DERIVADAS E INTEGRAIS-2019

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INTRODUÇÃO 
Dentro do conceito de cálculo, a integral foi criada de origem para delimitar a 
área localizada sob uma curva em um plano cartesiano. O processo de cálculo da 
integrada é denominado integração. A integrada indefinida é chamada de 
antiderivada. De forma bem conceitual, podemos chamar de derivada a taxa de 
variação de uma função. Como o próprio nome dela já diz, a derivada representa de 
onde uma função veio, de onde ela deriva, o que deu origem a ela. 
São objetivos deste trabalho definir o conceito de derivada e integral, 
esclarecendo suas propriedades e exemplificando as aplicações de cada uma. 
Aplicaremos derivadas e integrais em situações da vida real: demonstraremos como 
as derivadas são usadas na física, biologia e administração, e ilustraremos integrais 
no cotidiano. 
 A metodologia utilizada no trabalho foi a pesquisa na internet. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS 
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0, é igual ao valor da 
tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva 
representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular 
da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0. 
A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos 
símbolos: 
y', dy/dx ou f ' (x). 
A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por: 
 
Algumas derivadas básicas. 
Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.a, b, c e n são 
constantes. 
Derivada de uma constante 
 
Derivada da potência 
 
Portanto: 
 
Soma / Subtração 
 
 
 
Produto por uma constante 
 
Derivada do produto 
 
Derivada da divisão 
 
Potência de uma função 
 
Derivada de uma função composta 
 
Aplicação das derivadas 
Talvez a mais difundida aplicação das derivadas nas universidades seja na 
otimização de problemas. Onde utilizamos as derivadas para obter a maximização 
ou minimização de um determinado fenômeno. 
• Minimização do consumo de material; 
• Maximização do lucro em função das despesas; 
• Maximização da área em função do seu perímetro; 
• Otimização do tempo na produção industrial. 
Aplicação das derivadas na física 
 A velocidade que é a derivada do espaço em relação ao tempo , 
onde v é a velocidade e s a posição. Na sequência, a aceleração que é a derivada 
da velocidade em relação ao tempo , onde a é a aceleração. Assim se 
temos a equação que descreve a posição de uma determinada partícula, 
conseguimos obter a equação da velocidade e da aceleração. Outra aplicação é a 
força que é derivada de seu momento linear em relação ao tempo. 
 
Aplicação das derivadas na biologia 
Na biologia, uso das derivadas no estudo do crescimento populacional. O 
tamanho de uma certa população em um determinado instante é dado pelas taxas 
de natalidade e de mortalidade. As taxas relacionadas são duas ou mais 
quantidades variando simultaneamente entre si, logo são derivadas. 
 
Aplicação das derivadas na administração 
As aplicações das derivadas na administração são fortemente ligadas a 
economia, pois na maior parte das vezes são problemas que envolvem a 
minimização de custos ou a maximização de lucro. 
Na linguagem mais especifica de administradores e economistas, o custo 
marginal, que é variação do custo total de produção em função da quantidade 
unitária produzida, este é expresso através da derivada do custo total pela 
quantidade produzida , onde Cm é a função de custo marginal, Ct o custo 
total e Q a quantidade total produzida. 
As Derivadas possuem diversas aplicações em inúmeras outras áreas, como 
na química (exemplo na Lei de Boyle), medicina (exemplo concentração de uma 
substância no organismo) entre outras. 
 
EX: Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 Kg. Até agora ele 
gastou R$380.000,00 para criar os bois e continuará gastando R$ 2,00 por dia 
para manter cada boi. Os bois aumentam de peso a uma razão de 1,5 Kg por dia. 
Seu preço de venda, hoje é de R$ 18,00 o quilo, mas o preço cai 0,05 centavos por 
dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para maximizar seu lucro? 
 
 
 
Extraindo os dados do problema: 
Bois: b=200 
Peso de cada boi: p=300 kg 
 Custo até o momento: 38.000 reais 
Devemos encontrar o lucro, temos a seguinte relação: 
Lucro = ( peso total dos bois X preço ao Kg ) – custo total da criação 
 
