rodrigomp-econofisica

Prévia do material em texto

Volatilidade Estocástica
& Leverage Effect
Rodrigo M. Pereira
Instituto de Física, UFRJ
Seminário para o curso de Econofísica, PUC-RJ
29 de janeiro de 2009
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 1 / 25
Sumário
1 Volatilidade Estocástica
Introdução
Modelos de Volatilidade Estocástica
Volatilidade Real
2 Leverage Effect
3 Volatilidade Estocástica & Leverage Effect
E o preço?
Simulando
Resultados (a.k.a. Problemas)
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 2 / 25
Volatilidade Estocástica
Sumário
1 Volatilidade Estocástica
Introdução
Modelos de Volatilidade Estocástica
Volatilidade Real
2 Leverage Effect
3 Volatilidade Estocástica & Leverage Effect
E o preço?
Simulando
Resultados (a.k.a. Problemas)
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 3 / 25
Volatilidade Estocástica Introdução
Volatilidade Estocástica
Modelo padrão de preços
dR = µdt+ σdW (t)
R(t) : ln [S(t)/S(0)]
µ : taxa livre de risco
dW (t) : processo de Wiener
σ : volatilidade → constante
Crash de 1987
Volatilidade constante desconsidera propriedades importantes do mercado
“stylized facts”→ leverage effect, smile effect, fat tails...
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 4 / 25
Volatilidade Estocástica Introdução
Volatilidade Estocástica
Modelo padrão de preços
dR = µdt+ σdW (t)
R(t) : ln [S(t)/S(0)]
µ : taxa livre de risco
dW (t) : processo de Wiener
σ : volatilidade → constante
Crash de 1987
Volatilidade constante desconsidera propriedades importantes do mercado
“stylized facts”→ leverage effect, smile effect, fat tails...
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 4 / 25
Volatilidade Estocástica Introdução
Solução
Volatilidade dependente do tempo
Não-estacionariedade das séries financeiras → variável aleatória
σ(t) = φ (X(t)) , X(t) é um processo estocástico
Diferentes φ ↔ diversos modelos
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 5 / 25
Volatilidade Estocástica Introdução
Solução
Volatilidade dependente do tempo
Não-estacionariedade das séries financeiras → variável aleatória
σ(t) = φ (X(t)) , X(t) é um processo estocástico
Diferentes φ ↔ diversos modelos
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 5 / 25
Volatilidade Estocástica Introdução
Solução
Volatilidade dependente do tempo
Não-estacionariedade das séries financeiras → variável aleatória
σ(t) = φ (X(t)) , X(t) é um processo estocástico
Diferentes φ ↔ diversos modelos
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 5 / 25
Volatilidade Estocástica Introdução
Solução
Volatilidade dependente do tempo
Não-estacionariedade das séries financeiras → variável aleatória
σ(t) = φ (X(t)) , X(t) é um processo estocástico
Diferentes φ ↔ diversos modelos
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 5 / 25
Volatilidade Estocástica Modelos
Modelos de Volatilidade Estocástica
dX = −γ(X − θ)dt+
√
ΓXδdW
Ornstein-Uhlembeck
X ≡ σ
δ = 0
Hull & White
X ≡ σ2
δ = 1
Heston
X ≡ σ2
δ = 1/2
Log-Normal
X ≡ lnσ
δ = 0
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 6 / 25
Volatilidade Estocástica Modelos
Modelos de Volatilidade Estocástica
dX = −γ(X − θ)dt+
√
ΓXδdW
Ornstein-Uhlembeck
X ≡ σ
δ = 0
Hull & White
X ≡ σ2
δ = 1
Heston
X ≡ σ2
δ = 1/2
Log-Normal
X ≡ lnσ
δ = 0
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 6 / 25
Volatilidade Estocástica Modelos
C. Anteneodo & R. Riera
dX = −γ(X − θ)Xr−1dt+ µXsdW1 + αdW2
X ≡ σ2
r, s : parâmetros
Soluções estacionárias analíticas
Uma cauda em lei de potência, outra exponencial
C. Anteneodo & R. Riera→ duas caudas em lei de potência para r, s
adequados
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 7 / 25
Volatilidade Estocástica Modelos
C. Anteneodo & R. Riera
dX = −γ(X − θ)Xr−1dt+ µXsdW1 + αdW2
X ≡ σ2
r, s : parâmetros
Soluções estacionárias analíticas
Uma cauda em lei de potência, outra exponencial
C. Anteneodo & R. Riera→ duas caudas em lei de potência para r, s
adequados
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 7 / 25
Volatilidade Estocástica Volatilidade Real
Volatilidade Real
Que grandeza mensurável corresponderia à volatilidade estocástica?
