispersão (em menor parte), que passa através do enrolamento 
primário, mas retorna através do ar, assim: 
𝜙𝑃 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝜙𝑀 + 𝜙𝐷𝑃 (eq.6) 
Onde P médio é o fluxo médio total do primário, 
 M é a componente do fluxo que concatena mutuamente as bobinas de 
 primário e secundário e, 
 DP é o fluxo de dispersão no primário. 
 
Da mesma forma existe no secundário uma divisão similar para o enrolamento 
secundário, sendo: 
𝜙𝑆 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝜙𝑀 + 𝜙𝐷𝑆 (eq.7) 
 
 
Onde S médio é o fluxo médio total do secundário, 
 M é a componente do fluxo que concatena mutuamente as bobinas de 
 primário e secundário e, 
 DS é o fluxo de dispersão no secundário. 
 
Aplicando-se a lei de Faraday no circuito primário e considerando os fluxos mútuo 
e de dispersão médios, podemos escrever que: 
𝑣𝑝(𝑡) = 𝑁𝑝
𝑑𝜙𝑃 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
𝑑𝑡
= 𝑁𝑝
𝑑𝜙𝑀
𝑑𝑡
+ 𝑁𝑝
𝑑𝜙𝐷𝑃
𝑑𝑡
 (eq. 8) 
 
Na equação 8, o primeiro termo é denominado ep(t) (devido ao fluxo mútuo) e o 
segundo termo de eDP(t) (devido ao fluxo de dispersão) e com isso podemos 
reescrevê-la como: 
 
𝑣𝑝(𝑡) = 𝑒𝑝(𝑡) + 𝑒𝐷𝑃(𝑡) (eq.10) 
 
Da mesma forma, podemos aplicar os mesmos princípios na bobina do secundário 
de forma que podemos afirmar: 
 
𝑣𝑠(𝑡) = 𝑁𝑠
𝑑𝜙𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
𝑑𝑡
= 𝑁𝑠
𝑑𝜙𝑀
𝑑𝑡
+ 𝑁𝑠
𝑑𝜙𝐷𝑠
𝑑𝑡
 (eq. 11) 
 
𝑣𝑠(𝑡) = 𝑒𝑠(𝑡) + 𝑒𝐷𝑠(𝑡) (eq.12) 
 
 A tensão primária devida ao fluxo mútuo é dada por: 
 
𝑒𝑝(𝑡) = 𝑁𝑝
𝑑𝜙𝑀
𝑑𝑡
 (eq.13) 
 
E a secundária por: 
 
𝑒𝑠(𝑡) = 𝑁𝑠
𝑑𝜙𝑀
𝑑𝑡
 (eq.13) 
 
E dessa forma, teremos: 
 
𝑒𝑝(𝑡)
𝑁𝑝
= 
𝑑𝜙𝑀
𝑑𝑡
=
𝑒𝑠(𝑡)
𝑁𝑠
 (eq.14) 
 
E portanto, finalmente: 
𝑒𝑝(𝑡)
𝑒𝑠(𝑡)
 =
𝑁𝑝
𝑁𝑠
= 𝛼 (eq.15) 
 
Onde na equação 15 vemos que a relação entre a tensão primária e a tensão 
secundária, ambas causadas pelo fluxo mútuo, é igual à relação de espiras do 
transformador. Como em um transformador bem projetado o fluxo mútuo é muito 
maior que os fluxos de dispersão, podemos afirmar que a relação total do primário 
e a tensão total do secundário de um transformador é aproximadamente igual a 
relação dos números de espiras do primário e secundário. Quanto menores forem 
os fluxos de dispersão maior será a proximidade entre o transformador real e o 
transformador ideal, conforme discutimos anteriormente. 
 
𝑣𝑝(𝑡)
𝑣𝑠(𝑡)
 =
𝑁𝑝
𝑁𝑠
= 𝛼 (eq.16) 
 
A corrente de magnetização em um transformador real 
 
Quando uma fonte de energia de corrente alternada é conectada a um 
transformador, como mostrado na figura 4, uma corrente flui no primário mesmo 
que a bobina do secundário não esteja conectada a uma carga, isto é, o circuito do 
secundário está em aberto, Essa é a corrente requerida para produzir fluxo em um 
núcleo ferromagnético real e possui duas componentes: a corrente de 
magnetização e a corrente de perdas no núcleo. 
Figura 4: Curva e corrente de magnetização de um transformador 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 
 A figura 4(a) mostra a curva de magnetização de um núcleo ferromagnético de 
um transformador real enquanto a figura 4(b) mostra a forma da corrente de 
magnetização causada pelo fluxo no núcleo do transformador. 
 Voltando à situação descrita de um transformador com o secundário em aberto, 
a corrente de magnetização (iM) á a corrente necessária para produzir o fluxo no 
núcleo do transformador e a corrente de perdas no núcleo (ih+p) é a responsável pela 
energia perdida nas perdas por histerese e correntes parasitas no núcleo. 
 Observando a figura 4 vemos que podemos conhecer a magnitude da corrente 
de magnetização se conhecermos o fluxo no núcleo. Caso, por um momento, 
ignorarmos os efeitos de dispersão, o fluxo médio no núcleo será dado por: 
𝜙𝑃 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 
1
𝑁𝑝
∫ 𝑣𝑝(𝑡)𝑑𝑡 (eq.17) 
 
E se considerarmos que a tensão no primário seja 𝑣𝑝(𝑡) = 𝑉𝑀 cos 𝜔𝑡 o fluxo 
resultante será: 
 
𝜙𝑃 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 
1
𝑁𝑝
∫ 𝑉𝑀 cos 𝜔𝑡 𝑑𝑡 =
𝑉𝑀
𝜔𝑁𝑝
 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 [Wb] (eq.18) 
 
Se os valores de corrente necessários para produzir um fluxo (figura 4a) forem 
comparados com o fluxo do núcleo, para diversos valores, poderemos construir um 
gráfico simples da corrente de magnetização que circula no enrolamento primário 
do núcleo, Esse gráfico é mostrado na figura 4b e devemos observar os seguintes 
pontos a respeito da corrente de magnetização: 
1) A corrente de magnetização não é senoidal. Isto se deve à saturação 
magnética do núcleo, gerando componentes de frequência mais elevadas; 
2) Quando o fluxo de pico atinge o ponto de saturação do núcleo, um pequeno 
aumento de fluxo exige um aumento muito grande de corrente; 
3) A componente fundamental da corrente de magnetização está atrasada em 
relação à tensão aplicada em 90o; 
4) As componentes defrequências mais elevadas da corrente de magnetização 
podem ser bem grandes quando comparadas com a componente 
fundamental. Em geral, quanto mais o transformador for colocado em 
saturação, maiores se tornarão as componentes harmônicas. 
 
 A outra componente da corrente sem carga ou a vazio, é a requerida para 
alimentar as perdas por histerese e corrente parasita. Se assumirmos que o fluxo no 
núcleo é senoidal e as correntes parasitas são proporcionais à d/dt, as correntes 
parasitas serão máximas quando o fluxo está passando pelo 0. 
 A corrente total requerida para suprir as perdas no núcleo é mostrada na figura 
5 a seguir, onde devemos observar os seguintes pontos: 
a) A corrente de perdas no núcleo não é linear devido aos efeitos não lineares 
da histerese e; 
b) A componente fundamental da corrente de perdas no núcleo está em fase 
com a tensão aplicada ao núcleo: 
Figura 5: Corrente de perdas no Núcleo 
 
 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 
 A corrente total sem carga no núcleo é denominada de corrente de excitação 
do transformador e é simplesmente a soma da corrente de magnetização e a corrente 
de perdas no núcleo. 
𝑖𝑒𝑥 = 𝑖𝑀 + 𝑖ℎ+𝑝 (eq.19) 
 
A corrente total de excitação está mostrada na figura 6, 
Figura 6: Corrente total de excitação 
 
Fonte: Chapman, 2013 
Devemos ressaltar que em um transformador de potência bem projetado, a corrente 
de excitação é muito menor que a corrente de plena carga do transformador. 
 
A relação de corrente em um transformador e a convenção do ponto 
 
Vamos supor agora que conectamos uma carga no transformador obtendo um 
circuito com o da figura 7, abaixo: 
Figura 7: Transformador real com uma carga no secundário 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 Na figura 7, olhando a notação dos pontos nos enrolamentos do transformador, 
esses pontos irão nos ajudar a determinar a polaridade das tensões e correntes no 
núcleo sem a necessidade de examinar fisicamente os enrolamentos. No caso do 
transformador da figura 7, se examinarmos a forma com que as bobinas estão 
enroladas podemos concluir as polaridades das tensões e correntes no primário e 
secundário. Mas nem precisávamos analisar dessa forma, uma vez que a convenção 
do ponto serve para mostrar que uma corrente entrando pelo terminal com ponto 
irá produzir uma força magnetomotriz positiva, ao passo que uma corrente saindo 
do ponto (ou entrando pelo terminal sem o ponto) uma força magnetomotriz 
negativa. Se uma corrente entrar pelo ponto em uma bobina e sair pelo ponto em 
outra então as forças magnetomotrizes se subtrairão uma da outra. No caso do 
transformador da figura 7, a corrente primária produz uma força magnetomotriz 
positiva enquanto a do secundário uma negativa, e portanto podemos escrever que: 
 
ℱ𝑃 = 𝑁𝑃 . 𝐼𝑃 (no primário) (eq. 20) 
 
ℱ𝑆 = 𝑁𝑆. 𝐼𝑆 (no secundário) (eq. 21) 
 
ℱ𝐿𝐼𝑄 = 𝑁𝑃 . 𝐼𝑃 − 𝑁𝑆. 𝐼𝑆 = 𝜙. ℛ (liquida) (eq. 22) 
 
Onde a força magnetomotriz liquida será o produto do fluxo no núcleo pela 
relutância do núcleo. Como em um transformador bem projetado e construído, a 
relutância do núcleo mantem-se muito pequena até que o núcleo esteja saturado 
(próxima de zero), podemos considerar que a força magnetomoriz líquida é 
aproximadamente: 
 
ℱ𝐿𝐼𝑄 ≈ 𝑁𝑃 . 𝐼𝑃 − 𝑁𝑆. 𝐼𝑆 ≈ 0 (eq.23) 
 
E portanto 
 
𝑁𝑃 . 𝐼𝑃 ≈ 𝑁𝑆. 𝐼𝑆 (eq.24) 
 
𝑁𝑃
𝑁𝑆
≈ 
𝐼𝑆
𝐼𝑃
 ≈ 𝑎 (eq.25) 
 
Segundo Chapman (2013), é o fato da força magnetomotriz no núcleo ser 
aproximadamente zero que dá à convenção do ponto o significado atribuído 
anteriormente, isto é, para que a força magnetomotriz seja aproximadamente zero 
é necessário que a corrente deva entrar em um terminal com ponto e sair em outro 
terminal com ponto. As polaridades das tensões devem ser aplicadas do mesmo 
modo em cada enrolamento para fazer cada corrente circular no sentido necessário. 
 Para convertermos um transformador real em um transformador ideal devemos 
ter algumas condições, que são: 
1) O núcleo não deve apresentar histerese ou correntes parasitas; 
2) A curva de magnetização deve ter a forma mostrada na figura 8; 
Figura 8: Curva de magnetização de um transformador ideal 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 
 Notar que na figura 8, que representa um transformador ideal, em um núcleo 
não saturado a força magnetomotriz deve ser zero, implicando na relação da 
equação 𝑁𝑃 . 𝐼𝑃 = 𝑁𝑆. 𝐼𝑆; 
3) O fluxo de dispersão do núcleo deve ser zero, implicando que todo o fluxo 
no núcleo enlaça (concatena) ambos os enrolamentos; 
4) A resistência dos enrolamentos do transformador deve ser zero. 
 
