Krigagem: Método de Interpolação Geoestatística

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Universidade Lúrio 
Faculdade de Engenharia 
Departamento de Engenharia Geológica 
Geoestatística 
Tema: KRIGAGEM 
 Discentes: 
Selma Gomes 
Selton das Neves Rufino 
Valden Castigo Inácio Lizai 
Victoria Blande Tomo Docente: 
Zidan Abdala Abdulchacuro Loite Lázaro José, Lic. 
 
 
 
 
Pemba, dezembro de 2022 
 
Tema: KRIGAGEM 
 
Discentes: 
Selma Gomes 
Selton das Neves Rufino 
Valden Castigo Inácio Lizai 
Victoria Blande Tomo Docente: 
Zidan Abdala Abdulchacuro Loite Lázaro José, Lic. 
 
 
 
 
Trabalho elaborado com fins avaliativos 
como requisito para conclusão da cadeira 
de Geoestatística no curso de Licenciatura 
em Engenharia Geológica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pemba, dezembro de 202 
 
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Índice 
1. Introdução ................................................................................................................................ 2 
1.1. Objetivos .......................................................................................................................... 2 
2. Variáveis regionalizadas .......................................................................................................... 3 
3. Variograma .............................................................................................................................. 4 
4. Krigagem ................................................................................................................................. 5 
4.1. Tipos de krigagem ............................................................................................................ 7 
4.1.1. Krigagem Simples ........................................................................................................ 7 
4.1.2. Krigagem Ordinária ...................................................................................................... 8 
4.1.3. Krigagem de Indicatrizes .............................................................................................. 9 
4.1.3.1. Krigagem indicatriz simples ..................................................................................... 9 
4.1.3.2. Krigagem indicatriz ordinária ................................................................................. 10 
4.1.4. Krigagem Universal ou com modelo de deriva .......................................................... 10 
4.1.4.1. Krigagem com Deriva Externa ............................................................................... 11 
4.2. Propriedades da krigagem .............................................................................................. 11 
5. Conclusão .............................................................................................................................. 12 
6. Bibliografia ............................................................................................................................ 13 
 
 
 
 
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1. Introdução 
No presente trabalho pretende-se falar sobre a krigagem que geoestatisticamente, serve para 
predizer valores em locais não amostrados. A krigagem é um método geoestatístico estimador que 
leva em consideração as características espaciais de autocorrelação de variáveis regionalizadas. 
Para a krigagem é necessário usar variogramas que são técnicas geoestatísticas que podem ser 
usadas para descrever e modelizar padrões espaciais. 
Variograma não é parte da Krigagem apenas requisito, krigagem é um processo de estimativa de 
valores de variáveis distribuídas no espaço, e/ou no tempo, a partir de valores adjacentes enquanto 
considerados como interdependentes pelo semivariograma 
1.1.Objetivos 
1.1.1. Geral: 
➢ Estudar o método de interpolação por meio da Krigagem. 
1.1.2. Específicos: 
➢ Descrever o método de krigagem; 
➢ Diferenciar os tipos de krigagem; 
➢ Identificar os seus modelos/estimadores; 
Para o cumprimento dos objetivos acima citados, recorreu-se à diversas bibliografias relacionadas 
com o estudo da geoestatística e o método da krigagem, assim como experiências relacionadas 
com as tais matérias e conhecimentos básicos de Excel e outras ferramentas. 
 
