Simulação Discreta de Sistemas - Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias

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1Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Funções Geradoras de Variáveis 
Aleatórias
2Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias
Nos programas de simulação existe um GNA e 
inúmeras outras funções matemáticas descritas como 
Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias 
ou FGVA’s. 
Para cada tipo de distribuição teórica de 
probabilidades existe um FGVA apropriada. 
Para usá-las num programa de simulação basta 
invocar o nome da função desejada e fornecer os 
parâmetros necessários. 
3Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias
Fornece o parâmetro 
(10) para a FGVA
EXPO
TEC= EXPO (10)
Modelo 
Computacional
Invoca a FGVA
Argumentos:
NA[0;1] +
Média (10)
GNA 
fornece 
NA
Retorna o valor de 
TEC
TEC = 7,45823
Figura 2.5: Troca de dados e informações entre o modelo 
computacional e as FGVA’s
4Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Algoritmos para Geração de 
Variáveis Aleatórias
Distribuições Teóricas de 
Probabilidade
5Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Geração de Variáveis Aleatórias
Métodos e procedimentos computacionais para a 
geração de variáveis aleatórias com características 
específicas de alguma das diversas distribuições 
teóricas de probabilidades. 
A necessidade de tais variáveis:
tempos entre chegadas; 
tempos de serviço; 
demandas por produtos, etc. 
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Métodos de Geração
Os métodos baseiam-se na prévia geração de um número 
aleatório R, uniformemente distribuído sobre o intervalo (0, 1). 
x é expresso como uma função explícita de R.. 
Métodos básicos:
Transformação Inversa;
Transformação Direta;
Convolução;
Aceitação/Rejeição;
Propriedades Especiais
7Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Distribuição Geométrica
Uma variável com distribuição geométrica representa o 
número de falhas observadas em uma seqüência de provas do 
tipo Bernoulli, sua função densidade é:
p(x) = p(1 - p)x , x = 1, 2, ...
Pelo método da transformação inversa, obtém-se a seguinte 
relação:
ln( )
ln( )
ln( )
ln( )
1
1
1
1
−
−
≤ <
−
−
R
p
x
R
p
8Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Distribuição Geométrica
Para a obtenção de uma variável com distribuição 
geométrica, necessita-se do parâmetro (probabilidade de um 
sucesso) p. 
Obtido tal elemento, os seguintes passos devem ser 
considerados:
Gerar R;
Calcular x =
A função (arredondamento para o maior inteiro) atribui a x
o maior inteiro que satisfaz a relação anterior. 
ln( )
ln( )
1
1
−
−
⎡
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
R
p⎡ ⎤
⎡ ⎤.
9Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Exemplo
Gerar três valores de uma distribuição geométrica com p = 
1/2. 
Usando uma tabela de valores aleatórios, obtemos 
R1 = 0,932; R2 = 0,105 e R3 = 0,687. 
Primeiramente calcula-se o valor da constante 
1/ln (1-p) = 1/ln (1-0,5) = -1,443. 
Na seqüência, obtemos os valores dos xi’s a partir dos Ri’s . 
10Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Exemplo
Passo Valor de Ri e de xi 
1 R1 = 0,932 
2 x1 = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤-1,443 ln(1 - 0,932) = 3878, = 4 
1 R2 = 0,105 
2 x2 = ⎡ ⎤-1,443 ln(1 - 0,105) = 1 
1 R3 = 0,687 
2 x3 = ⎡ ⎤-1,443 ln(1 - 0,687) = 2 
 
11Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson se caracteriza pela seguinte 
função densidade de probabilidade:
a qual representa a probabilidade de ocorrência de x
sucessos, num dado intervalo de tempo. Onde , é o 
valor esperado do número de ocorrências por 
unidade de tempo.
p x P X x e
x
x
x
( ) ( )
!
= = = = >−λ
λ
λ 0,1,2, ..., 0
λ
12Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Distribuição de Poisson
Geração de uma variável aleatória Poisson, considerando o 
método da Aceitação/Rejeição:
Fazer n = 0, e P =1;
Gerar um número aleatório Rn+1 e substituir P por P.Rn+1;
Se, , aceitar X = n, caso contrário, rejeitar n atual, fazer n = n +1, e 
retornar aos procedimentos no passo 2.