Embora essas condições nunca sejam preenchidas exatamente, os transformadores 
de potência bem projetados podem chegar próximo delas. 
 
Circuito equivalente de um transformador 
 
Para que um modelo retrate o exato comportamento de um transformador real 
devemos incluir os seguintes itens na sua construção: 
 
1) Perdas no cobre (I2.R). São as perdas devido ao efeito joule que provoca 
aquecimento devido às resistências dos enrolamentos primário e secundário; 
2) Perdas por corrente parasita. As perdas por corrente parasita são perdas 
devidas ao aquecimento resistivo do núcleo do transformador. Elas são 
proporcionais ao quadrado da tensão aplicada ao transformador; 
3) Perdas por histerese. As perdas por histerese estão associadas à alteração da 
configuração dos domínios magnéticos no núcleo durante cada semiciclo. 
São uma função não linear, complexa, da tensão aplicada ao transformador; 
4) Fluxo de dispersão. Os fluxos de dispersão dos enrolamentos do primário e 
secundário (ɸDP e ɸDS) são os fluxos que escapam do núcleo e passam apenas 
por um dos enrolamentos. Esses fluxos produzem uma indutância de 
dispersão nas bobinas primária e secundária. Seus efeitos devem ser levados 
em consideração. 
 
Circuito equivalente exato de um transformador real 
 
 Para ser possível a construção de um modelo que se aproxima muito de um 
transformador real deveremos levar em consideração as principais imperfeições 
encontradas nos transformadores reais. Vamos analisar uma a uma a seguir. 
 A primeira, e talvez a mais fácil, a ser abordada são as perdas pelo aquecimento 
resistivo dos enrolamentos. Na construção do modelo deveremos incluir uma 
resistência do lado primário (RP) e outra do lado secundário (RS) representando as 
resistências dos condutores dos respectivos enrolamentos. 
 O fluxo de dispersão no enrolamento primário (DP) produz uma tensão eDP 
dada por: 
 (eq. 26) 
e o fluxo de dispersão no secundário (DS) produz a tensão eDS dada por: 
 (eq. 27) 
Como a maior parte do fluxo de dispersão ocorre pelo ar e o ar tem uma relutância 
muito maior que a relutância do núcleo, teremos os fluxos de dispersão do primário 
e secundário proporcionais às correntes de primário e secundário respectivamente. 
(eq. 28 e 29) 
Se substituirmos essas equações nas equações 26 e 27 teremos: 
 
 
Reunindo as constantes dessas equações, finalmente chegamos a: 
𝑒𝐷𝑃 = 𝐿𝑃
𝑑𝑖𝑃
𝑑𝑡
 (eq. 30) 
 
𝑒𝐷𝑆 = 𝐿𝑠
𝑑𝑖𝑆
𝑑𝑡
 (eq. 31) 
 
Em que LP e LS são as indutâncias de dispersão no primário e secundário 
respectivamente. Dessa forma podemos modelar o fluxo de dispersão por um 
indutor no lado do primário e outro no lado do secundário. 
 A corrente de magnetização im é uma corrente proporcional a tensão aplicada 
ao núcleo (na região não saturada) e está atrasada em à tensão aplicada em 90º, de 
modo que pode ser modelada como a reatância XM conectada a fonte de tensão do 
primário. A corrente de perdas no núcleo ih+p é uma corrente proporcional à tensão 
aplicada ao núcleo e está em fase com essa tensão, podendo ser modelada por uma 
resistência RC conectada também à fonte de tensão do primário. Devemos nos 
lembrar que na realidade, ambas as correntes não são na realidade lineares e XM e 
RC são, no máximo, aproximações para os efeitos reais de excitação. 
Figura 9: Modelo de um transformadorreal 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 
A figura 9 mostra o circuito equivalente do modelo resultante e nesse circuito 
temos: 
RP é a resistência do enrolamento primário; 
XP é a reatância devido a indutância de dispersão do primário (XP=LP); 
RS é a resistência do enrolamento secundário; 
XS é a reatância de dispersão do secundário (XS=LS); 
RC é a resistência que modela perdas no núcleo(histerese e correntes parasitas); 
XM é a reatância devido à corrente de magnetização. 
 
Devemos nos atentar que os elementos que influem na tensão aplicada 
excitação estão colocados no lado primário, porque a tensão aplicada ao núcleo é a 
tensão de entrada menos as quedas de tensão internas do enrolamento. A figura 9, 
apesar de mostrar um modelo acurado do transformador, não é muito útil em função 
que normalmente analisaremos circuitos com um único nível de tensão. Para isso 
deveremos realizar a conversão do modelo para os das figuras 10(a) e 10(b), onde 
termos todo o circuito referido ao lado primário ou ao lado secundário 
respectivamente, sendo que a é a relação de transformação. 
Figura 10: Modelos do transformador com um único nível de tensão 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 
 
 
Circuitos equivalentes aproximados de um transformador 
 
 Os modelos de transformador mostrados anteriormente são frequentemente 
mais complexos do que o necessário para a obtenção de resultados satisfatórios em 
aplicações práticas de engenharia. O fato de os ramos de excitação do modelo ser 
colocado no meio acrescenta mais um nó na análise e a corrente de excitação 
representa cerca de 2 a 3% da corrente a plena carga do transformador. Com isso é 
comum obter-se um modelo aproximado onde os elementos de excitação são 
colocados próximos da fonte do primário e com isso as impedâncias do primário e 
secundário são colocadas em série podendo ser representadas por uma só 
impedância resultante da associação. Dessa forma, obtemos um modelo muito mais 
simples e que ainda apresenta valores muito próximos dos reais. Para algumas 
aplicações, o ramo referente à excitação pode ser inteiramente desconsiderado. 
Figura 11: Circuitos equivalentes aproximados do transformador 
 
Fonte: Chapman, 2019 
 A figura 11(a) mostra o modelo com valores referenciados para o primário 
enquanto a figura 11(b) referencia os valores para o secundário. Já os circuitos 
equivalentes (c) e (d) modelam transformadores com tensões referenciadas ao 
primário e secundário respectivamente, e neles não são consideradas as perdas por 
excitação. 
 
Exercícios de fixação: 
 
1) (Problema 2.1-a- Chapman, 2013) Um transformador de distribuição de 100 
kVA, 8000/277 V tem as seguintes resistências e reatâncias: 
 
As impedâncias dadas do ramo de excitação estão referidas ao lado de alta 
tensão do transformador. 
(a) Encontre o circuito equivalente desse transformador referente ao lado de 
baixa tensão; 
2) (Problema 2.2-a, Chapman, 2013) Um sistema de potência monofásico está 
mostrado na figura a seguir. A fonte de potência alimenta um transformador 
de 100 kVA e 14/2,4 kV por meio de uma impedância de alimentador de 
38,2+j140 . A impedância em série equivalente do transformador referida 
ao lado de baixa tensão, é 0,10+j0,40. A carga do transformador é 90 kW 
com FP 0,80 atrasado e 2300 V. 
 
 
(a) Qual é a tensão na fonte de potência do sistema? 
 
3) (Problema 2.3- Chapman, 2013) Considere um sistema de potência simples 
consistindo em uma fonte ideal de tensão, um transformador elevador ideal, 
uma linha de transmissão, um transformador abaixador ideal e uma carga. A 
tensão da fonte é 𝐕𝑆 = 480∠0
𝑜𝑉. A impedância da linha Zlinha=3+j4  e a 
impedância da carga é Zcarga=30+j40 , 
(a) Assuma que os transformadores não estão presentes e calcule a tensão na 
carga e a eficiência do sistema. 
(b) Assuma que o transformador 1 é elevador 1:5 e o transformador 2 é 
abaixador 5:1. Qual a tensão na carga e a eficiência do sistema? 
(c) Qual a relação de espiras necessária reduzir as perdas na linha de 
transmissão a 1% da potência total produzida pelo gerador? 
4) (Problema 2.4-parte- Chapman.2013) O enrolamento secundário de um 
transformador real tem uma tensão de terminal de vs(t)=282,8 sem 377t. A 
relação de espiras do transformador é 100:200 (a=0,5). Se a corrente do 
secundário no transformador for is(t)=7,07sen(377t-36,87º)A, qual a 
corrente no primário desse transformador? Qual sua eficiência? As 
impedâncias do transformador referidas ao lado primário são: 
 
 
Referências Bibliográficas: 
CHAPMAN, Stephen, J. Fundamentos de Máquinas Elétricas, 5 ed., Bookman 
McGraw Hill, Porto Alegre, 2013 
 
 
 
 
 
PRÓ-REITORIA ACADÊMICA 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA I 
 
Prof. José Nilton Cantarino Gil 
 
ASSUNTO: Transformadores – Parte 3 
 
Determinação dos valores dos componentes do modelo de transformador 
 
 Testes e ensaios devem ser utilizados para a determinação experimental dos 
valores das resistências e indutâncias do modelo do transformador. Através de 
dois testes ou ensaios: ensaio a vazio e ensaio de curto-circuito podemos 
conseguir valores bastante aproximados para a montagem do modelo. 
 Ensaio a vazio (ou de circuito aberto): um enrolamento do transformador é 
deixado em circuito aberto e o outro é conectado à tensão nominal plena de linha. 
Nesse caso, conforme podemos observar no modelo, toda a corrente de entrada 
irá circular no ramo de excitação do transformador. Como os valores de RP e XP 
são pequenos demais se comparados a RC e XM, devemos acreditar que 
essencialmente toda a tensão de entrada está aplicada ao ramo de excitação. A 
figura 1 mostra a colocação de amperímetro e voltímetro no lado primário, além 
de um wattímetro que também deverá ser utilizado. Com isso, podemos saber o 
fator de potência e as magnitudes (módulo e ângulo) da impedância de excitação. 
Normalmente alimentamos o lado de baixa tensão por questão de facilidade para 
as medidas. 
Figura 1: Ensaio a vazio do transformador 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 Se consideramos que estamos utilizando o modelo mostrado na figura 2, 
podemos notar que a resistência RC que representa as perdas no núcleo está em 
paralelo com a reatância XM utilizada para a representação das perdas por 
magnetização. 
Figura 2: Modelo do transformador 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 A forma mais fácil de determinação dos valores de RC e XC é utilizarmos a 
admitância do ramo de magnetização, uma vez que como estão em paralelo, será 
a soma da condutância GC associada a RC e da susceptância BM do indutor de 
magnetização XM: 
 
𝐺𝐶 = 
1
𝑅𝐶
 (eq.1) 
 
𝐵𝑀 = 
1
𝑋𝑀
 (eq.2) 
 
𝑌𝐸 = 𝐺𝐶 − 𝑗. 𝐵𝑀 (eq.3) 
 
𝑌𝐸 = 
1
𝑅𝐶
− 𝑗.
1
𝑋𝑀
 (eq.4) 
 
 Se chamarmos a corrente e a tensão medidas pelo amperímetro e o 
voltímetro instalados de corrente a vazio IVZ e tensão a vazio VVZ respectivamente, 
teremos: 
 
|𝑌𝐸| =
𝐼𝑉𝑍
𝑉𝑉𝑍
 (eq.5) 
 
 Como o wattímetro informará a potência ativa do circuito de magnetização (PVZ), 
podemos calcular o fator de potência fazendo sua relação com a potência aparente. Desta 
forma: 
 
𝐹𝑃 = cos 𝜃 = 
𝑃𝑉𝑍
𝑉𝑉𝑍.𝐼𝑉𝑍
 (eq.6) 
 
𝜃 = acos
𝑃𝑉𝑍
𝑉𝑉𝑍.𝐼𝑉𝑍
 (eq.7) 
 
 Como o fator de potência sempre estará atrasado em um transformador real, o 
ângulo  sempre irá representar o ângulo de atraso da corrente em relação à tensão e 
portanto, a admitância YE será: 
 
𝑌𝐸 =
𝐼𝑉𝑍
𝑉𝑉𝑍
 ∠ − acos 𝐹𝑃 = 
𝐼𝑉𝑍
𝑉𝑉𝑍
 ∠ − 𝜃 (eq.8) 
 
 Comparando as equações 4 e 8 podemos determinar os valores de RC e XM 
referidos ao lado de baixa tensão diretamente dos dados de ensaio a vazio. 
 
