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MA-141 GEOMETRIA ANALÍTICA,
TURMA G - 1o PERÍODO DE 2007
Matrizes Ortogonais, Método de Gran-Schmidt e Auto Valores
1 Matrizes Ortogonais
De�nição: Dizemos que uma matriz n× n A é ortogonal se At = A−1.
Vamos escrever uma matriz n× n A com uma matriz 1× n onde cada entrada é uma coluna de A. Isto é, seja
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
 e A(1) =

a11
a21
...
an1
 , A(2) =

a12
a22
...
an2
 , . . . , A(n) =

a1n
a2n
...
ann
 as colunas de A.
A transposta de A, escrita como uma matrix n× 1 onde cada entrada é uma linha de At, tem a forma
At =

a11 a21 . . . an1
a12 a22 . . . an2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a1n a2n . . . ann
 =

At(1)
At(2)
...
At(n)
 , i.e., as linhas de At são as transpostas das colunas de A.
Usando essa representação em blocos, de At �em linhas� e A �em colunas,� podemos expressar o produto AtA na forma
AtA =

At(1)
At(2)
...
At(n)

[
A(1) A(2) · · · A(n)
]
=

At(1)A(1) A
t
(1)A(2) · · · A
t
(1)A(n)
At(2)A(1) A
t
(2)A(2) · · · A
t
(2)A(n)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
At(n)A(1) A
t
(n)A(2) · · · A
t
(n)A(n)
 .
Observemos agora que para todo par 1 ≤ i, j ≤ n temos que At(i)A(j) = a1ia1j + a2ia2j + · · · + anianj = 〈A(i), A(j)〉.
Portanto
AtA =

〈A(1), A(1)〉 〈A(1), A(2)〉 · · · 〈A(1), A(n)〉
〈A(2), A(1)〉 〈A(2), A(2)〉 · · · 〈A(2), A(n)〉
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
〈A(n), A(1)〉 〈A(n), A(2)〉 · · · 〈A(n), A(n)〉

No caso de A ser ortogonal, teremos que AtA = In = matriz identidade n× n. Resulta então que se A é ortogonal
as colunas de A satisfazem às seguintes condições:
〈A(i), A(j)〉 = δij =
{
0 se i 6= j
1 caso contrário
Claramente a a�rmação inversa também é verdadeira: se 〈A(i), A(j)〉 = δij , para todo para 1 ≤ i, j ≤ n, então A é
ortogonal. Temos assim um critério para identi�car se uma matriz é ou não ortogonal.
Questão 1. Veri�car quais das matrizes abaixo são ortogonais.
A =

1
2
−1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
−1
2
−1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
−1
2
1
2
 , B =

1 0 0 1√
6
0 23
1√
2
1√
6
0 −23
1√
2
−1√
6
0 13 0
1√
2
 , C =

1 2 3
1 1 2
0 1 2
 , D =

1 12
−2
3
1 −12
2
3
0 1 23
 .
Questão 2. Seja A uma matriz ortogonal. Mostre que as seguintes a�rmações são verdadeiras:
a) A−1 também é ortogonal.
b) detA = ±1.
c) Se λ é um autovalor de A, então |λ| = 1 (Observe que λ = a + b
√
−1 pode ser um número complexo e assim
|λ| =
√
a2 + b2).
d) Se B for outra matriz ortogonal, então AB também é ortogonal.
Questão 3. Resolva o sistema AX =

3
−1
4
0
, onde A está descrita na questão 1.
2 Método de Gran-Schmidt
O método de Gran-Schmidt consiste em um algorítimo que permite construir a partir de uma família de m de
vetores linearmente independentes v1, . . . ,vn do Rn 1 uma nova família de m vetores, e1, . . . ,em com a propriedade
〈ei, ej〉 = δij (lembrar que δij vale 0 se i 6= j e vale 1 caso contrário).
De�nição: Uma família de vetores e1, . . . ,em satisfazendo a condição 〈ei, ej〉 = δij é chamada de ortonormal.
O método: Num primeiro passo usamos um processo recursivo para construir, para cada 1 ≤ s ≤ m, um vetor fs
como combinação linear dos vetores f1, . . . ,fs−1 construídos anteriormente. Num segundo passo, obtemos os vetores
e1, . . . ,em procurados, normalizando-se os vetores f1, . . . ,fm, i.e., ei =
1
‖f i‖
f i. Ver descrição abaixo:
f1 = v1
f2 = v2 −
〈v2,f 1〉
〈f 1,f 1〉
f1
f3 = v3 −
〈v3,f 1〉
〈f 1,f 1〉
f1 −
〈v3,f 2〉
〈f 2,f 2〉
f2
...
...
fm = vm −
〈vm,f 1〉
〈f 1,f 1〉
f1 −
〈vm,f 2〉
〈f 2,f 2〉
f2 − · · · −
〈vm,fm−1〉
〈fm−1,fm−1〉
fm−1.
e1 =
1
‖f1‖
f1, e2 =
1
‖f2‖
f2, . . . , em =
1
‖fm‖
fm.
Quando aplicamos o método de Gran-Schmidt às colunas de uma matriz A, n×n e de posto n, e colocamos os novos
vetores obtidos e1, . . . ,en como colunas de uma nova matriz E, obtemos que E é uma matriz ortogonal, conforme
vimos na seção anterior.
Questão 4. Construa uma família ortonormal e1, e2, . . . ,em aplicando o método de Gran-Schmidt aos vetores dos
dois casos abaixo.
a) v1 =

