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1a Lista de Exercícios MA673-Elementos de Álgebra - 10 - Semestre-12 Nesta lista denotaremos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, respec- tivamente, por: N , Z ,Q , R e C. 1. Seja G um conjunto não vazio. Em cada um dos casos abaixo decida se ∗ é uma operação binária de G e em caso afirmativo decida se (G, ∗) é grupo ou não. a) Dado m ∈ Z, mZ é subconjunto (de Z) definido por mZ = {mz; z ∈ Z}. Tome G = 2Z∪ 3Z e ∗ a adição de números inteiros. b) G = {x ∈ Q : x > 0} = conjunto dos números racionais estritamente positivos e ∗ é a multiplicação de racionais. c) G = GL2(Z) = conjunto das matrizes 2 × 2 com entradas reais e de determinante igual a ±1 e ∗ é a multiplicação de matrizes. d) G = conjunto das matrizes não nulas, 2× 2, com entradas reais e ∗ é a multiplicação de matrizes. 2. Seja Q o conjunto dos números racionais. Defina em Q a seguinte operação binária: Dados a, b ∈ Q ; a ∗ b = a+ b− ab Mostre que: a) A operação ∗ é associativa e admite um elemento neutro. Encontre tal elemento. b) (Q, ∗) não é grupo. 3. Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo. Justifique suas respostas. a) O conjunto Z \ {0} com a multiplicação de números inteiros é um grupo. b) Existe um subgro G de (Z,+) que é finito e tem pelo menos 2 elementos. c) Seja b ∈ Z com b 6= 0. O conjunto G = { abn ∈ Q : a ∈ Z e n ∈,Z} é um subgro de (Q,+). d) Se G ⊆ C é subgro de (C \ {0}, .) com ](G) > 2 então G é infinito. e) O único subgro finito de (R \ {0}, .) é o subgro G = {±1}. 4. Verifique em cada caso se H ⊂ G é subgro do grupo G. a) G = R2 = {(x, y); x, y ∈ R} com a adição usual e H = {(x, x2); x ∈ R} b) G = R2 = {(x, y); x, y ∈ R} com a adição usual e para a ∈ R fixo, H = {(x, ax); x ∈ R}. c) G = R\{0} com a multiplicação usual e H = {a+ b√p ; a, b ∈ Q, a 6= 0ou b 6= 0} e p ∈ N é número primo. d) ](G) = 100 e ](H) = 35 e) G = Z com a adição usual, H 6= G e −1 ∈ H. 5. Se (G1, ∗1), (G2, ∗2), · · · (Gn, ∗n) são grupos e G = G1×G2×· · ·×Gn = {(a1, a2 · · · , an); ai ∈ Gi}. Mostre que: a) G com a operação ∗ definida por (a1, a2 · · · , an) ∗ (b1, b2 · · · , bn) = (a1 ∗1 b1, a2 ∗2 b2, · · · , an ∗n bn) é gro. b) Se para cada i, Hi é subgro de Gi então H = H1 ×H2 × · · · ×Hn é subgro de G. c) Se H ⊆ G é subgro então H = H1 ×H2 × · · · ×Hn ,onde para todo i Hi é subgro de Gi. d) (G, ∗) é grupo abeliano se e somente se para cada i, (Gi, ∗i) é abeliano. 6. Seja S3 o conjunto das permutações do conjunto X = {1, 2, 3}, isto é, o conjunto das funções bijetoras f : X → X. Descreva explicitamente todös os 6 elementos de S3 e faça a tabua da multiplicação ◦ de S3 (lembre que a multiplicação aqui é a composição de funções, por exemplo se f1 é a função dada por f1(1) = 2, f1(2) = 1 e f1(3) = 3 e g é a função dada por f2(1) = 3, f2(2) = 1 e f2(3) = 2, então h = f1 ◦ f2 é dada por h(1) = 3, h(2) = 2 e h(3) = 1). 7. Seja (SX , ◦) o gro de permutações de X, onde X tem pelo menos 3 elementos distintos. Mostre que SX não é abeliano. 1 8. Seja G um conjunto com uma operação ∗ que satisfaz: i) Para quaisquer a, b, c ∈ G tem-se: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c. ii) Existe e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a para qualquer a ∈ G iii) Se a, b, c ∈ G e a ∗ b = a ∗ c então b = c Mostre que: a) Se G é finito então G é grupo. (Sugestão: Dado a ∈ G, mostre que a função La : G −→ G definida por: La(x) = a ∗ x é bijetora) b) Encontre um exemplo de que a) não é verdadeira se retirarmos a hipótese de que G é finito. 9. Sejam (G, .) um grupo, H1, H2, · · · , Hn, · · · uma sequência de subgrupos e N,H subgrupos de G.Mostre que: a) K = ∩iHi é subgro de G b) Se H1 ⊆ H2 ⊆ H3 ⊆ · · · ⊆ Hn ⊆ · · · então L = ∪iHi é subgro de G. c) H ∪N é subgrupo de G se e somente se H ⊆ N ou N ⊆ H d) Se HN = NH então HN é subgro de G. 10. Seja (G, .) um grupo. Mostre que os seguintes subconjuntos de G são subgrupos: a) Dado a ∈ G, C(a) = {x ∈ G; ax = xa} (Chamado de o centro de a em G). b)Z(G) = {x ∈ G;xg = gx,∀g ∈ G} (Chamado o centro de G). c) x−1Hx, onde H é subgro de G e x ∈ G (Chamado de conjugado de H por x) 2
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