apostila Probabilidade1_Verao2020

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA SUPERIOR DE AGRICULTURA “LUIZ DE QUEIROZ”
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS
MÓDULO DE PROBABILIDADE
NOTAS DE AULA
Prof. Idemauro Antonio Rodrigues de Lara
Piracicaba SP
fevereiro de 2020
Sumário
1 Conjuntos, Álgebra e σ-álgebra 1
1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Álgebra e σ-álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Probabilidade 10
2.1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Definições de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Propriedades e teoremas decorrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Propriedade da σ-aditividade finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Teorema da monotonicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.3 Probabilidade do evento impossível . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.4 Probabilidade do evento A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.5 Probabilidade do evento Ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.6 Teorema da união: aditividade forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.7 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.8 Desigualdade de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.9 Probabilidade condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.10 Teorema do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.11 Independência de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.12 Lema de Borel Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.13 Teorema da probabilidade total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.14 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Variáveis aleatórias unidimensionais 25
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Função de distribuição acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Variável aleatória discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1 Modelos de variáveis aleatórias discretas . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Variável aleatória contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.1 Modelos de variáveis aleatórias contínuas . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Outras classificações de variável aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Funções de variáveis aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.1 Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.2 Caso contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1
SUMÁRIO Notas de aula
4 Variáveis aleatórias multidimensionais 65
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.1 Função de distribuição acumulada conjunta . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.2 Distribuição marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.3 Independência de variáveis aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Variável aleatória discreta n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.1 Distribuições marginais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.2 Variáveis aleatórias discretas independentes . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.3 Distribuição condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.4 A distribuição multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Variável aleatória contínua n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.1 Funções de densidade de probabilidade marginais . . . . . . . . . . 77
4.3.2 Variáveis aleatórias contínuas independentes . . . . . . . . . . . . . 79
4.3.3 A função de distribuição acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.4 Extensão para o caso n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.5 Distribuição condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 Modelos hierárquicos e distribuições de mistura . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Funções de vetores aleatórios 91
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 Caso contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.1 Método da Função de Distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.2 Distribuição da soma e da diferença . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3.3 Distribuição do produto e do quociente . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3.4 Distribuição do mínimo e do máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3.5 Método Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3.6 Aplicações de funções de vetores aleatórios . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 Tópicos de Esperança Matemática 110
6.1 Eperança matemática ou valor esperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.1.1 Propriedades da Esperança Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2 Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2.1 Propriedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3 Covariância e Coeficiente de correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.4 Aplicações em momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.4.1 Considerações sobre assimetria e curtose . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.4.2 Funções Geradora de momentos e característica . . . . . . . . . . . 123
6.5 Esperança Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.6 A Distribuição normal bivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2 Prof. Idemauro
Capítulo 1
Conjuntos, Álgebra e σ-álgebra
1.1 Conjuntos
Definição 1.1 Conjunto: uma coleção de objetos, chamados de elementos.
Notação: A,B,C, . . .
Observações:
i. Se B ⊂ A então B é um subconjunto de A;
ii.Se B ⊂ A e A ⊂ B então A = B;
iii. O conjunto vazio é denotado por ∅, tal que ∅ ⊂ A, ∀ A;
Definição 1.2 Operações com Conjuntos. Considere os conjuntos A,B e seja Ω o
conjunto universo, com A,B ⊂ Ω.
1. Conjunto complementar
Ac = {w ∈ Ω | w /∈ A}
Diagrama de Venn:
1
1.1. CONJUNTOS Notas de aula
2. União de conjuntos
A ∪B = {w ∈ Ω | w ∈ A ou w ∈ B}
Diagrama de Venn:
Observação: w ∈ (A ∪B) se w pertence a pelo menos um dos conjuntos.
3. Intersecção de conjuntos
A ∩B = {w ∈ Ω | w ∈ A e w ∈ B}
Diagrama de Venn:
Oberservação: A ∩B = ∅, então A e B são disjuntos.
4. Diferença entre conjuntos
A−B = {w ∈ Ω | w ∈ A e w /∈ B}
Diagrama de Venn:
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1.1. CONJUNTOS Notas de aula
5. Diferença simétrica entre conjuntos
A∆B = (A−B) ∪ (B − A) = (A ∩Bc) ∪ (Ac ∩B)
Diagrama de Venn:
Definição 1.3 Propriedades operatórias com conjuntos. Considere os conjuntos
A,B,C e seja Ω o conjunto universo. São válidas as seguintes propriedades:
1. Comutativa
A ∪B = B ∪ A A ∩B = B ∩ A
2. Associativa
(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B ∪ C)
(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B ∩ C)
3. Distributiva
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
4. Lei de DeMorgan
(A ∪B)c = Ac ∩Bc
(A ∩B)c = Ac ∪Bc
Definição 1.4 Sequências de subconjuntos. Seja An, n ∈ N∗, uma sequência de
subconjuntos de Ω.
1. ∪kn=1An = {w ∈ Ω | w ∈ An; para ao menos um dos n, n = 1, 2, . . . , k}
2. ∩kn=1An = {w ∈ Ω |w ∈ An; ∀ n = 1, 2, . . . , k}
3. ∪∞n=1An = {w ∈ Ω | w ∈ An; para ao menos um dos n, n = 1, 2, . . .}
3 Prof. Idemauro
1.1. CONJUNTOS Notas de aula
4. ∩∞n=1An = {w ∈ Ω | w ∈ An; ∀ n = 1, 2, . . .}
Generalizando a Lei DeMorgan temos:
[∪∞i=1Ai]c = ∩∞i=1Aci
[∩∞i=1Ai]c = ∪∞i=1Aci
Definição 1.5 Sequência crescente. Diz-se que a sequência de subconjuntos An, é
crescente se para todo n ∈ N∗, verifica-se:
An+1 ⊃ An ou An ⊂ An+1
Notação para sequência crescente (ou não decrescente): An ↑ ⇔ An ⊂ An+1 ⊂ An+2 ⊂ . . .
Definição 1.6 Sequência decrescente. Diz-se que a sequência de subconjuntos An, é
decrescente (ou não crescente) se para todo n ∈ N∗, verifica-se:
An+1 ⊂ An ou An ⊃ An+1
Notação para sequência decrescente (ou não crescente): An ↓ ⇔ An ⊃ An+1 ⊃ An+2 ⊃ . . .
Definição 1.7 Partição de Ω. Sejam os subconjuntos A1, A2, A3 . . . de Ω, tais que eles
são disjuntos dois a dois e ∪∞n=1An = Ω, então A1, A2, A3 . . . formam uma partição de Ω.
Exemplo 1.1 Seja Ω = (0, 1] e considere An = [1/n, 1]. Obtenha ∪∞n=1An e ∩∞n=1An.
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1.1. CONJUNTOS Notas de aula
Exemplo 1.2 Verifique se a sequência de subconjuntos Ai = [i, i+1), com i = 0, 1, 2, . . .,
constituem uma partição de Ω = [0,+∞).
Definição 1.8 Limite de uma sequência qualquer
lim
n→∞
An = A
desde que: lim inf
n→∞
An = lim sup
n→∞
An = A, sendo:
A = lim inf
n→∞
An = ∪∞n=1 ∩k≥n Ak
Ā = lim sup
n→∞
An = ∩∞n=1 ∪k≥n Ak
Teorema 1.1 Se An ↓ e o limite de An existe então lim
n→∞
An = ∩∞n=1An.
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1.2. ÁLGEBRA E σ-ÁLGEBRA Notas de aula
Teorema 1.2 Se An ↑ e o limite de An existe então lim
n→∞
An = ∪∞n=1An.
Prova:
1.2 Álgebra e σ-álgebra
Definição 1.9 Classe de subconjuntos. Um conjunto cujos elementos sejam subcon-
juntos de Ω é chamado de classe de subconjuntos de Ω. Notação: C.
Exemplo 1.3 Seja Ω = {1, 2, 3}. São classes de subconjuntos de Ω: C1 = {{1}, {2}};
C2 = {∅, {2}}; C3 = {∅,Ω}; C4 = Ωp (conjunto das partes de Ω).
Definição 1.10 Álgebra de subconjuntos. Uma classe de subconjuntos de Ω é dita
álgebra (A), se:
i. Ω ∈ A;
ii. Se A ∈ A então Ac ∈ A;
iii. Se A,B ∈ A então A ∪B ∈ A.
Propriedades:
1. ∅ ∈ A;
2. Se A,B ∈ A então A ∩B ∈ A;
3. Se A,B ∈ A então A−B ∈ A;
4. Se A,B ∈ A então A∆B ∈ A;
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1.2. ÁLGEBRA E σ-ÁLGEBRA Notas de aula
5. Se A1, A2, . . . , An ∈ A então ∪ni=1Ai ∈ A e ∩ni=1Ai ∈ A
Teorema 1.3 Seja Aα uma família de álgebras de subconjuntos de Ω então ∩αAα também
é uma álgebra.
Exemplo 1.4 Considere C1 = {∅, A,Ac,Ω} e C2 = {∅, B,Bc,Ω} duas classes de sub-
conjuntos de Ω. Mostre que: a)C1 e C2 são álgebras; b) C1 ∪ C2 não é uma álgebra; c)
C1 ∩ C2 é uma álgebra.
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1.2. ÁLGEBRA E σ-ÁLGEBRA Notas de aula
Exemplo 1.5 Seja Ω = [0, 1] e A0 = {A ⊂ [0, 1]}, sendo A uma união finita de intervalos,
então A0 é uma álgebra cujos elementos são intervalos com comprimentos bem definidos.
Observa-se que o elemento, composto de uma união enumerável de intervalos:
A = (0, 1/2) ∪ (1/2, 3/4) ∪ (3/4, 7/8) ∪ . . . ∪ (1− 1
2n
, 1− 1
2n+1
) ∪ . . . /∈ A0
Definição 1.11 σ-álgebra. Uma classe ℑ de subconjuntos de Ω é chamada de σ-álgebra
de subconjuntos se ℑ é uma álgebra e para toda sequência An, n ≥ 1, em ℑ, verifica-se:
∞∪
n=1
An ∈ ℑ
Observação: Toda σ-álgebra é uma álgebra, mas a recíproca nem sempre é verdadeira.
Podemos pensar que a σ-álgebra corresponde a uma “classe maior” de subconjuntos, sendo
fechada para número enumerável de operações de união, intersecção e complementar.
Propriedades
Se An, n ≥ 1,∈ ℑ, então:
1. ∩∞n=1An ∈ ℑ;
2. lim inf
n→∞
An ∈ ℑ;
3. lim sup
n→∞
An ∈ ℑ;
4. lim
n→∞
An ∈ ℑ (caso exista)
Teorema 1.4 Seja ℑα uma família de σ-álgebras de subconjuntos de Ω então ∩αℑα
também é uma σ-álgebra.
Definição 1.12 σ-álgebra de Borel. Seja Ω ⊂ R e considere os intervalos abertos na
forma:
U = {(−∞, x), x ∈ R}
diz-se que σ(U) ⊂ β(R) é a σ-álgebra de Borel, cujos elementos são chamados borelianos.
Observação: A σ-álgebra de Borel é a menor σ-álgebra que contém todos os
intervalos abertos dos reais. Desta forma, qualquer elemento (intervalo real) pode ser
“gerado” a partir de um número enumerável de operações de união, intersecção e comple-
mentar com intervalos na forma (−∞, x), x ∈ R.
Exemplo 1.6 Considere Ω ⊂ R. Mostre que o intervalo [x, y), com x, y ∈ R, x < y,
pertence a β(R).
