Ton-doutorado

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Propriedades da matéria de
vórtices em supercondutores
mesoscópicos tridimensionais
Antonio Rodrigues de Castro Romaguera
Orientador: Mauro Melchiades Doria
Co-orientador: François M. Peeters
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FÍSICA
Propriedades da matéria de
vórtices em supercondutores
mesoscópicos tridimensionais
Antonio Rodrigues de Castro Romaguera
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-graduação em F́ısica
da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do t́ıtulo de Doutor em Ciências (F́ısica).
Orientador:
Mauro Melchiades Doria
Co-orientador:
François M. Peeters
Rio de Janeiro
20 de Agosto de 2007
Romaguera, Antonio Rodrigues de Castro
R756 Propriedades da Matéria de Vórtices em Supercondutores
Mesoscópicos Tridimensionais Antonio Rodrigues de Castro
Romaguera - Rio de Janeiro: UFRJ / IF, 2007
xvii, 160f.: il.; 31 cm.
Orientador: Mauro Melchiades Doria
Co-Orientador: François M. Peeters
Tese (Doutorado) - UFRJ / Instituto de F́ısica / Programa de
Pós-graduação em F́ısica, 2007
Referências Bibliográficas: f. 148-160
1. Supercondutividade. 2. Teoria de vórtices. 3. Teoria de
Ginzburg-Landau. I. Doria, Mauro Melchiades. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, Instituto de F́ısica, Programa de Pós-graduação
em F́ısica. III. Propriedades da Matéria de Vórtices em Supercondutores
Mesoscópicos Tridimensionais
Dedicatória
A minha querida esposa,
que foi o farol dessa jornada chamada Doutorado
Agradecimentos
• Aos amigos de tantas coincidências, Leonardo Cisneiro e Érico Andrade.
• Aos amigos de apartamento Romero Rocha e Cézar Santos no Rio de Janeiro
e Vyacheslav Misko na Antuérpia.
• Aos amigos do Rio de Janeiro Luiz Maia, Carolina Amorim, Rafael Coutinho
e Amélia Paes.
• Aos amigos de profissão Clécio Clemente e Clessio Leão.
• Aos amigos da Universidade da Antuérpia Yosip Sidor, Kwinten Nelissen,
Hartwin Peelaers, Ben Baelus, Roeland Geurts, An Slachmuylders, Arkady
Chanenko, Denis Vodolazov, Golibjon Berdiyorov, Azamat Elmurodov, Milo-
rad Milosevic, Vladan Mlinar, Nga Nguyen e Gyorgy Papp.
• Ao CNPq, por ter financiado os custos do Doutorado no Brasil e no exterior.
• Ao professor e Co-orientador François M. Peeters.
• Ao professor, amigo e Orientador Mauro M. Doria.
Resumo
Nesta tese estudamos as propriedade da matéria de vórtices em supercondu-
tores nano-estruturados tridimensionais. Chamam-se de supercondutores nano-
estruturados aqueles que possuem dimensões na escala do comprimento de coerência
do material utilizado. Tais supercondutores se dividem em duas categorias: aqueles
cujas próprias dimensões são definidas pelo comprimento de coerência (supercondu-
tores mesoscópico) e os chamados volumétricos, que embora não possuam fronteiras
externas têm em seu interior regiões não-supercondutoras cujas dimensões são da
ordem do comprimento de coerência (inclusões mesoscópicas). Os superconduto-
res nano-estruturados apresentam meta-estabilidade intŕınseca em seu comporta-
mento magnético ocasionado pela presença de várias configurações energeticamente
acesśıveis para um mesmo estado termodiânmico, definido pelas variáveis de campo
magnético e de temperatura. Tais configurações com energias muito próximas cor-
respondem à configurações de vórtices que diferem entre si por um certo número
quântico, e.g., o momento angular.
Esta tese apresenta três conjuntos de contribuições principais. No primeiro con-
junto, caṕıtulos 3 e 4, os supercondutores nano-estruturados são estudados através
da resolução numerica da teoria de Ginzburg-Landau feita através do método de Re-
cozimento Simulado “Simulated Annealing”, que é baseado no algoritmo de Metrópolis
- Monte Carlo. A teoria de Ginzburg-Landau é reformulada para incorporar as
condições de contorno dentro da energia livre, de tal forma que fornece uma visão
unificada das regiões supercondutoras e não-supercondutoras. Dentro deste trata-
mento, as duas categorias de supercondutores nano-estruturados são interpretados
como sistemas complementares, uma vez que as regiões supercondutoras são sempre
revestidas de regiões não-supercondutoras e vice-versa. Tanto a forma das inclusões
dentro do supercondutor, ou a dos supercondutores mesoscópicos no interior de um
vii
meio não-supercondutor, são facilmente manipulados no presente esquema teórico.
No segundo conjunto de contribuições, caṕıtulo 5 e 6, investigamos os efeitos de in-
clusões magnéticas localizadas no interior de supercondutores. Nós mostramos que a
presença das inclusões magnéticas leva ao surgimento de laços de vórtices confinados.
A fase definida por esses estados de vórtices é precursora de uma ordem de longo
alcance, conhecida na literatura por fase espontânea de vórtices. Os efeitos que uma
corrente aplicada produz nos laços de vórtices confinados também são estudados. O
terceiro conjunto de contribuições, caṕıtulo 7, está diretamente relacionada com a
f́ısica experimental. Analisamos as curvas isotérmicas de magnetização obtidas por
Y. Wang et al. [Phys. Rev. Lett. 95 247002 (2005)] para compostos subdopado e
otimamente dopado de Bi2Sr2CaCu2O8+!.
No terceiro caṕıtulo desta tese, empregamos técnicas numéricas de minimização
que permitem a obtenção de soluções em geometrias genuinamente tridimensio-
nais para estudar os supercondutores nano-estruturados com inclusões mesoscópicas
esféricas. Nós variamos o raio das inclusões mantendo fixa a distância entre as in-
clusões nas células vizinhas. Estas esferas isolantes ou metálicas aprisionam um
número crescente de linhas de vórtices produzindo um verdadeiro estado emara-
nhado. A configuração, e também a própria forma das linhas, resulta da competição
entre várias energias presentes: a elástica, associada à deformação da linha para
acessar uma certa inclusão; a ancoragem da linha pelo defeito e finalmente a re-
pulsão entre duas linhas vizinhas. Perto do campo cŕıtico superior a interação
vórtice-defeito se modifica substancialmente permitindo o surgimento de vórtices
gigantes, resultantes do colapso de vários vórtices aprisionados por uma única in-
clusão. Neste caṕıtulo provamos que a energia livre do supercondutor com inclusões
isolantes exibe valores mais negativos do que no supercondutor homogêneo. No
caso de uma inclusão metálica, tal efeito não ocorre e a energia livre do sistema
com inclusões é sempre mais elevada. Nesse cenário, vórtices são mais favoráveis a
nuclear em supercondutores que apresentam uma estrutura porosa, ou até mesmo
podendo induzir uma natureza porosa no interior do supercondutor. Também neste
caṕıtulo estudamos o comportamento de uma linha de vórtice em um supercondu-
tor nano-estruturado com duas inclusões isolantes por célula unitária. As inclusões
foram posicionadas de maneira a formar uma rede tipo zigzag. Determinamos que
dependendo do tamanho e da posição das inclusões zigzag, os vórtices se deformam
para acessar essas inclusões até que o seu comprimento atinge um valor máximo, a
viii
partir do qual ocorre uma transição de desancoramento.
No quarto caṕıtulo estudamos um cilindro e uma esfera supercondutora com
dimensões mesoscópicas. Obtemos as curvas de magnetização para os estados com
diferente vorticidade e o ciclo de magnetização nessas geometrias tridimensionais.
Além da intensidade do campo magnético, também foi variada a orientação do campo
em relação à geometria do sistema. Ao rotacionar o campo em relação ao eixo de
um cilindro, observamos mudanças estruturais no arranjo de vórtices, assim como a
variação do número de vórtices no sistema.
No quinto caṕıtulo determinamos o padrão de vórtices que se origina da inclusão
de um dipolo magnético no centro de uma esferasupercondutora mesoscópica. Uma
vez que o campo magnético produzido por tal fonte dá origem a linhas de campo
fechadas, os vórtices presentes nesse meio sofrem grande influência da topologia do
campo originando os laços de vórtices confinados, cuja origem e desaparecimento
só ocorrem nos polos do dipolo magnético. Mostramos que a primeira configuração
estável de laços de vórtices confinados, distribúıdos em torno do eixo do dipolo, exibe
três vórtices e não outro número. Para valores elevados do momento magnético, os
laços de vórtices confinados afloram à superf́ıcie do supercondutor dando origem aos
pares de vórtices externos.
No sexto caṕıtulo estudamos a dinâmica de um laço de vórtice confinado em
presença de uma corrente elétrica aplicada. O comportamento do laço é analisado
nas orientações principais da corrente em relação ao dipolo magnético e ao plano
que contém o laço. Solucionamos as equações de movimento no regime viscoso (flux
flow), com a aproximação de laços ŕıgidos. As freqüências caracteŕısticas associadas
ao surgimento do laço em torno do dipolo e seu desaparecimento na superf́ıcie da
amostra também são obtidas.
No sétimo caṕıtulo aplicamos as leis de escala de Landau-Ott para obter o com-
portamento do campo cŕıtico superior Hc2(T ) em função da temperatura T , norma-
lizado pelo seu valor numa temperatura de referência. Conclúımos pela existência
de uma temperatura T !, acima da temperatura cŕıtica Tc, onde Hc2(T !) se anula.
O significado dessa nova temperatura está associado ao término da ordem de longo
alcance, a partir da qual o supercondutor divide-se em múltiplos domı́nios sem
coerência de fase entre si.
