O Problema dos três Reservatórios

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O Problema dos três Reservatórios 
3. Soluções com representações exponenciais da perda de carga.
A análise hidráulica de redes de distribuição de água fica extremamente simplificada 
quando utilizamos a representação exponencial das fórmulas de perda de carga:
𝒉𝒇𝒊 = 𝒓𝒊 𝑸𝒊
𝒏
hfi = perda de carga no trecho identificado pelo índice “i “ (m);
ri = constante da equação de perda de carga no trecho de índice “i “ (s
n m-(3n-1) );
Qi= vazão no trecho de índice “i “ (m3s-1) .
No caso da fórmula universal da perda de carga, esta simplificação é geralmente associada a 
outra simplificação, na qual a variação do fator de atrito (f) com o número de Reynolds é ignorada:
𝒓𝒊 =
𝟖𝒇𝒊𝑳𝒊
𝝅𝟐𝒈 𝑫𝒊
𝟓
fi = fator de atrito de Darcy no trecho identificado pelo índice “i “ ( );
Li = comprimento linear do trecho de índice “i “ (m);
g = aceleração da gravidade (m s-2);
Di= diâmetro interno do tubo no trecho de índice “i “ (m) .
𝒉𝒇𝒊 = 𝒓𝒊 𝑸𝒊
𝟐
Com
Conforme ilustrado na figura 3.1, o problema dos três reservatórios envolve três reservatórios: 
um reservatório com o nível de água mais elevado (identificado como A); um reservatório com o nível de 
água Intermediário (identificado como B); um reservatório inferior (identificado como C). Estes três 
reservatórios são unidos, por meio de três tubos (1, 2 e 3), à uma junção comum, identificada pela letra 
D. A carga total de água, nos reservatórios e na junção, é identificada pela letra H (HA, HB, HC e HD).
Como se trata de um problema de rede, na maioria dos casos, ao analisarmos o problema dos 
três reservatórios podemos ignorar o valor da componente cinética (V2/2g).
ZA=HA
A
B
c
D
Piezômetro na junção D
ZC = HC
ZB = HB
ZD 
hD =PD/g
HD 
1
2
3
O problema dos três reservatórios requer a determinação, em função das características dos 
tubos e das elevações dos reservatórios, da carga total de água (HD) disponível na Junção D. Esta carga 
total disponível na Junção D determina a direção do fluxo no tubo 2, que une a junção D ao reservatório 
intermediário B. O valor adequado da carga total de água disponível na Junção D é obtido quando a 
soma das vazões que entram na junção D igual as soma das vazões que saem da Junção D.
Quando a representação exponencial da perda de carga é utilizada, a solução deste problema 
pode ser obtida por dois processos diferentes : (i) O método direto e o (ii) método das tentativas.
Figura 3.1 – O problema dos três reservatórios 
3.1 O método direto (one step-1).
De acordo com o valor da carga total (HD= PD/g+ ZD) disponível na junção D, podemos prever 
três situações distintas:
(i) HD > ZB; 
(ii) HD = ZB; e 
(iii) HD < ZB. 
Evidentemente, conforme demonstrado a seguir, a ocorrência de cada uma destas três situações 
( (i) HD > ZB; (ii) HD = ZB; e (iii) HD < ZB.) é determinada pela combinação entre as características das 
tubulações e os desníveis entre reservatórios.
Quando HD = ZB, não existe fluxo entre o reservatórioB (intermediário) e a Junção D (Q2=0). 
Nesta situação (HD = ZB ), , conforme indicado na figura 3.2, a junção e a superfície do reservatório 
intermediário B apresentam o mesmo valor de carga total. Havendo igualdade de carga total entre estes 
pontos, não ocorre movimentação da água, porque a água só se move de um ponto de MAIOR carga total 
para um ponto de MENOR carga total.
