2-Ondas

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO
EE540 – TEORIA ELETROMAGNÉTICA
Ondas Planas
Prof. Lucas Heitzmann Gabrielli
Ondas eletromagnéticas
(Sadiku 10.1, 10.2)
Um importante resultado dos trabalhos de Maxwell na organização das equações
eletromagnéticas foi a previsão da existência de ondas eletromagnéticas, confirmada apenas mais
tarde por Hertz.
As leis de Faraday e Ampère associam uma variação espacial nos campos elétrico e magnético
as variações temporais dos fluxos magnético e elétrico, respectivamente. Em conjunto essas
equações resultam em campos que sustentam um ao outro, originando o que chamamos de onda
eletromagnética.
Em geral, ondas são um meio capaz de transportar energia e informação.
Equação de onda
Consideramos um meio simples e sem fontes (𝓙 = 𝜌 = 0) e utilizamos as leis de Faraday e
Ampère para obtermos a equação de onda homogênea:
∇2𝓔 − 𝜇𝜀∂
2𝓔
∂𝑡2
= 0
Analisemos o caso simples em que toda variação espacial ocorre apenas na direção 𝑧:
∂2𝓔
∂𝑧2
− 𝜇𝜀∂
2𝓔
∂𝑡2
= 0
É fácil verificar que essa equação possui solução da forma:
𝓔(𝑧, 𝑡) = 𝓔+(𝑢𝑡 − 𝑧) + 𝓔−(𝑢𝑡 + 𝑧)
onde 𝑢 = 1√𝜇𝜀 e 𝓔
+ e 𝓔− são funções quaisquer.
Propagação
ℰ−(𝑢𝑡 + 𝑧) ℰ+(𝑢𝑡 − 𝑧)
𝑢Δ𝑡
−𝑢Δ𝑡
𝑧
𝑓
As dependências com 𝑢𝑡 ± 𝑧 indicam que as
funções ℰ+ e ℰ− transladam ao longo do eixo 𝑧
com o decorrer do tempo.
Como indicado na figura ao lado, o sinal negativo
implica em um movimento na direção positiva de
𝑧, e o oposto ocorre para o sinal positivo.
Fica claro que 𝑢 representa a velocidade da onda,
pois se acompanharmos um ponto constante
ℰ+(𝑟0) ou ℰ−(𝑟0) ao longo do tempo, sua posição
será:
𝑢𝑡 ∓ 𝑧 = 𝑟0 ⇔
⇔ d𝑧
d𝑡
= ±𝑢
Domínio da frequência
(Cheng 8-1, 8-2; Sadiku 10.4, 10.5)
No domínio da frequência a equação de onda anterior tem a forma da equação homogênea de
Helmholtz:
∇2𝐄 + 𝑘2𝐄 = 0
onde 𝑘 = 𝜔√𝜇𝜀.
Em coordenadas cartesianas essa equação é equivalente a 3 equações escalares independentes de
Helmholtz, uma para cada componente do vetor 𝐄:
∂2𝐸𝑥
∂𝑥2
+ ∂
2𝐸𝑥
∂𝑦2
+ ∂
2𝐸𝑥
∂𝑧2
+ 𝑘2𝐸𝑥 = 0
∂2𝐸𝑦
∂𝑥2
+
∂2𝐸𝑦
∂𝑦2
+
∂2𝐸𝑦
∂𝑧2
+ 𝑘2𝐸𝑦 = 0
∂2𝐸𝑧
∂𝑥2
+ ∂
2𝐸𝑧
∂𝑦2
+ ∂
2𝐸𝑧
∂𝑧2
+ 𝑘2𝐸𝑧 = 0
Solução fasorial
Consideramos uma solução para, por exemplo, 𝐸𝑥, em que o campo não varia ao longo dos
planos 𝑥𝑦 (planos 𝑧 constante), de modo que ∂𝐸𝑥∂𝑥 =
∂𝐸𝑥
∂𝑦 = 0. A equação de Helmholtz torna-se
simplesmente:
∂2𝐸𝑥
∂𝑧2
+ 𝑘2𝐸𝑥 = 0
cujas soluções são obtidas facilmente:
𝐸𝑥(𝑧) = 𝐸 +𝑥 (𝑧) + 𝐸
−
𝑥 (𝑧) = 𝐸
+
0 𝑒
−𝑖𝑘𝑧 + 𝐸−0 𝑒
𝑖𝑘𝑧
As constantes 𝐸+0 = |𝐸
+
0 |𝑒
𝑖𝜑+ e 𝐸−0 = |𝐸
−
0 |𝑒
𝑖𝜑− são em geral complexas e devem ser
determinadas pelas condições de contorno do problema em questão.