 Ensaio de curto-circuito: neste ensaio alimentamos o transformador pelo 
lado da tensão mais alta com uma fonte de tensão variável e curto-circuitamos o 
lado de baixa do transformador, como mostrado na figura 3: 
Figura 3: Ensaio de curto-circuito em um transformadorFonte: Chapman, 2013 
 Alimentamos o transformador pelo lado de alta porque as correntes são 
menores e com isso mais fáceis de serem manipuladas e curto-circuitamos o lado 
de baixa. Iremos aumentar gradativamente a tensão no lado de alta com o lado de 
baixa em curto até que a sua corrente atinja o valor nominal. A tensão, corrente e 
potência do lado da alimentação deverão ser medidas. 
 Durante esse teste, a tensão de entrada será tão baixa que a corrente de 
excitação poderá ser ignorada e consideraremos toda a queda de tensão será 
atribuída aos componentes em série do circuito. O módulo das impedâncias em 
série referidas ao lado primário do transformador é: 
|𝑍𝑆𝐸| =
𝑉𝐶𝐶
𝐼𝐶𝐶
 (eq. 9) 
 O fator de potência será: 
 (eq. 10) 
 E como a corrente estará atrasada em relação a tensão, seu ângulo será 
negativo e o ângulo da impedância será positivo (carga indutiva). Dessa forma 
teremos as seguintes expressões: 
(eq. 11) 
 A impedância em série ZSE será igual a : 
(eq. 12) 
Com isso vimos que é possível determinar a impedância total em série referida ao 
lado de alta tensão, mas não há uma maneira fácil de dividir a impedância em suas 
componentes primária e secundária. Felizmente, para a maioria dos casos não há 
a necessidade dessa separação. Devemos nos lembrar que os valores obtidos de 
RC e XM obtidos pelo ensaio a vazio, são normalmente obtidos e referidos pelo 
lado de baixa tensão, enquanto os valores Req e Xeq são referidos ao lado de alta. 
Todos os valores devem ser referidos ao mesmo lado para que possamos usar o 
modelo adequadamente e obter um resultado final. 
 
Exemplo: As impedâncias do circuito equivalente de um transformador de 
20kVA, 8000/240V e 60Hz devem ser determinadas. O ensaio a vazio foi 
efetuado no lado secundário do transformador (para reduzir a tensão máxima a ser 
medida) e o ensaio a curto circuito foi realizado do lado primário do transformador 
(para reduzir a corrente máxima a ser medida). Os seguintes dados foram obtidos: 
 
Ensaio a vazio 
(no secundário) 
Ensaio de curto-circuito 
(no primário) 
VVZ=240 V VCC= 489 V 
IVZ= 7,133 A ICC= 2,5 A 
PVZ= 400 W PCC=240 W 
 
 
Encontre as impedâncias do circuito equivalente aproximado, referido ao lado do 
primário, e faça um desenho esquemático do circuito. 
Solução 
 
𝐹𝑃 = 
𝑃𝑉𝑍
𝑉𝑉𝑍 . 𝐼𝑉𝑍
= 
400 𝑊
(240 𝑉). (7,133 𝐴)
= 0,234 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜 
 
𝜃 = acos(0,234) = 76,467𝑜 
 
𝑎 =
8000
240
= 33,333 
A admitância de excitação é dada por: 
 
E portanto, os valores do ramo de excitação referidos ao lado de BT (secundário) 
são: 
 
𝑅𝑐 =
1
0,00693
= 144 Ω 
 
𝑋𝑀 =
1
0,02888
= 34,63 Ω 
 
Uma outra forma de calcularmos esses parâmetros será: 
 
Se chamarmos de IRC a corrente que passa pelo resistor RC, e está em fase com 
VVZ, temos: 
 
𝐼𝑅𝐶 = 𝐼𝑉𝑍 . cos(𝜃) = 7,133 × 0,234 = 1,669 𝐴 
 
E o resistor RC, será: 
𝑅𝑐 = 
𝑉𝑉𝑍
𝐼𝑅𝐶
= 
240
1,669
= 143,8 = 144 Ω 
 
Já a parcela da corrente que está atrasada 90o da tensão VVZ, que passa por XM, 
será dada por: 
 
𝐼𝑋𝑀 = 𝐼𝑉𝑍 . sin(−𝜃) = 7,133 × sin(−76,257
𝑜) = −6,929 𝐴 
 
E a reatância de magnetização XM, será dada por: 
 
𝑋𝑀 = 
𝑉𝑉𝑍
𝐼𝑋𝑀
= 
240
6,929
= 34,63 Ω = j34.63 Ω 
 
O fator de potência durante o ensaio de curto-circuito é: 
𝐹𝑃 = 
𝑃𝐶𝐶
𝑉𝐶𝐶 . 𝐼𝐶𝐶
= 
240 𝑊
(489 𝑉). (2,5 𝐴)
= 0,196 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜 
 
𝐹𝑃 = cos 𝜃 = 0,196 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜 
 
Impedância em série é dada por: 
𝑍𝑆𝐸 = 
𝑉𝐶𝐶
𝐼𝐶𝐶
 ∠ arccos 𝐹𝑃 
 
𝑍𝑆𝐸 = 
489 𝑉
2,5 𝐴
 ∠ arccos 0,196 
 
𝑍𝑆𝐸 = 195,6 ∠78,7
𝑜Ω = 38,4 + 𝑗192 Ω 
 
Portanto, a resistência e reatância equivalente, referidas ao lado de alta tensão 
(primário) são: Req=38,4 e Xeq=192. 
Para concluirmos o circuito equivalente do modelo referido ao lado de AT 
(primário) deveremos converter os valores encontrados do ramo de excitação no 
lado de BT para o lado de AT. Assim: 
 
𝑅𝐶.𝑃 = 𝑎
2. 𝑅𝐶.𝑆 = (33,333)
2. (144Ω) = 159𝑘Ω 
 
𝑋𝑀.𝑃 = 𝑎
2. 𝑋𝑀.𝑆 = (33,333)
2. (34,63Ω) = 38,4𝑘Ω 
 
Com isso podemos montar o circuito equivalente como o da figura 4, a seguir: 
Figura 4: Circuito equivalente do transformador 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 
 
Sistema de medições por unidade 
 
O exemplo mostrado que é relativamente simples, demonstra o quanto a solução 
de circuitos que contem transformadores pode ser tediosa devido a necessidade 
da referenciar a um nível comum todos os níveis de tensão que estão presentes 
nos diferentes lados dos transformadores do sistema. Somente após esse passo, as 
tensões e correntes do sistema podem ser resolvidas. 
Uma outra abordagem, que elimina a necessidade das conversões explicitas dos 
níveis de tensão de cada transformador, é conhecida como sistema por unidade 
ou simplesmente pu. Isso com certeza irá simplificar os cálculos e evitar erros 
comuns quando fazemos muitas conversões. 
 No sistema por unidade, as tensões, correntes, potências, impedâncias e 
demais grandezas elétricas não são medidas por suas unidades usuais do SI. Em 
vez disso, cada grandeza elétrica é medida como uma fração decimal de algum 
nível que serve de base. Dessa forma qualquer grandeza pode ser expressa como: 
 
𝐺𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎
 (eq.13) 
 
Onde o “valor real” e o “valor base da grandeza” são dados em volts, amperes, 
ohms, etc. 
 
É costume escolhermos duas grandezas como base, e usualmente usaremos a 
tensão e a potência (ou potência aparente). Uma vez escolhidas as grandezas de 
base, todos os demais valores de base são relacionados pelas leis que regem as 
grandezas elétricas usuais. Em um sistema monofásico, essas relações são: 
 
Pbase, Qbase ou Sbase= Vbase.Ibase (eq.14) 
 
Rbase, Xbase ou Zbase= Vbase / Ibase (eq.15) 
 
Ybase = Ibase / Vbase (eq.16) 
 
𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 =
(𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒)
2
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒
 (eq.17) 
 
Após escolhermos os valores de base de S (ou P) e V, todos os demais valores de 
base poderão ser computados facilmente a partir das equações 14, 15, 16 e 17. 
Cabe ressaltar que num sistema de potência, uma tensão e uma potência são 
escolhidas em um ponto específico do sistema e um transformador não tem 
influência sobre a potência aparente de base do sistema (potência de entrada é 
igual a potência de saída). Por outro lado, os níveis de tensão mudam dependendo 
do lado sendo influenciados pela relação de espiras, mas como as grandezas pu 
mudam ao passarem por um transformador, o processo de referir a uma tensão 
comum é automaticamente levado em consideração durante a conversão por 
unidade. 
Como exemplo vamos resolver o sistema de potência mostrado na figura 5, 
escolhendo como base 480V e 10kVA no gerador. 
Figura 5: Sistema de potência do exemplo de pu 
 
Fonte: Chapman, 2013 
(a) Encontre a tensão, corrente, impedância e a potência aparente, todos de 
base, em cada ponto do sistema de potência. 
(b) Converta esse sistema para seu circuito equivalente por unidade. 
(c) Encontre a potência fornecida à carga nesse sistema. 
(d) Encontre a potência perdida na linha de transmissão. 
 