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1.3. EXERCÍCIOS Notas de aula
1.3 Exercícios
1. (Magalhães, 2004) Sejam A, B, C três subconjuntos quaiquer. Expresse em notação
matemática os conjuntos cujos elementos:
a. estão somente em A;
b. estão em A e B mas não em C;
c. não estão em nenhum deles;
d. estão no máximo em dois deles;
e. estão em A, mas no máximo em um dos outros
f. estão na intersecção dos três conjuntos e no complementar de A.
2. (Meyer, 2000) Suponha que o conjunto fundamental seja formado pelos inteiros
positivos de 1 a 10. Sejam A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} e C = {5, 6, 7}. Enumere os
elementos dos conjuntos AC ∩B e (A ∩ (B ∪ C))C .
3. (Meyer, 2000) Suponha que o conjunto universo seja formado pelo intervalo real
[0, 2]. Sejam A = {x : 1
2
< x ≤ 1} e B = {x : 1
4
≤ x ≤ 3
2
}, descreva os conjuntos
(A ∩B)C e A ∪BC .
4. Mostre que A ∪B = A ∪ (AC ∩B).
5. (Magalhães, 2004) Verifique formalmente:
a. A△B = B△A;
b. (A△B) ∪ AB = A ∪B.
6. Use a definição de uma álgebra (A) e mostre as seguintes propriedades:
a. ∅ ∈ A
b. A,B ∈ A ⇒ (A ∩B) ∈ A
c. A,B ∈ A ⇒ (A−B) ∈ A
d. A,B ∈ A ⇒ (A△B) ∈ A
e. A1, A2, . . . , An ∈ A ⇒ ∪ni=1Ai ∈ A.
7. Considere o conjunto Ω = {−3, 0, 1, 4} e o subconjunto A = {1}. Escreva a classe
de subconjuntos que representa a “menor” σ-álgebra “gerada” por A. Considerando
a existência de uma família de σ-álgebras que contém A = {1}, a “menor” σ-álgebra
é resultante de que operação?
8. Seja β(R) a σ-álgebra de Borel gerada pelos intervalos da forma (−∞, z), z ∈ R.
Mostre que o intervalo real [x, y], com x < y é um boreliano.
9. Seja An uma sequência de subconjuntos da σ-álgebra ℑ, mostre que:
a. ∩∞n−1An ∈ ℑ;
b. lim inf An ∈ ℑ;
c. lim supAn ∈ ℑ.
10. Considere {ℑα} uma família de σ-álgebras. Mostre que ∩αℑα também é uma σ-
álgebra.
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Capítulo 2
Probabilidade
2.1 Conceitos básicos
Definição 2.1 Experimentos aleatórios. São experimentos que quando realizados
sob as mesmas condições podem produzir resultados distintos. Diz-se que não possuem
regularidade determinística.
Exemplo 2.1 Considere os experimentos aleatórios:
1. Cem sementes são plantadas. Observa-se o número com germinação bem sucedida.
2. Peças são produzidas até que ocorram 10 defeituosas. O número de peças é contado.
3. Mede-se o tempo de vida de uma praga após aplicação de inseticida.
Observação: Um dos objetivos da Teoria da Probabilidade é a construção de
um modelo matemático associado a um experimento aleatório.
Definição 2.2 Espaço amostral: é o conjunto de todas as possibilidades de ocorrer um
experimento aleatório. Notação Ω.
Exemplo 2.2 Construir o espaço amostral para os experimentos aleatórios do exemplo
2.1.
10
2.2. DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE Notas de aula
Definição 2.3 Evento: é qualquer subconjunto de Ω, incluindo ∅ (evento impossível) e
Ω (evento certo). Notação para eventos: A, B, C, ...
2.2 Definições de probabilidade
Definição 2.4 Clássica. A definição clássica foi dada por Laplace em 1812 na obra
“Théorie Analytique des Probabilités”. Esta definição baseia-se no conceito de espaço
amostral finito, isto é, Ω = {w1, w2, . . . , wn} e na suposição de que os n resultados possíveis
são equiprováveis, ou seja, P (wi) = 1n . Desta forma se A é um evento com r pontos
amostais (1 ≤ r ≤ n):
A = {wj1, wj2, . . . , wjr},
em que j1, j2, . . . , jr representam quaiquer um dos índices de 1 a n, a probabilidade de
A é dada por:
P (A) = P (wj1) + P (wj2) + . . .+ P (wjr) =
r
n
Simplificadamente, tem-se:
P (A) =
no de pontos favoráveis à A
no de pontos de Ω
=
n(A)
n
.
Exemplo 2.3 No lançamento de dois dados regulares honestos qual é a probabilidade de
ocorrem números iguais nos dois dados?
Observação: a condição de equiprobabilidadedeve ser sempre cuidadosamente
verificada, pois seria irreal supor igual probabilidade ao número de e-mails que chegam a
um servidor entre 4h e 5h da madrugada e 16h e 17h da tarde.
Exemplo 2.4 Suponha um experimento com três resultados possíveis a1, a2, a3. Sabe-se
que a1 é duas vezes mais provável do que a2 e que a2 é duas vezes mais provável do que
a3. Calcular p1, p2, p3.
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2.2. DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE Notas de aula
Definição 2.5 Frequentista. Esta definição está baseada na Teoria Assintótica (Lei
Fraca dos Grandes Números demonstrada por Bernoulli (1689)), sendo:
P (A) = lim
n→∞
n(A)
n
.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
número de lançamentos
fr
eq
uê
nc
ia
s 
re
la
tiv
as
Figura 2.1: Simulação do lançamento de uma moeda e frequências relativas da ocorrência de
cara.
Definição 2.6 Moderna. Seja E um experimento aleatório e Ω o espaço amostral a ele
associado. Considere a existência de uma σ-álgebra de eventos aleatórios, ℑ, e seja A um
evento qualquer em ℑ. A probabilidade de ocorrência do evento A é uma função definida
em ℑ:
P :
{
ℑ → R
A 7→ P (A)
satisfazendo aos Axiomas de Kolmogorov:
k1. P (A) ≥ 0.
k2. P (Ω) = 1.
k3. Se An(n ≥ 1) é uma sequência de eventos em ℑ então P (∪∞n=1An) =
∞∑
n=1
P (An),
desde que Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i ̸= j.
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2.3. PROPRIEDADES E TEOREMAS DECORRENTES Notas de aula
Observações:
1. A função P é chamada de “medida de probabilidade”.
2. A tripla (Ω,ℑ, P ) é chamada de espaço de probabilidade.
3. O Axioma k.3 é a propriedade da σ-aditividade.
2.3 Propriedades e teoremas decorrentes
2.3.1 Propriedade da σ-aditividade finita
Sejam A1, A2, . . . , An ∈ ℑ, com Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i ̸= j, então:
P (∪ni=1Ai) =
n∑
i=1
P (Ai)
2.3.2 Teorema da monotonicidade
Sejam A,B ∈ ℑ, com A ⊂ B, então P (A) ≤ P (B).
Prova:
13 Prof. Idemauro
2.3. PROPRIEDADES E TEOREMAS DECORRENTES Notas de aula
2.3.3 Probabilidade do evento impossível
P (∅) = 0
Prova:
2.3.4 Probabilidade do evento A
0 ≤ P (A) ≤ 1
Prova:
2.3.5 Probabilidade do evento Ac
P (Ac) = 1− P (A)
Prova:
14 Prof. Idemauro
2.3. PROPRIEDADES E TEOREMAS DECORRENTES Notas de aula
2.3.6 Teorema da união: aditividade forte
Sejam A,B dois eventos quaisquer de ℑ, , então:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
Prova:
Exemplo 2.5 Numa população a probabilidade de uma pessoa ser surda é estimada em
0, 0050, a probabilidade de ser cego é 0, 0085 e a probabilidade da pessoa ser cega e surda
é 0, 0006. Uma pessoa é selecionada aleatoriamente na população, qual é a probabilidade
de que ela seja surda ou cega? Somente surda? Somente cega?
15 Prof. Idemauro
2.3. PROPRIEDADES E TEOREMAS DECORRENTES Notas de aula
Exemplo 2.6 Generalize este resultado para k eventos aleatórios.
2.3.7 Continuidade
Se An é uma sequência de eventos em ℑ e se existe lim
n→∞
An, então:
P ( lim
n→∞
An) = lim
n→∞
P (An)
2.3.8 Desigualdade de Boole
Se An é uma sequência de eventos em ℑ, então:
P (∪∞n=1An) ≤
∞∑
n=1
P (An)
2.3.9 Probabilidade condicional
Sejam A,B ∈ ℑ. A probabilidade de ocorrer o evento A dado que ocorreu o
evento B é dada por:
P (A|B) =

P (A ∩B)
P (B)
se P (B) > 0
P (A) [ou 0] se P (B) = 0
Exemplo 2.7 No lançamento de um dado equilibrado regular qual é a probabilidade de
ocorrer número 2 se sabe-se que ocorreu número par?
16 Prof. Idemauro
2.3. PROPRIEDADES E TEOREMAS DECORRENTES Notas de aula
Teorema 2.1 Seja B ∈ ℑ então para todo evento A ∈ ℑ a medida P (A | B) satisfaz aos
Axiomas de Kolmogorov.
Prova
2.3.10 Teorema do produto
Sejam A,B dois eventos quaisquer de ℑ, , então P (A ∩B) = P (A)P (B | A).
Exemplo 2.8 Em um lote há 30 peças, sendo 12 defeituosas. Escolhem-se aleatoriamente
e testam-se duas peças do lote. Determine a probabilidade de ambas serem perfeitas, se as
peças são selecionadas a.) com reposição da primeira peça; b.) sem reposição da primeira
peça.
Generalizando para n eventos:
P (∩ni=1Ai) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|(A1 ∩ A2)) . . . P (An| ∩n−1i=1 Ai)
2.3.11 Independência de eventos
Sejam A,B ∈ ℑ, diz-se que A e B são independentes probabilisticamente se:
P (A ∩B) = P (A)P (B)
17 Prof. Idemauro
2.3. PROPRIEDADES E TEOREMAS DECORRENTES Notas de aula
Exemplo 2.9 (Adaptado de Magalhães, 2004) Em famílias com 3 filhos, defina os eventos
A: filhos dos dois sexos e B: no máximo uma menina entre os três filhos. Admita igual
probabilidade no nascimento de meninos e meninas. Nessas condições, mostre que os
eventos A e B são independentes.
Teorema 2.2 Se os eventos A,B ∈ ℑ são independentes, então:
1. AC e B são independentes.
2. A e BC são independentes.
3. AC e BC são independentes.
Prova para 3:
Independência coletiva
Os eventos A1, A2, . . . , An ∈ ℑ são independentes coletivamente se:
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik) = P (Ai1)P (Ai2) . . . P (Aik)
com 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n para todo k = 2, 3, . . . , n.
18 Prof. Idemauro
2.3. PROPRIEDADES E TEOREMAS DECORRENTES Notas de aula
Exemplo 2.10 Suponha Ω = {a, b, c, d}, em que os quatro pontos amostrais são equipro-
váveis. Sejam os eventos A = {a, b}, B = {a, c} e C = {a, d}. A, B e C são independentes
coletivamente?
Observações:
i. Independência 2 a 2 não implica em independência coletiva;
ii. Há 2n−n−1 condições a serem verificadas para assegurar a independência
coletiva de n eventos aleatórios.
2.3.12 Lema de Borel Cantelli
Se An é uma sequência de eventos aleatórios em ℑ, com pn = P (An) e:
i. se
∞∑
n=1
pn < ∞ então P (lim supAn) = 0;
ii. se
∞∑
n=1
pn = ∞ e os An, n = 1, 2, . . ., são independentes então:
P (lim supAn) = 1
2.3.13 Teorema da probabilidade total
Considere que B1, B2, . . . é uma partição de Ω e seja A ∈ ℑ um evento qualquer.