Abstract
In this thesis, we study the properties of the vortex matter in tridimensional
nano-structured superconductors. Nano-structured superconductors are those with
a length scale comparable to the coherence length. Such superconductors are classi-
fied in two categories: those whose size is in the coherence length scale (mesoscopic
superconductors) and some bulk superconductors. Although the latter does not pos-
sess external boundaries, it has non-superconducting regions in its interior with size
comparable the coherence length (mesoscopic inclusions). The nano-structured su-
perconductors exhibit intrinsic meta-stability in their magnetic behavior caused by
the presence of di!erent configurations energetically accessible for the same ther-
modynamic state, defined by the magnetic field and temperature variables. Such
configurations are very close energies and correspond to vortex arrangements with
di!erent quantum number, e.g., the angular momentum.
The contributions of this thesis are split into three di!erent kinds. In the first
one, contained in Chapters 3 and 4, the nano-structured superconductors are studied
through the numerical analysis of the Ginzburg-Landau theory using the simulated
annealing method, which is based on the Metropolis - Monte Carlo algorithm. The
Ginzburg-Landau theory is reformulated so to incorporate the boundary conditions
into the free energy expression. This new version o!ers a unified view of supercon-
ducting and non-superconducting regions. In this view, the two categories of nano-
structured superconductors are complementary to each other, since the supercon-
ducting regions of one become the non-superconducting regions of the other and vice
versa. Thus the shape of the inclusions inside the bulk superconductor, or equally,
the shape of the mesoscopic superconductors coated by a non-superconducting me-
dia, is easily manipulated in the present theoretical approach. In the second kind
of contribution, described in Chapters 5 and 6, we show that the presence of mag-
x
netic inclusions leads to the appearance of confined vortex loops. This vortex state
is precursor of a long-range order, known as the spontaneous vortex phase. The
e!ects of an applied electric current on the confined vortex loops are also studied
here. The third and last contribution, given in Chapter 7, is directly relevant to
experiments. There we analyze the isothermal magnetizations curves measured by
Y. Wang et al. [Phys. Rev. Lett. 95 247002 (2005)] for underdoped and optimally
doped Bi2Sr2CaCu2O8+! compounds.
In Chapter 3, we obtain truly tridimensional solutions of the Ginzburg-Landau
theory through numerical minimization in case of bulk superconductors with sphe-
rical mesoscopic inclusions. We vary the radius of the inclusions keeping fixed their
density. We find that either insulating or metallic spheres trap an increasing number
of vortex lines producing literally an entangled state. The configuration and the re-
sulting shape of the lines are a consequence of the following competing energies: the
elastic energy, associated to the stretch of the vortex line pinned by inclusions; the
pinning energy of the vortex line to the inclusion; and finally the repulsion between
two neighboring vortices. Near the upper critical field, the vortex-inclusion inte-
raction is substantially modified allowing the nucleation of giant vortices, resultant
from the collapse of some vortices trapped by a single inclusion. In this thesis, we
prove that the free energy of the superconductor with insulating spherical inclusions
exhibits lower values than that of the homogeneous superconductor. However such
e!ect does not occur in case of a metallic inclusion, whose free energy is always
larger than that of the homogeneous free energy. Hence we show that vortices nu-
cleate more easily in a superconductor with a porous insulating structure than in the
homogeneous one, and perhaps, can even induce a porous nature to the supercon-
ductor. In addition, we study the behavior of a vortex line in a bulk superconductor
with fixed density of two insulating spherical inclusions by unit cell. The inclusions
are positioned in a way to form a zigzag chain. We determine the maximum stretch
of the line for several choices of size and position of the zigzag inclusions. The line
vortex deforms its trajectory to access these inclusions until its length reaches a
maximum value, from which a depinning transition occurs.
In Chapter 4, we study mesoscopic superconductors with truly tridimensional
geometry, namely, with cylindrical and spherical shape. We obtain their full mag-
netization curves and labeled their branches by states with di!erent vorticities. We
vary the magnetic field, not only in strength, but also in orientation with respect to
xi
the major axis defined by the system’s geometry. Upon tilting the field in relation
to the cylinder’s axis, we observe structural changes in the vortex arrangement, as
well as changes in the total number of vortices.
In Chapter 5, we find the vortex pattern that stem from the presence of a mag-
netic dipole in the center of a mesoscopic superconducting sphere. The magnetic
field streamlines are closed since the dipole is their only source and sinkhole. Conse-
quently, the vortices, which follow the streamlines, are confined loops, whose origin
and disappearance only occur in the poles of the magnetic dipole. We show that the
first stable configuration is made of exactly three confined vortex loops vortices and
not of any another number. For large magnetic moment values, the confined vortex
loops spring to the superconductor’s surface giving rise to external vortex pairs.
In Chapter 6 we study the dynamics of confined vortex loops in presence of an
applied electric current. This dynamics is analyzed for the simplest choices of current
orientation with respect to the magnetic dipole and the plane that contains the loop.
We solve the equation of motion in the flux flow regime within the approximation of
a rigid loop. Estimations for the characteristic frequencies of the periodic motions,
such as the growth of the loop and its subsequent shrinkage after touching the
surface, are also obtained here.In Chapter 7 we apply the Landau-Ott scaling to obtain the upper critical field
Hc2(T ) as a function of the temperature T , normalized by its known value at some
reference temperature. We conclude the existence of a temperature T !, above the cri-
tical temperature Tc, where Hc2(T !) vanishes. The meaning of this new temperature
is related to the end of long-range order, possibly because above this temperature
the superconductor splits into a multi-domains structure without phase coherence.
Samenvatting
In deze thesis worden de eigenschappen van vortices in driedimensionale nanos-
tructuur supergeleiders bestudeerd. Nanostructuur supergeleiders zijn supergelei-
ders waarvan de dimensies van dezelfde grootte orde zijn als de coherentie lengte
van het bestudeerde materiaal. Deze supergeleiders kunnen we in twee klassen
indelen: diegene die afmetingen hebben die vergelijkbaar zijn met de coherentie
lengte (mesoscopische supergeleiders) en bulk supergeleiders. Deze laatste hebben
dan niet-supergeleidende gebieden met afmetingen vergelijkbaar met de coherenti-
elengte (mesoscopische inclusies). Nanostructuur supergeleiders vertonen een in-
trinsieke metastabiliteit in hun magnetisch gedrag. Dit wordt veroorzaakt door de
aanwezigheid van meerdere mogelijke configuraties bij een zelfde thermodynamische
toestand, die gedefinieerd wordt door het magnetische veld en de temperatuur. Deze
configuraties met bijna gelijke energieën komen overeen met vortex structuren met
een verschillend kwantumgetal, zoals het angulair moment.
Deze thesis bestaat uit drie delen bestaande uit nieuwe bijdragen. In het eerste
deel, namelijk in hoofdstukken 3 en 4, worden de nanostructuur supergeleiders bes-
tudeerd met behulp van het numeriek oplossen van de Ginzburg-Landau theorie
door gebruik te maken van de methode van de “simulated annealling en het Metro-
polis - Monte Carlo algoritme. De Ginzburg-Landau theorie wordt geherformuleerd
om de randvoorwaarden te introduceren in de uitdrukking voor de vrije energie.
Deze nieuwe versie zorgt voor een geünificeerde kijk op de supergeleidende en niet-
supergeleidende gebieden. Op deze manier worden de twee types nanostructuur
materialen complementair, want de supergeleidende gebieden zijn steeds omgeven
door een niet-supergeleidend gebied en omgekeerd. De vorm van de inclusies bin-
nen de supergeleider, of de vorm van de mesoscopische supergeleider omgeven door
een niet-supergeleidend materiaal, kunnen eenvoudig gemanipuleerd worden in deze
xiii
theoretische benadering. In het tweede deel, in hoofdstuk 5 en 6, worden de e!ecten
van magnetische inclusies in het inwendige van de supergeleider bestudeerd. We
tonen aan dat de aanwezigheid van magnetische inclusies aanleiding geeft tot het
ontstaan van vortex lussen. De fase gedefinieerd door deze vortex toestanden is een
voorloper van een lange afstandsorde, bekend als de spontane vortex fase. De e!ec-
ten veroorzaakt door een aangelegd elektrisch veld op de vortex lussen worden ook
behandeld. Het derde deel, hoofdstuk 7, gaat meer over experimenten. We analy-
seren hier de isothermische magnetisatie curves zoals opgemeten door Y. Wang et
al. [Phys. Rev. Lett. 95 247002 (2005)] bij ondergedopeerd en optimaal gedopeerd
Bi2Sr2CaCu2O8+! materiaal.
In het derde hoofdstuk van deze thesis gebruiken we numerieke minimalisatie
technieken die ons toelaten om driedimensionale oplossingen te vinden. Dit hebben
we toegepast op nanostructuur supergeleiders met sferische mesoscopische inclusies.
We hebben de straal van deze inclusies gevarieerd, waarbij de afstand tussen de
inclusies in nabijgelegen cellen vast gehouden werd. Deze isolerende of metallische
bollen vangen een toenemend aantal vortex lijnen op en creëren zo een “entangled
state. De configuratie en de vorm van de lijnen zijn een resultaat van een competitie
tussen de verschillende aanwezige energiebijdragen: de elastische energie, veroorza-
akt door de vervorming van een vortex lijn om een bepaalde inclusie te bereiken, de
pinning van de vortex door de inclusie en de afstoting tussen twee naburige vortices.
Bij het maximale kritische veld wordt de vortex-inclusie interactie gewijzigd, zodat
er giant vortices ontstaan, die veroorzaakt worden door het ineenstorten van de vers-
chillende vortices die door een inclusie opgevangen worden. In deze thesis bewijzen
we dat de vrije energie van de supergeleider met isolerende sferische inclusies kleiner
is dan die van een homogene supergeleider. Bij een metallische inclusie treedt dit
e!ect niet op en is de vrije energie van het systeem met inclusies steeds groter. Het
is dus voordeliger voor vortices om zich te vormen in een supergeleider met een
poreuze structuur of om een poreuze structuur binnenin de supergeleider te vero-
orzaken. We hebben ook het gedrag van vortices bestudeerd in een nanostructuur
supergeleider met twee isolerende bollen per eenheidscel. Deze bollen vormen een
zigzaglijn. Afhankelijk van de grootte en positie van de zigzaglijn zal het traject van
de vortex vervormen zodat de vortex deze inclusies kan bereiken. Dit gebeurt totdat
de baan een maximale lengte bereikt, waarna een depinning overgang optreedt.