Solução 
 
Na região do gerador, Vbase= 480V e Sbase= 10kVA, e assim: 
 
𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 1 =
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 1
=
10000 𝑉𝐴
480 𝑉
= 20,83 𝐴 
 
𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 1 =
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 1
𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 1
=
480 𝑉
20,83 𝐴
= 23,04 Ω 
 
A relação de espiras do trafo T1 é a=1/10=0,1, de modo que a tensão de base na 
região da LT (região 2) é: 
 
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 2 =
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 1
𝑎
=
480 𝑉
0,1
= 4800 𝑉 
E as demais grandezas são: 
 
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 2 = 10 𝐾𝑉𝐴 
 
𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 2 =
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 2
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 2
=
10000 𝑉𝐴
4800 𝑉
= 2,083 𝐴 
 
𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 2 =
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 2
𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 2
=
4800 𝑉
2,083 𝐴
= 2304 Ω 
 
A relação de espiras do Trafo T2 é a= 20/1 = 20, de modo que a tensão base para 
a região 3 (região da carga) será: 
 
 
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 3 =
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 2
𝑎
=
4800𝑉
20
= 240 𝑉 
E as demais grandezas são: 
 
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 3 = 10 𝐾𝑉𝐴 
 
𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 3 =
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 3
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 3
=
10000 𝑉𝐴
240 𝑉
= 41,67 𝐴 
 
𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 3 =
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 3
𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 3
=
240 𝑉
41,67 𝐴
= 5,76 Ω 
 
(b) Agora vamos converter o sistema em um sistema pu. Para isso, cada 
componente deve ser dividido por seu valor de base na sua região no sistema. 
Dessa forma, iniciando pela região do gerador: 
 
𝑉𝐺,𝑝𝑢 = 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜
= 
480 ∠0𝑜𝑉
480 𝑉
= 1,0 ∠0𝑜 𝑝𝑢 
 
A impedância da linha de transmissão será: 
 
𝑍𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎,𝑝𝑢 = 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜
= 
20 + 𝑗 60 Ω
2304 Ω
= 0,0087 + 𝑗0,0260 𝑝𝑢 
 
A impedância por unidade da carga também deverá ter seu valor real dividido pelo 
valor de base na região, logo: 
 
𝑍𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎,𝑝𝑢 = 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜
= 
10∠30𝑜 Ω
5,76 Ω
= 1,736∠30𝑜 𝑝𝑢 
 
 
O circuito em pu será: 
 
 
 
(c) A corrente que flui nesse sistema de potência, em pu será: 
 
 
(d) A potência perdida em pu na Linha de Transmissão é: 
 
Segundo Chapman, quando apenas um dispositivo (transformador ou motor) está 
sendo analisado, usualmente os próprios valores de suas especificações nominais 
são usados como base do sistema pu. Se um sistema pu baseado nos próprios 
valores nominais for usado, as características de um transformador de potência ou 
de distribuição não irão variar muito dentro de um largo intervalo de valores 
nominais de tensão e potência. Dessa forma, a resistência em série de um 
transformador, quando expressa em pu usualmente está em torno de 0,01 pu e a 
reatância em série entre 0,02 e 0,10 pu. Geralmente quanto maior o transformador, 
menores serão as impedâncias em série. A reatância de magnetização usualmente 
está entre 10 e 40 pu ao passo que a resistência por perdas no núcleo está entre 50 
e 200 pu. 
 A mesma ideia aplica-se também a máquinas síncronas e máquinas de 
indução: suas impedâncias por unidade caem dentro de intervalos relativamente 
pequenos para uma variedade bem grande de tamanhos. 
Se mais que uma máquina e um transformador forem incluídos em um sistema de 
potência simples, a tensão e a potência de base do sistema poderão ser escolhidas 
arbitrariamente, mas o sistema inteiro deverá ter a mesma base. Um procedimento 
comum é igualar as grandezas escolhidas para a base do sistema às da base do 
maior componente do sistema. Como passo intermediário, os valores por unidade 
que foram dados para uma outra base podem ser transformados para uma nova 
base, seja fazendo a conversão para os valores reais em volts, amperes etc. ou 
alternativamente fazendo uma conversão direta utilizando as equações a seguir: 
 
(eq.18) 
(eq.19) 
 
(eq.20) 
 
Exercícios de fixação 
 
Problema 2.6 item a 
 
 
Problema 2.7 
 
Problema 2.8 a 
 
 
Problema 2.9 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
CHAPMAN, Stephen, J. Fundamentos de Máquinas Elétricas, 5 ed., Bookman 
McGraw Hill, Porto Alegre, 2013 
 
 
 
 
PRÓ-REITORIA ACADÊMICA 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA I 
 
Prof. José Nilton Cantarino Gil 
 
ASSUNTO: Transformadores – Parte 4 
 
Regulação de tensão e eficiência de um transformador 
 
 Como um transformador real possui impedância em série no seu 
interior, sua tensão de saída irá variar com a carga, mesmo a tensão de 
entrada permanecendo constante. Para comparar convenientemente 
transformadores é comum definir uma grandeza intitulada regulação de 
tensão (RT). A regulação de tensão a plena carga é uma grandeza que 
compara a tensão de saída de um transformador em vazio com sua tensão de 
saída a plena carga, sendo definida pela expressão: 
 
𝑅𝑇 =
𝑉𝑆,𝑉𝑍−𝑉𝑆,𝑃𝐶
𝑉𝑆,𝑃𝐶
 𝑥 100% (eq.1) 
Como a vazio a tensão de saída é VS=VP/a, podemos substituir e escrever: 
 
𝑅𝑇 =
𝑉𝑃
𝑎
 −𝑉𝑆,𝑃𝐶
𝑉𝑆,𝑃𝐶
 𝑥 100% (eq.2) 
 
Se o circuito equivalente do transformador estiver no sistema por unidade, 
pu, a regulação de tensão será: 
 
𝑅𝑇 =
𝑉𝑝.𝑝𝑢 −𝑉𝑆,𝑃𝐶.𝑝𝑢
𝑉𝑆,𝑃𝐶.𝑝𝑢
 𝑥 100% (eq.3) 
 
O ideal é que tivéssemos uma regulação de tensão tão baixa quanto 
pudermos, logo, em um transformador ideal, RT=0%. Mas nem sempre é 
uma boa ideia, porque algumas vezes transformadores com alta impedância 
e baixa regulação de tensão são utilizados deliberadamente para reduzir 
correntes de falta em um circuito. Entende-se por falta, um contato acidental 
entre partes energizadas com potenciais diferentes entre si ou entre uma parte 
energizada e terra ou massa. Uma corrente de curto-circuito acidental, como 
coloca o tradutor, é um caso particular de corrente de falta. 
 
Diagrama fasorial de um transformador 
 
Considere o circuito equivalente simplificado de um transformador na figura 
1, a seguir: Os efeitos do ramo de excitação podem ser ignorados, de modo 
que somente a impedância em série está sendo levada em conta: 
Figura 1: Circuito equivalente de um transformador 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 A regulação de tensão do transformador depende tanto do valor das 
impedâncias em série, tanto quanto do ângulo de defasagem da corrente que 
flui pelo trafo. A maneira mais fácil de determinar o efeito das impedâncias 
e os Ângulos de fase da corrente sobre a regulação de tensão do 
transformador é examinar um diagrama fasorial. Nos diagramas fasoriais 
seguintes vamos assumir que a tensão Vs está no ângulo 0
o, sendo uma 
referência para as demais. 
Aplicando-se a LKT ao circuito equivalente da figura 1, temos: 
𝐕𝑃
𝑎
= 𝐕𝑠 + 𝑅𝑒𝑞 . 𝐈𝑆 + 𝑗𝑋𝑒𝑞𝐈𝑆 (eq.4) 
A figura 2 mostra o diagrama fasorial de um transformador com fator de 
potência atrasado. 
Figura 2: Diagrama fasorial de um transformador com fator de potência atrasado 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 A figura mostra a queda de tensão no resistor equivalente com ângulo 
igual ao da corrente, a queda de tensão na reatância equivalente à 90º da 
queda no resistor e a tensão no primário, referida ao secundário maior que a 
tensão do secundário. Caso a corrente estivesse adiantada da tensão, isto é, 
com fator de potência adiantado, teríamos uma tensão no primário menor 
referida ao secundário menor que a tensão VS, como pode ser observado na 
figura 3(b). 
Figura 3: Diagrama fasorial de um transformador com fator de potência unitário e adiantado 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 
Já a figura 3(a) mostra o diagrama fasorial de um transformador trabalhando 
com fator de potência unitário. 
De acordo com a equação 3, pode-se observar a regulação de tensão ser 
afetada pelo fator de potência da carga acoplada ao transformador, podendo 
até mesmo ter um valor de RT<0 caso estejamos trabalhando com fator de 
potência adiantado. 
 
Eficiência de um transformador 
A forma geral da eficiência de um dispositivo é dada pela fórmula: 
𝜂 =
𝑃𝑠𝑎𝑖𝑑𝑎
𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
. 100% (eq.5) 
Podemos também tratar a eficiência da seguinte forma: 
𝜂 =
𝑃𝑠𝑎𝑖𝑑𝑎
𝑃𝑠𝑎𝑖𝑑𝑎+𝑃𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠
. 100% (eq.6) 
Os circuitos equivalentes facilitam os cálculos de eficiência. Nos 
transformadores e motores existem é comum o uso da equação 6. Nos 
transformadores existem três tipos de perdas que são: 
1. Perdas no cobre (R.I2). Representadas pela resistência em série do 
circuito equivalente; 
2. Perdas por histerese. Que foram explicadas anteriormente e estão 
inclusas no resistor RC; 
3. Perdas por corrente parasita. Também explicadas anteriormente e 
também incluídas no resistor RC. 
 
Para o cálculo da eficiência de um transformador, que está operando com 
uma dada carga, simplesmente iremos somar as perdas em cada resistor e 
aplicar a equação 8. 
A potência de saída é calculada pela equação 7, a seguir: 
 
𝑃𝑠𝑎𝑖𝑑𝑎 = 𝑉𝑆. 𝐼𝑆.cos (𝜃𝑠) (eq.7) 
 
E a eficiência do transformador poderá ser escrita da forma a seguir: 
𝜂 =
𝑉𝑆.𝐼𝑆.cos(𝜃𝑠)
𝑃𝑐𝑢+𝑃𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜+𝑉𝑆.𝐼𝑆.cos (𝜃𝑠)
. 100% (eq.8) 
 
Exemplo: Um transformador de 15 kVA e 2300/230V deve ser testado para 
determinar os componentes do ramo de excitação, as impedâncias em série 
e sua regulação de tensão. Os seguintes dados foram obtidos durante os 
ensaios do transformador: 
 
Ensaio a vazio (lado de baixa tensão) 
VVZ = 230 V (medida pelo voltímetro, tensão nominal) 
IVZ = 2,1 A (medida pelo amperímetro) 
PVZ= 50 W (medida pelo amperímetro) 
 
Ensaio em Curto Circuito (lado de alta tensão) 
VCC = 47 V (tensão medida no voltímetro) 
ICC = 6,0 A (corrente no amperímetro, próxima à corrente nominal) 
PCC = 160 W (potência medida pelo wattímetro) 
 
Esses dados foram obtidos a partir dos circuitos a seguir: 
 
a) Ensaio a vazio (fonte: Chapman, 2013) 
 
 
b) Ensaio em curto-circuito (fonte: Chapman, 2013) 
 
(a) Encontre o circuito do transformador referido ao lado de alta tensão. 
(b) Encontre o circuito equivalente desse transformador referido ao lado 
de baixa tensão. 
(c) Calcule a regulação de tensão a plena carga para o fator de potência 
0,8 atrasado, 1,0 e 0,8 adiantado. Use a equação exata para VP. 
(d) Faça o gráfico de regulação de tensão a medida que a carga é 
aumentada desde a vazio até plena carga, para o fator de potência 0,8 
atrasado, 1.0 e 0,8 adiantado. 
(e) Calcule a eficiência do Trafo a plena carga para FP=0,8 atrasado. 
 