Então:
P (A) =
∞∑
i=1
P (Bi)P (A|Bi)
Prova:
19 Prof. Idemauro
2.3. PROPRIEDADES E TEOREMAS DECORRENTES Notas de aula
2.3.14 Teorema de Bayes
Considere B1, B2, . . . , Bk uma partição de Ω e seja A ∈ ℑ um evento qualquer.
Então:
P (Bj|A) =
P (Bj)P (A|Bj)
k∑
i=1
P (Bi)P (A|Bi)
Exemplo 2.11 Em uma universidade os alunos estão classificados pelos diversos grupos
sanguíneos: 50% são do grupo A, 38% são do grupo B, 10% são do grupo AB e 2% do
grupo O. Sabe-se que os percentuais de indivíduos com o fator Rh+ nos respectivos grupos
são: 80%, 70%, 60% e 80%. Um estudante é selecionado aleatoriamente e é Rh+, qual é
a probabilidade de ele ter sangue do tipo B?
20 Prof. Idemauro
2.4. EXERCÍCIOS Notas de aula
2.4 Exercícios
1. Sejam A1, A2, . . . eventos aleatórios. Mostre que P (∩nk=1Ak) ≥ 1−
n∑
k=1
P (ACk ).
2. Sejam A1, A2, . . . são eventos aleatórios de uma σ-álgebra, tais que P (An) = 1n para
todo n = 1, 2, . . ., então o que se pode dizer sobre P (lim inf An) e P (lim supAn)?
3. Mostre que se P (An) = 0 para todo n = 1, 2, . . ., então P (∪∞n=1An) = 0
4. Sejam A,B dois eventos aleatórios. Demonstre que: P (A∩B) ≥ P (A) +P (B)− 1.
5. (Meyer, 2000) Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas
(D) ou não defeituosa (N). As peças são inspecionadas e sua condição registrada. Isto
é feito até que duas peças defeituosas consecutivas sejam fabricadas ou que quatro
peças tenham sido inspecionadas, aquilo que ocorra em primeiro lugar. Descreva o
espaço amostral desse experimento.
6. (James, 1981) Descreva um espaço amostral que sirva de modelo para os casos:
a. Seleciona-se um ponto ao acaso no quadrado unitário.
b. Seleciona-se um ponto ao acaso no círculo de origem (a, b) e raio 2.
7. (Anderson, Sweeney e Williams, 2002) Um gerente financeiro acabou de fazer dois
novos investimentos: um no setor de petróleo e um em bônus municipais. Depois
de um período de um ano, cada investimento poderá ser classificado como bem-
sucedido ou mal-sucedido. Considere a realização desses dois investimentos como
um experimento aleatório.
a. Escreva o espaço amostral associado a esse experimento aleatório.
b. Pode-se assumir a suposição de equiprobabilidade para essa situação? Justi-
fique.
8. (Mood, Graybill e Boes, 1974) Prove ou disprove que
a. Se P(A | B) > P (A) então P (B | A) > P (B)
b. Se P (A) > P (B) então P (A | C) > P (B | C)
9. (Meyer, 2000) Suponha que A e B sejam eventos tais que P (A) = x, P (B) = y
e P (A ∩ B) = z. Expresse cada uma das seguintes probabilidades em termos de
x, y, z.
a. P (AC ∪BC) c. P (AC ∪B)
b. P (AC ∩B) d. P (AC ∩BC)
10. Jogam-se dois dados equilibrados. Sabendo-se que as faces mostram números dife-
rentes, qual é a probabilidade de que uma face seja o número 4?
11. Retiram-se 4 cartas de um baralho com 52 cartas. Registra-se o número de reis na
amostra. Exiba um modelo probabilístico para este experimento se:
a. As retiradas são feitas sem reposição;
b. As retiradas são feitas com reposição;
c. Determine em que caso (a) ou (b) é mais provável obter 4 reis.
21 Prof. Idemauro
2.4. EXERCÍCIOS Notas de aula
12. (Ross, 2010) Dois dados simétricos têm dois de seus lados pintados de vermelho, dois
de preto, um de amarelo e outro de branco. Quando esse par de dados é lançado,
qual é a probabilidade de que ambos os dados saiam com uma face da mesma cor
para cima?
13. (Mood, Graybill e Boes, 1974) Se P (A) = P (B) = P (B | A) = 1
2
, A e B são
independentes?
14. Demonstre que P (AC ∩BC) = 1− P (A)− P (B) + P (A ∩B).
15. (Mood, Graybill e Boes, 1974) Prove que se P (AC) = α e P (BC) = β, então
P (A ∩B) ≥ 1− α− β.
16. (Meyer, 2000) Um dado é jogado n vezes. Qual é a probabilidade de que a face 6
apareça ao menos uma vez em n jogadas?
17. Seja (Ω,ℑ, P ) um espaço de probabilidade e sejam A,B,C ∈ ℑ. Mostre que se
B = AC então P (A ∪B|C) = 1.
18. Demonstre que dois eventos disjuntos e com probabilidade positiva nunca são inde-
pendentes. Dê um exemplo.
19. (Meyer, 2000) Dez fichas numeradas de 1 a 10 são misturadas em uma urna. Duas
fichas numeradas (X,Y) são extraídas da urna, sucessivamente e sem reposição. Qual
é a probabilidade de que X + Y = 10?
20. Oito pessoas, sendo 4 homens e 4 mulheres, irão sentar-se em uma fila do cinema
que consta com 8 lugares. Qual é a probabilidade de que essas pessoas sentando-se
aleatoriamente, se tenha um homem sempre ao lado de uma mulher?
21. (Dantas, 2000) Em média, 5% dos produtos vendidos por uma loja são devolvi-
dos. Qual é a probabilidade de que, nas quatro próximas unidades vendidas desse
produto, duas sejam devolvidas?
22. (Meyer, 2000) Um inteiro é escolhido ao acaso dentre os números 1, 2, . . . , 49, 50.
Qual é a probabilidade de que o número escolhido seja divisível por 6 ou por 8?
23. Mostre que P (A ∪B ∪ C) = 1− P (AC |(BC ∩ CC)P (BC |CC)P (CC).
24. Considere que B1, B2, B3, B4 eventos de uma σ álgebra ℑ. Enuncie as condições
para que eles sejam independentes coletivamente.
25. (Mood, Graybill e Boes, 1974) Considere uma urna com dez bolas, das quais 5 são
pretas. Selecione aleatoriamente um número n no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} e então
selecione uma amostra aleatória sem reposição da urna. Encontre a probabilidade
de todas as bolas da amostra serem pretas.
26. (Dantas, 2000) Uma cidade tem 30.000 habitantes e três jornais: A, B e C. Uma
pesquisa de opinião revela que 12.000 lêem A; 8.000 lêem B; 7.000 lêem A e B; 6.000
lêem C; 4.500 lêem A e C; 1.000 lêem B e C e 500 lêem A, B e C. Selecionando ao
acaso um habitante dessa cidade, qual a probabilidade de que ele leia:
a. pelo menos um jornal?
b. somente um jornal?
22 Prof. Idemauro
2.4. EXERCÍCIOS Notas de aula
27. (Magalhães, 2004) Sendo P (A) = 0, 70 e P (A
∪
B) = 0, 80. Obtenha P (B) nos
seguintes casos:
a. A e B são independentes
b. A e B são disjuntos
c. P (A|B) = 0, 6
28. (Bussab e Morettin, 2002) Um grupo de 12 homens e 8 mulheres concorre a três
prêmios através de um sorteio, sem reposição de seus nomes. Qual é a probabilidade
de:
a. nenhum homem ser sorteado?
b. dois homens serem premiados?
29. (Mood, Graybill e Boes, 1974) De um grupo de 25 pessoas, qual é a probabilidade
de que todas as 25 tenham datas diferentes de aniversário? Assuma que o ano tem
365 dias.
30. Sejam A e B dois eventos definidos num mesmo espaço de probabilidades. Mostre
que se A,B são eventos quaisquer então:
P (B) = P (B | A)P (A) + P (B | AC)P (AC)
31. (Meyer, 2000) Uma montagem eletrônica é formada de dois subsistemas A e B.
De procedimentos de ensaios anteriores, as seguintes probabilidades se admitem
conhecidas: P(A falhe)=0,20; P(A e B falhem)=0,15 e P(B falhe sozinho)=0,15.
Calcular:
a. P(A falhe | B tenha falhado) b. P(A falhe sozinho)
32. Demonstre o Teorema de Bayes.
33. Uma fábrica tem 3 máquinas que produzem o mesmo item. As máquinas A e B
são responsáveis, cada uma, por 40% da produção. Quanto à qualidade, entretanto,
as máquinas A e B produzem 10% de itens defeituosos enquanto que a máquina C
apenas 2%. Um item é selecionado ao acaso da produção dessa fábrica. Calcule a
probabilidade do item em sendo defeituoso, ter sido produzido pela máquina A.
34. (Anderson, Sweeney e Williams, 2002) Um banco local está revendo sua política de
cartão de crédito com o propósito de revogar alguns de seus contratos de cartões.
No passado, aproximadamente 5% dos portadores de cartão foram inadimplentes e
o banco foi incapaz de coletar o saldo devido. Por isso a administração estabeleceu
uma probabilidade prévia de 0,05 de que qualquer portador de cartão de crédito
individual ficará inadimplente. O banco posteriormente descobriu que a probabili-
dade de atraso de um pagamento mensal ou mais é de 0,20 para clientes que não
são inadimplentes. Naturalmente, a probabilidade de atraso de um pagamento ou
mais para aqueles que são inadimplentes é 1.
a) Dado que um cliente tenha atrasado um pagamento mensal, calcule a proba-
bilidade posterior de que o cliente ficará inadimplente.
b) O banco gostaria de revogar o cartão se a probabilidade de que um cliente
ficará inadimplente for maior que 0,20. O banco deveria revogar o cartão se um
cliente atrasar pagamento mensal? Por quê?
23 Prof. Idemauro
2.4. EXERCÍCIOS Notas de aula
35. De acordo com tábuas atuariais a probabilidade de que uma pessoa esteja viva daqui
a 40 anos, em uma população de indivíduos adultos do sexo masculino, com 25 anos
e gozando de boa saúde é 0, 72. Uma companhia de seguros vendeu apólices a um
grupo de 4 indivíduos dessa população. Calcular a probabilidade de que daqui a 40
anos:
a. todas as pessoas estejam vivas;
b. ao menos uma esteja morta.
36. Em um Estado, estima-se que, em média, 8% das declarações de imposto de renda
tenham erro nas deduções das despesas. De experiências anteriores, sabe-se que
a probabilidade de encontrar uma declaração fraudulenta dado que a declaração
contém erro nas deduções é 0, 22. Dado que a declaração não contém erro de dedução
de despesas a probabilidade de fraude é 0, 09. Uma declaração de imposto de renda
desse Estado, que caiu na “malha fina"é qualificada como fraudulenta pelo corpo
de auditoria, qual é a probabilidade de que ela contenha erro nas deduções das
despesas?
37. (Mood, Graybill e Boes, 1974) Sejam B1, B2, . . . , Bn eventos mutuamente disjuntos
e considere C = ∪ni=1Bi. Suponha que P (Bi) > 0 e P (A | Bi) = p para todo
i = 1, 2, . . . , n. Mostre que P (A | C) = p.
