Matemática_Aplicada_a_Administração_Pública

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Manual de Matemática Aplicada a 
Administração Pública 
 
 
 
 
 
Universidade Católica de Moçambique 
Centro de Ensino á Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Direitos de autor 
Todos os direitos dos autores deste módulo estão reservados. A reprodução, a locação, a 
fotocópia e venda deste manual, sem autorização prévia da UCM-CED, são passíveis a 
procedimentos judiciais. 
 
 Elaborado por: 
 Fernando Alfredo Muchanga 
e 
Alba Paulo Mate 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Católica de Moçambique 
Centro de Ensino à Distância 
825018440 
23311718 
Moçambique 
 Fax: 23326406 
 E-mail: eddistsofala@ucm.ac.mz 
 
Agradecimentos 
Agradeço a colaboração dos seguintes indivíduos e/ou pessoa colectiva na elaboração deste 
manual: 
 
Por ter financiado a elaboração deste Módulo Ao Centro de Ensino à Distância da UCM. 
Pela avaliação/revisão do Conteúdo . 
 
 
 
 
 
 Universidade Católica de Moçambique i 
 
Índice 
Visão geral 1 
Bem-vindo a Matemática Aplicada ................................................................................ 1 
Objectivos do curso ....................................................................................................... 1 
Quem deveria estudar este módulo ................................................................................ 1 
Como está estruturado este módulo................................................................................ 2 
Ícones de actividade ...................................................................................................... 3 
Habilidades de estudo .................................................................................................... 3 
Precisa de apoio? ........................................................................................................... 3 
Unidade 01 5 
Sucessões Numéricas..................................................................................................... 5 
Introdução ............................................................................................................ 5 
1.1. Sucessão: Conceitos básicos ........................................................................ 5 
Características gerais de uma sucessão ................................................................. 6 
Exemplo ............................................................................................................... 6 
Algumas características das sucessões .................................................................. 6 
1.2. Sucessões numéricas ........................................................................... 7 
1.2.1. Termo geral de uma sucessão .............................................................. 7 
Unidade 02 9 
Progressões aritméticas e geométricas ........................................................................... 9 
Introdução ............................................................................................................ 9 
2.1. Progressões aritméticas (Pa) ................................................................................... 9 
Exercícios propostos........................................................................................... 11 
2.2. Progressões geométricas (Pg)................................................................................ 12 
Exercícios propostos........................................................................................... 13 
Unidade 03 15 
Funções: noções .......................................................................................................... 15 
Introdução .......................................................................................................... 15 
3.1. Funções: conceito ...................................................................................... 15 
3.3. Funções reais de variável real ............................................................................... 17 
3.4. Representação gráfica de uma função ........................................................ 18 
Exercícios propostos........................................................................................... 19 
3.5. Domínio de uma função ............................................................................ 19 
Domínio de algumas funções específicas ............................................................ 20 
Exercícios propostos........................................................................................... 22 
Unidade 04 23 
Funções do primeiro e segundo grau ............................................................................ 23 
Introdução .......................................................................................................... 23 
ii Índice 
 
4.1. Função linear e afim .................................................................................. 23 
4.2. Interpretação geométrica do coeficiente angular de uma recta.................... 25 
Exercícios propostos........................................................................................... 25 
4.3. Funções quadráticas .................................................................................. 27 
Exercícios propostos........................................................................................... 29 
Unidade 05 31 
Algumas aplicações de funções ................................................................................... 31 
Introdução .......................................................................................................... 31 
5.1. Juros simples como função linear .............................................................. 31 
5.2. Juros compostos como função exponencial ................................................ 32 
5.3. Função lucro como função linear ............................................................... 33 
5.4. Função desconto e valor líquido como funções lineares ............................. 34 
Unidade 06 36 
Função inversa e composição de funções ..................................................................... 36 
Introdução .......................................................................................................... 36 
6.1. Função inversa .......................................................................................... 36 
6.2. Composição de funções ............................................................................. 38 
Exercícios propostos........................................................................................... 39 
Unidade 07 41 
Função exponencial e logarítmica ................................................................................ 41 
Introdução .......................................................................................................... 41 
7.1. Função exponencial ................................................................................... 41 
Exercícios propostos........................................................................................... 43 
7.2. Função logarítmica .................................................................................... 44 
Algumas propriedades de logaritmos .................................................................. 46 
Exercícios propostos........................................................................................... 46 
Unidade 08 47 
Derivada de uma função de variável real ..................................................................... 47 
Introdução ..........................................................................................................47 
8.1. Conceito da derivada ............................................................................................ 47 
8.2. Interpretação geométrica da derivada .................................................................... 48 
Exercício proposto.............................................................................................. 51 
8.3. Aplicações económicas das derivadas ................................................................... 51 
Análise marginal ................................................................................................ 51 
Custo médio e custo marginal ............................................................................. 54 
Exercícios propostos........................................................................................... 54 
Unidade 09 56 
Optimização de funções ............................................................................................... 56 
Introdução .......................................................................................................... 56 
9.1. Optimização de funções ........................................................................................ 56 
Exercícios proposto ............................................................................................ 58 
 Universidade Católica de Moçambique iii 
 
Unidade 10 60 
Primitivas (antiderivadas): integral indefinida .............................................................. 60 
Introdução .......................................................................................................... 60 
10.1. Antiderivação de funções .................................................................................... 60 
10.2. Regras de integração ........................................................................................... 61 
Exercícios .......................................................................................................... 62 
Exercícios resolvidos .......................................................................................... 62 
Exercícios .......................................................................................................... 65 
10.2. Integração por substituição ................................................................................. 67 
Exercícios .......................................................................................................... 68 
10.2. Integração por partes ........................................................................................... 69 
Exercícios .......................................................................................................... 71 
Unidade 11 73 
Integrais definidas ....................................................................................................... 73 
Introdução .......................................................................................................... 73 
11.1. Integração definida ............................................................................................. 73 
11.2. Teorema fundamental do cálculo ........................................................................ 74 
Propriedades da integral definida ........................................................................ 76 
11.3. Aplicações da integral definida ........................................................................... 76 
1. Montante de um investimento contínuo .......................................................... 76 
1.1. Valor futuro total ............................................................................... 76 
1.2. Valor actual ....................................................................................... 77 
Exercícios .......................................................................................................... 78 
2. Teorema do valor médio ............................................................................ 80 
Exercícios .......................................................................................................... 80 
Unidade 12 82 
Funções de duas ou mais variáveis .............................................................................. 82 
Introdução .......................................................................................................... 82 
12.1. Funções reais de variáveis reais .......................................................................... 82 
Exercícios .......................................................................................................... 85 
Unidade 13 87 
Derivada de uma função de duas ou mais variáveis ...................................................... 87 
Introdução .......................................................................................................... 87 
13.1. Derivadas de uma função de duas variáveis reais ................................................ 87 
13.2. Derivadas parciais ............................................................................................... 88 
Exercícios .......................................................................................................... 91 
13.3. Derivadas de maior ordem .................................................................................. 93 
Exercícios .......................................................................................................... 94 
Unidade 14 95 
Optimização de funções de duas ou mais variáveis ...................................................... 95 
Introdução .......................................................................................................... 95 
iv Índice 
 
14.1. Máximos e mínimos de funções de duas variáveis reais ...................................... 95 
Teste da segunda derivada .................................................................................. 95 
Exercícios .......................................................................................................... 99 
Unidade 15 101 
Optimização Condicionada de funções de duas ou mais variáveis .............................. 101 
Introdução ........................................................................................................ 101 
15.1. Métodos dos multiplicadores de Lagrange ........................................................ 101 
Exercícios ........................................................................................................ 104 
Função de produção de Cobb-Douglas.............................................................. 106 
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA 107 
 
 
 
Visão geral 
Bem-vindo a Matemática Aplicada 
 
Neste módulo procura-se em primeiro lugar familiarizar os estudantes apresentando tarefas e 
suas respectivas resoluções que na sua maioria serão acompanhadas pelas respectivas 
descrições o que permitirá resolver outras tarefas propostas para sua aprendizagem. 
Objectivos do curso 
Quando terminar o estudo de Matemática Aplicada será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 familiarizar os estudantes com ferramentas matemáticas básicas, 
necessárias a diversas outras disciplinas do curso de Administração 
Pública. 
 
 
Quem deveria estudar este 
módulo 
Este Módulo foi concebido para todos aqueles que estiver a frenquentar o 
primeiro ano do curso de Administarção Pública. 
2 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
Como está estruturado este 
módulo 
Todos os módulos dos cursos produzidos por UCM - CED encontram-se 
estruturados da seguinte maneira: 
Páginas introdutórias 
 Um índice completo. 
 Uma visão geral detalhada do módulo, resumindo os aspectos-chave 
que você precisa conhecer para completar o estudo. Recomendamos 
vivamente que leia esta secção com atenção antes de começar o seu 
estudo. 
Conteúdo do módulo 
O módulo está estruturado em unidades. Cada unidade incluirá uma 
introdução,objectivos da unidade, conteúdo da unidade incluindo 
actividades de aprendizagem. 
Outros recursos 
Para quem esteja interessado em aprender mais, apresentamos uma lista 
de recursos adicionais para você explorar. Estes recursos que inclui 
livros, artigos ou sites na internet podem serem encontrados na página de 
referencias bibliográficas. 
Tarefas de avaliação e/ou Auto-avaliação 
Tarefas de avaliação para este módulo encontram-se no final de três ou 
quatro unidades. Sempre que necessário, inclui-se na apresentação dos 
conteúdos algumas actividades auxiliares que irão lhe ajudar a perceber a 
exposição dos restantes conteúdos. 
Comentários e sugestões 
Esta é a sua oportunidade para nos dar sugestões e fazer comentários 
sobre a estrutura e o conteúdo do módulo. Os seus comentários serão 
úteis para nos ajudar a avaliar e melhorar este módulo. 
 