In het vierde hoofdstuk bestuderen we een supergeleidende cilinder en een super-
xiv
geleidende bol die beiden een mesoscopische dimensie hebben. We hebben de mag-
netisatiecurves van toestanden met een verschillende vorticiteit en de magnetisatie
cycli in deze driedimensionale structuren berekend. De magnetische veldsterkte,
maar ook de oriëntatie ervan ten opzichte van de geometrie van de structuren, werd
gevarieerd. Wanneer dit veld gekanteld werd ten opzichte van de as van de cilinder
werden er structurele veranderingen van de vortex configuraties en van het aantal
vortices in het systeem geobserveerd.
In het vijfde hoofdstuk zochten we het vortex patron dat veroorzaakt wordt door
de aanwezigheid van een magnetische dipool in het centrum van de mesoscopische
supergeleidende bol. Omdat dit magnetische veld gesloten veldlijnen creëert, worden
de vortices sterk bëınvloed door de topologie van het veld veroorzaakt door de ge-
bonden vortex lussen. Deze kunnen enkel ontstaan en verdwijnen in de polen van de
magnetische dipool. We tonen aan dat de eerste stabiele configuratie van gebonden
vortex lussen rond de dipoolas slechts drie vortices heeft. Andere aantallen komen
niet voor. Bij grotere magnetische momenten komen de vortex lussen tevoorschijn
op het oppervlak van de supergeleider en geven zo aanleiding tot externe vortex
paren.
In het zesde hoofdstuk bestuderen we de dynamica van gebonden vortex lussen
in de aanwezigheid van een elektrische stroom. Het gedrag van de lus wordt gea-
nalyseerd als functie van de richting van de stroom ten opzichte van de magnetische
dipool en het vlak dat de lus bevat. We lossen de bewegingsvergelijkingen in het
flux flow regime, gebruik makend van de benadering van een starre lus. De karak-
teristieke frequenties van het verschijnen rond de dipool en het verdwijnen aan het
oppervlak van de vortex lus werden ook bekomen.
In het zevende deel passen we de Landau-Ott scaling toe om het gedrag van
het grootste kritische veld Hc2(T ) als functie van de temperatuur T , genormaliseerd
door zijn gekende waarde bij een referentietemperatuur, te verklaren. We kunnen
hier het bestaan van een temperatuur T ! waarbij Hc2(T !) nul wordt aantonen. Deze
temperatuur is groter dan de kritische temperatuur Tc. De betekenis van deze nieuwe
temperatuur is gerelateerd aan het einde van de lange afstandsorde, waarbij de
supergeleider opgesplitst wordt in meerdere domeinen zonder fase coherentie tussen
de gebieden.
Sumário
Folha de rosto i
Folha de aprovação ii
Ficha catalográfica iii
Dedicatória iv
Agradecimentos v
Resumo vi
Abstract ix
Samenvatting xii
Glossário xviii
1 Introdução 2
2 Teoria de Ginzburg-Landau 8
2.1 Comprimentos caracteŕısticos . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 10
2.2 Os dois tipo de supercondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 A corrente supercondutora e a magnetização . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 O regime linear e o de ! ! 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Incorporando as condições de contorno no funcional de energia . . . . 13
2.6 A magnetização em supercondutores tipo-II extremos . . . . . . . . . 15
2.7 Unidades reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Supercondutores nano-estruturados com inclusões mesoscópicas 17
3.1 Transição para um supercondutor com cavidades isolantes . . . . . . 19
3.2 Propriedades da linha de vórtice nos supercondutores volumétricos
com duas inclusões mesoscópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 A modelagem das inclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1.a O modelo de rotação de duas inclusões . . . . . . . . 29
3.2.1.b O modelo de deslocamento de duas inclusões . . . . . 31
SUMÁRIO xvi
3.2.2 Comportamento cŕıtico da linha de vórtice no modelo de rotação 33
3.2.2.a Dependência da energia com os parâmetros do mo-
delo de rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.3 Comportamento cŕıtico da linha de vórtice no modelo de des-
locamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.4 Múltiplos vórtices e as inclusões mesoscópicas . . . . . . . . . 51
3.3 Principais resultados e conclusões desse caṕıtulo . . . . . . . . . . . . 53
4 Supercondutores mesoscópicos em campo aplicado 55
4.1 Efeitos das condições de contorno sobre a configuração de vórtice nos
supercondutores mesoscópicos tridimensionais . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.1 Descrição dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.2 Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Vórtices inclinados em um cilindro supercondutor mesoscópico . . . . 67
4.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.2 Campo magnético paralelo e perpendicular . . . . . . . . . . . 68
4.2.3 A transição entre vórtice gigante e multivórtice . . . . . . . . 75
4.2.4 Campo inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.4.a Zero-para-zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.4.b Um-para-zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.4.c Um-para-um . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.4.d Dois-para-um . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.4.e Três-para-um . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.4.f Três-para-dois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.5 Análise do comprimento do vórtice . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3 Principais resultados e conclusões desse caṕıtulo . . . . . . . . . . . . 89
5 A coexistência de magnetismo e supercondutividade 93
5.1 Triplete de laços de vórtices em supercondutores com um núcleo
magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Aspectos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 A simetria triplete - threefold symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 A evolução dos estados de vórtice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.5 Principais resultados e conclusões desse caṕıtulo . . . . . . . . . . . . 103
6 A dinâmica dos laços de vórtices confinados 106
6.1 A forma dos laços de vórtices confinados . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2 Corrente paralela ao dipolo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.1 Equação de movimento para o segmento transversal . . . . . . 113
6.3 Corrente perpendicular ao dipolo magnético . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3.1 Resistividade do regime flux flow . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.4 Principais resultados e conclusões desse caṕıtulo . . . . . . . . . . . . 120
SUMÁRIO xvii
7 A lei de escala de Landau-Ott para o campo cŕıtico superior dos
supercondutores de alta temperatura cŕıtica 123
7.1 O desaparecimento do campo cŕıtico superior no composto Bi2Sr2CaCu2O8+!
baseado na lei de escala de Landau-Ott . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2 Aspectos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.3 Principais resultados e conclusões desse caṕıtulo . . . . . . . . . . . . 130
A A teoria de Ginzburg-Landau na rede 133
A.1 A energia livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.2 A densidade de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
A.3 Quasi-periodicidade e invariância de gauge . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.3.1 Translação do Parâmeto de ordem na rede . . . . . . . . . . . 135
A.3.2 Translação do Potencial vetor na rede . . . . . . . . . . . . . . 135
A.3.3 Determinação do gauge "µ(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.3.4 Relações envolvendo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A.4 Solução para os termos de campo: "B e "h(n) . . . . . . . . . . . . . . 137
A.4.1 Indução Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.4.2 Campo magnético local constante . . . . . . . . . . . . . . . . 137
B O método de recozimento simulado (Simulated Annealing) 138
B.1 O recozimento simulado aplicado à teoria de Ginzburg-Landau na rede140
B.2 Funcional de Ginzburg-Landau na rede 3-D . . . . . . . . . . . . . . 142
B.2.1 Simplificando a energia livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
B.2.2 Variação da parte Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B.2.3 Variação da parte Imaginária . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B.2.4 Variação do potencial vetor:Ax . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
B.2.5 Variação do potencial vetor:Ay . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
B.2.6 Variação do potencial vetor:Az . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Referências bibliográficas 160
Glossário
Hc(T ) - Campo cŕıtico termodinâmico que define a transição Supercondutor/Normal
nos supercondutores tipo-I.
Hc1(T ) - Campo cŕıtico inferior à temperatura T . Seu valor define a intensidade
mı́nima do campo magnético necessária para permitir a nucleação de vórtices
em um supercondutor tipo-II.
Hc2(T ) - Campo cŕıtico superior à temperatura T . Seu valor define a intensidade
do campo magnético capaz de destruir a supercondutividade no interior de um
supercondutor tipo-II. Hc2(T ) > Hc1(T )
Hc3(T ) - Campo cŕıtico superficial. Seu valor define a intensidade do campo magnético
capaz de destruir a supercondutividade remanescente que existe apenas em
torno da superf́ıcie nos supercondutores tipo-II. Hc3(T ) > Hc2(T ).
hL - Campo de nivelamento, deriva diretamente da expressão inglesa matching
field. Corresponde ao valor do campo magnético capaz de tornar as energias
livre associada aos estados com vorticidade L e L + 1 idênticas.
H" - Campo magnético orientado paralelamente ao eixo principal de um cilindro.
H# - Campo magnético orientado perpendicularmente ao eixo principal de um
cilindro.
n"max - Número máximo de vórtices que podem ser acomodado sob campo paralelo
ao eixo principal.
n#max - Número máximo de vórtices que podem ser acomodado sob campo perpen-
dicular ao eixo principal.
Href - Campo magnético experimental capaz de destruir a supercondutividade em
um cilindro de altura D e raio R aplicado paralelamente ao eixo principal.
SUMÁRIO 1
h(T ) - Campo cŕıtico superior à temperatura T normalizado pelo campo cŕıtico su-
perior à temperatura de referência T0. Pode ser reescrito como Hc2(T )/Hc2(T0).
Tc - Temperatura cŕıcia que define a transição Supercondutor/Normal.
T ! - Temperatura cŕıtica obtida pela extrapolação da curva Hc2(T ) no ponto em
que Hc2(T !) = 0.
CVL - Laço de vórtice confinado. deriva diretamente da expressão inglesa confined
vortex loop. Corresponde a um estado em que a trajetória do vórtice é uma
curva fechada.
EVP - Par de vórtices externos. Deriva diretamente daexpressão inglesa external
vortex pairs. Corresponde a um estado produzido pelo rompimento do CVL.
µB - Magneton de Bohr cuja expressão é µB = #0rc/2$, onde rc é o raio clássico
do elétron.