38. A mosca branca é uma praga do feijoeiro e é responsável pela transmissão do vírus
do mosaico dourado. Seja 0, 20 a probabilidade de ocorrência da mosca branca em
um feijoeiro. Seja 0, 75 a probabilidade de ocorrer mosaico dado que a planta foi
atacada pela mosca branca e 0, 05 a probabilidade de ocorrer mosaico dado que a
planta não foi atacada. Dado que a planta tem mosaico, qual é a probabilidade de
ter sido atacada pela mosca branca?
39. (Mood, Graybill e Boes, 1974) Suponha que B1, B2, B3 sejam eventos mutuamente
exclusivos. Suponha que P (A | Bi) = i/3 e P (Bi) = 1/3 para todo i = 1, 2, 3.
Calcule P (A).
40. (Casella e Berger, 2002) Uma água é contaminada se forem encontrados bacilos
do tipo A ou bacilos dos tipos B e C simultaneamente. As probabilidades de se
encontrarem bacilos tipo A, B e C são, respectivamente 0,30; 0,20 e 0,80. Existindo
bacilos tipo A não existirão bacilos tipo B. Existindo bacilostipo B, a probabilidade
de existirem bacilos tipo C é 0,4. a) Calcule a probabilidade de ocorrer bacilos tipo
B ou C. b) Calcule a probabilidade da água estar contaminada. c) Sabendo que a
água está contaminada, calcular a probabilidade de ela ter sido contaminada pelos
bacilos dos tipos B e C.
24 Prof. Idemauro
Capítulo 3
Variáveis aleatórias unidimensionais
3.1 Introdução
Dependendo da situação experimental, o espaço amostral associado pode tam-
bém ser representado por elementos que descrevem “atributos”. Em uma plantação de
hortaliças pode-se considerar o nível de infestação por lagartas nas categorias: baixo, mo-
derado e alto, por exemplo. Entretanto, frequentemente tem-se interesse no registro de
algum número. Assim, informalmente uma variável aleatória é a caracterização numérica
do resultado de um experimento aleatório.
Definição 3.1 Variável aleatória. Seja E um experimento aleatório e (Ω,ℑ, P ) um
espaço de probabilidade, uma variável aleatória (v.a.) X é uma função definida em Ω, ou
seja, X : Ω → R, tal que para todo intervalo real I ⊂ R, verifica-se imediatamente que:
X−1(I) = {w ∈ Ω | X(w) ∈ I} ∈ ℑ,
ou seja, a imagem da inversa está sempre associada a algum evento da σ-álgebra ℑ.
James (1981) também mostra que:
X : Ω → R é v.a. ⇔ [X ≤ x] ∈ ℑ, ∀ x ∈ R.
Exemplo 3.1 Considere o lançamento de uma moeda e seja X(w) = 0 se ocorre cara e
X(w) = 1 se ocorre coroa. X(w) é variável aleatória?
25
3.2. FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA Notas de aula
Exemplo 3.2 Seja X uma variável aleatória definida em um espaço de probabilidade
(Ω,ℑ, P ), mostre que Y = cX, c ∈ R, é uma variável aleatória.
3.2 Função de distribuição acumulada
Definição 3.2 Função de distribuição acumulada. Seja X uma variável aleatória
qualquer, a função de distribuição (acumulada) da variável aleatória X é definida por:
F (x) = P (X ≤ x) ∀ x ∈ R.
Características de F (x):
1. 0 ≤ F (x) ≤ 1;
2. lim
x→−∞
F (x) = 0 e lim
x→+∞
F (x) = 1
Prova:
26 Prof. Idemauro
3.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Notas de aula
3. F (x) é não descrescente, isto é, se x ≤ y então F (x) ≤ F (y).
Prova:
4. F (x) é contínua à direita, isto é, se xn → x então F (xn) → F (x).
Prova:
Observações:
1. Qualquer função que satisfaça às características de 1 a 4 é função de distribuição de
alguma variável aleatória;
2. F (x) = P (X ≤ x) = P{(−∞, x]} ∀ x ∈ R;
3. P [(x,+∞)] = P (X > x) = 1− F (x) = 1− P (X ≤ x) = 1− P{(−∞, x]} ∀ x ∈ R;
4. P{X ∈ (a, b]} = F (b)− F (a);
5. A caracterização (natureza) de uma variável aleatória está relacionada com o com-
portamento de sua função de distribuição.
3.3 Variável aleatória discreta
Definição 3.3 Uma variável aleatória definida em um espaço de probabilidade (Ω,ℑ, P )
é dita discreta se ela assume um número finito ou infinito enumerável de valores, isto é,
X(w) ∈ A = {x1, x2, x3, . . .} ⊂ R. Neste caso, deve existir uma função, denominada de
função de probabilidade, f(xi) = P (X = xi) = p(xi), satisfazendo:
i. f(xi) = P (X = xi) = p(xi) ≥ 0 ∀ i = 1, 2, 3, . . .;
27 Prof. Idemauro
3.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Notas de aula
ii.
∞∑
i=1
p(xi) = 1.
Obervações:
1. O par de valores [xi, p(xi)] caracteriza a distribuição de probabilidade de uma va-
riável aleatória discreta e pode ser representada por uma tabela ou por um gráfico;
2. Relações entre F (x) e f(x) = P (X = x) no caso discreto:
F (xi) =
∑
x≤xi
P (X = x)
P (X = xi) = p(xi) = F (xi)− F (x−i )
Exemplo 3.3 (Magalhães e Lima, 2002) Um agricultor cultiva laranjas e também produz
mudas para vender. Após meses a muda pode ser atacada por fungos com probabilidade
0,05 e, nesse caso, ela tem probabilidade 0,5 de ser recuperável. Admita que o processo
de recuperação é infalível. O custo de cada muda produzida é R$1, 00, que será acrescido
de mais R$0, 50 se precisar ser recuperada. As irrecuperáveis são descartadas. Vendendo
cada muda a R$3, 00, estude como se comporta a variável lucro por muda produzida.
28 Prof. Idemauro
3.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Notas de aula
Exemplo 3.4 Considere a seguinte função de distribuição:
F (x) =

0 se x < 3;
0, 2 se 3 ≤ x < 5
0, 5 se 5 ≤ x < 10
1, 0 se x ≥ 10
Represente graficamente. Calcule usando a função de distribuição:
P (X = 3);P (X = 5);P (X = 10)
.
29 Prof. Idemauro
3.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Notas de aula
Exemplo 3.5 Considere a função f(x) =
(
1
2
)x
IA(x), em que A = {1, 2, 3, ...}. Mostre
que f(x) satisfaz às condições de uma função de probabilidade. Calcule P (X ser par).
30 Prof. Idemauro
3.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Notas de aula
3.3.1 Modelos de variáveis aleatórias discretas
Definição 3.4 Distribuição Bernoulli
Um experimento em que se admite apenas uma dicotomia de resultados do tipo
sucesso (evento A) ou fracasso (evento Ac) é denominado ensaio de Bernoulli. Admita:
“X = 0” se ocorre o fracasso ou “X = 1” se ocorre o sucesso e seja p a probabilidade do
sucesso, então a variável aleatória X tem distribuição Bernoulli, X ∼ Bernoulli(p), com
função de probabilidade dada por:
f(x) = P (X = x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
Observação: A realização de ensaios idênticos e independentes de Bernoulli
permite caracterizar alguns importantes modelos discretos.
Definição 3.5 Distribuição Binomial
Considere a realização de n ensaios de Bernoulli, independentes e todos do mesmo
tipo. Admita que em cada ensaio a probabilidade do sucesso permanece constante p.
Nestas condições: seja X a variável aleatória que descreve o número de sucessos nestas
n realizações. Dizemos que a variável aleatória X tem distribuição binomial, com função
de probabilidade:
f(x) = P (X = x) =
(
n
x
)
px(1− p)n−x x = 0, 1, . . . , n (3.1)
Notação: X ∼ b(n, p)
Proposição: Demonstrar que a função 3.1 é uma legítima função de probabili-
dade.
31 Prof. Idemauro
3.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Notas de aula
0 2 4 6 8 10
0.
00
0.
05
0.
10
0.
15
0.
20
0.
25
0.
30
Função de probabilidade
x
fx
0 2 4 6 8 10
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
Função de distribuição
x
F
x
Figura 3.1: Função de probabilidade e de distribuição da v.a. X ∼ b(n = 10; p = 0, 83).
Exemplo 3.6 Uma espécie de híbrido de milho foi desenvolvida por melhoramento ge-
nético e sendo assim tem taxa germinação estimada em 83%. Dez sementes desta espécie
foram plantadas. Determine a probabilidade de mais de sete germinarem.(0,7658)
32 Prof. Idemauro
3.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Notas de aula
Teorema 3.1 Limite da função binomial
Suponha a realização de n ensaios de Bernoulli independentes e todos do mesmo
tipo. Façamos n → ∞. Se quando n → ∞, p → 0 e np → λ, então a função da binomial
pode ser aproximada pela expressão abaixo, chamada de função Poisson:
lim
n→∞
(
n
x
)
px(1− p)n−x ≃ e
−λλx
x!
Demonstração como exercício.
Exemplo 3.7 Suponha que a probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa a
uma injeção de um determinado soro é 0, 001. Determine a probabilidade de que, em 2000
indivíduos exatamente três acusem reação negativa. Utilize a distribuição binomial e a
aproximação pela função de Poisson. (0, 18053 e 0, 18044)
33 Prof. Idemauro
3.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Notas de aula
Observação: O modelo Poisson não é um simples aproximação para a distribui-
ção binomial. Este modelo “tem vida própria” e larga aplicabilidade em diversos fenôme-
nos físicos, biológicos, agronômicos, entre outros, em que se pressupõe uma taxa média
de ocorrência num determinado intervalo. Portanto, pode ser usado para descrever o pro-
cesso de contagem do número de “sucessos” de um evento particular em um intervalo real
(tempo, volume, área,...). Exemplos de situações experimentais que podem ser estudadas
por este modelo: contagem do número de partículas de vírus em uma solução; distribuição
do número de casos de dengue numa região; contagem do número de partículas radioativas
emitidas por uma fonte; dispersão de populações de uma espécie em determinada área;
entre outras. As pressuposições desta importante distribuição discreta são:
i) As ocorrências em quaisquerintervalos são independentes;
ii) A taxa média de ocorrência é constante em todo o intervalo (relação de propor-
cionalidade).
Definição 3.6 Distribuição Poisson
Seja X uma variável discreta, dizemos que X tem distribuição Poisson com pa-
râmetro λ > 0 se sua função de probabilidade for dada por:
f(x) = P (X = x) =
e−λλx
x!
x = 0, 1, 2, . . . (3.2)
Notação: X ∼ Poisson(λ)
Proposição: Demonstrar que a função 3.2 é uma legítima função de probabili-
dade.
34 Prof. Idemauro
3.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Notas de aula
Exemplo 3.8 Um engenheiro agrônomo pode atender, normalmente, a quatro estabe-
lecimentos agrícolas por dia, mas em média ele atende somente três. Se o agrônomo
tiver que atender mais de quatro estabelecimentos agrícolas em um dia, ele deverá fazer
horas extras. Qual é a probabilidade do agrônomo não ter que fazer horas extras num
determinado dia? (0,8152)
0 5 10 15 20 25
0.
00
0.
05
0.
10
0.
15
0.
20
Função de probabilidade
x
fx
0 5 10 15 20 25
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
Função de distribuição
x
F
x
Figura 3.2: Função de probabilidade e de distribuição da v.a. X ∼ Poisson(λ = 3).