 
 
Solução 
(a) A relação de transformação é: 𝑎 =
𝑉𝑝
𝑉𝑠
=
2300
230
= 10 
 
Os valores do ramo de excitação referidos ao lado secundário (lado de 
baixa tensão) devem ser calculados a partir do ensaio a vazio: 
 
𝜃𝑉𝑍 = 𝑐𝑜𝑠
−1 (
𝑃𝑉𝑍
𝑉𝑉𝑍 . 𝐼𝑉𝑍
) = 𝑐𝑜𝑠−1
50 𝑊
(230 𝑉). (2.1 𝐴)
= 84𝑜 
 
Dessa forma, a admitância da excitação é: 
 
 
Os elementos do ramo de excitação referidos ao secundário serão: 
 
 
 
Olhando os resultados do ensaio em curto-circuito agora, podemos 
calcular o ângulo da impedância em curto-circuito: 
 
𝜃𝐶𝐶 = 𝑐𝑜𝑠
−1 (
𝑃𝐶𝐶
𝑉𝐶𝐶 . 𝐼𝐶𝐶
) = 𝑐𝑜𝑠−1
160 𝑊
(47 𝑉). (6 𝐴)
= 55,4𝑜 
 
A impedância em série equivalente será: 
 
 
Logo, os elementos em série referidos ao primário são: 
 
𝑅𝑒𝑞.𝑃 = 4,45  
𝑋𝑒𝑞.𝑃 = 6,45  
 
Para obtermos o circuito equivalente ao lado de alta tensão (lado 
primário) teremos que converter os valores de excitação para o lado 
primário, logo: 
 
 
O circuito equivalente é mostrado a seguir: 
Circuito equivalente referido ao lado primário 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 
(b) Para obter o circuito equivalente referido ao lado secundário (lado de 
baixa) deveremos converter a impedância, dividindo por a2, logo, os 
seguintes valores deverão ser utilizados: 
 
𝑅𝑒𝑞.𝑆 =
𝑅𝑒𝑞.𝑃
𝑎2
=
4,45
102
= 0,0445  
𝑋𝑒𝑞.𝑆 =
𝑋𝑒𝑞.𝑃
𝑎2
=
6,45
102
= 0,0645  
Circuito equivalente referido ao lado secundário 
 
Fonte: Chapman, 2013 
(c) A corrente a plena carga no secundário do transformador é: 
𝐼𝑠,𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 =
𝑆𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑉𝑠,𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
= 
15000 𝑉𝐴
230 𝑉
= 65,2 𝐴 
E para calcularmos VP/a, vamos usar a equação: 
𝐕𝐏
𝑎
= 𝐕𝐒 + 𝑅𝑒𝑞𝐈𝐬 + 𝑗𝑋𝑒𝑞𝐈𝐬 
Com FP = 0,8 atrasado, o ângulo de IS=-36,9º, logo: 
 
A regulação de tensão resultante será: 
 
 
Com FP = 1, o ângulo de IS=0º, logo: 
 
A regulação de tensão resultante será: 
 
Com FP = 0,8 adiantado, o ângulo de IS=36,9º, logo: 
 
 
A regulação de tensão será agora: 
 
Os diagramas fasoriais para cada uma das situações é mostrado a seguir: 
 
Fonte: Chapman, 2013 
A figura (a) mostra o diagrama fasorial quando o FP da carga é 0,8 
atrasado, a (b) quando FP=1,0 e a (c) com FP=0,8 adiantado. 
 
(d) A melhor maneira de plotar a regulação de tensão em função da carga 
é repetir os cálculos da parte (c) para muitas cargas diferentes 
utilizando um recurso computacional. No caso mostraremos a solução 
utilizando MatLab, como é mostrado por Chapman(2013) e também 
utilizando um programa em C capaz de gerar um arquivo texto que 
poderá ser importado pelo Microsoft Excel e gerado um gráfico de 
linha: 
Inicialmente, vamos à solução pelo MatLab: 
 
% M-file: trans_vr.m 
% M-file para calcular e plotar a regulação de tensão 
% de um transformador em função da carga para fatores de 
% potência de 0,8 atrasado, 1,0 e 0,8 adiantado. 
VS = 230; % Tensão secundária(V) 
amps = 0:6.52:65.2; % Valores de corrente(A) 
Req = 0.0445; % R equivalente (ohms) 
Xeq = 0.0645; % X equivalente (ohms) 
 
% Cálculo dos valores de corrente para os três 
% fatores de potência. A primeira linha de I contém 
% as correntes atrasadas, a segunda linha contém 
% as correntes unitárias e a terceira linha contém 
% as correntes adiantadas. 
I(1,:) = amps.* (0.8 - j*0.6); % Atrasadas 
I(2,:) = amps.* (1.0 ); % Unitárias 
I(3,:) = amps.* (0.8 +j*0.6); % Adiantadas 
 
% Cálculo de VP/a. 
VPa = VS + Req.*I + j.*Xeq.*I; 
 
% Cálculo da regulação de tensão (VR) 
VR = (abs(VPa) - VS)./ VS.* 100; 
 
% Plotagem da regulação de tensão 
plot(amps,VR(1,:),'b-'); hold on; 
plot(amps,VR(2,:),'k-'); 
plot(amps,VR(3,:),'r-.'); 
title ('Regulação de Tensão Versus Carga'); 
xlabel ('Carga(A)'); 
ylabel ('Regulação de Tensão (%)'); 
legend('FP 0,8 atrasado','FP 1,0','FP 0,8 adiantado'); 
hold off; 
 
A execução do script intitulado trans_vr.m resultou na geração do gráfico que 
pode ser observado na figura a seguir: 
 
 
A solução em linguagem C, é mostrada a seguir, e gera um arquivo texto de nome 
trans_vr.txt que será importado pelo Excel para a plotagem do gráfico: 
 
//Programa Trans_vr.cpp 
//Autor: José Nilton Cantarino Gil 
//Data: 03-09-2020 
//Função: Geraçao de arquivo texto com o resultado da regulação 
//de tensão de um transformador alimentando uma carga com 
//FP=08 atrasado, FP=1 e FP=0,8 adiantado 
//Faz parte da solução do item c do exemplo 2.6 do livro 
//Fundamentos de máquinas elétricas, Chapman, 2013 
 
#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#include <math.h> 
int main() 
{ 
 float VS=230.0; // Tensão de secundário 
 float amps; // Valor da corrente em Amperes variando de 0 a 65.2 (nominal) 
 float Req=0.0445; // R equivalente em ohms 
 float Xeq=0.0645; // X equivalente em ohms 
 float Vpa, Vpa2,Vpa3; // Valor da tensão do primário 
 float IR, IJ; // Corrente de secundário parte real IR e parte imaginaria IJ 
 float RT1, RT2, RT3; // Regulação de tensão para cada fator de potência 
 
 //geraçao de um arquivo texto com os resultados 
 FILE *arq; 
 char Str[100]; //conjunto de até 100 caracteres para cada linha do arquivo texto 
 arq= fopen("Trans_Vr.txt","wt");//cria o arquivo prob410.txt para gravar os resultados 
 int result=0; //para controlar erro de gravação no arquivo 
 if (arq==NULL) 
 { 
 printf("Problemas na criação do arquivo\n"); 
 system("pause"); 
 return (0); 
 } 
 //Inicio do processamento dos dados 
 for (amps=0.0;amps<=65.6;amps+=0.2) 
 { 
 //Calculando para FP=0.8 atrasado 
 //decompondo a corrente 
 IR = amps * 0.8; 
 IJ = amps * 0.6; 
 Vpa = sqrt(pow((VS + Req*IR + Xeq * IJ),2)+pow((Req*IJ+Xeq*IR),2));// Calcula modulo de Vpa 
 RT1 = ((Vpa-VS)/VS)*100; 
 //Calculando para FP=1.0 
 //decompondo a corrente 
 IR = amps * 1.0; 
 IJ = amps * 0.0; 
 Vpa = sqrt(pow((VS + Req*IR + Xeq * IJ),2)+pow((Req*IJ+Xeq*IR),2));// Calcula modulo de Vpa 
 RT2 = ((Vpa-VS)/VS)*100; 
 //Calculando para FP=0.8 adiantado 
 //decompondo a corrente 
 IR = amps * 0.8; 
 IJ = amps * 0.6; 
 Vpa = sqrt(pow((VS + Req*IR - Xeq * IJ),2)+pow((Req*IJ+Xeq*IR),2));// Calcula modulo de Vpa 
 RT3 = ((Vpa-VS)/VS)*100; 
 printf("%7.2f %7.2f %7.2f %7.2f\n",amps,RT1,RT2,RT3); 
 //montando a linha e gravando no arquivo 
 result=fprintf(arq,"%7.2f %7.2f %7.2f %7.2f\n",amps,RT1,RT2,RT3); 
 if (result == EOF) printf("Erro na gravacao do arquivo\n"); 
 } 
 
 fclose(arq);//fecha o arquivo 
 system("pause"); 
} 
 
E o gráfico gerado pelo Excel a partir do arquivo Trans_vr.txt gerado 
pelo programa em C, será mostrado aseguir: 
 
 
 
(e) Para encontrar a eficiência do transformador, primeiro calcule suas 
perdas. As perdas no cobre são: 
 
As perdas no núcleo são: 
 
A potência de saída para FP=0.8 é: 
 
Agora podemos calcular a eficiência: 
 
Exercícios de Fixação: 
Problema 2.10 
 
Problema 2.11 
 
Problema 2.12 
 
Problema 2.13 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
CHAPMAN, Stephen, J. Fundamentos de Máquinas Elétricas, 5 ed., 
Bookman McGraw Hill, Porto Alegre, 2013 
 
 
 
PRÓ-REITORIA ACADÊMICA 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA I 
 
Prof. José Nilton Cantarino Gil 
 
ASSUNTO: Transformadores – Parte 5 
(Autotransformadores e Transformadores Trifásicos) 
 
Derivações e Regulação de Tensão 
 
Até agora tratamos a relação do número de espiras de um transformador 
como algo constante, mas na prática isso não é totalmente verdadeiro uma 
vez que transformadores de distribuição, por exemplo, apresentam uma série 
de derivações ou tomadas (taps) que permitem fazer pequenos ajustes na 
relação de espiras para adequação do ajuste da tensão nominal. 
Uma instalação típica pode ter 4 derivações além da tensão nominal, com 
intervalos de 2,5% proporcionando ajustes de 5% para mais ou para menos, 
como no exemplo abaixo: 
 
Exemplo: Um transformador de distribuição de 500 kVA e 13200/480 V tem 
quatro derivações de 2,5% em seu enrolamento primário. Quais são as razões 
de tensão desse transformador para cada ajuste de derivação? 
Solução 
As cinco possíveis tensões nominais desse transformador são: 
a) Derivação +5% 13860/480 V a=28,875 
b) Derivação +2,5% 13530/480 V a=28,1875 
c) Valor nominal 13200/480 V a=27,5 
d) Derivação -2,5% 12870/480 V a=26,8125 
e) Derivação -5% 12540/480 V a=26,2083 
 
Transformadores desse tipo permitem que seja feito um ajuste local para 
acomodar mudanças de tensão que possam vir a ocorrer na região onde está 
instalado. Normalmente, entretanto, se o trafo estiver energizado, essas 
derivações não poderão ser alteradas. Quando necessitamos utilizar um 
transformador que possua essa facilidade, que seria um trafo especial 
denominado transformador com mudança de derivação sob carga (TCUL) 
ou regulador de tensão. Um regulador de tensão é um transformador TCUL, 
segundo Chapman(2013), com circuitos internos de sensoriamento de 
tensão, que automaticamente, trocam de derivação para manter a tensão do 
sistema constante. 
 