µ0 - Unidade de momento magnético utilizada pela descrever o campo de dipolo na
vizinhança de vórtices cuja expressão é µ0 = #0%/2$, onde % é o comprimento
de coerência.
Caṕıtulo 1
Introdução
A supercondutividade foi descoberta em 1911 por Heike Karmelingh Onnes em
Leiden - Holanda (87). Esse descobrimento foi conseqüência dos sucessivos avanços
das técnicas de laboratório empregada na obtenção de temperaturas cada vez mais
baixas que começaram quando Louis Caillet na França (118) e Raoul Piectet na Súıça
(119) conseguiram liquefazer com sucesso pequenas quantidades de ar, Nitrogênio
e Hidrogênio em 1877. No caso de Cailletet, ele usou o efeito Joule-Thomson para
liquefazer os gases. O gás era comprimido enquanto era resfriado e em seguida o gás
submetido a expansão livre, resfriando-se ainda mais. O resultado foi a produção de
algumas gotas de oxigênio após sucessivas repetições destes procedimentos. Piectet
liquefez o gás oxigênio de maneira completamente distinta, combinando ácido sul-
furosos e carbônicos. Esses gases eram famosos naquela época porque as tentativas
anteriores de liquefazê-los realizadas por Michael Faraday e outros renomados pes-
quisadores haviam sido mal sucedidas (26) o que criou uma atmosfera de competição
em busca de temperaturas cada vez mais baixas. A f́ısica de baixas temperaturas
consolidou-se em 1891 quando Z. F. Wroblewski em Cracóvia - Polônia obtive com
sucesso a condensação de ar ĺıquido em quantidades suficientes para implementações
experimentais. Wroblewski passou a investigar a resistividade elétrica de metais pu-
ros e verificou que esses materiais possúıam uma curiosa dependência com a tempe-
ratura. Suas observações sugeriam que a resistência elétrica nesses metais se anularia
a uma temperatura não nula. Essa intrigante possibilidade gerou diversas teorias
para descrever o comportamento de resistividade no limite de baixas temperaturas.
Em 1892, James Dewar, na Inglaterra, inventou (117) uma câmera de vácuo, que
hoje é denominada com o nome de seu criador, que o possibilitou obter, armazenar
e transportar quantidades experimentais de hidrogênio ĺıquido. Suas observações
Introdução 3
sobre o comportamento da resistividade em baixas temperaturas, ao contrário do que
se acreditava na época, mostraram que & tornava-se gradativamente independente
da temperatura.
Menos de duas décadas depois que, em Glasgow - Escócia, William Ramsay des-
cobriu em 1895 que o Hélio existe na Terra, Karmeling Onnes conseguiu liquefazê-lo
em 1911. O Helio ĺıquido tornou dispońıvel para experimentos em temperaturas uma
ordem de grandeza mais baixas do que as então dispońıveis. Três anos mais tarde,
Karmeling Onnes e seu estudante G. Holst descobriram o notável desaparecimento
descont́ınuo da resistência elétrica em uma amostra de Mercúrio ocorrida na tem-
peratura critica Tc = 4, 2 K, obtida à medida em que a amostra era resfriada com
o aux́ılio de um reservatório de hélio ĺıquido. Em um experimento posterior, uma
corrente persistente foi induzida em uma pequena porção de Mercúrio. Esse novo
fenômeno foi chamado de supracondutividade (do latim supra - além de), significa
literalmente além da condutividade. A denominação atual supercondutividade, ape-
sar de ser silabicamente parecida, faz referência a uma condutividade potencializada,
como denominado pelo prefixo super.
Figura 1.1: Medidas da resistividade do
Mercúrio (Hg) em função da tempera-
tura feitas por H. K. Onnes em Leiden-
Holanda. À temperatura Tc = 4, 2 K a
resistividade cai abruptamente para zero,
dando lugar a supracondutividade, como
o Onnes se referiu a esse novo estado. A
figura foi extráıda de seu artigo original de
1911.
Em 1933 a descoberta do diamagnetismo perfeito por Walter Meissner e R. Och-
senfeld em Berlim-Alemanha mostrou que a supercondutividade era um fenômeno
termodinamicamente reverśıvel. A essa descoberta se seguiu rapidamente o modelo
de dois flúıdos de Cornelis Gorter e Hendrik Casimir e as equações de Fritz e Heinz
London descrevendo a eletrodinâmica do fenômeno em termos de correntes superfici-
ais que limitam a penetração do campo magnético a um comprimento de penetração
'. A investigação de Brian Pipppard a respeito do comportamento de ' como uma
função do livre caminho médio do elétron resultou na versão não-local da teoria de
Introdução 4
London.
Na então União Soviética,, investigações do estado intermediário em que regiões
supercondutoras coexistem com regiões normais em presença de um campo magnético
externo resultou, em 1950, na teoria fenomenológica proposta por Vitaly L. Ginz-
burg e Lev Landau (45).
A teoria de Ginzburg-Landau, como é conhecida, foi uma aplicação da teoria
de transição de fases, desenvolvida anteriormente por Landau, onde foi adotado um
parâmetro de ordem complexo que depende da posição. Por se tratar de uma teoria
fenomenológica, os valores para a massa e carga das part́ıculas envolvidas podiam
ser tratados por valores efetivos, o que levou a grandes divergências entre os formu-
ladores da teoria. Em 1955, baseado em comparações com experimentos, o próprio
Ginzburg concluiu que a carga efetiva das part́ıculas envolvidas com a supercondu-
tividade era de duas a três vezes a carga do elétron. O trabalho experimental de Lev
Shubnikov já tinha estimulado Alexei Abrikosov em 1957 para estender a teoria de
Ginzburg-Landau de forma a incluir os sistemas em que a energia de superf́ıcie entre
as regiões normal e supercondutora fossem negativas (1). Abrikosov previu um novo
estado, conhecido por supercondutor do tipo-II, em presença de campo magnético
acima de um valor mı́nimo Hc1. A notável intuição subjacente a essa teoria tornou-
se evidente logo depois que histórico artigo de John Bardeen, Leon Cooper e Robert
Schrie!er (8; 86) apareceu em 1957 onde eles mostraram que nos supercondutores
ocorre o emparelhamento de elétrons com momentos e spins opostos. O condensado
desses pares de part́ıculas de spin nulo, formalmente quase-part́ıculas bosônicas, é o
responsável pela supercondutividade. Lev Gorkov obteve as equações de Ginzburg-
Landau a partir da teoria microscópica BCS, assim mostrando a equivalência do
parâmetro de ordem com a função de onde do par do condensado.
Muito antes da teoria BCS, Fritz London tinha previsto que se a função de onda
supercondutora fosse única, o fluxo magnético teria de ser quantizado em múltiplos
de h/c. Em 1961, duas medições independentes do fluxo quântico magnético for-
neceram uma verificação da teoria do emparelhamento (24; 27). Os experimentos
encontraram que o fluxo quântico era somente a metade da quantidade prevista por
London, indicando que a unidade de carga relevante é a de um par de elétrons.
Em 1962, pensando sobre a possibilidade do tunelamento de elétrons empare-
lhados através de uma barreira, Brian Josephson previu exóticas propriedades para
uma corrente direta (dc) e alternada (ac) através de uma junção supercondutora e
Introdução 5
Figura 1.2: Primeira observação experi-
mental do efeito Josephson feita em 1963
por John Rowell. No eixo y é mos-
trado a corrente cŕıtica através da junção
em função do campo magnético aplicado,
no eixo x. O padrão de interferência
e a redução da amplitude em três or-
dens de grandeza eliminou os argumentos
contrários as previsões de Brian Joseph-
son. O gráfico foi extráıdo do artigo origi-
nal Phys. Rev. Lett. 11, 200 (1963)
os efeitos da interferência quântica (53). O tunelamento de elétrons emparelhados
era considerado como imposśıvel até que Rowell e Philip W. Anderson confirmarem
experimentalmenteas previsões de Josephson (3; 99). A Fig. 1.1 mostra a primeira
observação experimental do efeito Josephson feita por Jonh Rowell em 1963 que pôs
fim a controvérsia dos resultados antecipados por Josephson. A interferência entre
duas junções de tunelamento supercondutoras paralelas foi observada pela primeira
vez por um cientista da Ford (51). Eles introduziram o acrônimo SQUID - super-
conducting quantum interference device - para esse novo dispositivo de interferência
quântica supercondutora.
Após a segunda guerra mundial, houve um enorme interesse pela procura de
novas famı́lias supercondutoras que proporcionassem implementações tecnológicas.
Bernard Matthias e John Hulm na Alemanha foram pioneiros nessa atividade, por
volta dos anos de 1950. Extensivas investigações nesse sentido resultaram na desco-
berta de milhares de supercondutores. Sem dúvida, a mais espetacular achado dessa
abordagem veio três décadas mais tarde com a descoberta da supercondutividade
nos cupratos lamelares por Georg Bednorz e Karl Alexander Müller nos laboratórios
da IBM em Zurique - Súıça (9).
Muitos compostos binários interessantes de metal-metalóides foram encontrados
nos anos anteriores à descoberta de Bednorz e Müller, particularmente aqueles como
o V3Si e Nb3Sn (47; 73). A temperatura de transição supercondutora mais elevada
conhecida naquela época, pouco acima de 20 K, foi encontrada na famı́lia desses
Introdução 6
Figura 1.3: As medidas experimentais
de Nb3Sn transportado elevadas correntes
elétricas em presença de campo magnético
tornou os supercondutores aplicáveis nà
construção de magnetos de alta potência.
No eixo y é mostrada a corrente cŕıtica
medida em ampères e no eixo x o campo
magnético medido em kilogauss para dife-
rentes seções transversais se temperaturas.
A Figura foi extráıda do artigo original de
J. E. Kunzler et al., Phys. Rev. Lett. 6
89. (1961)
compostos binários. NbTi, uma liga com célula unitária cúbica de corpo centrado
tem se tornado o pilar da tecnologia de magnetos nos dos dias presentes, como
mostrado na Fig. 1.3 extráıda do artigo original de 1961.