Observe que a solução instantânea obedece a forma geral que analisamos anteriormente com
dependência temporal senoidal (já que estamos trabalhando com fasores agora):
ℰ+𝑥 (𝑧, 𝑡) = ℜ{𝐸
+
0 𝑒
−𝑖𝑘𝑧𝑒𝑖𝜔𝑡} = |𝐸+0 | cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 + 𝜑
+)
Velocidade de fase
Como visto anteriormente, essa solução representa uma onda propagante no sentido de 𝑧
positivo.
Acompanhando um ponto de fase específica 𝜑0, obtemos imediatamente a velocidade de fase 𝑢𝑝
da onda:
𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 + 𝜑+ = 𝜑0 ⇒ 𝑢𝑝 =
d𝑧
d𝑡
= 𝜔
𝑘
= 1√𝜇𝜀
A velocidade de fase não depende diretamente da frequência, apenas dos materiais (que, como
sabemos, dependem da frequência).
Em especial no vácuo não há dispersão, e a velocidade de fase torna-se a famosa constante
𝑐 = 1√𝜇0𝜀0
= 2,9979 × 108 m/s
𝑢𝑝 =
𝑐
√𝜇𝑟𝜀𝑟
Onda senoidal
𝐸 +𝑥 (𝑧) = 𝐸
+
0 𝑒
−𝑖𝑘𝑧
ℰ+𝑥 (𝑧, 𝑡) = |𝐸
+
0 | cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 + 𝜑
+)
|𝐸 +𝑥 | = |𝐸
+
0 | [V/m] : amplitude
𝜔 [rad/s] : frequência angular
𝑘 [rad/m] : número de onda ou constante de fase
𝑓 = 𝜔
2𝜋
[Hz] : frequência
𝑇 = 2𝜋
𝜔
[s] : período
𝜆 = 2𝜋
𝑘
[m] : comprimento de onda
𝑢𝑝 =
𝜔
𝑘
= 𝜆𝑓 [m/s] : velocidade de fase
𝑡 = 0 𝑇4
𝑇
2
𝑧
ℰ+𝑥 (𝑧, 𝑡)
Espectro eletromagnético http://xkcd.com/273/
http://xkcd.com/273/
Efeito Doppler
(Cheng 8-2.1)
𝐴
𝐴′
𝐵
𝐮
𝑟0
|𝐮|Δ𝑡 𝑟′
𝜃
𝑟′ = √𝑟20 + (|𝐮|Δ𝑡)
2 − 2𝑟0|𝐮|Δ𝑡 cos 𝜃
𝑓′ = (1 − |𝐮|
𝑐
cos 𝜃)
−1
𝑓 ≅ (1 + |𝐮|
𝑐
cos 𝜃) 𝑓
Quando o transmissor e o receptor se aproximam (𝜃 ≅ 0) a frequência percebida na recepção
será maior que a transmitida (blue shifted).
O oposto ocorre quando transmissor e receptor se afastam (𝜃 ≅ 𝜋): a frequência detectada é
menor que a transmitida (red shifted).
Solução de ondas planas
(Cheng 8-2.2, 8-2; Sadiku 10.5)
A solução de ondas planas para a equação de Helmholtz vetorial pode ser escrita a partir de um
caso mais geral da solução para o problema mais simples estudado anteriormente:
𝐄(𝐫) = 𝐄0𝑒−𝑖𝐤⋅𝐫 = 𝐄0𝑒−𝑖𝑘𝑥𝑥𝑒−𝑖𝑘𝑦𝑦𝑒−𝑖𝑘𝑧𝑧
onde 𝐫 = 𝑥𝐚𝑧 + 𝑦𝐚𝑧 + 𝑧𝐚𝑧, 𝐄0 = |𝐄0|𝑒𝑖𝜑 é um vetor complexo constante e definimos o número
de onda vetorial 𝐤 = 𝑘𝑥𝐚𝑥 + 𝑘𝑦𝐚𝑦 + 𝑘𝑧𝐚𝑧.
