A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
142 pág.
ApostiladeCRP194EstatisticaExperimental

Pré-visualização | Página 4 de 30

normal, no caso, f(X) é dada por: 
 
( )
2
2
1
2
1 




σ
−
πσ
=
mx
eXf 
 Para verificar se a informação do órgão oficial é correta, o pesquisador tem 
duas opções: medir a estatura da população de todos os adolescentes, ou então tomar 
uma amostra de adolescentes e medir a estatura dos mesmos e usar um teste de 
hipóteses. Na primeira opção nenhum teste de hipóteses seria necessário, pois o 
pesquisador teria condições de conhecer o verdadeiro valor da média de estatura, ou 
seja, ele conheceria o parâmetro média daquela população de adolescentes. Na 
segunda opção, o pesquisador teria que usar uma média da amostra para tomar a sua 
decisão. 
É evidente que a segunda opção é operacionalmente mais fácil, pois o custo e o 
tempo gasto são muito menores. Para a realizar a segunda opção, o pesquisador deve 
escolher um tamanho de amostra adequado, por exemplo, suponha que para este 
exemplo o tamanho amostral ideal seja igual a 10 indivíduos. Da população de 
adolescentes é possível retirar um grande número de diferentes amostras de tamanho 
10. 
Cada amostra fornece um valor para a média amostral. Pode ser demonstrado 
que a média de todas as médias amostrais é igual à média da variável original, a 
variância é igual á variância original dividido pelo tamanho da amostra e que a variável 
aleatória mˆ também segue distribuição normal, ou seja, mˆ ~ N(1,5; 0,025). O gráfico da 
distribuição das médias amostrais seria 
CRP 194 – Estatística Experimental – 2011/II 
_____________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________ 
 
 11 
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5
f(X
b)
Variável: Xb 
em que Xb = mˆ e f(Xb) = f(mˆ ). 
 
Como pode ser notado, a distribuição das médias amostrais para a variável 
estatura, representadas no gráfico por Xb, é mais concentrada em torno da média do 
que a variável original X. Isto acontece porque a variância das médias amostrais é 
menor do que a variância da variável original estatura. 
Deve ficar entendido que é possível retirar um número muito grande de 
amostras de mesmo tamanho de uma população, principalmente se a população for 
muito grande. No entanto, numa pesquisa geralmente toma-se decisão usando-se 
apenas uma única amostra. As hipóteses estatísticas para esta situação seriam: 
 
Ho: maltura
Ha: m
 = 1,5 metros 
altura
 
 < 1,5 metros 
Para se entender a lógica dos testes de hipóteses, vamos supor diferentes 
resultados possíveis para a média amostral obtida a partir de uma amostra de 10 
estudantes. Suponha inicialmente que o pesquisador, obtenha uma média amostral, 
digamos mˆ , igual a 1,49 metros. Neste caso, a variação entre o valor observado igual 
a 1,49 e o valor suposto igual a 1,50 é muito pequena. Pode-se-ia atribuir esta 
variação ao acaso, ou seja, esta variação é uma variação própria de uma população 
que apresente média igual a 1,5 metros. Em termos probabilísticos poderíamos dizer 
que existe uma grande probabilidade de numa população com média igual a 1,50 
m = 
Capítulo 2 – Testes de hipóteses 
_____________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________ 
Prof. Carlos Eduardo Magalhães dos Santos 
 
12 
metros existir grupos de 10 indivíduos que apresentem uma média de estatura igual ou 
inferior a 1,49 metros. Justificativa semelhante poderia ser atribuída a médias 
amostrais que tivessem valores próximos ao valor suposto, tais como: 1,48; 1,47; 1,42; 
etc. 
 Por outro lado, se a média amostral apresentar um valor muito distante do valor 
suposto, como por exemplo, 0,60 metros, o pesquisador tem a tendência de rejeitar a 
hipótese de nulidade, isto porque há um forte indício de que a amostra foi retirada de 
uma população que apresenta uma média menor do que a suposta de 1,5 metros. Em 
termos probabilísticos poderia se dizer que a probabilidade de encontrar um grupo de 
indivíduos com média igual ou inferior a 0,60 metros é muito pequena, em uma 
população que apresenta uma média igual a 1,5 metros. Veja a figura a seguir 
 
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5
f(X
b)
Variável: Xb 
 A função densidade de probabilidade da média amostral de uma variável 
aleatória que tem distribuição normal, no caso, f(Xb), é dada por: 
 
( )
2
2
1
2
1 











σ
−
π
σ
= n
mx
e
n
Xbf 
 
0,60 
CRP 194 – Estatística Experimental – 2011/II 
_____________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________ 
 
 13 
 A área sob a curva abaixo do valor 0,60 m indica a probabilidade de se 
encontrar um valor igual ou inferior a 0,60 metros em uma população com média igual 
a 1,5 metros. Como pode ser notada, esta probabilidade é pequena em relação à área 
total do gráfico. Com base neste raciocínio é que o pesquisador estabelece um valor 
crítico que o ajuda a decidir sobre a rejeitar ou não-rejeitar a hipótese de nulidade. 
Este valor crítico pode a princípio ser estabelecido de duas maneiras. A primeira delas 
seria a situação em que o pesquisador de posse de seu conhecimento prévio no 
assunto estabeleceria um valor crítico antes de coletar a amostra. Este valor crítico 
seria um valor para a média amostral tal que acima dele o pesquisador não-rejeitaria a 
hipótese de nulidade e abaixo dele rejeitaria a hipótese de nulidade. Digamos que 
neste caso o valor crítico adotado fosse igual a 1,0 metro. O valor para a média igual a 
1,0 metro determinaria duas regiões na distribuição das médias amostrais, conforme é 
apresentado na figura a seguir. Estas duas regiões são denominadas como Região de 
Não-Rejeição da Hipótese de Nulidade (RNRHo) e Região de Rejeição da Hipótese de 
Nulidade (RRHo). Como os respectivos nomes indicam, se o valor da média amostral 
estiver contido na RNRHo, o pesquisador não deve rejeitar a hipótese de nulidade. 
Caso, contrário, se o valor da média amostral estiver contido na RRHo, o pesquisador 
deve rejeitar a hipótese de nulidade e considerar a hipótese alternativa como sendo a 
hipótese verdadeira. 
 
 
Capítulo 2 – Testes de hipóteses 
_____________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________ 
Prof. Carlos Eduardo Magalhães dos Santos 
 
14 
Deve-se observar que ao adotar o critério acima, o pesquisador sempre estará 
sujeito a cometer um de dois erros possíveis. Um destes erros, conhecido como erro 
tipo I ou erro alfa ( )α , se refere à probabilidade de rejeitar uma hipótese verdadeira, no 
caso a hipótese de nulidade. Na figura citada anteriormente, o critério adotado pelo 
pesquisador foi que se a média amostral assumisse um valor menor que 1,0 metro, 
então rejeitar-se-ia a hipótese de nulidade. É exatamente a adoção deste critério que 
pode levar o pesquisador cometer um erro em sua tomada de decisão, pois como se 
pode observar na figura, em uma população que realmente apresenta média igual a 
1,5 metros, existe uma pequena percentagem de indivíduos que podem apresentar 
uma altura média inferior a 1,0 metro. No entanto, o pesquisador acaba assumindo 
que devido ao fato daquela chance ser muito pequena, ele decide que se uma amostra 
de elementos apresentar média menor que 1,0 metro, ela pertence a uma população 
com média inferior à especificada de 1,5 metros, conforme

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.