σ(t) = | lnS(t)− lnS(t− 1)| ≡ |r(t)|
⇒ série muito ruidosa
σ(t) =
√
nτ DesvPad[r(τ)] , τ : escala com maior resolução
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 8 / 25
Volatilidade Estocástica Volatilidade Real
Volatilidade Real
Que grandeza mensurável corresponderia à volatilidade estocástica?
σ(t) = | lnS(t)− lnS(t− 1)| ≡ |r(t)|
⇒ série muito ruidosa
σ(t) =
√
nτ DesvPad[r(τ)] , τ : escala com maior resolução
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 8 / 25
Volatilidade Estocástica Volatilidade Real
Volatilidade Real
Que grandeza mensurável corresponderia à volatilidade estocástica?
σ(t) = | lnS(t)− lnS(t− 1)| ≡ |r(t)|
⇒ série muito ruidosa
σ(t) =
√
nτ DesvPad[r(τ)] , τ : escala com maior resolução
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 8 / 25
Volatilidade Estocástica Volatilidade Real
Volatilidade Real
Que grandeza mensurável corresponderia à volatilidade estocástica?
σ(t) = | lnS(t)− lnS(t− 1)| ≡ |r(t)|
⇒ série muito ruidosa
σ(t) =
√
nτ DesvPad[r(τ)] , τ : escala com maior resolução
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 8 / 25
Volatilidade Estocástica Volatilidade Real
Volatilidade Real
Que grandeza mensurável corresponderia à volatilidade estocástica?
σ(t) = | lnS(t)− lnS(t− 1)| ≡ |r(t)|
⇒ série muito ruidosa
σ(t) =
√
nτ DesvPad[r(τ)] , τ : escala com maior resolução
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 8 / 25
Volatilidade Estocástica Volatilidade Real
Fitting
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 9 / 25
Volatilidade Estocástica Volatilidade Real
Fitting
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 9 / 25
Volatilidade Estocástica Volatilidade Real
Pergunta:
E o preço?
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 10 / 25
Leverage Effect
Sumário
1 Volatilidade Estocástica
Introdução
Modelos de Volatilidade Estocástica
Volatilidade Real
2 Leverage Effect
3 Volatilidade Estocástica & Leverage Effect
E o preço?
Simulando
Resultados (a.k.a. Problemas)
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 11 / 25
Leverage Effect
Leverage Effect
1976, F. Black (o próprio)
Correlação negativa entre volatilidade e preço: volatilidade tende a aumentar
quando o preço cai
Razão: Preço diminui→ aumenta o risco da empresa operar alavancada→
volatilidade sobe ⇒ leverage effect
O segredo de Tostines
Preço cai e volatilidade aumenta ou volatilidade aumenta e preço cai?