Em 1961 Eugene Kunzler e colaboradores encontraram que amostras de Nb3Sn
suportavam elevadas correntes (excedendo 150 kiloamps) em campo magnéticos
acima de 8.8 Teslas (60).
Vórtices nos supercondutores fornecem um exemplo altamente acesśıvel de ob-
jetos unidimensionais interagindo através de um simples potencial em presença de
desordem controlada. Essas maleáveis linhas de fluxo magnéticos mostram um com-
plexo comportamento no equiĺıbrio refletindo a natureza de fases ĺıquidas, cristalinas
e amorfas. Além disso, elas podem ser submetidas a uma força externa através da
aplicação de uma corrente, permitindo que estados estacionários constitúıdos com
a dinâmica dos movimento dos vórtices sejam estabelecidos e explorados. Como
as fases de equiĺıbrio, as fases dinâmicas exibem notável complexidade, incluindo
diversos tipos de movimento plástico e elástico separados por novas fases dinâmicas.
O controle dos vórtices nos supercondutores de alta temperatura cŕıtica com
base nos filmes finos tem possibilitado o desenvolvimento de tecnologias como o
transporte de altas correntes elétricas em fios e cabos supercondutores imersos em
Introdução 7
Figura 1.4: Fio supercondutor flex́ıvel de multi-filamento feito com supercondutor
de alta temperatura cŕıtica Bi2Sr2CaCu2O8 (BSCCO) e imersos em uma envoltória
de prata. O material supercondutor é inserido na forma de pó em um conjunto de
pequenos tubos no interior de uma cabo de prata, mostrado na parte central da
figura. Em seguida o cabo é prensado e submetido a tratamento térmico até forma
um cabo plano e flex́ıvel. A foto pertence a American Superconductor Corp.
um meio metálico. Muitas das potenciais aplicações requerem uma densidade de
corrente elevada com um mı́nimo de dissipação, condição que necessita a imobi-
lização ou ancoramento dos vórtices contra a força de Lorentz induzida por uma
corrente externa. Como um resultado prático desse esforço, a Fig. 1.4 mostra um
fio supercondutor constitúıdo por uma centena de micro fios de Bi2Sr2CaCu2O8
(BSCCO) embebidos num envoltório de prata. Nos dias atuais, o conhecimento
necessário para impulsionar a performance de supercondutores foi gerada prelimi-
narmente por engenheiros e cientistas de materiais trabalhando empiricamente em
problemas espećıficos. Agora, um cenário muito mais fundamental e detalhado da
f́ısica de vórtices tem emergido, para o ponto onde prinćıpios gerais desenvolvidos
nos últimos anos podem ser utilizados para entender e controlar o comportamento
dos vórtices.
Caṕıtulo 2
Teoria de Ginzburg-Landau
Vitaly L. Ginzburg e Lev Landau desenvolveram uma teoria fenomenológica ba-
seada na teoria de transição de fase de segunda ordem anteriormente desenvolvida
por Landau. Eles introduziram a função de onda ((r) para os elétrons supercon-
dutores como um parâmetro de ordem complexo não nulo quando T < Tc e zero
para T ! Tc. O parâmetro de ordem introduzido é relacionado com a densidade dos
elétrons supercondutores ns pela expressão |((r)|2 = ns/2.
A teoria de Ginzburg-Landau expressa a energia livre associada ao estado su-
percondutor em termos de uma expansão em potências do parâmetro de ordem.
Próximo da transição supercondutor/normal, que ocorre à temperatura cŕıtica Tc,
o parâmetro de ordem é pequeno, permitindo escrever a energia livre na seguinte
forma:
F =
!
dv
V
"
")(T ) |((r)|2 + 1
2
*(T ) |((r)|4 +
+
!2
2m!
####
$
#" ie
!
!c A(r)
%
((r)
####
2
+
1
8$
|#$A|2
&
, (2.1)
onde )(T ) e *(T ) são parâmetros fenomenológicos espećıficos do material, e e!
e m! são a carga e a massa dos pares de Cooper com valores duas vezes a de
um elétron. Existem formulações mais gerais que também consideram os termos
|((r)|6 e |((r)|2#|((r)|2 além dos termos presentes na Eq. (2.1). Contudo, es-
sas formulações mais gerais adicionam correções muito pequenas. Os parâmetros
)(T ) e *(T ) podem ser reescritos de forma que suas dependências expĺıcitas com a
Teoria de Ginzburg-Landau 9
temperatura é da forma
)(T ) = )0(T " Tc) (2.2)
*(T ) = * (2.3)
com )0 e * maiores do zero.
A determinação do parâmetro de ordem ((r) deve ser feita de uma maneira que
a energia livre da Eq. (2.1) é minimizada. Explicitamente, essa condição impõe que
+F
+(!
= 0, (2.4)
+F
+A
= 0, (2.5)
resultando, respectivamente, na primeira e segunda equação de Ginzburg-Landau
" )(T )((r) + *(T )((r) |((r)|2 " !
2
2m!
$
#" ie
!
!c A(r)
%2
((r) = 0 (2.6)
#$#$A(r) = "ie
!!
2m!
[(!(r)#((r)" ((r)#(!(r)]" e
2
m!c
|((r)|2 A(r) (2.7)
A condição de contorno associada à Eq. (2.6) são da forma
$
#" ie
!
!c A(r)
%
· n̂((r) = 1
b
((r), (2.8)
onde o valor de b depende do tipo de interface entre o material supercondutor e o
meio exterior. Alguns casos podem ser considerados da seguinte forma:
b =
'
(((()
((((*
+% se o meio exterior for isolante ou vácuo
> 0 se o meio exterior for um metal no estado normal
0 se o meio exterior for magnético
< 0 se o meio exterior for um supercondutor com um Tc mais elevado
(2.9)
O caso b & % corresponde à situação em que a densidade de corrente super-
condutora não pode fluir para fora do supercondutor. Com uma escolha apropriada
Teoria de Ginzburg-Landau 10
para o “gauge”do potencial vetor, a Eq. (2.8) pode tornar-se equivalente à condição
de contorno de Neumman. Este é o caso mais importante entre os apresentados na
Eq. (2.9). Explicitamente, a Eq. (2.8) torna-se
$
#" ie
!
!c A(r)
%
· n̂((r) = 0. (2.10)
Valores positivos de b correspondem a um meio exterior condutor enquanto que
valores negativos correspondem a um meio magnético.
A condição de contorno associada à Eq. (2.7) exige que longe do supercondutor
o campo local seja igual ao campo aplicado
lim
r$%H(r) = Hext. (2.11)
Essa condição pode ser aplicada em termo do potencial vetor, tal que,
lim
r$%
A(r) = Aext(r). (2.12)
2.1 Comprimentos caracteŕısticos
A teoria de Ginzburg-Landau introduz duas importantes escalas de comprimento:
o comprimento de coerência %(T ) e o comprimento de penetração '(T ). A primeira
escala indica o comprimento t́ıpico das variações do parâmetro de ordem ((r). O
comprimento de coerência é relacionado com os parâmetros fenomenológicos )(T ) e
* pela expressão
%(T ) =
+
!2
2m!|)(T )| . (2.13)
Como )(T ) é expresso em termos da Eq. (2.2), a dependência da temperatura no
comprimento de coerência assume a forma
%(T ) ' (Tc " T )&1/2. (2.14)
A segunda escala indica o comprimento t́ıpico das variações do campo magnético
H(r). O comprimento de penetração '(T ) é relacionado com )(T ) e * pela ex-
Teoria de Ginzburg-Landau 11
pressão
'(T ) =
+
m!c2*
16$|)(T )|e2 (2.15)
Utilizando-se novamente a Eq. (2.2) nós determinamos o comportamento do
comprimento de penetração em função da temperatura, correspondendo à seguinte
forma:
'(T ) ' (Tc " T )&1/2 (2.16)
2.2 Os dois tipo de supercondutores
A razão entre o comprimento de penetração '(T ) e o comprimento de coerência %(T )
define a constante de Ginzburg-Landau ! = '(T )/%(T ). Os diferentes valores para a
razão dos comprimentos caracteŕısticos resulta em dois tipos de comportamento para
os supercondutores. Os supercondutores do tipo I correspondendo aos materiais que
possuem ! < 1/
(
2 e os do tipo II correspondendo aos que possuem ! > 1/
(
2.
Nos supercondutores tipo-I o material supercondutor apenas apresenta a fase
Meissner, que correspondo a uma completa expulsão do campo magnético no interior
do material para campos magnéticos inferiores ao campo cŕıtico Hc. Para campos
mais intensos a supercondutividade é destrúıda.
Nos supercondutores tipo-II, os campos magnéticos com intensidade menores
do que Hc1, o campo cŕıtico superior, são completamente expulsos do interior do
supercondutor. Para intensidade no intervalo Hc1 < H < Hc2, com Hc2 sendo o
campo cŕıtico superior, o campo magnético penetra no material por meios de tubos
de fluxos magnéticos contendo um número inteiro de unidades de fluxos quânticos
#0. Para campos mais intensos que Hc2 a supercondutividade é destrúıda.
2.3 A corrente supercondutora e a magnetização
A densidade de corrente é obtida a partir da Eq. (2.7) e com a lei de Ampère
J =
"ie!!
2m!
[(!(r)#((r)" ((r)#(!(r)]" e
2
m!c
|((r)|2 A(r) (2.17)
Teoria de Ginzburg-Landau 12
A resposta magnética do supercondutor a um campo externo é obtida direta-
mente da distribuição de corrente no interior do meio, de acordo com a expressão
da eletrodinâmica clássica
M =
1
2c
!
dv
V
r $ J (2.18)
A expressão acima possibilita extrair informação sobre a componente da mag-
netização paralela ao campo Hext e também sobre as componentes perpendiculares.
Uma outra forma de obter a resposta magnética do supercondutor é calcular a dife-
rença entre o campo externo e a média do campo local
M =
Hext " )H(r)*
4$
(2.19)
onde Hext é o campo externo e H(r) = #$A(r) é o campo local determinado pela
Eq. (2.7).
