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Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMA´TICA Departamento de Me´todos Matema´ticos Gabarito da 1a Prova de Geometria I - Matema´tica - Monica 04/05/2015 1a Questa˜o: (3 pontos) (soluc¸a˜o na folha 1) Deˆ uma prova ou um contra-exemplo: 1. E´ poss´ıvel dar um exemplo de um quadrila´tero na˜o convexo com duas diagonais que na˜o se intersectam. Soluc¸a˜o E´ poss´ıvel. Seja ABCD o quadrila´tero da figura. O quadrila´tero na˜o e´ convexo pois a reta r que conte´m os pontos B e C, determina dois semi-planos, um contendo o ve´rtice A e outro contendo o ve´rtice D, isto e´, ABCD na˜o esta´ inteiramente contido em um so´ semi-plano determinado por r, reta contendo um lado do quadrila´tero. Ale´m disso, a diagonal AC esta´ contida no interior do quadrila´tero e a diagonal BD esta´ contida no exterior do quadrila´tero e na˜o se intersectam. 2. Na geometria do motorista de taxi, a distaˆncia entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) do plano cartesiano e´ calculada por |x1 − x2|+ |y1 − y2|. Seja C1 o c´ırculo centrado no ponto A1 e raio de comprimento igual a 1. Seja A2 ∈ C1. Seja C2 o c´ırculo centrado no ponto A2 e raio de comprimento igual a 2. Enta˜o C1 e C2 se intersectam em um u´nico ponto. Soluc¸a˜o Falso. Contra-exemplo: Seja C1 o c´ırculo centrado no ponto A1 = (0, 0) e raio de comprimento igual a 1, que na geometria do motorista de taxi tem equac¸a˜o |x|+ |y| = 1. Seja C2 o c´ırculo centrado no ponto A2 = (1, 0) e raio de comprimento igual a 2, que na geometria do motorista de taxi tem equac¸a˜o |x− 1|+ |y| = 2. Repare na figura que a intersec¸a˜o dos c´ırculos e´ igual aos segmentos y = x+ 1,−1 ≤ x ≤ 0 e y = −x− 1,−1 ≤ x ≤ 0, isto e´, C1 e C2 se intersectam em mais de um ponto. 2a Questa˜o: (4 pontos) (soluc¸a˜o na folha 2) 1. Seja OAB um triaˆngulo iso´sceles com base AB. Seja M o ponto me´dio de AB. Mostre que a mediana OM e´ perpendicular a AB. Soluc¸a˜o Temos que: • AM = BM (M e´ ponto me´dio de AB) • OM = OM (lado comum) • AO = BO ( o triaˆngulo OAB e´ iso´sceles) Logo, por congrueˆncia LLL, MAO = MBO. Em particular, AM̂O = BM̂O. Mas, AM̂O + BM̂O = 180◦, pois A, M e B sa˜o colineares. Logo, AM̂O = BM̂O = 90◦ e a mediana OM e´ perpendicular a AB. 2. Sejam A e B pontos de um c´ırculo e M o ponto me´dio de AB. Sejam C e D pon- tos do segmento AB equidistantes do ponto me´dio. Mostre que C e D tambe´m sa˜o equidistantes do centro do c´ırculo. Soluc¸a˜o Seja O o centro do c´ırculo. • Se M = O, como C e D sa˜o pontos equidistantes do ponto me´dio M = O enta˜o C e D tambe´m sa˜o equidistantes do centro do c´ırculo. • Se M 6= O, ligamos os pontos A, C, D e B ao centro O. Considere os triaˆngulos OAB e OCD. Como A e B sa˜o pontos do c´ırculo, OA = OB e OAB e´ iso´sceles. Temos: – MC =MD (C e D sa˜o pontos equidistantes do ponto me´dio M) – CM̂O = DM̂O = 90◦ (pelo item anterior, OM e´ perpendicular a AB. 2 – MO =MO (lado comum) Logo, por congrueˆncia LAL, MCO = MDO. Em particular, CO = DO, isto e´, C e D tambe´m sa˜o equidistantes do centro do c´ırculo. 3a Questa˜o: (3 pontos) (soluc¸a˜o na folha 3) 1. Deˆ a definic¸a˜o de semi-plano determinado por uma reta n. Soluc¸a˜o Ver no livro. 2. Complete a seguinte sentenc¸a: ’Dizemos que uma semi-reta divide um semi-plano quando ...’ Soluc¸a˜o Ver no livro. 3. Sejam m e n duas retas. Mostre que se m esta´ contida em um dos semi-planos determinados por n, enta˜o, ou m = n ou m e n na˜o se intersectam. (use axiomas de medic¸a˜o de aˆngulos) Soluc¸a˜o Supomos que m e n se intersectam no ponto P . Sejam E,D ∈ m tal que E−P −D. Sejam A,B ∈ n tal que A− P −B. Comom ⊂ PnE, as semi-retas SPE e SPD dividem PnE. Logo, pelo axioma de medic¸a˜o de aˆngulos e pelo fato de A, P e B serem colineares, temos AP̂E + EP̂D +BP̂D = 180◦. Mas, E, P e D tambe´m sa˜o colineares e EP̂D = 180◦. Logo AP̂E = BP̂D = 0◦ e m = n. Portanto m = n ou m e n na˜o se intersectam. 3
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