 
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2. Variáveis regionalizadas 
Segundo (YAMAMOTO & LANDIM, 2013) é uma função numérica com distribuição espacial, 
que varia de um local para o outro com continuidade aparente cujas variações não podem ser 
representadas por uma função matemática simples. 
As variáveis regionalizadas, que tem um comportamento espacial com características 
intermediarias entre as variáveis verdadeiramente aleatórias e as totalmente determinísticas, são 
constituídas por um duplo aspeto aparentemente contraditório. Pela sua característica aleatória 
apresenta irregularidades e variação imprevisível de ser avaliada de um ponto para outro e pela 
sua característica estrutural apresenta relações existentes entre os pontos no espaço motivadas pela 
sua génese. (YAMAMOTO & LANDIM, 2013) 
Em outras palavras: é impossível prever com exatidão o teor de um poluente numa pluma de 
contaminação (aspeto aleatório), mas é provável que se encontre um alto teor do poluente perto de 
outro alto teor do mesmo poluente (aspeto estrutural). (Fernandes, 2015) 
Qualquer variável dependente do espaço e/ou tempo em que, além do caráter aleatório, apresente 
um caráter estrutural pode ser tratada como variável regionalizada e sofrer uma análise segundo o 
formalismo desenvolvido pela Geoestatística. (Krigagem Ordinária, 2019) 
No estudo do comportamento das variáveis regionalizadas, entendidas como resultantes de um 
processo aleatório, a ferramenta fundamental é a analise da continuidade espacial. Para descrever 
a variação existente associada ao processo aleatório, deve-se supor que os valores da variável 
regionalizada obtidos em lugares próximos tendem a ser autocorrelacionados. (Fernandes, 2015) 
A Teoria das Variáveis Regionalizadas tem por objetivo o estudo e a representação estrutural das 
V.R. para a resolução de problemas de estimativa, a partir de dados experimentais medidos sobre 
suportes que não abrangem totalmente tais domínios. (Krigagem Ordinária, 2019) 
A continuidade ou variabilidade espacial das variáveis regionalizadas não permite a determinação 
de todos os valores do domínio por meio da simples amostragem. Para tanto se torna necessário 
um processo de modelagem que devera fornecer um modelo representativo do fenómeno estrutural 
sob estudo e que indique a autocorrelação espacial dos valores no domínio considerado. Desse 
 
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modo o variograma modelado se torna a ferramenta fundamental para o estudo das variáveis 
regionalizadas. (Fernandes, 2015) 
O melhor estimador para uma variável regionalizada deve levar em consideração as respetivas 
posições relativas e, portanto, a característica estrutural. Estimativas são sempre afetadas por erros 
e é necessária a avaliação da precisão da estimativa. (Krigagem Ordinária, 2019) 
Variável regionalizada baseia-se em variáveis aleatórias que consideram aspectos espaciais, ou 
seja, as posições relativas onde foram observados os diversos valores a serem introduzidos nos 
modelos. Possuem também características qualitativas estreitamente ligadas à estrutura do 
fenômeno natural que representam, tais como, a localização, a continuidade e a anisotropia (varia 
com a direção). (Carvalho & Vieira, 2001) 
 
3. Variograma 
Uma variável regionalizada é representada por três tipos de variogramas: o verdadeiro, 
dificilmente conhecido; um experimental, facilmente observado a partir da coleta de valores 
espacialmente distribuídos; e finalmente um teórico, que após ajustado ao experimentalpossibilitara fazer inferências sobre o verdadeiro variograma. (Fernandes, 2015) 
Seja uma variável regionalizada Z(xi) coletada em diversos pontos distribuídos por uma certa 
região. Como definir, porém, e, por consequência, prever o comportamento espacial da variável 
regionalizada? (YAMAMOTO & LANDIM, 2013) 
Para entender a variação espacial do processo aleatório subjacente deve-se levar em consideração 
a possibilidade que o valor de cada ponto no espaço está relacionado de algum modo com valores 
obtidos a partir de pontos situados a certa distância, sendo razoável supor que a anuência é tanto 
maior quanto menor for a distância entre os pontos. Daí que a inferência da continuidade espacial 
de uma variável regionalizada possa ser feita a partir de valores amostrais tendo como análise 
estrutural a estatística a dois pontos. (YAMAMOTO; LANDIM, 2013). 
Para determinar se a estatística clássica ou geoestatística deve ser usada, utiliza-se o 
semivariograma que expressa a dependência espacial entre as amostras. Havendo dependência 
espacial, pode-se estimar valores da propriedade em estudo para os locais não amostrados dentro 
 
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do campo, sem tendenciosidade e com variância mínima, pelo método denominado krigagem. 
(Vieira, 2000 citado em (Carvalho & Vieira, 2001)) 
 