O autotransformador 
 
Em certas situações é desejável fazer pequenas alterações nos níveis de 
tensão e nessas circunstâncias seria um desperdício enrolar um 
transformador com dois enrolamentos completos, cada um especificado para 
aproximadamente a mesma tensão. Nesses casos utiliza-se um transformador 
denominado autotransformador. 
 A figura 1 mostra o diagrama de um autotransformador elevador. Na 
figura 1(a) as duas bobinas do transformador são mostradas na forma 
convencional enquanto na figura 2(b) mostra o primeiro enrolamento 
conectado de forma aditiva ao segundo. 
Figura 1: Diagrama de um autotransformador 
 
Fonte: Chapman, 2013 
A relação de tensões é dada pela relação entre o número total de espiras do 
lado primário (NC) pelo número total do lado do secundário (NC+NSE). O 
primeiro enrolamento, nesse caso, do lado primário é denominado núcleo 
comum (NC) enquanto o enrolamento NSE é denominado enrolamento em 
série, porque está conectado em série com o enrolamento comum. 
 Como as bobinas do trafo estão fisicamente conectadas, a terminologia 
utilizada nos autotransformadores é diferente da usada para outros tipos de 
transformadores. A tensão no enrolamento comum é denominada de tensão 
comum VC e a corrente nessa bobina é denominada corrente comum IC. Na 
bobina em série temos a tensão em série VSE e a corrente em série ISE. 
 Um auto transformador pode funcionar como um elevador ou 
abaixador de tensão dependendo do lado onde é alimentado. As tensões e 
correntes das bobinas se relacionam pelas equações: 
 
𝐕𝑐
𝐕𝑆𝐸
=
𝑁𝐶
𝑁𝑆𝐸
 (eq.1) 
 
𝑁𝐶 . 𝐈𝐶 = 𝑁𝑆𝐸 . 𝐈𝑆𝐸 (eq.2) 
 
Olhando a figura 1(b) como base, as relações de tensões nas bobinas e as 
tensões nos terminais são dadas pelas equações: 
 
𝐕𝐵 = 𝐕𝐶 (eq.3) 
 
𝐕𝐴 = 𝐕𝐶 + 𝐕𝑆𝐸 (eq.4) 
 
E as relações entre as correntes nas bobinas e as correntes nos terminais são 
dadas pelas equações: 
 
𝐈𝐵 = 𝐈𝐶 + 𝐈𝑆𝐸 (eq.5) 
 
𝐈𝐴 = 𝐈𝑆𝐸 (eq.6) 
 
Relações de tensões e correntes em um autotransformador 
 
A relação entre as tensões no lado de alta VA e o de baixa VB é dada por: 
 
 
 
Já a relação entre as correntes dos dois lados pode ser obtida observando que 
 
𝐈𝐵 = 𝐈𝐶 + 𝐈𝑆𝐸 (eq.7) 
 
E se substituirmos IC pela sua relação na eq.2, podemos escrever que 
 
Observando que IA=ISE, encontramos 
 
 
 
 
A vantagem de potência aparente nominal dos autotransformadores 
 
Chapman (2013) cita que é interessante notar que no autotransformador 
nem toda a potência que se desloca do primário para o secundário passa 
através dos enrolamentos. Como resultado, se as ligações de um 
transformador forem refeitas para que ele se comporte como um auto 
transformador, poderá trabalhar com potências maiores que as especificadas 
inicialmente. 
 A partir da figura 1(b) podemos escrever que a potência aparente de 
entrada do autotransformador é dada por: 
 
𝑆𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑉𝐵 . 𝐼𝐵 
 
E que a potência aparente de saída é dada por: 
 
𝑆𝑠𝑎𝑖𝑑𝑎 = 𝑉𝐴. 𝐼𝐴 
 
Pode-se mostrar facilmente que a potência aparente de entrada é igual à 
potência aparente de saída: 
 
𝑆𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑆𝑆𝐴𝐼𝐷𝐴 = 𝑆𝐸𝑆 
 
Onde SES é definida como a potência aparente de entrada e saída, porém a 
potência aparente nos enrolamentos do transformador é 
 
 
E podemos escrever que: 
 
 
 
Deve-se observar que SES é a potência aparente que entra no primário e sai 
pelo secundário, porém SENR é a potência aparente que realmente passa 
através dos enrolamentos do transformador (o resto passa do primário para o 
secundário sem ser concatenado magneticamente nos enrolamentos do 
transformador), 
Como exemplo podemos pensar em um autotransformador de 5000kVA que 
ligasse um sistema de 110kV a um sistema de 138kV: 
 
𝑁𝐶
𝑁𝑆𝐸
=
110
28
 
 
 
O autotransformador teria uma especificação nominal nos enrolamentos de 
apenas 1015 kVA enquanto um transformador convencional seria de 5000 
kVA para fazer o mesmo trabalho. Por isso é muito vantajoso instalar 
autotransformadores para relações de tensões de valores próximos, pois o 
autotransformador nesse caso seria cerca de 5 vezes menor e de custo muito 
menor também. 
 
Vamos analisar a seguir um exemplo que ilustra a análise dos 
autotransformadores e a vantagem de potência aparente nominal deles. 
Exemplo: Um transformador de 100 VA e 120/12V deve ser conectado que 
opere como um autotransformador elevador. Uma tensão primária de 120 V 
é aplicada no primário do transformador, conforme a figura abaixo: 
 
(a) Qual a tensão secundária do transformador? 
 
(b) Qual é a máxima especificação nominal de VA nesse modo de 
operação? 
 
 
 A potência aparente no secundário do transformador será: 
 
(c) Calcule a vantagem de potência aparente nominal dessa conexão como 
auto transformador sobre a potência aparente nominal do 
transformador quando está operando de forma convencional? 
 
 
 
Por ambas as equações, pode-se observar que a potência nominal é 
aumentada 11 vezes. 
 
É importante salientar que não é possível simplesmente refazer as ligações 
de um transformador para que ele opere como um autotransformador pela 
razão que, normalmente o lado de baixa não possui isolamento 
suficientemente robusto para suportar a tensão total de saída. Nos 
autotransformadores, a isolação da bobina menor (série) é tão robusta quanto 
a da bobina maior (comum). 
 Em sistemas de potência é prática comum o uso de 
autotransformadoressempre que há necessidade de um transformador com 
níveis de tensão muito próximos. Quanto mais próximos maior será a 
vantagem do uso de autotransformadores. 
 A principal desvantagem do uso de autotransformadores é a perda da 
isolação elétrica proporcionada pelos transformadores comuns, pois 
enquanto neles não há uma conexão física entre os dois lados do 
transformador, no autotransformador existe essa ligação física direta. 
Segundo Chapman (2013), se uma aplicação em particular não exigir 
isolação elétrica, então o autotransformador será um modo conveniente e de 
baixo custo para conectar duas tensões aproximadamente iguais. 
 
A impedância interna de um autotransformador 
 
Os autotransformadores têm uma desvantagem adicional em relação aos 
transformadores convencionais que é a sua impedância efetiva por unidade. 
A impedância efetiva de um autotransformador é tantas vezes menor quanto 
um fator igual recíproco da vantagem de potência aparente proporcionada 
pela ligação desse trafo como autotransformador. 
 Em comparação com um transformador convencional de dois 
enrolamentos, a impedância interna menor de um autotransformador pode 
ser um sério problema em algumas aplicações onde há necessidade de uma 
impedância em série para limitar correntes da falta no sistema (curtos-
circuitos). 
 
Exemplo: Um transformador de especificações nominais de 1000KVA, 
12/1,2 kV, 60 Hz, quando está operando como um transformador normal de 
2 enrolamentos tem resistência e reatância em série com valores de 1 e 8% 
p.u. respectivamente. Esse transformador deverá ser usado como um 
autotransformador abaixador de 13,2/12 kV em um sistema de distribuição. 
Na ligação como autotransformador, (a) qual a especificação de potência 
quando é usado dessa maneira e (b) qual a impedância em série do 
transformador um p.u.? 
 
(a) A relação de espiras Nc / NSE=12/1,2 ou 10:1 
 
(b) Na forma convencional a impedância é 
 
Zeq= 0,01 + j0,08 p.u. 
 
 Como auto transformador, como a relação de potência é 11 teremos: 
 
 
 
A prova da afirmação que a impedância efetiva de um autotransformador é 
tantas vezes menor quanto um fator igual recíproco da vantagem de potência 
aparente proporcionada pela ligação desse trafo como autotransformador 
será demonstrada como exercício ao final desse documento (problema 2.16-
Chapman, 2013). 
 
Transformadores trifásicos 
 
Os transformadores para circuitos trifásicos podem ser construídos de 2 
maneiras: ou construímos transformadores monofásicos e os interligamos de 
forma a formar um banco trifásico ou a construção do transformador trifásico 
com 3 conjuntos de enrolamentos, um para cada fase. 
Um transformador trifásico é menor, mais leve e mais barato que 3 
transformadores monofásicos interligados, mas por outro lado, o uso de 3 
transformadores formando um banco tem a vantagem de substituirmos 
apenas um em caso de problema ou até mesmo em manter de reserva no 
estoque um único transformador monofásico para dar suporte às 3 fases. 
Podemos montar um banco de transformadores trifásicos interligados de 4 
formas diferentes, a saber: 
1) Estrela-estrela (Y-Y) 
2) Estrela-triângulo (Y-∆) 
3) Triângulo-estrela (∆-Y) 
4) Triângulo-triângulo (∆-∆) 
 
A chave para analisar qualquer banco de transformadores trifásicos é 
examinar um único transformador do banco. Um transformador qualquer em 
particular do banco comporta-se exatamente como os transformadores 
monofásicos já estudados anteriormente, segundo Chapman (2013). Os 
cálculos de impedância, regulação de tensão, eficiência e outros similares 
são realizados tomando uma fase de cada vez. As vantagens e desvantagens 
de cada tipo de ligação serão discutidas a seguir. 
 
