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de estimativas 
de β0 e β1
Uma vez obtidas estas estimativas, podemos escrever a equação estimada: 
, que minimizam a soma de quadrados dos erros. 
 
11.3.2. Modelo linear de 2º grau 
O modelo estatístico para esta situação seria: 
 
em que, 
Yi
β
 é o valor observado para a variável dependente Y no i-ésimo nível da variável 
independente X; 
0
β
 é a constante de regressão; 
1
X
 é o coeficiente de regressão; 
i
β
 é o i-ésimo nível da variável independente X (i = 1, 2, K, n); 
2
2
iX
 é o coeficiente de regressão; 
 é o i-ésimo nível da variável independente X, elevado ao quadrado; 
ei é o erro que está associado à distância entre o valor observado Yi e o 
correspondente ponto na curva para o mesmo nível i de X. 
CRP 194 – Estatística Experimental – 2011/II 
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Utilizando o MMQ, no modelo de 2º grau, chegar-se-á ao seguinte sistema de 
equações normais, para se obter as estimativas de β0, β1 e β2: 
 
Uma vez obtidas estas estimativas, podemos escrever a equação estimada: 
 
 
11.4. Análise de variância da regressão 
A equação estimada obtida, apenas estabelece uma relação funcional, entre a 
variável dependente e a variável independente, para representar o fenômeno em 
estudo. 
Portanto a simples obtenção da equação estimada não responde ao 
pesquisador se a variação da variável independente influencia significativamente na 
variação da variável dependente. 
Para se responder a esta pergunta, é necessário realizar um teste estatístico 
para as estimativas dos coeficientes da equação de regressão estimada. Um teste que 
pode ser realizado para verificar tal fato é o teste F da análise de variância. Portanto, é 
necessário realizar uma análise de variância dos dados observados, em função do 
modelo proposto. 
Contudo, a estratégia da análise de variância depende se houve ou não 
repetições no experimento. 
 
11.4.1. Apenas um único valor observado para cada nível da variável 
independente 
Nesta situação não existe repetição. A única estimativa da variância residual é 
aquela dada pela falta de ajuste dos valores observados ao modelo ajustado. O 
quadro para a análise de variância para a regressão para esta situação é do seguinte 
tipo: 
Capítulo 11 – Regressão 
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Prof. Carlos Eduardo Magalhães dos Santos 
 
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em que, 
p = no de coeficientes de regressão (não inclui o β0
n = n
) 
o
 
 de observações. 
As fórmulas para a obtenção das somas de quadrados total e da soma de 
quadrados do independente da regressão são as mesmas, tanto para o modelo linear 
de 1o grau quanto para o de 2o grau, as quais são dadas a seguir: 
 
 
SQInd = SQTotal - SQRegressão 
 
Já a soma de quadrados para a regressão varia de acordo com o modelo em 
teste. 
 
 
As hipóteses estatísticas para o teste F são as seguintes: 
H0: β1 = β2 = ... = βp
H
 = 0, o que significa dizer que as p variáveis independentes 
não exercem influência na variável dependente, segundo o modelo proposto. 
a: β i
 
 ≠ 0, para pelo menos um i, o que significa dizer que pelo menos uma das 
p variáveis independentes exerce influência na variável dependente, segundo o 
modelo proposto. 
CRP 194 – Estatística Experimental – 2011/II 
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O valor de F da análise de variância, deve ser comparado, com o valor de F 
tabelado (Ftab), o qual se obtém na tabela da distribuição F de acordo com o nível de 
significância do teste, e o número de graus de liberdade para a regressão e 
independente da regressão, ou seja: 
 
A regra decisória para o teste F é: 
- Se Fcalc ≥ Ftab ⇒ Rejeita-se H0
- Se F
 ao nível de significância que foi realizado o 
teste. Pode-se inferir que a variável independente influência 
significativamente a variável dependente Y. 
calc < Ftab ⇒ Não rejeita-se H0
Pode-se inferir que a variável independente não influência significativamente a 
variável dependente Y. 
 ao nível de significância que foi realizado o 
teste. 
 
11.4.2. Mais de um valor observado para cada nível da variável independente 
Nesta situação, existe mais de um valor observado para cada nível da variável 
independente. Assim é possível obter uma estimativa da variância residual tal como 
aquela obtida em modelos de delineamento, o que não é possível quando se tem uma 
única observação para cada nível da variável independente. 
Normalmente o que se faz numa situação como esta é inicialmente proceder a 
uma análise de variância usual considerando o efeito do fator quantitativo como se 
fosse a fonte de variação tratamentos numa análise de variância usual. Isto é realizado 
para que se quantifique a variância residual. Posteriormente, o efeito de tratamentos é 
desdobrado nos efeitos associado a um ajuste de um modelo de regressão e também 
a falta de ajuste deste modelo. A escolha do modelo de regressão a ser ajustado é 
aquele que mais se aproxima dos pontos médios observados para cada nível da 
variável independente. O quadro abaixo resume o que acabou de ser descrito, para 
uma situação geral em que se está testando I níveis da variável independente em um 
experimento instalado segundo o delineamento inteiramente casualizado com K 
repetições. Pressupõe-se também que se está testando um modelo de regressão com 
p coeficientes de regressão. O total de observações neste experimento é igual a N = 
IK. 
Capítulo 11 – Regressão 
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Prof. Carlos Eduardo Magalhães dos Santos 
 
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O teste F para a falta de ajustamento é realizado para verificar se o modelo 
adotado está se ajustando bem aos dados. Se o teste F para a falta de ajustamento for 
significativo, indica que o modelo ajustado não é apropriado e um novo modelo que se 
ajuste melhor aos dados deve ser testado. Se por outro lado, a falta de ajustamento for 
não-significativa indica que o modelo adotado se ajusta bem aos dados. 
Conseqüentemente faz sentido analisar o teste F para a fonte de variação 
regressão para saber se a variável independente tem influência significativa sobre a 
variável dependente. 
No caso de falta de ajustamento significativa não faz sentido realizar o teste 
para a regressão, pois o modelo de regressão não se ajustou significativamente aos 
dados. 
As hipóteses para a falta de ajustamento são: 
H0
H
: a falta de ajustamento não é significativa 
a
 
: a falta de ajustamento é significativa 
O valor tabelado de F para a falta de ajustamento é encontrado usando 
 
A regra decisória para o teste F para a falta de ajustamento é: 
Se Fcalc ≥ Ftab ⇒ Rejeita-se H0
Se F
 ao nível de significância que foi realizado o teste. 
O modelo adotado não se ajusta bem aos dados. Um novo modelo deve ser testado. 
calc < Ftab ⇒ Não rejeita-se H0 ao nível de significância que foi realizado o 
teste. O modelo adotado se ajusta bem aos dados. Não há necessidade de se testar 
um novo modelo. Procede-se ao teste F para regressão. 
CRP 194 – Estatística Experimental – 2011/II 
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