A idéia básica por traz do método da Aceitação/Rejeição, é
gerar um número aleatório e testar uma determinada condição 
de “aceitação”. Caso esta condição seja satisfeita, o valor 
gerado é aceito, caso contrário os passos são repetidos.
P e< −λ
13Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Exemplo
Gerar três números, segundo uma distribuição de Poisson, 
com = 0,2. 
Primeiramente, computamos o valor de . 
Na seqüência, obtemos um conjunto de números aleatórios e 
iniciamos os procedimentos estabelecidos nos passos de 1 a 3 
anteriormente firmados
λ
e e− −= =λ 0 2 08187, ,
14Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Exemplo
Passo Geração de P, n e X
1 n = 0, P = 1
2 R1 = 0,4357; P = 1.R1 = 0,4357
3 como P = 0,4357 < e-0,2 < 0,8187; aceitamos X = 0
1 - 3 R1 = 0,4146 nos leva a X = 0
1 n = 0, P = 1
2 R1 = 0,8353; P = 1.R1 = 0,8353
3 como P e≥ −λ ; rejeitamos n = 0 e retornamos ao
passo 2 com n = 1
2 R2 = 0,9952; P = P.R2 = 0,8353.0,9952 = 0,8313
3 como P e≥ −λ ; rejeitamos n = 1 e retornamos ao
passo 2 com n = 2
2 R3 = 0,8004; P = P.R3 = 0,8313. 0,8004 = 0,6654
3 como P = 0,6654< e-0,2 < 0,8187; aceitamos X = 2
15Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Distribuição Empírica Discreta
Para gerar uma variável aleatória que tenha um 
comportamento semelhante ao determinado por distribuição 
empírica discreta conhecida, é necessário, inicialmente, 
determinarmos as freqüências relativas acumuladas da 
distribuição. Por exemplo: 
Uma vez que tais informações estejam disponíveis, aplicamos 
o método da transformação inversa que, neste caso, torna-se 
um processo de pesquisa em uma tabela de valores, num 
procedimento muito semelhante ao que realizamos no 
capítulo 1, quando tratamos do método de Monte Carlo. 
x p(x) F(x)
0 0,50 0,50
1 0,30 0,80
2 0,20 1,00
16Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Procedimentos 
Os procedimentos de busca são facilitados pela construção de 
uma tabela para a geração dos valores de x:
Esquematizando os procedimentos:
1. Gerar R;
2. Descobrir i, tal que ri-1 < R ri;
3 Fazer X = xi.
i Entrada ri Saída xi
1 0,50 0
2 0,80 1
3 1,00 2
≤
17Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Exemplo
Suponha uma variável aleatória com a seguinte distribuição de 
probabilidades:
x p(x) F(x)
2 0,45 0,45
3 0,35 0,80
5 0,20 1,00
Dados R1= 0,43; R2=0,61 e R3=0,83; gerar três valores para a variável X, 
que pertençam a esta distribuição.
R1= 0,43 < F(x=2) = 0,45; logo X=2;
F(x=2) = 0,45 < R2= 0,61 F(x=3) = 0,80 ; logo X=3;
F(x=3) = 0,80 < R3= 0,83 F(x=5) = 1,00 ; logo X=5;≤
≤
18Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Distribuição Uniforme
Uma variável aleatória x tem distribuição uniforme sobre um 
intervalo [a, b], se sua função densidade de probabilidade (fdp) é
dada por: 
A técnica mais utilizada para a obtenção de uma variável aleatória 
uniformemente distribuída é a da transformação inversa. A fórmula 
é a seguinte:
Os parâmetros necessários para a obtenção de uma variável com 
distribuição uniforme são apenas os valores extremos do intervalo 
[a, b]. Uma vez definidos, os seguintes passos devem ser 
considerados:
Gerar R;
Calcular 
f x
b a
a x b( ) =
−
≤ ≤
1
 
x a b a R= + −( )
x a b a R= + −( )
19Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Exemplo
Gerar três valores de uma distribuição uniforme no intervalo 
[10, 50]. Usando os seguintes valores aleatórios R1 = 0,932; 
R2 = 0,105 e R3 = 0,687. Aplicando o método proposto 
teremos:
PassoValor de Ri e de xi
1 R1 = 0,932
2 x1 = 10 + (40)0,932 = 47,28
1 R2 = 0,105
2 x2 =10 + (40)0,105= 14,2
1 R3 = 0,687
2 x3 = 10 + (40)0,687= 37,48
20Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Distribuição Triangular
Uma variável aleatória x tem uma distribuição triangular se sua fdp é dada por:
f x
x a
b a c a
c x
c b c a
b x c
( )
( )
( )( )
,
( )
( )( )
,
=
−
− −
≤ ≤
−
− −
< ≤
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
2
2
 a x b
 
onde a b c≤ ≤ . A moda b = 3 E (x) - (a + c).