35 Prof. Idemauro
3.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Notas de aula
Definição 3.7 Distribuição Geométrica
Considere a realização de n ensaios de Bernoulli, independentes e todos do mesmo
tipo. Admita que em cada ensaio a probabilidade do sucesso permanece constante p,
0 < p ≤ 1. Nestas condições: seja X a variável aleatória que descreve o número de
ensaios necessários até a ocorrência do primeiro sucesso. Dizemos que a variável aleatória
X tem distribuição geométrica, com função de probabilidade:
f(x) = P (X = x) = (1− p)x−1p x = 1, 2, 3, . . . (3.3)
Notação: X ∼ Geo(p)
Alternativamente, descrevendo a variável aleatória Y como o número de fracassos
anteriores ao primeiro sucesso, tem-se outra expressão para o modelo:
f(y) = P (Y = y) = (1− p)yp y = 0, 1, 2, 3, . . . (3.4)
Por esta abordagem, a variável aleatória Y pode ser interpretada como o tempo de espera
(em termos de ensaios de Bernoulli) até a ocorrência do sucesso.
Proposição: Demonstrar que a função 3.3 é uma legítima função de probabili-
dade.
36 Prof. Idemauro
3.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Notas de aula
Exemplo 3.9 Segundo pesquisas, em um lago, há em média 3 espécies de bactéria por
cm3 de água. Cinco tubos com 1 cm3 de água foram retirados do lago para análise.
Assuma que o número de bactérias por cm3 tenha distribuição Poisson. Nestas condições:
a. Qual é a probabilidade de que em um tubo particular apresente ao menos duas
espécies de bactérias? (0,8008)
b. Qual é a probabilidade de que na análise dos cinco tubos, exatamente dois con-
tenham ao menos duas espécies de bactérias em cada um? (0,0506)
c. Qual é a probabilidade de que na análise dos cinco tubos, o 50 tubo seja o primeiro
tubo com ao menos duas espécies de bactérias? (0,00126)
Propriedade da falta de memória da distribuição geométrica
Considere a expressão definida em 3.4, é válida a seguinte relação:
P (Y ≥ s+ t | Y ≥ s) = P (Y ≥ t), (3.5)
conhecida como propriedade da “falta de memória” da distribuição geométrica. Demonstre
e interprete o resultado.
Definição 3.8 Distribuição Binomial Negativa ou de Pascal
Considere a realização de n ensaios de Bernoulli, independentes e todos do mesmo
tipo. Admita que em cada ensaio a probabilidade do sucesso permanece constante p,
0 < p ≤ 1. Nestas condições: seja X a variável aleatória que descreve o número de
ensaios necessários até a ocorrência de r sucessos. Dizemos que a variável aleatória X
tem distribuição binomial negativa, com função de probabilidade:
f(x) = P (X = x) =
(
x− 1
r − 1
)
pr(1− p)x−r x = r, r + 1, r + 2, r + 3, . . . (3.6)
37 Prof. Idemauro
3.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Notas de aula
Notação: X ∼ b.n(r, p)
Alternativamente, descrevendo a variável aleatória Y como o número de fracassos
anteriores ao r-ésimo sucesso, tem outra expressão para o modelo:
f(y) = P (Y = y) =
(
y + r − 1
y
)
pr(1− p)y y = 0, 1, 2, 3, . . . (3.7)
ou, ainda,
f(y) = P (Y = y) =
(
−r
y
)
pr (p− 1)y︸ ︷︷ ︸
(−q)y
y = 0, 1, 2, 3, . . . (3.8)
expressão com binomial negativo, justificando a escolha do nome. Em que:(
−r
y
)
=
−r(−r − 1) . . . (−r − y + 1)
y!
Proposição: (Exercício) Demonstrar que a função 3.8 é uma legítima função de
probabilidade. Ver Mood, Graybill e Boes (1974) para maiores detalhes.
Exemplo 3.10 (Meyer, 2000) A probabilidade de um bem sucedido lançamento de fo-
guete é igual a 0, 8. Suponha que tentativas de lançamentos sejam feitas até que ocorram
3 lançamentos bem sucedidos. Qual é a probabilidade de que exatamente 6 tentativas
sejam necessárias? (0,04096)
38 Prof. Idemauro
3.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Notas de aula
Definição 3.9 Distribuição Hipergeométrica
Considere uma população com N elementos, dos quais r têm uma característica C,
retira-se uma amostra de n elementos desta população (n < N), um a um sem reposição,
então a variável aleatória X que descreve o número de elementos com a característica C
na amostra tem distribuição hipergeométrica, com função de probabilidade:
f(x) = P (X = x) =
(
r
x
)(
N−r
n−x
)(
N
n
) , (3.9)
com função suporte A = {x | max(0, n− (N − r)) ≤ x ≤ min(n, r)}
Notação: X ∼ Hiper(N, r, n)
Exemplo 3.11 Uma baia contém 16 suínos todos da mesma raça e sob as mesmas con-
dições de criação, sendo que 7 deles apresentam lesões por brigas. Uma amostra de
cinco animais é selecionada para coleta de exames. Qual é a probabilidade de 3 animais
apresentarem lesões nesta amostra? (0,2884)
Definição 3.10 Distribuição Uniforme Discreta
Seja X uma variável aleatória assumindo valores no suporte A = {x1, x2, . . . , xn},
se os n resultados são equiprováveis, diz-se que a varável aleatória X tem distribuição
uniforme discreta com função de probabilidade:
f(x) = P (X = x) =
1
n
, ∀ x ∈ A
Notação: X ∼ U.D.(A)
39 Prof. Idemauro
3.4. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Notas de aula
3.4 Variável aleatória contínua
Definição 3.11 Uma variável aleatória X definida em um espaço de probabilidade
(Ω,ℑ, P ) é dita contínua se ela pode assumir qualquer valor em um intervalo real. Seja
X uma variável aleatória contínua, então deve existir uma função matemática, chamada
de função de densidade de probabilidade (f.d.p) da variável aleatória X, satisfazendo:
i. f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R;
ii.
∫ +∞
−∞
f(x)dx = 1.
Observações:
1. A f.d.p. pode não ser única;
2. f(x) não representa probabilidade (é a imagem de x!);
3. As probabilidades são obtidas pela integração:
P (a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a < X < b) =
∫ b
a
f(x)dx
4. Se X é uma variável aleatória contínua então sua função de distribuição é absolu-
tamente contínua, sendo:
F (x) =
∫ x
−∞
f(t)dt
5. Relação entre f(x) e F (x):
f(x) =
dF (x)
dx
Exemplo 3.12 Dada a função f(x) = k(4x− 2x2)I(x)(0,2). Calcule k, a fim de que f(x)
seja f.d.p. Encontre F (x) e calcule P (X > 1).
40 Prof. Idemauro
3.4. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Notas de aula
Exemplo 3.13 (Bussab e Moretin, 2002) Dada a função:
f(x) =
{
2 exp(−2x), se x ≥ 0;
0, caso contrário.
a. Mostre que f(x) é função de densidade de probabilidade
b. Calcule P (X > 10)
3.4.1 Modelos de variáveis aleatórias contínuas
Definição 3.12 Distribuição Uniforme Contínua
Uma variável aleatória assumindo valores no intervalo real (a, b) tem distribuição
uniforme se sua função de densidade de probabilidade for dada por:
f(x) =
1
b− a
I(x)(a,b) (3.10)
Notação: X ∼ U(a, b)
Função de distribuição acumlada:
F (x) =

0, se x < 0;
x−a
b−a , se a ≤ x < b;
1, se x ≥ b.
41 Prof. Idemauro
3.4. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Notas de aula
0 1 2 3 4 5
0.
00
0.
05
0.
10
0.
15
0.
20
0.
25
0.
30
x
f(
x)
Figura 3.3: Gráfico da função de densidade da v.a. X ∼ U(0, 5).
Definição 3.13 Distribuição Gama
Uma variável aleatória assumindo valores no intervalo reais positivos tem distri-
buição gama, com parâmetros α > 0 e β > 0 se sua função de densidade de probabilidade
for dada por:
f(x) =
βα
Γ(α)
xα−1e−βxI(x)(0,∞)(3.11)
Notação: X ∼ Γ(α, β)
Proposição: Demonstrar que a função 3.11 é uma legítima função de densidade de
probabilidade.
42 Prof. Idemauro
3.4. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Notas de aula
A forma da distribuição gama depende dos valores dos parâmetros.
0 1 2 3 4 5
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
1.
2
x
f(
x) Gama(2,1)
Gama(1,1)
Figura 3.4: Gráfico da função de densidade da v.a. X ∼ Γ(α, 1).
43 Prof. Idemauro
3.4. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Notas de aula
Casos particulares da distribuição 3.11:
a) Se α = 1 então X tem distribuição exponencial, isto é, X ∼ exp(β), com f.d.p.:
f(x) = βe−βxI(x)(0,∞) (3.12)
Função de distribuição
F (x) = 1− e−βx, x ≥ 0
Propriedade da falta de memória da exponencial
P (Y > s+ t | Y > s) = P (Y > t)
b) Se α = n
2
e β = 1
2
então X tem distribuição qui-quadrado, isto é, X ∼ χn, com
f.d.p.:
f(x) =
2−
n
2
Γ(n
2
)
x
n
2
−1e
−1
2
xI(x)(0,∞) (3.13)
Exemplo 3.14 Numa população, a expectativa de vida, em anos, tem distribuição ex-
ponencial, com esperança igual a 70 anos. Determine: a) para um indivíduo escolhido ao
acaso, a probabilidade de viver pelo menos até os 75 anos. (0,3425); b) a probabilidade de
ele morrer antes dos 75, sabendo-que o indivíduo acabou de completar 60 anos. (0,1928)
44 Prof. Idemauro
3.4. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Notas de aula
Definição 3.14 Distribuição Beta
Uma variável aleatória assumindo valores no intervalo reais no intervalo (0, 1),
com parâmetros a > 0 e b > 0, tem distribuição beta se sua função de densidade de
probabilidade for dada por:
f(x) =
1
β(a, b)
xa−1(1− x)b−1I(x)(0,1) (3.14)
Notação: X ∼ β(a, b)
Proposição: Demonstrar que a função 3.14 é uma legítima função de densidade de
probabilidade.
A forma da distribuição beta depende dos valores dos parâmetros e sua função
de distribuição não possui forma analítica fechada.
F (x) =

0, se x < 0;∫ x
0
1
β(a,b)
ta−1(1− t)b−1dt, se 0 ≤ x < 1;
1, se x ≥ 1.
45 Prof. Idemauro
3.4. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Notas de aula
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.
0
0.
5
1.
0
1.
5
2.
0
2.
5
x
f(
x)
Beta(3,3)
Beta(5,3)
Beta(1,1)
Figura 3.5: Curvas da função de densidade da v.a. X ∼ β(a, b).
Definição 3.15 Distribuição Weibull
Uma variável aleatória assumindo valores no intervalo reais positivos, com parâ-
metros α > 0 e β > 0, tem distribuição Weibull se sua função de densidade de probabili-
dade for dada por:
f(x) =
α
βα
xα−1 exp
[
−
(x
β
)α]
I(x)(0,∞) (3.15)
Notação: X ∼ Weibull(α, β)
Proposição: (Exercício) Demonstrar que a função 3.15 é uma legítima função de densi-
dade de probabilidade.
E sua função de distribuição é dada por:
F (x) =

0, se x < 0;
1− exp
[
−
(
x
β
)α]
, se x ≥ 0;
Definição 3.16 Distribuição de Cauchy
Uma variável aleatória assumindo valores no conjunto dos reais, com parâmetro
θ ∈ R, tem distribuição Cauchy se sua função de densidade de probabilidade for dada
por:
f(x) =
1
π
1
1 + (x− θ)2
(3.16)
Notação: X ∼ Cauchy(θ)
E sua função de distribuição é dada por:
F (x) =
1
2
+
1
π
arctan(x− θ) (3.17)
Proposição: (Exercício) Demonstrar que a função 3.16 é uma legítima função
de densidade de probabilidade e a forma de sua função de distribuição (3.17).