 
 
 
 
Ícones de actividade 
Ao longo deste manual irá encontrar uma série de ícones nas margens das 
folhas. Estes ícones servem para identificar diferentes partes do processo 
de aprendizagem. Podem indicar uma parcela específica de texto, uma 
nova actividade ou tarefa, uma mudança de actividade, etc. 
Neste módulo destacamos particularmente a marca ( ) que foi usada 
para indicar as tarefas auxiliares que ajudarao-te a perceber os conteudos 
expostos. 
Habilidades de estudo 
Para suceder-se bem neste módulo precisará de um pouco mais da sua 
dedicação e concentração. A maior dica para alcançar o sucesso consiste 
em perceber em primeiro lugar os exemplos resolvidos juntamente com 
as explicaçoes/justificações apresentadas. Não ignore as actividades 
auxiliares pois as restantes actividades podem depender delas! 
Precisa de apoio? 
Em caso de dúvidas ou mesmo dificuldades na percepção dos conteúdos 
ou resolução das tarefas procure contactar o seu professor/tutor da 
cadeira ou ainda a coordenação do curso acessando a plataforma da 
UCM-CED Curso de Licenciatura em Ensino de Matemática. 
 
 
 
Unidade 01 
Sucessões Numéricas 
Introdução 
Nesta unidade pretende-se dar ao estudante a noção da sucessão 
numérica. 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
 Dar conceito de sucessão numérica; 
 Definir e determinar os elementos de uma sucessão. 
 
1.1. Sucessão: Conceitos básicos 
 
Em matemática, refere-se a uma sucessão (ou sequência) a uma 
lista ordenada de objectos ou acontecimentos, ou seja, é o conjunto 
de elementos (números, eventos, nomes, etc) que estejam 
organizados em uma certa ordem. 
A sucessão de presidentes de um partido, sucessão de dias da 
semana, sucessão de números ímpares, sucessão de refeições 
diárias constituem exemplos de sucessões. 
Uma sucessão é constituída por elementos do mesmo tipo 
(presidentes do partido, dias de semana, refeições do dia...) e ordem 
desses elementos de tal forma que após o primeiro vem o segundo e 
após este vêm o terceiro e assim sucessivamente. 
 
6 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
Características gerais de uma sucessão 
 Todos elementos de uma sucessão são do mesmo tipo 
 Os elementos são denominados termos da sucessão 
 Cada termo possui uma posição definida 
 A posição de cada termo é determinada por um número 
natural denominado ordem do termo 
 Cada termo possui um índice e cada índice pertence a um único 
termo (correspondência biunívoca). 
 
Exemplo 
1. A sucessão dos presidentes de um partido. Por exemplo: 
Mondlane; Machel; Chissano; Guebuza. 
2. Dias da semana: (Domingo; 2ªfeira; 3ªfeira; 4ªfeira; 5ªfeira; 
6ªfeira; Sábado) 
3. Números naturais pares: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...) 
4. Números naturais ímpares inferiores a 12: (1, 3, 5, 7, 9, 11) 
5. S = (1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, 1/12, ...) 
6. S = (a1, a2, a3, a4, ... , an, ...) 
 
Algumas características das sucessões 
Em função dos exemplos acima pode-se verificar que: 
1. As sucessões são constituídas pelo conjunto de elementos 
chamados termos da sucessão 
2. Existem sucessões finitas, aquelas que possuem um número 
finito de elementos (termos). As sucessões 2 e 4. 
3. Existem sucessões infinitas, aquelas que possuem um 
número ilimitado de elementos. As sucessões 3, 5 e 6. 
4. Existem sucessões não-numéricas, aquelas em que os 
elementos não são números. As sucessões 1 e 2. 
 
 
5. Existem sucessões numéricas, aquelas constituídas por 
números. As sucessões 3, 4 e 5. 
6. A sucessão 6 é denominada genérica, pelo que os 
elementos an podem ser ou não números. 
 
1.2. Sucessões numéricas 
Diz-se sucessão (ou sequência) numérica ao conjunto ordenado de 
números. Em sucessões numéricas, uma função, através de sua 
fórmula (ou expressão) utiliza os índices de um conjunto (domínio) 
para gerar os elementos de um outro conjunto, chamados elementos 
da sucessão. Por exemplo, f(n) = 1 + n, isto quer dizer que a função f 
gera através dos índices n termos que são a soma dos índices por 1. 
O domínio de uma sucessão é o conjunto de números naturais (IN). 
 
1.2.1. Termo geral de uma sucessão 
Tendo em vista que uma sucessão possui noção de ordem, o 
conjunto dos n elementos da sucessão pode ser representado de uma 
forma genérica através da n-úpla ordenada, an que significa que 
conhecendo a ordem torna-se possível determinar o termo 
correspondente a essa ordem. 
 
Exemplo: Dado o termo geral an = 4n, determine os sete primeiros 
termos. 
n = 1, a1 = 4 
n = 2, a2 = 8 
n = 3, a3 = 12 
n = 4, a4 = 16 
n = 5, a5 = 20 
n = 6, a6 = 24 
n = 7, a7 = 28 
8 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
Observe que o domínio duma sucessão 
numérica é o conjunto dos números 
naturais. Neste caso, se quisermos saber se 
o número 36 pertence a sucessão 
42  nan , devemos substituir na por 
36 e verificar se a solução obtida é um 
natural, isto é; 
20
2
404236  nn . 
Concluímos que 36 é o vigésimo termo da 
sucessão. 
 Determine agora, o segundo, sétimo, décimo quarto e o 
vigésimo terceiro termo da sucessão dada pelo temo geral: 
a) 
n
nbn 


1
21 
b) 2 nvn 
c) 
n
nun 

1
 
As vezes podemos estar numa situação de termos os termos de uma 
sucessão e precisarmos de encontrar uma certa generalização do 
seu termo geral. Muitas das vezes a disposição dos elementos de 
uma sucessão facilita-nos a determinar recursivamente o seu termo 
geral como por exemplo: 
A sucessão dada pelos termos: (1; 4; 9; 14; 25; 36; …), olhando 
para os seus elementos nota-se que 
...3924;11 23
2
2
2
1  aaa desta forma, podemos 
concluir que o termo geral para esta sucessão pode ser dado por 
2nan  . 
 Tente agora encontrar os termos gerais das seguintes 
sucessões: 
a) (2; 5; 10; 15; 26; 37; …) 
b) (1/2; 1; 3/2; 2; 5/2; 3; …) 
c) (-1; 2; 7; 12; 23; 34; …) 
d) (4; 11; 30; 67; 128; …) 
 
 
 
Unidade 02 
Progressões aritméticas e 
geométricas 
Introdução 
Nesta unidade vamos aprender a determinar o termo geral de uma 
sucessao em forma de progressões aritméticas ou geométricas. Vamos 
ainda determinar a soma dos primeiros n termos de uma progressao assim 
como aplicar estes conhecimentos em problemas de cálculo financeiro. 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
 Distinguir se uma determinada sequência representa ou nao uma 
progressao aritmética ou geométrica; 
 Determinar o termo geral e a soma dos primeiros n termos de uma 
progressão e; 
 Resolver diversos problemas financeiros usando conhecimentos de 
progressões. 
 
2.1. Progressões aritméticas (Pa) 
Uma progressão aritmética é uma sucessão de números reais em 
que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre constante. 
A essa constante chamamos de razão da progressão e 
representamos por letra “d”. 
Portanto, nn aad  1 
O termo geralde um Pa é dado por dnaan )1(1  e a soma de 
n termos é dada por 
2
)( 1 n
n
aanS  ou  
2
)1(2 1
ndnaSn  
10 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
 
Exemplo 
A Universidade Católica de Moçambique, através do Curso de 
Ensino à Distância matriculou para o curso de licenciatura em 
ensino de Matemática, programa de Quelimane, no novo ingresso, 
em 2009, 15 estudantes, em 2010, 25, em 2011, 35. 
i. Determine a razão da sucessão de novos estudantes do CED 
no curso de Matemática. 
ii. Se a sequência não mudar de comportamento, quantos 
alunos de novo ingresso o curso vai matricular depois de 10 
anos da abertura do curso naquele programa? 
iii. Determine o número de estudantes do curso de Matemática 
depois de 4 anos (a partir de 2009). 
Solução, 
No ano 2009, n = 1 -------- a1 = 15 estudantes 
No ano 2010, n = 2 -------- a2 = 25 estudantes 
No ano 2011, n = 3 -------- a3 = 35 estudantes 
Quer dizer, temos uma sucessão com os termos: 15, 25, 35,... 
i. d = a2 – a1 = a3 – a2 = ... = an+1 – an 
Logo, d = a2 – a1 = 25 – 15 = 10 
A razão da sucessão (Pa) é 10. 
 
ii. Depois de 10 anos teremos o termo de ordem n = 11, 
portanto queremos a11 
a11 = a1 + (11 – 1)·10 = 15 + 11·10 = 125 
 
 
iii. Número de estudantes depois de 4 anos é a soma dos 
estudantes matriculados nesses quatros anos, logo S4. 
S4 = [2·a1 + (4 – 1)10]·4/2 = (2·15 + 3·10)·2 = 60·2 = 120 
 
Exercícios propostos 
1. Um banco financiou um lançamento imobiliário nas seguintes 
condições: em Janeiro, aprovou crédito para 236 pessoas; em 
Fevereiro, para 211; em Março, para 186 e assim por diante. 
Quantas pessoas tiveram seu crédito aprovado em Junho? 
 