ZA=HA
A
B
c
D
Piezômetro na junção D
ZC = HC
ZB = HB
ZD 
hD =PD/g
HD 
1
2
3
Figura 3.1.1 – O problema dos três reservatórios com HD= ZB=HB
hf1Q1
Q3
hf3 Quando HD=ZB= HB
Q2 =0 e 
Q1= Q3
Quando HD = ZB = HB temos Q2 =0 e Q1 = Q3
𝒉𝒇𝟏 = 𝒓𝟏 𝑸𝟏
𝟐 = 𝒁𝑨 −𝑯𝑫
ZA=HA
A
B
c
D
Piezômetro na junção D
ZC = HC
ZB = HB
ZD 
hD =PD/g
HD 
1
2
3
Figura 3.1.2 – O problema dos três reservatórios com HD= ZB=HB
hf1Q1
Q3
hf3
𝒉𝒇𝟑 = 𝒓𝟑 𝑸𝟑
𝟐 = 𝑯𝑫 − 𝒁𝑪
𝑸𝟏
𝟐 =
𝒁𝑨 −𝑯𝑫
𝒓𝟏
𝑸𝟑
𝟐 =
𝑯𝑫 − 𝒁𝑪
𝒓𝟑
Quando HD = ZB = HB, temos Q2 =0 e Q1 = Q3 , Logo 
𝒁𝑨 −𝑯𝑫
𝒓𝟏
=
𝑯𝑫 − 𝒁𝑪
𝒓𝟑
como HD = ZB = HB Q1 = Q3
3.2 O método direto ( one step - 2).
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒓𝟏
=
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
𝒓𝟑
Obs.: a substituição de HD por HB = ZB é vantajosa porque, quando iniciarmos a solução do problema, o valor 
da carga disponível em D ( HD) não é conhecido .
Quando HD > ZB = HB temos Q1 = Q2 + Q3
𝒉𝒇𝟏 = 𝒓𝟏 𝑸𝟏
𝟐 = 𝒁𝑨 −𝑯𝑫
𝒉𝒇𝟑 = 𝒓𝟑 𝑸𝟑
𝟐 = 𝑯𝑫 − 𝒁𝑪
𝑸𝟏
𝟐 =
𝒁𝑨 −𝑯𝑫
𝒓𝟏
𝑸𝟑
𝟐 =
𝑯𝑫 − 𝒁𝑪
𝒓𝟑
=
Quando HD > ZB = HB
Q1 = Q2 + Q3 Logo Q1 > Q3
𝒁𝑨 −𝑯𝑫
𝒓𝟏
>
𝑯𝑫 − 𝒁𝑪
𝒓𝟑
ZA=HA
Figura 3.1.3 – O problema dos três reservatórios com HD > ZB=HB
A
B
c
D
Piezômetro na junção D
ZC = HC
ZB = HB
ZD 
hD =PD/g
HD 
1
2
3
hf1
Q1
Q3
hf3
hf2
Q2
Quando HD > ZB = HB
teremos Q1 > Q3
3.1 O método direto ( one step- 3).
Considerando que, neste 
caso, HD > HB = ZB, a 
desigualdade ao lado não é 
alterada quando 
substituímos HD por HB = ZB
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒓𝟏
>
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
𝒓𝟑
Obs.: a substituição de HD por HB = ZB é vantajosa porque, quando iniciarmos a solução do problema, o valor 
da carga disponível em D ( HD) não é conhecido .
Quando HD < ZB = HB temos Q1 + Q2 = Q3
𝒉𝒇𝟏 = 𝒓𝟏 𝑸𝟏
𝟐 = 𝒁𝑨 −𝑯𝑫
𝒉𝒇𝟑 = 𝒓𝟑 𝑸𝟑
𝟐 = 𝑯𝑫 − 𝒁𝑪
𝑸𝟏
𝟐 =
𝒁𝑨 −𝑯𝑫
𝒓𝟏
𝑸𝟑
𝟐 =
𝑯𝑫 − 𝒁𝑪
𝒓𝟑
=
Quando HD < ZB = HB temos Q1 + Q2 = Q3
Logo teremos Q1 < Q3
𝒁𝑨 −𝑯𝑫
𝒓𝟏
<
𝑯𝑫 − 𝒁𝑪
𝒓𝟑
Figura 3.1.4– O problema dos três reservatórios com HD< ZB=HB
Quando HD < ZB = HB
teremos Q1 < Q3
3.1 O método direto (one step - 4).
ZA=HA
A
B
c
D
Piezômetro na junção D
ZC = HC
ZB = HB
ZD 
hD =PD/g
HD 
1
2
3
hf1
Q1
Q3
hf3
hf2
Q2
Obs.: a substituição de HD por HB = ZB é vantajosa porque, quando iniciarmos a solução do problema, o valor 
da carga disponível em D ( HD) não é conhecido .