4. Krigagem 
O termo, tradução do francês krigeage, e do inglês kriging, foi cunhado pela escola francesa de 
geoestatística em homenagem ao engenheiro de minas sul-africano e pioneiro na aplicação de 
técnicas estatísticas em avaliação mineira, Daniel G. Krige (YAMAMOTO & LANDIM, 2013). 
A diferença entre a krigagem e outros métodos de interpolação é a forma como os pesos são 
atribuídas as diferentes amostras. O processo é similar ao de interpolação por média móvel 
ponderada, no entanto, aqui os pesos são determinados pela análise espacial baseada no variograma 
experimental. (Fernandes, 2015) 
Método geoestatístico estimador que leva em consideração as características espaciais de 
autocorrelação de variáveis regionalizadas. Nas variáveis regionalizadas deve existir uma certa 
continuidade espacial, o que permite que os dados obtidos por amostragem de certos pontos 
possam ser usados para parametrizar a estimação de pontos onde o valor da variável seja 
desconhecido. Ao ser constatado que a variável não possui continuidade espacial na área estudada, 
não há sentido lógico em estimar/interpolar usando-se a krigagem. (Krigagem Ordinária, 2019) 
A Krigagem pondera os vizinhos mais próximos do ponto a ser estimado, obedecendo aos critérios 
de não tendenciosidade, que significa que a diferença entre valores estimados e observados deve 
ser nula para o mesmo ponto e variância mínima. (Fernandes, 2015) 
Único meio disponível para se verificar a existência ou não de continuidade espacial é, se houver, 
por meio da análise variográfica que determinará os parâmetros que caracterizam o 
comportamento regionalizado. (Krigagem Ordinária, 2019) 
Utiliza distâncias ponderadas e estimativa por médias móveis, pelo qual os pesos adequados são 
obtidos a partir de um variograma, representativo da média das diferenças ao quadrado dos valores 
de Z(xi) distribuídos a intervalos de distâncias especificados (lags h). (Krigagem Ordinária, 2019) 
 
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Necessidade de um sistema de equações normais em matrizes, na qual são usados os parâmetros 
variográficos para a obtenção dos pesos a serem utilizados para o cálculo do valor do ponto a ser 
estimado/interpolado. Quando um variograma é adequadamente elaborado, a estimativa por 
krigagem resultante é reconhecida como sendo a estimativa linear melhor e não tendenciosa 
(BLUE = best, linear, unbiased estimate). (Krigagem Ordinária, 2019) 
O sistema de krigagem necessário para a determinação dos ponderadores associados a cada um 
dos pontos estimadores baseia-se na ideia que quanto maior a covariância entre uma amostra xi, 
i=1, 2, ..., n, e o local que está sendo estimado, x0, mais essa amostra deve contribuir para a 
estimativa. Num método geométrico, como o do inverso do quadrado da distância, o peso entre a 
amostra xi e x0 também diminui à medida que a amostra fica mais longe, mas essas distâncias são 
euclidianas. (YAMAMOTO & LANDIM, 2013) 
No caso da estimativa por krigagem as distâncias são basadas na análise variográfica e alem desse 
relacionamento entre pontos estimadores e o ponto a ser estimado há também o relacionamento 
entre os pontos estimadores que vão fornecer informações sobre o agrupamento presente. O 
sistema de krigagem leva em consideração, portanto, tanto a distância entre amostras como o seu 
agrupamento. (Krigagem Ordinária, 2019) 
A krigagem pode ser usada, como algoritmo estimador, para: 
a) Previsão do valor pontual de uma variável regionalizada em um determinado local dentro 
do campo geométrico; é um procedimento de interpolação exato que leva em consideração 
todos os valores observados, o qual pode ser a base para cartografia automática por 
computador quando se dispõe de valores de uma variável regionalizada dispostos por uma 
determinada área; 
b) Cálculo medio de uma variável regionalizada para um volume maior que o suporte 
geométrico como, por exemplo, no cálculo do teor médio de uma jazida a partir de 
informações obtidas de testemunhas de sondagens. 
 