2.4 O regime linear e o de ! ! 1
As Eq. (2.6) e (2.7) são a base para a determinação do parâmetro de ordem e do
potencial vetor associados com a supercondutividade. Essas duas equações precisam
ser solucionadas conjuntamente, pois estão acopladas. Contudo, existem algumas
situações que permitem o desacoplamento e simplificação dessas equações. Duas
situações são particularmente interessantes, pois permitem obter soluções anaĺıticas
para o parâmetro de ordem.
O primeiro regime corresponde ao limite linear da Eq. (2.6), conhecido como
teoria de Ginzburg-Landau Linearizada. De acordo com a Eq. (2.6), o parâmetro de
ordem é determinado por uma equação diferencial envolvendo um termo proporcio-
nal a ((r) e um termo proporcional a ((r)|((r)|2. Se considerarmos que ((r) + 1,
nós podemos eliminar o termo de ordem mais alta, tal que
((r) + ((r)|((r)|2 , ((r) (2.20)
A equação resultante torna-se idêntica à equação de Schrödinger para uma part́ıcula
de carga e! e massa m! em presença de um campo magnético H(r) = ! $A(r),
Teoria de Ginzburg-Landau 13
cujos método de resolução são bem conhecidos. A condição de que ((r) seja pequeno
pode ser obtida quando T está bastante próximo de Tc e o campo magnético está
próximo de Hc2. Apesar das soluções obtidas com a aproximação linear possúırem
validade restrita a campo e temperatura próximo aos valores cŕıticos, é posśıvel
descrever o comportamento do supercondutor muito abaixo de Tc e a qualquer campo
expandindo o parâmetro de ordem em termos das funções obtidas com a aproximação
linear.
O segundo regime corresponde a um comprimento de penetração '(T ) muito
maior do que o tamanho da amostra. Essa condição faz com que o campo magnético
atravesse completamente o supercondutor sem sofrer variações locais, permitindo
que as Eq. (2.6) e (2.7) sejam desacopladas. O potencial vetor da Eq. (2.7) torna-
se igual ao potencial vetor associado ao campo externo. Essa condição é obtida
nos supercondutores que possuem ! ! 1, os chamados supercondutores fortemente
tipo-II.
H(r) = Hext(r) = #$A(r) (2.21)
Ao longo de toda a tese nós utilizaremos o limite de ! ! 1 na obtenção dos esta-
dos de vórtices em diferentes distribuições de campo magnético e nas várias formas
dos supercondutores. Nessa aproximação, a energia livre torna-se um funcional que
depende apenas do parâmetro de ordem.
2.5 Incorporando as condições de contorno no fun-
cional de energia
O grande entrave para encontrar os extremais do funcional da energia livre descrito
na Eq. (2.1) é aplicar as condições de contorno Eq. (2.4) e (2.5) às equações di-
ferenciais das Eq. (2.6) e (2.7) pois exige que a cada geometria a formulação das
fronteiras seja representada em um sistema de coordenadas espećıfico. Para in-
corporar as condições de contorno diretamente no funcional da energia livre, nós
utilizamos uma versão modificada da teoria de Ginzburg-Landau. A idéia básica é
introduzir uma função escalar tipo degrau descrevendo as regiões supercondutoras
Teoria de Ginzburg-Landau 14
e não supercondutoras. O funcional de energia nessa nova formulação é
F =
!
dv
V
"
",1(r))(T ) |((r)|2 +
1
2
*(T ) |((r)|4 +
+
!2
2m!
,2(r)
####
$
#" ie
!
!c A(r)
%
((r)
####
2
+
1
8$
|#$A|2
&
, (2.22)
A minimização da Eq. (2.22) em relação ao parâmetro de ordem (!(r) e ao
potencial vetor A(r) fornece as correspondentes equações de movimento:
",1(r))(T )((r) + *(T )((r) |((r)|2 "
!2
2m!
,2(r)
$
#" ie
!
!c A(r)
%2
((r) +
+
!
2m!
#,2(r) ·
$
#" ie
!
!c A(r)
%
((r) = 0 (2.23)
J(r) = ,2(r)
,
"ie!!
2m!
[(!(r)#((r)" ((r)#(!(r)]" e
2
m!c
|((r)|2 A(r)
-
(2.24)
com #$#$A(r) = J(r). A diferença entre a Eq. (2.23) e a Eq. (2.6) consiste na
presença do termo proporcional ao gradiente da função ,2(r). No interior das regiões
descritas por essa função, o gradiente é sempre nulo, tornando a Eq. (2.23) idêntica
a Eq. (2.6). Na fronteira, única região onde ,(r) muda de valor, o gradiente diverge
num comportamento similar a uma função delta de Dirac. Para que possamos obter
uma solução finita, a expressão
!
2m!
#,2(r) ·
$
#" ie
!
!c A(r)
%
((r) = 0 (2.25)
precisa ser satisfeita. Como conseqüência imediata da Eq. (2.25), o parâmetro de or-
dem passa a obedecer a condição de contorno de Saint James-de Gennes, Eq. (2.10).
As funções ,1(r) e ,2(r) possuem as seguintes propriedades:
se ,1(r) = 1 e ,2(r) = 1 o meio é supercondutor (2.26)
se ,1(r) = 0 e ,2(r) = 0 o meio é isolante/vácuo (2.27)
se ,1(r) = 0 e ,2(r) = 1 o meio é metálico (2.28)
Teoria de Ginzburg-Landau 15
Para a situação da Eq. (2.26), nós recuperamos o funcional da energialivre de
Ginzburg-Landau. Na situação da Eq. (2.27), a contribuição negativa e o termo de
energia cinética do funcional são removidos de maneira que a solução para Eq. (2.22)
é obtida apenas com ((r) = 0, ou seja, estamos descrevendo um meio isolante ou
vácuo. A última situação, descrita pela Eq. (2.28), apenas remove a contribuição
negativa do funcional de energia preservando o termo de energia cinética. Nessa
situação o parâmetro de ordem tende a se anular para minimizar a energia, mas
ele também tende a se adaptar ao campo magnético, fazendo com que a |((r)|2
exista nessa região na forma de flutuações. Como pode ser observado na Eq. (2.24),
a densidade de corrente que flui entre os meios descritos por ,1(r) é preservada,
descrevendo efetivamente um meio metálico. O parâmetro de ordem decai continu-
amente no interior da região descrita por ,1(r) = 0 e ,2(r) = 1.
2.6 A magnetização em supercondutores tipo-II
extremos
No limite que ! ! 1, o campo magnético atravessa o material completamente de
forma que a equação Eq. (2.19) não pode ser aplicada para determinar a magne-
tização. De forma a obter a resposta magnética nesses supercondutores, nós precisa-
mos impor que a magnetização gerada pela densidade de corrente no supercondutor
corresponda ao estado Meissner em campos magnéticos próximos de zero. Esse
procedimento pode ser traduzida pela introdução do fator de demagnetização da
seguinte forma:
M ' =
1
2c
!
dv
V
r $ J (2.29)
M = D̄ · M ' =
.
i,j=x,y,z
DijM
'
i î (2.30)
onde D̄ é o tensor de demagnetização. O valor dos coeficientes do tensor é determi-
nado pela condição do estado Meissner
4$M + H = 0. (2.31)
Que permite determinar univocamente as componentes da magnetização M . A
Teoria de Ginzburg-Landau 16
introdução do fator de demagnetização da Eq. (2.30) pode ser interpretado como
a introdução de uma constante que normaliza as componentes da magnetização de
forma que elas correspondam ao estado Meissner.
2.7 Unidades reduzidas
Ao longo de toda a tese, nós trabalharemos com unidades reduzidas de forma
que os resultados são independentes das propriedades espećıficas de determinado
material. As distâncias serão medidas em unidade do comprimento de coerência
% = !/
(
2m!), o parâmetro de ordem em unidade de (0 =
/
)/*, o potencial vetor
em unidade de #0/2$%, o campo magnético será medido em unidades do campo
cŕıtico superior Hc2 = #0/2$%2 = !
(
2Hc e a energia em termos de F0 = H2c /4$
em que Hc =
/
4$)2/* é o campo cŕıtico termodinâmico e ! é a constante de
Ginzburg-Landau. A densidade de corrente supercondutora é expressa em unidades
de j0 =
e!
2"m! (
#
$ )
2.
Em termos dessas unidade, nós podemos reescrever o funcional de energia livre
da Eq. (2.1) na seguinte representação
F =
!
dv
V
"
" |((r)|2 + 1
2
|((r)|4 +
+ |[#" iA(r)] ((r)|2 + !2 |#$A|2
&
, (2.32)
Nessa nova formulação, a densidade dos pares de Cooper |((r)|2 assume valores
entre 0 e 1, o campo magnético assume intensidade com valores t́ıpicos de até 2 e a
energia é expressa com valores entre -1 e 0.
Caṕıtulo 3
Supercondutores
nano-estruturados com inclusões
mesoscópicas
Neste caṕıtulo vamos estudar soluções periódicas da teoria de Ginzburg-Landau
tridimensional. Aqui abordamos os efeitos nos vórtices produzidos por centros de
aprisionamento (pinning centers) com tamanho %. A periodicidade introduz o con-
ceito de célula unitária, mas resultados f́ısicos devem ser invariantes sob esta escolha.
Uma particularidade da célula unitária é que ela tem condições de contorno quase-
periódicas, necessárias para descrever uma rede cúbica (veja o apêndice A.1). Esse
sistema é estudado aqui através de uma versão modificada da teoria de Ginzburg-
Landau que considera as regiões supercondutoras e não-supercondutoras da mesma
forma e satisfaz as condições de contorno durante o procedimento de minimização.
O assunto será aqui discutido e os efeitos desta escolha nos nossos resultados. Dois
problemas distintos são estudados neste caṕıtulo, aos quais chamamos de supercon-
dutor poroso e a linha em zigzag.