46 Prof. Idemauro
3.4. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Notas de aula
Definição 3.17 Distribuição Normal
Uma variável aleatória X tem distribuição normal de parâmetros µ ∈ R e σ2 > 0,
se sua densidade for dada por:
f(x) =
1√
2πσ2
exp
[
− 1
2σ2
(x− µ)2
]
(3.18)
Notação: X ∼ N(µ, σ2)
70 80 90 100 110 120 130
0.
00
0.
01
0.
02
0.
03
0.
04
0.
05
µ
fu
nç
ão
 d
e 
de
ns
id
ad
e
Figura 3.6: Função de densidade de probabilidade normal
Características do modelo normal
1. f(x) é uma legítma função densidade de probabilidade, pois:
i) f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R;
ii)
∫ +∞
−∞
1√
2πσ2
exp
[
− 1
2σ2
(x− µ)2
]
= 1
Proposição: Demonstrar que a função 3.18 é uma legítima função de densidade de
probabilidade.
2. Simetria em relação à µ
f(x) depende de x apenas em (x− µ)2. Dessa forma, tem-se
para x = µ− b ⇒ (µ− b− µ)2 = b2
para x = µ+ b ⇒ (µ+ b− µ)2 = b2
47 Prof. Idemauro
3.4. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Notas de aula
3. Limites extremos do modelo normal.
lim
x→−∞
1√
2πσ2
exp
[
− 1
2σ2
(x− µ)2
]
= 0
e
lim
x→+∞
1√
2πσ2
exp
[
− 1
2σ2
(x− µ)2
]
= 0
4. Pontos de máximo e de inflexão da função normal.
Condição necessária: f ′(x) = 0 ⇒ x = µ (ponto de máximo).
Condição necessária: f ′′(x) = 0 ⇒ x1 = (µ− σ) e x2 = (µ+ σ) (pontos de inflexão)
Condições suficientes: estudo do sinal ou teste da derivada superior.
5. Interpretação geométrica dos parâmetros: µ e σ2, que caracterizam o modelo
60 80 100 120
0.
00
0.
01
0.
02
0.
03
0.
04
0.
05
médias diferentes e dp iguais
x
de
ns
id
ad
e
90 95 100 105 110
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
médias iguais e dp diferentes
x
de
ns
id
ad
e
Figura 3.7: Interpretação geométrica dos parâmetros µ e σ2
6. Cálculo de probabilidades sob a curva normal. Característica da função de distri-
buição da normal. Modelo normal padrão.
Se X ∼ N(µ, σ2):
P(a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
1√
2πσ2
exp
[
− 1
2σ2
(x− µ)2
]
= F (b)− F (a)
Observa-se que a função de distribuição acumulada não tem forma analítica fechada
e tem que ser resolvida numericamente:
F (x) = P(X ≤ x) =
∫ x
−∞
1√
2πσ2
exp
[
− 1
2σ2
(t− µ)2
]
dt
48 Prof. Idemauro
3.4. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Notas de aula
Teorema 3.2
Se X ∼ N(µ, σ2) e, se Y = aX + b (a, b ∈ R), então Y ∼ N(aµ+ b, a2σ2).
Teorema 3.3
Se X ∼ N(µ, σ2) e, se Z = X − µ
σ
, então Z ∼ N(0, 1).
Consequência imediata: eventos equivalentes implicam em igual probabili-
dade.
Dado que Z =
X − µ
σ
P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ σZ + µ ≤ b) = P(a− µ ≤ σZ ≤ b− µ)
= P(
a− µ
σ
≤ Z ≤ b− µ
σ
) (3.19)
Definição 3.18 Distribuição Normal Padrão
Se a variável aleatória Z tem distribuição normal padrão de parâmetros µ = 0 e
σ2 = 1, Z ∼ N(0, 1), então sua densidade é dada por:
f(z) =
1√
2π
exp
[
− 1
2
(z)2
]
(3.20)
Função de distribuição normal padrão:
F (z) = Φ(z) =
∫ z
−∞
1√
2π
exp
[
− 1
2
(t)2
]
dt
−4 −2 0 2 4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
(1)
z
de
ns
id
ad
e
−4 −2 0 2 4
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
(2)
z
F
(z
)
Figura 3.8: Distribuição normal padrão (1) e função de distribuição normal padrão (2)
49 Prof. Idemauro
3.4. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Notas de aula
Exemplo 3.15 A observação dos pesos, X, de um grande número de espigas de milho
mostrou que essa variável é normalmente distribuída com média, µ = 90g e σ2 = 49g2.
Num programa de melhoramento, entre outras características, uma linhagem, para con-
tinuar no programa, deve satisfazer 78g < X < 104g. a) Qual é a probabilidade de
uma linhagem qualquer continuar num programa de melhoramento em relação ao peso?
(0,9340) b) Numa análise de 10 linhagens, qual é a probabilidade de que 2 linhagens não
sejam aceitas? Qual o número médio esperado de não aceitas na análise de 100 linhagens?
(0,1134) (6,59)
50 Prof. Idemauro
3.4. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Notas de aula
Definição 3.19 Distribuição Logística
Uma variável aleatória X, assumindo valores em R tem distribuição logística de
parâmetros µ ∈ R e σ > 0, se sua densidade for dada por:
f(x) =
exp
[
− (x−µ
σ
]
{
1 + exp
[
− (x−µ
σ
]}2 (3.21)
Notação: X ∼ logística(µ, σ)
Função de distribuição:
F (x) =
1
1 + exp
[
− (x−µ)
σ
] , ∀x ∈ R
Proposição: (Exercício) Demonstrar que a função 3.21 é uma legítima função
de densidade de probabilidade.
Teorema 3.4 Seja X ∼ logística(µ, σ) e considere a função Z = X − µ
σ
, então a variável
aleatória Z tem distribuição logística padrão, com f.d.p. dada por:
f(z) =
e−z
(1 + e−z)2
(3.22)
Função de distribuição:
F (z) =
1
1 + e−z
, ∀z ∈ R
Exemplo 3.16 Suponha que na análise laboratorial de concentração bacteriana no leite
de uma região, obteve-se µ = 440, 8 ufc/ml e σ = 113, 5 ufc/ml, segundo um modelo
logístico. Se uma amostra de leite desta região é selecionada para análise, qual é a
probabilidade da concentração bacteriana não ultrapassar 250 ufc/ml. (0,1569)
51 Prof. Idemauro3.5. OUTRAS CLASSIFICAÇÕES DE VARIÁVEL ALEATÓRIA Notas de aula
Definição 3.20 Distribuição de Gumbel
Uma variável aleatória X, assumindo valores em R tem distribuição de Gumbel
de parâmetros µ ∈ R e σ > 0, se sua densidade for dada por:
f(x) =
1
σ
exp
[x− µ
σ
− exp
(x− µ
σ
)]
(3.23)
Notação: X ∼ Gumbel(µ, σ)
Função de distribuição:
F (x) = exp
{
− exp
[
− (x− µ)
σ
]}
, ∀x ∈ R
Proposição: (Exercício) Demonstrar que a função 3.23 é uma legítima função
de densidade de probabilidade.
3.5 Outras classificações de variável aleatória
Uma variável aleatória X definida em um espaço de probabilidade (Ω,ℑ, P ) tam-
bém pode ser classificada em singular (no contexto teórico) e mista, quando tem partes
em diferentes classificações. Para maiores detalhes ver Magalhães (2002). Em particular,
se a v.a. X é mista, então sua função de distribuição pode ser escrita como uma soma
ponderada de f.d’s. de cada uma de suas partes, a saber:
F (x) = αdF
d(x) + αcF
c(x) + αsF
s(x),
com αd ≥ 0, αc ≥ 0 , αs ≥ 0 e αd + αc + αs = 1.
Exemplo 3.17 (Magalhães, 2004) Uma variável X tem função de distribuição dada por:
F (x) =

0 se x < 0
x/4 se 0 ≤ x < 1
1/2 se 1 ≤ x < 2
1 se x ≥ 2
Classifique a variável X a partir de sua função de distribuição. Calcule P (X < 1),
P (1 < X < 2) e P (X > 2).
52 Prof. Idemauro
3.6. FUNÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Notas de aula
3.6 Funções de variáveis aleatórias
Uma variável aleatória X definida em um espaço de probabilidade (Ω,ℑ, P ) e
considere Y = h(X) uma função real da v.a. X, então Y também é uma variável aleatória.
Objetiva-se encontrar a distribuição da v.a. Y . Consideraremos dois casos especiais.
3.6.1 Caso discreto
Seja X uma variável aleatória discreta, assumindo valores no suporte A =
{x1, x2, x3, . . .} ⊂ R e seja Y = h(X) uma função real de X, decorre que Y também
é uma variável aleatória discreta. Os valores da v.a. Y serão: h(x1), h(x2), h(x3), . . ., de-
pendendo da natureza da função alguns valores poderão conincidir. Sendo assim, temos
dois casos.
1. Se h(X) é uma função injetora então:
P (Y = yi) = P (X = xi) = P (h(xi)), ∀ i = 1, 2, . . .
2. Se h(X) não é uma função injetora, considere que xi1, xi2, . . . , xik, . . . são os valores
da v.a. X para os quais h(xij) = yi ∀ j, então:
P (Y = yi) =
∑
j
P (X = xij)
Exemplo 3.18 Considere a seguinte distribuição de probabilidade:
X -2 0 2
P (X) 0,1 0,3 0,6
Encontre a distribuição de probabilidade das variáveis aleatórias Y = 3X + 2 e
Z = X2
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3.6. FUNÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Notas de aula
3.6.2 Caso contínuo
Definição 3.21 Método da função de distribuição. Seja X uma variável aleatória
contínua definida em um espaço de probabilidade (Ω,ℑ, P ) e Y = h(X) uma função
contínua, consequentemente a v.a. Y também é uma v.a. contínua. A distribuição da
v.a. Y pode ser encontrada pelo seguinte procedimento.
1. Obter a função de distribuição da v.a. Y , em termos do evento equivalente em X;
2. Obter a f.d.p. da v.a. Y por derivação;
3. Especificar o suporte da variável aleatória Y .
Exemplo 3.19 Seja X uma v.a. com f.d.p. f(x) = 2x I(x)(0,1). Encontre a f.d.p. da v.a.
Y = exp(−X).
Exemplo 3.20 Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme em (−1, 1). En-
contre a densidade da variável aleatória Y = |X|.
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3.6. FUNÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Notas de aula
Exemplo 3.21 Seja X ∼ N(0, 1). Encontre a f.d.p. da v.a. Y = X2.
Teorema 3.5 Seja X uma v.a. contínua com f.d.p. fX(x) e seja Y = X2. Então, a
variável aleatória Y tem f.d.p.:
f(y) =
1
2
√
y
[fX(
√
y) + fX(−
√
y)] I(y)(Ay)
Demonstração do Teorema 3.6.2.
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3.6. FUNÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Notas de aula
Teorema 3.6 A transformação integral. Seja X uma v.a. contínua com f.d. F (x)
e seja U = F (X). Então, a variável aleatória U tem distribuição uniforme contínua em
(0, 1).
Demonstração do Teorema 3.6.
G(U) = P [U ≤ u] = P [F (X) ≤ u] = P [X ≤ F−1(u)] = F [F−1(u)] = u,
o que demonstra que U tem distribuição uniforme contínua em (0, 1).
