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27/01/2023

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Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
MA093 – Matemática básica 2
Conceitos básicos de geometria
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Agosto de 2018
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Tópicos importantes
O objetivo dessa aula é investigar
1 As noções de ponto, reta, plano e ângulo.
2 As principais definições associadas a retas, planos e ângulos.
3 Os principais axiomas da geometria plana.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Noções primitivas
Ponto, reta e plano
Um ponto não tem dimensão e é representado por uma letra
maiúscula (A, B, C, ...)
Uma reta tem uma dimensão e é representada por uma letra
minúscula (r, s, t, ...)
Um plano tem duas dimensões e é representado por uma letra
grega maiúscula (α, β, γ, ...)
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Axiomas básicos
Primeiros axiomas sobre retas e planos
A1 Uma reta continua indefinidamente.
A2 Uma reta contém infinitos pontos (a figura mostra A ∈ r e
B ∈ r , mas há, por exemplo, infinitos pontos entre A e B).
A3 Um plano contém infinitas retas
(a figura mostra t ⊂ α e s ⊂ α, mas há, por exemplo,
infinitas retas em α que cruzam com t).
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Pontos e retas
Definição e axioma sobre reta
D1 Pontos que pertencem a uma mesma reta são colineares.
A, B e C são colineares. A, B e V não são colineares.
A4 Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa
por eles.
s é a única reta que passa por P e Q.
Assim, escrevemos s =
←→
PQ.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Planos
Definição e axiomas sobre planos
D2 Pontos que pertencem a um mesmo plano são coplanares.
A, B e C são coplanares.
A5 Três pontos não colineares definem um único plano que os
contém. A, B e C definem α.
A6 Se dois pontos distintos (de uma reta) pertencem a um
plano, então a reta está contida nesse plano.
Como A,B ∈ α e A 6= B, temos
←→
AB ⊂ α.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Exerćıcio 1
Problema
Indique quais afirmações abaixo são verdadeiras. No caso da
afirmação ser falsa, exiba um contraexemplo.
A) Por um ponto passam infinitas retas.
B) Dois pontos distintos determinam uma única reta.
C) Por três pontos dados passa uma só reta.
D) Três pontos distintos são sempre coplanares.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Segmentos e semirretas
Definições
D3 Dados dois pontos distintos de uma reta, o conjunto
formado por esses pontos e todos os pontos que estão entre
eles é denominado segmento de reta.
AB é um segmento com extremidades A e B.
D4 Um ponto pertencente a uma reta divide a reta em duas
semirretas que têm o ponto como origem.
O ponto O divide r em uma semirreta vermelha e outra azul.−→
PQ também é uma semirreta.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Relações entre segmentos de reta
Definições
D5 Dois segmentos de reta podem ser:
a) Consecutivos, se possuem uma extremidade comum.
Ex: AB e BC .
b) Colineares, se estão contidos em uma mesma reta.
Ex: PQ, PR, PS , QR, QS e RS .
c) Adjacentes, se são consecutivos e colineares e só
possuem um ponto comum. Ex: QR e RS .
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Exerćıcio 2
Problema
Indique quais afirmações abaixo são verdadeiras. No caso da
afirmação ser falsa, exiba um contraexemplo.
A) Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos.
B) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares.
C) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Congruência de segmentos
Definição
D6 Dois segmentos de reta são congruentes se, postos um sobre
o outro, todos os seus pontos coincidem.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Comprimento de segmentos
Definição
D7 A cada segmento de reta associamos um número real
denominado comprimento, de modo que:
a) Segmentos congruentes têm comprimentos iguais.
b) Se um segmento é maior que outro, seu comprimento é
maior que o desse outro.
c) O comprimento da soma de dois segmentos é a soma
dos comprimentos dos segmentos.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Semiplanos
Definição
D8 Uma reta r de um plano α separa esse plano em dois
conjuntos α′ e α′′.
Cada um dos conjuntos de pontos r ∪ α′ e r ∪ α′′ é chamado
semiplano.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Ângulo
Definições
D9 A reunião de duas semirretas de mesma origem é chamada
ângulo.
D10 A origem das semirretas é o vértice do ângulo.
O ângulo AÔB tem vértice O e lados
−→
OA e
−→
OB.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Ângulos consecutivos e adjacentes
Definições
D11 Dois ângulos são consecutivos se possuem um lado comum.
D12 Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm pontos
internos em comum.
AÔC e BÔC são consecutivos, mas não adjacentes.
AÔB e BÔC são consecutivos e adjacentes.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Ângulos opostos pelo vértice e suplementares adjacentes
Definições
D13 Dois ângulos são opostos pelo vértice se são formados pela
interseção de duas retas e não são consecutivos.
RÔQ e PÔS são opostos pelo vértice.
D14 Dado um ponto O sobre a reta
←→
AB e dada a semirreta
−→
OC ,
os ângulos AÔC e CÔB são suplementares adjacentes.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Ângulos congruentes e retos
Definições
D15 Dois ângulos são congruentes se, postos um sobre o outro,
todos os seus elementos coincidem.
D16 Um ângulo congruente a seu suplementar adjacente é dito
ângulo reto. AÔB e DÔC são retos.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Medidas de ângulos
Definições
D17 A medida usual de um ângulo é o grau.
Um grau (1◦) corresponde a 1/90 da medida de um ângulo
reto (que tem, portanto, 90◦).
D18 Um grau é dividido em 60 minutos
[
1′ = ( 160 )
◦].
D19 Um minuto é dividido em 60 segundos
[
1′′ = ( 160 )
′].
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Ângulos agudos e obtusos
Definições
D20 Um ângulo é agudo se mede menos que 90◦.
PÔQ é agudo.
D21 Um ângulo é obtuso se mede mais que 90◦.
JK̂L é obtuso.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Ângulos complementares e suplementares
Definições
D22 A medida da soma de dois ângulos é a soma das medidas
desss ângulos.
D23 Dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas
é 90◦. AÔC e BÔC são complementares.
(BÔC é o complemento de AÔC e vice-versa.)
D24 Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é
180◦. PQ̂S e RQ̂S são suplementares.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Exerćıcio 3
Problema
Indique quais afirmações abaixo são verdadeiras. No caso da
afirmação ser falsa, exiba um contraexemplo.
A) Dois ângulos adjacentes são consecutivos.
B) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos.
C) Dois ângulos complementares são adjacentes.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Exerćıcio 4
Problema
P, Q e R são três pontos distintos de uma reta.
Determine as medidas dos segmentos PQ e QR, sabendo que
PQ é igual ao triplo de QR.
PR = 32 cm.
PQ = 24 cm e QR = 8 cm, ou PQ = 48 cm e QR = 16 cm.
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Exerćıcio 5
Problema
Calcule o suplemento de um ângulo que mede 72◦.
108◦
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Exerćıcio 6
Problema
Calcule o complemento de um ângulo que mede 54◦15′.
35◦45′
Conceitos básicos Ângulos Exerćıcios e atividade
Atividade
Problema
Determine a medida do ângulo que vale o triplo de seu
complemento.
67, 5◦
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	Ângulos
	Exercícios e atividade