 
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Figura 1Estimativa do valor no ponto A (Fonte: (Krigagem Ordinária, 2019)) 
 
O termo abrange uma família de algoritmos conhecidos como: 
❖ krigagem simples; 
❖ krigagem ordinária; 
❖ krigagem universal; 
❖ krigagem indicativa; 
❖ krigagem com deriva externa. 
O estimador mais usual é a krigagem ordinária cuja tradução, do francês \krigeage ordinaire", 
deveria ser krigagem normal. A tradução, porém, está consagrada na comunidade da estatística 
espacial. (LANDIM, 2003) 
 
4.1.Tipos de krigagem 
4.1.1. Krigagem Simples 
É o método de estimação da geoestatística que assume que as médias locais são relativamente 
constantes e de valor muito semelhante à média da população que é conhecida. Desta maneira, a 
média da população é utilizada para cada estimação local, em conjunto com os pontos vizinhos 
estabelecidos como necessários para a estimação. (LANDIM, 2003) 
 
 
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4.1.2. Krigagem Ordinária 
Quando valores de uma variável regionalizada apresentam média constante, porem desconhecida, 
o algoritmo a ser aplicado é o da krigagem ordinária, para encontrar os ponderadores ótimos que 
minimizem a variância do erro de estimação. (Fernandes, 2015) 
 
 
Figura 2 Krigagem ordinária (normal) (Fonte: (Krigagem Ordinária, 2019)) 
Quando valores de uma variável regionalizada apresentam media constante, porem desconhecida, 
o algoritmo a ser aplicado é o da krigagem ordinária, para encontrar os ponderadores ótimos que 
minimizem a variância do erro de estimação. (Krigagem Ordinária, 2019) 
Um valor amostral, obtido num ponto, é uma realização parcial de uma função aleatória Z(x), onde 
x denota a localização espacial. (Krigagem Ordinária, 2019) 
Na krigagem ordinária as flutuações locais da média são consideradas, limitando o domínio de sua 
estacionaridade para a vizinhança do local W(u). (Carvalho & Vieira, 2001) 
A média é constante, mas desconhecida. O estimador linear é definido por: 
 
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4.1.3. Krigagem de Indicatrizes 
As variâncias de krigagem, sendo condicionadas apenas pelo arranjo geométrico dos pontos e, 
portanto, independentes dos valores das amostras, não são normalmente medidas de acurácia da 
estimativa local. 
A predição espacial consiste na predição de valores de uma determinada propriedade de interesse 
em pontos georreferenciados não observados, utilizando-se amostras coletadas numa determinada 
região. Os métodos de krigagem constituem procedimentos de inferência espacial que consideram 
famílias de estimadores não tendenciosos e eficientes. (Carvalho & Vieira, 2001) 
Para satisfazer esta necessidade, uma das soluções apontadas é a krigagem devariáveis 
indicatrizes, também chamada de krigagem das indicatrizes ou simplesmente krigagem indicadora 
(ki). O enfoque passa a ser neste caso, não estimar valor, como na krigagem ordinária, mas sim 
definir áreas com maior ou menor probabilidade que um determinado evento ocorra. (Oliveira, 
2008, como citado em (Zanetti, 2011)) 
4.1.3.1.Krigagem indicatriz simples 
O estimador de krigagem indicatriz simples considera a média indicatriz conhecida e constante 
sobre A. O estimador linear é escrito como uma combinação linear das n(u)+1 informações, como 
uma função aleatória I(uα;zk) e função de distribuição acumulativa F(zk) da seguinte maneira: 
 
 
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4.1.3.2.Krigagem indicatriz ordinária 
O estimador de krigagem indicatriz ordinária permite considerar as flutuações locais da média 
indicatriz limitando a estacionaridade da média para a vizinhança local W(u). O estimador de 
krigagem indicatriz é uma combinação linear das n(u) variáveis aleatórias indicatriz I(uα;zk) nas 
vizinhanças W(u) e é definido por: 
 