É fácil verificarmos por substituição que esta é uma solução possível, desde que:
|𝐤|2 = 𝑘 2𝑥 + 𝑘
2
𝑦 + 𝑘
2
𝑧 = 𝑘
2
Definimos também o vetor unitário na direção de 𝐤:
𝐚𝑘 =
𝐤
𝑘
⇔ 𝐤 = 𝑘𝐚𝑘
Plana por quê?
A única dependência de 𝐄(𝐫) = 𝐄0𝑒−𝑖𝑘𝐚𝑘⋅𝐫 com a posição
𝐫 aparece no produto interno com a direção 𝐚𝑘, ou seja, o
campo terá fase e amplitude constantes em todas as regiões
onde 𝐚𝑘 ⋅ 𝐫 for constante.
𝐚𝑘 ⋅ 𝐫 = 𝑑 ⇒
⇒ 𝐄(𝐫) = 𝐄0𝑒−𝑖𝑘𝑑 = |𝐄0|𝑒𝑖(𝜑−𝑘𝑑)
Imediatamente identificamos o lugar geométrico 𝐚𝑘 ⋅ 𝐫 = 𝑑
como o plano a uma "distância" 𝑑 da origem na direção 𝐚𝑘
(𝑑 pode ser negativo, implicando a direção oposta).
Assim, vemos que essa solução tem frente de onda (lugar
geométrico de fase constante) plana, daí seu nome.
𝐚𝑘
𝑑
𝐫
𝑥
𝑦
𝑧
Campos transversais
Utilizando a Lei de Gauss (no meio homogêneo e sem fontes):
∇ ⋅ (𝜀𝐄0𝑒−𝑖𝐤⋅𝐫) = 0 ⇔
⇔ − 𝑖𝐤 ⋅ 𝐄0𝑒−𝑖𝐤⋅𝐫 = 0 ⇔
⇔ 𝐤 ⊥ 𝐄0
Se calcularmos o campo magnético correspondente:
𝐇(𝐫) = − 1
𝑖𝜔𝜇
∇ × 𝐄(𝐫) = 1
𝜂
𝐚𝑘 × 𝐄(𝐫)
Vemos assim que 𝐄, 𝐇 e 𝐤 formam um triedro direito.
Como ambos os campos elétrico e magnético são perpendiculares à direção de propagação, esse
tipo de onda é chamada TEM (transverse electromagnetic).
𝜂 = √𝜇
𝜀
[Ω] : impedância intrínseca do meio (no vácuo: 𝜂0 = 376,7 Ω ≅ 120𝜋 Ω)
Polarização
(Cheng 8-2.3; Balanis 4.4)
Linear 𝐤 = 𝑘𝐚𝑧
𝐄 = 𝐸0𝐚𝑥𝑒−𝑖𝑘𝑧
𝐇 = 𝐸0𝜂 𝐚𝑦𝑒
−𝑖𝑘𝑧
Circular esquerda
𝐤 = 𝑘𝐚𝑧
𝐄 = 𝐸0(𝐚𝑥 + 𝑖𝐚𝑦)𝑒−𝑖𝑘𝑧
𝐇 = 𝐸0𝜂 (𝐚𝑦 − 𝑖𝐚𝑥)𝑒
−𝑖𝑘𝑧
A polarização é definida pela relação
de magnitudes e defasagem entre as
componentes do vetor campo elétrico
(ou magnético) no plano transversal
da onda.
Ela reflete o desenho que a ponta do
vetor de campo descreve ao longo
do tempo em um determinado plano
transverso.
• Linear
• Circular esquerda ou direita
• Elíptica esquerda ou direita
Esfera de Poincaré
(Balanis 4.4.4)
Considerando-se a onda com propagação no
sentido 𝐚𝑧, seu estado de polarização pode
ser representado unicamente por um ponto na
superfície de uma esfera através da longitude 2𝜏
e latitude 2𝜉 .