1) Ligação estrela-estrela 
A figura 2 a seguir mostra transformadores ligados em Y-Y. 
Figura 2: Transformador trifásico ligado em Y-Y 
 
Fonte: Chapman, 2013 
A relação entre a tensão de fase em cada enrolamento do trafo e a tensão de 
linha é dada por 𝑉𝜙𝑃 = 𝑉𝐿𝑃/√3. Como a tensão no secundário relaciona-se 
com a tensão no primário pela relação de transformação, podemos afirmar 
que: 
 
𝑉𝐿𝑃
𝑉𝐿𝑆
=
√3.𝑉𝜙𝑃
√3.𝑉𝜙𝑆
= 𝑎 (eq.8) 
 
A ligação Y-Y tem 2 problemas muito sérios: 
 
1) Se as cargas no circuito do transformador estiverem desequilibradas, 
as tensões nas fases podem se tornar gravemente desequilibradas. 
2) As tensões das terceiras harmônicas podem ser elevadas. 
Se um conjunto de tensões trifásicas for aplicado a um transformador em Y-
Y, a tensão em cada fase estará distanciada 120º das tensões das demais 
fases, porém as componentes de 3ª harmônica de todas as fases estarão em 
fase. Isso ocorre porque há 3 ciclos de 3ª harmônica para cada ciclo de 
frequência fundamental e num transformador sempre há componentes de 3ª 
harmônica devido a não linearidade do núcleo, essa componentes somam-se 
entre si e podemos ter como resultado uma componente de 3ª harmônica 
superior até mesmo à tensão fundamental, em 50 ou 60 Hz. 
Os problemas de terceira harmônica podem ser resolvidos com uma das duas 
técnicas seguintes, segundo Chapman (2013): 
1) Aterrar solidamente os neutros dos transformadores, especialmente o 
neutro do primário. Essa conexão permite que as componentes 
aditivas de terceira harmônica causem uma circulação de corrente que 
escoa para o neutro em vez de se somarem produzindo tensões 
elevadas. O neutro também proporciona um caminho de retorno para 
quaisquer desequilíbrios de corrente de carga. 
2) Acrescentar um terceiro enrolamento (terciário) ligado em ∆ ao banco 
de transformadores. Se um terceiro enrolamento ligado em ∆ for 
acrescentado ao transformador, as componentes de 3ª harmônica de 
tensão da ligação ∆ irão se somar, causando um fluxo de corrente que 
circula dentro desse enrolamento e suprime as componentes de 3ª 
harmônica do transformador da mesma forma que ocorre quando se 
faz um aterramento dos neutros do transformador. 
Os enrolamentos terciários não precisariam a priori, ser trazidos paras 
fora das carcaças dos transformadores, porém, frequentemente esses 
enrolamentos são utilizados para alimentar luminárias e fornecer energia 
auxiliar para dentro da subestação onde estão instalados. Os enrolamentos 
terciários devem ser suficientemente grandes para suportam as correntes 
que circulam e normalmente, possuem uma especificação nominal de um 
terço da potência nominal dos enrolamentos de primário ou secundário. 
Ao se utilizar de transformadores Y-Y deve-se usar uma dessas duas 
técnicas apresentadas, mas na prática esse tipo de ligação é pouco 
utilizado, porque o mesmo trabalho pode ser realizado por outros tipos de 
ligação de transformadores trifásicos. 
 
2) Ligação estrela-triângulo 
 
Nessa ligação a tensão de linha do primário relaciona-se com a tensão de 
fase do primário por 𝑉𝐿𝑃 = 𝑉𝜙𝑃 . √3 ao passo que a tensão de linha do 
secundário é igual à tensão de fase do secundário VLS=VS. A razão de 
tensões de fase será: 
 
De modo que a relação total entre a tensão de linha do lado primário e a 
tensão de fase do lado secundário será: 
 
𝑉𝐿𝑃
𝑉𝐿𝑆
=
√3. 𝑉𝜙𝑃
𝑉𝜙𝑆
 
 
𝑉𝐿𝑃
𝑉𝐿𝑆
= √3. 𝑎 Y-∆ (eq.9) 
 
A ligação Y-∆ não apresenta problemas com componentes de terceira 
harmônica porque são suprimidas do lado do ∆. Essa ligação também é 
mais estável em relação a cargas desequilibradas porque o lado ∆ 
redistribui parcialmente os desequilíbrios que acontecerem, porém não 
podemos esquecer que a tensão secundária irá se deslocar de 30º. Isso 
requer uma atenção especial quando secundários de transformadores 
forem colocados em paralelo, pois deveremos prestar atenção na 
determinação de qual é o sentido do deslocamento de 30º. 
Figura 3: Transformador trifásico fechado em Y-∆ 
 
Fonte: Chapman. 2013 
 
Nos USA, segundo Chapman (2013), costuma-se atrasar a tensão do 
enrolamento secundário em 30º em relação a tensão do enrolamento 
primário.Embora seja esse um padrão, ele nem sempre foi observado e 
instalações mais antigas devem ser examinadas cuidadosamente antes 
que um novo transformador seja colocado em paralelo, assegurando a 
compatibilidade dos ângulos de defasagem. A 
Na figura 3 a ligação atrasará em 30º se a sequência de fases for abc e 
adiantará se for acb. 
 
3) Ligação triângulo-estrela 
 
A ligação ∆-Y dos transformadores trifásicos está mostrada na figura 4 
abaixo. 
Figura 4: Transformador em ∆-Y 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 As tensões de linha e fase do primário são iguais enquanto as de linha 
e fase do secundário relacionam-se por 𝑉𝐿𝑆 = √3. 𝑉𝜙𝑆. Dessa forma a 
razão das tensões de primário e secundário nessa ligação é: 
𝑉𝐿𝑃
𝑉𝐿𝑆
=
𝑉𝜙𝑃
√3. 𝑉𝜙𝑆
 
 
𝑉𝐿𝑃
𝑉𝐿𝑆
=
𝑎
√3
 ∆-Y (eq.10) 
 
Essa ligação tem as mesmas vantagens e o mesmo deslocamento de fase 
que o transformador Y-∆. A ligação mostrada na figura 4 atrasa a tensão 
do secundário em relação à tensão do primário em 30º, como antes. 
 
4) Ligação triângulo-triângulo 
 
A ligação ∆-∆ é mostrada a seguir e temos que VLP=VP e VLS=VS¸de 
modo que: 
𝑉𝐿𝑃
𝑉𝐿𝑆
=
𝑉𝜙𝑃
𝑉𝜙𝑆
= 𝑎 ∆-∆ (eq.11) 
Fig. 10: Transformador fechado em ∆-∆ 
 
Fonte: Chapman, 2013 
Esse transformador não apresenta nenhum deslocamento de fase e não 
tem problemas com cargas desequilibradas ou harmônicas. 
 
O sistema por unidade em transformadores trifásicos 
 
O sistema pu aplica-se igualmente bem aos transformadores trifásicos ou 
monofásicos. As equações de base monofásicas aplicam-se aos sistemas 
trifásicos fazendo-se a análise por fase. Se o valor base total em volts-
ampères do banco de transformadores for denominado Sbase então o valor 
base por fase em volts-ampères de um dos transformadores monofásicos 
S1 será: 
 
𝑆1𝜙,𝑏𝑎𝑠𝑒 =
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒
3
 (eq.12) 
 
E a corrente de fase e impedância, ambas de base, serão: 
 
𝐼𝜙,𝑏𝑎𝑠𝑒 =
𝑆1𝜙,𝑏𝑎𝑠𝑒
 𝑉𝜙,𝑏𝑎𝑠𝑒
 (eq.13) 
 
𝐼𝜙,𝑏𝑎𝑠𝑒 =
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒
3.𝑉𝜙,𝑏𝑎𝑠𝑒
 (eq.14) 
 
𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 =
(𝑉𝜙,𝑏𝑎𝑠𝑒)
2
𝑆1𝜙,𝑏𝑎𝑠𝑒
 (eq.15) 
 
 
𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 =
3(𝑉𝜙,𝑏𝑎𝑠𝑒)
2
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒
 (eq.16) 
 
As grandezas de linha dos bancos de transformadores trifásicos também 
podem ser representadas por sistemas pu. A relação entre a tensão de 
linha de base e a tensão de fase de base do transformador depende do tipo 
de ligação dos enrolamentos. Se os enrolamentos forem ligados em 
triângulo, então VL,base= V,base, ao passo que se forem ligados em estrela 
então VL,base= √3.V,base. 
A corrente de linha em um banco de transformadores trifásicos é dada 
por: 
 
𝐼𝐿,𝑏𝑎𝑠𝑒 = 
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒
√3.𝑉𝐿,𝑏𝑎𝑠𝑒
 (eq.17) 
 
Exemplo 
Um transformador de distribuição ∆-Y de 50 kVA e 13800/208 V tem 
uma resistência de 1% e uma reatância de 7% por unidade. 
(a) Qual é a impedância de fase do transformador, referida ao lado de alta 
tensão? 
 
 
 
(b) Calcule a regulação de tensão desse transformador a plena carga com 
FP=0,8 atrasado, usando a impedância calculada no lado de alta tensão 
 
 
 
 
 
 
Levando em conta que a tensão de fase nominal no secundário do trafo é 
208V/√3=120 V. Quando referida ao lado de alta, essa tensão torna-se 
13800V=aVS. Assuma que o secundário do transformador está operando 
com tensão e corrente nominais e encontre a tensão de fase no primário. 
 
 
 
 
 
(c) Calcule a regulação de tensão desse transformador, nas mesmas 
condições, usando o sistema por unidade. 
 
No sistema p.u. a tensão de saída é 1∠0𝑜e a corrente é 1∠0 − 36,87𝑜. 
Portanto a tensão de entrada é: 
 
 
 
Exercícios de Fixação 
 
 
(a) 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
CHAPMAN, Stephen, J. Fundamentos de Máquinas Elétricas, 5 ed., 
Bookman McGraw Hill, Porto Alegre, 2013 
 
 
PRÓ-REITORIA ACADÊMICA 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA I 
 
Prof. José Nilton Cantarino Gil 
 
ASSUNTO: Transformadores – Parte 6 - Final 
 
Transformação trifásica usando dois transformadores 
 
Existem maneiras de realizar transformações de tensões trifásicas utilizando 
apenas dois transformadores. Essas técnicas são utilizadas normalmente em 
locais onde nem todas as linhas de um sistema trifásico estão disponíveis. 
Um exemplo seria uma área rural, onde a fornecedora de energia poderá 
instalar somente uma ou duas fases de uma linha de distribuição devido, por 
exemplo, à baixa demanda de energia naquela área. Caso um consumidor 
necessite de utilizar equipamentos trifásicos, o que poderá ser feito? 
 Todas as técnicas que serão apresentadas disponibilizando potência 
trifásica utilizando 2 transformadores, acarretam numa redução da 
capacidade de manipulação de potência por parte dos transformadores, 
porém, podem se justificar devido a certas situações de ordem econômica. 
As ligações mais importantes com dois transformadores são: 
1) Ligação ∆ aberto (ou V-V) 
2) Ligação Y aberta - ∆ aberto 
3) Ligação T de Scott 
4) Ligação T trifásica 
 
Ligação ∆ aberto (ou V-V) 
 
Vamos supor que temos um arranjo trifásico com 3 transformadores 
monofásicos e necessitamos retirar um deles para reparo. A situação 
resultante é mostrada na figura 1. 
Figura 1: Transformadores em ∆ aberto (ou V-V) 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 A situação mostrada na figura 1, se as duas tensões secundárias 
remanescentes forem VA=V∟0o e VB=V∟-120o, teremos a tensão VC: 
 