2. Uma gravadora observou que, em um ano, a venda de compact 
disc aumentava mensalmente segundo uma PA de razão 400. Se em 
Março foram vendidos 1600 CD’s, quantos foram vendidos em 
todo ano? 
 
3. Verificou-se que o número de vendas electrónicas de um 
aparelho de som em portal de Internet aumentava diariamente 
segundo um PA de razão 8. Sabendo que no primeiro dia foram 
registadas doze vendas, determine quantos dias esse produto ficou 
disponível no portal, se, ao todo, foram registadas 2700 transações. 
 
4. Um carro é vendido nas seguintes condições: uma entrada de 50 
000,00Mt e 24 prestações de valores crescentes. A primeira 
prestação é de 4500,00Mt; a segunda, 4600,00Mt; a terceira, 
4700,00Mt, ou seja, à prestação anterior são acrescidos 100,00Mt. 
Qual é o valor da última prestação e o valor total pago por esse 
carro? 
 
5. Dada a sequência ( 2x, 2x+1, 3.2x, 2x+2,...) 
 
i. Se ela representar um PA, determine a razão. 
ii. Determine o valor de x de forma que o oitavo termo seja 32. 
12 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
 
6. Um agricultor estava perdendo a sua plantação em virtude da 
acção de uma praga. Ao consultar um especialista, foi orientado 
para que pulverizasse, uma vez ao dia, uma determinada 
quantidade de um certo produto, todos os dias da seguinte maneira: 
Primeiro dia: 1 litro; segundo dia: 1,2 litros; terceiro dia: 1,4 
litros e assim por diante. Sabendo que o total de produto 
pulverizado foi de 63 litros, determine o número de dias de 
duração desse tratamento. 
 
7. Numa cerimónia de formatura de uma faculdade, os formandos 
foram dispostos em 20 filas de modo a formar um triângulo, com 1 
formando na primeira fila, 3 na segunda, 5 na terceira e assim 
sucessivamente constituindo um PA. Determine o número de 
formandos presentes na cerimónia. 
 
2.2. Progressões geométricas (Pg) 
É uma sucessão de números reais não nulos em que o quociente 
entre termos consecutivos (um termo e o seu antecedente) é sempre 
uma constante. Essa constante é chamada razão da Pg e é 
representada por q. 
Portanto, 
n
1n
a
aq  
O termo geral de uma Pg é dada por 1n1n qaa
 e a soma de n 
termos de uma Pg é dada por ,
q1
)q(1aS
n
1
n 

 1q  . 
 
 
 
Exemplo, 
Numa determinada empresa, o aumento salarial é feito da seguinte 
maneira: no fim do primeiro ano de trabalho aumenta-se 400 
meticais; no fim do segundo, 600; no fim do terceiro, 900 e assim 
sucessivamente segundo uma Pg. 
i. Determine a razão da progressão. 
ii. Determine o aumento salarial no fim do décimo ano. 
iii. Determine o termo geral da sucessão. 
Solução, 
i. 
n
n
a
a
a
a
a
aq 1
2
3
1
2 ...  
Logo, 5,1
600
900
2
3 
a
aq , a razão da progressão acima é 1,5 
ii. No fim do décimo ano temos o termo de ordem 10, 
344,153775,14005,1 9)110(110 
aa 
 
iii. n
n
n
na 5,167,2665,1
5,14005,1400 1   
 
Exercícios propostos 
1. Duas pessoas ficam sabendo de uma informação. No dia 
seguinte cada uma delas passa essa informação para outras três. 
Cada uma dessas pessoas, no dia seguinte, conta para outras três e 
assim sucessivamente. No dia seguinte, cada uma dessas pessoas 
conta a três pessoas. Passados cinco dias, quantas pessoas tomarão 
conhecimento daquela informação inicial. 
 
2. Um jogador faz uma série de apostas e, na primeira vez, perde 
1,00Mt; na segunda, duplica a aposta e perde 2,00Mt; na terceira, 
14 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
duplica a aposta anterior e perde 4,00Mt; e assim sucessivamente 
até ter perdido um total de 255,00Mt. Calcule quantas vezes o 
jogador apostou. 
 
3. Sabendo que a sequência (4y, 2y – 1, y + 1) é uma Pg, 
determine 
 
i. O valor de y. 
ii. A razão da Pg. 
 
 
Unidade 03 
Funções: noções 
Introdução 
Nesta unidade vamos procurar definir de uma forma generalizada o 
estudo das funções tendo em conta os varios fenomenos que observamos 
na vida social. Procura-se ainda, ao longo desta unidade, definir-se as 
funçoes por meio de expressões algébricas, representações gráficas ou 
mesmo através de diagramas. Para além das representações das funções, 
vamos tambem recordar como determinar o domínio de uma função. 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
 Definir com suas próprias palavras uma função; 
 Encontrar outros exemplos que estejam a representar funçoes; 
 Determinar o domínio e representar graficamente uma função dada 
sua expressão analítica. 
 
3.1. Funções: conceito 
Muitas vezes no nosso dia-a-dia, verificamos que a aquisição de 
um certo produto depende de algo, uma determinada grandeza 
depende de outra, ou seja, na vida há sempre uma dependência. Por 
exemplo, a embriaguez de um consumidor de álcool depende da 
quantidade do volume de álcool ingerido; a continuação de um 
estudante na UCM depende do pagamento das propinas; a escolha 
da faculdade a se formar nela depende da qualidade e condições 
que essa faculdade oferece; o preço de um determinado produto 
depende normalmente da sua qualidade. Estas relações de 
dependência podem ser descritas como sendo funções. 
16 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
Uma função pode ser imaginada 
como se fosse uma máquina em 
que introduzimos um número x 
do conjunto de partida e saímos 
com um número f(x) = y. 
 
Uma função consiste em dois conjuntos e uma regra que associa os 
elementos de um conjunto aos elementos do outro. Por exemplo, se 
quisermos determinar o efeito do preço sobre o número de unidades 
vendidas de um certo produto é preciso conhecermos o conjunto de 
preços admissíveis, o conjunto de vendas possíveis e uma regra 
para associar cada preço a um determinado número de unidades 
vendidas. 
Conceito: função é uma lei (regra) que associa cada elemento 
(chamado objecto) de um conjunto A de partida a um e apenas um 
elemento (chamado imagem) de um conjunto B de chegada. Umafunção pode ser representada por uma letra do alfabeto, por 
exemplo f. O valor que a função f associa a um número x do 
domínio é representado por f(x) (lê-se “f de x”) e é normalmente 
representado por uma expressão matemática y = f(x) onde x é uma 
variável independente e y é uma variável dependente. 
Exemplo; 
Representaremos agora, por meio de diagramas de flechas “o 
consumo de combustível de um automóvel em função da 
velocidade com que se desloca”. No conjunto A indicamos as 
velocidades em km/h e em B, o consumo de combustível em km/l. 
Assim, a igualdade f(80) = 13, significa que quando o automóvel se 
move a oitenta quilómetros por hora, faz treze quilómetros por um 
litro de combustível. 
 
 
 
 
 
 
A B 
50 
60 
80 
100 
120 
16 
15 
13 
11 
 9 
 f 
 
 
3.3. Funções reais de variável real 
Uma função real de variável real é a que tanto os elementos de 
conjunto de partida (conjuntos dos objectos) como os elementos do 
conjunto de chegada (conjunto das imagens) são números reais, isto 
é, pertencem ao conjunto IR, e representa-se: 
f: IR → IR 
As funções f(x) = 5(x – 3) – 4, f(x) = x4 – 45x2 + 1, f(x) = 2x – 1 
são exemplos de funções reais de variável real se considerarmos 
reais os valores de x. Portanto, se os valores de x forem reais, ao 
realizarmos as operações obteremos sempre um número real. 
 
Exemplo, 
O custo total (em milhares de meticais) de produção de milho, para 
um camponês, em x hectares, é dado por c(x) = 50x2 + 100x – 3. 
Determine o custo total de produção de milho em: 
i. 4 hectares 
ii. 3 hectares 
iii. Quantos hectares são necessários para que o custo seja 193 
(mil meticais). 
Solução, 
Temos c(x) = 50x2 + 100x – 3, então 
i. x = 4, c(4) = 40·42 + 100·4 – 3 = 640 + 400 – 3 = 1037 
ii. x = 3, c(3) = 40·32 + 100·3 – 3 = 360 + 300 – 3 = 657 
a. c(x) = 193, 193 = 50x2 + 100x – 3 calcular o valor de x. 
 