Considerando que, neste caso, HB
= ZB > HD , a desigualdade ao lado 
não é alterada quando substituímos 
HD por HB = ZB
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒓𝟏
<
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
𝒓𝟑
3.1 O método direto (one step - 5).
ZA=HA
A
B
c
D
Piezômetro na junção D
ZC = HC
ZB = HB
ZD 
hD =PD/g
HD 
1
2
3
Figura 3.2 – O problema dos três reservatórios com HD= ZB=HB
hf1Q1
Q3
hf3
O caso mais simples 
é quando : HD = ZB = HB
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒓𝟏
=
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
𝒓𝟑
Ou 
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
=
𝒓𝟏
𝒓𝟑
Este caso é 
identificado 
quando 
Neste caso Q1= Q3
𝒁𝑨 − 𝒁𝑪 = 𝒉𝒇𝟏 + 𝒉𝒇𝟑 = 𝒓𝟏 𝑸𝟏
𝟐+𝒓𝟑 𝑸𝟑
𝟐
𝒁𝑨 − 𝒁𝑪 = 𝑸𝟏
𝟐 𝒓𝟏 + 𝒓𝟑
𝑸𝟏 =
𝟐 𝒁𝑨 − 𝒁𝑪
𝒓𝟏 + 𝒓𝟑
E, finalmente , valor de HD
pode ser determinado com 
𝑯𝑫 = 𝒁𝑨 − 𝒓𝟏 𝑸𝟏
𝟐
Ou 
𝑯𝑫 = 𝒁𝑪 + 𝒓𝟑 𝑸𝟑
𝟐
Quando HD = ZB = HB
temos Q2 =0 e Q1 = Q3
3.1 O método direto (one step - 6).
Quando HD > ZB = HB
temos Q1 = Q2+ Q3
A
B
c
D
Piezômetro na junção D
ZC = HC
ZB = HB
ZD 
hD =PD/g
HD 
1
2
3
hf1
Q1
Q3
hf3
hf2
Q2
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒓𝟏
>
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
𝒓𝟑
Ou
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
>
𝒓𝟏
𝒓𝟑
Este caso é 
identificado 
quando 
A solução direta é bastante engenhosa: 
(a) Partindo de 𝑄3 = 𝑥 𝑄2Assuma que 𝑄1 = 𝑄2 + 𝑄3 e, consequentemente: 
