Geometria analitica FIS UERJ prova1versao1

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Geometria Anal´ıtica - Prova 1
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Crite´rio de avaliac¸a˜o: pontos sera˜o descontados, sem possibilidade de reavaliac¸a˜o futura, devido a
(1) palavras e/ou frases estranhas a` Matema´tica, (2) desenvolvimento de explicac¸a˜o (demonstrac¸a˜o,
justificativa) e/ou ca´lculo nume´rico feitos sem clareza de racioc´ınio e sem etapas indicadas correta-
mente, (3) falta de ordem no desenvolvimento de cada questa˜o (va´ do in´ıcio ao fim sem interrupc¸a˜o)
e (4) qualquer rasura (cada descumprimento custara´ 1 ponto). Respeite estas observac¸o˜es e boa sorte!
1— (3 pontos) Escreva o que sabe sobre os seguintes conceitos.
1.1) (A,B) e
−→
AB.
1.2) a−→v .
1.3) A +−→v .
1.4) −→u .−→v .
1.5) proj−→v
−→u .
1.6) −→u ∧ −→v . �
2— (1 ponto) Suponha ε = (−→e 1,−→e 2,−→e 3) uma base ortonormal e ϕ = (−→f 1,−→f 2,−→f 3) outra
base tal que −→
f 1 =
−→e 1 − 2−→e 2 +−→e 3
−→
f 2 = 3
−→e 1 − 5−→e 2 + 2−→e 3
−→
f 3 = −2−→e 1 + 2−→e 2 +−→e 3
Determine as coordenadas y1, y2, y3 de
−→a = (−2, 3,−1)ε na base ϕ. �
Daqui em diante sera´ considerada somente a base canoˆnica.
3— (1 ponto) Sendo −→u = (4,−3, 2),−→v = (1,−1, 1) e −→w = (2, 5, 1), verifique se 2−→u + 5−→v e
3−→u −−→v +2−→w sa˜o L.D. ou L.I., usando (3.1) somente produto interno e (3.2) somente produto
vetorial. �
4— (1 ponto) Determine a direc¸a˜o, o sentido e a norma de proj−→w 4
−→u + 3proj−→w−→v no caso
em que −→u = (−1, 2, 3),−→v = (2,−4,−3) e −→w = (3, 1, 2). �
5— A figura mostra um prisma hexagonal regular inclinado, onde (A,B) ∼ (O,P ), (C,D) ∼
(O,Q) e (E,F ) ∼ (O,R).
5.1) (1 ponto) Sabendo que
−→
OP = (1, 3, 2),
−→
OQ = (−2, 1, 3) e −→OR = (2,−2, 2), use
operac¸o˜es entre vetores para determinar o volume do prisma.
5.2) (1 ponto) O que representa
−→
OP ∧ 3−→OQ.−→OR?
5.3) (1 ponto) Qual e´ o co-seno do aˆngulo de
inclinac¸a˜o do prisma com relac¸a˜o a Oz?
5.4) (1 ponto) Qual o valor da a´rea projetada
pelo hexa´gono regular sobre Oxy? �
Q
.
e
1
3
e
2
e
.
O
P
.
R.
A
.
C
.
.
B
.
D
. E
. F
1
Geometria Anal´ıtica - Prova 1
R E S P O S T A S
1— Usando um mı´nimo de palavras, sa˜o aceita´veis as seguintes explicac¸o˜es.
1.1) (A,B) e´ o segmento de reta desenhado de A para B, por isso chamado segmento
orientado. O conjunto dos infinitos segmentos orientados equipolentes a (A,B) e´ o vetor AB e
denotado por
−→
AB.
1.2) a−→v e´ o vetor com as seguintes caracter´ısticas:
P1— Tem mesma direc¸a˜o de −→v .
P2— Tem mesmo sentido de −→v se a > 0, tem sentido oposto de −→v , caso a < 0.
P3— Tem norma |a−→v | = |a| |−→v |.
1.3) A + −→v e´ a extremidade B do segmento orientado (A,B) que representa −→v . Por isso,−→
AB = −→v .
Se quiser ser mais espec´ıfico, valem as seguintes propriedades demonstra´veis:
S1— (A +−→u ) +−→v = A + (−→u +−→v ).
S2— A +−→u = A +−→v ⇒ −→u = −→v .
S3— A +−→v = B +−→v ⇒ A = B.
S4— (A−−→v ) +−→v = A.
1.4) −→u .−→v e´ o produto interno de −→u e −→v definido por −→u .−→v = |−→u | |−→v | cos α, onde α =
ang(−→u ,−→v ). Em termos de coordenadas ortogonais, −→u = (u1, u2, u3),−→v = (v1, v2, v3), tem-se−→u .−→v = u1v1 + u2v2 + u3v3.
Se quiser ser mais espec´ıfico, valem as seguintes propriedades demonstra´veis:
PI1— −→u ⊥ −→v ⇔ −→u .−→v = 0.
PI2— −→u .−→v = −→v .−→u .
PI3— x(−→u .−→v ) = x−→u .−→v = −→u .x−→v ,∀x ∈ R.
PI4— (−→u +−→v ).−→w = −→u .−→w +−→v .−→w e −→u .(−→v +−→w ) = −→u .−→v +−→u .−→w .
PI5— −→u .(x−→v + y−→w ) = x(−→u .−→v ) + y(−→u .−→w ),∀x, y ∈ R.
PI6— |−→u | =
√−→u .−→u .
PI7— |−→u .−→v | ≤ |−→u | |−→v | (Desigualdade de Cauchy-Bunyakowski-Schwarz).
PI8— |−→u +−→v | ≤ |−→u |+ |−→v | (Desigualdade triangular).
1.5) Fixando-se representantes de −→u e −→v com mesma origem, digamos (A,B) e (A,C), a
reta que passa por B intercepta
←→
AC em um ponto D. Enta˜o, (A,D) representa a projec¸a˜o de−→u sobre −→v , o vetor proj−→v −→u .
Prova-se facilmente que proj−→v (
−→u 1 + a−→u 2) = proj−→v −→u 1 + a proj−→v −→u 2 e que (esta´ na lista 2)
proj−→v
−→u = −→u .−→v|−→v |2−→v .
1.6)−→u ∧−→v e´ o vetor, chamado produto vetorial de−→u e−→v , que tem as seguintes propriedades:
PV1— |−→u ∧ −→v | = |−→u | |−→v | sen α, onde α = ang(−→u ,−→v ).
PV2— −→u ∧ −→v ⊥ −→u e −→u ∧ −→v ⊥ −→v .
PV3— (−→u ,−→v ,−→u ∧−→v ) e´ uma base que concorda com a orientac¸a˜o fixada no espac¸o R3, em
geral fixada com aux´ılio da regra da ma˜o direita.
Em termos de coordenadas ortogonais, −→u ∧ −→v = det