18 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
16 
50 60 80 100 
15 
13 
11 
9 
120 x 
y 
3.4. Representação gráfica de uma 
função 
Dado que o conjunto dos números reais se pode representar sobre 
uma recta, o método de coordenadas cartesianas serve para 
representar funções. 
Voltando para o exemplo de consumo de combustível, a partir do 
diagrama podemos construir o gráfico da função: 
 
9 
11 
13 
15 
16 
50 60 80 100 120 x 
y 
 
 
 
 
 
Distancia em km percorrida 
por 1l de combustivel 
 Velocidade 
aplicada ao 
autom
ovel 
 
Como o consumo do combustível é contínuo à medida que vai se 
aplicando determinadas velocidades, então para elaborar o gráfico 
mostrando que as variáveis percorrem continuamente esses 
intervalos, unimos os pontos através de uma curva obtendo o 
gráfico seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
Geralmente, os gráficos fornecem muitas informações a respeito 
das funções. Por exemplo, a visão do crescimento ou 
decrescimento (monotonia da função); dos valores máximos e 
mínimos que as funções assumem; comportamentos da função para 
valores de x muito grandes. 
Para construção do gráfico de uma função, alguns pontos 
fundamentais: zeros da função (onde o gráfico intersecta o eixo 
Ox) e a ordenada na origem (onde o gráfico intersecta o eixo Oy). 
Para determinar os zeros da função, basta resolvermos a equação 
que se obtém igualando a função a zero, isto é, f(x) = 0. E, para 
determinar a ordenada na origem, igualamos x a zero, f(0). 
 
Exercícios propostos 
Determine os zeros e a ordenada na origem das seguintes funções e, 
tente esboçar os seus gráficos 
i. f(x) = x – 5 
ii. g(a) = a2 - 4 
iii. h(x) = -1 + 12/x 
 
3.5. Domínio de uma função 
Pode acontecer que nem todos os números reais tenham imagem 
pela função. O conjunto formado pelos números reais que têm 
imagem chama-se domínio. Em geral, uma função real de variável 
real tem a seguinte expressão: 
f: D → IR sendo D um subconjunto de IR, que irá corresponder ao 
domínio da função. 
20 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
Quando o domínio D de f, não é dado explicitamente, deve-se 
subentender que D é formado por todos os números reais que 
podem substituir x na lei de correspondência y = f(x), de modo que, 
efectuados os cálculos, resulte um real y. 
Exemplo, 
O domínio da função definida pela lei y = 2x – 1 é IR porque 
qualquer que seja o valor de x, real, o número 2x – 1 também existe 
e é real. 
 
Domínio de algumas funções específicas 
Nem sempre as funções são definidas para todo número real x. Para 
determinar o domínio de funções, analisamos para quais valores da 
variável independente a função existe, por exemplo 
1. Função polinomial 
01
2
2
1
1)( axaxaxaxaxf
n
n
n
n 

  onde os an são 
constantes, n inteiro e positivo. 
Domf = IR, porque qualquer número real x satisfaz a condição f(x). 
 
2. Função exponencial 
xaxf )( com a = const. e diferente de zero sempre que x = 0 
Domf = IR 
Quando a = e (e = néper) teremos f(x) = ex 
 
 
 
 
3. Função logarítmica 
x
axf log)(  com 0a 
}0:{  xIRxdomf 
4. Função radical 
n xxf )( com n = const. 
 Se n for ímpar, então Domf = IR 
 Se n for par, então }0:{  xIRxDomf 
5. Função irracional 
x
axf )( 
}0:{  xIRxDomf 
 
Exemplo 
Determine o domínio da função 
4)( 2  xxh 
}04:{ 2  xIRxDomf 
Determinemos os valores de x que verificam a condição 042 x 
Seja 042 x teremos 
(x – 2)(x + 2) = 0 ↔ x – 2 = 0 ou x + 2 = 0 ↔ x = 2 ou x = - 
2 
 
22 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
 
Um esboço gráfico 
 
A parte sombreada indica onde x2 – 4 ≥ 0, portanto 
O domínio da função h é [;2[]2;] x 
 
Exercícios propostos 
Determine o domínio da função 
i. 9)( 3  xxxf 
ii. 
1
24)( 2 


x
xxf 
iii. 92
2
log)(  xxf 
iv. 
1
1)(
3



x
xxf 
v. )14ln()(  xxf 
vi. 12
2
)(  xxexf 
vii. )ln()( xxf  
viii. 
u
uuf


1
1)( 2 
 
 
Unidade 04 
Funções do primeiro e segundo 
grau 
Introdução 
Na unidade 4 vamos aprenderalgumas das funções polinomiais com 
maior enfase para as funçoes lineares e do segundo grau.Vamos 
determinar algus elementos importantes destas funçoes e procuraremos 
interpretar resolvendo problemas do nosso dia-a-dia. 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
 Representar graficamente funçoes lineares e quadráticas; 
 Determinar as expressoes analiticas das funçoes lineares quando for 
conhecidos um ponto e o declive; 
 Interpretar de uma forma contextualizada o significado do declive para 
funçoes lineares e das coordenadas do vértice em funçoes quadráticas. 
 
4.1. Função linear e afim 
As funções da forma f(x) = mx são chamadas funções lineares de 
proporcionalidade, onde m é uma constante numérica e nos dá o 
declive da recta. O gráfico deste tipo de funções é uma recta que 
passa pelo centro com coordenadas (0;0). 
As funções de forma f(x) = mx + b recebem o nome de funções 
afins. O seu gráfico é uma recta que não passa pelo centro de 
coordenadas (0;0) e é paralela à correspondente função linear de 
proporcionalidade g(x) = mx. 
24 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
De um modo geral, o gráfico cartesiano de uma função de forma 
f(x) = mx + b, é representado por uma recta não vertical de 
equação: y = mx +b. 
Observe, abaixo, os gráficos da função f(x) = mx + b para b = 0 e 
m = 1; 2; -2; -0,5. 
 
 O que se pode afirmar a 
respeito da recta y = mx + b 
quando b = 0? 
 O que se pode afirmar a 
respeito da recta y = mx + b 
quando m é positivo? E 
quando m é negativo? 
 Qual é o significadogeométrico da constante m? 
 
 
Abaixo observe os gráficos de funções do tipo y = mx + b para m 
= 1 e b = 1; -1; 0. 
  Qual é o significado geométrico 
de b? 
 Qual a característica geométrica 
da família das rectas obtida 
considerando-se vários valores de 
b? 
 O representa o ponto onde a recta 
y = mx + b intersecta o eixo y? 
 
 
 
m = -2 
m = - 0,5 
m = 1 
m = 2 y 
x 
b=1 
b=0 
b= -1 
 
 
4.2. Interpretação geométrica do coeficiente 
angular de uma recta 
Consideremos dois pontos (x0, y0) e (x1, y1) pertencentes à mesma 
recta y = mx + b. Temos então que y0 = mx0 + b e y1 = mx1 + b. 
Destas duas equações é possível encontrar o valor de m em função 
de x0, x1, y0 e y1. De facto daí segue que: 
01
01
xx
yym


 
Esta última expressão pode ser interpretada geometricamente, 
como a tangente do ângulo que a recta faz com o eixo Ox. Veja o 
gráfico abaixo 
 Do gráfico podemos concluir 
que: 
 
01
01
0
0)(
xx
yy
xx
yytag





 
Logo, o declive de uma recta é 
a tangente do ângulo formado 
pela recta com o eixo Ox. 
m = tag(β) 
 
Exercícios propostos 
1. Considere a tabela seguinte, onde p representa poupanças e r 
renda 
R 0 5 10 15 20 
P 2 12 22 32 42 
i. Expresse as poupanças como função linear da renda 
 y1 
 y0 
 x0 x0 
β 
26 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
ii. Construa o gráfico da função resultante. 
 
2. Um consumidor tem 240 meticais para gastar em dois bens (x; 
y), cujos preços são respectivamente 80 e 40 meticais. 
i. Desenhe a linha orçamentária mostrando as diferentes 
combinações dos dois bens que podem ser comprados com 
o valor dado. 
ii. O que ocorrerá com a linha orçamentária original se: 
a) O orçamento sofrer uma queda de 25%? 
b) O preço de y dobrar? 
c) O preço de x cair para 60 meticais? 
 
3. A tabela relaciona o tempo gasto por um funcionário de uma 
empresa de digitação para digitar um certo número de páginas de 
um relatório 
Número de páginas Tempo (em minutos) 
1 15 
2 30 
3 45 
4 60 
5 75 
i. Encontre a lei que relaciona o tempo t de serviço em 
função do número n de páginas digitadas. 
ii. Em quanto tempo serão digitadas 20 páginas? 
iii. Se o funcionário trabalhar 8 horas, será possível 
concluir um trabalho de digitação de 35 páginas? Explique. 
 
4. Considere o custo total C de produção de x quilogramas duma 
mercadoria uma função linear. Os registos mostram que numa certa 
ocasião, 100 quilogramas foram produzidos a um custo total de 200 
meticais e noutra, 150 foram produzidos a 275 meticais. Expresse a 
 
 
equação linear do custo como função de x quilogramas produzidos. 
Qual será o custo de produção de 550 quilogramas? 
 
5. A despesa de produtos de consumo C duma residencial está 
relacionada com os seus rendimentos do seguinte modo: quando os 
rendimentos são mil meticais, a despesa é de novecentos meticais e 
quando os rendimentos aumentam cem meticais a despesa aumenta 
em oitenta meticais. Expresse a despesa dos produtos de consumo 
C como função dos rendimentos r, assumindo que a relação 
comporta-se linearmente. 
 
6. O salário fixo mensal de um guarda é de 560 meticais. Para 
aumentar a sua receita, ele faz limpeza da casa a noite e recebe 60 
meticais por cada noite de limpeza. 
 
i. Se em um mês o guarda fizer 4 limpezas, que salário 
receberá? 
ii. Qual é o salário y quando ele realizar limpeza x noites? 
iii. Represente graficamente a função obtida na alínea anterior. 
 