 
Essa é exatamente a mesma tensão caso o terceiro transformador ainda 
estivesse presente. Algumas vezes chama-se a fase C nesses casos de fase 
fantasma. Isso nos leva a concluir que podemos fornecer transformação 
trifásica de tensões com apenas 2 transformadores, porém temos que ficar 
atento à potência total que continuaríamos a fornecer. Inicialmente ficamos 
inclinados a pensar em fornecimento de 2/3 da potência aparente nominal, 
porém as coisas não são tão simples. 
Vamos fazer uma análise primeiramente do transformador com os 3 
enrolamentos e depois com apenas 2 enrolamentos ou transformadores. A 
figura 2(a) mostra o que ocorre quando alimentamos uma carga puramente 
resistiva trifásica equilibrada. 
Figura 2: Tensões e correntes em um banco de transformadores ∆-∆ e ∆ aberto. 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 
Se a tensão fornecida por um transformador do banco for V e a corrente 
nominal for I, a potência máxima fornecida pelo arranjo será: 
𝑃 = 3. 𝑉𝜙 . 𝐼𝜙 . cos(𝜃) = 3. 𝑉𝜙. 𝐼𝜙 (eq.1) 
 
Porque na carga resistiva temos FP=1. A figura 2(a) mostra o arranjo normal 
em ligação ∆-∆ enquanto a 2(b) em ∆ aberto. Agora como um transformador 
está ausente, a corrente de linha é a própria corrente de fase de cada 
transformador e as correntes e tensões do banco de transformadores diferem 
em 30º. Como os ângulos de corrente e tensão são diferentes em cada um dos 
dois trafos, é necessário examinar cada um deles separadamente para 
determinar a potência máxima que cada um pode fornecer. 
No transformador 1 a tensão está em um ângulo de 150º e a corrente em um 
ângulo de 120º, de modo que a potência será: 
 
 
 
No transformador 2 a tensão está em um ângulo de 30º e a corrente em um 
ângulo de 60º, de modo que a potência será: 
 
 
 
A potência máxima a ser fornecida será P=P1+P2, logo: 
 
𝑃 = √3. 𝑉𝜙 . 𝐼𝜙 (eq.2) 
 
Se compararmos a potência com o banco aberto com a do banco fechado 
teremos: 
 
𝑃Δ 𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑜
𝑃𝑡𝑟𝑖𝑓á𝑠𝑖𝑐𝑜
=
√3.𝑉𝜙.𝐼𝜙
3.𝑉𝜙.𝐼𝜙
=
1
√3
= 0,577 (eq.3) 
 
A potência no arranjo delta aberto é somente 57,7% da potência nominal do 
banco trifásico original. 
Se analisarmos o que ocorre com a potência reativa no arranjo delta aberto 
podemos escrever que no transformador 1, temos: 
 
E no transformador 2, teremos: 
 
E dessa forma percebemos que a energia reativa produzida por um é 
consumida pelo outro, explicando o porquê de termos somente 57,7% da 
potência disponível em vez dos 66,7% esperados. 
Uma maneiraalternativa de olhar é perceber que o valor nominal da ligação 
delta aberto é 86,6% da potência dos 2 transformadores usados na ligação. 
Ocasionalmente, segundo Chapman(2013), podemos utilizar um arranjo 
delta aberto para fornecer uma pequena quantidade de potência trifásica a 
uma carga onde a maior parte é monofásica. Com isso poderíamos utilizar 2 
transformadores de potência diferentes associados. No caso, como mostrado 
na figura 3, teremos um transformador T2 que fornecerá toda a potência 
monofásica e uma parcela da trifásica, associado com um transformador T1 
de menor potência para fornecimento de potência trifásica em conjunto com 
T2. 
Figura 3: Ligação delta aberto para fornecimento de potencias monofásicas e trifásicas 
 
Fonte: Chapman, 2013 
Ressaltamos mais uma vez, que a potência de T2 é muito maior que a de T1, 
para satisfazermos as condições relatadas e mostradas na figura 2. 
 
A ligação estrela aberta-triângulo aberto 
 
A ligação estrela aberta-triangulo aberto é muito similar à ligação triângulo 
aberto, exceto pelo fato de as tensões primárias serem derivadas de duas 
fases e do neutro. Ela é utilizada para atender pequenos consumidores 
comerciais que precisam de atendimento trifásico em áreas rurais onde todas 
as fases ainda não estão presentes nos postes de energia elétrica. (Chapman. 
2013) 
A grande desvantagem desse tipo de ligação é possuir uma grande corrente 
de retorno no neutro do circuito primário. A figura 3 mostra como é esse tipo 
de ligação. 
Figura 3: Ligação estrela aberta-triangulo aberto 
 
Fonte: Chapman, 2013 
A figura 3 mostra o tipo de ligação estrela aberta-triângulo aberto, que é 
exatamente igual a uma ligação normal estrela triângulo a não ser pelo fato 
do terceiro transformador e estar disponível o terminal neutro da ligação Y. 
 
A ligação T trifásica (T de Scott) 
 
Essa ligação utiliza dois transformadores para a conversão de potência 
trifásica em potência bifásica em um nível de tensão diferente. Por uma 
pequena modificação no circuito esse arranjo pode converter potências 
trifásicas em níveis de tensão diferentes. Nos primeiros tempos da história 
da transmissão de energia elétrica era comum a utilização de sistemas 
bifásicos e trifásicos. Nessa época era comum também a interligação de 
sistemas trifásicos e bifásicos e daí a necessidade e utilidade da ligação T de 
Scott. Atualmente, segundo Chapman (2013) a potência bifásica está 
limitada a certas aplicações de controle e essa ligação ainda é usada. 
 A ligação T de Scott usa dois transformadores monofásicos com 
especificações nominais idênticas. Um deles tem uma derivação de 86,6% 
no seu enrolamento primário. O transformador T2 através da derivação de 
86,6% é conectado à ligação central de T1. As tensões aplicadas estão 
mostradas na figura 4. 
Figura 4: Ligação T de Scott 
 
Fonte: Chapman, 2013 
 A figura 4(a) mostra o diagrama de conexão utilizado na ligação T de 
Scott, a 4(b) as tensões trifásicas de entrada e a 4(c) as tensões dos 
enrolamentos de entrada do transformador. Já a figura 4(d) mostra as tensões 
secundárias bifásicas obtidas. 
Com essa ligação também é possível converter potência bifásica em trifásica, 
mas como existem muito poucos geradores bifásicos em uso, isso raramente 
é feito, segundo Chapman (2013). 
 
 
A ligação T trifásica 
 
 Modificando a ligação T de Scott, os mesmos transformadores podem 
converter potência trifásica em potência trifásica em um nível de tensão 
diferente. A figura 5 mostra o arranjo modificado para essa conversão: 
Figura 5: Ligação T trifásica 
 
Fonte: Chapman, 2013 
A figura 5(a) mostra o diagrama de conexões do arranjo T trifásico enquanto 
a 5(b) as tensões de entrada trifásicas e 5(c) as tensões nos enrolamentos 
primários do transformador. As tensões nos enrolamentos secundários estão 
mostradas na figura 5(d) e a 5(e) as tensões trifásicas resultantes. 
O transformador T1 é denominado transformador principal enquanto o T2 é 
denominado de transformador de equilíbrio. Os enrolamentos primário e 
secundário do transformador T2 apresentam derivações a 86,6% e essas 
derivações são conectadas às derivações centrais dos respectivos 
enrolamentos do transformador T1. Como na ligação T de Scott, a entrada 
trifásica produz duas tensões defasadas de 90º nos enrolamentos primários, 
que por sua vez, produzem tensões secundárias também defasadas entre si 
de 90º. No entanto, diferentemente da ligação T de Scott essas secundárias 
são recombinadas para produzir uma saída trifásica. 
 Uma importante vantagem dessa ligação em relação a outras que 
utilizam 2 transformadores, é que um neutro pode ser conectado de ambos 
os lados do banco de transformadores. É usada em alguns casos de 
transformadores de distribuição trifásicos autocontidos, porque seus custos 
de construção são inferiores aos de um banco de transformadores trifásico 
completo. 
 Como as partes inferiores dos enrolamentos dos transformadores de 
equilíbrio não são usadas nem do lado primário nem do secundário, elas 
poderiam ser removidas sem alteração no desempenho. 
 
Especificações nominais de um transformador e problemas relacionados 
 
 As especificações nominais principais de um transformador são: 
 
1- Potência aparente (kVA ou MVA) 
2- Tensões primária e secundária (V) 
3- Frequência (Hz) 
4- Resistência e reatância em série por unidade 
 
Essas especificações podem ser encontradas na placa de identificação da 
maioria dos transformadores e vamos examinar porque elas são utilizadas 
para caracterizar um transformador e a questão relacionada à corrente 
transitória inicial que ocorre quando um transformador é energizado. 
 
Tensão e frequência nominais de um transformador 
 
 A tensão nominal de um transformador serve a duas funções. A de 
proteger a isolação da tensão de ruptura devido a um excesso de tensão 
aplicada e como a corrente de magnetização se relaciona com a curva de 
magnetização do transformador. 
 Se uma tensão de regime permanente do tipo 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑀𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) for 
aplicada ao enrolamento primário de um transformador, o fluxo de 
magnetização será dado por: 
 (eq.4) 
 Assim se a tensão v(t) aumentar em 10% o fluxo máximo resultante 
também será aumentado na mesma proporção. Acima de certo ponto na 
curva de magnetização, para aumentar o fluxo em 10% será necessário um 
aumento da corrente de magnetização muito maior que 10%, pois está 
saturado. A figura 5 mostra o efeito do fluxo sobre a corrente de 
magnetização do transformador 
Figura 5: Efeito do fluxo de pico de um núcleo de transformador sobre a corrente de magnetização 
 
Fonte: Chapman, 2013 
A figura 5 mostra o efeito do fluxo sobre a corrente de magnetização de um 
transformador, onde devemos perceber os efeitos da corrente na região de 
saturação onde há uma distorção dos valores. Nota-se claramente que a 
corrente na região de saturação deve crescer de uma forma não proporcional 
para fornecer um aumento de fluxo, isto é, temos que ter um acréscimo muito 
maior da corrente para conseguir aumentar o fluxo proporcionalmente. Se a 
tensão sobe, as correntes elevadas de magnetização se tornam inaceitáveis e 
a tensão máxima aplicada (tensão nominal) é determinada pela máxima 
corrente de magnetização aceitável do núcleo. 
Devemos observar também que a tensão e a frequência se relacionarão de 
modo inverso se o fluxo máximo for mantido constante: 
𝜙𝑚𝑎𝑥 = 
𝑉𝑚𝑎𝑥
𝜔𝑁𝑃
 
Assim, se um transformador de 60Hz operar em 50 Hz, a tensão também 
deverá ser reduzida em um sexto ou o fluxo do núcleo será demasiadamente 
elevado. Da mesma forma, em caso inverso, ou seja, se o transformador de 
50Hz for operado com 60Hz, poderá operar com uma tensão 20% mais 
elevada. 
 
Exemplo: Um transformador monofásico de 1kVA, 230/115V e 60 Hz tem 
850 espiras no primário e 425 no secundário. A curva de magnetização desse 
transformador está mostrada