Peso total dos bois: 
O problema nos diz que os 200 bois pesam 300Kg cada e engordam 1,5 kg ao dia, 
assim temos que 
peso total dos bois =200 . 300 + 200 . 1,5d . 
Preço ao Kg 
O peso do Kg também está variando conforme o passar dos dias na seguinte 
relação: 
preço ao Kg =18 – 0,05d 
Custo total da criação 
Até o momento o fazendeiro teve um custo de R$ 38.000, entretanto a cada novo dia 
que os bois ficam na fazenda geram mais custos 
Custo total da criação =38.000 + 200 . 2d . 
Substituindo a equação geral obtém-se a seguinte equação 
Lucro = (200 . 300 +200 . 1,5d) . (18 – 0,05d) – (38.000 +200 . 2d) 
Realizando todas as operações de multiplicação, soma e subtração da 
equação acima fica-se com: 
Lucro = -15d² + 2.000d + 700,00 
Como queremos saber o lucro máximo, devemos encontrar o ponto onde a 
função lucro alcança o seu maior valor. Para isto, aplicaremos a derivada e 
igualamos a zero, pois nos pontos onde a derivada é nula, temos os pontos de 
máximo e de mínimo. 
0 = -30d + 2.000 => d ≅ 66 
Portanto, o fazendeiro deve o aguardar 67 dias para maximizar seu lucro. 
 
 
 
 
 
INTEGRAIS 
 
Dentro do conceito de cálculo, a integral se de origem a fim de delimitar a 
área localizada sob uma curva em um plano cartesiano. Existem várias definições de 
integração, no geral, todas elas procuram resolver problemas conceituais diversos 
como aqueles que são relacionados à continuidade, limites e existência de 
determinados procedimentos que são usados na delimitação. Tais delimitações são 
diferentes, porque há funções que podem ser integradas de acordo com uma 
definição, mas não podem com base em outra. 
Existem quatro tipos de integrais, são elas as definidas, indefinidas, por partes 
e por substituição, com formas de aplicação diferentes. 
Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral 
definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo: 
 
Onde: 
a é o limite inferior de integração; 
b é o limite superior de integração; 
f(x) é o integrando. 
 
 
Onde representa a área entre as curvas, para 
 
Integrais indefinidas: da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação 
e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração 
indefinida. Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada 
integral indefinida ou antiderivada de f(x). 
 
Propriedades: 
1 - ∫ [f(x) +- g(x)]dx = ∫ f(x)dx +- ∫ g(x)dx a integral da soma ou diferença é a soma ou 
diferença das integrais. 
2 - ∫kf (x) dx = k ∫f(x) dxa constante multiplicativa pode ser retirada do integrando. 
3 - a derivada da integral de uma função é a própria função. 
 Integrais por substituição: 
∫g[f(x).f’(x)dx 
Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou ou ainda, du = f'(x) dx, vem: 
∫g [f(x).f’(x)dx = ∫g(u)du = h(u) + C = h[f(x)] + C 
Conhecendo ∫g(u)du, o método da substituição de variável exige a identificação de u 
e u' ou u e du na integral dada. 
 
Integrais indefinidas por partes: Integração por Partes u.dv 
 A integral por partes é amplamente utilizada para os métodos mais avançados, é 
necessário para essa parte o bom entendimento de integrais, aprendidos nos tópicos 
anteriores, principalmente integrais por substituição. 
 
A primeira coisa que precisamos é deixar a integral em função de u.dv, então 
chegamos na fórmula da integração por parte que é: 
∫ u.dv = u.v - ∫ v.du 
A primeira coisa que precisamos fazer é escolher o “u”, existeuma lista para facilitar 
a escolha, porém não é absoluta, serve apenas para dar um norte ao estudante: 
Logaritmo 
Inversa trigonométrica 
Potência de “x” 
Trigonométrica 
Exponencial. 
 
Aplicações das integrais no cotidiano 
Utilizamos a integral definida como ferramenta para calcular o centro de 
massa: 
No cotidiano, mesmo que não percebamos, encontramos situações 
envolvendo o 
centro de massa dos objetos. Ao arrumar a carga de um caminhão, por exemplo, a 
mesma precisa estar com o seu centro de massa alinhado com o eixo central do 
Caminhão, caso contrário, se for uma carga muito pesada, a mesma contribuirá para 
um possível acidente. 
As empresas costumam calcular o preço final de seus produtos através de 
uma relação entre a demanda e a procura. Então é necessário encontrar um 
equilíbrio entre as funções que expressam a procura e a demanda do produto. Seja 
𝑝(𝑥) a função que determina a demanda de um certo produto, 𝑥 a quantidade 
de produtos e 𝑃 o seu valor inicial. O excedente de consumo será expresso então 
por: x 
 ∫ [𝑝(𝑥) − 𝑃]𝑑𝑥 
 0 
Aplicações do volume: 
Quem está à mesa disposto a comer e tomar um belo copo de suco, nem 
imagina todo o processo pelo qual aquela bela jarra de suco passou antes chegar 
àquela mesa, afinal de contas são inúmeros modelos e tamanhos que encontramos 
no mercado. 
Alguém pensa num formato, o desenha e então precisa das proporções do 
objeto e, claro, o volume do mesmo. Como o sólido foi obtido através da revolução 
em torno do eixo x, então 
seu volume será determinado por: 
 b 
V= ∫ A(x) dx 
 a 
 