 
4.3. Funções quadráticas 
Chama-se função quadrática a toda função polinomial do 2º grau a 
uma variável do tipo cbxaxxf  2)( com 0a e f: IR→ IR. 
Exemplo, 
xxxf 2
4
1)( 2  é uma função quadrática com ,
4
1
a 2b e 
0c . 
28 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com a 
concavidade virada para: 
- baixo se a < 0 
- cima se a > 0. 
O gráfico da função cbxaxxf  2)( intersecta o eixo Oy em 
y = c (onde x =0) chamado ordenada na origem e intersecta o eixo 
Ox nos pontos de f(x) = 0 chamados zeros de função ou raízes da 
função e determinam-se resolvendo a equação 02  cbxax . 
Para encontrar as raízes desta equação, pode se recorrer a fórmula 
resolvente: 
a
acbbx
2
42
2,1

 
Vértice da parábola 
As coordenadas do vértice da parábola do gráfico de uma função 
quadrática são dadas por (xv,yv) com 2
21 xxxv

 e )( vv xfy  
Onde a equação x = xv representa o eixo de simetria do gráfico de 
cbxaxxf  2)( . 
 
Soma e produto das raízes de uma função quadrática 
Como 
a
acbbx
2
42
1

 e 
a
acbbx
2
42
2

 então 
a
bxxS  21 e a
cxxP  21 
 
 
 
Exercícios propostos 
7. Considere a função quadrática 78)( 2  xxxh , 
i. Determine a ordenada na origem e os zeros da função 
ii. Determine a equação do eixo de simetria 
iii. Desenhe o gráfico da função 
iv. Determine o contradomínio da função 
v. Resolva: a) h(x) = -5 b) h(0) - 2h(1) 
 
8. Determine os valores de b e c sabendo que a função 
cbxxxg  22)( tem zeros da função cuja soma é 7 e o produto 
é -3. Determine as coordenadas do vértice da parábola de g. 
 
9. Uma fábrica utiliza dois tanques para armazenar combustíveis. 
Os níveis de combustíveis, h1 e h2, são dados pelas expressões: 
30190150 31  tth e 303550
3
2  tth . Determine o tempo 
em o nível de combustível é o mesmo. 
 
10. O custo total em meticais para fabricar n unidades de um 
determinado produto é dado pela função 
20050030)( 23  nnnnC . 
i. Determine o custo de fabricação de 10 unidades do produto. 
ii. Determine o custo de fabricação da décima unidade. 
 
11. Um estudo de eficiência no turno da manhã mostra que, em 
média, um operário que chega no trabalho as oito horas terá 
montado xxxxf 156)( 23  aparelhos x horas depois. 
i. Quantos aparelhos um operário montou, em média, as dez 
horas da manhã. 
30 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
 
12. O custo total de um fabricante consiste em um custo fixo de 
200 meticais e um variável de 50 meticais por unidade produzida. 
Expresse o custo total em função de x unidades produzidas e 
desenhe o gráfico correspondente. De que tipo de função se trata? 
 
13. O lucro mensal de uma empresa é dado por 5302  xxL 
sendo x a quantidade mensal vendida. 
 
i. Qual o lucro mensal máximo possível (dica: determine a 
ordenada na origem). 
ii. Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja 
no mínimo 195? 
 
 
Unidade 05 
Algumas aplicações de funções 
Introdução 
Nesta unidade vamos ver algumas aplicações económicas de funções 
elementares. Estas aplicações irão de certa forma nos ajudar a interpretar 
e resolver muitos problemas que serão colocados nas unidades 
subsequentes. 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
 Encontrar situações problemáticas que ilustrem a utilidade de funções 
elementares. 
 
5.1. Juros simples como função 
linear 
A determinação de um juro é feita sobre um capital a uma taxa 
definida em determinado período (tempo). Isto quer dizer que o 
juro depende do capital, do tempo e da taxa de juro. Todavia, em 
muitos casos é sempre conhecido o capital a investir (ou em 
empréstimo) e a taxa de juro dependendo o juro apenas do tempo, o 
que quer dizer, juro é função de tempo. 
J(n) = C·n·i onde: C é o capital (constante), n é o tempo e i é a 
taxa de juro (constante e na forma decimal). 
 
32 Módulo de Matemática AplicadaBeira, Outubro de 2011 
 
Note que se considerarmos C e n constantes, o juro é função da 
taxa de juro J(i) e se considerarmos n e i constantes, o juro é 
função do capital, J(C). 
Exemplo; 
Em um capital fixo de 20000,00Mt aplica-se uma taxa fixa de 10% 
anual. Determine o juro após um ano. E após 11 anos. 
Solução 
Temos C = 20000 e i = 10% = 0,10 (na forma decimal) 
n = 1, então J = 20000·0,1·1 = 2000,00Mt 
n = 11, então J = 20000·0,1·11 = 22000,00Mt 
em geral, temos J(n) = 2000·n, uma função linear. 
 
5.2. Juros compostos como função 
exponencial 
Em regime composto, o juro é calculado a partir da fórmula, 
]1)1[(0 
niCJ . 
Se mantermos o capital, C0 e a taxa de juro, i, temos uma função 
exponencial onde o juro, J, é função do tempo n. 
Exemplo; 
Um capital fixo de 20000,00Mt aplica-se continuamente a uma taxa 
fixa de 10% anual. Determine o juro após 11 anos. 
Temos C = 20000 e i = 10% = 0,10 (na forma decimal) 
J = 20000[(1+0,1)11 – 1] = 37062,33 Mt 
 
 
5.3. Função lucro como função 
linear 
Um lucro pode ser definido sobre o preço de compra ou sobre o 
preço de venda de uma certa mercadoria, a uma certa taxa. 
i. Seja x uma taxa (percentual) do lucro sobre o preço de 
compra, então teremos o lucro como função do preço de 
compra. 
cc xppL )( com x dado em percentagem. 
 
ii. Seja y uma taxa (percentual) do lucro sobre o preço de 
venda, então teremos o lucro como função do preço de 
venda. 
vv yppL )( com y dado em percentagem. 
Exemplo; 
1. Um supermercado implantado no bairro Matundo, aplica sobre 
o preço de compra dos seus produtos, uma taxa de 5% para obter o 
valor do lucro. Qual é o lucro do supermercado com a venda de 25 
embalagens de guardanapo que foram adquiridos por 15 meticais 
cada? Diga qual será o preço de venda de cada embalagem. 
Solução 
Temos que o preço de compra é de 15,00Mt e a taxa de lucro é de 
5% (= 0,05), então o lucro unitário será: 75,01505,0)15( L 
(setenta e cinco centavos) 
E o lucro das 25 embalagens será: MtL 75,1875,025)15(25  
Cada embalagem será vendida por: Lpp cv  (preço de venda é 
igual ao preço de compra mais o lucro). Logo, 
Mtpv 75,1575,015  
34 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
 
2. O mesmo supermercado, ao preço de venda aplica uma taxa de 
6% para calcular o seu lucro. No dia 13 de Fevereiro vendeu 84 
rosas vermelhas a 17 meticais cada, determine o lucro que obteve 
com a venda do dia. Diga a que preço comprou cada rosa. 
Solução 
Temos que o preço de venda é 17,00Mt e a taxa do lucro é de 6% 
(= 0,06), então o lucro unitário será: 
MtxppL vv 02,11706,0)(  
O lucro total do dia será MtpL v 68,8502,184)(84  
Cada rosa foi comprada a: Lpp vc  (preço de compra é igual ao 
preço de venda menos o lucro). Logo, Mtpc 98,1502,117  
 
5.4. Função desconto e valor líquido 
como funções lineares 
Na prática, são concedidos descontos se se pretender comprar 
algum artigo. Os descontos podem assumir duas naturezas: 
independentes - que incidem sobre o valor ilíquido (o valor antes 
do desconto) e sucessivos - que incidem sobre o valor liquido 
imediatamente após o desconto anterior. 
Em descontos independentes: 
ivdD  onde D é o desconto; d é a taxa de desconto (percentual) 
e vi é o valor ilíquido. Vemos que estamos perante uma função 
linear em que o desconto é função do valor ilíquido. 
 
 
Valor líquido (vl) : o valor líquido é o valor a pagar após o 
desconto. Então, 
iiiil vdvdvDvv  )1( 
Onde d é a taxa de desconto (percentual) e vi é o valor ilíquido. O 
valor líquido é função do valor ilíquido. A função valor líquido é 
uma função linear. 
 
Exemplo; 
Uma loja de roupa na cidade de Tete, faz a cada fim do mês um 
desconto dos seus produtos. Neste mês, ao preço actual de venda, 
vai aplicar um desconto a uma taxa de 23% para as calças de 
homens e 31% para calças de mulheres. Se as calças estão a 
1299,99Mt de homens e 1099,99Mt de mulheres, determine o valor 
a ser descontado e o valor a pagar. 
Solução 
Para calças de homens: temos que o preço actual (valor antes do 
desconto = valor ilíquido) é 1299,99Mt e o desconto é de 23% (= 
0,23), logo 00,2999977,29899,129923,0  ivdD 
O valor liquido (a pagar = valor após o desconto): 
99,100099,1299)23,01()1(  il vdv 
 
Para calças de mulheres: temos que o preço actual (valor antes do 
desconto = valor ilíquido) é 1099,99Mt e o desconto é de 31% (= 
0,31), logo 00,3419969,34099,109931,0  ivdD 
O valor liquido (a pagar = valor após o desconto): 
99,75899,1099)31,01()1(  il vdv 
36 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
Unidade 06 
Função inversa e composição de 
funções 
Introdução 
Nesta unidade vamos perceber quando e como determinar a função 
inversa. Para além da inversão de funções vamos detrminar a composição 
de funçoes e a aplicar na resolução de problemas económicos. 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
 Determinar a expressão analítica de uma função inversa; 
 Determinar as diversas composições de funçoes e aplicar na resolução 
de problemas económicos. 
 