𝑄1 = 𝑄2 + 𝑥 𝑄2 𝑄1 = 𝑄2 1 + 𝑥
(b) 𝑍𝐴 = 𝐻𝐷 + 𝑟1 𝑄1
2
𝑍𝐴 = 𝐻𝐷 + 𝑟1 𝑄2 1 + 𝑥
2
𝑍𝐵 = 𝐻𝐷 − 𝑟2 𝑄2
2 𝑍𝐵 = 𝐻𝐷 − 𝑟2 𝑄2
2
-
𝑍𝐴 − 𝑍𝐵 = 𝑟1 𝑄2 1 + 𝑥
2
+ 𝑟2 𝑄2
2
𝑍𝐴 − 𝑍𝐵 = 𝑄2
2 𝑟1 + 2𝑟1𝑥 + 𝑟1𝑥
2 + 𝑟2
3.1 O método direto (one step- 7).
Quando HD > ZB = HB
temos Q1 = Q2+ Q3
A
B
c
D
Piezômetro na junção D
ZC = HC
ZB = HB
ZD 
hD =PD/g
HD 
1
2
3
hf1
Q1
Q3
hf3
hf2
Q2
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒓𝟏
>
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
𝒓𝟑
Ou
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
>
𝒓𝟏
𝒓𝟑
Este caso é 
identificado 
quando 
(c) 
𝑍𝐶 = 𝐻𝐷 − 𝑟3 𝑄3
2
𝑍𝐵 = 𝐻𝐷 − 𝑟2 𝑄2
2 𝑍𝐵 = 𝐻𝐷 − 𝑟2 𝑄2
2
-
𝑍𝐵 − 𝑍𝐶 = −𝑟2 𝑄2
2+ 𝑟3 𝑥𝑄2
2 𝑍𝐵 − 𝑍𝐶 = 𝑄2
2 𝑟3𝑥
2 − 𝑟2
𝑍𝐶 = 𝐻𝐷 − 𝑟3 𝑥𝑄2
2
𝑍𝐴 − 𝑍𝐵 = 𝑄2
2 𝑟1 + 2𝑟1𝑥 + 𝑟1𝑥
2 + 𝑟2
𝑍𝐵 − 𝑍𝐶 = 𝑄2
2 𝑟3𝑥
2 − 𝑟2
𝑍𝐴 − 𝑍𝐵
𝑍𝐵 − 𝑍𝑐
= ℎ =
𝑟1 + 2𝑟1𝑥+ 𝑟1𝑥
2 + 𝑟2
𝑟3𝑥
2 − 𝑟2
𝑟1 − ℎ𝑟3 𝑥
2 + 2𝑟1𝑥 + 𝑟1 + 𝑟2 1 + ℎ =0
a b c
(d) Elimine a valor 
desconhecido de Q2, 
usando as relações obtidas 
anteriormente em b e c: 
3.1 O método direto (one step- 8).
Quando HD > ZB = HB
temos Q1 = Q2+ Q3
A
B
c
D
Piezômetro na junção D
ZC = HC
ZB = HB
ZD 
hD =PD/g
HD 
1
2
3
hf1
Q1
Q3
hf3
hf2
Q2
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒓𝟏
>
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
𝒓𝟑
Ou
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
>
𝒓𝟏
𝒓𝟑
Este caso é 
identificado 
quando 
(e) Determine o valor de x
que representa a razão Q3/Q2
(f) Determine Q2, 
com base no valor 
de x e na equação 
do item c: 
𝒓𝟏 − 𝒉𝒓𝟑 𝑥
2 + 𝟐𝒓𝟏𝑥 + 𝑟1 + 𝑟2 1 + ℎ =0
a b c
𝑥 =
−𝒃 ∓
2
𝒃2 − 4𝒂𝑐
2𝒂
Use a raiz POSITIVA !
𝑄2 =
2 𝑍𝐵 − 𝑍𝐶
𝑟3𝑥
2 − 𝑟2
(g) Determine Q3, com base 
nos valores de x e Q2:
𝑄3 = 𝑥 𝑄2
(h) Determine Q1, 
com base nos 
valores de Q2 e Q3:
Q1 = Q2 + Q3
(i) Finalmente, determine 
HD com base nos valores 
de ZA, r1 e Q1:
𝐻𝐷 = 𝑍𝐴 − 𝑟1 𝑄1
2
3.1 O método direto (one step- 9).
3.1 O método direto (one step- 9).
3.2 O método direto (one step 10).
Quando HD < ZB = HB
temos Q1 + Q2= Q3
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒓𝟏
<
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
𝒓𝟑
Ou
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
<
𝒓𝟏
𝒓𝟑
Este caso é 
identificado 
quando 
Também neste caso a solução direta é bastante engenhosa: 
(a) Partindo de 𝑄3 = 𝑥 𝑄2Assuma que 𝑄1 + 𝑄2 = 𝑄3 e, consequentemente: 