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 12 / 25
Leverage Effect
Leverage Effect
1976, F. Black (o próprio)
Correlação negativa entre volatilidade e preço: volatilidade tende a aumentar
quando o preço cai
Razão: Preço diminui→ aumenta o risco da empresa operar alavancada→
volatilidade sobe ⇒ leverage effect
O segredo de Tostines
Preço cai e volatilidade aumenta ou volatilidade aumenta e preço cai?Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 12 / 25
Leverage Effect
Leverage Effect
1976, F. Black (o próprio)
Correlação negativa entre volatilidade e preço: volatilidade tende a aumentar
quando o preço cai
Razão: Preço diminui→ aumenta o risco da empresa operar alavancada→
volatilidade sobe ⇒ leverage effect
O segredo de Tostines
Preço cai e volatilidade aumenta ou volatilidade aumenta e preço cai?
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 12 / 25
Leverage Effect
O último PRL...
A função Leverage
L(τ) = 〈[δR(t+ τ)]
2δR(t)〉
〈δR(t)2〉2
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 13 / 25
Leverage Effect
O último PRL...
A função Leverage
L(τ) = 〈[δR(t+ τ)]
2δR(t)〉
〈δR(t)2〉2
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 13 / 25
Leverage Effect
O último PRL...
A função Leverage
L(τ) = 〈[δR(t+ τ)]
2δR(t)〉
〈δR(t)2〉2
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 13 / 25
Leverage Effect
O último PRL...
A função Leverage
L(τ) = 〈[δR(t+ τ)]
2δR(t)〉
〈δR(t)2〉2
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 13 / 25
Leverage Effect
O último PRL...
A função Leverage
L(τ) = 〈[δR(t+ τ)]
2δR(t)〉
〈δR(t)2〉2
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 13 / 25
Leverage Effect
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 14 / 25
Leverage Effect
Fitting:
L(τ) =
 −Ae−bτ , se τ > 0;0, se τ < 0;
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 15 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect
Sumário
1 Volatilidade Estocástica
Introdução
Modelos de Volatilidade Estocástica
Volatilidade Real
2 Leverage Effect
3 Volatilidade Estocástica & Leverage Effect
E o preço?
Simulando
Resultados (a.k.a. Problemas)
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 16 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect E o preço?
De volta à pergunta: e o preço?
Generalização imediata
σ(t) = φ(Y (t)), dY = f(Y )dt+ g(Y )dW2(t)dR = µdt+ σ(t)dW1(t)
Leverage effect
Correlação entre dW1 e dW2!
dW1(t) = ρ dW2(t) +
√
1− ρ2 dW (t), dW : processo independente
Revelando o código Tostines
L(τ) ∼ 〈σ(t+ τ)2 dW1(t+ τ)2 σ(t) dW1(t)〉
Se τ < 0, então L(τ) ∼ 〈dW1(t)〉 = 0
Se τ > 0, então L(τ) ∼ 〈dW1(t+ τ)2〉 = dt 6= 0
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 17 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect E o preço?
De volta à pergunta: e o preço?
Generalização imediata
σ(t) = φ(Y (t)), dY = f(Y )dt+ g(Y )dW2(t)dR = µdt+ σ(t)dW1(t)
Leverage effect
Correlação entre dW1 e dW2!
dW1(t) = ρ dW2(t) +
√
1− ρ2 dW (t), dW : processo independente
Revelando o código Tostines
L(τ) ∼ 〈σ(t+ τ)2 dW1(t+ τ)2 σ(t) dW1(t)〉
Se τ < 0, então L(τ) ∼ 〈dW1(t)〉 = 0
Se τ > 0, então L(τ) ∼ 〈dW1(t+ τ)2〉 = dt 6= 0
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 17 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect E o preço?
De volta à pergunta: e o preço?
Generalização imediata
σ(t) = φ(Y (t)), dY = f(Y )dt+ g(Y )dW2(t)dR = µdt+ σ(t)dW1(t)
Leverage effect
Correlação entre dW1 e dW2!
dW1(t) = ρ dW2(t) +
√
1− ρ2 dW (t), dW : processo independente
Revelando o código Tostines
L(τ) ∼ 〈σ(t+ τ)2 dW1(t+ τ)2 σ(t) dW1(t)〉
Se τ < 0, então L(τ) ∼ 〈dW1(t)〉 = 0
Se τ > 0, então L(τ) ∼ 〈dW1(t+ τ)2〉 = dt 6= 0
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 17 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect E o preço?