A compreensão da energia de superf́ıcie que separa o estado supercondutor do
isolante trouxe um avanço fundamental para a Supercondutividade. A nossa in-
tuição f́ısica frequentemente nos indica que a homogeneidade deve corresponder a
um estado de menor energia e maior estabilidade do que o estado heterogêneo. À
heterogeneidade associam-se mudanças de um parâmetro f́ısico em questão, como
a densidade, e tal nos parece ser mais custoso em termos de energia. Entretanto,
o caso do supercondutor revelou-se contra intuitivo neste aspecto. De longa data
investigou-se a possibilidade de um supercondutor se subdividir em sub-domı́nios,
isto é, em filamentos internos onde o campo aplicado está presente e o estado su-
Supercondutores nano-estruturados com inclusões mesoscópicas 18
percondutor é exclúıdo. Isto trás à tona a questão da homogeneidade versus a
heterogeneidade devido a possibilidade de coexistência de duas regiões mutuamente
exclusivas, associadas ao magnetismo e à supercondutividade. Para saber qual é
o arranjo final é preciso caracterizar o decaimento de cada uma delas na presença
da outra. Isto é definido através de dois comprimentos caracteŕısticos, ' e %, res-
pectivamente. O importante resultado que advém da teoria de Ginzburg-Landau
é que no caso mais simples de uma interface plana e infinita separando estes dois
meios o custo energético é negativo para a energia magnética ("'H2c /8$) e positivo
para a supercondutora (%H2c /8$) . Então a energia superficial total desta interface é
(("'+%)H2c /8$) e fica evidente que a comparação entre o tamanho destes dois com-
primentos é fundamental. Foi Abrikosov quem propôs a existência destes domı́nios
e portanto previu a existência de dois tipos de supercondutores, os chamados do
tipo I para ! = '/% < 1/
(
2 e II para ! > 1/
(
2. Mas ele foi além de simplesmente
prever a fragmentação do supercondutor em domı́nios. Também previu que eles
ocorreriam na forma de vórtices que são caracterizados pelo comportamento da fase
supercondutora. Muito embora esta não seja mensurável, efeitos particulares resul-
tam dela. No caso para um supercondutor volumétrico (sem fronteiras) a variação
da fase em 2$ ao redor do vórtice implica na quantização do seu fluxo magnético.
No caso do supercondutor mesoscópico, como veremos, o fluxo magnético do vórtice
não é necessariamente quantizado.
Aqui nesta tese vamos analisar o estado de vórtices num supercondutor poroso
definido pela presença de regiões no seu interior que não são supercondutoras e sim
isolantes ou metálicas. Por outro lado definimos como supercondutor homogêneo
aquele sem nenhum defeito onde a rede de vórtices é perfeita. Surpreendente-
mente encontramos que o supercondutor poroso pode ter energia menor do que
o homogêneo para certo valores de campo e de tamanho dos poros aqui tomados
como esferas de raio R. Portanto conclúı-se ser vantajoso ao estado supercondutor
induzir a nucleação de poros para reduzir a sua energia muito embora este processo
de redução não seja aqui estudado.
No problema clássico do caixeiro viajante (95), o vendedor precisa encontrar o
caminho mais curto que conecta diversas cidade situadas em posições bem definidas
que ele tem visitar. Esse é um problema de minimização que no caso de um grande
número de cidades, apresenta muitos mı́nimos locais. Isto significa que existem mui-
tos caminhos com comprimento próximo à rota mais curta. Semelhante ao caixeiro
Supercondutores nano-estruturados com inclusões mesoscópicas 19
viajante, nós podemos nos perguntar qual é o máximo caminho que uma linha de
vórtice pode alcançar dentro de um supercondutor com centros de ancoragens.
3.1 Transição para um supercondutorcom cavi-
dades isolantes
Muito tempo atrás Ovchinnikov (89) investigou vários tipos inclusões em mate-
riais supercondutores. Ele determinou uma expressão para determinar o número
de ocupação de vórtices por um defeito colunar em um supercondutor infinito.
A questão aqui é definir quais inclusões podem ser consideradas como paredes de
domı́nio, espontânea nucleação dentro do supercondutor por razões energéticas.
Nessa seção nós consideraremos um supercondutor tipo-II extremo (! ! 1) com
regiões não supercondutoras em seu interior, que nós chamamos de cavidades ou de-
feito, com tamanho tópico de % e separado por uma dezena de %. O fato que cavidades
introduzem novas propriedades nos supercondutores foi mostrado anteriormente por
Doria e Zebende (37). Contudo, cavidades podem ser isolantes ou metálicas e isto
tem importantes conseqüências para as propriedades desses supercondutores.
Os presentes resultados suportam a visão de cavidades isolantes como paredes de
domı́nio espontaneamente nucleadas dentro do supercondutor por razões energéticas.
Em ambos os casos, o supercondutores porosos compartilham propriedades similares
às dos supercondutores homogêneos, como por exemplo o aprisionamento múltiplos
de vórtices por um único defeito (20), meta-estabilidade nas proximidades dos cam-
pos de transição (120) e estados de vórtices gigantes (103; 105). Supercondutividade
superf́ıcial interna acima do campo cŕıtico superior Hc2 é somente posśıvel para cavi-
dades isolantes (30; 37). Aqui nós mostramos que somente para cavidades isolantes,
mas não para cavidades metálicas, os supercondutores porosos apresentam uma
súbita mudança do balanço energético, descrito pela diferença da energia livre,
#F = Fhomo " Fc (3.1)
entre o supercondutor poroso e o homogêneo. Essa diferença #F muda de sinal
acima de uma indução magnética cŕıtica B!, localizada próxima e abaixo do campo
cŕıtico superior Hc2. O supercondutor poroso metálico sempre possui energia mais
positiva do que o supercondutor homogêneo, #F < 0, apesar do volume super-
Supercondutores nano-estruturados com inclusões mesoscópicas 20
condutor ser maior na caso das cavidades metálicas por causa dos efeitos de pro-
ximidade dentro da cavidade. De alguma maneira as propriedade que definem a
cavidade isolante, nominalmente aquela onde a componente da corrente normal à
parede da cavidade desaparece (100),, exercem uma importante influência neste ba-
lanço energético. Em conclusão, #F > 0 é somente posśıvel em cavidades isolantes
e acima de um campo cŕıtico B!, cujas propriedades, como a dependência com o
raio da cavidade, são determinadas nesta seção, generalizando os dos trabalhos de
Doria e Zebende (37). O presente estudo pode ser de relevância para a fabricação
de supercondutores tridimensionais porosos, filmes supercondutores artificialmente
fabricados (80) com uma rede regular de buracos abertos - open holes (12), e de
buracos cegos - blind holes (15).
Nesta seção, nós estudamos a indução magnética cŕıtica B! no supercondutor
poroso modelado por esferas de raio R, com comprimento igual ou maior do que %,
formando uma rede periódica cúbica, onde nós obtemos as seguintes propriedades:
a dependência com o raio da esfera e com a densidade de cavidade 1/L3 para esferas
isolantes, L sendo a distância entre duas cavidades consecutivas na rede cúbica. Nós
encontramos que a diferença na energia livre pode alcançar 10&3H2c /4$ para uma
rede t́ıpica de L = 12.0% de cavidades isolantes tratadas aqui.
A cavidade pode aprisionar vários vórtices simultaneamente em seu interior.
Para entender esse processo, considere uma cavidade vazia que exerce um potencial
atrativo sobre um vórtice externo. Uma vez capturado, o novo sistema vórtice-
cavidade formado exerce uma nova barreira de potencial sobre um outro vórtice
externo. que é repulsiva longe da cavidade e atrativa perto da mesma. O processo
de captura pode continuar até que um número máximo de vórtices é alcançado, que
é justamente o limite de saturação da cavidade. Quando os vórtices externos encon-
tram a energia requerida para a entrada de um novo vórtice para dentro da cavidade,
o sistema torna-se meta-estável. Cavidades podem provocar a intersecção das linhas
de vórtices apenas dentro delas pois fora das cavidades a repulsão entre as linhas
de vórtices torna-se dominante. O número de vórtices aprisionados aumenta com
a indução magnética e eventualmente atinge um limite de saturação. Próximo do
campo cŕıtico superior a repulsão dos vórtices enfraquece e a pressão exercida pelos
vórtice externos à cavidade sobre os vórtices aprisionados é forte o suficiente para
produzir vórtices gigantes na cavidade. O processo de aprisionamento de vórtices
pela cavidade ocorre de modo semelhante ao processo de captura de Mkrtchyan ans
Supercondutores nano-estruturados com inclusões mesoscópicas 21
Schmidt (78; 89), que encontraram tempo atras o limite de saturação R/2%, para
um defeito colunar de raio R.