O ângulo 𝜏 é a inclinação da elipse de
polarização e é medido do eixo 𝑥 ao eixo maior
da elipse (0 ≤ 𝜏 ≤ 𝜋), enquanto 𝜉 é o
arco-tangente da razão entre os eixos menor e
maior. Por convenção 𝜉 > 0 para polarização à
esquerda e 𝜉 < 0 para polarização à direita, de
modo que −𝜋4 ≤ 𝜉 ≤
𝜉
4 .
|𝐄+𝑥 |
|𝐄+𝑦 |
𝜏
𝜉
ℰ+𝑥
ℰ+𝑦
𝜋
4
𝜋
8
𝜉=0
− 𝜋8
− 𝜋4
𝜏=0 − 𝜋4 −
𝜋
2 − 3𝜋4
𝜋
Meio com perdas
(Cheng 8-3; Sadiku 10.3)
Em um meio homogêneo e sem fontes impressas (𝐉𝑖 = 0, 𝜌𝑖 = 0), mas possivelmente com
perdas, obtemos a seguinte equação de onda:
∇2𝐄 + 𝜔2𝜇 (𝜀 − 𝑖𝜎
𝜔
) 𝐄 = 0
Note que apesar de não termos fontes impressas, temos correntes de condução 𝐉 = 𝜎𝐄.
Tanto na equação de onda quanto na lei de Ampère fica clara a equivalência entre um meio
condutor (𝜎 ≠ 0) e um dielétrico com perdas (ℑ{𝜀} ≠ 0).
Separamos as partes reale imaginária de 𝜀 = 𝜀′ − 𝑖𝜀″ e agrupamos as perdas dielétricas com a
condutividade para obter 𝜎ef = 𝜎 + 𝜔𝜀″:
𝜀 − 𝑖𝜎
𝜔
= 𝜀′ − 𝑖 (𝜀″ + 𝜎
𝜔
) = 𝜀′ − 𝑖𝜎ef
𝜔
Solução da equação de onda com perdas
Consideramos agora apenas o caso em que as partes real e imaginária do vetor de onda (que
agora será complexo) apontam na mesma direção e sentido. Sem perda de generalidade
escolhemos essa direção como sendo 𝐚𝑧.
Usamos agora a notação mais comum em problemas de guiamento substituindo 𝑘 (ou, para ser
exato, 𝑖𝑘) pela constante de propagação complexa 𝛾 = 𝑖𝑘 = 𝛼 + 𝑖𝛽 , com 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ.
Substituindo essa solução na equação de onda obtemos:
𝐄(𝐫) = 𝐄0𝑒−𝛾𝑧 ⇒
⇒ 𝛾2𝐄0𝑒−𝛾𝑧 − 𝑖𝜔𝜇(𝜎 + 𝑖𝜔𝜀)𝐄0𝑒−𝛾𝑧 = 0 ⇔
⇔ 𝛾 = ±√𝑖𝜔𝜇(𝜎 + 𝑖𝜔𝜀)
𝛼 [Np/m] : constante de atenuação
𝛽 [rad/m] : constante de fase
Solução da equação de onda com perdas
A escolha do sinal ± indica apenas que a onda pode propagar-se em ambos os sentido ao longo
de 𝑧, de modo que a solução completa é:
𝐄 = 𝐄+0 𝑒
−𝛾𝑧 + 𝐄−0 𝑒
+𝛾𝑧 = 𝐄+0 𝑒
−𝛼𝑧𝑒−𝑖𝛽𝑧 + 𝐄−0 𝑒
+𝛼𝑧𝑒+𝑖𝛽𝑧
𝐇 = − 1
𝑖𝜔𝜇
∇ × 𝐄 = 𝛾
𝑖𝜔𝜇
𝐚𝑧 × 𝐄 =
1
𝜂
𝐚𝑧 × 𝐄
Com 𝛾 e 𝜂 dados por:
𝛾 = 𝛼 + 𝑖𝛽 = √𝑖𝜔𝜇(𝜎 + 𝑖𝜔𝜀) = 𝑖𝜔√𝜇𝜀′ (1 − 𝑖 𝜎ef