6.1. Função inversa 
Suponhamos que a quantidade procurada de uma certa mercadoria 
depende do preço por unidade. 
p
D 2 ou seja D é função de p 
[D =D(p)]. À medida que o preço aumenta, a procura diminui. Esta 
função permite-nos determinar a demanda (quantidade procurada) 
conhecendo o preço do produto. 
Se conhecermos a demanda (procura), de que forma esta se 
relacionará com o preço de forma funcional? A relação se obterá 
resolvendo a equação 
p
D 2 em ordem a p tal que, 
 
 
2
4)(222
D
Dp
D
ppD
p
D  quer dizer que 
p é função de D. 
 
Definição: Seja f uma função com domínio A e contradomínio B. f 
possui uma inversa g com domínio B e contradomínio A se e só se 
f for injectiva,. A função g é dada pela seguinte regra: para cada y 
de B, o valor g(y) é o único número x de A tal que f(x) = y. 
yxfxyg  )()( 
A função inversa de f(x) representa-se por )(1 xf  . 
 
Como achar a função inversa de uma função 
Passo 1: Escreva y = f(x) 
Passo 2: Resolva essa equação para x em termos de y (se possível); 
Passo 3: Para expressar 1f como uma função de x, troque x por y. 
A equação resultante é 1 fy (x). A função inversa de f. 
 
Exemplo 
Determine a função inversa de 42)( 3  xxf 
Escrever y = f(x), 42 3  xy 
Resolver a equação para x em termos de y, 
3333 2
2
1
2
4
2
2442  yxxyxyxy 
38 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
Trocar x por y. 3 2
2
1
 xy 
Portanto, a função inversa de f é 31 2
2
1)(  xxf 
 
O gráfico de uma função inversa é simétrico do gráfico de f em 
relação à bissectriz y = x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2. Composição de funções 
Temos vindo a falar de funções em que uma variável y depende da 
variável x. Se a variável x depender de outra variável t, ou seja, x 
não é constante então podemos dizer que y depende de t. 
Quando isto acontece, dissemos que y é uma função composta de t. 
Seja y = f(x) e x = g(t) então y = f(g(t)) e lê-se f de g. 
y = x 
f 
f -1 
a 
a 
f(a) 
f (a) x 
y 
 
 
Para determinar f(g(t)) primeiro aplicamos g a t para obter g(t) e 
depois aplicamos f a g(t). 
Para que esta composição seja possível, é preciso que o 
contradomínio da função g coincida com o domínio da função f. A 
função composta f(g(t)) pode se representar por fog(t). 
Normalmente f og(t) é diferente de g of(t). 
Exemplo; 
Dadas as funções 1)( 2  xxf e 2)( xxg  . 
Determine a) gof(x) b) fog(x). 
Solução 
a) gof(x) - ? 
12)1)(1()1()1())(()(2422222  xxxxxxgxfgxgof
 
b) fog(x) - ? 
11)()())(()( 4222  xxxfxgfxfog 
Exercícios propostos 
1. Determine a função inversa de 
a) 2)( 2  xxf 
b) 43)(  xxf 
c) xexf )( 
d) xexf  1)( 
e) )ln()( xxf  
f) )1ln()(  xxf 
g) 
3
21)(



x
xxf 
 
40 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
2. Dadas as funções 1)( 2  xxf e 1)( 2  xxg 
determine 
a) f(g(x)) 
b) g(f(x)) 
c) fof(x) 
d) gog(x) 
e) fofog(x) 
f) fogof(x) 
 
3. Em uma fábrica, o custo de produção de n unidades de uma 
certa mercadoria é C(n) = n2+n+900 meticais. Num dia 
típico, são fabricadas n(t) = 25t unidades durante t horas de 
trabalho. 
a) Expresse o custo de produção em função de t. 
b) Quanto é gasto na produção nas primeiras três horas de 
trabalho? 
c) Quantas horas de trabalho são necessárias para que o 
custo de produção chegue a 11mil meticais? 
 
4. Um importador Chinês da madeira Moçambicana estima 
que os consumidores locais comprarão aproximadamente 
 
2
4374
p
pQ 
 volumes em m3 da madeira se o preço for de 
p mil dólares por cada volume. O preço estimado da 
madeira após t semanas é p(t) = 0,04t2+0,2t+12 mil dólares 
por volume.
 
a) 
Expresse a demanda semanal da madeira em função de 
t.
 
b) 
Quantos unidades (em m3) os consumidores estarão 
comprando após 10 semanas?
 
c) 
Após quantas semanas a demanda da madeira será 
30375m3?
 
 
 
Unidade 07 
Função exponencial e logarítmica 
Introdução 
Nesta unidade vamos dar continuidade no estudo das funçoes reais de 
variavel real particularmente para as funções exponenciais e logarítmicas. 
Vamos destacar as aplicaçoes exponenciais em problemas de cálculo 
financeiro e a aplicaçao da inversa para o estudo da função logaritmica. 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
 Fazer o estudo das funções exponenciais e logaritmicas; 
 Resolver tarefas financeiros aplicando o estudo das funções 
exponenciais. 
 
7.1. Função exponencial 
Um exemplo bem presente na nossa vida é o caso dos juros. Num 
primeiro mês você vai ao banco e deposita $100,00 a um juro de 
3% ao mês. Passando-se um mês o seu rendimento será $100,00 
mais $3,00, logo você terá $103,00, ou seja, 
100+100x3%=100(1+0,03) = 1001,03. No mês seguinte o seu juro 
será calculado sobre os seus $100,00 que você colocou no banco ou 
sobre os $103,00 que você obteve com os juros deste mês? É claro 
que se for para se calcular o juro somente em cima do que você 
colocou não vale a pena não é? Então o que acontece é que agora o 
seu capital é $103,00 e é ele quem vai ser a base para o cálculo de 
juros deste mês. Logo ao final do 2o mês o seu capital será 
(103+103x3%)=103.(1+0,03), ou seja, [(100x1,03)x1,03] ou 
100x(1,03)2. 
42 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
No final do 10º mês o seu saldo (se você não retirar nem colocar 
mais capital no banco) será 100x(1,03)10 ou seja o capital inicial 
multiplicado pelo juro elevado ao tempo de aplicação. 
 Como pudemos observar passado x meses sem movimentar a conta 
o saldo será S(x)=100(1,03)x em termos de função. Funções como 
esta são chamadas funções exponenciais. 
Definição: 
A função f : R R+ definida por f(x)=ax, com a  IR+ e a1, é 
chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o 
conjunto IR e o contradomínio é IR+. 
Zeros Não tem zeros 
Sinal: É sempre positiva 
Extremos Não tem nem mínimos nem máximos 
Monotonia É sempre crescente se 1a 
É sempre decrescente se 10  a 
O gráfico desta função corta o eixo Oy no ponto (0,1). 
 Observe a seguir o gráfico de uma função exponencial com base 
1a 
 
 
 
O domínio da função é e a imagem é o conjunto 
[,0] IR . 
O eixo horizontal é uma assímptota do gráfico da função. De fato, o 
gráfico se aproxima cada vez mais da recta 0y mais nunca toca-
a. 
 
Exercícios propostos 
1. Considere as funções xxf 2)(  e 
x
xg 





2
1)( 
i) Caracterize cada uma delas quanto a monotonia 
ii) Compara: f(0) e g(0); f(1) e g(-1); f(-2) e g(2); f(-1) 
e g(1)… que conclusão podemos tirar entre f(x) e 
g(x)? 
iii) Construa os gráficos de f e g. 
iv) Avalie o contradomínio de cada uma delas. 
v) Resolve: 1)( xf ; 1)( xg . 
 
2. Seja dada a função xexh )( 
i) Determine a ordenada na origem 
ii) Caracterize h quanto a monotonia 
iii) Represente no mesmo s.c.o. o gráfico de h e de g(x) 
= h(x) – 2 
iv) g(x) tem zeros da função? Qual é a ordenada na 
origem de g? 
v) Encontre a equação da assímptota horizontal para g. 
 
3. O número de bactérias em um meio de cultura cresce 
aproximadamente segundo a função η(t)=200030,04t, sendo t 
o número de dias após o início do experimento. Calcule: 
a) O número η de bactérias no início do experimento; 
44 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
b) Em quantos dias o número inicial de bactérias irá 
triplicar. 
4. Suponha que o valor de um equipamento varie da seguinte 
forma: inicialmente seu valor é de 60.000 reais. A partir daí, 
seu valor é reduzido à metade a cada 15 meses. Assim, 
podemos representar essa variação por V(t) onde t é o 
tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais. 
a) Encontre a expressão analítica para v(t). 
b) Represente graficamente essa função exponencial e 
calcule o valor do equipamento após 45 meses de 
uso. 
5. Uma máquina de 1.000.000.00mt é investida a uma taxa 
anual de juros de 7%. Calcule o montante após 10 anos se 
os juros forem capitalizados: 
a) Anualmente; 
b) Trimestralmente; 
c) Mensalmente. 
 