4.1.4. Krigagem Universal ou com modelo de deriva 
Para a obtenção de um variograma é suposto que a variável regionalizada tenha um comportamento 
fracamente estacionário, onde os valores esperados, assim como sua covariância espacial, sejam 
os mesmos por uma determinada área. (LANDIM, 2003) 
Assume-se, desse modo, que os valores dentro da área de interesse não apresentem tendência que 
possam afetar os resultados. (LANDIM, 2003) 
 
Figura 3Variograma com tendência. (Fonte: (LANDIM, 2003)) 
 
 
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4.1.4.1.Krigagem com Deriva Externa 
A krigagem com deriva externa é aplicada no caso em que a variável principal apresenta relação 
de dependência com a variável auxiliar externa. Este método utiliza variáveis auxiliares para 
estimar um modelo de tendência. Por isso, estas devem ser conhecidas em todo o domínio onde a 
variável principal será estimada, ou seja, a variável auxiliar deve (m) ser multicolocalizada. 
(LANDIM, 2003) 
 
4.2.Propriedades da krigagem 
O estudo da estrutura espacial dada pela análise da função de covariância espacial 
(semivariograma) não constitui o objetivo final da análise espacial. Na realidade é necessário 
estimar os valores das variáveis em locais não amostrados visando o conhecimento da distribuição 
espacial de certa variável em estudo. Desta forma, a análise da estrutura espacial deve ser vista 
como um passo fundamental, mas não final, que precede as técnicas de estimação (interpolação), 
de qualquer valor em qualquer posição da área em estudo, sem tendência e com variância mínima. 
(Carvalho & Vieira, 2001) 
Os métodos de Krigagem são métodos de interpolação que procuram minimizar o erro de 
estimação. Na realidade o erro de estimação é nulo. O problema que se coloca normalmente é o de 
estimar o valor de uma variável em locais não amostrados, a partir de valores de locais amostrados. 
(Carvalho & Vieira, 2001) 
De acordo com McBratney (1984) a krigagem apresenta melhores resultados de estimação para 
valores de variáveis em locais não amostrados do que as técnicas normalmente usadas para 
classificação de solo. Esta melhoria é atribuída à maneira pela qual as variáveis regionalizadas 
interpretam a natureza da variação dos muitos atributos do solo. (Carvalho & Vieira, 2001) 
 
 
 
 
 
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5. Conclusão 
Findo trabalho conclui-se que a krigagem é de estrema importância pois permite interpolar dados 
da forma mais simples possível, permitindo a criação de conjuntos de dados ou mesmo a 
completação de conjuntos de dados já existentes prevendo possíveis valores. Isto pode ser aplicado 
em casos de amostragem, para previsão de valores em espaços não amostrados. 
Para o entendimento deste processo são necessários conhecimentos básicos sobre variáveis 
regionalizadas que basicamente são aquelas que variam de uma região para outra e conhecimentos 
sobre variogramas que visam prever esta variação destas variáveis. 
De salientar que a combinação destes métodos permite prever comportamentos de variáveis não 
conhecidas sendo por isso de extrema importância nas mais diversas áreas de geociências e outras 
áreas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Bibliografia 
Carvalho, J. R., & Vieira, S. R. (2001). Avaliação e Comparação de Estimadores de Krigagem 
para Variáveis Agronômicas – Uma Proposta. Campinas: Embrapa. 
Fernandes, T. T. (2015). KRIGAGEM INDICATIVA PARA ELABORAÇÃO DE MAPAS 
PROBABILÍSTICOS EM AGRICULTURA DE PRECISÃO. São Paulo: BOTUCATU. 
Krigagem Ordinária. (2019). 
LANDIM, P. M. (2003). Análise estatística de dados geológicos (2 ed.). UNESP. 
YAMAMOTO, J. K., & LANDIM, P. M. (2013). Geoestatística: Conceitos eAplicações. Oficina 
de Textos. 
Zanetti, G. S. (2011). Avaliação da krigagem indicadora para deposito de ouro de suruca-go; .