𝜔𝜀′
)
1
2
𝜂 = 𝑖𝜔𝜇
𝛾
= √ 𝑖𝜔𝜇
𝜎 + 𝑖𝜔𝜀
= √ 𝜇
𝜀′
(1 − 𝑖 𝜎ef
𝜔𝜀′
)
− 12
Dielétricos de baixas perdas
(Cheng 8-3.1; Sadiku 10.4)
Este caso ocorre quando 𝜇 ∈ ℝ e 𝜎ef ≪ 𝜔𝜀′, tipicamente em bons isolantes. Comumente
consideramos 𝜎 = 0 e 𝜀″ ≪ 𝜀′, de modo que aplicando uma expansão em série para 𝛾 obtemos:
𝛾 = 𝑖𝜔√𝜇𝜀′√1 − 𝑖𝜀
″
𝜀′
≅ 𝑖𝜔√𝜇𝜀′ [1 − 𝑖 𝜀
″
2𝜀′
+ 1
8
(𝜀
″
𝜀′
)
2
]
𝛽 ≅ 𝜔√𝜇𝜀′ [1 + 1
8
(𝜀
″
𝜀′
)
2
]
𝛼 ≅ 𝜔𝜀
″
2
√ 𝜇
𝜀′
Uma maneira de especificar as perdas de um meio dielétrico é utilizando a tangente de perdas,
definida como:
tan 𝛿𝑑 =
𝜎ef
𝜔𝜀′
ou, se 𝜎 = 0, tan 𝛿𝑑 =
𝜀″
𝜀′
Bons condutores
(Cheng 8-3.2; Sadiku 10.6)
Um bom condutor é um meio com 𝜇 ∈ ℝ e 𝜎ef ≫ 𝜔𝜀′. Assim:
𝛾 = 𝑖𝜔√𝜇𝜀′√1 − 𝑖 𝜎ef
𝜔𝜀′
≅ (1 + 𝑖)√𝜔𝜇𝜎ef
2
𝛼 ≅ 𝛽 ≅ √𝜔𝜇𝜎ef
2
Nos condutores é útil o conceito de profundidade de penetração 𝛿𝑐, definida como a distância
para a qual a amplitude do campo decai de um fator 𝑒−1, ou seja, 𝛿𝑐 = 1𝛼 ≅ √
2
𝜔𝜇𝜎ef
.
Ainda para o caso de bons condutores observamos pela expressão da impedância que o campo
magnético é atrasado 45° em relação ao campo elétrico:
𝜂 = √ 𝜇
𝜀′
(1 − 𝑖 𝜎ef
𝜔𝜀′
)
− 12 ≅ (1 + 𝑖)√
𝜔𝜇
2𝜎ef
= √
𝜔𝜇
𝜎ef
𝑒𝑖 𝜋4
Gases ionizados
(Cheng 8-3.3)
Um caso de interesse especial em propagação atmosférica é o da ionosfera (de 50 km a 500 km
de altitude aproximadamente), composta por gases ionizados produzidos quando a radiação
ultravioleta do Sol é absorvida pelos átomos e moléculas que a compõem.
Consideramos o caso de um gás ionizado (plasma) com uma densidade volumétrica de elétrons
𝑁 sob efeito de um campo elétrico harmônico 𝐄. Sendo 𝑚0 a massa do elétron e 𝑒0 sua carga
(em módulo), temos a seguinte equação de movimento:
−𝑒𝐄 = 𝑚0
d2𝐫
d𝑡2
= −𝑚0𝜔2𝐫
De onde podemos obter o vetor de polarização do do meio e sua constante dielétrica:
𝐏 = 𝑁 𝐩 = −𝑁𝑒0𝐫 = −
𝑁𝑒20
𝑚0𝜔2
𝐄
Gases ionizados
Podemos então calcular a constante dielétrica do meio como:
𝜀 = 𝜀0 [1 − (
𝜔𝑝
𝜔
)
2
] = 𝜀0 [1 − (
𝑓𝑝
𝑓
)
2
]
onde 𝑓𝑝 =
𝜔𝑝
2𝜋 =
1
2𝜋√
𝑁𝑒20
𝑚0𝜀0
≅ (9 Hz)
√
𝑁 .