7.2. Função logarítmica 
No item anterior sobre funções exponenciais observa-se que se 
a > 0 e a ≠ 1, então o gráfico de xay  satisfaz a condição de 
injectividade, e isso implica que a função tem uma inversa. Para 
encontrar uma fórmula para esta inversa (com x como variável 
independente), podemos resolver a equação yax  para y como 
uma função de x. Isto pode ser feito tomando o logaritmo de base 
“a” a ambos os lados desta equação. Isto é; 
 
ya
a
x
a
yax loglog  
 
 
Porém, se pensarmos y como expoente ao qual a deve ser elevado 
para produzir ya , então fica evidente que y
ya
a log . Assim, pode 
ser reescrito como xay log , 
de onde concluímos que a inversa de xaxf )( é xaxf log)(1  . 
Isto implica que o gráfico de xaxf )( e o de xaxf log)(1  são 
reflexões um do outro, em relação à recta y = x. 
Chamaremos a xaxf log)(  de função logarítmica na base a. 
Em particular, se tomarmos xaxf log)(  como xaxf  )(1 , e se 
tivermos em mente que o domínio de )( xf corresponde a imagem 
de )(1 xf  então obtemos: 
x
xa
a log para todos os valores reais de x e 
 xa
x
a log para x > 0. 
 
 
Definição: 
A função f : R+  R definida por xaxf log)(  com  IRa e 
1a , é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa 
função é o conjunto IR e o contradomínio é IR . 
Ordenada na 
origem: 
 Não corta o eixo das ordenadas 
Extremos: Não tem nem mínimos nem máximos 
46 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
Monotonia: É sempre crescente se 1a 
É sempre decrescente se 10  a 
O gráfico desta função corta o eixo Ox no ponto (1,0). 
 
Algumas propriedades de logaritmos 
1. bac cba log 2. cbacaba .logloglog  
3. c
b
a
c
a
b
a logloglog  4. 
a
c
b
cb
a
log
loglog  
5. 






10
1
loglog
asecb
asecbc
a
b
a
 
6. 






10
1
aseyx
aseyx
aa yx 
 
Exercícios propostos 
1. Considere xexf )( e xxg ln)(  . Determine: 
a) f(0) e g(1); f(1) e g(e);f(2) e g(e²); f(3) e g(e³) 
b) Mostre que ))(())(( xfgxgf  
c) Construa o gráfico de ))(( xgf  
 
2. Seja dada a função xxh 22log)(  
a) Determine h(¼), h(½), h(1), h(2), h(4),... 
b) Caracterize h(x) quanto a monotonia 
c) Esboce o gráfico de h 
d) Encontre a expressão de h ֿ◌¹ 
e) Determine x tal que 231 4)(   xxh 
 
 
Unidade 08 
Derivada de uma função de 
variável real 
Introdução 
Nesta unidade vamos estudar as derivadas de funções de variável real. 
Iremos aplicar os conhecimentos de derivação de funções na resolução de 
problemas de análise marginal. 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
 Calcular a derivada de uma função; 
 Aplicar o estudo das derivadas em problemas de análise marginal. 
 
8.1. Conceito da derivada 
Em economia, o estudo de quanto rapidamente as quantidades 
variam ao longo do tempo é muito importante. Este estudo permite 
avaliar a procura futura duma mercadoria. Outras ciências, por 
exemplo, podem calcular a posição futura dum planeta ou 
crescimento da população duma espécie. Para fazer estes estudos é 
preciso ter informações sobre as taxas de variação. 
Chama-se derivada de uma função y = f(x), num ponto x0 do seu 
domínio, ao limite, se existir, da razão incremental de f(x), entre x0 
e x, quando x tende para x0. 
0
0
0
' )()(lim)(
0 xx
xfxfxf
xx 



 ou 
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
' 

 
Exemplo 
48 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
Calcule a derivada de f(x) = x3, no ponto de abcissa x0 = – 1. 
3)1(lim
1
)1)(1(lim
1
1lim
)1(
)1()(lim)1( 2
1
2
1
3
11
' 










xx
x
xxx
x
x
x
fxff
xxxx
 
 
8.2. Interpretação geométrica 
da derivada 
Seja f uma função num intervalo I. admitamos que existe a derivada 
de f no ponto Ix 0 . Seja P(x0, f(x0)) e Q(x,f(x)) dois pontos da 
intersecção da curva do gráfico de f com secante S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A recta S é secante ao gráfico de f e o seu declive é dado por: 
0
0 )()()(
xx
xfxftg


 o que significa que a tangente de β é a razão 
incremental de f relativamente ao ponto x0. 
Q 
S 
t 
S3 
S2 S1 
f 
P 
x0 x 
f(x0) 
f(x) 
 
 
Quando x tende a x0, Q se desloca sobre o gráfico da função e 
aproxima-se de P. Logo, a recta S desloca-se tomando 
sucessivamente as posições S1, S2, S3,... e tende a coincidir com a 
recta t, tangente à curva no ponto P. Portanto, 
)()(lim)()(lim)(
00 0
0
0
'  tgtg
xx
xfxfxf
xxxx





 
Onde α é o ângulo que a recta tangente faz com o eixo Ox. 
 
Logo, podemos conceber a derivada de uma função no ponto x0 
como sendo igual ao coeficiente angular da recta tangente ao 
gráfico f no ponto de abcissa x0. 
Assim a equação da recta tangente ao gráfico f pelo ponto de 
abcissa x0 será: 
))(()( 00
'
0 xxxfxfy  
 
Exemplo; 
Qual é a equação da recta tangente à curva y = x3 – 2x no ponto de 
abcissa 3? 
Solução 
x0 = 3, f(x0) = f(3) = 27 – 6 = 21 
25)73(lim
3
)73)(3(lim
3
212lim
3
)3()(lim)3()(
2
3
2
3
3
33
'
0
'













xx
x
xxx
x
xx
x
fxffxf
xx
xx 
A equação da recta será: 
5425)3(2521)3)(3()3( '  xyxyxffy 
50 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
 A derivada de uma função mede a taxa de variação da função 
 
 
 
Algumas regras de derivação 
y = c função constante 
y’(x) = 
dx
dy =0 
y = ax + b função linear 
a
dx
dy
 
y = axp função potência 1 papx
dx
dy 
y = ax função exponencial 
)ln(aa
dx
dy x 
y = xalog função logarítmica 
)ln(
1
axdx
dy
 
y = ln(x) função logaritmo 
natural xdx
dy 1
 
y = u(x) ± v(x) função 
soma/diferença dx
dv
dx
du
dx
dy
 ou y’(x) = u’(x) ± v’(x) 
y = u(x)·v(x) função produto 
dx
dvu
dx
duv
dx
dy
 ou y’(x) = u’(x)·v + v’(x)·u 
y = 
)(
)(
xv
xu função quociente 
2v
dx
dvu
dx
duv
dx
dy 
 ou y’(x) = 2
'' )()(
v
uxvvxu  
y = f(u(x)) função composta 
dx
du
du
df
dx
dy
 
 
 
 
Exercício proposto 
1. Aplique as regras de derivação para calcular as derivadas de: 
i. 1 xy 
ii. 1 xey 
iii. 122  xxy 
iv. 13  xy 
2. Determine a derivada de )
32
21)(34()(
3
4
x
xxxxf


 
3. Encontre a equação da recta tangente a curva 3
4)(
x
xk  no 
ponto de abcissa ½. 
4. Se y = u5 e u = 2x6 + 5, determine y’(x). 
 
5. Determine a equação da recta tangente a curva y no ponto de 
abcissa dado 
i. 12  xxy abcissa ½ 
ii. xxy  3 abcissa -2 
iii. 2
3
x
y  abcissa 1/2 
iv. xy 2 abcissa 4 
 
8.3. Aplicações económicas das 
derivadas 
Análise marginal 
É a parte da economia que estuda o que acontece com grandezas 
como custo, receita e lucro quando o nível de produção varia em 
um valor unitário. 
52 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
Custo marginal - Se C(x) é o custo total para fabricar x unidades de 
um certo produto, então o custo marginal será CM(x) = C’(x). 
Receita marginal - Se R(x) é a receita total do produto 
correspondente ao custo C(x), então a receita marginal será RM(x) 
= R’(x). 
Lucro marginal - Se L(x) = R(x) – C(x), é o lucro de um certo 
produto, o lucro marginal será dado por LM(x) = L’(x). 
 
Exemplo; 
Um fabricante de tijolos estima que quando x tijolos são fabricados, 
o custo total é 983
8
1)( 2  xxxC meticais e que todos os tijolos 
são vendidos quando o preço é xxp
3
125)(  por unidade. 
a) Estime o custo de produção do nono tijolo. Qual é o custo 
total exacto para produzir o nono tijolo? 
b) Determine a função receita do produto e estime a receita 
obtida com a venda do nono tijolo. Qual é a receita exacta 
obtida com a venda do nono tijolo? 
c) Determine a função lucro associada à produção de x tijolos. 
Determine o lucro marginal de x tijolos. 
Solução 
Temos que 983
8
1)( 2  xxxC 
a) Para estimar o custo de produção de uma unidade vamos 
recorrer ao custo marginal. 
CM(x) = C’(x) = 3
4
1)983
8
1( '2  xxx 
 
 
CM(8) = Mt00,538
4
1  
O custo total exacto de produção do nono tijolo, 
C(9) – C(8) = Mt125,5)98838
8
1(98939
8
1 22  
 
b) Sabe-se que R(x) =xp(x) (a receita é o produto do preço pela 
quantidade vendida). Temos que xxp
3
125)(  , logo 
2
3
125)
3
125()( xxxxxR  
Valor estimado da receita de venda do nono tijolo 
RM(x) =R’(x) = xxx
3
225)'
3
125( 2  
RM(8) = Mt66,198
3
225  
Valor exacto da receita de venda do nono tijolo 
R(9) – R(8) = Mt33,19)8
3
1825(9
3
1925 22  
 
c) Lucro 
L(x) = R(x) – C(x) = 9822
24
7)983
8
1(
3
125 222  xxxxxx 
Lucro marginal, LM(x) = L’(x) = 22
12
7)'9822
24
7( 2  xxx 
 
54 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
Custo médio e custo marginal 
Se C(x) é o custo associado à produção de x unidades de um certo 
produto então o custo médio é 
x
xCxCm
)()(  e o custo médio 
marginal é )(')( xCxMC mm  
Deste mesmo modo definimos a receita média e o lucro médio 
assim como as correspondentes funções marginais. 
 