De volta à pergunta: e o preço?
Generalização imediata
σ(t) = φ(Y (t)), dY = f(Y )dt+ g(Y )dW2(t)dR = µdt+ σ(t)dW1(t)
Leverage effect
Correlação entre dW1 e dW2!
dW1(t) = ρ dW2(t) +
√
1− ρ2 dW (t), dW : processo independente
Revelando o código Tostines
L(τ) ∼ 〈σ(t+ τ)2 dW1(t+ τ)2 σ(t) dW1(t)〉
Se τ < 0, então L(τ) ∼ 〈dW1(t)〉 = 0
Se τ > 0, então L(τ) ∼ 〈dW1(t+ τ)2〉 = dt 6= 0
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 17 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect E o preço?
De volta à pergunta: e o preço?
Generalização imediata
σ(t) = φ(Y (t)), dY = f(Y )dt+ g(Y )dW2(t)dR = µdt+ σ(t)dW1(t)
Leverage effect
Correlação entre dW1 e dW2!
dW1(t) = ρ dW2(t) +
√
1− ρ2 dW (t), dW : processo independente
Revelando o código Tostines
L(τ) ∼ 〈σ(t+ τ)2 dW1(t+ τ)2 σ(t) dW1(t)〉
Se τ < 0, então L(τ) ∼ 〈dW1(t)〉 = 0
Se τ > 0, então L(τ) ∼ 〈dW1(t+ τ)2〉 = dt 6= 0
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 17 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect E o preço?
De volta à pergunta: e o preço?
Generalização imediata
σ(t) = φ(Y (t)), dY = f(Y )dt+ g(Y )dW2(t)dR = µdt+ σ(t)dW1(t)
Leverage effect
Correlação entre dW1 e dW2!
dW1(t) = ρ dW2(t) +
√
1− ρ2 dW (t), dW : processo independente
Revelando o código Tostines
L(τ) ∼ 〈σ(t+ τ)2 dW1(t+ τ)2 σ(t) dW1(t)〉
Se τ < 0, então L(τ) ∼ 〈dW1(t)〉 = 0
Se τ > 0, então L(τ) ∼ 〈dW1(t+ τ)2〉 = dt 6= 0
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 17 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect Simulando
Simulando
Ideia: simular as equações→ série artificial de preços em diversos
modelos de VE→ análise e medida de leverage
R(t+ dt) = R(t) + dR = R(t) + µdt+ σ(t)η1
√
dt
Y (t+ dt) = Y (t) + dY = Y (t) + f(Y )dt+ g(Y )η2
√
dt
Problema: parâmetros dos modelos de volatilidade
Solução (contendo uma penca de outros problemas): fitting
⇓
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 18 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect Simulando
Simulando
Ideia: simular as equações→ série artificial de preços em diversos
modelos de VE→ análise e medida de leverage
R(t+ dt) = R(t) + dR = R(t) + µdt+ σ(t)η1
√
dt
Y (t+ dt) = Y (t) + dY = Y (t) + f(Y )dt+ g(Y )η2
√
dt
Problema: parâmetros dos modelos de volatilidade
Solução (contendo uma penca de outros problemas): fitting
⇓
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 18 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect Simulando
Simulando
Ideia: simular as equações→ série artificial de preços em diversos
modelos de VE→ análise e medida de leverage
R(t+ dt) = R(t) + dR = R(t) + µdt+ σ(t)η1
√
dt
Y (t+ dt) = Y (t) + dY = Y (t) + f(Y )dt+ g(Y )η2
√
dt
Problema: parâmetros dos modelos de volatilidade
Solução (contendo uma penca de outros problemas): fitting
⇓
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 18 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect Simulando
Simulando
Ideia: simular as equações→ série artificial de preços em diversos
modelos de VE→ análise e medida de leverage
R(t+ dt) = R(t) + dR = R(t) + µdt+ σ(t)η1
√
dt
Y (t+ dt) = Y (t) + dY = Y (t) + f(Y )dt+ g(Y )η2
√
dt
Problema: parâmetros dos modelos de volatilidade
Solução (contendo uma penca de outros problemas): fitting
⇓
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 18 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect Resultados (a.k.a. Problemas)
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 19 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect Resultados (a.k.a. Problemas)
Problemas...