Pelo método da transformação inversa obtém-se a fórmula para gerar 
amostras com distribuição triangular. 
A variável x com esta distribuição é obtida por:
x
a R b a c a R
b a
c a
c R c b c a
b a
c a
R
=
+ − − ≤ ≤
−
−
− − − −
−
−
< ≤
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
( )( ) ,
( )( )( )
 se 
 , se 
0
1 1
21Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Exemplo
Gerar três valores de uma distribuição triangular com parâmetros (0, 
1, 2). Obtidos R1 = 0,544; R2 = 0,747 e R3 = 0,449. 
x
R R
R R
=
≤ ≤
− − < ≤
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2 0
1
2
2 2 1
1
2
1( )
P a sso V a lo r d e R i e d e x i
1 R 1 = 0 ,5 4 4
2
x 1 = 2 - 2 1 0 5 4 4( , )− = 1 ,0 4 5
1 R 2 = 0 ,7 4 7
2
x 2 = 2 - 2 1 0 7 4 7( , )− = 1 ,2 8 8
1 R 3 = 0 ,4 4 9
2
x 3 = 2 0 4 4 9( , ) = 0 ,9 4 7
22Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Distribuição Exponencial
Uma variável aleatória x tem uma distribuição exponencial se sua 
fdp é dada por:
O parâmetro é interpretado como sendo o número médio de 
ocorrências por unidade de tempo, enquanto a razão representa o
tempo médio entre as ocorrências.
Aplicando-se o método da transformação inversa para a obtenção 
de uma variável aleatória x com distribuição exponencial resulta na 
seguinte relação:
Uma vez que (1-Ri), da mesma forma que Ri, possui distribuição 
uniforme no intervalo [0, 1], podemos substituir (1-Ri) por Ri na 
expressão acima.
f x e xx( ) ,= ≥−λ λ 0
)1ln( ii Rx −−= λ
23Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Exemplo
Gerar valores de uma distribuição exponencial com 
parâmetro =1. λ
)1ln( ii Rx −−= λ
i 1 2 3 4 5
Ri 0,1306 0,0422 0,6597 0,7965 0,7696
xi 0,139952 0,043116 1,077928 1,592089 1,467938
24Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Distribuição Normal
Uma variável aleatória x tem uma distribuição normal se sua fdp é
dada por:
f x e x
x
( ) ,
( )
= − ∞ < < ∞
−
−1
2
2
22
σ π
µ
σ 
Método de Box-Muller
Z 1=B cos θ
Z 2=B sen θ
Z R R
Z R R
1 1 2
2 1 2
2 2
2 2
= −
= −
ln cos( )
ln sen( )
π
π
25Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Exemplo
Considerando as equações anteriores, gerar dois valores com 
distribuição normal padronizada a partir de R1 = 0,1758 e R2 = 
0,1489.
Z1 = [-2 ln (0,1758)]½ cos ( 0,1489) = 1,11
Z2 = [-2 ln (0,1758)]½ sen ( 0,1489) = 1,50
Para a obtenção de uma variável aleatória normal com média µ e 
desvio padrão σ, deve-se aplicar a transformação xi = µ + σ.Zi aos 
valores da normal padronizada. Por exemplo, para transformar os 
valores obtidos de Z1 e Z2 em uma Normal (10; 2), calcula-se: 
x1 = 10 + 2.(1,11) = 12,22
x2 = 10 + 2.(1,50) = 13,00
26Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 
Exercício
Use o MCL para gerar uma 
seqüência de números aleatórios entre zero e 1, com os 
seguintes parâmetros: 
• x0 = 23, a = 17, b = 43 e m = 100.
Considere os necessários valores gerados e determine um 
valor para cada uma das seguintes variáveis:
Uniforme (15, 35);
Exponencial (10);
Triangular (5, 8, 13);
Normal (12, 2).
mbaxx nn mod)( 1 += −
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