Observação com relação ao Teorema 3.6: Uma das técnicas usuais para a
simulação de valores de uma v.a. contínua X, com f.d. F (x) consiste em gerar números
aleatórios de U(0, 1) e a seguir empregar a F (x) para gerar os valores da v.a. X. Esse
procedimento permite obter, na realidade, os chamados números pseudo-aleatórios por
meio da relação matemática x = F−1(u). Esse procedimento formalizado no Teorema 3.6
é chamado de método da transformação integral.
Exemplo 3.22 Seja X uma v.a. com f.d.p. f(x) = 2x I(x)(0,1). Vamos simular dez
valores dessa v.a.
Observe que:
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.
0
0.
5
1.
0
1.
5
2.
0
x
f(
x)
Figura 3.9: Gráfico da f.d.p.da v.a. X
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3.6. FUNÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Notas de aula
Sendo a função de distribuição dada por:
F (x) =

0 se x < 0
x2 se 0 ≤ x < 1
1 se x ≥ 1
Assim, com auxílio do software R:
u<-runif(10,0,1) #gera 10 valores da uniforme (0,1)
> u
[1] 0.9076850 0.9894759 0.2535236 0.1575872 0.5764348 0.2879214 0.4283487
[8] 0.8862963 0.7429882 0.0617529
> x<-sqrt(u) #aplicando a inversa de F(x)
> x
[1] 0.9527250 0.9947240 0.5035113 0.3969726 0.7592330 0.5365830 0.6544836
[8] 0.9414331 0.8619676 0.2485013
 
valores da v.a. X
de
ns
id
ad
e 
de
 fr
eq
uê
nc
ia
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.
0
0.
5
1.
0
1.
5
2.
0
Figura 3.10: Histograma para 10.000 valores simulados da v.a. X
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3.6. FUNÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Notas de aula
Teorema 3.7 Seja X uma v.a. contínua com f.d.p. fX(x) e vamos admitir que f(x) > 0
para todo x definido no suporte da variável aleatória, ou seja, DX = {x ∈ R : fX(x) > 0}
é o domínio dessa função. Seja, agora Y = h(X). Considere que a função y = h(x) define
uma transformação um a um (biunívoca) de DX em CY (contradomínio), de tal forma
que existe de x = h−1(y). Vamos admitir também que x = h−1(y) seja derivável para
todo y ∈ CY e, portanto, contínua. Nessas condições a f.d.p. da v.a. Y é dada por:
fY (y) = fX [x = h
−1(y)]
∣∣∣dx
dy
∣∣∣ I(y)Cy.
Demonstração do Teorema 3.7.
Exemplo 3.23 Retome o exemplo 3.19 e veja se o resultado pode ser estabelecido pelo
Teorema 3.7.
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3.7. EXERCÍCIOS Notas de aula
3.7 Exercícios
1. Considere X uma variável aleatória definida em um espaço de probabilidades
(Ω,ℑ, P ). Mostre que X2 também é uma variável aleatória.
2. Em geral em apólices de seguro de automóveis é fixado um valor de franquia. Seja c
o valor dessa franquia (contratos do tipo stop-loss). Nesse caso, se o dano causado
é menor ou igual a c não há valor a indenizar. Seja X o valor do dano ao veículo.
Definindo por Y a v.a. que descreve o valor da indenização:
Y =
{
0 se X ≤ c
X − c se X > c (3.24)
a. Mostre que X e Y são variáveis aleatórias.
b. Como seria classificada a variável aleatória Y (discreta, singular, absoluta-
mente contínua, mista)? Justifique.
3. Seja X uma variável aleatória definida em um espaço de probabilidades (Ω,ℑ, P ).
Mostre que | X | também é uma variável aleatória.
4. Determine a constante c a fim de que f(x) = (c− 1)2xI(x){1,2,...} seja uma função de
probabilidade.
5. (Meyer, 2000) Considere a variável aleatória X com resultados possíveis 0, 1, 2, . . .
e seja P (X = j) = (1− a)aj, ∀j = 0, 1, 2, . . .
a. Para que valores de a o modelo acima tem sentido?
b. Verifique se essa expressão representa uma legítima função de probabilidade.
6. (Dantas, 2000) Suponha que uma variável aleatória tenha a seguinte função de
probabilidade P (X = x) = cx para todo x ∈ {0, 1, 2, . . . , N}. Determine o valor da
constante c quando N = 4 e para qualquer valor N .
7. (Magalhães, 2004) Determine as constantes a e b, de modo que g(x) seja uma função
de probabilidade
x -2 -1 0 1 2
g(x) −(a− b) b a a+ b b− a
8. (Magalhães, 2004) Uma variável X tem função de distribuição dada por:
F (x) =

0 se x < −1
1/2 se − 1 ≤ x < 1/2
3/4 se 1/2 ≤ x < 2
1 se x ≥ 2
a. Classifique a variável X e obtenha a correspondente função densidade ou de
probabilidade, conforme o caso.b. Expresse P (X ≥ 0) e P (X > 0) em termos de F e calcule seus valores
c. Expresse P (X ≥ −1) e P (X > −1) em termos de F e calcule seus valores.
Comente as diferenças em relação ao item b.
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3.7. EXERCÍCIOS Notas de aula
9. (Dantas, 2000) Considere a variável aleatória cuja função densidade de probabilidade
é f(x) = c. cos(x) com π
2
≤ x ≤ π e 0 em caso contrário. Determine o valor de c.
Calcule P (X < 3π
4
).
10. (Magalhães, 2004) Seja X uma variável aleatória contínua com função de distribui-
ção:
F (x) =

0 se x ≤ 0;
x2/2 se 0 < x ≤ 1/2;
x3 se 1/2 < x ≤ 1;
1 se x > 1;
a. Verifique que F (x) satisfaz as propriedades de uma função de distribuição.
b. Obtenha f(x).
11. O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função de
densidade dada por:
f(x) =
{
k(2x− x2) se 0 ≤ x ≤ 1;
0 c.c.
a. Determinar a constante K
b. Obtenha a função de distribuição acumulada de X
c. Calcular P (0 < X < 1/2)
12. Uma variável aleatória X tem distribuição de Maxwell se sua função de densidade
de probabilidade é f(x) =
√
2
π
x2 exp(−x2
2
)I(x)(0,∞). Mostre que f(x) satifaz às
condições de uma função de densidade de probabilidade.
13. Uma variável aleatória X tem distribuição Beta com parâmetros a, b > 0. Verifique
que a densidade Beta com a = b = 1 é U(0, 1).
14. (Meyer, 2000) Seja X o tempo de vida (medido em horas) de um dispositivo eletrô-
nico. Admita que sua f.d.p. seja f(x) = k
xn
para 2000 ≤ X ≤ 10000.
a. Para n = 2 e n = 3, calcule k. Generalize para qualquer n ∈ N∗.
b. Qual é a probabilidade de que o dispositivo falhe antes de que 5000 horas se
tenham passado?
c. Determine F (x) e esboce seu gráfico.
15. Seja X uma v.a com função densidade de probabilidade:
f(x) =

x se 0 ≤ x < 1;
2− x se 1 ≤ x < 2;
0 c.c.
a. Represente graficamente
b. Obtenha F (x)
c. Calcule P (1/3 < X < 3/2)
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3.7. EXERCÍCIOS Notas de aula
16. (Dantas, 2000) Seja X uma v.a. com densidade f(x) = cx2, com −1 ≤ x ≤ 1 e
f(x) = 0, caso contrário. Calcular P (|X| > 1/2). Calcule o valor de α para que
FX(α) = P (X ≤ α) = 14 .
17. (Magalhães, 2004) Considere a seguinte função F (x) a seguir:
F (x) =

0 se x < 0;
1/4 se 0 ≤ x < 1;
2/5 se 1 ≤ x < 2;
1/2 se 2 ≤ x < 3;
(2x− 5)/2 se 3 ≤ x < 3, 5;
1 se x ≥ 3, 5.
a. Verificar se F (x) é função de distribuição.
b. Obter a decomposição de F (x) em partes discreta, singular e contínua, caso
existam.
18. Demonstrar que a função 3.8 é uma legítima função de probabilidade.
19. Demonstrar que a função 3.9 é uma legítima função de probabilidade.
20. (Meyer, 2000) A porcentagem de álcool em certo composto pode ser considerada
uma variável aleatória, com fdp f(x) = 20x3(1− x)I(x)(0,1).
a. Estabeleça a expressão de F (x)
b. Calcule P (X ≤ 2/3)
c. Suponha que o preço de venda desse composto dependa do conteúdo de álcool.
Especificamente, se 1/3 < x < 2/3, o composto é vendido por c1 dólares/galão,
caso contrário, ele é vendido por c2 dólares/galão. Se o custo for c3 dólares/galão,
especifique a distribuição de probabilidade do lucro líquido por galão.
21. (Meyer, 2000) De um lote contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, 4 peças são
escolhidas ao acaso. Seja X o número de peças defeituosas. Estabeleça a função de
probabilidade de X, quando:
a. As peças foram escolhidas com reposição
b. As peças foram escolhidas sem reposição
22. Uma companhia de seguros vendeu apólices a dez pessoas, todas da mesma idade,
sexo e com boa saúde. De acordo com as tábuas atuariais a probabilidade de que
uma pessoa desse perfil esteja viva daqui a dez anos é 0, 8750. Fazendo as suposições
necessárias, daqui a dez anos, calcule a probabilidade de que duas pessoas estejam
mortas.
23. Suponha que as consultas num banco de dados de uma Corretora ocorram de forma
independente e aleatória, com uma taxa média de quatro consultas por minuto. De-
termine a probabilidade de num minuto qualquer ocorram ao menos três consultas.
24. Considere uma variável aleatória X discreta tal que P (X = a) = π e P (X = b) =
1− π. Mostre que a variável aleatória Y = X−b
a−b tem distribuição Bernoulli.
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3.7. EXERCÍCIOS Notas de aula
25. Seja X uma variável aleatória com distribuição de Poisson com parâmetro µ. Que
valor que maximiza µ para P (X = k), k ≥ 0?
26. Para uma variável aleatória com distribuição hipergeométrica, determine:
P (X = k + 1)/P (X = k)
27. Demonstrar que a função 3.15 é uma legítima função de densidade de probabilidade.
28. Demonstrar que a função 3.16 é uma legítima função de densidade de probabilidade.
29. Demonstrar que a função 3.21 é uma legítima função de densidade de probabilidade.
30. Demonstrar que a função 3.23 é uma legítima função de densidade de probabilidade.
31. (Bussab e Moretin, 1987) A temperatura T de destilação do petróleo é crucial na
determinação da qualidade final do produto. Suponha que T seja considerada uma
variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo 150 a 300. Suponha que o
custo para produzir um galão de petróleo seja C1 u.m. Se o óleo é destilado a uma
temperatura inferior a 2000, o produto obtido é vendido a C2 u.m.; se a temperatura
for superior a 2000, o produto é vendido a C3 u.m.
a. Fazer o gráfico da função de densidade da variável aleatória T;
b. Construa a distribuição da variável aleatória lucro galão.
32. Se Z ∼ N(0, 1), calcule: 1− Φ(1, 50) e P (0, 47 ≤ Z < 1, 73).
33. Demonstrar que a função 3.15 é uma legítima função de densidade de probabilidade.
34. O diâmetro D, de certo tipo de anel industrial, é uma v.a. com distribuição normal,
isto é, D ∼ N(µ, σ2). O controle de qualidade da empresa que o fabrica, rejeita
anéis cujos diâmetros defiram da média em mais de dois desvios-padrão, sendo nesse
caso, considerados defeituosos. Admitindo-se as pressuposições de independência no
processo de produção e de probabilidade constante, calcule a probabilidade de que
num processo de inspeção:
a. o 15o anel seja o primeiro a ser rejeitado;
b. o 15o anel seja o 4o defeituoso.