Assim, considerando 𝜎 = 0 e 𝜇 = 𝜇0:
𝛾 = 𝑖𝜔
𝑐
√1 − (
𝑓𝑝
𝑓
)
2
𝜂 = 𝜂0
√1 − (𝑓𝑝𝑓 )
2
Notamos que há propagação quando 𝑓 > 𝑓𝑝, mas caso contrário 𝛾 ∈ ℝ e haverá atenuação
sem propagação, formando-se o que é chamado onda evanescente. A frequência em que ocorre a
mudança da onda propagante para a evanescente (neste caso 𝑓𝑝) é a frequência de corte.
Expressões para diferentes meios
Caso geral Baixas perdas Condutores Gás ionizado
𝜀, 𝜇 ∈ ℂ 𝜇 ∈ ℝ 𝜇 ∈ ℝ 𝜇 = 𝜇0 , 𝜎 = 0
𝜎 ∈ ℝ 𝜀″ ≪ 𝜀′ 𝜎ef ≫ 𝜔𝜀′ 𝜀 = 𝜀0 [1 − (𝑓𝑝/𝑓)
2]
𝛼 ℜ {√𝑖𝜔𝜇(𝜎 + 𝑖𝜔𝜀)} 𝜔𝜀
″
2
√ 𝜇
𝜀′
√𝜔𝜇𝜎ef
2
𝜔
𝑐
√𝑓
2
𝑝
𝑓 2
− 1 , 𝑓 < 𝑓𝑝
𝛽 ℑ {√𝑖𝜔𝜇(𝜎 + 𝑖𝜔𝜀)} 𝜔√𝜇𝜀′ [1 + 1
8
(𝜀
″
𝜀′
)
2
] √𝜔𝜇𝜎ef
2
𝜔
𝑐
√1 −
𝑓 2𝑝
𝑓 2
, 𝑓 > 𝑓𝑝
𝜂 √ 𝑖𝜔𝜇
𝜎 + 𝑖𝜔𝜀
√ 𝜇
𝜀′
(1 + 𝑖 𝜀
″
2𝜀′
) (1 + 𝑖)√
𝜔𝜇
2𝜎ef
𝜂0
√1 − 𝑓
2
𝑝
𝑓 2
𝑢𝑝
𝜔
𝛽
1
√𝜇𝜀′
[1 − 1
8
(𝜀
″
𝜀′
)
2
] √ 2𝜔
𝜇𝜎ef
𝑐
√1 − 𝑓
2
𝑝
𝑓 2
, 𝑓 > 𝑓𝑝
Velocidade de grupo
(Cheng 8-4)
Um sinal que transporta informação não pode ser formado por uma única frequência (por
que?), mas geralmente por um pequeno espectro de frequências centradas ao redor de alguma
portadora. A velocidade de grupo é a velocidade de propagação do grupo de frequências
(envelope do pacote de ondas).
𝐸(𝑧, 𝑡) = 𝐸0 cos[(𝜔0 + Δ𝜔)𝑡 − (𝛽0 + Δ𝛽)𝑧] + 𝐸0 cos[(𝜔0 − Δ𝜔)𝑡 − (𝛽0 − Δ𝛽)𝑧] =
= 2𝐸0 cos(Δ𝜔𝑡 − Δ𝛽𝑧) cos(𝜔0𝑡 − 𝛽0𝑧)
Considerando Δ𝜔 ≪ 𝜔0, teremos uma oscilação de alta frequência com argumento 𝜔0𝑡 − 𝛽0𝑧
envolta por um envelope de baixa frequência dado por Δ𝜔𝑡 − Δ𝛽𝑧.
Se calcularmos a velocidade do envelope teremos:
𝑢 = d𝑧
d𝑡
= Δ𝜔
Δ𝛽
Velocidade de grupo
slope: 𝑢𝑝 = 𝜔𝛽 > 𝑐
slope: 𝑢𝑔 = d𝜔d𝛽 < 𝑐
𝛽
𝜔
0
𝜔𝑝
𝛽 = 𝜔𝑐
𝛽 = 𝜔𝑐 √1 −
𝜔 2𝑝
𝜔2
Para o caso geral de um espectro contínuo de
frequências ao redor de uma portadora podemos
chegar a uma expressão similar, que definimos
como a velocidade de grupo:
𝑢𝑔 = (
d𝛽
d𝜔
)
−1
A velocidade de grupo representa a velocidade de
transmissão de sinais de banda estreita.