Exemplo 
Para a função custo do último exemplo, 
a) Determine o custo médio e o custo médio marginal do 
produto. 
b) Para que nível de produção o custo médio marginal é nulo? 
c) Para que nível de produção o custo marginal é igual ao 
custo médio? 
(tarefa do estudante) Dica: 
b) Calcular o valor x de forma que Cm’(x) = 0 
c) Calcular o valor de x tal que CM(x) = Cm(x) 
 
Exercícios propostos 
1. O custo total de uma fábrica é 2005005,01,0)( 23  qqqqC 
meticais, onde q é o número de unidades produzidas. 
a) Estimeo custo de fabricação da quarta unidade. 
b) Calcule o custo exacto de fabricação da quarta unidade. 
 
2. Sabendo que C(x) é o custo total para a produção de x unidades 
de um produto e p(x) é o preço pelo qual as x unidades são 
vendidas, 
(i) Determine o custo marginal e a receita marginal 
 
 
(ii) Determine o custo médio e a receita média 
(iii) Determine o lucro médio e o lucro médio marginal 
a) 574
5
1)( 2  xxxC )36(
4
1)( xxp  
b) 673
4
1)( 2  xxxC )45(
5
1)( xxp  
c) 392
3
1)( 2  xxxC 104)( 2  xxxp 
56 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
Unidade 09 
Optimização de funções 
Introdução 
Nesta unidade vamos determinar os pontos que optimizam uma função 
olhando como prioridade a problemas que conduzem a funçoes 
economicas tais como na minimização das funçoes custo ou maximização 
das receitas e lucros. 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
 Determinar os pontosestacionários de uma determinada função; 
 Classificar em maximo ou minimos os pontos criticos. 
 
9.1. Optimização de funções 
Em matérias de gestão e análises económicas, é muito importante 
estudar até que ponto as funções podem atingir um máximo (ou 
mínimo). É importante saber quando é que o lucro é máximo por 
exemplo; que quantidades podem ser produzidas a custo mínimo, 
que quantidades devem ser vendidas de forma a gerar maior receita 
possível e etc. 
Este estudo é feito a partir da interpretação das derivadas, sendo 
que a primeira derivada determina os pontos críticos (pontos 
máximos e mínimos) da função e a segunda derivada determina a 
característica de cada ponto definindo o máximo e o mínimo. 
 
 
 
Pontos críticos são determinados igualando-se a primeira derivada 
a zero. Para averiguar a natureza de um ponto crítico, se é máximo 
ou mínimo, usa-se o teste de segunda derivada. 
Procedimentos: 
1. Determinar a primeira derivada e igualar a zero para obter 
o(s) ponto(s) crítico(s). Isto quer dizer, determinar os 
valores de x tal que f’(x) = 0. 
2. Achar a segunda derivada e verificar se a função se 
encontra num ponto de máximo ou de mínimo. Ou seja: 
 Se x = a é ponto crítico e f “(x) > 0, então x = a é 
ponto de mínimo local 
 Se f “(x) < 0, então x = a é ponto de máximo local 
 
3. Calcular na função dada o valor crítico desejado, ou seja, 
determinar f(a). 
 
Exemplo 
Uma fabricante de plásticos estima que com a produção de q 
unidades de plástico é o lucro dele será dado por 
224200)( qqqC  . Determine a quantidade de plástico que este 
fabricante deve produzir para atingir o maior lucro. Qual é esse 
valor máximo? 
Solução 
1. Determinar o ponto crítico 
qqqqC 224)'24200()(' 2  
1202240)('  qqqC 
2. Verificar se é ponto de máximo 
58 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
02)'224()(''  qqC , logo, q = 12 é um ponto de máximo 
Para que o fabricante atinja o maior lucro, deve produzir 12 
unidades de plásticos. 
3. C(12) = 200 + 24·12 – 122 = 344 
 
Exercícios proposto 
 
1. Determine os pontos críticos de 
a) 122)( 23  xxxg b) 1
4
1)( 24  xxxm 
c) 92)( 2  xxxh 
 
2. Um fabricante estima que quando q unidades de uma certa 
mercadoria são produzidas por mês, o custo total é 
4034,0)( 2  qqqC meticais e que as q unidades podem ser 
vendidas por um preço de )5,045(2,0)( xxp  meticais por 
unidade. 
a) Determine o nível de produção para o qual o lucro é 
máximo. Qual é o lucro máximo? 
b) Para que nível de produção o custo médio é mínimo? E qual 
é esse custo? 
c) Para que nível de produção o custo médio é igual ao custo 
marginal? 
 
3. Dada a função lucro P(x) = 400(15 – x)(x – 2) de produção de 
fitas virgens. O gráfico de y = P(x) é uma parábola de concavidade 
virada para baixo. Determine P’(x) e determine P’(x) = 0. O que se 
pode dizer a respeito do lucro neste ponto da curva? 
 
 
 
4. Um empresário pode produzir gravadores de fita por 20,00Mt 
cada. Estima-se que se os gravadores forem vendidos por x 
meticais a unidade, os consumidores comprarão 120 – x gravadores 
por mês. Determine o preço para o qual o lucro do empresário é 
máximo. 
 
5. A receita total em meticais proveniente da venda de q unidades 
de certo produto é 128682)( 2  qqqR . Para que nível de 
vendas a receita média é igual a receita marginal? Para que nível de 
vendas a receita será máxima? 
 
6. O consumo interno total é dado por uma função C(x) onde x é a 
renda interna total. A derivada C’(x) é chamada de tendência 
marginal para o consumo; se S = x – C(x) representa a poupança 
interna total, S’(x) é chamada de tendência marginal para a 
poupança. Suponha que a função consumo seja 
xxxC 8,08,08)(  . Determine a tendência marginal para o 
consumo e calcule o valor para o qual a poupança total é mínima. 
 
7. O departamento de estradas de rodagem está planificando 
construir uma área de piquenique para motoristas à beira de uma 
estrada muito movimentada. O terreno deve ser rectangular, com 
uma área de 5000 metros quadrados e deve ser cercado nos três 
lados que não dão acesso para a estrada. Qual é o menor 
comprimento da cerca necessária para a obra? 
 
 
 
 
60 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
Unidade 10 
Primitivas (antiderivadas): integral 
indefinida 
Introdução 
Nesta unidade vamos aprender a calciular a integral indefinida de uma 
funçao. para tal iremos recorer a determinados metodos tais como a 
integração directa, substituição ou integração por partes. 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
 Determinar a primitiva de uma função; 
 Distinguir o método que deve ser usado na integração de uma função. 
 
10.1. Antiderivação de funções 
Em muitos problemas, sobretudo de economia e gestão, a derivada 
de uma função é conhecida e o objectivo é encontrar a própria 
função. Um sociólogo que conhece que conhece a taxa de aumento 
da população pode estar interessado em usar essa informação para 
prever qual será a população em algum instante futuro. Este 
processo de determinar uma função a partir da sua derivada é 
denominado antiderivação. 
Definição: Uma função F(x) para a qual F’(x)= f(x) para qualquer 
x do domínio de f é chamada de antiderivada ou primitiva (integral 
indefinida) de f(x). E escreve-se: 
cxFdxxf  )()( 
 
 
O sinal ∫ chame-se sinal de integração, a função f(x) denomina-se 
integrando, o símbolo dx indica que a antiderivada é calculada em 
relação a x e o termo C é a constante de integração. 
 
Exemplo: 
 
Ou seja 
 
Para verificar se uma primitiva foi correctamente calculada, 
determine a derivada da solução obtida, F(x) +C. se a derivada for 
igual a função f(x) então a resolução está correcta e se não for igual 
então houve algum erro na resolução. 
 
10.2. Regras de integração 
1.   cxkdxk (integral duma constante) 
2.   dxxfkdxxfk )()( (integral de uma constante 
multiplicada por uma função) 
3.  
 1,
1
1 1 nx
n
dxx nn (integral de uma potência) 
4.    0,)ln(
11 xcxdx
x
dxx 
5.   caak
dxa kxxk
ln
1
 , a > 0 (integral de uma 
função exponencial) 
62 Módulo de Matemática Aplicada Beira, Outubro de 2011 
 
6.   cekdxe
xkxk 1 (integral de uma função exponencial 
de base natural) 
7.     dxxgdxxfdxxgxf )()()()( (integral da 
soma/diferença de funções) 
 
Exemplos 
Determine as seguintes integrais indefinidas da função f 
a) f(x)= 2x, ∫f(x)dx = ∫2xdx = 2∫xdx = x2+C pois 
(x2+C)’=2x 
b) f(x) = 4x3+ex, ∫f(x)dx = ∫(4x3+ex)dx = ∫4x3dx+∫exdx