𝑄1 + 𝑄2 = 𝑥 𝑄2 𝑄1 = 𝑄2 𝑥 − 1
(b) 𝑍𝐴 = 𝐻𝐷 + 𝑟1 𝑄1
2
𝑍𝐴 = 𝐻𝐷 + 𝑟1 𝑄2 𝑥 − 1
2
𝑍𝐵 = 𝐻𝐷 + 𝑟2 𝑄2
2 𝑍𝐵 = 𝐻𝐷 + 𝑟2 𝑄2
2
-
𝑍𝐴 − 𝑍𝐵 = 𝑟1 𝑄2 𝑥 − 1
2
− 𝑟2 𝑄2
2
𝑍𝐴 − 𝑍𝐵 = 𝑄2
2 𝑟1 − 2𝑟1𝑥 + 𝑟1𝑥
2 − 𝑟2
ZA=HA
A
B
c
D
Piezômetro na junção D
ZC = HC
ZB = HB
ZD 
hD =PD/g
HD 
1
2
3
hf1
Q1
Q3
hf3
hf2
Q2
3.2 O método direto (one step 11).
Quando HD < ZB = HB
temos Q1 + Q2 = Q3
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒓𝟏
<
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
𝒓𝟑
Ou
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
<
𝒓𝟏
𝒓𝟑
Este caso é 
identificado 
quando 
(c) 
𝑍𝐶 = 𝐻𝐷 − 𝑟3 𝑄3
2
𝑍𝐵 = 𝐻𝐷 + 𝑟2 𝑄2
2 𝑍𝐵 = 𝐻𝐷 + 𝑟2 𝑄2
2
-
𝑍𝐵 − 𝑍𝐶 = 𝑟2 𝑄2
2+ 𝑟3 𝑥𝑄2
2 𝑍𝐵 − 𝑍𝐶 = 𝑄2
2 𝑟2 +𝑟3 𝑥
2
𝑍𝐶 = 𝐻𝐷 − 𝑟3 𝑥𝑄2
2
(d) Elimine a valor 
desconhecido de Q2, 
usando as relações 
obtidas em b e c: 
𝑍𝐴 − 𝑍𝐵
𝑍𝐵 − 𝑍𝑐
= ℎ =
𝑟1 − 2𝑟1𝑥 + 𝑟1𝑥
2 + 𝑟2
𝑟2 + 𝑟3𝑥
2 𝑟1 − ℎ𝑟3 𝑥
2 − 2𝑟1𝑥 + 𝑟1 − 𝑟2 1 + ℎ =0
a b c
ZA=HA
A
B
c
D
Piezômetro na junção D
ZC = HC
ZB = HB
ZD 
hD =PD/g
HD 
1
2
3
hf1
Q1
Q3
hf3
hf2
Q2
𝑍𝐵 − 𝑍𝐶 = 𝑄2
2 𝑟2 +𝑟3 𝑥
2
𝑍𝐴 − 𝑍𝐵 = 𝑄2
2 𝑟1 − 2𝑟1𝑥 + 𝑟1𝑥
2 − 𝑟2
3.2 O método direto (one step 12).
Quando HD < ZB = HB
temos Q1 + Q2 = Q3
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒓𝟏
<
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
𝒓𝟑
Ou
𝒁𝑨 − 𝒁𝑩
𝒁𝑩 − 𝒁𝑪
<
𝒓𝟏
𝒓𝟑
Este caso é 
identificado 
quando 
(e) Determine o valor de x
que representa a razão Q3/Q2
a b c
𝑥 =
−𝒃 ∓
2
𝒃2 − 4𝒂𝑐
2𝒂
Use a raiz POSITIVA !
𝑄2 =
2 𝑍𝐵 − 𝑍𝐶
𝑟2 + 𝑟3𝑥
2
(g) Determine Q3 com 
base no valor de x e Q2 𝑄3 = 𝑥 𝑄2
(h) Determine Q1, 
com base nos 
valores de Q2 e Q3
Q1 = Q3-Q2
(h) Determine HD com 
base nos valores de 
ZA, r1 e Q1
𝐻𝐷 = 𝑍𝐴 − 𝑟1 𝑄1
2
ZA=HA
A
B
c
D
Piezômetro na junção D
ZC = HC
ZB = HB
ZD 
hD =PD/g
HD 
1
2
3
hf1
Q1
Q3
hf3
hf2
Q2
𝒓𝟏 − 𝒉𝒓𝟑 𝑥
2 − 𝟐𝒓𝟏𝑥 + 𝒓𝟏 − 𝒓𝟐 𝟏 + 𝒉 =0
(f) Determine Q2, 
com base no valor 
de x e na equação 
do item c 
3.2 O método direto (one step - 13).
3.2 O método direto (one step - 13).