1
1
1
 , v2 =

0
2
1
 , v3 =

0
1
1
 , b) v1 =

1
1
0
0
 , v2 =

1
0
1
0
 , v3 =

1
0
0
1
 , v4 =

0
1
1
0
 .
Questão 5. Encontre uma família ortonormal e1, e2, e3 de forma que e1 =

0
3
5
0
4
5
. Dica! Tome dois vetores v2 e
1Claro que m ≤ n, pois os vetores são linearmente independentes.
2
v3 de forma que v1 =

0
3
5
0
4
5
 , v2, v3 sejam linearmente independentes e aplique o método de Gran-Schmidt a eles.
Questão 6. Dados três vetores v1, v2, v3 onde v3 é combinação linear de v1 e v2. Mostre que a construção
acima de f1,f2,f3 produz f3 = 0. Dica! Veri�que que 〈f2,f2〉 = 〈v2,f2〉; substitua na fórmula do f3 v2 por sua
representação como combinação linear de v1 e v2.
Observação: A questão acima mostra que não vale a pena usar o método em famílias linearmente dependentes.
3 Auto-valores e Auto-vetores de uma Matriz
De�nição: Dada uma matriz n× n A dizemos que um número complexo λ é um auto valor de A se existir vetor não
nulo a ∈ Cn tal que Aa = λa (Cn é o conjunto das matrizes n× 1 com coe�cientes complexos).
Colocando a de�nição acima em equações temos:

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann


a1
a2
...
an
 = λ

a1
a2
...
an
 e assim

a11 − λ a12 · · · a1n
a21 a22 − λ · · · a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann − λ


a1
a2
...
an
 = 0.
Vemos que a matriz do lado direito é igual a A− λIn. De fato
a11 − λ a12 · · · a1n
a21 a22 − λ · · · a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann − λ
 =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
− λ

1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 · · · 1

Obtemos assim o sistema homogêneo (A − λIn)a = 0. Sabemos que é necessário e su�ciente que det(A − λIn) =
0 para que o sistema tenha solução não nula a 6= 0. Calculando-se o determinante vamos obter uma equação
polinomial em λ. I.e., det(A− λIn) = (−1)nλn + c1λn−1 + · · ·+ cn. Concluímos assim que λ é uma raiz do polinômio
(−1)nxn + c1xn−1 + · · ·+ cn que é chamado de polinômio característico da matriz A.
Conclusão, para obtermos os auto valores de uma matriz A calculamos seu polinômio característico det(A−xIn) =
(−1)nxn + c1xn−1 + · · ·+ cn e em seguida encontramos suas raízes. As raízes λ1, λ2, . . . , λn do polinômio característico
são os auto valores da matriz. Para obter os auto vetores da matriz A resolvemos em seguida os sistemas homogêneos
(A− λ1In)

x1
x2
...
xn
 = 0, (A− λ2In)

x1
x2
...
xn
 = 0, · · · , (A− λnIn)

x1
x2
...
xn
 = 0.
Como pode ocorrer de uma raiz aparacer repetida temos no máximo n sistemas para resolver.
Questão 7. Encontre os auto valores e os auto vetores das matrizes abaixo.
(
1 4
1 1
)
,

1 3 −3
0 4 0
−3 3 1
 ,

1 2 1
0 −1 1
0 0 −1
 ,

−1 −4 14
2 −7 14
2 −4 11
 ,
Procurar as raízes entre os divisores do termo
independente. No segundo e no terceiro problema,
um exame da matriz já revela uma das raízes.
3