Exemplo: Imaginemos a seguinte situação hipotética, Carlos estava 
interessado em comprar um carro, porém, resolveu esperar mais um pouco na 
esperança de que o valor do carro pudesse diminuir e, assim, obter lucro na 
transação. E após 2 meses o valor do carro teve uma queda de 0,8% do seu valor 
inicial, Carlos não pensou duas vezes e adquiriu sem bem durável. Veja bem, se 
engana quem pensa que Carlos obteve algum lucro com a compra do carro, apenas 
quem tem lucro, é quem produz e vende, o que não ocorre neste caso. Essa 
diferença que Carlos não pagou pelo produto, é chamada de excedente do 
consumidor. As empresas costumam calcular o preço final de seus produtos através 
de uma relação entre a demanda e a procura. Então é necessário encontrar um 
equilíbrio entre as funções que expressam a procura e a demanda do produto. Seja 
𝑝(𝑥)a função que determina a demanda de um certo produto, 𝑥a quantidade de 
produtos e 𝑃o seu valor inicial. O excedente de consumo será expresso então por: 
 x 
∫[𝑝(𝑥)−𝑃]𝑑𝑥 
 0 
Imagine um produto com valor de R$20,00 e que possui a função de 
demanda definida por 𝑓(𝑥)=40−2𝑥. Podemos observar que para 𝑦=20, temos 
20=40−2𝑥 
2𝑥=20 
𝑥=10 
Aplicando a fórmula de excedente teremos 
 10 10 
∫(40−2𝑥−20)𝑑𝑥=∫(20−2𝑥)𝑑𝑥 
 0 0 
20𝑥−𝑥² 
Substituindo os limites de integração, temos: 
 2 
20(10)−10=200−100=100 
O que entende-se nesta situação, ao comprar 10 unidades do produto, o 
consumidor deixará de pagar 100,00 ao final da compra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO 
Neste trabalho abordamos o assunto de derivadas e integrais, conceitos, 
propriedades, aplicações e exemplos e concluímos que são conceitos importantes 
em nossas vidas. 
Cumprimos todos os objetivos que tínhamos proposto, e pudemos ampliar e 
aprofundar nosso conhecimento sobre derivadas e integrais, despertar a curiosidade 
e saber como cada uma é aplicada no cotidiano e em situações do nosso dia a dia. 
Foi de muita importância o conhecimento adquirido neste trabalho e com 
certeza o levaremos por toda a nossa atuação acadêmica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
Disponível em 
<https://engenhariaexercicios.com.br/calculo-a/integral/integracao-partes-u-dv/>. 
Acesso em 01 dez. 2019. 
Disponível em 
<https://www.somatematica.com.br/superior/integrais2/integrais2.php>. Acesso em 
01 dez. 2019. 
Disponível em 
<http://www2.uesb.br/cursos/matematica/matematicavca/wp-
content/uploads/monografia.-Gabriela-Alves-Vers%C3%A3o-Final.pdf>. Acesso em 
01 dez. 2019. 
Disponível em 
<https://www.colegioweb.com.br/matematica/o-que-sao-integral-e-derivada.html>. 
Acesso em 01 dez. 2019. 
Disponível em 
https://www.dicasdecalculo.com.br/problemas-resolvidos-de-maximos-e-minimos/>. 
Acesso em 02 dez. 2019. 
Disponível em 
 <http://tsxvpsbr.dyndns.org/arquivos/UFFS/Calculo%20A%20-
%20Diva%20Mar%C3%ADlia%20Flemming%20&%20Mirian%20Buss%20Gon%C3
%A7alves%20-%206%C2%AA%20Edi%C3%A7%C3%A3o.pdf>. Acesso em 02 dez. 
2019. 
Disponível em 
<https://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php>. Acesso em 02 dez. 
2019. 
Disponível em 
<https://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/Aplica%C3%A7%C3%B5
es_das_derivadas>. Acesso em 03 dez. 2019. 
https://engenhariaexercicios.com.br/calculo-a/integral/integracao-partes-u-dv/
https://www.somatematica.com.br/superior/integrais2/integrais2.php
http://www2.uesb.br/cursos/matematica/matematicavca/wp-content/uploads/monografia.-Gabriela-Alves-Vers%C3%A3o-Final.pdf
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