Figura 3.1: Gráficos da iso-superf́ıcie de uma rede supercondutora cúbica de lado
L = 12.0% contendo uma cavidade por célula unitária de diferentes tamanhos e
natureza. (a) Cavidade metálica de raio R = 2.0% e N = 1 vórtice na célula
unitária (#F < 0), |((r)|2iso = 0.34, |((r)|2max = 1.00; (b) Cavidade metálica de
raio R = 3.0% e N = 18 vórtices na célula unitária (#F < 0), |((r)|2iso = 0.14,
|((r)|2max = 0.42; (c) Cavidade isolante de raio R = 2.0% e N = 9 vórtices na célula
unitária (#F < 0), |((r)|2iso = 0.28, |((r)|2max = 0.84; (d) Cavidade isolante de
raio R = 4.2% e N = 22 vórtices na célula unitária (#F > 0),|((r)|2iso = 0.11,
|((r)|2max = 0.32
A seguir vamos explicar nosso procedimento numérico para encontrar o mı́nimo
da energia livre. É feita para uma densidade de vórtice fixa, nominalmente para N
fluxôns furando duas faces paralelas da célula unitária cúbica que corresponde a uma
indução magnética B = 2$!N(%/L)2, onde L é o lado da célula unitária cúbica e
N é o número de vórtices nesta célula. Obviamente que os nossos resultados devem
permanecer válidos para diferentes células unitárias. A escolha de células unitárias
maiores contendo mais de uma cavidade no seu interior não necessariamente nos
Supercondutores nano-estruturados com inclusões mesoscópicas 22
levaria a resultados diferentes, mas consumiria muito mais recursos computacionais
nos cálculos numéricos. Como nós não estamos incluindo as correntes de blindagem,
o campo magnético é constante e igual à indução magnética em todo o espaço. A
configuração mais simples posśıvel de ser analisada consiste de uma célula unitária
com um único defeito no seu centro. Para descrever a célula unitária, uma malha
de P 3 pontos é usada, e para a presente simulação, a distância entre dois pontos
consecutivos na malha é 2/3%, tal que L = 2%(P"1)/3. Nós mostramos na Fig. 3.1 a
distribuição tridimensional da densidade dos pares de Cooper na célula unitária para
algumas configurações selecionadas, obtidas usando uma resolução de 103 pontos na
malha para descrever uma célula unitária com lado igual a 12.0%. A Fig. 3.1(a)
mostra uma cavidade metálica de raio R = 2.0% com N = 1 enquanto a Fig. 3.1(b)
mostra uma cavidade metálica com raio R = 3.0% e N = 18 onde essa configuração
apresenta 6 vórtices formando um anel central em torno da cavidade com um único
vórtice aprisionado. Fig. 3.1(c) mostra uma cavidade isolante com R = 2.0% com
N = 9. Essa configuração contém 2 vórtices dentro da cavidade. Fig. 3.1(d) mostra
uma cavidade isolante de raio R = 4.2% com N = 22. Essa configuração contém 9
vórtices formando um anel central em torno da cavidade com 3 vórtices aprisionados
próximos de se colapsarem em um vórtice gigante. As Figs. 3.1(a), 3.1(b) e 3.1(c)
possuem#F < 0 enquanto que 3.1(d) é a única que possui uma configuração com
#F > 0. Para densidades de vórtices altas a repulsão entre os vórtices é fraca o
suficiente para permitir o agrupamento dos vórtices em torno do defeito. Isto pode
ser visto em ambas as Figs. 3.1(b) e Fig.3.1(d). Contudo, apenas para a Fig. 3.1(d)
a energia livre é menor do que a energia do supercondutor homogêneo.
A cavidade é descrita por uma função tipo degrau, 0 dentro da cavidade e 1 dentro
da região supercondutora, onde tomamos uma função suave por razões numéricas
,(r) = 1" 2
1 + exp (|r|/R)k , (3.2)
com k = 8.
A cavidade metálica é definida por , '(r) = 1, pois esta condição permite que o
condensado exista fora do supercondutor como uma flutuação. Tais flutuações não
são posśıveis se , '(r) = ,(r) (30; 37). O supercondutor homogêneo corresponde a
,(r) = 1 em todo o espaço.
Para entender a mudança de sinal em #F , vamos começar por uma célula
Supercondutores nano-estruturados com inclusões mesoscópicas 23
unitária sem vórtices (B = 0), que corresponde ao caso o mais simples posśıvel.
Neste caso, o supercondutor homogêneo adquire o valor máximo para a densi-
dade em todo o espaço, |((r)|2 = 1, e sua densidade de energia é simplesmente
Fhomo = "0.5. O supercondutor porosos tem energia maior que o supercondutor ho-
mogêneo, como determinado numericamente para cavidades isolantes (L = 12/0%):
Fc = "0.498,"0.486,"0.456,"0.319,"0.303,"0.192, com R variando de 1.0% até
6.0%, respectivamente. O comportamento da energia é descrito razoavelmente pela
expressão
Fc - (1" Vc/V )Fhomo = (1" 4$R3/3L3)Fhomo. (3.3)
Dentro da cavidade, o parâmetro de ordem se anula, |((r)|2 = 0, ocasionando
que a energia livre do supercondutor poroso se tornar aproximadamente igual ao
caso do supercondutor homogêneo com o volume da cavidade removida. Contudo,
também existe a contribuição da energia cinética para Fc, provocado pela curva-
tura do parâmetro de ordem próximo à superf́ıcie da cavidade, um efeito que se
torna mais pronunciado em cavidades maiores. A seguir analisaremos um vórtice
na célula unitária. O vórtice nucleia sobre a cavidade para tirar proveito da região
não supercondutora já existente e minimizar o custo da energia total da linha. Para
exemplificar esse argumento, vamos assumir que o núcleo do vórtice é um cilindro
de raio igual a %, o que implica que para R " % a cavidade está totalmente dentro do
núcleo do vórtice, situação que não ocorre para R ! %. Nesse sentido, na Fig. 3.1(a)
visualiza-se uma situação com R > % mostrando que existe uma parte do volume da
cavidade fora do núcleo do vórtice, e isto tem um custo energético. Em conclusão, os
supercondutores porosos possuem energia mais elevada do que os supercondutores
livres de defeitos somente se R > % e portanto, como mostrado na Fig. 3.2, #F é
positiva para R = 1.0% e negativa para R = 2.0%. Para mais do que dois vórtices na
célula unitária, diversos efeitos que competem entre si contribuem para determinar
#F . O aprisionamento múltiplo de vórtices pela cavidade diminui a energia total de
nucleação desde que o volume da cavidade seja simultaneamente ocupado por mais
de um vórtice. A cavidade atua como uma eficiente “rota de cruzamento”e diminui
a soma total da auto-energia dos vórtices. Entretanto, a repulsão mútua longe da
cavidade introduz uma curvatura aos vórtices com custo energético oposto, uma
vez que os vórtices se tornam mais longos comparados com uma linha de vórtice
Supercondutores nano-estruturados com inclusões mesoscópicas 24
reta encontrada nos supercondutores homogêneos. Dessa forma, acima da indução
magnética B! o balanço energético é favorável aos supercondutores porosos em uma
situação de cavidades isolantes.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-15
-12
-9
-6
-3
0
3
x 10
-3
empty cell
1 vortex/cell
!
F
B/"
 L = 12.0#
 R = 1.0#
 R = 2.0#
Figura 3.2: O comportamento da di-
ferença da densidade de energia li-
vre entre um supercondutor com uma
rede cúbica de cavidades isolantes
(L = 12.0%) e o supercondutor ho-
mogêneo versus a indução magnética
(#F $ B) para dois tamanhos de ca-
vidade, R = 1.0% e 2.0%.
A diferença entre as energias livres, #F , versus a indução magnética, B, é plo-
tada na Fig. 3.2 para dois valores de raio, R = 1.0% e 2.0%, ambos pertencendo a
uma célula unitária de lado L = 12.0%. Para a cavidade de raio R = 1.0% espera-se
#F > 0 porque a cavidade cabe completamente dentro do núcleo do vórtice e dimi-
nui a energia de nucleação sem custo extra para o estado supercondutor. Contudo,
um comportamento oscilatório é observado para baixas densidades que desaparece
no limite de altas densidades, acima de B = 0.5!, onde #F > 0. Todos os pontos em
que #F < 0 com R = 1.0% são configurações em que as cavidades não aprisionaram
vórtices. Estes estados são conseqüência da fraca ancoragem dos vórtices pela cavi-
dade e da forte repulsão vórtice-vórtice, tal que para certas densidades de vórtices,
o aprisionamento de vórtices pela cavidade é menos importante do que um eficiente
ordenamento dos vórtices dentro da célula unitária para minimizar a interação re-
pulsiva global. Dessa maneira, os pontos na Fig. 3.2 em que #F < 0 e R = 1.0% não
são verdadeiramente estados onde os supercondutores porosos são energeticamente
mais favoráveis do que os livres de defeitos. Eles são apenas uma conseqüência da
célula unitária escolhida. Esses estados modificam-se para #F > 0, provando que
uma célula unitária maior é capaz de acomodar a repulsão entre os vórtices e ter
todas as cavidades preenchidas com vórtices aprisionados. Para a cavidade de raio
R = 2.0%, o aprisionamento é de tal maneira que parte da cavidade permanece fora
Supercondutores nano-estruturados com inclusões mesoscópicas 25
do núcleo do vórtice adicionando energia cinética para Fc, resultando em um es-
tado com #F < 0. Dois vórtices em uma célula unitária apresentam um problema
de comensurabilidade, desde que a repulsão vórtice-vórtice é forte o suficiente para
sobrepor a atração produzida pela cavidade resultando no não aprisionamento de
ambos os vórtices nos casos em que R = 1.0% e 2.0%. O balanço energético é sus-
cept́ıvel a mais do que dois vórtices, como mostrado na Fig. 3.1. Um importante
resultado extráıdo da Fig. 3.2 é que para ambos os raios, o estado do supercondutor
somente torna-se estável para uma indução magnética maior do que B! - 0.6!.
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5 Cavidade Isolante
!
F
B/"
 R = 2.0#
 L = 19.3#
 L = 11.3#
x 10
-3
Figura 3.3: Diferença da densidade
de energia livre entre um supercon-
dutor com uma rede cúbica de cavi-
dades isolantes (L = 12.0%) e o super-
condutor homogêneo versus a indução
magnética (#F $B) para um tipo de
cavidade (R = 2.0%) e dois tamanhos
de célula unitária L = 11.3% e 19.3%.
Considerando o problema de um supercondutor com apenas uma cavidade iso-
lante, que é obtido no limite L &% de uma célula unitária e utilizando os presentes
resultados obtidos para a rede, nós encontramos evidências de que o supercondutor
com apenas uma cavidade possui energia mais baixa do que em supercondutores
livres de defeitos acima de uma certa indução magnética cŕıtica. Para alcançar
essa conclusão nós consideramos diferentes densidades de cavidade, especificamente,
L = 11.3% e L' = 19.3%, para um único tipo de cavidade de raio R = 2.0%. A
Fig. 3.3 mostra que o platô onde #F < 0 possui uma relação de escala inversamente
proporcional com o volume da célula unitária. Os sistemas com diferentes tama-
nhos estão relacionados pela expressão L'3#F ' - L3#F com #F ' - 0.24 $ 10&3,
#F ' - 1.2$ 10&3 e (L'/L)3 - 0.2. A indução magnética cŕıtica permaneceu prati-
camente constante em ambos os sistemas, B! - B'! - 0.55!.