35. Admita que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede elétrica de 10
quilômetros. Qual é a probabilidade da pane ocorrer nos primeiros 500 metros? E
de ocorrer nos 3 km centrais da rede?
36. (Adaptado de Dantas, 2000) Um banco de sangue necessita de sangue do tipo ORh−.
Suponha que a proporção de indivíduos numa população com esse tipo de sangue
é 0, 1. Qual é a probabilidade de que a quinta pessoa que se apresente para teste,
seja a primeira com esse tipo de sangue ?
37. Placas de circuito integrado são avaliadas após serem preenchidas com chips semi-
condutores. Considere que foi produzido um lote de 20 placas e selecionadas 5 para
avaliação. Calcule a probabilidade de encontrar pelo menos uma placa defeituosa,
supondo que o lote tenha 4 defeituosas e que tenha sido realizada uma amostragem
sem reposição.
62 Prof. Idemauro
3.7. EXERCÍCIOS Notas de aula
38. (Moretin, 1999) A probabilidade de uma máquina produzir uma peça defeituosa,
num dia, é de 0, 1.
a. Qual a probabilidade de que em 20 peças produzidas pela máquina num dia,
ocorram 3 defeituosas?
b. Qual a probabilidade de que a 18a peça produzida no dia seja a 4a defeituosa?
c. Qual a probabilidade de que a 10a peça produzida no dia seja a 1a defeituosa?
39. (Meyer, 2000) Suponha que um livro de 585 páginas contenha 43 erros tipográficos.
Se esses erros tiverem distribuídos aleatoriamente pelo livro, qual é a probabilidade
de que 10 páginas, escolhidas ao acaso, estejam livres de erros?
40. Demonstre a propriedade da falta de memória da distribuição geométrica. Interprete
esse resultado. Considere a v.a. Y como o número de fracassos anteriores ao sucesso.
41. Suponha que X tenha distribuição de Poisson com parâmetro µ, sabendo-se que
P (X = 0) = 0, 2, calcular P (X > 2).
42. De acordo com estatísticas de uma companhia de seguros, o valor a indenizar para
segurados (incluindo prejuízos a terceiros) envolvidos em acidentes de trânsito é uma
variável aleatória com distribuiçãonormal com média R$6850, 00 e desvio-padrão
R$1200, 00 (valores em reais).
a. Dado que um veículo dessa companhia se envolveu em acidente de trânsito
qual é a probabilidade de que o valor de indenização exceda R$8000, 00?
b. Qual é a probabilidade de que ocorreridos 10 acidentes com segurados por
essa companhia exatamente o décimo seja o primeiro a ter valor de indenização
superior a R$8000, 00?
c. Determine o intervalo simétrico em torno da média que concentra os 95% dos
valores a indenizar.
43. (Magalhães, 2004) Supondo que a expectativa de vida, em anos, seja exp(1/60):
a. Determine, para um indivíduo escolhido ao acaso, a probabilidade de viver
pelo menos até os 70 anos;
b. Idem para morrer antes dos 70, sabendo-que o indivíduo acabou de completar
50 anos;
c. Calcule o valor de i para que P (X > i) = 1/2.
44. (Moretin, 1999) A distribuição do índice de acidez (X) de um determinado produto
alimentício é considerada exponencial de parâmetro 2. O produto é consumível se
este indíce for menor do que 2. O setor de fiscalização apreendeu 30 unidades para
fiscalização. Qual a probabilidade de que pelo menos 10% da amostra seja imprópria
para consumo?
45. Demonstre a propriedade da falta de memória da distribuição exponencial.
46. Seja Xt o número de partículas emitidas em t horas por uma fonte radioativa e
suponha que Xt tenha distribuição de Poisson com parâmetro βt. Seja T o tempo
entre emissões sucessivas. Deduza a distribuição da variável aleatória T . Para
β = 30, calcule a probabilidade de que o tempo entre duas emissões sucessivas seja:
a. maior do que 5 minutos; b. maior do que 10 minutos; c. menor do que 30
segundos.
63 Prof. Idemauro
3.7. EXERCÍCIOS Notas de aula
47. Considere o modelo probabilístico: P (X = x) = 1
2x
I(x){1,2,3,...}. Seja:
Y =
{
0 se x é par;
1 se x é ímpar.
a. Y é variável aleatória?
b. Se sim, construa a distribuição de probabilidade da v.a. Y .
48. Suponha que a v.a. discreta X tome os valores -2, -1, 0, 1 e 2 com igual proba-
bilidade. Construa as distribuições de probabilidades das variáveis aleatórias de
Y = −2X + 3 e Z = |X|.
49. Considere que X ∼ exp(β = 1). Encontre a função de densidade da variável aleató-
ria Y = log(X).
50. Suponha que a v.a. X tenha distribuição Cauchy padrão com f.d.p. dada por
f(x) = 1
π(1+x2)
I(x)(−∞,+∞). Mostre que a v.a. Y = 1/X também tem distribuição
Cauchy padrão.
51. Seja X uma variável aleatória com distribuição Weibull com parâmetros ν, α, β,
encontre a distribuição da v.a. Y =
(X − ν
α
)β
.
52. Considere X ∼ N(µ, σ2). Encontre a função de densidade de probabilidade da v.a.
Y = eX .
53. (Meyer, 2000) Suponha que P (X ≤ 0, 29) = 0, 75, em que X é uma v.a. contínua
com alguma distribuição definida em (0, 1). Quando Y = 1 − X, determinar k de
modo que P (Y ≤ k) = 0, 25.
54. (ENADE, 2009) Seja Z o consumo de combustível medido em litros por quilômetro
rodado. Assuma que Z tem a função de densidade de probabilidade dada por:
f(z) =
303
2
z2e−30zI(z)(0,∞).
Encontre a função de densidade de probabilidade do consumo medido em quilôme-
tros rodados por litro de combustível dado por C = 1
Z
.
55. Se X ∼ b(n, p), qual a distribuição da variável aleatória Y = n−X?
64 Prof. Idemauro
Capítulo 4
Variáveis aleatórias multidimensionais
4.1 Introdução
Em muitas situações que envolvem um experimento aleatório tem-se interesse em
observar mais de uma característica numérica. Considere os exemplos a seguir.
Exemplo 4.1 (Dantas, 2000, pág. 108) O questionário aplicado em cada uma das dez
residências em uma pesquisa de domícilios contém as quatro perguntas: a) Quantos ba-
nheiros há na casa? b) Quantos carros os moradores possuem? c) Quantas televisões? d)
Quantas geladeiras? Assim a cada casa fica associada uma quádrupla de inteiros, X1 =
número de banheiros; X2 = número de carros; X3 = número de televisões; X4 = número
de geladeiras. Podemos considerar a quádrupla de variáveis (X1, X2, X3, X4) como um
resultado experimental.
Exemplo 4.2 (Meyer, 2004, pág. 110) Em uma peça de aço manufaturada podemos
estar interessado em registrar (mensurar) a dureza (H) e a tensão de ruptura (T) e con-
sideraremos o par de variáveis (H,T ) como um resultado experimental.
Nesse contexto é importante o estudo de variáveis aleatórias de dimensão maior do
que um, que é referido na literatura como variáveis aleatórias multidimensionais. Vejamos
as definições a seguir.
Definição 4.1 Um vetor X = (X1, X2, . . . , Xn) cujos componentes são variáveis aleató-
rias definidas em um mesmo espaço de probabilidades, (Ω,ℑ, P ), é dito variável aleatória
n-dinensional ou simplesmente vetor aleatório.
Definição 4.2 Se o vetor aleatório X = (X1, X2, . . . , Xn) assume somente um número
finito ou enumerável de valores do Rn, ele é chamado de vetor aleatório discreto ou
variável aleatória discreta n-dinensional ou, ainda, variável aleatória discreta
multidinensional. Ao passo que se o vetor aleatório X = (X1, X2, . . . , Xn) puder as-
sumir todos os valores de algum conjunto não enumerável do Rn então temos um vetor
aleatório contínuo ou variável aleatória contínua n-dinensional.
No exemplo 4.1 temos uma variável aleatória 4-dimensional discreta enquanto
que no exemplo 4.2 temos uma variável aleatória bidimensional contínua. Assim como
no caso de uma variável aleatória unidimensional iremos estudar o comportamento de
funções (ou distribuições de probabilidade) que caracterizam cada um desses tipos de
vetores aleatórios.
65
4.1. INTRODUÇÃO Notas de aula
4.1.1 Função de distribuição acumulada conjunta
Definição 4.3 A função de distribuição acumulada conjunta é definida por:
FX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P [X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, . . . , Xn ≤ xn] = P [∩ni=1(Xi ≤ xi)],
para todos os possíveis valores x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn. Portanto:
F :
{
Rn → R
x 7→ FX(x)
Propriedades da função de distribuição acumulada conjunta:
1. FX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) é contínua à direita em cada uma das variáveis;
2. FX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) é não decrescente em cada uma das variáveis;
3. lim
xi→−∞
FX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = 0 para algum i;
lim
xi→∞
FX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = 1 para todo i;
4. Seja a função g : Rn → R e o operador diferença:
∆ia,bg(x1, . . . , xi, . . . , xn) = g(x1, . . . , b, . . . , xn)− g(x1, . . . , a, . . . , xn)
com a < b, então FX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) satisfaz:
∆1a1,b1 ,∆
2
a2,b2
, . . . ,∆nan,bnFX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) ≥ 0,
∀ ai < bi, i = 1, 2, . . . , n.
Exemplo 4.3 Seja (X,Y) um vetor aleatório bidimensional. Seja g : R2 → R e considere
a seguinte propriedade de um operador diferença:
∆
(1)
ab g(x, y) = g(b, y)− g(a, y) ∀ a < b
∆
(2)
cd g(x, y) = g(x, d)− g(x, c) ∀ c < d
Mostrar que:
∆
(1)
ab ∆
(2)
cd FX,Y(x, y) ≥ 0.
66 Prof. Idemauro
4.1. INTRODUÇÃO Notas de aula
4.1.2 Distribuição marginal
Definição 4.4 Seja X = (X1, X2, . . . , Xn) um vetor aleatório, com função de distribuição
FX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn). Pode-se determinar uma distribuição de menor dimensão, k <
n, chamada de distribuição marginal do vetor aleatório X. Sua função de distribuição é
dada pelo limite:
FXi1,Xi2,...,Xik(xi1, xi2, . . . , xik) = limxj→∞
FX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn), ∀ j ̸= i1, i2, . . . , ik
em que {i1, i2, . . . , ik} ⊂ {1, 2, . . . , n}
Exemplo 4.4 Considere o vetor aleatório (X,Y ) com função de distribuição:
FX,Y (x, y) = 1− e−3y − e−2x + e−2x−3y, x > 0, y > 0
Encontre as distribuições marginais de X e Y .
67 Prof. Idemauro
4.1. INTRODUÇÃO Notas de aula
4.1.3 Independência de variáveis aleatórias
Em algumas situações de Estatística Matemática temos como pré-requisito a
condição de que se tem um conjunto de variáveis aleatórias independentes. Vejamos,
então, em que condições podemos admitir que um conjunto de variáveis aleatórias são
ditas independentes probabilisticamente.
Definição 4.5 Seja X = (X1, X2, . . . , Xn) um vetor aleatório, com função de distri-
buição FX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn). Diz-se que as variáveis aleatórias X1,