ApostiladeCRP194EstatisticaExperimental

fator A com o j-ésimo nível do fator B; 
α i é o efeito do i-ésimo nível do fator A no valor observado Yijk; 
Capítulo 9 – Experimentos Fatoriais 
_____________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________ 
 
 
102 
β j é o efeito do j-ésimo nível do fator B no valor observado Yijk
(αβ)
; 
ij
e
 é o efeito da interação do i-ésimo nível do fator A com o j-ésimo nível do 
fator B; 
ijk é o erro associado a observação Yijk
 
. 
Para um experimento fatorial instalado segundo o DBC, com K blocos, o modelo 
estatístico seria: 
Yijk = m + αi + β j + (αβ)ij + ωk + e
em que, 
ijk 
ωk é o efeito do k-ésimo bloco na observação Yijk
 
. 
 
9.6 - Análise de Variância 
A análise de variância de um experimento fatorial é feita desdobrando-se a 
soma de quadrados de tratamentos nas partes devido aos efeitos principais de cada 
fator e na parte devido à interação entre os fatores. 
O quadro a seguir apresenta como seria a análise de um experimento fatorial, 
com 2 fatores A e B, com I e J níveis, respectivamente, e K repetições, instalado 
segundo o DIC. 
 
 
As fórmulas para a obtenção das somas de quadrados são as seguintes: 
CRP 194 – Estatística Experimental – 2011/II 
_____________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________ 
Prof. Carlos Eduardo Magalhães dos Santos 
 103 
 
O quadro abaixo apresenta como seria a análise de um experimento fatorial, 
com 2 fatores A e B, com I e J níveis, respectivamente, e K repetições (ou blocos), 
instalado segundo o DBC. 
 
 
Nesta situação, 
 
em que, 
 
Conforme apresentado nas duas tabelas anteriores, na análise dos dados 
oriundos de um experimento fatorial, para os dois tipos de delineamentos, deve-se 
inicialmente proceder ao teste F para a interação entre os fatores. As hipóteses para o 
teste F da interação são: 
H0: Os fatores A e B atuam independentemente sobre a variável resposta em 
estudo (Devem se estudar os fatores isoladamente). 
Capítulo 9 – Experimentos Fatoriais 
_____________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________ 
 
 
104 
Ha
O resultado deste teste F para a interação indica como as comparações dos 
níveis de um fator devem ser realizadas. Temos dois resultados possíveis para o teste 
F da interação os quais serão apresentados a seguir. 
: Os fatores A e B não atuam independentemente sobre a variável resposta 
em estudo (Deve-se proceder ao desdobramento, estudando por um teste de média o 
fator dentro de um nível do outro fator). 
 
9.6.1 - Interação não-significativa 
Este caso ocorre quando a hipótese H0
Portanto recomenda-se que as comparações dos níveis de um fator sejam feitas 
de forma geral em relação ao outro fator, ou seja, independente dos níveis outro fator. 
O passo seguinte na análise estatística dos dados experimentais é proceder ao teste F 
para cada fator como ilustrado na tabela apresentada a seguir para o caso do DBC. 
 para a interação entre os fatores não é 
rejeitada. Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de forma 
independente. 
 
 
As hipóteses para realizar o teste F para os efeitos principais são 
Fator A 
H0: mA1 = mA2 = ... = mAI ou seja, todos os possíveis contrastes entre as médias dos 
níveis do fator A, são estatisticamente nulos, ao nível de probabilidade em que foi 
executado o teste. 
CRP 194 – Estatística Experimental – 2011/II 
_____________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________ 
Prof. Carlos Eduardo Magalhães dos Santos 
 105 
Ha: não H0
 
 ou seja, existe pelo menos um contraste entre as médias dos níveis do 
fator A, que é estatisticamente diferente de zero, ao nível de probabilidade em que foi 
executado o teste. 
Fator B 
 
H0: mB1 = mB2 = ... = mBJ
H
 ou seja, todos os possíveis contrastes entre as médias dos 
níveis do fator B, são estatisticamente nulos, ao nível de probabilidade em que foi 
executado o teste. 
a: não H0
 
 ou seja, existe pelo menos um contraste entre as médias dos níveis do 
fator B, que é estatisticamente diferente de zero, ao nível de probabilidade em que foi 
executado o teste. 
Se os fatores A e B forem qualitativos, e o teste F para A e/ou B, for não 
significativo, a aplicação do teste de médias é desnecessária. Se o teste F for 
significativo, para A e/ou B, aplica-se um teste de médias para comparar os níveis do 
fator. As estimativas das médias dos níveis dos fatores são obtidas por 
 
Para realizar o teste de Tukey para comparar as medias dos níveis dos fatores 
em teste temos que usar 
 
 
Para o teste de Duncan temos que usar 
 
Capítulo 9 – Experimentos Fatoriais 
_____________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________ 
 
 
106 
Em que nA e nB
As hipóteses para os testes Tukey e Duncan para comparar as médias dos 
níveis dos fatores são 
 são os números de médias ordenadas abrangidas pelo 
contraste sendo testados. 
 
Fator A → H0: mAi = mAu versus Ha: mAi ≠ mAu
Fator B → H
 para i ≠ u = 1, 2, 3, ... , I 
0: mBj = mBu versus Ha : mBj ≠ mBu
 
 para j ≠ u = 1, 2, 3, ... , J 
Para a aplicação do teste t temos que usar 
 
Em que 
CA = a1mA1 + a2mA2 + ... + aImAI
C
 e 
B = b1mB1 + b2mB2 + ... + bIm
 
BJ 
Para a aplicação do teste Scheffé para testar os contrastes YA e YB temos que 
usar 
 
As hipóteses para os testes de Scheffé e t para testar os contrastes são 
Fator A → H0: CA = 0 versus Ha : CA
Fator B → H
 ≠ 0 
0: CB = 0 versus Ha : CB
 
 ≠ 0 
CRP 194 – Estatística Experimental – 2011/II 
_____________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________ 
Prof. Carlos Eduardo Magalhães dos Santos 
 107 
Exemplo: Analizar os dados do fatorial 2 x 3, decorrente de 6 repetições , resumidos 
no quadro de interações e ANOVA, aplicar teste de Duncan se for necessário para α = 
1%. 
 
A 
B Totais de Ai B B1 B2 3 
A 20,3 (6) 1 21,4 20,9 62,6 (18) 
A 21,4 (6) 2 22,3 35,6 79,3 (18) 
Totais de B 41,7 (12) j 43,7 56,5 141,9 (36) 
∑ = 814,56y2ijk 
 
Analizar os dados do fatorial 3 x 4, com 3 repetições resumidos no quadro de ANOVA. 
 
ANOVA 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F 
Fator R 
Fator E 
Interação R x E 
Tratamento 
Bloco 
Resíduo 36,278 
Total 
∑ = 314yijk 
 
Totais de tratamentos 
R 
E 
1 2 3 4 
1 25,4 27,8 29,6 31,4 
2 23,1 25,0 27,2 29,6 
3 20,5 22,8 24,8 26,8 
 
Caso seja necessário, proceder a comparação de médias pelo teste de Tukey ao nível 
de 5% de probabilidade. 
 
9.6.2 - Interação significativa 
Este caso ocorre quando a hipótese H0 para a interação entre os fatores é 
rejeitada. Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de forma 
dependente. Neste caso as comparações entre os níveis de um fator levam em 
Capítulo 9 – Experimentos Fatoriais 
_____________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________ 
 
 
108 
consideração o nível do outro fator, pois o resultado significativo para a interação 
indica que o efeito de um fator depende do nível do outro fator. 
Portanto, não é recomendado realizar