Para o caso do gás ionizado, por exemplo:
𝑢𝑔 = (
d𝛽
d𝜔
)
−1
= 𝑐√1 −
𝑓 2𝑝
𝑓 2
, para 𝑓 > 𝑓𝑝
Transmissão de potência
(Cheng 8-5; Sadiku 10.7)
Consideramos inicialmente um meio sem perdas e calculamos o vetor de Poynting para a solução
de onda plana:
𝐏 = 1
2
𝐄 × 𝐇∗ = 1
2𝜂
𝐄 × (𝐚𝑘 × 𝐄∗) =
|𝐄|2
2𝜂
𝐚𝑘
𝐏𝑚 = ℜ{𝐏} =
|𝐄|2
2𝜂
𝐚𝑘
O vetor de Poynting tem a mesma direção do vetor de onda 𝐤, ou seja, a potência é transmitida
na mesma direção da propagação de fase.
Qual é a potência total transmitida por uma onda plana?
Qual o significado desse resultado?
Potência: meios com perdas
Analisamos agora o caso em que há perdas no meio considerando apenas a onda que se propaga
no sentido de 𝐚𝑧: 𝐄 = 𝐄+0 𝑒
−𝛼𝑧𝑒−𝑖𝛽𝑧 e escrevendo a impedância do meio como 𝜂 = |𝜂|𝑒𝑖𝜃, uma
vez que ela será complexa.
𝐏 = 1
2
𝐄 × 𝐇∗ = |𝐄|
2
2𝜂∗
𝐚𝑧 =
|𝐄+0 |
2
2|𝜂|
𝑒−2𝛼𝑧𝑒𝑖𝜃𝐚𝑧
𝐏𝑚 = ℜ{𝐏} =
|𝐄+0 |
2
2|𝜂|
𝑒−2𝛼𝑧 cos(𝜃)𝐚𝑧
Neste caso é importante notar que a densidade de potência transmitida decai ao longo do
sentido de propagação com o dobro da constante de atenuação em decorrência das perdas.
Exemplo: determinar o vetor de Poynting para bons condutores e gases ionizados acima e abaixo
do corte.
Bel
É comum utilizarmos uma escala logarítmica para trabalhar com potência, que transformam as
relações de perdas (ou ganhos) de produtos para somas.
Dada uma relação entre potências 𝑃2𝑃1 , que pode representar uma perda ou ganho no sistema,
definimos a unidade Bel que mede essa relação em escala logarítmica:
𝐿 = 10 log10
𝑃2
𝑃1
[dB]
(Note que utilizamos a unidade mais comum decibel: 1 dB = 10−1B.)
Também utiliza-se unidades logarítmicas de potência relativa para casos particulares de 𝑃1:
𝑃dBW = 10 log10
𝑃
1 W
[dBW]
𝑃dBm = 10 log10
𝑃
1 mW
[dBm]
𝑃dBμ = 10 log10
𝑃
1 µW
[dB𝜇]
Atenuação
Podemos então transformar a constante de atenuação de Np/m para dB/m através da seguinte
relação:
𝑃𝑚(𝑧) = 𝑃0𝑒−2𝛼𝑧 ⇒
⇒ 𝑃𝑚(𝑧0 + Δ𝑧) = 𝑃𝑚(𝑧0)𝑒−2𝛼Δ𝑧 ⇒
⇒ 𝐿 = 10 log10
𝑃𝑚(𝑧0 + Δ𝑧)
𝑃𝑚(𝑧0)
= 10 log10 (𝑒
−2𝛼Δ𝑧) ⇒
⇒ 𝛼dB/m = −
𝐿
Δ𝑧
= 20𝛼 log10 𝑒 ≅ 8.686𝛼
Podemos então escrever a densidade de potência transmitida em 𝑧 = 𝑧0 + Δ𝑧 a partir de 𝑧 = 𝑧0
como:
𝑃dBm(𝑧0 + Δ𝑧) = 𝑃dBm(𝑧0) − 𝛼dB/mΔ𝑧
Exercícios sugeridos
Cheng:
• P.8-2
• P.8-5
• P.8-6
• P.8-10
• P.8-11
• P.8-13
• P.8-16
• P.8-17
Sadiku:
• P 10.24
• P 10.26
• P 10.37
• P 10.42