Parâmetros demais
Exemplo: Modelo Hull & White:
dX = −γ(X − θ)dt+
√
ΓXdW → três parâmetros
P (V ) = A
e−θβ/V
2
V 2β+3
, β = 2γ/Γ → dois parâmetros independentes
Frase da aula, na íntegra
“Obs: a razão γ/Γ é o parametro relevante do processo, fornecendo o valor
relativo dos parâmetrosde desordem Γ e de ordem γ.”
Solução dependente do tempo resolveria?
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 20 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect Resultados (a.k.a. Problemas)
Problemas...
Parâmetros demais
Exemplo: Modelo Hull & White:
dX = −γ(X − θ)dt+
√
ΓXdW → três parâmetros
P (V ) = A
e−θβ/V
2
V 2β+3
, β = 2γ/Γ → dois parâmetros independentes
Frase da aula, na íntegra
“Obs: a razão γ/Γ é o parametro relevante do processo, fornecendo o valor
relativo dos parâmetros de desordem Γ e de ordem γ.”
Solução dependente do tempo resolveria?
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 20 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect Resultados (a.k.a. Problemas)
Problemas...
Parâmetros demais
Exemplo: Modelo Hull & White:
dX = −γ(X − θ)dt+
√
ΓXdW → três parâmetros
P (V ) = A
e−θβ/V
2
V 2β+3
, β = 2γ/Γ → dois parâmetros independentes
Frase da aula, na íntegra
“Obs: a razão γ/Γ é o parametro relevante do processo, fornecendo o valor
relativo dos parâmetros de desordem Γ e de ordem γ.”
Solução dependente do tempo resolveria?
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 20 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect Resultados (a.k.a. Problemas)
Problemas...
Parâmetros demais
Exemplo: Modelo Hull & White:
dX = −γ(X − θ)dt+
√
ΓXdW → três parâmetros
P (V ) = A
e−θβ/V
2
V 2β+3
, β = 2γ/Γ → dois parâmetros independentes
Frase da aula, na íntegra
“Obs: a razão γ/Γ é o parametro relevante do processo, fornecendo o valor
relativo dos parâmetros de desordem Γ e de ordem γ.”
Solução dependente do tempo resolveria?
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 20 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect Resultados (a.k.a. Problemas)
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 21 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect Resultados (a.k.a. Problemas)
E mais problemas...
Condição inicial: σ(0) = ?
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 22 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect Resultados (a.k.a. Problemas)
E mais problemas...
Condição inicial: σ(0) = ?
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 22 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect Resultados (a.k.a. Problemas)
Leverage = panic
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 23 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect Resultados (a.k.a. Problemas)
Leverage positivo
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 24 / 25
Volatilidade Estocástica & Leverage Effect Resultados (a.k.a. Problemas)
Séries temporais: Modelo de Hull-White
Rodrigo Pereira (IF-UFRJ) Volatilidade estocástica & leverage effect Seminário de Econofísica 25 / 25
	Volatilidade Estocástica
	Introdução
	Modelos de Volatilidade Estocástica
	Volatilidade Real
	Leverage Effect
	Volatilidade Estocástica & Leverage Effect
	E o preço?
	Simulando
	Resultados (a.k.a. Problemas)