−→e 1 −→e 2 −→e 3
u1 u2 u3
v1 v2 v3

.
2
Geometria Anal´ıtica - Prova 1
Se quiser ser mais espec´ıfico, valem as seguintes propriedades demonstra´veis:
PV4— −→u ∧ −→v = −→0 ⇔ (1) ao menos um dos vetores e´ nulo ou (2) se sa˜o L.D.
PV5— −→u ∧ −→v = −(−→v ∧ −→u ).
PV6— k−→u ∧ −→v = −→u ∧ k−→v = k(−→u ∧ −→v ).
PV7— −→u ∧ (−→v +−→w ) = −→u ∧ −→v +−→u ∧ −→w e (−→u +−→v ) ∧ −→w = −→u ∧ −→w +−→v ∧ −→w .
2— Como explicado em sala de aulas, as expresso˜es dos
−→
f j em termos dos
−→e j estabelecem
a equac¸a˜o matricial


x1
x2
x3

 =


1 3 −2
−2 −5 2
1 2 1




y1
y2
y3

 e essa equivale ao sistema de equac¸o˜es
x1 = y1 + 3y2 − 2y3, x2 = −2y1 − 5y2 + 2y3 e x3 = y1 + 2y2 + y3. Resolvendo-se essas equac¸o˜es
em termos dos yj, obte´m-se y1 = −9x1 − 7x2 − 4x3, y2 = 4x1 + 3x2 + 2x3 e y3 = x1 + x2 + x3.
A substituic¸a˜o x1 = −2, x2 = 3, x3 = −1 leva a y1 = 1, y2 = −1, y3 = 0. Logo, −→a =−→
f 1 −−→f 2 = (1,−1, 0)ϕ.
3— (3.1) −→a = 2−→u + 5−→v = (13,−11, 9) e −→b = 3−→u − −→v + 2−→w = (15, 2, 7), logo cos α =
−→a .−→b
|−→a | |−→b | =
236√
103138
6= ±1 e o aˆngulo α formado pelos vetores na˜o e´ 0o, nem 180o. Portanto, −→a e
−→
b sa˜o L.I.
(3.2) |−→a ∧ −→b | = | det


−→e 1 −→e 2 −→e 3
13 −11 9
15 2 7

 | = |(−95, 44, 191)| > 0, logo −→a e −→b definem um
paralelogramo de a´rea positiva, algo somente poss´ıvel quando −→a e −→b sa˜o L.I.
4— A resultante e´ o vetor proj−→w (4
−→u + 3−→v ) = proj(3,1,2)(2,−4, 3) = (2,−4,3).(3,1,2)|(3,1,2)|2 (3, 1, 2) =
4
7
(3, 1, 2) de mesma direc¸a˜o e sentido de −→w , de norma 4
√
14
7
.
5— 5.1) Analisando a situac¸a˜o, veˆ-se que a norma de
−→
OP ∧−→OQ corresponde a um terc¸o da
a´rea do hexa´gono. Tambe´m,
−→
OP ∧ −→OQ = (7,−7, 7) = 7
2
−→
OR implica que
−→
OP ∧ −→OQ ⊥ −→OR.
Logo, o volume e´ igual ao valor absoluto de 3
−→
OP ∧ −→OQ.−→OR = 3 det


1 3 2
−2 1 3
2 −2 2

 = 126.
5.2)
−→
OP ∧ 3−→OQ.−→OR = 3−→OP ∧ −→OQ.−→OR representa o volume do prisma.
5.3) A inclinac¸a˜o do prisma e´ o aˆngulo α associado a
−→
OR e −→e 3, logo cos α =
−→
OR.−→e 3
|−→OR| =
√
12
6
=
√
3
3
.
5.4) Como visto em sala de aulas, a a´rea projetada e´ igual a S| cos α| = |3(7,−7, 7)| | cos α| =
21
√
3
√
3
3
= 21.
3